Մենք կարող ենք կատարել թվաբանական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում, օրինակ.
եթե a, b, c և d տառերը նշանակում են թվաբանական ամբողջ թվեր:
Հարց է առաջանում, թե արդյոք այս հավասարությունները չեն մնում վավեր, եթե a, b, c և d նշանակում են. 1) որոշ թվաբանական թվերև 2) ցանկացած հարաբերական թվեր:
Առաջին հերթին, դուք պետք է հաշվի առնեք բարդ կոտորակները, օրինակ.
Այս օրինակներն արդեն բավական են կոտորակների բազմապատկման և բաժանման հետ կապված հավասարումների վավերականությունը ստուգելու համար, երբ a, b, c և d թվերը ցանկացած (ամբողջական կամ կոտորակային) թվաբանություն են։ Նկատի ունեցեք, որ կան միայն 2 հիմնական հավասարումներ, մասնավորապես.
Այժմ մնում է մտածել, թե արդյոք այս հավասարությունները մնում են վավեր, եթե a, b, c և d որոշ թվեր ենթադրվում են բացասական. եթե, օրինակ, a. բացասական թիվ, b, c և d դրական են, ապա կոտորակը բացասական է, իսկ կոտորակը դրական; հետևաբար, օրինակ, վրա բաժանելը պետք է ստացվի բացասական թիվ, բայց մենք տեսնում ենք, որ, ըստ մեր ենթադրության, արտահայտությունը պետք է արտահայտի նաև բացասական թիվ, այսինքն՝ հավասարությունն այս դեպքում ևս արդարացված է։ Հեշտ է նաև դիտարկել այլ ենթադրություններ a, b, c և d նշանների համար: Այս դիտարկման արդյունքը հավատն է հավասարությունների վավերականության նկատմամբ
և այն դեպքի համար, երբ a, b, c և d-ն արտահայտում են հարաբերական թվեր, այսինքն՝ բազմապատկման և բաժանման համար հանրահաշվական կոտորակներգործում են նույն կանոնները, ինչ թվաբանության համար։
Այժմ մենք կարող ենք կատարել հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում։ Այստեղ ամենամեծ դժվարությունը բազմապատկելուց կամ բաժանելուց հետո ստացված կոտորակների կրճատման հարցն է։ Եթե հանրահաշվական կոտորակները միակողմանի են, ապա ստացված արդյունքի կրճատումը դժվարություններ չի առաջացնի, իսկ եթե կոտորակները հանրահաշվական են, ապա անհրաժեշտ է սկզբում ֆակտորիզացնել այս կոտորակներից յուրաքանչյուրի համարիչն ու հայտարարը։
Այս դասում մենք կքննարկենք հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու կանոնները, ինչպես նաև այս կանոնների կիրառման օրինակները: Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումն ու բաժանումը ոչնչով չի տարբերվում սովորական կոտորակների բազմապատկումից և բաժանումից։ Այնուամենայնիվ, փոփոխականների առկայությունը հանգեցնում է ստացված արտահայտությունների պարզեցման մի փոքր ավելի բարդ եղանակների: Չնայած այն հանգամանքին, որ կոտորակները բազմապատկելը և բաժանելը ավելի հեշտ է, քան դրանք գումարելը և հանելը, այս թեմայի ուսումնասիրությանը պետք է շատ պատասխանատու մոտենալ, քանի որ դրանում կան բազմաթիվ «որոգայթներ», որոնց վրա սովորաբար ուշադրություն չեն դարձնում: Դասի շրջանակներում մենք ոչ միայն կուսումնասիրենք կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու կանոնները, այլև կվերլուծենք այն նրբությունները, որոնք կարող են առաջանալ դրանք կիրառելիս:
Թեմա:Հանրահաշվական կոտորակներ. Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների վրա
Դաս.Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում
Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման կանոնները բացարձակապես նման են սովորական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման կանոններին։ Հիշեք դրանք.
