Լանջինովա Աիսա

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք Google հաշիվ (հաշիվ) և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com

Սլայդների ենթագրեր.

Թվերի GCD-ի և LCM-ի առաջադրանքները MKOU «Կամիշովսկայա ՕՕՇ» 6-րդ դասարանի աշակերտի աշխատանքը Լանցինովա Աիսա Վերահսկիչ Գորյաևա Զոյա Էրդնիգորյաևնա, մաթեմատիկայի ուսուցիչ էջ. Կամիշովո, 2013 թ

50, 75 և 325 թվերի GCD-ն գտնելու օրինակ։ 1) 50, 75 և 325 թվերը տարրալուծենք պարզ գործակիցների։ 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 բաժանել առանց մնացորդի a և b թվերը կոչվում են այս թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

72, 99 և 117 թվերի LCM-ն գտնելու օրինակ։ 1) Եկեք գործոնացնենք 72, 99 և 117 թվերը։ Դուրս գրեք 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները։ ∙ 3 և դրանց ավելացրու մնացած թվերի բացակայող գործակիցները: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Գտեք ստացված գործակիցների արտադրյալը: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Պատասխան. LCM (72, 99 և 117) = 10296 a և b բնական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կոչվում է ամենափոքր բնական թիվը, որը բազմապատիկ է։ ա և բ.

Ստվարաթղթե թերթիկը ունի ուղղանկյունի ձև, որի երկարությունը 48 սմ է, լայնությունը՝ 40 սմ, այս թերթիկը պետք է առանց թափոնների կտրատել հավասար քառակուսիների։ Որո՞նք են ամենամեծ քառակուսիները, որոնք կարելի է ստանալ այս թերթիկից և քանի՞սը: Լուծում. 1) S = a ∙ b-ն ուղղանկյան մակերեսն է: S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 սմ²: ստվարաթղթի տարածքն է: 2) ա - քառակուսու կողմը 48. ա - քառակուսիների քանակը, որոնք կարելի է դնել ստվարաթղթի երկարությամբ: 40. ա - քառակուսիների քանակը, որոնք կարելի է դնել ստվարաթղթի լայնությամբ: 3) GCD (40 և 48) \u003d 8 (սմ) - քառակուսի կողմը: 4) S \u003d a² - մեկ քառակուսու տարածք: S \u003d 8² \u003d 64 (սմ²) - մեկ քառակուսու մակերեսը: 5) 1960 թ.՝ 64 = 30 (քառակուսիների թիվը)։ Պատասխան՝ 30 քառակուսի` յուրաքանչյուրը 8 սմ կողմով: Առաջադրանքներ GCD-ի համար

Սենյակի բուխարիը պետք է դրված լինի քառակուսի ձևի ավարտական ​​սալիկներով: Քանի սալիկ կպահանջվի 195 ͯ 156 սմ բուխարիի համար և որոնք են ամենամեծ չափերըսալիկներ? Լուծում. 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (սմ ²) - բուխարի մակերեսի S. 2) GCD (195 և 156) = 39 (սմ) - սալիկի կողմը: 3) S = a² = 39² = 1521 (սմ²) - 1 սալիկի տարածք: 4) 30420: = 20 (հատ). Պատասխան՝ 39 ͯ 39 (սմ) 20 սալիկ։ Առաջադրանքներ GCD-ի համար

Պարագծի շուրջ 54 ͯ 48 մ չափերով այգու հողամասը պետք է պարսպապատված լինի, դրա համար կանոնավոր ընդմիջումներով պետք է տեղադրվեն բետոնե սյուներ: Քանի՞ ձող պետք է բերվի տեղանքի համար, և ի՞նչ առավելագույն հեռավորության վրա կկանգնեն սյուները միմյանցից: Լուծում` 1) P = 2(a + b) – տեղամասի պարագիծ: P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 մ. 2) GCD (54 և 48) \u003d 6 (մ) - սյուների միջև հեռավորությունը: 3) 204: 6 = 34 (սյուներ): Պատասխան՝ 34 սյուն, 6 մ հեռավորության վրա Առաջադրանքներ GCD-ի համար

210 բորդոյից հավաքվել է 126 սպիտակ, 294 կարմիր վարդ, ծաղկեփնջեր, և յուրաքանչյուր ծաղկեփնջում նույն գույնի վարդերի թիվը հավասար է։ Ո՞րն է այս վարդերից պատրաստված ծաղկեփնջերի ամենամեծ քանակը և քանի՞ գույնի վարդ կա մեկ ծաղկեփնջում: Լուծում. 1) GCD (210, 126 և 294) = 42 (ծաղկեփնջեր): 2) 210: 42 = 5 (բորդո վարդեր): 3) 126: 42 = 3 (սպիտակ վարդեր): 4) 294: 42 = 7 (կարմիր վարդեր): Պատասխան՝ 42 ծաղկեփունջ՝ 5 բորդո, 3 սպիտակ, 7 կարմիր վարդեր յուրաքանչյուր ծաղկեփնջում։ Առաջադրանքներ GCD-ի համար

Տանյան և Մաշան գնել են նույն թվով փոստարկղեր։ Տանյան վճարել է 90 ռուբլի, իսկ Մաշան՝ 5 ռուբլի։ ավելին։ Որքա՞ն արժե մեկ հավաքածուն: Քանի՞ հավաքածու է գնել յուրաքանչյուրը: Լուծում. 1) Մաշան վճարել է 90 + 5 = 95 (ռուբլի): 2) GCD (90 և 95) = 5 (ռուբլի) - 1 հավաքածուի գինը: 3) 980: 5 = 18 (կոմպլեկտներ) - գնել է Տանյա: 4) 95: 5 = 19 (կոմպլեկտներ) - Մաշան գնեց: Պատասխան՝ 5 ռուբլի, 18 կոմպլեկտ, 19 կոմպլեկտ: Առաջադրանքներ GCD-ի համար

Նավահանգստային քաղաքում մեկնարկում են երեք տուրիստական ​​նավով շրջագայություններ, որոնցից առաջինը տեւում է 15 օր, երկրորդը՝ 20, երրորդը՝ 12 օր։ Վերադառնալով նավահանգիստ՝ նավերը նույն օրը կրկին մեկնում են նավարկության։ Այսօր բոլոր երեք երթուղիներով նավահանգիստը լքել են մոտորանավերը։ Քանի՞ օրից նրանք առաջին անգամ միասին նավարկելու են։ Քանի՞ ուղևորություն կկատարի յուրաքանչյուր նավ: Լուծում` 1) ՀԱՕԿ (15.20 և 12) = 60 (օր) - հանդիպման ժամը: 2) 60: 15 = 4 (ճանապարհորդություն) - 1 նավ: 3) 60: 20 = 3 (ճանապարհորդություն) - 2 մոտորանավ: 4) 60: 12 = 5 (ճանապարհորդություն) - 3 մոտորանավ: Պատասխան՝ 60 օր, 4 չվերթ, 3 չվերթ, 5 չվերթ։ Առաջադրանքներ ՀԱՕԿ-ի համար

Մաշան Արջի համար ձու է գնել խանութից։ Անտառ գնալու ճանապարհին նա հասկացավ, որ ձվերի թիվը բաժանվում է 2,3,5,10 և 15-ի: Քանի՞ ձու է գնել Մաշան: Լուծում` LCM (2;3;5;10;15) = 30 (ձու) Պատասխան` Մաշան գնել է 30 ձու: Առաջադրանքներ ՀԱՕԿ-ի համար

Պահանջվում է քառակուսի հատակով տուփ պատրաստել 16 ͯ 20 սմ չափսերով արկղերը իրար վրա դնելու համար: Ո՞ր կողմը պետք է լինի քառակուսի հատակի ամենակարճ կողմը, որպեսզի տուփերը սերտորեն տեղավորվեն տուփի մեջ: Լուծում` 1) NOC (16 և 20) = 80 (արկղեր): 2) S = a ∙ b-ը 1 տուփի մակերեսն է: S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (սմ ²) - 1 տուփի ներքևի տարածքը: 3) 320 ∙ 80 = 25600 (սմ ²) - ներքևի քառակուսի տարածք: 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - տուփի չափերը: Պատասխան՝ 160 սմ քառակուսի հատակի կողմն է։ Առաջադրանքներ ՀԱՕԿ-ի համար

K կետից ճանապարհի երկայնքով ամեն 45 մ-ն էլեկտրասյուներ են, որոշվել է փոխարինել սյուները մյուսներով՝ տեղադրելով միմյանցից 60 մ հեռավորության վրա։ Քանի՞ ձող կար և քանի՞սն են կանգնելու: Լուծում` 1) NOK (45 և 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - կային սյուներ: 3) 180: 60 = 3 - կային սյուներ: Պատասխան՝ 4 սյուն, 3 սյուն։ Առաջադրանքներ ՀԱՕԿ-ի համար

Քանի՞ զինվոր է երթով անցնում շքերթի հրապարակով, եթե նրանք երթում են 12 հոգանոց շարասյունով և վերածվում շարասյան 18 հոգանոց շարասյունի։ Լուծում` 1) ԱՕԿ (12 և 18) = 36 (մարդ) - երթ. Պատասխան՝ 36 հոգի։ Առաջադրանքներ ՀԱՕԿ-ի համար

Բայց շատ բնական թվեր հավասարապես բաժանվում են այլ բնական թվերի։

Օրինակ:

12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;

36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։

Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է (12-ի համար դա 1, 2, 3, 4, 6 և 12 է) կոչվում են. թվերի բաժանարարներ. Բնական թվի բաժանարար ատրված թիվը բաժանող բնական թիվն է աառանց հետքի. Այն բնական թիվը, որն ունի ավելի քան երկու գործակից, կոչվում է կոմպոզիտային .

Նշենք, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր բաժանարարներ։ Սրանք թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։ Այս երկու թվերի ընդհանուր բաժանարարը։ աև բայն թիվն է, որով երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աև բ.

ընդհանուր բազմապատիկմի քանի թվեր կոչվում են այն թիվը, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա: Օրինակ, 9, 18 և 45 թվերն ունեն 180-ի ընդհանուր բազմապատիկ: Բայց 90-ը և 360-ը նաև նրանց ընդհանուր բազմապատիկն են: Բոլոր jcommon բազմապատիկներից միշտ կա ամենափոքրը, այս դեպքում այն ​​90 է: Այս թիվը կոչվում է. առնվազնընդհանուր բազմապատիկ (LCM).

LCM-ը միշտ բնական թիվ է, որը պետք է մեծ լինի այն թվերից, որոնց համար այն սահմանված է:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): Հատկություններ.

Փոխատեղելիություն:

Ասոցիատիվություն:

Մասնավորապես, եթե և են համապարփակ թվեր, ապա.

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը մև nբոլոր մյուս ընդհանուր բազմապատիկների բաժանարարն է մև n. Ընդ որում՝ ընդհանուր բազմապատիկների բազմությունը մ, նհամընկնում է LCM-ի բազմապատիկների բազմության հետ ( մ, ն).

Համար ասիմպտոտիկները կարող են արտահայտվել որոշ թվային-տեսական ֆունկցիաներով:

Այսպիսով, Չեբիշևի գործառույթը. Ինչպես նաեւ:

Սա բխում է Landau ֆունկցիայի սահմանումից և հատկություններից g(n).

Ինչ է բխում պարզ թվերի բաշխման օրենքից.

Գտնելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

ԱՕԿ ( ա, բ) կարելի է հաշվարկել մի քանի եղանակով.

1. Եթե հայտնի է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, կարող եք օգտագործել դրա հարաբերությունը LCM-ի հետ.

2. Թող հայտնի լինի երկու թվերի կանոնական տարրալուծումը պարզ գործոնների.

որտեղ p 1,...,p k- բազմազան պարզ թվեր, ա դ 1,...,դկև e 1,...,ekոչ բացասական ամբողջ թվեր են (դրանք կարող են զրո լինել, եթե համապատասխան պարզը տարրալուծման մեջ չէ):

Այնուհետև LCM ( ա,բ) հաշվարկվում է բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, LCM ընդլայնումը պարունակում է բոլոր պարզ գործոնները, որոնք ներառված են թվերի ընդլայնումներից առնվազն մեկում ա, բ, և վերցված է այս գործոնի երկու ցուցիչներից ամենամեծը:

Օրինակ:

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի հաշվարկը կարող է կրճատվել երկու թվերի LCM-ի մի քանի հաջորդական հաշվարկների.

Կանոն.Մի շարք թվերի LCM-ն գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

- թվերը տարրալուծել պարզ գործոնների.

- ամենամեծ ընդլայնումը փոխանցել ցանկալի արտադրյալի գործակիցներին (տրվածների ամենամեծ թվի գործակիցների արտադրյալը), այնուհետև ավելացնել գործակիցներ առաջին թվի մեջ չառաջացած կամ դրանում գտնվող այլ թվերի ընդլայնումից. ավելի փոքր քանակությամբ անգամ;

- պարզ գործոնների արդյունքը կլինի LCM տրված թվեր.

Ցանկացած երկու կամ ավելի բնական թվեր ունեն իրենց LCM-ն: Եթե ​​թվերը միմյանց բազմապատիկ չեն կամ չունեն ընդլայնման նույն գործակիցները, ապա դրանց LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին։

28 թվի պարզ գործակիցները (2, 2, 7) լրացվել են 3 գործակցով (թիվ 21), ստացված արտադրյալը (84) կլինի ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է 21-ի և 28-ի։

Ամենամեծ 30 թվի պարզ գործակիցները լրացվել են 25 թվի 5 գործակցով, ստացված 150 արտադրյալը մեծ է 30 ամենամեծ թվից և բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։ Սա ամենափոքր հնարավոր արտադրյալն է (150, 250, 300...), որի բոլոր տրված թվերը բազմապատիկ են։

2,3,11,37 թվերը պարզ են, ուստի դրանց LCM-ն հավասար է տրված թվերի արտադրյալին։

կանոն. Պարզ թվերի LCM-ը հաշվարկելու համար հարկավոր է այս բոլոր թվերը միասին բազմապատկել:

Մեկ այլ տարբերակ.

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1) յուրաքանչյուր թիվ ներկայացնել որպես իր պարզ գործակիցների արտադրյալ, օրինակ.

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) գրեք բոլոր պարզ գործոնների հզորությունները.

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) գրեք այս թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր պարզ բաժանարարները (բազմապատկիչները).

4) ընտրել դրանցից յուրաքանչյուրի ամենամեծ աստիճանը, որը գտնվել է այս թվերի բոլոր ընդլայնումների մեջ.

5) բազմապատկել այս ուժերը.

Օրինակ. Գտեք 168, 180 և 3024 թվերի LCM:

Լուծում. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1:

Մենք գրում ենք բոլոր պարզ բաժանարարների ամենամեծ հզորությունները և բազմապատկում դրանք.

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120:

Աշակերտներին տրվում են մաթեմատիկայի բազմաթիվ առաջադրանքներ: Դրանցից շատ հաճախ առաջադրանքներ են լինում հետևյալ ձևակերպմամբ՝ երկու արժեք կա. Ինչպե՞ս գտնել տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Պետք է կարողանալ նման առաջադրանքներ կատարել, քանի որ ձեռք բերված հմտություններն օգտագործվում են կոտորակների հետ աշխատելու համար, երբ. տարբեր հայտարարներ. Հոդվածում մենք կվերլուծենք, թե ինչպես գտնել LCM-ն և հիմնական հասկացությունները:

Նախքան այն հարցի պատասխանը գտնելը, թե ինչպես գտնել LCM-ը, պետք է սահմանել բազմակի տերմինը. Ամենից հաճախ այս հայեցակարգի ձևակերպումը հետևյալն է. A որոշ արժեքի բազմապատիկը բնական թիվ է, որը բաժանվում է A-ի առանց մնացորդի: Այսպիսով, 4-ի, 8-ի, 12-ի, 16-ի, 20-ի և այլնի համար մինչև պահանջվող սահմանը.

Այս դեպքում որոշակի արժեքի համար բաժանարարների թիվը կարող է սահմանափակվել, և կան անսահման շատ բազմապատիկներ: Նույն արժեքը կա նաև բնական արժեքների համար։ Սա ցուցիչ է, որը նրանցով բաժանվում է առանց մնացորդի։ Անդրադառնալով որոշակի ցուցանիշների ամենափոքր արժեքի հայեցակարգին, եկեք անցնենք, թե ինչպես գտնել այն:

Գտնելով ՀԱՕԿ-ը

Երկու կամ ավելի ցուցիչների ամենափոքր բազմապատիկը ամենափոքրն է բնական թիվ, որը լիովին բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա։

Նման արժեք գտնելու մի քանի եղանակ կա:Դիտարկենք հետևյալ մեթոդները.

1. Եթե ​​թվերը փոքր են, ապա տողում գրի՛ր բոլորը, որոնք բաժանվում են դրա վրա։ Շարունակեք դա անել այնքան ժամանակ, մինչև նրանց միջև ընդհանուր բան գտնեք: Գրառման մեջ դրանք նշվում են K տառով, օրինակ՝ 4-ի և 3-ի համար ամենափոքր բազմապատիկը 12-ն է։
2. Եթե ​​դրանք մեծ են կամ դուք պետք է բազմապատիկ գտնեք 3 կամ ավելի արժեքների համար, ապա այստեղ դուք պետք է օգտագործեք այլ տեխնիկա, որը ներառում է թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների: Նախ դրեք նշվածներից ամենամեծը, այնուհետև մնացածը: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի բազմապատկիչների իր թիվը: Որպես օրինակ՝ քայքայենք 20 (2*2*5) և 50 (5*5*2): Դրանցից փոքրերի համար ընդգծեք գործոնները և ավելացրեք ամենամեծը: Արդյունքը կլինի 100, որը կլինի վերը նշված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։
3. 3 թվեր (16, 24 և 36) գտնելիս սկզբունքները նույնն են, ինչ մյուս երկուսի համար։ Ընդլայնենք դրանցից յուրաքանչյուրը՝ 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3։ 16 թվի տարրալուծումից միայն երկու դյուզ չի ներառվել ամենամեծի ընդլայնման մեջ, մենք դրանք գումարում ենք և ստանում 144, որը ամենափոքր արդյունքն է նախկինում նշված թվային արժեքների համար։

Այժմ մենք գիտենք, թե որն է երկու, երեք կամ ավելի արժեքների համար ամենափոքր արժեքը գտնելու ընդհանուր տեխնիկան: Այնուամենայնիվ, կան նաև մասնավոր մեթոդներ, օգնում է ԱՕԿ-ների որոնմանը, եթե նախորդները չեն օգնում։

Ինչպես գտնել GCD-ն և NOC-ը:

Գտնելու մասնավոր ուղիներ

Ինչպես ցանկացած մաթեմատիկական բաժնում, կան LCM-ներ գտնելու հատուկ դեպքեր, որոնք օգնում են կոնկրետ իրավիճակներում.

• եթե թվերից մեկը բաժանվում է մյուսների վրա առանց մնացորդի, ապա այդ թվերի ամենացածր բազմապատիկը հավասար է դրան (NOC 60 և 15-ը հավասար է 15-ի).
• Համապարփակ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ բաժանարարներ: Նրանց ամենափոքր արժեքը հավասար է այս թվերի արտադրյալին։ Այսպիսով, 7 և 8 թվերի համար սա կլինի 56;
• Նույն կանոնը գործում է այլ, այդ թվում՝ հատուկ դեպքերի դեպքում, որոնց մասին կարելի է կարդալ մասնագիտացված գրականության մեջ։ Սա պետք է ներառի նաև կոմպոզիտային թվերի տարրալուծման դեպքերը, որոնք առանձին հոդվածների և նույնիսկ թեկնածուական ատենախոսությունների թեմա են:

Հատուկ դեպքերը ավելի քիչ են տարածված, քան ստանդարտ օրինակները: Բայց նրանց շնորհիվ դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես աշխատել տարբեր աստիճանի բարդության ֆրակցիաների հետ: Սա հատկապես ճիշտ է կոտորակների համար:, որտեղ կան տարբեր հայտարարներ։

Որոշ օրինակներ

Դիտարկենք մի քանի օրինակ, որոնց շնորհիվ կարող եք հասկանալ ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու սկզբունքը.

1. Մենք գտնում ենք LCM (35; 40): Մենք նախ դնում ենք 35 = 5 * 7, ապա 40 = 5 * 8: Ամենափոքր թվին գումարում ենք 8 և ստանում NOC 280:
2. ՀԱՕԿ (45; 54). Մենք դնում ենք դրանցից յուրաքանչյուրը ՝ 45 = 3 * 3 * 5 և 54 = 3 * 3 * 6: 6 թիվը գումարում ենք 45-ին, ստանում ենք 270-ի ՀԱՕԿ-ը։
3. Դե, վերջին օրինակը. Կան 5 և 4: Նրանց համար պարզ բազմապատիկ չկա, ուստի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը այս դեպքում կլինի նրանց արտադրյալը՝ հավասար 20-ի:

Օրինակների շնորհիվ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես է գտնվում ՀԱՕԿ-ը, որո՞նք են նրբերանգները և որն է նման մանիպուլյացիաների իմաստը։

ՀԱՕԿ-ը գտնելը շատ ավելի հեշտ է, քան կարող է թվալ սկզբում: Դրա համար օգտագործվում են ինչպես պարզ ընդլայնում, այնպես էլ պարզ արժեքների բազմապատկում միմյանց նկատմամբ:. Մաթեմատիկայի այս բաժնի հետ աշխատելու ունակությունն օգնում է հետագա ուսումնասիրությանը մաթեմատիկական թեմաներ, հատկապես տարբեր աստիճանի բարդության ֆրակցիաներ։

Մի մոռացեք պարբերաբար օրինակներ լուծել տարբեր մեթոդներով, սա զարգացնում է տրամաբանական ապարատը և թույլ է տալիս հիշել բազմաթիվ տերմիններ: Սովորեք նման ցուցանիշ գտնելու մեթոդներ և կկարողանաք լավ աշխատել մնացած մաթեմատիկական բաժինների հետ: Հաճելի մաթեմատիկա սովորելը:

Տեսանյութ

Այս տեսանյութը կօգնի ձեզ հասկանալ և հիշել, թե ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Մաթեմատիկական արտահայտություններն ու առաջադրանքները պահանջում են շատ լրացուցիչ գիտելիքներ: ՀԱՕԿ-ը գլխավորներից է, որը հատկապես հաճախ է օգտագործվում թեմայում, թեման ուսումնասիրվում է ավագ դպրոցում, մինչդեռ նյութը հասկանալն առանձնապես դժվար չէ, ուժերին և բազմապատկման աղյուսակին ծանոթ մարդու համար դժվար չի լինի ընտրել. անհրաժեշտ թվերը և գտնել արդյունքը:

Սահմանում

Ընդհանուր բազմապատիկ այն թիվն է, որը կարելի է ամբողջությամբ բաժանել միաժամանակ երկու թվի (a և b): Ամենից հաճախ այս թիվը ստացվում է a և b սկզբնական թվերը բազմապատկելով: Թիվը պետք է բաժանվի երկու թվերի միանգամից՝ առանց շեղումների։

NOC-ը կարճ անուն է, որը վերցված է առաջին տառերից։

Թիվ ստանալու ուղիներ

LCM-ն գտնելու համար թվերի բազմապատկման մեթոդը միշտ չէ, որ հարմար է, այն շատ ավելի հարմար է պարզ միանիշ կամ երկնիշ թվերի համար: Ընդունված է բաժանել գործոնների, որքան մեծ լինի այդ թիվը, այնքան շատ գործոններ կլինեն։

Օրինակ #1

Ամենապարզ օրինակի համար դպրոցները սովորաբար ընդունում են պարզ, միանիշ կամ երկնիշ թվեր: Օրինակ՝ պետք է լուծել հետևյալ առաջադրանքը, գտնել 7 և 3 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, լուծումը բավականին պարզ է, պարզապես բազմապատկեք դրանք։ Արդյունքում կա 21 թիվը, ավելի փոքր թիվ պարզապես չկա։

Օրինակ #2

Երկրորդ տարբերակը շատ ավելի բարդ է. Տրված են 300 և 1260 համարները, LCM գտնելը պարտադիր է։ Առաջադրանքը լուծելու համար ենթադրվում են հետևյալ գործողությունները.

Առաջին և երկրորդ թվերի տարրալուծումը ամենապարզ գործոնների: 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7: Առաջին փուլն ավարտված է.

Երկրորդ փուլը ենթադրում է արդեն ձեռք բերված տվյալների հետ աշխատանք։ Ստացված թվերից յուրաքանչյուրը պետք է մասնակցի վերջնական արդյունքի հաշվարկին։ Յուրաքանչյուր բազմապատկիչի համար՝ առավելագույնը մեծ թիվերևույթներ. LCM-ն ընդհանուր թիվ է, ուստի թվերից ստացված գործոնները պետք է կրկնվեն դրանում մինչև վերջինը, նույնիսկ նրանք, որոնք առկա են մեկ օրինակում: Երկու սկզբնական թվերն էլ իրենց կազմի մեջ ունեն 2, 3 և 5 թվերը, տարբեր աստիճաններով, 7-ը միայն մեկ դեպքում է։

Վերջնական արդյունքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հավասարման մեջ վերցնել յուրաքանչյուր թիվ իրենց ներկայացված հզորություններից ամենամեծով: Մնում է միայն բազմապատկել և ստանալ պատասխանը, ճիշտ լրացմամբ առաջադրանքը առանց բացատրության տեղավորվում է երկու քայլի մեջ.

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Սա է ամբողջ խնդիրը, եթե փորձեք բազմապատկելով հաշվարկել ցանկալի թիվը, ապա պատասխանը հաստատ ճիշտ չի լինի, քանի որ 300 * 1260 = 378,000:

Փորձաքննություն:

6300 / 300 = 21 - ճշմարիտ;

6300 / 1260 = 5 ճիշտ է:

Արդյունքի ճիշտությունը որոշվում է ստուգելով՝ LCM-ն բաժանելով երկու սկզբնական թվերի վրա, եթե թիվը երկու դեպքում էլ ամբողջ թիվ է, ապա պատասխանը ճիշտ է։

Ի՞նչ է նշանակում ԱՕԿ մաթեմատիկայի մեջ

Ինչպես գիտեք, մաթեմատիկայի մեջ չկա ոչ մի անպետք ֆունկցիա, սա բացառություն չէ։ Այս թվի ամենատարածված նպատակը կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելն է: Այն, ինչ սովորաբար սովորում են 5-6-րդ դասարաններում ավագ դպրոց. Այն նաև ընդհանուր բաժանարար է բոլոր բազմապատիկների համար, եթե խնդրի մեջ այդպիսի պայմաններ կան: Նման արտահայտությունը կարող է գտնել ոչ միայն երկու թվերի բազմապատիկ, այլև շատ ավելի մեծ թվի՝ երեք, հինգ և այլն։ Ինչպես ավելի շատ թվեր- առաջադրանքի մեջ ավելի շատ գործողություններ, բայց դրա բարդությունը չի մեծանում:

Օրինակ, հաշվի առնելով 250, 600 և 1500 թվերը, դուք պետք է գտնեք դրանց ընդհանուր LCM.

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - այս օրինակը մանրամասն նկարագրում է ֆակտորիզացիան, առանց կրճատման:

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Արտահայտություն կազմելու համար պահանջվում է նշել բոլոր գործոնները, այս դեպքում տրված են 2, 5, 3 - այս բոլոր թվերի համար պահանջվում է որոշել առավելագույն աստիճանը։

Ուշադրություն. բոլոր բազմապատկիչները պետք է հասցվեն լրիվ պարզեցման, հնարավորության դեպքում՝ քայքայվելով մինչև միանիշ մակարդակ:

Փորձաքննություն:

1) 3000 / 250 = 12 - ճշմարիտ;

2) 3000 / 600 = 5 - ճշմարիտ;

3) 3000 / 1500 = 2 ճիշտ է:

Այս մեթոդը չի պահանջում որևէ հնարք կամ հանճարեղ մակարդակի ունակություններ, ամեն ինչ պարզ է և պարզ։

Մեկ այլ ճանապարհ

Մաթեմատիկայի մեջ շատ բան կապված է, շատ բան կարելի է լուծել երկու կամ ավելի եղանակներով, նույնը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին՝ LCM-ին գտնելու դեպքում։ Հետևյալ մեթոդը կարող է կիրառվել պարզ երկնիշ և միանիշ թվեր. Կազմվում է աղյուսակ, որում բազմապատկիչը մուտքագրվում է ուղղահայաց, բազմապատկիչը հորիզոնական, իսկ արտադրյալը նշվում է սյունակի հատվող բջիջներում։ Աղյուսակը կարող եք արտացոլել տողի միջոցով, վերցվում է թիվ և այս թիվը ամբողջ թվերով բազմապատկելու արդյունքները գրվում են անընդմեջ՝ 1-ից մինչև անվերջություն, երբեմն բավական է 3-5 միավոր, ենթարկվում են երկրորդ և հաջորդ թվերը։ նույն հաշվողական գործընթացին: Ամեն ինչ տեղի է ունենում այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի գտնվել ընդհանուր բազմապատիկ:

Հաշվի առնելով 30, 35, 42 թվերը, դուք պետք է գտնեք LCM-ը, որը միացնում է բոլոր թվերը.

1) 30-ի բազմապատիկները՝ 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 և այլն:

2) 35-ի բազմապատիկները՝ 70, 105, 140, 175, 210, 245 և այլն:

3) 42-ի բազմապատիկները՝ 84, 126, 168, 210, 252 և այլն:

Նկատելի է, որ բոլոր թվերը բավականին տարբեր են, նրանց մեջ միակ ընդհանուր թիվը 210-ն է, ուստի դա կլինի LCM-ն։ Այս հաշվարկի հետ կապված գործընթացների թվում կա նաև ամենամեծը ընդհանուր բաժանարար, որը հաշվարկվում է համանման սկզբունքներով և հաճախ հանդիպում է հարևան խնդիրներում։ Տարբերությունը փոքր է, բայց բավականաչափ նշանակալի, LCM-ն ներառում է թվի հաշվարկ, որը բաժանվում է բոլոր տրված սկզբնական արժեքների վրա, իսկ GCM-ն ներառում է հաշվարկը: ամենամեծ արժեքորով սկզբնական թվերը բաժանվում են.

Ինչպես գտնել LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ)

Երկու ամբողջ թվերի ընդհանուր բազմապատիկը այն ամբողջ թիվն է, որը հավասարապես բաժանվում է երկու տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բոլոր ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, որը հավասարապես և առանց մնացորդի բաժանվում է երկու տրված թվերի վրա։

Մեթոդ 1. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն, իր հերթին, տրված թվերից յուրաքանչյուրի համար՝ աճման կարգով գրելով բոլոր այն թվերը, որոնք ստացվում են դրանք 1-ով, 2-ով, 3-ով, 4-ով և այլն բազմապատկելով:

Օրինակ 6 և 9 համարների համար։
Մենք 6 թիվը հաջորդաբար բազմապատկում ենք 1, 2, 3, 4, 5-ով։
Մենք ստանում ենք՝ 6, 12, 18 , 24, 30
Մենք 9 թիվը բազմապատկում ենք հաջորդաբար 1, 2, 3, 4, 5-ով:
Մենք ստանում ենք՝ 9, 18 , 27, 36, 45
Ինչպես տեսնում եք, LCM-ը 6 և 9 համարների համար կլինի 18:

Այս մեթոդը հարմար է, երբ երկու թվերն էլ փոքր են, և հեշտ է դրանք բազմապատկել ամբողջ թվերի հաջորդականությամբ։ Այնուամենայնիվ, կան դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է գտնել LCM երկնիշ կամ եռանիշ թվերի համար, ինչպես նաև, երբ կան երեք կամ նույնիսկ ավելի սկզբնական թվեր:

Մեթոդ 2. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն՝ սկզբնական թվերը տարրալուծելով պարզ գործակիցների:
Քայքայվելուց հետո առաջացած պարզ գործակիցների շարքից անհրաժեշտ է հատել նույն թվերը։ Առաջին թվի մնացած թվերը կլինեն գործակից երկրորդի համար, իսկ երկրորդ թվի մնացած թվերը՝ առաջինի գործակիցը։

Օրինակ 75 և 60 թվերի համար։
75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկ անընդմեջ դուրս գրելու: Դա անելու համար մենք 75-ը և 60-ը տարրալուծում ենք պարզ գործոնների.
75 = 3 * 5 * 5, և
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ինչպես տեսնում եք, 3-րդ և 5-րդ գործոնները տեղի են ունենում երկու շարքերում: Մտավորապես մենք դրանք «խաչում ենք»։
Եկեք գրենք այս թվերից յուրաքանչյուրի ընդլայնման մեջ ներառված մնացած գործոնները: 75 թիվը քայքայելիս թողել ենք 5 թիվը, իսկ 60 թիվը քայքայելիս թողել ենք 2 * 2։
Այսպիսով, 75 և 60 թվերի համար LCM-ն որոշելու համար մենք պետք է 75-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 5-ն է) բազմապատկենք 60-ով, իսկ 60-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 2 * 2 է: ) բազմապատկել 75-ով։ Այսինքն՝ հասկանալու համար մենք ասում ենք, որ բազմապատկում ենք «խաչաձև»։
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Այսպես մենք գտանք LCM-ը 60 և 75 թվերի համար։ Սա 300 թիվն է։

Օրինակ. Որոշեք LCM 12, 16, 24 թվերի համար
Այս դեպքում մեր գործողությունները որոշ չափով ավելի բարդ կլինեն։ Բայց, նախ, ինչպես միշտ, մենք բոլոր թվերը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM-ը ճիշտ որոշելու համար մենք ընտրում ենք բոլոր թվերից ամենափոքրը (սա 12-րդ թիվն է) և հաջորդաբար անցնում ենք դրա գործակիցները՝ հատելով դրանք, եթե թվերի մյուս տողերից գոնե մեկն ունի նույն բազմապատկիչը, որը դեռ չի հատվել։ դուրս.

Քայլ 1. Մենք տեսնում ենք, որ 2 * 2-ը տեղի է ունենում թվերի բոլոր շարքերում: Մենք դրանք հատում ենք:
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Քայլ 2. Մեջ հիմնական գործոններըթիվ 12, մնում է միայն 3 թիվը, բայց այն առկա է 24 թվի պարզ գործակիցներում: Մենք երկու շարքից էլ 3-րդ համարն ենք հատում, մինչդեռ 16-ի համար գործողություն չի սպասվում:
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ինչպես տեսնում եք, 12 թիվը քայքայելիս մենք «խաչեցինք» բոլոր թվերը։ Այսպիսով, ՀԱՕԿ-ի բացահայտումն ավարտված է։ Մնում է միայն հաշվարկել դրա արժեքը։
12 թվի համար մենք վերցնում ենք մնացած գործոնները 16 թվից (ամենամոտը՝ աճման կարգով)
12 * 2 * 2 = 48
Սա ՀԱՕԿ-ն է

Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում LCM-ը գտնելը որոշ չափով ավելի դժվար էր, բայց երբ անհրաժեշտ է գտնել այն երեք կամ ավելի թվերի համար, այս կերպթույլ է տալիս դա անել ավելի արագ: Այնուամենայնիվ, LCM-ն գտնելու երկու եղանակներն էլ ճիշտ են: