Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Mokymo metodai: vizualinis, iš dalies tiriamasis.

Pamokos tikslas:

1. Pristatykite funkcijos grafiko liestinės sąvoką taške, išsiaiškinkite ką geometrine prasme išvestinę, išveskite liestinės lygtį ir išmokykite ją rasti konkrečioms funkcijoms.
2. Loginio mąstymo, tiriamųjų gebėjimų, funkcinio mąstymo, matematinės kalbos ugdymas.
3. Ugdykite bendravimo darbe įgūdžius, skatinkite tobulėjimą savarankiška veikla studentai.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, dalomoji medžiaga.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Pamoka tema "Liestinė. Tangento lygtis"

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Mokymo metodai:vizualinis, iš dalies tiriamasis.

Pamokos tikslas:

1. Supažindinkite su funkcijos grafiko taške liestinės sąvoka, išsiaiškinkite, kokia geometrinė išvestinės reikšmė, išveskite liestinės lygtį ir išmokykite ją rasti konkrečioms funkcijoms.
2. Loginio mąstymo, tiriamųjų gebėjimų, funkcinio mąstymo, matematinės kalbos ugdymas.
3. Bendravimo įgūdžių darbe ugdymas, skatinti savarankiškos mokinių veiklos ugdymą.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, dalomoji medžiaga.

Pamokos planas

I organizacinis momentas.
Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Pamokos temos žinutė ir šūkis.

II Medžiagos aktualizavimas.
(Suaktyvinkite dėmesį, parodykite žinių apie liestinę trūkumą, suformuluokite pamokos tikslus ir uždavinius.)

Aptarkime, kas yra funkcijos grafiko liestinė? Ar sutinkate su teiginiu, kad „liestinė yra tiesė, turinti vieną bendrą tašką su nurodyta kreive“?
Vyksta diskusija. Vaikų pareiškimai (taip ir kodėl, ne ir kodėl). Diskusijos metu darome išvadą, kad šis teiginys nėra teisingas.

Pavyzdžiai.
1) Tiesė x = 1 turi vieną bendrą tašką M(1; 1) su parabole y = x2, bet ji nėra parabolės liestinė. Tiesė y = 2x – 1, einanti per tą patį tašką, yra duotosios parabolės liestinė.
2) Panašiai tiesė x = π nėra grafiko liestinė y = cos x , nors jis turi vienintelį bendrą tašką K(π; 1). Kita vertus, tiesė y = - 1, einanti per tą patį tašką, yra grafiko liestinė, nors joje yra be galo daug bendrų taškų tipas;(π+2 πk; 1), kur k yra sveikas skaičius, kiekviename iš kurių jis liečia grafiką.

1 paveikslas

2 pav

Tikslų ir uždavinių nustatymas vaikams pamokoje:sužinoti, kokia yra funkcijos grafiko liestinė taške, kaip parašyti liestinės lygtį?
Ko mums tam reikia?
Prisiminkite bendra forma tiesės lygtys, lygiagrečių tiesių sąlygos, išvestinės apibrėžimas, diferenciacijos taisyklės.

III Parengiamasis darbas naujos medžiagos studijoms.
Klausimų medžiaga kortelėse: (užduotys atliekamos lentoje)
1 studentas: užpildykite išvestinių lentelę elementarios funkcijos

2 mokinys: atsiminkite diferenciacijos taisykles

3 mokinys: parašykite tiesės lygtį y = kx + 4 einantis per tašką A(3; -2).
(y=-2x+4)

4 mokinys: sudarykite tiesių lygtį y=3x+b einančios per tašką С(4; 2).
(y = 3x - 2).

Su likusiu frontaliniu darbu.

1. Suformuluokite išvestinės apibrėžimą.
2. Kurios iš šių tiesių yra lygiagrečios? y = 0,5x; y \u003d - 0,5x; y \u003d - 0,5x + 2. Kodėl?

Atspėk mokslininko vardą:

Raktas į atsakymus

Kas buvo šis mokslininkas, su kuo susijęs jo darbas, sužinosime kitoje pamokoje.
Patikrinkite mokinių atsakymus kortelėse.
IV Naujos medžiagos studijavimas.
Norėdami nustatyti tiesės lygtį plokštumoje, mums pakanka žinoti jos kampą
koeficientas ir vieno taško koordinatės.

• Pradėkime nuo nuolydžio

3 pav

Apsvarstykite funkcijos grafiką y = f(x) skiriasi taške A(x 0 , f(x 0 )) .
Pasirinkite tašką M (x 0 + Δх, f (x 0 + Δх)) ir nubrėžkite sekantą ESU .
Klausimas: koks yra sekanto nuolydis? (∆f/∆x=tgβ)

Apytiksliai įvertinsime tašką išilgai lanko M iki taško A . Šiuo atveju tiesiai ESU suksis aplink tašką A , artėjant (kad būtų lygios linijos) prie kažkokios ribinės padėties – tiesi linija AT . Kitaip tariant, AT , kuris turi šią savybę, vadinamas liestinė į funkcijos grafiką y \u003d f (x) taške A (x 0, f (x 0)).

Sekanto nuolydis AM ryte → 0 yra linkęs į liestinės nuolydį AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Išvestinės vertė taške x 0 paimkite liestinės nuolydį. Jie taip sakoliestinė yra sekanto ribinė padėtis, kai ∆x → 0.

Funkcijos išvestinės buvimas taške x 0 yra lygiavertis (ne vertikalios) liestinės buvimui ties (x). 0, f(x 0 )) grafą, o liestinės nuolydis lygus f "(x 0) . Tai yra geometrinė išvestinės reikšmė.

Tangento apibrėžimas: taške besiskiriančio grafiko liestinė x 0 funkcija f yra tiesė, einanti per tašką(x 0 , f(x 0 )) ir turintis nuolydį f "(x 0) .
Nubraižykime grafiko liestinės funkcijas y \u003d f (x) taškuose x 1, x 2, x 3 , ir atkreipkite dėmesį į kampus, kuriuos jie sudaro su x ašimi. (Tai kampas, išmatuotas teigiama kryptimi nuo teigiamos ašies krypties iki tiesės.)

4 pav

Matome, kad kampas α 1 yra smailus, kampas α 3 yra bukas, o kampas α 2 nulis, nuo tiesios linijos l lygiagreti Ox ašiai. Tangentas aštrus kampas teigiamas, kvailas - neigiamas. Štai kodėl f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)

• Dabar gauname liestinės lygtįį funkcijos grafiką f taške A(x 0 , f(x 0 ) ).

Bendras tiesės lygties vaizdas y = kx + b .

1. Raskime kampo koeficientą k \u003d f "(x 0), gauname y \u003d f "(x0) ∙ x + b, f (x) \u003d f "(x 0 )∙x + b
2. Raskime b. b \u003d f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0.
3. Pakeiskite gautas reikšmes k ir b į tiesios linijos lygtį: y \u003d f "(x 0) ∙x + f (x 0) - f "(x 0) ∙x 0 arba y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)

• Paskaitų medžiagos apibendrinimas.

- suformuluoti algoritmą, kaip rasti liestinės lygtį taške?

1. Funkcijos reikšmė sąlyčio taške
2. Bendroji funkcijos išvestinė
3. Išvestinės vertė sąlyčio taške
4. Rastas reikšmes pakeiskite į bendroji lygtis liestinė.

V Tirtos medžiagos konsolidavimas.

1. Darbas žodžiu:
1) B kokie grafiko taškai liečia jį
a) horizontaliai;
b) sudaro smailųjį kampą su x ašimi;
c) sudaro bukąjį kampą su x ašimi?
2) Kokioms argumento reikšmėms yra grafo pateiktos funkcijos išvestinė
a) lygus 0;
b) daugiau nei 0;
c) mažiau nei 0?

5 pav

6 pav

3) Paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas f(x) ir jo liestinė taške su abscise x0 . Raskite funkcijos išvestinės reikšmę f "(x) taške x 0 .

7 pav

2. Rašto darbas.
Nr.253 (a, b), Nr.254 (a, b). (lauko darbas su komentarais)

3. Pamatinių uždavinių sprendimas.
Panagrinėkime keturių tipų užduotis. Vaikai perskaito uždavinio sąlygą, pasiūlo sprendimo algoritmą, vienas iš mokinių jį nubraižo lentoje, likusieji užsirašo į sąsiuvinį.
1. Jei duotas prisilietimo taškas
Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį f(x) = x 3 - 3x - 1 taške M su abscisėmis -2.
Sprendimas:

1. Apskaičiuokime funkcijos reikšmę: f (-2) = (-2) 3 - 3 (-2) - 1 = -3;
2. Raskite funkcijos išvestinę: f "(x) \u003d 3x 2 - 3;
3. apskaičiuokite išvestinės priemonės vertę: f "(-2) \u003d - 9 .;
4. pakeiskime šias reikšmes į liestinės lygtį: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.

Atsakymas: y = 9x + 15.

2. Pagal sąlyčio taško ordinates.
Parašykite liestinės, esančios grafiko taške, lygtį su ordinatėmis y 0 = 1.
Sprendimas:

Atsakymas: y \u003d -x + 2.

3. Iš anksto nustatyta kryptis.
Parašykite grafiko liestinės lygtis y \u003d x 3 - 2x + 7 , lygiagrečiai linijai y = x .
Sprendimas.
Norima liestinė yra lygiagreti tiesei y=x . Taigi jie turi tą patį nuolydį k \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. Abscisė x 0 sąlyčio taškai tenkina lygtį 3x 2 - 2 \u003d 1, iš kur x 0 = ±1.
Dabar galime parašyti liestinės lygtis: y = x + 5 ir y = x + 9 .
Atsakymas: y = x + 5 , y = x + 9 .

4. Grafiko ir tiesės prisilietimo sąlygos.
Užduotis. Prie ko b tiesi y = 0,5x + b yra funkcijos grafiko liestinė f(x) = ?
Sprendimas.
Prisiminkite, kad liestinės nuolydis yra išvestinės reikšmė liestinės taške. Šios tiesės nuolydis k = 0,5. Iš čia gauname lietimo taško abscisės x nustatymo lygtį: f "(x) \u003d = 0,5. Akivaizdu, kad vienintelė jo šaknis yra x = 1. Šios funkcijos reikšmė šiame taške yra y(1) = 1. Taigi prisilietimo taško koordinatės yra (1; 1). Dabar belieka pasirinkti tokią parametro b reikšmę, kurioje tiesė eina per šį tašką, tai yra, taško koordinatės tenkina tiesės lygtį: 1 = 0,5 1 + b, iš kur b = 0,5.

5. Savarankiškas darbas edukacinis pobūdis.

Dirbti porose.


Patikrinkite: sprendimo rezultatai įrašomi į lentelę lentoje (po vieną atsakymą iš kiekvienos poros), atsakymų aptarimas.

6. Funkcijos ir tiesės grafiko susikirtimo kampo radimas.
Funkcijos grafiko susikirtimo kampas y = f(x) ir tiesioginė linija l vadinamas kampas, kuriuo funkcijos grafiko liestinė kerta tiesę tame pačiame taške.
Nr.259 (a, b), Nr.260 (a) - išardyti prie lentos.

7. Savarankiškas kontrolinio pobūdžio darbas.(diferencijuotas darbas, mokytojas pasitikrina kitą pamoką)
1 variantas.

2 variantas.

1. Kuriuose taškuose yra funkcijos grafiko liestinė f(x) = 3x 2 - 12x + 7 lygiagrečiai x ašiai?
2. Funkcijos grafiko liestinę prilyginkite f(x)= x 2–4 taške su abscisėmis x 0 = - 2. Nubrėžkite modelį.
3. Sužinokite, ar linija yra y \u003d 12x - 10 funkcijos grafiko liestinė y = 4x3.

3 variantas.

VI Pamokos apibendrinimas.
1. Atsakymai į klausimus
- kas vadinama funkcijos grafiko liestine taške?
Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?
- suformuluoti algoritmą, kaip rasti liestinės lygtį taške?
2. Prisiminkite pamokos tikslus ir uždavinius, ar pasiekėme šį tikslą?
3. Kokie buvo sunkumai pamokoje, kokios pamokos akimirkos jums patiko labiausiai?
4. Žymėjimas pamokai.
VII Namų darbų komentaras: 19 p. (1, 2), Nr.253 (c), Nr.255 (d), Nr.256 (d), Nr.257 (d), Nr.259 (d). Parengti reportažą apie Leibnizą.

Literatūra

1. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis 10 klasei švietimo įstaigų. Kompiliatoriai:. M. Nikolskis, M. K. Potapovas, N. N. Rešetnikovas, A. V. Ševkinas. - M.: Švietimas, 2008 m.

2. Didaktinė medžiaga apie algebrą ir analizės principus 10 klasei / B.M. Ivlev, S.M. Saakyan, S.I. Švarcburdas. - M.: Švietimas, 2008 m.
3. Įmonės „1C“ multimedijos diskas. 1C: Mokytojas. Matematika (1 dalis) + NAUDOTI parinktis. 2006.
4. atviras bankas matematikos užduotys/ http://mathege.ru/

70-71 pamokos. Funkcijos grafiko liestinės lygtis

09.07.2015 5132 0

Tikslas: gaukite funkcijos grafiko liestinės lygtį.

I. Pamokų temos ir uždavinių komunikacija

II. Apimtos medžiagos kartojimas ir konsolidavimas

1. Atsakymai į klausimus apie namų darbus (neišspręstų problemų analizė).

2. Medžiagos asimiliacijos kontrolė (testas).

1 variantas

1. Raskite funkcijos y \u003d 3x4 - 2 išvestinę cos x.

Atsakymas:

taške x = π.

Atsakymas:

3. Išspręskite lygtį y '(x) = 0, jei

Atsakymas:

2 variantas

1. Raskite funkcijos y \u003d 5xb + 3 išvestinę nuodėmė x.

Atsakymas:

2. Apskaičiuokite funkcijos išvestinės reikšmę taške x = π.

Atsakymas:

3. Išspręskite lygtį y '(x) = 0, jei

Atsakymas:

III. Naujos medžiagos mokymasis

Galiausiai pereikime prie paskutinio išvestinės tyrimo etapo ir apsvarstykime išvestinės taikymą likusiose pamokose. Šioje pamokoje aptarsime funkcijos grafiko liestinę.

Tangento sąvoka jau buvo svarstyta anksčiau. Buvo parodyta, kad taške a diferencijuojamos funkcijos grafikas f (x) šalia a praktiškai nesiskiria nuo liestinės grafiko, o tai reiškia, kad jis yra arti sekanto, einančio per taškus (a; f (a)) ir (a + Δx; f (a + Δx)). Bet kuris iš šių sekantų eina per tašką M(a; f (a)). Norėdami parašyti liestinės lygtį, turite nurodyti jos nuolydį. Sekanto nuolydis Δ f /Δx ties Δх → 0 yra linkęs į skaičių f "(a), kuris yra liestinės nuolydis. Todėl jie sako, kad liestinė yra ribinė sekanto padėtis ties Δх→ 0.

Dabar gauname funkcijos grafiko liestinės lygtį f (X). Kadangi liestinė yra tiesi linija ir jos nuolydis f "(a), tada galime parašyti jos lygtį y \u003d f "(a) x + b . Raskime koeficientą b nuo sąlygos, kad liestinė eina per tašką M(a; f (a)). Pakeiskite šio taško koordinates liestinės lygtyje ir gaukite: f (a) \u003d f "(a) a + b, iš kur b \u003d f (a) - f "(a) a. Dabar pakeičiame rastą vertę b į liestinės lygtį ir gaukite: arba Tai yra liestinės lygtis. Aptarkime liestinės lygties taikymą.

1 pavyzdys

Kokiu kampu yra sinusoidaskerta x ašį pradžioje?

Kampas, kuriuo šios funkcijos grafikas kerta x ašį, lygus kampui funkcijos grafiko liestinės nuolydis a f(x ) Šiuo atveju. Raskime išvestinę:Atsižvelgdami į geometrinę išvestinės reikšmę, turime: ir a = 60°.

2 pavyzdys

Parašykime funkcijos liestinės grafiko lygtį f (x) = -x2 + 4x taške a = 1.

f "(x) ir pati funkcija f (x) taške a = 1 ir gaukite: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 ir f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3. Pakeiskite šias reikšmes į liestinės lygtį. Turime: y \u003d 2 (x - 1) + 3 arba y \u003d 2x + 1.

Aiškumo dėlei paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas f(x ) ir šios funkcijos liestinė. Prisilietimas įvyksta taške M(1; 3).

Remdamiesi 1 ir 2 pavyzdžiais, galime suformuluoti algoritmą, kaip gauti funkcijos y = grafiko liestinės lygtį f(x):

1) pažymėkite sąlyčio taško abscisę raide a;

2) apskaičiuokite f(a);

3) raskite f "(x) ir apskaičiuokite f "(a);

4) pakeiskite rastus skaičius a, f (a), f "(a) į formulę y \u003d f '(a) (x - a) + f (a).

Atkreipkite dėmesį, kad iš pradžių taškas a gali būti nežinomas ir jį reikia rasti iš problemos sąlygų. Tada algoritme 2 ir 3 dalyse žodis „apskaičiuoti“ turi būti pakeistas žodžiu „rašyti“ (kuris iliustruojamas 3 pavyzdžiu).

2 pavyzdyje liestinės taško abscisė a buvo nurodyta tiesiogiai. Daugeliu atvejų prisilietimo tašką lemia įvairios papildomos sąlygos.

3 pavyzdys

Parašykime iš taško nubrėžtas liestinių lygtis A (0; 4) į funkcijos grafiką f(x) \u003d - x 2 + 2x.

Nesunku patikrinti, ar taškas A nėra ant parabolės. Tuo pačiu metu parabolės ir liestinių sąlyčio taškai nežinomi, todėl norint rasti šiuos taškus, bus naudojama papildoma sąlyga - liestinių perėjimas per tašką A.

Tarkime, kad kontaktas įvyksta taške a. Raskime funkcijos išvestinę:Apskaičiuokite išvestinės išvestinės reikšmes f"(x ) ir pati funkcija f (x) kontaktiniame taške a ir gauname: f '(a) \u003d -2a + 2 ir f (a ) = -a2 + 2a. Pakeiskite šias reikšmes į liestinės lygtį. Mes turime: arba Tai yra liestinės lygtis.

Užrašome liestinės perėjimo per tašką A sąlygą, pakeisdami šio taško koordinates. Mes gauname: 4arba 4 = a2, iš kur a = ±2. Taigi prisilietimas vyksta dviejuose taškuose B(-2; -8) ir C(2; 0). Todėl tokios liestinės bus dvi. Raskime jų lygtis. Pakeiskime reikšmes a = ±2 į liestinės lygtį. Gauname: at a = 2 arba yx \u003d -2x + 4; adresu a = -2 arba y2 = 6x + 4. Taigi liestinių lygtys yra y1 = -2x + 4 ir y2 = 6x + 4.

4 pavyzdys

Raskime kampą tarp liestinių naudodami ankstesnio uždavinio sąlygas.

Nubrėžtos liestinės y1 = -2x + 4 ir y2 = 6x + 4 sudaro kampus a1 ir a2 su teigiama abscisių ašies kryptimi (ir tg a 1 = -2 ir tg a 2 = 6) ir tarpusavyje kampas φ = a 1 - a2. Naudodami gerai žinomą formulę nustatome,iš kur φ = arctan 8/11.

5 pavyzdys

Parašykime funkcijos grafiko liestinės lygtįlygiagreti linija y \u003d -x + 2.

Dvi linijos yra lygiagrečios viena kitai, jei jų nuolydis yra toks pat. Tiesios linijos y \u003d -x + 2 nuolydis yra -1, norimos liestinės nuolydis yra f '(a ), kur a - sąlyčio taško abscisė. Todėl, norėdami nustatyti a, turime papildomą sąlygą f '(a) \u003d -1.

Naudodami privačių funkcijų išvestinės formulę, randame išvestinę:Raskite išvestinės reikšmę taške a ir gauk:

Gauname lygtįarba (a - 2)2 = 4, arba a - 2 = ±2, iš kur a = 4 ir a = 0. Taigi yra dvi liestinės, kurios tenkina uždavinio sąlygą. Pakeiskime reikšmes a = 4 ir a = 0 į liestinės y = lygtį f '(a)(x – a) + f (a). Jei a = 4, turime:ir liestinė y1 \u003d - (x - 4) + 3 arba y1 \u003d -x + 7. Su \u003d 0 gauname:ir liestinė y2 \u003d - (x - 0) - 1 arba y2 \u003d -x - 1. Taigi, liestinių y1 \u003d -x + 7 ir y2 \u003d -x - 1 lygtys.

Atkreipkite dėmesį, kad jei f "(a ) neegzistuoja, tada liestinė arba neegzistuoja (kaip funkcijoje f (x) = |x| taške (0; 0) - pav. a arba vertikaliai (kaip ir funkcijataške (0; 0) - pav. b.

Taigi funkcijos išvestinės egzistavimas f (x) taške a yra lygiavertis nevertikalios liestinės buvimui taške (a; f a)) grafika. Šiuo atveju liestinės nuolydis lygus f "(a). Tai geometrinė išvestinės reikšmė.

Išvestinės sąvoka leidžia atlikti apytikslius skaičiavimus. Ne kartą buvo pažymėta, kad Δх→ 0 funkcijų reikšmių f(x ) ir jo liestinė y(x) praktiškai sutampa. Todėl esant Δx→ 0 funkcijos elgesys f (x) taško x0 kaimynystėje galima apytiksliai apibūdinti formule(iš tikrųjų liestinės lygtis). Ši formulė sėkmingai naudojama apytiksliems skaičiavimams.

6 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taške x = 2,03.

Raskite šios funkcijos išvestinę: f "(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. Laikysime, kad x \u003d a + Δx, kur a \u003d 2 ir Δx \u003d 0,03. Apskaičiuojame funkcijos ir jos išvestinės reikšmes taške a ir gauk: ir Dabar apibrėžkime funkcijos reikšmę duotas taškas x = 2,03. Mes turime:

Žinoma, pirmiau pateiktą formulę patogu naudoti, jei reikšmės f (a) ir f "(a ) lengva apskaičiuoti.

7 pavyzdys

Apskaičiuokite

Apsvarstykite funkcijąRaskime išvestinę:Darysime prielaidą, kad x = a + Δx, kur a = 8 ir Δx = 0,03. Apskaičiuokime funkcijos ir jos išvestinės reikšmes taške a ir gaukime:Dabar nustatykime funkcijos reikšmę duotame taške x = 8,03. Mes turime:

8 pavyzdys

Apibendrinkime gautą rezultatą. Apsvarstykite galios funkciją f (x) = x n ir manysime, kad x = a + Δx ir Δx→ 0. Raskite f "(x) = n x n -1 ir apskaičiuojant funkcijos bei jos išvestinės reikšmes taške a, gauname: f (a) \u003d an ir f '(a) \u003d nan -1 . Dabar turime formulę f (x) = a n + nan -1 Δx. Naudokime jį skaičiui 0,98-20 apskaičiuoti. Mes tai manysime a = 1, Δх = -0,02 ir n = -20. Tada gauname:

Žinoma, aukščiau pateikta formulė gali būti naudojama bet kurioms kitoms funkcijoms, ypač trigonometrinėms.

9 pavyzdys

Apskaičiuokime tg 48°.

Apsvarstykite funkciją f(x) = tg x ir raskite išvestinę:Darysime prielaidą, kad x = a + Δ x, kur a = 45° = π/4 ir (Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad trigonometrijoje kampai paprastai matuojami radianais). Raskime funkcijos ir jos išvestinės reikšmes taške a ir gaukime:Dabar paskaičiuokime(atsižvelgiant į tai, kad π = 3,14).

IV. testo klausimai

1. Funkcijos grafiko liestinės lygtis.

2. Tangentinės lygties išvedimo algoritmas.

3. Išvestinės geometrinė reikšmė.

4. Tangentinės lygties taikymas apytiksliems skaičiavimams.

V. Užduotis pamokose

§ 29, 1 punktas a; 2 (b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(a); 10 (b); 12 (d); 14(a); 17; 21(a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(a); 26.

VI. Namų darbai

29 straipsnio 1 dalies b punktas; 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10(a); 12(b); 14 (b); aštuoniolika; 21(c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.

VII. Kūrybinės užduotys

1. Kuriuose taškuose x yra funkcijų grafikų liestinės lygiagrečiai?

Atsakymas: x \u003d -1, x \u003d 3.

2. Kokių x yra funkcijų y \u003d 3 grafikų liestinės cos 5 x - 7 ir y = 5 cos 3 x + 4 yra lygiagrečios?

Atsakymas:

3. Kokiais kampais susikerta kreivės y = x2 ir

Atsakymas: π/2 ir arctg 3/5.

4. Kokiais kampais kreivės susikerta y = cos x ir y = sin x?

Atsakymas:

5. Parabolei y \u003d 4 - x2 taške, kurio abscisė x \u003d 1, nubrėžiama liestinė. Raskite šios liestinės susikirtimo tašką su y ašimi.

Atsakymas: (0; 5).

6. Parabolės y \u003d 4x - x2 liestinė nubrėžiama taške, kurio abscisė x \u003d 3. Raskite šios liestinės susikirtimo tašką su x ašimi.

Atsakymas: (9/2; 0).

7. Raskite kampą tarp dviejų liestinių, nubrėžtų nuo taško (0; -2) iki parabolės y \u003d x2.

Atsakymas:

8. Funkcijos y \u003d 3x2 + 3x + 2 grafike nubrėžiamos liestinės su nuolydžiais k 1 = 0 ir k 2 = 15. Parašykite tiesės, einančios per sąlyčio taškus, lygtį.

Atsakymas: y \u003d 12x - 4.

9. Raskite tiesių, vienu metu liečiančių paraboles y = x2 + x - 2 ir y = -x2 + 7x - 11, lygtis.

Atsakymas: y \u003d 7x - 11 ir y \u003d x - 2.

10. Parašykite parabolių y \u003d -3x2 + 4x + 4 ir y \u003d -3x2 + 16x - 20 bendrosios liestinės lygtį.

Atsakymas: y = -2x + 7.

11. Funkcijos y \u003d x2 - 4x - 3 grafiko liestinė nubrėžta taške x \u003d 0. Raskite trikampio plotą, kurį sudaro liestinė ir koordinačių ašys.

Atsakymas: 9/8.

12. Raskite trikampio plotą, kurį riboja koordinačių ašys ir funkcijos grafiko liestinėtaške x = 2.

Atsakymas: 1.

VIII. Apibendrinant pamokas

Skyriai: Matematika

Tikslai.

• Apibendrinti ir sisteminti diferencijavimo taisykles;
• Pakartokite funkcijos grafiko liestinės konstravimo algoritmą, funkcijos tyrimo schemą;
• Problemų sprendimas naudojant didžiausią ir mažiausia vertė funkcijas.

Įranga. Plakatas „Išvestinė. Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo taisyklės. Išvestinės programos“.

Per užsiėmimus

Pagal korteles mokiniai kartoja teorinę medžiagą.

1. Apibrėžkite funkcijos išvestinę taške. Kas vadinama diferenciacija? Kuri funkcija taške vadinama diferencijuojama?

(Funkcijos f išvestinė taške x yra skaičius, į kurį linksta santykis

Funkcija, turinti išvestinę taške x 0, tame taške vadinama diferencijuojama. F išvestinės radimas vadinamas diferenciacija.)

2. Suformuluokite išvestinės radimo taisykles.

(1. Sumos (u + v) išvestinė"=u"+v";
2. Apie pastovų koeficientą (Cu)"=Cu";
3. Produkto išvestinė (uv)"=u"v+uv";
4. Trupmenos (u / v) išvestinė "= (u" v-uv ") / v 2;
5. Išvestinė galios funkcija(xn)"=nxn+1 .)

3. Kokios yra šių funkcijų išvestinės:

4. Kaip rasti kompleksinės funkcijos išvestinę?

(Turime nuosekliai pavaizduoti ją elementariųjų funkcijų pavidalu ir paimti išvestinę pagal žinomas taisykles).

5. Kokios yra šių funkcijų išvestinės:

6. Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?

(Išvestinės buvimas taške yra lygiavertis nevertikaliosios liestinės buvimui funkcijos grafiko taške (x 0, f (x 0)), o šios liestinės nuolydis yra f "( x 0)).

7. Kokia yra funkcijos grafiko liestinės lygtis taške (x 0, f (x 0))?

(Tangentinės lygties forma yra y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x-x 0))

8. Suformuluokite funkcijos grafiko sudarymo naudojant išvestinę algoritmą.

(1. Raskite OOF.
2. Ištirkite paritetą.
3. Ištirkite periodiškumą.
4. Raskite grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.
5. Raskite funkcijos ir jos kritinių taškų išvestinę.
6. Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalių intervalus.
7. Remdamiesi tyrimo rezultatais, sudarykite lentelę.
8. Nubraižykite funkciją.)

9. Suformuluokite teoremas, kurių pagalba madinga braižyti funkcijų grafiką.

(1. Padidėjimo (sumažėjimo) ženklas.
2. Būtinas ekstremumo požymis.
3. Maksimumo (minimalaus) ženklas.)

10. Kokios formulės egzistuoja apytiksliai funkcijų skaičiavimams?

Individualus darbas.

A lygis (trys variantai), lygis B (viena parinktis).

A lygis

1 variantas.

1. Užrašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį

f (x) \u003d (x -1) 2 (x -3) 3 lygiagrečios linijos y \u003d 5-24x.

2. Parašykite skaičių 18 kaip trijų teigiamų narių sumą, kad vienas narys būtų du kartus didesnis už kitą, o visų trijų narių sandauga būtų didžiausia.

4. Raskite funkcijos f(x)=(x-1) e x+1 didėjimo ir mažėjimo intervalus.

2 variantas.

1. Kokiu kampu į abscisę yra funkcijos f (x) \u003d 0,x 2 + x-1,5 grafiko liestinė taške su abscise x 0 \u003d - 2? Parašykite šios liestinės lygtį ir užpildykite šios problemos brėžinį.

2. Kaip B. 1.

3. Raskite funkcijos išvestinę:

B lygis

1. Raskite funkcijos išvestinę:

a) f (x) \u003d e -5x;
b) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).

2. Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė x 0, jei f (x) \u003d e -x, x 0 \u003d 1.

3. Raskite funkcijos f(x)=x·e 2х didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Pamokos santrauka.

Darbas tikrinamas, už teoriją ir praktiką suteikiamas balas.

Namų darbai duodama individualiai:

a) kartoti trigonometrinių funkcijų išvestinius;
b) intervalo metodas;
c) vedinio mechaninė reikšmė.

2. A: Nr. 138, Nr. 142, B: Nr. 137 (a, b), Nr. 140 (a).

3. Paimkite funkcijų išvestinę:

a) f(x)=x4-3x2-7;
b) f(x)=4x3 -6x;
c) f(x)=-2sin(2x-4);
d) f(x)=cos(2x-4).

4. Pavadinkite funkcijų tyrimo schemą.

Klasė: 10

Pamokos pristatymas

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrės peržiūra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visos pristatymo apimties. Jeigu tu susidomėjai Šis darbas atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Mokymo metodai: vizualinis, dalinis paieška.

Pamokos tikslas.

1. Supažindinkite su funkcijos grafiko taške liestinės sąvoka, išsiaiškinkite, kokia geometrinė išvestinės reikšmė, išveskite liestinės lygtį ir išmokykite ją rasti konkrečioms funkcijoms.
2. Tobulėti loginis mąstymas, matematinė kalba.
3. Ugdykite valią ir užsispyrimą, kad pasiektumėte galutinių rezultatų.

Įranga: interaktyvioji lenta, kompiuteris.

Pamokos planas

I. Organizacinis momentas

Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Pranešimas apie pamokos temą ir tikslus.

II. Žinių atnaujinimas.

(Su mokiniais prisiminkite geometrinį funkcijos grafiko liestinės apibrėžimą. Pateikite pavyzdžių, rodančių, kad šis teiginys neišsamus.)

Prisiminkite, kas yra tangentas?

"Lilietė yra tiesi linija, turinti vieną bendrą tašką su nurodyta kreive." (2 skaidrė)

Šio apibrėžimo teisingumo aptarimas. (Po diskusijų mokiniai daro išvadą, kad šis apibrėžimas yra neteisingas.) Norėdami iliustruoti jų išvadą, pateikiame tokį pavyzdį.

Apsvarstykite pavyzdį. (3 skaidrė)

Tegu parabolė ir dvi tiesės , kuris turi vieną bendrą tašką M (1; 1) su šia parabole. Vyksta diskusija, kodėl pirmoji eilutė nėra šios parabolės liestinė (1 pav.), o antroji – (2 pav.).

Šioje pamokoje turime išsiaiškinti, kokia yra funkcijos grafiko liestinė taške, kaip parašyti liestinės lygtį?

Apsvarstykite pagrindines liestinės lygties sudarymo užduotis.

Norėdami tai padaryti, prisiminkite bendrąją tiesės lygties formą, lygiagrečių linijų sąlygas, išvestinės apibrėžimą ir diferenciacijos taisykles. (4 skaidrės numeris)

III. Parengiamasis darbas naujos medžiagos studijoms.

1. Suformuluokite išvestinės apibrėžimą. (5 skaidrės numeris)
2. Užpildykite savavališkų elementariųjų funkcijų lentelę. (6 skaidrės numeris)
3. Prisiminkite diferenciacijos taisykles. (7 skaidrės numeris)
4. Kurios iš šių linijų yra lygiagrečios ir kodėl? (Įsitikinkite vizualiai) (8 skaidrė)

IV Naujos medžiagos studijavimas.

Norėdami nustatyti tiesės lygtį plokštumoje, mums pakanka žinoti vieno taško nuolydį ir koordinates.

Tegu pateikiamas funkcijos grafikas. Jame parenkamas taškas, šiame taške nubrėžiama funkcijos grafiko liestinė (manome, kad ji egzistuoja). Raskite liestinės nuolydį.

Padidinkime argumentą ir apsvarstykime grafike (3 pav.) tašką P su abscise . Sekanto MP nuolydis, t.y. kampo tarp sekanto ir x ašies liestinė apskaičiuojama pagal formulę .

Jei dabar linkę į nulį, tai taškas P pradės artėti prie taško M išilgai kreivės. Šioje aproksimacijoje mes apibūdinome liestinę kaip ribinę sekanto padėtį. Taigi natūralu manyti, kad liestinės nuolydis bus apskaičiuojamas pagal formulę .

Vadinasi,.

Jei funkcijos y = f (x) grafikui taške x = a galite nubrėžti liestinę, nelygiagrečią ašiai adresu, tada išreiškia liestinės nuolydį. (10 skaidrės)

Arba kitu būdu. Išvestinė taške x = a lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui y = f(x)Šiuo atveju.

Tai geometrinė išvestinės reikšmė. (11 skaidrė)

Be to, jei:

Išsiaiškinkime bendrą tangentinės lygties formą.

Tegul tiesė pateikiama lygtimi . Mes tai žinome . Norėdami apskaičiuoti m, naudojame faktą, kad linija eina per tašką . Įdėkime jį į lygtį. Gauname , t.y. . Pakeiskite rastas reikšmes k ir mį tiesios linijos lygtį:

yra funkcijos grafiko liestinės lygtis. (12 skaidrės)

Apsvarstykite pavyzdžius:

Padarykime liestinės lygtį:

(14 skaidrės)

Spręsdami šiuos pavyzdžius naudojome labai paprastą algoritmą, kuris yra toks: (Skairė Nr. 15)

Apsvarstykite tipines užduotis ir jų sprendimą.

№1 Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške.

(16 skaidrė)

Sprendimas. Naudokime algoritmą, atsižvelgiant į tai, kad šiame pavyzdyje .

2)

3) ;

4) Rastus skaičius ,, pakeiskite į formulę.

№2 Nubrėžkite funkcijos grafiko liestinę, kad ji būtų lygiagreti tiesei. (17 skaidrės numeris)

Sprendimas. Patobulinkime problemos formuluotę. Reikalavimas „nubrėžti liestinę“ paprastai reiškia „padaryti liestinės lygtį“. Naudokime liestinės piešimo algoritmą, atsižvelgiant į tai, kad šiame pavyzdyje .

Norima liestinė turi būti lygiagreti tiesei. Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų nuolydžiai yra vienodi. Taigi liestinės nuolydis turi būti lygus duotosios tiesės nuolydžiui: .Ne. Vadinasi: ; ., t.y.

V. Problemų sprendimas.

1. Užduočių sprendimas baigtuose brėžiniuose (Skairė Nr. 18 ir Skaidrė Nr. 19)

2. Užduočių sprendimas iš vadovėlio: Nr. 29.3 (a, c), Nr. 29.12 (b, d), Nr. 29.18, Nr. 29.23 (a) (Skairė Nr. 20)

VI. Apibendrinant.

1. Atsakykite į klausimus:

• Kas vadinama funkcijos grafiko liestine taške?
• Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?
• Suformuluoti tangentinės lygties nustatymo algoritmą?

2. Kokie buvo sunkumai pamokoje, kokios pamokos akimirkos jums patiko labiausiai?

3. Žymėjimas.

VII. Komentarai apie namų darbai

Nr. 29.3 (b, d), Nr. 29.12 (a, c), Nr. 29.19, Nr. 29.23 (b) (Skairė Nr. 22)

Literatūra. (23 skaidrė)

1. Algebra ir matematinės analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. mokymo įstaigų mokiniams (pagrindinis lygis) / Redagavo A.G. Mordkovičius. – M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ir matematinės analizės pradžia: Užduočių knyga, 10-11 langelių. mokymo įstaigų mokiniams (pagrindinis lygis) / Redagavo A.G. Mordkovičius. – M.: Mnemosyne, 2009.
3. Algebra ir analizės pradžia. Nepriklausomas ir bandomieji darbai 10-11 klasėms. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010 m.
4. NAUDOJIMAS 2010. Matematika. Užduotis B8. Darbo knyga/ Redaguojant A. L. Semenovui ir I. V. Yashchenko - M .: MTsNMO leidykla, 2010 m.

Atvira algebros pamoka 11 klasėje 19.10. 2011 m

Mokytojas: Gorbunova S.V.

Pamokos tema: Funkcijos grafiko liestinės lygtis.

Pamokos tikslai

1. 
   Patikslinkite sąvoką „liestinė“.
2. 
   Išveskite liestinės lygtį.
3. 
   Parašykite algoritmą funkcijos grafiko liestinės lygties sudarymui

y = f(x)".

1. 
   Pradėkite praktikuoti įgūdžius ir gebėjimus sudaryti liestinės lygtį įvairiose matematinėse situacijose.
2. 
   Formuoti gebėjimą analizuoti, apibendrinti, parodyti, naudoti tyrimo elementus, lavinti matematinę kalbą.

Įranga: kompiuteris, pristatymas, projektorius, interaktyvi lenta, priminimo kortelės, atspindžio kortelės.

Pamokos struktūra:

1. 
   JIS. U.
2. 
   Pamokos temos žinutė
3. 
   Studijuotos medžiagos kartojimas
4. 
   Problemos formulavimas.
5. 
   Naujos medžiagos paaiškinimas.
6. 
   Algoritmo „liestinės lygties sudarymui“ sukūrimas.
7. 
   Istorijos nuoroda.
8. 
   Konsolidavimas. Tangentinės lygties sudarymo įgūdžių ir gebėjimų ugdymas.
9. 
   Namų darbai.
10. 
    Savarankiškas darbas su savikontrole
11. 
    Apibendrinant pamoką.
12. 
    Atspindys

Per užsiėmimus

1. O.N.U.

2. Pamokos temos paskelbimas

Šios dienos pamokos tema „Funkcijos grafiko liestinės lygtis“. Atsiverskite sąsiuvinius, užsirašykite pamokos datą ir temą. (1 skaidrė)

Tegul žodžiai, kuriuos matote ekrane, tampa šios dienos pamokos šūkiu. (2 skaidrė)

• 
  Blogų idėjų nėra
• 
  Mąstykite kūrybiškai
• 
  rizikuoti
• 
  Nekritikuokite

Ruošdamiesi pamokai pakartosime anksčiau išstuduotą medžiagą. Dėmesys ekranui. Užsirašykite sprendimą į užrašų knygelę.

2. Studijuojamos medžiagos kartojimas (3 skaidrė).

Tikslas: patikrinti žinias apie pagrindines diferenciacijos taisykles.

Raskite funkcijos išvestinę:

Kas turi daugiau nei vieną klaidą? Kas turi tokį?

3. Atnaujinkite

Tikslas: Suaktyvinti dėmesį, parodyti žinių apie tangentą trūkumą, suformuluoti pamokos tikslus ir uždavinius. (4 skaidrė)

Aptarkime, kas yra funkcijos grafiko liestinė?

Ar sutinkate su teiginiu, kad „liestinė yra tiesė, turinti vieną bendrą tašką su nurodyta kreive“?
Vyksta diskusija. Vaikų pareiškimai (taip ir kodėl, ne ir kodėl). Diskusijos metu darome išvadą, kad šis teiginys nėra teisingas.

Pažvelkime į konkrečius pavyzdžius:

Pavyzdžiai.(5 skaidrė)
1) Tiesė x = 1 turi vieną bendrą tašką M(1; 1) su parabole y = x 2, bet ji nėra parabolės liestinė.

Tiesė y = 2x – 1, einanti per tą patį tašką, yra duotosios parabolės liestinė.

Tiesė x = π nėra grafiko liestinė y = cos x, nors jis turi vienintelį bendrą tašką K(π; 1). Kita vertus, tiesė y = - 1, einanti per tą patį tašką, yra grafiko liestinė, nors ji turi be galo daug bendrų (π+2 πk; 1) formos taškų, kur k yra sveikas skaičius, kiekviename iš kuri yra susijusi su diagrama.

^ 4. Tikslų ir uždavinių nustatymas vaikams pamokoje: (6 skaidrė)

Pabandykite patys suformuluoti pamokos tikslą.

Išsiaiškinkite, kokia yra funkcijos grafiko liestinė taške, išveskite liestinės lygtį. Taikykite formulę problemos sprendimui
^ 5. Naujos medžiagos mokymasis

Pažiūrėkite, kaip linijos x=1 padėtis skiriasi nuo padėties y=2x-1? (7 skaidrė)

Išvada, kas yra liestinė?

Liestinė yra sekanto ribinė padėtis.

Kadangi liestinė yra tiesi linija ir turime parašyti liestinės lygtį, ką, jūsų manymu, turime atsiminti?

Prisiminkite bendrąją tiesės lygties formą. (y \u003d kx + b)

Koks kitas skaičiaus k pavadinimas? (kampo tarp šios linijos ir teigiamos Ox ašies krypties nuolydis arba liestinė) k \u003d tg α

Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?

Pasvirimo kampo tarp liestinės ir teigiamos x ašies krypties liestinė

Tai yra, aš galiu parašyti tg α = yˈ(x). (8 skaidrė)

Pavaizduokime tai piešiniu. (9 skaidrė)

Tegu duota funkcija y = f (x) ir taškas M, priklausantis šios funkcijos grafikui. Jo koordinates apibrėžkime taip: x=a, y=f(a), t.y. M (a, f (a)) ir tebūnie išvestinė f "(a), t. y. duotame taške išvestinė yra apibrėžta. Nubrėžkite liestinę per tašką M. Lietinės lygtis yra tiesės lygtis , tai atrodo taip: y \u003d kx + b. Todėl užduotis yra rasti k ir b. Atkreipkite dėmesį į lentą, ar iš to, kas ten parašyta, galima rasti k? (taip, k = f " (a).)

Kaip dabar rasti b? Norima tiesė eina per tašką M (a; f (a)), šias koordinates pakeičiame į linijos lygtį: f (a) \u003d ka + b, taigi b \u003d f (a) - ka, nes k \u003d tg α \u003d yˈ(x), tada b = f(a) – f "(a)a

Pakeiskite b ir k reikšmes į lygtį y = kx + b.

y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, išėmę bendrą koeficientą iš skliausto, gauname:

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

Gavome funkcijos y = f(x) grafiko liestinės lygtį taške x = a.

Norėdami užtikrintai išspręsti liestinės problemas, turite aiškiai suprasti kiekvieno šios lygties elemento reikšmę. Dar kartą apsistokime ties tuo: (10 skaidrė)

1. 
   (a, f (a)) – sąlyčio taškas
2. 
   f "(a) \u003d tg α \u003d k nuolydžio kampas arba nuolydis
3. 
   (x, y) – bet kuris liestinės taškas

Taigi mes išvedėme liestinės lygtį, išanalizavome kiekvieno elemento reikšmę šioje lygtyje, dabar pabandykime išvesti algoritmą, kaip sudaryti funkcijos y = f (x) grafiko liestinės lygtį.

6. Algoritmo sudarymas (11 skaidrė).

Siūlau patiems studentams sukurti algoritmą:

1. 
   Sąlyčio taško abscisę žymime raide a.
2. 
   Apskaičiuokime f(a).
3. 
   Raskite f "(x) ir apskaičiuokite f "(a).
4. 
   Rastas skaičių a, f (a), f "(a) reikšmes pakeisime liestinės lygtimi.
5. 
   y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

(Iš anksto atspausdintą algoritmą išplatinu studentams kaip priminimą vėlesniam darbui.)

1. 
   Istorinis fonas (12 skaidrė).

Dėmesys ekranui. Iššifruokite žodį

1	4/3	9	-4	-1	-3	5

Atsakymas: FLUX (13 skaidrė).

Kokia šio vardo atsiradimo istorija? (14.15 skaidrė)

Išvestinės sąvoka atsirado dėl poreikio išspręsti daugybę fizikos, mechanikos ir matematikos problemų. Garbė atrasti pagrindinius matematinės analizės dėsnius priklauso anglų mokslininkui Newtonui ir vokiečių matematikui Leibnicui. Leibnicas svarstė savavališkos kreivės liestinės nubrėžimo problemą.

Žymus fizikas Izaokas Niutonas, gimęs Anglijos Vulstropo kaime, daug prisidėjo prie matematikos. Spręsdamas kreivių liestinių braižymo uždavinius, skaičiuodamas kreivių figūrų plotus, jis sukūrė bendrą tokių uždavinių sprendimo metodą - srauto metodas (vediniai), o vadino pačiu išvestiniu sklandus .

Jis apskaičiavo galios funkcijos išvestinę ir integralą. Apie diferencialinį ir integralinį skaičiavimą jis rašo savo veikale „Slysvių metodas“ (1665 – 1666), kuris buvo vienas iš matematinės analizės, diferencialinio ir integralinio skaičiavimo, kurį mokslininkas sukūrė nepriklausomai nuo Leibnizo, užuomazgų.

Daugelis mokslininkų skirtingi metai domėjosi tangentu. Retkarčiais su liestinės sąvoka buvo susidurta italų matematiko N. Tartaglia (apie 1500 - 1557 m.) darbuose – čia liestinė atsirado nagrinėjant ginklo pasvirimo kampo klausimą, kuris užtikrina didžiausias sviedinio skrydžio duotumas. I. Kepleris, spręsdamas didžiausio gretasienio, įbrėžto į tam tikro spindulio rutulį, tūrio uždavinį, svarstė liestinę.

XVII amžiuje G. Galilėjaus judėjimo teorijos pagrindu buvo aktyviai plėtojama darinio kinematinė samprata. Įvairių pateikimo variantų randasi R. Dekartas, prancūzų matematikas Robervalis, anglų mokslininkas D. Gregory, I. Barrow darbuose.

8. Konsolidavimas (16-18 skaidrė).

1) Sudarykite funkcijos f (x) \u003d x² - 3x + 5 grafiko liestinės lygtį taške su abscisėmis

Sprendimas:

Padarykime liestinės lygtį (pagal algoritmą). Paskambink stipriam mokiniui.

1. 
   a = -1;
2. 
   f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. 
   f "(x) \u003d 2x - 3,
   f "(a) \u003d f "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;
4. 
   y \u003d 9 - 5 (x + 1),

y = 4–5x.

Atsakymas: y = 4 - 5x.

NAUDOJIMO užduotys 2011 B-8

1. Funkcija y \u003d f (x) yra apibrėžta intervale (-3; 4). Paveikslėlyje parodytas jo grafikas ir šio grafiko liestinė taške, kurio abscisė a \u003d 1. Apskaičiuokite išvestinės f "(x) reikšmę taške a \u003d 1.

Sprendimas: norint jį išspręsti, reikia atsiminti, kad jei žinomos bet kurių dviejų taškų A ir B, esančių tam tikroje tiesėje, koordinatės, tada jo nuolydį galima apskaičiuoti pagal formulę: k \u003d, kur (x 1; y 1), (x 2; y 2) yra atitinkamai taškų A, B koordinatės. Grafike matyti, kad ši liestinė eina per taškus, kurių koordinatės (1; -2) ir (3; -1), o tai reiškia k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Funkcija y \u003d f (x) yra apibrėžta intervale (-3; 4). Paveikslėlyje parodytas jo grafikas ir šio grafiko liestinė taške, kurio abscisė a = -2. Apskaičiuokite išvestinės f "(x) reikšmę taške a \u003d -2.

Sprendimas: grafikas eina per taškus (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8. Namų darbai (19 skaidrė).

Pasiruošimas egzaminui B-8 Nr.3 - 10

^ 9. Savarankiškas darbas

Parašykite funkcijos y \u003d f (x) grafiko liestinės lygtį taške su abscise a.
1 variantas 2 variantas

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

atsakymai: 1-as variantas: y=3x; 2 variantas: y \u003d -11x + 12

10. Apibendrinimas.

• 
  Kas vadinama funkcijos grafiko liestine taške?
• 
  Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?
• 
  Suformuluoti algoritmą, kaip rasti liestinės lygtį taške?

11. Atspindys:

Pasirinkite jaustuką, atitinkantį jūsų nuotaiką ir būseną po pamokos. Ačiū už pamoką.