Այսինքն՝ կոտորակները բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց համարիչները (սա կլինի արտադրյալի համարիչը), և բազմապատկել դրանց հայտարարները (սա կլինի արտադրյալի հայտարարը)։
Կոտորակի վրա բաժանումը բազմապատկվում է շրջված կոտորակի վրա, այսինքն՝ երկու կոտորակ բաժանելու համար անհրաժեշտ է դրանցից առաջինը (շահաբաժինը) բազմապատկել շրջված երկրորդով (բաժանարարով)։
Չնայած այս կանոնների պարզությանը, շատերը սխալվում են մի շարք հատուկ դեպքերում այս թեմայի օրինակներ լուծելիս: Եկեք ավելի սերտ նայենք այս հատուկ դեպքերին.
Այս բոլոր կանոններում մենք օգտագործել ենք հետևյալ փաստը.
Եկեք լուծենք սովորական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման մի քանի օրինակներ, որպեսզի հիշենք, թե ինչպես օգտագործել նշված կանոնները:
Օրինակ 1
Նշում:Կոտորակները փոքրացնելիս օգտագործեցինք թվի ընդլայնումը դեպի հիմնական գործոնները. Հիշեք դա պարզ թվեր
կոչվում են այդպիսին ամբողջ թվեր, որոնք բաժանվում են միայն ինքնին և ինքնին։ Մնացած թվերը կոչվում են բաղկացուցիչ
. Թիվը ոչ պարզ է, ոչ բաղադրյալ։ Օրինակներ պարզ թվեր: 
.
Օրինակ 2
Այժմ դիտարկենք հատուկ դեպքերից մեկը սովորական կոտորակներ.
Օրինակ 3
Ինչպես տեսնում եք, սովորական կոտորակները բազմապատկելը և բաժանելը, եթե կանոնները ճիշտ կիրառվեն, դժվար չէ։
Դիտարկենք հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումը և բաժանումը:
Օրինակ 4
Օրինակ 5
Նկատի ունեցեք, որ հնարավոր է և նույնիսկ անհրաժեշտ է բազմապատկելուց հետո կոտորակները կրճատել նույն կանոններով, որոնք մենք նախկինում քննարկել ենք հանրահաշվական կոտորակների կրճատման դասերում: Դիտարկենք մի քանիսը պարզ օրինակներհատուկ դեպքերի համար.
Օրինակ 6
Օրինակ 7
Հիմա նայենք ևս մի քանիսին դժվար օրինակներկոտորակների բազմապատկման և բաժանման համար.
Օրինակ 8
Օրինակ 9
Օրինակ 10
Օրինակ 11
Օրինակ 12
Օրինակ 13
Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք այն կոտորակները, որոնցում և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը միանդամներ են: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է բազմապատկել կամ բաժանել այն կոտորակները, որոնց համարիչները և հայտարարները բազմանդամներ են: Այս դեպքում կանոնները մնում են նույնը, իսկ կրճատման համար անհրաժեշտ է օգտագործել կրճատ բազմապատկման և փակագծերի բանաձևերը։
Օրինակ 14
Օրինակ 15
Օրինակ 16
Օրինակ 17
Օրինակ 18
Այս դասում մենք կքննարկենք հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու կանոնները, ինչպես նաև այս կանոնների կիրառման օրինակները: Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումն ու հանումը ոչնչով չի տարբերվում սովորական կոտորակների բազմապատկումից և բաժանումից։ Այնուամենայնիվ, փոփոխականների առկայությունը հանգեցնում է ստացված արտահայտությունների պարզեցման մի փոքր ավելի բարդ եղանակների: Չնայած այն հանգամանքին, որ կոտորակները բազմապատկելը և բաժանելը ավելի հեշտ է, քան դրանք գումարելը և հանելը, այս թեմայի ուսումնասիրությանը պետք է շատ պատասխանատու մոտենալ, քանի որ դրանում կան բազմաթիվ «որոգայթներ», որոնց վրա սովորաբար ուշադրություն չեն դարձնում: Դասի շրջանակներում մենք ոչ միայն կուսումնասիրենք կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու կանոնները, այլև կվերլուծենք այն նրբությունները, որոնք կարող են առաջանալ դրանք կիրառելիս:
Թեմա:Հանրահաշվական կոտորակներ. Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների վրա
Դաս.Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում
1. Սովորական և հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման կանոններ
Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման կանոնները ճիշտ նույնն են, ինչ սովորական կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու կանոնները։ Հիշեք դրանք.
Այսինքն՝ կոտորակները բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց համարիչները (սա կլինի արտադրյալի համարիչը), և բազմապատկել դրանց հայտարարները (սա կլինի արտադրյալի հայտարարը)։
Կոտորակի վրա բաժանումը բազմապատկվում է շրջված կոտորակի վրա, այսինքն՝ երկու կոտորակ բաժանելու համար անհրաժեշտ է դրանցից առաջինը (շահաբաժինը) բազմապատկել շրջված երկրորդով (բաժանարարով)։
2. Կոտորակների բազմապատկման և բաժանման կանոնների կիրառման առանձնահատուկ դեպքեր
Չնայած այս կանոնների պարզությանը, շատերը սխալվում են մի շարք հատուկ դեպքերում այս թեմայի օրինակներ լուծելիս: Եկեք ավելի սերտ նայենք այս հատուկ դեպքերին.
Այս բոլոր կանոններում մենք օգտագործել ենք հետևյալ փաստը.
3. Սովորական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման օրինակներ
Եկեք լուծենք սովորական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման մի քանի օրինակներ, որպեսզի հիշենք, թե ինչպես օգտագործել նշված կանոնները:
Օրինակ 1
Նշում. կոտորակները փոքրացնելիս օգտագործեցինք թվի տարրալուծումը պարզ գործակիցների: Հիշեք դա պարզ թվերբնական թվեր են, որոնք բաժանվում են միայն իր վրա և իր վրա։ Մնացած թվերը կոչվում են բաղկացուցիչ. Թիվը ոչ պարզ է, ոչ բաղադրյալ։ Պարզ թվերի օրինակներ. 
.
Օրինակ 2
Այժմ դիտարկենք սովորական կոտորակներով հատուկ դեպքերից մեկը։
Օրինակ 3
Ինչպես տեսնում եք, սովորական կոտորակները բազմապատկելը և բաժանելը, եթե կանոնները ճիշտ կիրառվեն, դժվար չէ։
4. Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման օրինակներ (պարզ դեպքեր)
Դիտարկենք հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումը և բաժանումը:
Օրինակ 4
Օրինակ 5
Նկատի ունեցեք, որ հնարավոր է և նույնիսկ անհրաժեշտ է բազմապատկելուց հետո կոտորակները կրճատել նույն կանոններով, որոնք մենք նախկինում քննարկել ենք հանրահաշվական կոտորակների կրճատման դասերում: Դիտարկենք մի քանի պարզ օրինակներ հատուկ դեպքերի համար:
Օրինակ 6
Օրինակ 7
Այժմ դիտարկենք կոտորակների բազմապատկման և բաժանման ավելի բարդ օրինակներ:
Օրինակ 8
Օրինակ 9
Օրինակ 10
Օրինակ 11
Օրինակ 12
Օրինակ 13
5. Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման օրինակներ (բարդ դեպքեր)
Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք այն կոտորակները, որոնցում և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը միանդամներ են: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է բազմապատկել կամ բաժանել այն կոտորակները, որոնց համարիչները և հայտարարները բազմանդամներ են: Այս դեպքում կանոնները մնում են նույնը, իսկ կրճատման համար անհրաժեշտ է օգտագործել կրճատ բազմապատկման և փակագծերի բանաձևերը։
Օրինակ 14
Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում
Կրթությունն այն է, ինչ մնում է, երբ սովորածն արդեն մոռացված է:
Լաուե
Նպատակները:
Ուսումնական:
շտկել ZUN-ը թեմայի շուրջ
իրականացնել գիտելիքի առաջնային ընթացիկ վերահսկողություն
աշխատել բացերի վրա
Զարգացող:
նպաստել հաղորդակցական իրավասության զարգացմանը, այսինքն. ուրիշների հետ արդյունավետ աշխատելու ունակություն.
նպաստել կոոպերատիվ իրավասության զարգացմանը, այսինքն. զույգերով աշխատելու ունակություն.
նպաստել խնդիրների լուծման իրավասության զարգացմանը, այսինքն. ցանկացած գործունեության ընթացքում դժվարությունների անխուսափելիությունը հասկանալու ունակություն:
Ուսումնական:
սերմանել ընկերոջ կատարած աշխատանքը համարժեք գնահատելու կարողություն.
զույգերով աշխատելիս՝ զարգացնել փոխօգնության, աջակցության որակներ։
Մեթոդական:
պայմանների ստեղծում անհատականության դրսևորման համար, ճանաչողական գործունեությունուսանողները;
ցույց տալ դասի մեթոդաբանությունը արդյունքների նախագծմամբ ուսումնական գործունեությունև իրավասությունների վրա հիմնված մոտեցման հիման վրա դրանց հետազոտության մեթոդները:
Սարքավորումներ:տախտակ, գունավոր կավիճ: Աղյուսակ «Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում»; քարտեր համար անհատական աշխատանք, հիշողության քարտեր. Ազատ րոպե հանձնարարություն.
Դասերի ժամանակ
Կազմակերպման ժամանակ
Դասի պլանը գրված է գրատախտակին.
Բանավոր մարզում.
Անհատական աշխատանք.
Խնդրի լուծում.
Զույգերով աշխատանք.
Դասի ամփոփում.
Տնային աշխատանք.
Ուսուցիչ: Հին ժամանակներում Ռուսաստանում հավատում էին, որ եթե մարդը տիրապետում է մաթեմատիկայի, ապա դա նշանակում է. ամենաբարձր աստիճանըսովորելը։ Իսկ ճիշտ տեսնելու և լսելու կարողությունն առաջին քայլն է դեպի իմաստություն: Ցանկանում եմ, որ այսօր ձեր դասարանի բոլոր աշակերտները ցույց տան, թե որքան իմաստուն են և որքան լավ են տիրապետում 7-րդ դասարանի հանրահաշիվին:
Այսպիսով, դասի թեման է «Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում» Վերջին դասին դուք սկսեցիք ուսումնասիրել. այս թեման, և մենք քննարկեցինք, թե ինչու ենք այն ուսումնասիրում։ Եկեք հիշենք, թե որտեղ է այն օգտակար մի քանի դասերի ընթացքում:
Ուսանողները: Համար համատեղ գործողությունհանրահաշվական կոտորակներով, հավասարումների և հետևաբար խնդիրների լուծման համար։
Ուսուցիչ: Նույնիսկ հին ժամանակներում Ռուսաստանում ասում էին, որ բազմապատկումը տանջանք է, իսկ բաժանումը` փորձանք: Ամեն ոք, ով կարող էր արագ և ճշգրիտ բազմապատկել և բաժանել, համարվում էր մեծ մաթեմատիկոս:
Ի՞նչ նպատակներ կդնեք ձեզ համար:
Ուսանողները: Շարունակեք ուսումնասիրել թեման, սովորեք արագ և ճշգրիտ բազմապատկել և բաժանել:
Ուսուցիչ: Մեր նպատակներին հասնելու համար մենք (բացում ենք գրատախտակին գրված պլանը, արտասանում այն)
1. Բերանի տաքացում. (այս ընթացքում 3-4 հոգի լուծում են կոտորակները զույգերով կրճատելու սիմուլյատորը) ֆակտորիզացնել՝ լրացնելով բացերը։
1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...
կրճատել կոտորակը
Կոտորակները, կոտորակները, կոտորակները ծեծում են, դրանք չեն խնայում:
գտե՛ք հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելիս և բաժանելիս թույլ տրված սխալը
Ուսուցիչ: Որտեղ է սխալը: Ինչու՞ է տեղի ունենում սխալը: Ո՞ր կանոնը չգիտեր ուսանողը: Ի՞նչ գիտեիր։ Ինչպե՞ս դա անել ճիշտ:
2. Աշխատանք տետրում, № 488 դասագրքից (1) Վերլուծություն, լուծում, ստուգում.
Ուսուցիչ: Եվ հիմա դուք հնարավորություն կունենաք ցույց տալ ձեր գիտելիքները թեստը հանձնելիս, և որպեսզի ձեզ ոգեշնչեմ աշխատելու, ես կկարդամ «Որ ուսուցիչը գրի» 5 «ձեր օրագրում, հասցրեք համարիչը բազմապատկել ոտանավորը. համարիչը մի ակնթարթում, և որպեսզի ուսուցիչը գոհ լինի ձեզնից, դուք առաջին հայտարարը բազմապատկեք երկրորդով»:
Ինքնստուգում, փոխադարձ ստուգում։ Չափանիշներով (գրատախտակին փակցված) B-1 (321), B-2 (132) ըստ ճիշտ ծածկագրերի, գնահատում զույգերով. նախնական արդյունքը. Գնահատականներ.
Աշխատեք սխալների վրա զույգերով «աշակերտ-ուսուցիչ»
Եթե զույգերով սխալներ չկան, առաջադրանքը կատարում են ազատ րոպեի ընթացքում։
Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և գտե՛ք դրա արժեքը, երբ
5. Դասի ամփոփում
Դասի ավարտին ես կցանկանայի հարցնել ձեզ, թե աշխատանքի ո՞ր տեսակներն են ձեզ դժվարություններ առաջացրել: Ինչո՞ւ եք կարծում։ Ի՞նչ նոր սովորեցիք: Ձեզանից ո՞վ է գոհ դասարանում ձեր աշխատանքից: Ի՞նչ եք կարծում, դասի սկզբում դրված նպատակները ձեռք բերվե՞լ են:
Ուսուցիչ. Կցանկանայի դասն ավարտել ֆրանսիացի ինժեներ-ֆիզիկոս Լաուի խոսքերով. «Կրթությունն այն է, ինչ մնում է, երբ սովորածն արդեն մոռացված է»:
Հուսով եմ, որ դուք չեք մոռանա այս նյութը, որպեսզի դա տեղի չունենա, դուք պետք է լրացնեք d / z No 486,487,488 նույնիսկ:
Տեսադաս «Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում. Հանրահաշվական կոտորակի բարձրացում մինչև հզորության «- օգնությունմաթեմատիկայի դաս անցկացնել տվյալ թեմայով. Տեսադասի միջոցով ուսուցչի համար ավելի հեշտ է ձևավորել աշակերտների հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու ունակությունը: Տեսողական օգնությունը պարունակում է օրինակների մանրամասն, հասկանալի նկարագրություն, որոնցում կատարվում են բազմապատկման և բաժանման գործողությունները: Նյութը կարող է ցուցադրվել ուսուցչի բացատրության ժամանակ կամ դառնալ դասի առանձին մաս։
Հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու առաջադրանքները լուծելու կարողություն ձևավորելու համար լուծման նկարագրության ժամանակ տրվում են կարևոր մեկնաբանություններ, անգիր և խորը հասկացողություն պահանջող պահերը ընդգծվում են գույնի, թավ տիպի և ցուցիչների միջոցով: Տեսադասի օգնությամբ ուսուցիչը կարող է բարձրացնել դասի արդյունավետությունը։ Այս տեսողական օգնությունը կօգնի ձեզ արագ և արդյունավետ կերպով հասնել ձեր ուսումնական նպատակներին:
Տեսադասընթացը սկսվում է թեմայի ներկայացմամբ։ Դրանից հետո նշվում է, որ հանրահաշվական կոտորակներով բազմապատկման և բաժանման գործողությունները կատարվում են այնպես, ինչպես սովորական կոտորակներով գործողությունները։ Էկրանի վրա ցուցադրվում են կոտորակների բազմապատկման, բաժանման և հզորացման կանոնները: Կոտորակների բազմապատկումը ցուցադրվում է բառացի պարամետրերի միջոցով: Նշվում է, որ կոտորակները բազմապատկելիս բազմապատկվում են համարիչները, ինչպես նաև հայտարարները։ Այսպես ստացվում է a/b c/d=ac/bd կոտորակը։ Կոտորակների բաժանումը ցուցադրվում է՝ օգտագործելով a/b:c/d արտահայտությունը որպես օրինակ։ Նշվում է, որ բաժանման գործողությունը կատարելու համար անհրաժեշտ է համարիչի մեջ գրել դիվիդենտի համարիչի և բաժանարարի հայտարարի արտադրյալը։ Քաղորդի հայտարարը շահաբաժնի հայտարարի և բաժանարարի համարիչի արտադրյալն է: Այսպիսով, բաժանման գործողությունը վերածվում է շահաբաժնի կոտորակի և բաժանարարի փոխադարձ կոտորակի բազմապատկման գործողության։ Կոտորակի հզորության բարձրացումը համարժեք է կոտորակի, որի համարիչն ու հայտարարը բարձրացվում են նշանակված հզորության:
Հետևյալը լուծման օրինակ է. Օրինակ 1-ում դուք պետք է կատարեք գործողությունները (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x: Այս օրինակը լուծելու համար արտադրյալում ներառված երկրորդ կոտորակի համարիչը տարրալուծվում է գործակիցների։ Օգտագործելով կրճատ բազմապատկման բանաձևերը, կատարվում է փոխակերպում x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y): Այնուհետև բազմապատկվում են կոտորակների համարիչները և հայտարարները։ Գործողությունները կատարելուց հետո պարզ է, որ համարիչում և հայտարարում կան գործոններ, որոնք կարելի է կրճատել՝ օգտագործելով կոտորակի հիմնական հատկությունը։ Փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է կոտորակ (x + y) 2 / 2x։ Այն նաև դիտարկում է 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 գործողությունների կատարումը: Բոլոր համարիչները և հայտարարները հաշվի են առնվում ֆակտորիզացիայի, ընդհանուր գործակիցների տեղաբաշխման հնարավորության համար: Այնուհետև համարիչները և հայտարարները բազմապատկվում են: Բազմապատկելուց հետո կատարվում են կրճատումներ։ Փոխակերպման արդյունքը 2(a-b)/7a կոտորակն է։
Դիտարկվում է օրինակ, որում անհրաժեշտ է կատարել գործողությունները (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2: Արտահայտությունը լուծելու համար առաջարկվում է փոխարկել առաջին կոտորակի համարիչը՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1): Կոտորակների բաժանման կանոնի համաձայն՝ առաջին կոտորակը բազմապատկվում է երկրորդի փոխադարձով։ Համարիչները և հայտարարները բազմապատկելուց հետո ստացվում է մի կոտորակ, որը պարունակում է նույն գործակիցները համարիչում և հայտարարում: Նրանք փոքրանում են։ Ստացվում է կոտորակ (x-1) 2y: Այստեղ նկարագրված է նաև օրինակի լուծումը (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2): Նախորդ օրինակի նման, համարիչը փոխարկելու համար օգտագործվում է կրճատված բազմապատկման բանաձևը: Փոխարկվում է նաև կոտորակի հայտարարը. Այնուհետև առաջին կոտորակը բազմապատկվում է երկրորդ կոտորակի փոխադարձով: Բազմապատկելուց հետո կատարվում են փոխակերպումներ, համարիչի և հայտարարի կրճատումներ ընդհանուր գործակիցներով։ Արդյունքը կոտորակ է - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3): Աշակերտների ուշադրությունը հրավիրվում է այն բանի վրա, թե ինչպես են փոխվում համարիչի և հայտարարի նշանները բազմապատկման ժամանակ։
Երրորդ օրինակում անհրաժեշտ է գործողություններ կատարել կոտորակների հետ ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2: Այս օրինակը լուծելիս կիրառվում է կոտորակի աստիճանի բարձրացման կանոնը։ Թե՛ առաջին, թե՛ երկրորդ կոտորակները բարձրացվում են հզորության: Դրանք փոխակերպվում են համարիչն ու հայտարարը մեծացնելու միջոցով։ Բացի այդ, կոտորակների հայտարարները փոխարկելու համար օգտագործվում է կրճատված բազմապատկման բանաձևը՝ ընդգծելով ընդհանուր գործակիցը։ Առաջին կոտորակը երկրորդի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակը բազմապատկել երկրորդի փոխադարձությամբ: Համարիչն ու հայտարարը կազմում են արտահայտություններ, որոնք կարող են կրճատվել: Փոխարկումից հետո ստացվում է կոտորակ (x-2) / 27x 3 (x + 2):
Տեսադաս «Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում. Հանրահաշվական կոտորակի բարձրացումը ուժի »օգտագործվում է մաթեմատիկայի ավանդական դասի արդյունավետությունը բարձրացնելու համար: Նյութը կարող է օգտակար լինել հեռավար ուսուցում իրականացնող ուսուցչի համար: Օրինակների լուծման մանրամասն հստակ նկարագրությունը կօգնի ուսանողներին, ովքեր ինքնուրույն տիրապետում են թեմային կամ պահանջում են լրացուցիչ դասեր:
