Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei Artimiausi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Y \u003d f (x) ir jei šiuo metu į funkcijos grafiką galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena x ašiai, tada liestinės nuolydis yra f "(a). Mes jau panaudojome tai keletą Pavyzdžiui, § 33 buvo nustatyta, kad funkcijos y \u003d sin x (sinusoidės) grafikas pradžioje sudaro 45° kampą su abscisių ašimi (tiksliau, grafiko liestinė ties pradžia sudaro 45 ° kampą su teigiama x ašies kryptimi), o 5 pavyzdyje iš § 33 taškai buvo rasti pagal pateiktą tvarkaraštį funkcijas, kurioje liestinė lygiagreti x ašiai. 33 straipsnio 2 pavyzdyje buvo sudaryta lygtis funkcijos y \u003d x 2 grafiko liestinei taške x \u003d 1 (tiksliau, taške (1; 1), bet dažniau tik nurodoma abscisių reikšmė, darant prielaidą, kad jei žinoma abscisių reikšmė, tai ordinatės reikšmę galima rasti iš lygties y = f(x)). Šiame skyriuje mes sukursime bet kurios funkcijos grafiko liestinės lygties sudarymo algoritmą.

Tegul funkcija y \u003d f (x) ir taškas M (a; f (a)), taip pat žinoma, kad f "(a) egzistuoja. Sudarykime grafiko liestinės lygtį ši lygtis yra kaip bet kurios tiesės, kuri nėra lygiagreti y ašiai, lygtis y = kx + m, todėl uždavinys yra rasti koeficientų k reikšmes ir m.

Su nuolydžiu k nėra problemų: žinome, kad k \u003d f "(a). Norėdami apskaičiuoti m reikšmę, naudojame tai, kad norima linija eina per tašką M (a; f (a)). Tai reiškia, kad jei koordinačių taškus M pakeisime tiesės lygtimi, gausime teisingą lygybę: f (a) \u003d ka + m, iš kur mes randame, kad m \u003d f (a) - ka.
Belieka pakeisti rastas banginių koeficientų vertes lygtis tiesiai:

Gavome funkcijos y \u003d f (x) grafiko liestinės lygtį taške x \u003d a.
Jei, tarkim,
Pakeitę (1) lygtį rastąsias reikšmes a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, gauname: y \u003d 1 + 2 (x-f), t.y. y \u003d 2x -1.
Palyginkite šį rezultatą su gautu 33 § 2 pavyzdyje. Natūralu, kad atsitiko tas pats.
Sudarykime funkcijos y \u003d tg x grafiko liestinės lygtį ištakoje. Mes turime: taigi cos x f "(0) = 1. Rastas reikšmes a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 pakeisdami į (1) lygtį, gauname: y \u003d x .
Štai kodėl nubrėžėme tangentoidą § 15 (žr. 62 pav.) per koordinačių pradžią 45 ° kampu abscisių ašies atžvilgiu.
Pakanka tai išspręsti paprasti pavyzdžiai, mes iš tikrųjų naudojome tam tikrą algoritmą, kuris yra įdėtas į (1) formulę. Padarykime šį algoritmą aiškų.

FUNKCIJOS LYGTYBĖS GRAFIKUI y \u003d f (x) SUDARYTI ALGORITMAS

1) Pažymėkite sąlyčio taško abscisę raide a.
2) Apskaičiuokite 1 (a).
3) Raskite f "(x) ir apskaičiuokite f" (a).
4) Rastus skaičius a, f(a), (a) pakeiskite į (1) formulę.

1 pavyzdys Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške x = 1.
Naudokime algoritmą, atsižvelgdami į tai šiame pavyzdyje

Ant pav. 126 pavaizduota hiperbolė, nutiesta tiesė y \u003d 2x.
Brėžinys patvirtina aukščiau pateiktus skaičiavimus: iš tikrųjų linija y \u003d 2-x paliečia hiperbolę taške (1; 1).

Atsakymas: y \u003d 2-x.
2 pavyzdys Nubrėžkite funkcijos grafiko liestinę, kad ji būtų lygiagreti tiesei y \u003d 4x - 5.
Patobulinkime problemos formuluotę. Reikalavimas „nubrėžti liestinę“ paprastai reiškia „padaryti liestinės lygtį“. Tai logiška, nes jei žmogus sugebėjo sudaryti liestinės lygtį, greičiausiai jam nebus sunku remtis koordinačių plokštuma tiesi linija pagal jos lygtį.
Naudokime tangentinės lygties sudarymo algoritmą, atsižvelgiant į tai, kad šiame pavyzdyje, tačiau, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, čia yra dviprasmybės: liestinės taško abscisė nėra aiškiai nurodyta.
Pradėkime taip kalbėti. Norima liestinė turi būti lygiagreti tiesei y \u003d 4x-5. Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų nuolydžiai yra vienodi. Tai reiškia, kad liestinės nuolydis turi būti lygus nurodytos tiesės nuolydžiui: Taigi a reikšmę galime rasti iš lygties f "(a) \u003d 4.
Mes turime:
Iš lygties Taigi, yra dvi liestinės, kurios tenkina uždavinio sąlygas: viena taške, kurio abscisė yra 2, kita taške, kurio abscisė yra -2.
Dabar galite veikti pagal algoritmą.

3 pavyzdys Iš taško (0; 1) nubrėžkite funkcijos grafiko liestinę
Panaudokime tangentinės lygties sudarymo algoritmą, atsižvelgdami į tai, kad šiame pavyzdyje Atkreipkite dėmesį, kad čia, kaip ir 2 pavyzdyje, liestinės taško abscisė nėra aiškiai nurodyta. Nepaisant to, mes veikiame pagal algoritmą.

Pagal sąlygą liestinė eina per tašką (0; 1). Į (2) lygtį pakeitę reikšmes x = 0, y = 1, gauname:
Kaip matote, šiame pavyzdyje tik ketvirtame algoritmo žingsnyje pavyko rasti prisilietimo taško abscisę. Pakeitę reikšmę a \u003d 4 į (2) lygtį, gauname:

Ant pav. 127 parodyta geometrinė nagrinėjamo pavyzdžio iliustracija: funkcijos grafikas

32 dalyje pažymėjome, kad funkcijai y = f(x), kurios išvestinė yra fiksuotame taške x, galioja apytikslė lygybė:

Tolesnio samprotavimo patogumui keičiame žymėjimą: vietoj x rašysime a, vietoj to rašysime x ir atitinkamai vietoj x-a. Tada aukščiau parašyta apytikslė lygybė bus tokia:

Dabar pažvelkite į pav. 128. Funkcijos y \u003d f (x) grafiko taške M (a; f (a)) nubrėžta liestinė. Pažymėtas taškas x x ašyje arti a. Aišku, kad f(x) yra funkcijos grafiko ordinatė nurodytame taške x. O kas yra f (a) + f "(a) (x-a)? Tai yra tą patį tašką x atitinkančios liestinės ordinatė – žr. (1) formulę. Ką reiškia apytikslė lygybė (3)? apskaičiuokite apytikslę funkcijos reikšmę, imama liestinės ordinatės reikšmė.

4 pavyzdys Raskite apytikslę skaitinės išraiškos reikšmę 1.02 7 .
Mes kalbame apie funkcijos y \u003d x 7 reikšmės radimą taške x \u003d 1,02. Mes naudojame formulę (3), atsižvelgdami į tai šiame pavyzdyje
Dėl to gauname:

Jei naudosime skaičiuotuvą, gausime: 1,02 7 = 1,148685667...
Kaip matote, apytikslis tikslumas yra gana priimtinas.
Atsakymas: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovičiaus algebra 10 klasė

Kalendorinis teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašą matematika internete, matematika mokykloje parsisiųsti

Pamokos turinys pamokos santrauka paramos rėmo pamokos pristatymo pagreitinimo metodai interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savianalizės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbų diskusijos klausimai retorinius klausimus iš studentų Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai grafika, lentelės, schemos humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai lustai smalsiems cheat sheets vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas naujovių elementų pamokoje, pasenusių žinių pakeitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos

Darbo tipas: 7

Būklė

Tiesė y=3x+2 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko liestinė. Raskite b , atsižvelgiant į tai, kad prisilietimo taško abscisė yra mažesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko taško, per kurį eina šio grafiko liestinė, abscisė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, t.y. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Kita vertus, liestinės taškas priklauso ir funkcijos grafikui, ir liestinė, t.y. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Gauname lygčių sistemą \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1. Pagal abscisių būklę prisilietimo taškai yra mažesni už nulį, todėl x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Tiesė y=-3x+4 lygiagreti funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko liestinei. Raskite sąlyčio taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko tiesės nuolydis savavališkame taške x_0 yra y"(x_0). Bet y"=-2x+5, taigi y"(x_0)=- 2x_0+5.Sąlygoje nurodytas tiesės y=-3x+4 kampinis koeficientas yra -3.Lygiagrečios tiesės turi vienodus nuolydžio koeficientus.Todėl randame tokią reikšmę x_0, kad =-2x_0 +5=-3.

Gauname: x_0 = 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Iš paveikslo nustatome, kad liestinė eina per taškus A(-6; 2) ir B(-1; 1). C(-6; 1) pažymėkite tiesių x=-6 ir y=1 susikirtimo tašką, o \alpha – kampą ABC (paveiksle matyti, kad jis smailus). Tada tiesė AB sudaro bukąjį kampą \pi -\alpha su teigiama Ox ašies kryptimi.

Kaip žinote, tg(\pi -\alpha) bus funkcijos f(x) išvestinės reikšmė taške x_0. pastebėti, kad tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Iš čia pagal redukcijos formules gauname: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Tiesė y=-2x-4 yra funkcijos y=16x^2+bx+12 grafiko liestinė. Raskite b , atsižvelgiant į tai, kad prisilietimo taško abscisė yra didesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=16x^2+bx+12 grafiko taško abscisė, per kurią

yra šio grafiko liestinė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, t.y. y "(x_0)=32x_0+b=-2. Kita vertus, liestinės taškas priklauso ir funkcijos grafikui, ir liestinė, ty 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Gauname lygčių sistemą \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(atvejai)

Išspręsdami sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1. Pagal abscisių būklę prisilietimo taškai yra didesni už nulį, todėl x_0=1, tada b=-2-32x_0=-34.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Paveikslėlyje parodytas intervale (-2; 8) apibrėžtos funkcijos y=f(x) grafikas. Nustatykite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=6, skaičių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tiesė y=6 yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl randame tokius taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Ant šią diagramą tokie taškai yra ekstremumo taškai (maksimaliai arba minimalūs taškai). Kaip matote, yra 4 ekstremalūs taškai.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Tiesė y=4x-6 lygiagreti funkcijos y=x^2-4x+9 grafiko liestinei. Raskite sąlyčio taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y \u003d x ^ 2-4x + 9 grafiko liestinės nuolydis savavališkame taške x_0 yra y "(x_0). Bet y" \u003d 2x-4, o tai reiškia y "(x_0) \ u003d 2x_0-4.Sąlygoje nurodytos liestinės y \u003d 4x-7 nuolydis lygus 4. Lygiagrečios tiesės turi tokius pat nuolydžius.Todėl randame tokią reikšmę x_0, kad 2x_0-4 \u003d 4. Gauname : x_0 \u003d 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x_0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x_0.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Iš paveikslo nustatome, kad liestinė eina per taškus A(1; 1) ir B(5; 4). C(5; 1) pažymėkite tiesių x=5 ir y=1 susikirtimo tašką, o \alpha – kampą BAC (paveiksle matyti, kad jis smailus). Tada tiesė AB sudaro kampą \alpha su teigiama Ox ašies kryptimi.

Tangentas yra tiesi linija, einanti per kreivės tašką ir sutampanti su juo šiame taške iki pirmos eilės (1 pav.).

Kitas apibrėžimas: tai sekanto ribinė padėtis ties Δ x→0.

Paaiškinimas: Paimkite liniją, kuri kerta kreivę dviejuose taškuose: BET ir b(žr. paveikslėlį). Tai sekantas. Suksime pagal laikrodžio rodyklę, kol liks tik vienas bendras taškas su kreive. Taigi gauname liestinę.

Griežtas liestinės apibrėžimas:

Funkcijos grafiko liestinė f, skiriasi tam tikru tašku xapie, yra tiesė, einanti per tašką ( xapie; f(xapie)) ir turintis nuolydį f′( xapie).

Šlaitas turi tiesią liniją y=kx +b. Koeficientas k ir yra nuolydžio koeficientasši tiesi linija.

Kampinis koeficientas lygus tangentei aštrus kampas sudaryta iš šios tiesios linijos su abscisių ašimi:

k = tgα

Čia kampas α yra kampas tarp linijos y=kx +b ir teigiama (t. y. prieš laikrodžio rodyklę) x ašies kryptį. Tai vadinama pasvirimo kampas tiesus(1 ir 2 pav.).

Jei pasvirimo kampas tiesus y=kx +būmus, tada nuolydis yra teigiamas skaičius. Grafikas didėja (1 pav.).

Jei pasvirimo kampas tiesus y=kx +b bukas, tada nuolydis yra neigiamas skaičius. Grafikas mažėja (2 pav.).

Jei tiesė lygiagreti x ašiai, tai linijos nuolydis yra nulis. Šiuo atveju linijos nuolydis taip pat lygus nuliui (nes nulio liestinė lygi nuliui). Tiesios linijos lygtis atrodys taip y = b (3 pav.).

Jei tiesės polinkio kampas yra 90º (π/2), tai yra, ji yra statmena x ašiai, tada tiesioji linija nurodoma lygybe x=c, kur c- kažkoks tikrasis skaičius (4 pav.).

Funkcijos grafiko liestinės lygtisy = f(x) taške xapie:

Pavyzdys: Raskime funkcijos grafiko liestinės lygtį f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 taške su abscise 2.

Sprendimas.

Mes laikomės algoritmo.

1) Lietimo taškas xapie lygus 2. Apskaičiuokite f(xapie):

f(xapie) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Rasti f′( x). Norėdami tai padaryti, naudojame diferenciacijos formules, aprašytas ankstesniame skyriuje. Pagal šias formules, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. Priemonės:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Dabar naudokite gautą vertę f′( x), apskaičiuoti f′( xapie):

f′( xapie) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Taigi, mes turime visus reikiamus duomenis: xapie = 2, f(xapie) = 1, f ′( xapie) = 4. Šiuos skaičius pakeičiame į liestinės lygtį ir randame galutinį sprendimą:

y= f(xapie) + f′( xapie) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Atsakymas: y \u003d 4x - 7.

Funkcijos grafiko liestinės lygtis

P. Romanovas, T. Romanova,
Magnitogorskas,
Čeliabinsko sritis

Funkcijos grafiko liestinės lygtis

Straipsnis publikuotas remiant ITAKA+ viešbučių kompleksui. Apsistoję laivų statytojų mieste Severodvinske nesusidursite su laikino būsto paieškos problema. , viešbučių komplekso „ITAKA +“ svetainėje http://itakaplus.ru galite lengvai ir greitai išsinuomoti butą mieste bet kokiam laikotarpiui, mokėdami kasdien.

Ant dabartinis etapas ugdymas, kaip vienas iš pagrindinių jo uždavinių – kūrybiškai mąstančios asmenybės formavimas. Mokinių kūrybiškumas gali būti ugdomas tik sistemingai įtraukiant į tiriamosios veiklos pagrindus. Pagrindas mokiniams panaudoti savo kūrybines galias, gebėjimus ir talentus – visavertės žinios ir gebėjimai. Šiuo atžvilgiu nemažą reikšmę turi pagrindinių žinių ir įgūdžių sistemos formavimo kiekviena mokyklinio matematikos kurso tema. Tuo pačiu metu visaverčiai įgūdžiai turėtų būti didaktinis ne atskirų užduočių, o kruopščiai apgalvotos jų sistemos tikslas. Plačiausia prasme sistema suprantama kaip tarpusavyje susijusių sąveikaujančių elementų visuma, turinti vientisumą ir stabilią struktūrą.

Apsvarstykite metodiką, kaip mokyti studentus, kaip sudaryti funkcijos grafiko liestinės lygtį. Iš esmės visos liestinės lygties radimo užduotys yra sumažintos iki poreikio iš eilučių rinkinio (skraidyklės, šeimos) pasirinkti tas, kurios tenkina tam tikrą reikalavimą - jos yra liestinės su tam tikros funkcijos grafiku. Šiuo atveju eilučių rinkinį, iš kurio atliekamas pasirinkimas, galima nurodyti dviem būdais:

a) taškas, esantis xOy plokštumoje (centrinis linijų pieštukas);
b) kampo koeficientas (lygiagretus linijų pluoštas).

Šiuo atžvilgiu, tirdami temą „Funkcijos grafiko liestinė“, siekdami išskirti sistemos elementus, nustatėme dviejų tipų užduotis:

1) užduotys liestinėje, pateiktoje taško, per kurį jis eina;
2) užduotys ant liestinės, nurodytos jos nuolydžiu.

Mokymasis spręsti problemas liestinėje buvo atliktas naudojant A.G. pasiūlytą algoritmą. Mordkovičius. Esminis jo skirtumas nuo jau žinomų yra tas, kad liestinės taško abscisė žymima raide a (vietoj x0), su kuria susietos liestinės lygtis įgauna formą

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(palyginkite su y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ši metodinė technika, mūsų nuomone, leidžia studentams greitai ir lengvai suvokti, kur parašytos esamo taško koordinatės bendrojoje liestinės lygtyje, o kur yra sąlyčio taškai.

Funkcijos y = f(x) grafiko liestinės lygties sudarymo algoritmas

1. Raide a pažymėkite sąlyčio taško abscisę.
2. Raskite f(a).
3. Raskite f "(x) ir f "(a).
4. Pakeiskite rastus skaičius a, f (a), f "(a) į bendroji lygtis liestinė y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Šis algoritmas gali būti sudarytas remiantis studentų savarankišku operacijų pasirinkimu ir jų atlikimo seka.

Praktika parodė, kad nuoseklus kiekvienos iš pagrindinių užduočių sprendimas naudojant algoritmą leidžia suformuoti galimybę etapais užrašyti funkcijos grafiko liestinės lygtį, o algoritmo žingsniai tarnauja kaip stiprioji veiksmų taškai. . Šis požiūris atitinka laipsniško psichinių veiksmų formavimo teoriją, kurią sukūrė P.Ya. Galperinas ir N.F. Talyzina.

Pirmojo tipo užduotyse buvo nustatytos dvi pagrindinės užduotys:

• liestinė eina per tašką, esantį kreivėje (1 uždavinys);
• liestinė eina per tašką, esantį ne ant kreivės (2 uždavinys).

Užduotis 1. Sulyginkite funkcijos grafiko liestinę taške M(3; – 2).

Sprendimas. Taškas M(3; – 2) yra sąlyčio taškas, nes

1. a = 3 – prisilietimo taško abscisė.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 yra liestinės lygtis.

Užduotis 2. Užrašykite funkcijos y = - x 2 - 4x + 2, einančios per tašką M (- 3; 6), grafiko visų liestinių lygtis.

Sprendimas. Taškas M(– 3; 6) nėra liestinės taškas, nes f(– 3) 6 (2 pav.).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - liestinės lygtis.

Liestinė eina per tašką M(– 3; 6), todėl jos koordinatės tenkina liestinės lygtį.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Jei a = – 4, tada liestinės lygtis yra y = 4x + 18.

Jei a \u003d - 2, tada liestinės lygtis yra y \u003d 6.

Antrojo tipo pagrindinės užduotys bus šios:

• liestinė lygiagreti kokiai nors tiesei (3 uždavinys);
• liestinė tam tikru kampu eina į duotąją tiesę (4 uždavinys).

3 užduotis. Užrašykite visų liestinių lygtis funkcijos y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 grafike, lygiagrečiai tiesei y \u003d 9x + 1.

Sprendimas.

1. a – prisilietimo taško abscisė.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Bet, kita vertus, f "(a) \u003d 9 (lygiagretumo sąlyga). Taigi, turime išspręsti lygtį 3a 2 - 6a \u003d 9. Jos šaknys a \u003d - 1, a \u003d 3 (pav. . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 yra liestinės lygtis;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 yra liestinės lygtis.

Užduotis 4. Parašykite funkcijos y = 0,5x 2 - 3x + 1 grafiko liestinės, einančios 45 ° kampu į tiesę y = 0, lygtį (4 pav.).

Sprendimas. Iš sąlygos f "(a) \u003d tg 45 ° randame a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - prisilietimo taško abscisė.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - liestinės lygtis.

Nesunku parodyti, kad bet kurios kitos problemos sprendimas yra sumažintas iki vienos ar kelių pagrindinių problemų sprendimo. Apsvarstykite toliau pateiktas dvi problemas kaip pavyzdį.

1. Parašykite parabolės y = 2x 2 - 5x - 2 liestinių lygtis, jei liestinės susikerta stačiu kampu ir viena iš jų liečia parabolę taške su abscise 3 (5 pav.).

Sprendimas. Kadangi pateikta sąlyčio taško abscisė, pirmoji sprendimo dalis redukuojama iki pagrindinės problemos 1.

1. a \u003d 3 - vienos iš stačiojo kampo kraštinių sąlyčio taško abscisė.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - pirmosios liestinės lygtis.

Tegul a yra pirmosios liestinės pasvirimo kampas. Kadangi liestinės yra statmenos, tai yra antrosios liestinės pasvirimo kampas. Iš lygties y = 7x – 20 pirmosios liestinės gauname tg a = 7. Raskite

Tai reiškia, kad antrosios liestinės nuolydis yra .

Tolesnis sprendimas sumažinamas iki pagrindinės 3 užduoties.

Tada tegul B(c; f(c)) yra antrosios tiesės liestinės taškas

1. - antrojo sąlyčio taško abscisė.
2.
3.
4.
yra antrosios liestinės lygtis.

Pastaba. Liestinės nuolydį lengviau rasti, jei mokiniai žino statmenų tiesių koeficientų santykį k 1 k 2 = - 1.

2. Parašykite visų bendrųjų funkcijų grafikų liestinių lygtis

Sprendimas. Užduotis susiaurinama iki bendrųjų liestinių sąlyčio taškų abscisių suradimo, tai yra iki pagrindinės problemos 1 bendro sprendimo, lygčių sistemos sudarymo ir jos sprendimo (6 pav.).

1. Funkcijos y = x 2 + x + 1 grafike esančio lietimo taško abscisė tebūna a.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Funkcijos grafike esančio liestinės taško abscisė tegul c
2.
3. f "(c) = c.
4.

Kadangi liestinės yra bendros, tada

Taigi y = x + 1 ir y = - 3x - 3 yra bendrosios liestinės.

Pagrindinis nagrinėjamų užduočių tikslas – parengti mokinius savarankiškai atpažinti pagrindinės užduoties rūšį sprendžiant sudėtingesnes užduotis, reikalaujančias tam tikrų tiriamųjų įgūdžių (gebėjimo analizuoti, lyginti, apibendrinti, kelti hipotezę ir pan.). Tokios užduotys apima bet kokią užduotį, kurios sudedamoji dalis yra pagrindinė užduotis. Kaip pavyzdį apsvarstykite funkciją (atvirkščiai 1 uždaviniui) rasti funkciją iš jos liestinių šeimos.

3. Kuriems b ir c yra linijos y \u003d x ir y \u003d - 2x funkcijos y \u003d x 2 + bx + c grafiko liestinės?

Sprendimas.

Tegul t yra tiesės y = x sąlyčio taško su parabole y = x 2 + bx + c abscisė; p yra tiesės y = - 2x sąlyčio su parabole y = x 2 + bx + c taško abscisė. Tada liestinės lygtis y = x įgaus formą y = (2t + b)x + c - t 2 , o liestinės lygtis y = - 2x įgaus formą y = (2p + b)x + c - p 2 .

Sudarykite ir išspręskite lygčių sistemą

Atsakymas:

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Parašykite funkcijos y = 2x 2 - 4x + 3 grafiko liestinių lygtis grafiko susikirtimo taškuose su tiese y = x + 3.

Atsakymas: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Kokioms a reikšmėms funkcijos y \u003d x 2 - ax grafiko liestinė grafiko taške su abscisėmis x 0 \u003d 1 eina per tašką M (2; 3) ?

Atsakymas: a = 0,5.

3. Kokioms p reikšmėms linija y = px - 5 paliečia kreivę y = 3x 2 - 4x - 2?

Atsakymas: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Raskite visus bendruosius funkcijos y = 3x - x 3 grafiko taškus ir šio grafiko liestinę, nubrėžtą per tašką P(0; 16).

Atsakymas: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Raskite trumpiausią atstumą tarp parabolės y = x 2 + 6x + 10 ir tiesės

Atsakymas:

6. Kreivėje y \u003d x 2 - x + 1 raskite tašką, kuriame grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y - 3x + 1 \u003d 0.

Atsakymas: M(2; 3).

7. Užrašykite funkcijos y = x 2 + 2x - grafiko liestinės lygtį | 4x | kuris paliečia jį dviejuose taškuose. Padarykite piešinį.

Atsakymas: y = 2x - 4.

8. Įrodykite, kad tiesė y = 2x – 1 nekerta kreivės y = x 4 + 3x 2 + 2x. Raskite atstumą tarp jų artimiausių taškų.

Atsakymas:

9. Parabolėje y \u003d x 2 paimami du taškai, kurių abscisės yra x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Per šiuos taškus nubrėžiamas sekantas. Kuriame parabolės taške jos liestinė bus lygiagreti nubrėžtai sekantai? Parašykite sekanto ir liestinės lygtis.

Atsakymas: y \u003d 4x - 3 - sekantinė lygtis; y = 4x – 4 yra liestinės lygtis.

10. Raskite kampą q tarp funkcijos y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1 grafiko liestinių, nubrėžtų taškuose, kurių abscisės yra 0 ir 1.

Atsakymas: q = 45°.

11. Kuriuose taškuose funkcijos grafiko liestinė sudaro 135° kampą su Ox ašimi?

Atsakymas: A(0; - 1), B(4; 3).

12. Taške A(1; 8) į kreivę nubrėžiama liestinė. Raskite liestinės atkarpos, esančios tarp koordinačių ašių, ilgį.

Atsakymas:

13. Užrašykite visų bendrųjų liestinių lygtį į funkcijų y \u003d x 2 - x + 1 ir y \u003d 2x 2 - x + 0,5 grafikus.

Atsakymas: y = - 3x ir y = x.

14. Raskite atstumą tarp funkcijos grafiko liestinių lygiagrečiai x ašiai.

Atsakymas:

15. Nustatykite, kokiais kampais parabolė y \u003d x 2 + 2x - 8 kerta x ašį.

Atsakymas: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Funkcijos grafike rasti visus taškus, kurių kiekvieno liestinė į šį grafiką kerta teigiamas koordinačių pusašis, nukirsdama nuo jų lygias atkarpas.

Atsakymas: A(-3; 11).

17. Tiesė y = 2x + 7 ir parabolė y = x 2 – 1 susikerta taškuose M ir N. Raskite tiesių, liečiančių parabolę taškuose M ir N, susikirtimo tašką K.

Atsakymas: K(1; - 9).

18. Kokioms b reikšmėms tiesė y \u003d 9x + b yra funkcijos y \u003d x 3 - 3x + 15 grafiko liestinė?

Atsakymas: - 1; 31.

19. Kokioms k reikšmėms tiesė y = kx – 10 turi tik vieną bendrą tašką su funkcijos y = 2x 2 + 3x – 2 grafiku? Rastoms k reikšmėms nustatykite taško koordinates.

Atsakymas: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Kokioms b reikšmėms funkcijos y = bx 3 – 2x 2 – 4 grafiko liestinė taške, kurio abscisė x 0 = 2, eina per tašką M(1; 8)?

Atsakymas: b = - 3.

21. Parabolė, kurios viršūnė yra Ox ašyje, liečia tiesę, einančią per taškus A(1; 2) ir B(2; 4) taške B. Raskite parabolės lygtį.

Atsakymas:

22. Kokia koeficiento k reikšme parabolė y \u003d x 2 + kx + 1 liečia Ox ašį?

Atsakymas: k = q 2.

23. Raskite kampus tarp tiesės y = x + 2 ir kreivės y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Raskite atstumą tarp funkcijų generatorių grafiko liestinių su teigiama Ox ašies kryptimi 45° kampu.

Atsakymas:

30. Raskite visų y = x 2 + ax + b formos parabolių, liečiančių tiesę y = 4x - 1, viršūnių lokusą.

Atsakymas: tiesė y = 4x + 3.

Literatūra

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra ir analizės pradžia: 3600 problemų moksleiviams ir stojantiesiems į universitetus. - M., Bustardas, 1999 m.
2. Mordkovich A. Ketvirtasis seminaras jauniesiems mokytojams. Tema „Išvestinės programos“. - M., „Matematika“, Nr.21/94.
3. Žinių ir įgūdžių formavimas remiantis psichikos veiksmų laipsniško įsisavinimo teorija. / Red. P.Ya. Galperinas, N.F. Talyzina. - M., Maskvos valstybinis universitetas, 1968 m.