DSW- ի բնութագրերը և դրանց հատկությունները: Մաթեմատիկական ակնկալիք, շեղում, ստանդարտ շեղում

Բաշխման օրենքը լիովին բնութագրում է պատահական փոփոխականը: Այնուամենայնիվ, երբ անհնար է գտնել բաշխման օրենքը, կամ դա չի պահանջվում, կարելի է սահմանափակվել արժեքներ գտնելով, որոնք կոչվում են պատահական փոփոխականի թվային բնութագրեր։ Այս արժեքները որոշում են որոշ միջին արժեք, որի շուրջ խմբավորված են պատահական փոփոխականի արժեքները, և դրանց ցրվածության աստիճանը այս միջին արժեքի շուրջ:

մաթեմատիկական ակնկալիքԴիսկրետ պատահական փոփոխականը պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը գոյություն ունի, եթե հավասարության աջ կողմի շարքը բացարձակապես համընկնում է:

Հավանականության առումով կարելի է ասել ակնկալվող արժեքըմոտավորապես հավասար է պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականին:

Օրինակ. Հայտնի է դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը։ Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը:

X
էջ	0.2	0.3	0.1	0.4

Լուծում:

9.2 Ակնկալիքային հատկություններ

1. Մաթեմատիկական ակնկալիք հաստատուն արժեքհավասար է ամենակայունին:

2. Սպասման նշանից կարելի է դուրս բերել մշտական ​​գործոն։

3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին:

Այս հատկությունը վավեր է կամայական թվով պատահական փոփոխականների համար:

4. Երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին։

Այս հատկությունը ճիշտ է նաև պատահական փոփոխականների կամայական քանակի դեպքում:

Թող կատարվեն n անկախ փորձարկումներ, որոնցում A դեպքի առաջացման հավանականությունը հավասար է p.

Թեորեմ. n անկախ փորձարկումներում A իրադարձության դեպքերի թվի M(X) մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է փորձարկումների քանակի և դեպքի հավանականության արտադրյալին յուրաքանչյուր փորձարկումում:

Օրինակ. Գտե՛ք Z պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, եթե հայտնի են X և Y-ի մաթեմատիկական ակնկալիքները՝ M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y:

Լուծում:

9.3 Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ցրում

Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկական ակնկալիքը չի կարող լիովին բնութագրել պատահական գործընթացը: Բացի մաթեմատիկական ակնկալիքից, դուք պետք է մուտքագրեք արժեք, որը բնութագրում է պատահական փոփոխականի արժեքների շեղումը մաթեմատիկական ակնկալիքից:

Այս շեղումը հավասար է պատահական փոփոխականի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի տարբերությանը: Այս դեպքում շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքը զրո է։ Սա բացատրվում է նրանով, որ որոշ հնարավոր շեղումներ դրական են, մյուսները՝ բացասական, և դրանց փոխադարձ չեղարկման արդյունքում ստացվում է զրո։

Դիսպերսիա (ցրում)Դիսկրետ պատահական փոփոխականը կոչվում է պատահական փոփոխականի քառակուսի շեղման մաթեմատիկական ակնկալիք իր մաթեմատիկական ակնկալիքից:

Գործնականում շեղումը հաշվարկելու այս մեթոդը անհարմար է, քանի որ հանգեցնում է ծանր հաշվարկների՝ պատահական փոփոխականի մեծ թվով արժեքների համար:

Հետեւաբար, օգտագործվում է մեկ այլ մեթոդ.

Թեորեմ. Տարբերությունը հավասար է X պատահական փոփոխականի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի քառակուսու տարբերությանը։.

Ապացույց. Հաշվի առնելով այն փաստը, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը M (X) և մաթեմատիկական ակնկալիքի M 2 (X) քառակուսին հաստատուն արժեքներ են, կարող ենք գրել.

Օրինակ. Գտե՛ք բաշխման օրենքով տրված դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումը:

X
X 2
Ռ	0.2	0.3	0.1	0.4

Լուծում.

9.4 Դիսպերսիոն հատկություններ

1. Հաստատուն արժեքի դիսպերսիան զրո է: .

2. Դիսպերսիայի նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործակից՝ այն քառակուսի դնելով։ .

3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է այս փոփոխականների շեղումների գումարին։ .

4. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների տարբերության շեղումը հավասար է այս փոփոխականների շեղումների գումարին։ .

Թեորեմ. A իրադարձության դեպքերի քանակի շեղումը n անկախ փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության p հավանականությունը հաստատուն է, հավասար է փորձությունների քանակի և տեղի ունենալու և չպատահելու հավանականությունների արտադրյալին։ իրադարձությունների վերաբերյալ յուրաքանչյուր դատավարության ընթացքում:

9.5 Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղում

Ստանդարտ շեղում X պատահական փոփոխականը կոչվում է շեղման քառակուսի արմատ:

Թեորեմ. Վերջավոր թվով փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների գումարի արմատի միջին քառակուսի շեղումը. քառակուսի արմատայս մեծությունների ստանդարտ շեղումների քառակուսիների գումարից:

Հանրագիտարան YouTube

1 / 5

✪ Մաթեմատիկական ակնկալիք և շեղում - bezbotvy

✪ Հավանականությունների տեսություն 15. մաթեմատիկական ակնկալիք

✪ Մաթեմատիկական ակնկալիք

✪ Մաթեմատիկական ակնկալիք և տարբերություն: Տեսություն

✪ Մաթեմատիկական ակնկալիք առևտրում

սուբտիտրեր

Սահմանում

Թող տրվի հավանականության տարածություն (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))և դրա վրա սահմանված պատահական արժեքը X (\displaystyle X). Այսինքն, ըստ սահմանման, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R))չափելի ֆունկցիա է։ Եթե ​​կա  Lebesgue-ի ինտեգրալ X (\displaystyle X)տարածության կողմից Ω (\displaystyle \Omega), ապա այն կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք, կամ միջին (ակնկալվող) արժեք և նշվում է. M [ X ] (\displaystyle M[X])կամ E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \սահմանները _(\Omega)\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega):)

Մաթեմատիկական ակնկալիքների հիմնական բանաձևերը

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \սահմանները _(-\infty)^(\infty)\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R)).

Դիսկրետ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիք

P (X = x i) = p i, ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \սահմանները _(i=1) )^(\infty)p_(i)=1),

ապա Լեբեգի ինտեգրալի սահմանումից ուղղակիորեն հետևում է, որ

M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \սահմանները _(i=1)^(\infty)x_(i)\,p_(i)).

Ամբողջ թվի մաթեմատիկական ակնկալիք

P (X = j) = p j, j = 0, 1, . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \սահմանները _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)

ապա նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը կարող է արտահայտվել հաջորդականության գեներացնող ֆունկցիայի տեսքով ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty)\;p_(k)s^(k))

որպես առաջին ածանցյալի արժեք միասնության վրա. M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Եթե ​​մաթեմատիկական ակնկալիքը X (\displaystyle X)անսահման, ուրեմն lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\ to 1)P"(s)=\infty)և մենք կգրենք P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty)

Հիմա վերցնենք գեներացնող ֆունկցիան Q (s) (\displaystyle Q(s))բաշխման «պոչերի» հաջորդականությունները ( q k ) (\ցուցադրման ոճ \(q_(k)\))

q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty)(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty)\;q_(k)s^(k).)

Այս գեներացնող ֆունկցիան կապված է նախկինում սահմանված ֆունկցիայի հետ P (s) (\displaystyle P(s))սեփականություն: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))ժամը | ս |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Սրանից, ըստ միջին արժեքի թեորեմի, հետևում է, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը պարզապես հավասար է այս ֆունկցիայի արժեքին միասնության դեպքում.

M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))

Բացարձակապես շարունակական բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \սահմանները _(-\infty)^(\infty)\!xf_(X)(x)\,dx ).

Պատահական վեկտորի մաթեմատիկական ակնկալիք

Թող X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\ցուցադրման ոճ X=(X_(1),\կետեր,X_(n))^(\վերև)\կոլոն \Omega \to \mathbb ( R) ^(n))պատահական վեկտոր է: Հետո ըստ սահմանման

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\կետեր,M)^(\վերև)),

այսինքն՝ բաղադրիչ առ բաղադրիչ որոշվում է վեկտորի մաթեմատիկական ակնկալիքը։

Պատահական փոփոխականի փոխակերպման մաթեմատիկական ակնկալիք

Թող g. R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R))Բորելի ֆունկցիա է այնպիսին, որ պատահական փոփոխականը Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X))ունի վերջավոր մաթեմատիկական ակնկալիք: Այնուհետև դրա համար բանաձևը վավեր է.

M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i (\displaystyle M\left=\sum \սահմաններ _(i=1)^(\infty)g(x_(i))p_(i )),

եթե X (\displaystyle X)ունի դիսկրետ բաշխում;

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty)^(\infty)\!g(x) f_(X)(x)\,dx),

եթե X (\displaystyle X)ունի բացարձակ շարունակական բաշխում։

Եթե ​​բաշխումը P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))պատահական փոփոխական X (\displaystyle X)ընդհանուր ձևը, ապա

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) (\displaystyle M\left=\int \սահմանները _(-\infty)^(\infty)\!g(x)\, \mathbb (P) ^(X)(dx)).

Այն հատուկ դեպքում, երբ g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), ակնկալվող արժեք M [g (X)] = M [X k] (\displaystyle M\left=M)կանչեց k (\displaystyle k)- պատահական փոփոխականի պահը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի ամենապարզ հատկությունները

• Թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը հենց թիվն է:

M [a] = a (\displaystyle M[a]=a) a ∈ R (\displaystyle a\in \mathbb (R))- մշտական;

• Մաթեմատիկական ակնկալիքը գծային է, այսինքն

M [ a X + b Y ] = a M [ X ] + b M [ Y ] (\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]), որտեղ X , Y (\displaystyle X,Y)վերջավոր մաթեմատիկական ակնկալիքով պատահական փոփոխականներ են, և a , b ∈ R (\displaystyle a,b\in \mathbb (R))- կամայական հաստատուններ; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] (\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]); M [ X ] = M [ Y ] (\displaystyle M[X]=M[Y]). M [ X Y ] = M [ X ] M [ Y ] (\displaystyle M=M[X]M[Y]).

1. Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ինքնին հաստատունին M(S)=S .
2. Սպասման նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործոն. M(CX)=CM(X)
3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին. M(XY)=M(X) M(Y):
4. Երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին. M(X+Y)=M(X)+M(Y):

Թեորեմ. A իրադարձությունների թվի M(x) թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը n անկախ փորձարկումներում հավասար է այս փորձարկումների արտադրյալին յուրաքանչյուր փորձարկումում իրադարձությունների առաջացման հավանականությամբ. M(x) = np:

Թող X պատահական փոփոխական է և M(X) նրա մաթեմատիկական ակնկալիքն է: Որպես նոր պատահական փոփոխական դիտարկենք տարբերությունը X - M (X):

Շեղումը պատահական փոփոխականի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի տարբերությունն է:

Շեղումն ունի հետևյալ բաշխման օրենքը.

Լուծում. Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը.
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Գրենք քառակուսի շեղման բաշխման օրենքը.

Լուծում՝ Գտեք M(x) ակնկալիքը՝ M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

Գրենք X 2 պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը

x2
Պ	0.1	0.6	0.3

Գտնենք մաթեմատիկական ակնկալիքը M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Ցանկալի ցրվածություն D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

Դիսպերսիոն հատկություններ.

1. Հաստատուն արժեքի ցրում ԻՑ հավասար է զրոյի: D(C)=0
2. Դիսպերսիայի նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործակից՝ այն քառակուսի դնելով։ D(Cx)=C 2 D(x)
3. Անկախ պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է այս փոփոխականների շեղումների գումարին։ D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Երկանդամների բաշխման շեղումը հավասար է փորձարկումների քանակի և մեկ փորձության ընթացքում իրադարձության առաջանալու և չպատահելու հավանականության արտադրյալին. D(X)=npq

Պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների ցրվածությունը միջին արժեքի շուրջ գնահատելու համար, բացի շեղումից, ծառայում են նաև որոշ այլ բնութագրեր: Նրանց թվում է ստանդարտ շեղումը:

Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը Xկոչվում է տարբերության քառակուսի արմատ.

σ(X) = √D(X) (4)

Օրինակ. X պատահական փոփոխականը տրված է բաշխման օրենքով

X
Պ	0.1	0.4	0.5

Գտեք ստանդարտ շեղումը σ(x)

Լուծում՝ Գտե՛ք X մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4.
Գտնենք X 2-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54.
Գտե՛ք դիսպերսիան՝ D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Ցանկալի ստանդարտ շեղում σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Թեորեմ. Վերջավոր թվով փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների գումարի ստանդարտ շեղումը հավասար է այս փոփոխականների ստանդարտ շեղումների գումարի քառակուսի արմատին.

Օրինակ. 6 գրքերից բաղկացած դարակում կա 3 գիրք մաթեմատիկայի և 3 ֆիզիկայի վերաբերյալ: Պատահականության սկզբունքով ընտրված է երեք գիրք։ Գտե՛ք ընտրված գրքերի մեջ մաթեմատիկայի գրքերի քանակի բաշխման օրենքը: Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը սահմանումն է

Mat սպասում էմաթեմատիկական վիճակագրության և հավանականությունների տեսության ամենակարևոր հասկացություններից մեկը, որը բնութագրում է արժեքների բաշխումը կամ հավանականություններըպատահական փոփոխական. Սովորաբար արտահայտվում է որպես պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր պարամետրերի կշռված միջին: Այն լայնորեն կիրառվում է տեխնիկական վերլուծության, թվային շարքերի ուսումնասիրության, շարունակական և երկարաժամկետ գործընթացների ուսումնասիրության մեջ։ Այն կարևոր է ռիսկերի գնահատման, ֆինանսական շուկաներում առևտրի ժամանակ գների ցուցանիշների կանխատեսման համար և օգտագործվում է խաղային մարտավարության ռազմավարությունների և մեթոդների մշակման համար: մոլախաղերի տեսություն.

Շախմատի սպասում- սաՊատահական փոփոխականի միջին արժեքը, բաշխումը հավանականություններըպատահական փոփոխականը դիտարկվում է հավանականությունների տեսության մեջ:

Mat սպասում էՀավանականությունների տեսության մեջ պատահական փոփոխականի միջին արժեքի չափումը: Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք xնշվում է M(x).

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Mat սպասում է

Mat սպասում էհավանականությունների տեսության մեջ՝ բոլոր հնարավոր արժեքների կշռված միջինը, որը կարող է վերցնել այս պատահական փոփոխականը:

Mat սպասում էպատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների գումարը՝ ըստ այդ արժեքների հավանականությունների:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Mat սպասում էորոշակի որոշումից ստացված միջին օգուտը՝ պայմանով, որ նման որոշումը կարելի է դիտարկել մեծ թվերի և հեռավորության տեսության շրջանակներում։

Mat սպասում էմոլախաղերի տեսության մեջ՝ շահումների չափը, որը սպեկուլյանտը կարող է վաստակել կամ կորցնել, միջին հաշվով յուրաքանչյուր խաղադրույքի համար: Դրամախաղի լեզվով սպեկուլյանտներսա երբեմն կոչվում է «առավելություն սպեկուլյանտ» (եթե դա դրական է շահարկողի համար) կամ «տան եզր» (եթե դա բացասական է շահարկողի համար):

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Mat սպասում էշահույթը մեկ հաղթանակի վրա բազմապատկած միջինում շահույթ, հանած կորուստը բազմապատկած միջին կորստի վրա:

Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը մաթեմատիկական տեսության մեջ

Պատահական փոփոխականի կարևոր թվային բնութագրիչներից է ակնկալիքը: Ներկայացնենք պատահական փոփոխականների համակարգի հայեցակարգը: Դիտարկենք մի շարք պատահական փոփոխականներ, որոնք նույն պատահական փորձի արդյունքներն են: Եթե ​​համակարգի հնարավոր արժեքներից մեկն է, ապա իրադարձությունը համապատասխանում է որոշակի հավանականությանը, որը բավարարում է Կոլմոգորովի աքսիոմները: Պատահական փոփոխականների ցանկացած հնարավոր արժեքների համար սահմանված ֆունկցիան կոչվում է համատեղ բաշխման օրենք: Այս ֆունկցիան թույլ է տալիս հաշվարկել ցանկացած իրադարձության հավանականությունը: Մասնավորապես, համատեղ օրենքպատահական փոփոխականների բաշխումը և, որոնք արժեքներ են վերցնում բազմությունից և տրվում են հավանականություններով:

Տերմինը «mat. սպասումը» ներկայացվել է Պիեռ Սիմոն Մարկիզ դե Լապլասի կողմից (1795) և առաջացել է «վճարի ակնկալվող արժեքի» հայեցակարգից, որն առաջին անգամ հայտնվեց 17-րդ դարում մոլախաղերի տեսության մեջ Բլեզ Պասկալի և Քրիստիան Հյուգենսի աշխատություններում: Այնուամենայնիվ, այս հայեցակարգի առաջին ամբողջական տեսական ըմբռնումը և գնահատումը տրվել է Պաֆնուտի Լվովիչ Չեբիշևի կողմից (19-րդ դարի կեսեր):

օրենքՊատահական թվային փոփոխականների բաշխումները (բաշխման ֆունկցիա և բաշխման շարք կամ հավանականության խտություն) ամբողջությամբ նկարագրում են պատահական փոփոխականի վարքը։ Բայց մի շարք խնդիրների դեպքում բավական է իմանալ ուսումնասիրվող մեծության որոշ թվային բնութագրեր (օրինակ՝ միջին արժեքը և դրանից հնարավոր շեղումը)՝ տրված հարցին պատասխանելու համար։ Պատահական փոփոխականների հիմնական թվային բնութագրերն են սպասումը, շեղումը, եղանակը և մեդիանը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը դրա հնարավոր արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականությունների արտադրյալների գումարն է: Երբեմն գորգ. Ակնկալիքը կոչվում է միջին կշռված, քանի որ այն մոտավորապես հավասար է մեծ թվով փորձերի ընթացքում պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականին: Սպասման մատի սահմանումից հետևում է, որ դրա արժեքը ոչ պակաս է պատահական փոփոխականի հնարավոր ամենափոքր արժեքից և ոչ ավելի մեծից: Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը ոչ պատահական (հաստատուն) փոփոխական է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն ունի պարզ ֆիզիկական նշանակություն. եթե միավոր զանգվածը դրված է ուղիղ գծի վրա, որոշ կետերում որոշ զանգված տեղադրելով ( դիսկրետ բաշխում), կամ «քսելով» այն որոշակի խտությամբ (բացարձակ շարունակական բաշխման համար), ապա ակնկալիքին համապատասխան կետը կլինի ուղիղ գծի «ծանրության կենտրոնի» կոորդինատը։

Պատահական փոփոխականի միջին արժեքը որոշակի թիվ է, որը, ասես, նրա «ներկայացուցիչն» է և փոխարինում է մոտավոր հաշվարկներով։ Երբ ասում ենք. «լամպի գործարկման միջին ժամանակը 100 ժամ է» կամ «հարվածի միջին կետը թիրախի նկատմամբ 2 մ-ով տեղափոխվում է աջ», մենք դրանով ցույց ենք տալիս պատահական փոփոխականի որոշակի թվային բնութագիր, որը նկարագրում է այն։ գտնվելու վայրը թվային առանցքի վրա, այսինքն. դիրքի նկարագրությունը.

Հավանականության տեսության մեջ իրավիճակի բնութագրիչներից ամենակարևոր դերը խաղում է պատահական փոփոխականի ակնկալիքը, որը երբեմն կոչվում է պարզապես պատահական փոփոխականի միջին արժեք։

Դիտարկենք պատահական փոփոխական X, որն ունի հնարավոր արժեքներ x1, x2, ..., xnհավանականությունների հետ p1, p2, ..., pn. Մենք պետք է որոշ թվով բնութագրենք պատահական փոփոխականի արժեքների դիրքը x առանցքի վրա. հաշվի առնելովոր այս արժեքները տարբեր հավանականություններ ունեն։ Այդ նպատակով բնական է օգտագործել արժեքների այսպես կոչված «միջին կշռվածը»։ xi, և միջինացման ժամանակ յուրաքանչյուր xi արժեք պետք է հաշվի առնվի այս արժեքի հավանականությանը համամասնական «կշիռով»: Այսպիսով, մենք հաշվարկելու ենք պատահական փոփոխականի միջինը X, որը մենք կնշենք M|X|:

Այս կշռված միջինը կոչվում է պատահական փոփոխականի mat ակնկալիք: Այսպիսով, մենք հաշվի առանք հավանականությունների տեսության ամենակարևոր հասկացություններից մեկը՝ գորգ հասկացությունը։ ակնկալիքները. Մատթ. Պատահական փոփոխականի ակնկալիքը պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և այդ արժեքների հավանականությունների գումարն է:

Մատթ. պատահական փոփոխականի ակնկալիք Xմեծ թվով փորձերով պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականից յուրօրինակ կախվածության պատճառով: Այս կախվածությունը նույն տեսակին է, ինչ կախվածությունը հաճախականության և հավանականության միջև, մասնավորապես՝ մեծ թվով փորձերի դեպքում պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը մոտենում է (հավանականությամբ զուգակցվում) դրա մատիտին: սպասում. Հաճախականության և հավանականության միջև կապի առկայությունից կարելի է հետևություն անել թվաբանական միջինի և մաթեմատիկական ակնկալիքի միջև նմանատիպ հարաբերությունների առկայության մասին: Իրոք, հաշվի առեք պատահական փոփոխական X, բնութագրվում է մի շարք բաշխումներով.

Թող արտադրվի Նանկախ փորձեր, որոնցից յուրաքանչյուրում արժեքը Xորոշակի արժեք է ստանում. Ենթադրենք արժեքը x1հայտնվել է մ1անգամ, արժեք x2հայտնվել է մ2ժամանակներ, ընդհանուր իմաստ xiհայտնվել է մի անգամ: Եկեք հաշվարկենք X-ի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը, որը, ի տարբերություն ակնկալվող գորգերի. M|X|մենք կնշենք M*|X|:

Փորձերի քանակի աճով Նհաճախականություններ պիկմոտենա (հավանականությամբ կմոտենա) համապատասխան հավանականություններին։ Հետևաբար, պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը M|X|փորձերի քանակի ավելացման դեպքում այն ​​կմոտենա (հավանականությամբ) իր ակնկալիքին։ Վերևում ձևակերպված հարաբերությունը միջին թվաբանականի և մատերի միջև: ակնկալիքը մեծ թվերի օրենքի ձևերից մեկի բովանդակությունն է։

Մենք արդեն գիտենք, որ մեծ թվերի օրենքի բոլոր ձևերը նշում են այն փաստը, որ որոշակի միջինները կայուն են մեծ թվով փորձերի ընթացքում: Այստեղ խոսքը նույն արժեքի մի շարք դիտարկումների թվաբանական միջինի կայունության մասին է։ Փոքր քանակությամբ փորձերի դեպքում դրանց արդյունքների միջին թվաբանականը պատահական է. փորձերի քանակի բավարար աճով այն դառնում է «գրեթե ոչ պատահական» և կայունանալով մոտենում է հաստատուն արժեքի՝ mat. սպասում.

Մեծ թվով փորձերի համար միջինների կայունության հատկությունը հեշտ է փորձարարական կերպով ստուգել։ Օրինակ՝ լաբորատորիայում ցանկացած մարմին կշռելով ճշգրիտ կշեռքով, կշռման արդյունքում ամեն անգամ նոր արժեք ենք ստանում; դիտարկման սխալը նվազեցնելու համար մարմինը մի քանի անգամ կշռում ենք և օգտագործում ստացված արժեքների միջին թվաբանականը։ Հեշտ է տեսնել, որ փորձերի (կշռման) քանակի հետագա աճի դեպքում միջին թվաբանականն ավելի ու ավելի քիչ է արձագանքում այդ աճին, իսկ բավական մեծ թվով փորձերի դեպքում այն ​​գործնականում դադարում է փոխվել։

Հարկ է նշել, որ պատահական փոփոխականի դիրքի ամենակարեւոր բնութագիրը mat է։ ակնկալիք - գոյություն չունի բոլոր պատահական փոփոխականների համար: Կարելի է այնպիսի պատահական փոփոխականների օրինակներ պատրաստել, որոնց համար mat. ակնկալիք չկա, քանի որ համապատասխան գումարը կամ ինտեգրալը տարբերվում են։ Սակայն պրակտիկայի համար նման դեպքերը էական հետաքրքրություն չեն ներկայացնում։ Սովորաբար պատահական փոփոխականները, որոնց հետ գործ ունենք, ունեն հնարավոր արժեքների սահմանափակ շրջանակ և, իհարկե, ունեն mat ակնկալիք:

Ի լրումն պատահական փոփոխականի դիրքի բնութագրիչներից ամենակարևորին` սպասման արժեքին, պրակտիկայում երբեմն օգտագործվում են դիրքի այլ բնութագրեր, մասնավորապես` պատահական փոփոխականի ռեժիմը և մեդիանը:

Պատահական փոփոխականի ռեժիմը նրա ամենահավանական արժեքն է: «Ամենահավանական արժեք» տերմինը, խստորեն ասած, վերաբերում է միայն ընդհատվող քանակություններին. շարունակական մեծության համար ռեժիմը այն արժեքն է, որի դեպքում հավանականության խտությունը առավելագույնն է: Նկարները ցույց են տալիս համապատասխանաբար անդադար և շարունակական պատահական փոփոխականների ռեժիմը:

Եթե ​​բաշխման բազմանկյունը (բաշխման կորը) ունի մեկից ավելի առավելագույն, ապա բաշխումը կոչվում է «բազմամոդալ»:

Երբեմն լինում են բաշխումներ, որոնք մեջտեղում ունեն ոչ թե առավելագույնը, այլ նվազագույնը։ Նման բաշխումները կոչվում են «հակամոդալ»:

Ընդհանուր դեպքում պատահական փոփոխականի ռեժիմն ու ակնկալիքը չեն համընկնում։ Այն հատուկ դեպքում, երբ բաշխումը սիմետրիկ և մոդալ է (այսինքն՝ ունի ռեժիմ) և առկա է գորգ։ ակնկալիքը, ապա այն համընկնում է բաշխման ռեժիմի և համաչափության կենտրոնի հետ։

Հաճախ օգտագործվում է դիրքի մեկ այլ բնութագիր՝ պատահական փոփոխականի այսպես կոչված մեդիան։ Այս բնութագիրը սովորաբար օգտագործվում է միայն շարունակական պատահական փոփոխականների համար, թեև այն կարող է պաշտոնապես սահմանվել նաև ընդհատվող փոփոխականի համար։ Երկրաչափական առումով միջնադարը այն կետի աբսցիսան է, որտեղ բաշխման կորով սահմանափակված տարածքը կիսվում է:

Սիմետրիկ մոդալ բաշխման դեպքում միջինը համընկնում է գորգի հետ։ սպասում և նորաձևություն.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը միջին արժեք է, պատահական փոփոխական՝ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման թվային բնութագիր։ Ամենաընդհանուր ձևով, պատահական փոփոխականի mat ակնկալիքը X(w)սահմանվում է որպես Լեբեգի ինտեգրալ՝ հավանականության չափման նկատմամբ Ռսկզբնական հավանականության տարածքում.

Մատթ. ակնկալիքը կարող է նաև հաշվարկվել որպես Լեբեգի ինտեգրալ Xհավանականությունների բաշխմամբ pxքանակները X:

Բնական ձևով կարելի է սահմանել անսահման ակնկալիքով պատահական փոփոխական հասկացությունը։ Տիպիկ օրինակ է հայրենադարձության ժամանակները որոշ պատահական քայլերով:

Գորգի օգնությամբ։ Ակնկալիքները սահմանվում են բաշխման բազմաթիվ թվային և ֆունկցիոնալ բնութագրերով (որպես պատահական փոփոխականի համապատասխան ֆունկցիաների մաթեմատիկական ակնկալիք), օրինակ՝ գեներացնող ֆունկցիա, բնորոշ ֆունկցիա, ցանկացած կարգի մոմենտներ, մասնավորապես՝ շեղում, կովարիանս։

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի արժեքների գտնվելու վայրի բնութագիրն է (դրա բաշխման միջին արժեքը): Այս հզորությամբ մաթեմատիկական ակնկալիքը ծառայում է որպես բաշխման ինչ-որ «տիպիկ» պարամետր, և դրա դերը նման է ստատիկ պահի դերին՝ զանգվածի բաշխման ծանրության կենտրոնի կոորդինատին, մեխանիկայում: Տեղանքի այլ բնութագրերից, որոնց օգնությամբ բաշխումը նկարագրվում է ընդհանուր տերմիններով՝ մեդիաններ, եղանակներ, ակնկալիքը տարբերվում է այն մեծ արժեքով, որ ունի այն և համապատասխան ցրման բնութագիրը՝ շեղումը, հավանականությունների տեսության սահմանային թեորեմներում։ Ամենամեծ ամբողջականությամբ ակնկալվող գորգերի իմաստը բացահայտվում է մեծ թվերի օրենքով (Չեբիշևի անհավասարություն) և մեծ թվերի ուժեղացված օրենքով։

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք

Թող լինի ինչ-որ պատահական փոփոխական, որը կարող է վերցնել մի քանի թվային արժեքներից մեկը (օրինակ, գլանափաթեթի կետերի թիվը կարող է լինել 1, 2, 3, 4, 5 կամ 6): Հաճախ գործնականում նման արժեքի համար հարց է առաջանում՝ մեծ քանակությամբ թեստերի դեպքում ի՞նչ արժեք է այն վերցնում «միջինում»: Որքա՞ն կլինի մեր միջին եկամուտը (կամ կորուստը) յուրաքանչյուր ռիսկային գործառնությունից:

Ասենք մի տեսակ վիճակախաղ կա։ Ուզում ենք հասկանալ՝ ձեռնտու է, թե ոչ դրան մասնակցելը (կամ նույնիսկ բազմիցս, պարբերաբար մասնակցելը)։ Ասենք, որ յուրաքանչյուր չորրորդ տոմսը շահում է, մրցանակը կլինի 300 ռուբլի, իսկ ցանկացած տոմս՝ 100 ռուբլի։ Անսահման թվով մասնակցության դեպքում այսպես է լինում. Դեպքերի երեք քառորդում մենք կկորցնենք, յուրաքանչյուր երեք կորուստը կարժենա 300 ռուբլի: Յուրաքանչյուր չորրորդ դեպքում մենք կշահենք 200 ռուբլի: (մրցանակ՝ մինուս ծախս), այսինքն՝ չորս մասնակցության դեպքում մենք կորցնում ենք միջինը 100 ռուբլի, մեկի համար՝ միջինը 25 ռուբլի։ Ընդհանուր առմամբ, մեր կործանման միջին դրույքաչափը կկազմի 25 ռուբլի մեկ տոմսի համար:

Մենք զառ ենք նետում: Եթե ​​դա խաբեություն չէ (առանց ծանրության կենտրոնը տեղափոխելու և այլն), ապա միջինում քանի՞ միավոր կունենանք միանգամից: Քանի որ յուրաքանչյուր տարբերակ հավասարապես հավանական է, մենք վերցնում ենք հիմար թվաբանական միջինը և ստանում ենք 3,5: Քանի որ սա ՄԻՋԻՆ է, պետք չէ վրդովվել, որ ոչ մի կոնկրետ նետում 3,5 միավոր չի տա, լավ, այս խորանարդը նման թվով երես չունի:

Այժմ ամփոփենք մեր օրինակները.

Եկեք նայենք հենց վերևի նկարին: Ձախ կողմում պատկերված է պատահական փոփոխականի բաշխման աղյուսակը: X-ի արժեքը կարող է վերցնել n հնարավոր արժեքներից մեկը (տրված է վերևի շարքում): Այլ արժեքներ չեն կարող լինել։ Յուրաքանչյուր հնարավոր արժեքի տակ դրա հավանականությունը ստորագրված է ստորև: Աջ կողմում կա բանաձև, որտեղ M(X)-ը կոչվում է mat: սպասում. Այս արժեքի իմաստն այն է, որ մեծ թվով փորձարկումների դեպքում (մեծ նմուշով) միջին արժեքը կձգտի հենց այս ակնկալիքին:

Եկեք վերադառնանք նույն խաղային խորանարդին: Մատթ. Նետելու ժամանակ միավորների քանակի ակնկալիքը 3,5 է (հաշվարկե՛ք ինքներդ բանաձևով, եթե չեք հավատում դրան): Ասենք մի երկու անգամ գցեցիր։ Դուրս են ընկել 4-ը և 6-ը, միջինում ստացվել է 5, այսինքն՝ հեռու 3,5-ից։ Նորից շպրտեցին, 3-ը դուրս ընկավ, այսինքն միջինում (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Մի կերպ գորգից հեռու։ ակնկալիքները. Այժմ կատարեք խելահեղ փորձ՝ գլորեք խորանարդը 1000 անգամ: Իսկ եթե միջինը ճիշտ 3,5 չէ, ապա դրան մոտ կլինի։

Եկեք հաշվենք գորգը: սպասում է վերը նկարագրված վիճակախաղին: Աղյուսակը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այնուհետև սպասելիքների շախմատը կլինի, ինչպես մենք վերևում հաստատեցինք.

Ուրիշ բան, որ դա էլ է «մատների վրա», առանց բանաձեւի, դժվար կլիներ, եթե ավելի շատ տարբերակներ լինեին։ Դե, ենթադրենք, որ եղել են 75% պարտվող տոմսեր, 20% շահած տոմսեր և 5% շահած տոմսեր:

Այժմ սպասման գորգի որոշ հատկություններ:

Մատթ. սպասումը գծային է.Հեշտ է դա ապացուցել.

Շախմատի նշանից թույլատրվում է հանել հաստատուն բազմապատկիչը։ ակնկալիքները, այսինքն.

Սա սպասման գորգերի գծայնության հատկության հատուկ դեպք է:

Գորգի գծայինության ևս մեկ հետևանք. ակնկալիքներ:

դա գորգ է: Պատահական փոփոխականների գումարի ակնկալիքը հավասար է պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին:

Թող X, Y լինեն անկախ պատահական փոփոխականներ, ապա՝

Սա նույնպես հեշտ է ապացուցել) XYինքնին պատահական փոփոխական է, մինչդեռ եթե սկզբնական արժեքները կարող էին վերցնել nև մարժեքները, համապատասխանաբար, ապա XYկարող է վերցնել nm արժեքներ: Արժեքներից յուրաքանչյուրը հաշվարկվում է այն փաստի հիման վրա, որ անկախ իրադարձությունների հավանականությունը բազմապատկվում է: Արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալը.

Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք

Շարունակական պատահական փոփոխականներն ունեն այնպիսի բնութագիր, ինչպիսին է բաշխման խտությունը (հավանականության խտությունը): Այն, ըստ էության, բնութագրում է այն իրավիճակը, որ պատահական փոփոխականը որոշ արժեքներ է վերցնում իրական թվերի շարքից ավելի հաճախ, որոշները՝ ավելի քիչ: Օրինակ, հաշվի առեք այս աղյուսակը.

Այստեղ X- իրականում պատահական փոփոխական, f(x)- բաշխման խտությունը. Դատելով այս գրաֆիկից՝ փորձերի ժամանակ արժեքը Xհաճախ կլինի զրոյին մոտ թիվ: գերազանցելու հնարավորությունները 3 կամ ավելի քիչ լինել -3 ավելի շուտ զուտ տեսական:

Եթե ​​բաշխման խտությունը հայտնի է, ապա սպասման գորգը որոնվում է հետևյալ կերպ.

Եկեք, օրինակ, կա միատեսակ բաշխում.

Եկեք գորգ գտնենք։ ակնկալիք:

Սա բավականին համահունչ է ինտուիտիվ ըմբռնմանը: Ենթադրենք, եթե ստանանք միատեսակ բաշխմամբ շատ պատահական իրական թվեր՝ հատվածներից յուրաքանչյուրը |0; 1| , ապա միջին թվաբանականը պետք է լինի մոտ 0,5։

Սպասման գորգերի հատկությունները՝ գծայինություն և այլն, կիրառելի են դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար, կիրառվում են նաև այստեղ։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի կապը վիճակագրական այլ ցուցանիշների հետ

AT վիճակագրականվերլուծության հետ մեկտեղ առկա է փոխկապակցված ցուցիչների համակարգ, որն արտացոլում է երևույթների միատարրությունը և կայունությունը գործընթացները. Հաճախ տատանումների ցուցիչները անկախ նշանակություն չունեն և օգտագործվում են տվյալների հետագա վերլուծության համար: Բացառություն է միատարրությունը բնութագրող տատանումների գործակիցը տվյալներըինչ արժեքավոր է վիճակագրականբնորոշիչ.

Փոփոխականության կամ կայունության աստիճան գործընթացներըվիճակագրական գիտության մեջ կարելի է չափել մի քանի ցուցանիշների միջոցով.

Բնութագրող ամենակարևոր ցուցանիշը փոփոխականությունպատահական փոփոխական է Ցրվածություն, որն առավել սերտ և անմիջականորեն կապված է գորգի հետ։ սպասում. Այս պարամետրը ակտիվորեն օգտագործվում է վիճակագրական վերլուծության այլ տեսակների մեջ (հիպոթեզի փորձարկում, պատճառահետևանքային կապերի վերլուծություն և այլն): Ինչպես միջին գծային շեղումը, շեղումը նույնպես արտացոլում է տարածման չափը տվյալներըմիջինի շուրջ։

Օգտակար է նշանների լեզուն բառերի լեզվով թարգմանել: Ստացվում է, որ շեղումները շեղումների միջին քառակուսին է։ Այսինքն՝ սկզբում հաշվարկվում է միջին արժեքը, այնուհետև վերցվում է յուրաքանչյուր սկզբնական և միջին արժեքի տարբերությունը, քառակուսի, գումարվում և այնուհետև բաժանվում է այս պոպուլյացիայի արժեքների քանակի վրա: Տարբերությունմեկ արժեքի և միջինի միջև արտացոլում է շեղման չափը: Այն քառակուսի է կազմում, որպեսզի բոլոր շեղումները դառնան բացառապես դրական թվեր և խուսափեն դրական և բացասական շեղումների փոխադարձ չեղարկումից, երբ դրանք գումարվեն: Այնուհետև, հաշվի առնելով քառակուսի շեղումները, մենք պարզապես հաշվարկում ենք միջին թվաբանականը: Միջին - քառակուսի - շեղումներ: Շեղումները քառակուսի են, և միջինը համարվում է: «Ցրվածություն» կախարդական բառի պատասխանն ընդամենը երեք բառ է:

Այնուամենայնիվ, իր մաքուր ձևով, ինչպես, օրինակ, միջին թվաբանականը կամ , դիսպերսիան չի օգտագործվում։ Այն ավելի շուտ օժանդակ և միջանկյալ ցուցանիշ է, որն օգտագործվում է վիճակագրական վերլուծության այլ տեսակների համար: Նա նույնիսկ նորմալ չափման միավոր չունի։ Դատելով բանաձևից՝ սա սկզբնական տվյալների միավորի քառակուսին է։

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Չափենք պատահական փոփոխականը Նանգամ, օրինակ, քամու արագությունը չափում ենք տասն անգամ և ուզում ենք գտնել միջին արժեքը։ Ինչպե՞ս է միջին արժեքը կապված բաշխման ֆունկցիայի հետ:

Կամ մենք զառերը շատ անգամ ենք գցելու։ Միավորների թիվը, որոնք դուրս կգան մեռոցի վրա յուրաքանչյուր նետման ժամանակ, պատահական փոփոխական է և կարող է վերցնել ցանկացած բնական արժեք՝ 1-ից մինչև 6: Նայն հակված է շատ կոնկրետ թվի՝ գորգի: ակնկալիք Mx. Այս դեպքում Mx = 3.5:

Ինչպե՞ս է առաջացել այս արժեքը: Ներս թողնել Նփորձարկումներ n1մեկ անգամ 1 միավոր կորցնելուց հետո, n2անգամ՝ 2 միավոր և այլն։ Այնուհետև արդյունքների քանակը, որոնցում մեկ միավոր ընկավ.

Նմանապես այն արդյունքների դեպքում, երբ 2, 3, 4, 5 և 6 միավորները դուրս են մնացել:

Այժմ ենթադրենք, որ մենք գիտենք x պատահական փոփոխականի բաշխումները, այսինքն՝ մենք գիտենք, որ պատահական x փոփոխականը կարող է ընդունել x1, x2,..., xk արժեքները՝ p1, p2,... , pk.

Պատահական x փոփոխականի Mx ակնկալությունը հետևյալն է.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը միշտ չէ, որ ինչ-որ պատահական փոփոխականի ողջամիտ գնահատական ​​է: Այսպիսով, միջին աշխատավարձը գնահատելու համար ավելի խելամիտ է օգտագործել մեդիանայի հայեցակարգը, այսինքն՝ այնպիսի արժեք, որ այն մարդկանց թիվը, ովքեր ստանում են միջինից պակաս. աշխատավարձև մեծ, համընկնում:

p1 հավանականությունը, որ x պատահական փոփոխականը x1/2-ից փոքր է, և p2 հավանականությունը, որ x պատահական փոփոխականը x1/2-ից մեծ է, նույնն են և հավասար են 1/2-ի: Միջին չափը եզակիորեն որոշված ​​չէ բոլոր բաշխումների համար:

Ստանդարտ կամ ստանդարտ շեղումվիճակագրության մեջ կոչվում է դիտողական տվյալների կամ բազմությունների շեղման աստիճանը միջին արժեքից: Նշվում է s կամ s տառերով: Փոքր ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս, որ տվյալները խմբավորված են միջինի շուրջ, իսկ մեծ ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս, որ նախնական տվյալները հեռու են դրանից: Ստանդարտ շեղումը հավասար է մեծության քառակուսի արմատին, որը կոչվում է շեղում: Դա միջինից շեղվող սկզբնական տվյալների քառակուսի տարբերությունների գումարի միջինն է։ Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը տատանումների քառակուսի արմատն է.

Օրինակ. Փորձարկման պայմաններում թիրախի վրա կրակելիս հաշվարկեք պատահական փոփոխականի շեղումը և ստանդարտ շեղումը.

Վարիացիա- տատանում, հատկանիշի արժեքի փոփոխականություն բնակչության միավորներով. Հետազոտված պոպուլյացիայի մեջ հայտնված հատկանիշի առանձին թվային արժեքները կոչվում են արժեքային տարբերակներ: Բնակչության ամբողջական բնութագրման համար միջին արժեքի անբավարարությունը անհրաժեշտ է դարձնում միջին արժեքները համալրել ցուցիչներով, որոնք հնարավորություն են տալիս գնահատել այդ միջինների բնորոշությունը՝ չափելով ուսումնասիրվող հատկանիշի տատանումները (տարբերակումները): Տատանումների գործակիցը հաշվարկվում է բանաձևով.

Տարածքի տատանումները(R) ուսումնասիրված պոպուլյացիայի մեջ հատկանիշի առավելագույն և նվազագույն արժեքների տարբերությունն է: Այս ցուցանիշը տալիս է ուսումնասիրվող հատկանիշի տատանման ամենաընդհանուր պատկերացումը, ինչպես ցույց է տալիս տարբերությունըմիայն տարբերակների սահմանային արժեքների միջև: Հատկանիշի ծայրահեղ արժեքներից կախվածությունը տատանումների միջակայքին տալիս է անկայուն, պատահական բնույթ:

Միջին գծային շեղումՎերլուծված բնակչության բոլոր արժեքների բացարձակ (մոդուլային) շեղումների թվաբանական միջինն է դրանց միջին արժեքից.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը մոլախաղերի տեսության մեջ

Mat սպասում էմիջին գումարը, որը մոլախաղերի սպեկուլյանտը կարող է հաղթել կամ պարտվել տվյալ խաղադրույքում: Սա շատ կարևոր հայեցակարգ է սպեկուլյանտի համար, քանի որ այն հիմնարար է խաղային իրավիճակների մեծ մասի գնահատման համար: Զուգընկերոջ սպասումը նաև լավագույն գործիքն է հիմնական քարտերի դասավորությունը և խաղային իրավիճակները վերլուծելու համար:

Ենթադրենք, դուք մետաղադրամ եք խաղում ընկերոջ հետ՝ յուրաքանչյուր անգամ կատարելով 1 դոլարի հավասար խաղադրույք, անկախ նրանից, թե ինչ է առաջանում: Պոչեր՝ դուք հաղթեցիք, գլուխներ՝ պարտվեցիք։ Շանսերը, որ այն բարձրանա, մեկ առ մեկ է, և դուք խաղադրույք եք կատարում $1-ից $1-ը: Այսպիսով, ձեր շախմատի ակնկալիքը զրո է, քանի որ Մաթեմատիկորեն ասած՝ չես կարող իմանալ՝ երկու խաղարկումից հետո կառաջնորդե՞ս, թե՞ կպարտվես, թե՞ 200-ից հետո:

Ձեր ժամային շահույթը զրո է: Ժամային վճարումը այն գումարն է, որը դուք ակնկալում եք հաղթել մեկ ժամում: Դուք կարող եք մետաղադրամը շրջել 500 անգամ մեկ ժամվա ընթացքում, բայց չեք շահի կամ չես պարտվի, քանի որ ձեր հավանականությունը ոչ դրական է, ոչ էլ բացասական: Եթե ​​նայեք, լուրջ սպեկուլյանտի տեսանկյունից տեմպերի նման համակարգը վատը չէ։ Բայց դա պարզապես ժամանակի կորուստ է:

Բայց ենթադրենք, որ ինչ-որ մեկը ցանկանում է նույն խաղում խաղադրույք կատարել $2-ի դեմ ձեր $1-ի դեմ: Այնուհետև դուք անմիջապես յուրաքանչյուր խաղադրույքից 50 ցենտի դրական ակնկալիք ունեք: Ինչու 50 ցենտներ? Միջին հաշվով դուք շահում եք մեկ խաղադրույքը, իսկ երկրորդը կորցնում եք: Խաղադրույք կատարեք առաջինի վրա և կորցրեք $1, խաղադրույք կատարեք երկրորդի վրա և շահեք $2: Դուք երկու անգամ խաղադրույք եք կատարել $1-ով և առաջ եք $1-ով: Այսպիսով, ձեր մեկ դոլարի յուրաքանչյուր խաղադրույքը ձեզ տվեց 50 ցենտներ.

Եթե ​​մեկ ժամում մետաղադրամն ընկնի 500 անգամ, ձեր ժամային շահույթն արդեն կկազմի $250, քանի որ. միջին հաշվով դու կորցրել ես մեկը դոլար 250 անգամ և երկու անգամ հաղթել դոլար 250 անգամ։ $500 հանած $250-ը հավասար է $250-ի, որը ընդհանուր շահումն է: Նկատի ունեցեք, որ ակնկալվող արժեքը, որը միջին հաշվով շահում եք մեկ խաղադրույքի վրա, 50 ցենտ է: Դուք շահել եք $250՝ մեկ դոլարի վրա 500 անգամ խաղադրույք կատարելով, որը հավասար է ձեր խաղադրույքի 50 ցենտին:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Մատթ. ակնկալիքը կապ չունի կարճաժամկետ արդյունքների հետ. Ձեր հակառակորդը, ով որոշել է ձեր դեմ $2 խաղադրույք կատարել, կարող է հաղթել ձեզ անընդմեջ առաջին տասը գցումներով, բայց դուք, ունենալով 2-ը-1 խաղադրույքի առավելությունը, և մնացած բոլորը հավասար են, յուրաքանչյուր $1 խաղադրույքի վրա 50 ցենտ եք կազմում հանգամանքներ։ Կարևոր չէ՝ դուք շահում եք կամ պարտվում մեկ խաղադրույք կամ մի քանի խաղադրույք, այլ միայն այն պայմանով, որ ունեք բավականաչափ կանխիկ գումար՝ ծախսերը հեշտությամբ փոխհատուցելու համար: Եթե ​​դուք շարունակեք խաղադրույք կատարել նույն կերպ, ապա երկար ժամանակ ձեր շահումները կմոտենան առանձին նետումների ակնկալվող արժեքների գումարին:

Ամեն անգամ, երբ դուք կատարում եք լավագույն խաղադրույքը (խաղադրույք, որը կարող է շահավետ լինել երկարաժամկետ հեռանկարում), երբ հավանականությունը ձեր օգտին է, դուք անպայման կշահեք դրա վրա ինչ-որ բան, անկախ նրանից՝ կկորցնեք այն, թե ոչ տվյալ ձեռքում: Ընդհակառակը, եթե դուք ավելի վատ խաղադրույք եք կատարել (խաղադրույք, որը երկարաժամկետ հեռանկարում անշահավետ է), երբ հավանականությունը ձեր օգտին չէ, դուք ինչ-որ բան եք կորցնում, անկախ նրանից՝ հաղթում եք, թե կորցնում եք ձեռքը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Դուք խաղադրույք եք կատարում լավագույն արդյունքով, եթե ձեր ակնկալիքները դրական են, և դա դրական է, եթե հավանականությունը ձեր օգտին է: Վատագույն արդյունքով խաղադրույք կատարելով՝ դուք ունենում եք բացասական ակնկալիք, որը տեղի է ունենում, երբ հավանականությունը ձեր դեմ է: Լուրջ սպեկուլյանտները գրազ են գալիս միայն լավագույն ելքով, վատագույնի հետ՝ ծալում են։ Ի՞նչ է նշանակում ձեր օգտին հավանականությունը: Դուք կարող եք հաղթել ավելին, քան իրական հավանականությունը բերում է: Պոչերին հարվածելու իրական հավանականությունը 1-ը 1-ն է, բայց դուք ստանում եք 2-ը 1-ի շնորհիվ խաղադրույքների հարաբերակցության: Այս դեպքում հավանականությունը ձեր օգտին է: Դուք, անկասկած, ստանում եք լավագույն արդյունքը մեկ խաղադրույքի համար 50 ցենտի դրական ակնկալիքով:

Ահա ավելի բարդ օրինակ. ակնկալիքները. Ընկերը գրում է մեկից հինգ թվերը և խաղադրույք է կատարում 5 դոլար ձեր 1 դոլարի դիմաց, որ դուք չեք ընտրի համարը: Համաձա՞յն եք նման խաղադրույքին: Ի՞նչ ակնկալիք կա այստեղ։

Միջին հաշվով չորս անգամ կսխալվեք։ Ելնելով դրանից՝ թիվը գուշակելու ձեր դեմ գործակիցը կլինի 4-ը 1-ի: Հավանականությունն այն է, որ մեկ փորձից մեկ դոլար կկորցնեք: Այնուամենայնիվ, դուք հաղթում եք 5: Եթե ​​այս խաղադրույքը կատարեք հինգ անգամ, ապա միջինում կկորցնեք չորս անգամ $1 և մեկ անգամ կշահեք $5: Ելնելով դրանից՝ բոլոր հինգ փորձերի համար դուք կվաստակեք $1՝ դրական մաթեմատիկական ակնկալիքով՝ 20 ցենտ յուրաքանչյուր խաղադրույքի համար:

Սպեկուլյանտը, ով պատրաստվում է ավելի շատ շահել, քան խաղադրույք կատարել, ինչպես վերը նշված օրինակում, բռնում է հավանականությունը: Ընդհակառակը, նա փչացնում է շանսերը, երբ ակնկալում է ավելի քիչ հաղթել, քան խաղադրույք է կատարում: Խաղադրույքների սպեկուլյանտը կարող է ունենալ կա՛մ դրական, կա՛մ բացասական ակնկալիք՝ կախված նրանից, թե արդյոք նա բռնում է կամ փչացնում է հավանականությունը:

Եթե ​​խաղադրույք կատարեք 50 դոլար 10 դոլար շահելու համար՝ հաղթելու 4-ից 1 հնարավորությամբ, ապա կստանաք 2 դոլարի բացասական ակնկալիք, քանի որ միջին հաշվով դուք կշահեք չորս անգամ $10 և կկորցնեք $50 մեկ անգամ, ինչը ցույց է տալիս, որ մեկ խաղադրույքի կորուստը կկազմի $10: Բայց եթե դուք խաղադրույք եք կատարում $30 շահելու համար $10, նույն գործակցով հաղթելու 4-ը 1-ով, ապա այս դեպքում դուք ունեք $2-ի դրական ակնկալիք, քանի որ. դուք կրկին շահում եք չորս անգամ $10 և կորցնում եք $30 մեկ անգամ, ինչը շահույթ 10 դոլարով: Այս օրինակները ցույց են տալիս, որ առաջին խաղադրույքը վատ է, իսկ երկրորդը՝ լավ:

Մատթ. ակնկալիքը ցանկացած խաղային իրավիճակի կենտրոնն է: Երբ բուքմեյքերական գրասենյակը խրախուսում է ֆուտբոլասերներին խաղադրույք կատարել 11 դոլար՝ 10 դոլար շահելու համար, նրանք դրական ակնկալիք ունեն՝ յուրաքանչյուր 10 դոլարի դիմաց 50 ցենտ: Եթե ​​խաղատուն նույնիսկ գումար է վճարում Craps pass line-ից, ապա տան դրական ակնկալիքը մոտավորապես $1,40 է յուրաքանչյուր $100-ի համար; այս խաղը կառուցված է այնպես, որ յուրաքանչյուր ոք, ով խաղադրույք է կատարում այս գծի վրա, կորցնում է միջինը 50,7%-ով և հաղթում ժամանակի 49,3%-ում: Անկասկած, այս թվացյալ նվազագույն դրական ակնկալիքն է, որ հսկայական շահույթ է բերում կազինոների սեփականատերերին ամբողջ աշխարհում: Ինչպես նշել է Vegas World խաղատան սեփականատեր Բոբ Ստուպակը, «Մեկ հազարերորդ տոկոսըբացասական հավանականությունը բավական երկար հեռավորության վրա կսնանկացնի աշխարհի ամենահարուստ մարդուն։

Մաթեմատիկական ակնկալիք պոկեր խաղալիս

Պոկերի խաղը սպասման գորգի տեսության և հատկությունների կիրառման առումով ամենապատկերավոր և պատկերավոր օրինակն է:

Մատթ. Պոկերում ակնկալվող արժեքը - որոշակի որոշումից ստացված միջին օգուտը, պայմանով, որ նման որոշումը կարող է դիտարկվել մեծ թվերի և հեռավոր հեռավորությունների տեսության շրջանակներում: Հաջողակ պոկերը միշտ դրական մաթեմատիկական ակնկալիքներով քայլեր ընդունելն է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Մաթեմատիկական իմաստ. Պոկեր խաղալիս ակնկալիքը կայանում է նրանում, որ որոշում կայացնելիս հաճախ հանդիպում ենք պատահական փոփոխականների (մենք չգիտենք, թե որ խաղաթղթերն ունի հակառակորդը ձեռքին, որ խաղաթղթերը կգան հաջորդ փուլերում։ առևտուր) Լուծումներից յուրաքանչյուրը պետք է դիտարկենք մեծ թվերի տեսության տեսանկյունից, որն ասում է, որ բավականաչափ մեծ նմուշի դեպքում պատահական փոփոխականի միջին արժեքը կձգտի իր միջինին։

Ակնկալվող գորգերի հաշվարկման հատուկ բանաձևերից պոկերում առավել կիրառելի է հետևյալը.

Պոկերի գորգ խաղալիս. ակնկալիքը կարող է հաշվարկվել ինչպես խաղադրույքների, այնպես էլ զանգերի համար: Առաջին դեպքում պետք է հաշվի առնել fold equity-ը, երկրորդում՝ pot-ի սեփական հավանականությունը: Գորգը գնահատելիս. այս կամ այն ​​քայլի ակնկալիքով, պետք է հիշել, որ ծալքը միշտ զրոյական ակնկալիք ունի։ Այսպիսով, քարտերը հեռացնելը միշտ ավելի շահավետ որոշում կլինի, քան ցանկացած բացասական քայլ:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Ակնկալիքը ձեզ ասում է, թե ինչ կարող եք ակնկալել (կամ կորցնել) ձեր յուրաքանչյուր ռիսկի համար: Խաղատները վաստակում են փողորովհետև բոլոր խաղերից մատների ակնկալիքները, որոնք իրականացվում են դրանցում, ձեռնտու է կազինոյին: Բավականաչափ երկար խաղերի շարքի դեպքում կարելի է ակնկալել, որ հաճախորդը կկորցնի իր փողքանի որ «հավանականությունը» կազինոյի օգտին է. Այնուամենայնիվ, կազինոների պրոֆեսիոնալ սպեկուլյանտները սահմանափակում են իրենց խաղերը կարճ ժամանակահատվածներով՝ դրանով իսկ մեծացնելով իրենց օգտին հավանականությունը: Նույնը վերաբերում է ներդրումներին: Եթե ​​ձեր ակնկալիքները դրական են, դուք կարող եք ավելի շատ գումար վաստակել՝ կարճ ժամանակահատվածում բազմաթիվ գործարքներ կատարելով: ժամանակաշրջանժամանակ. Ակնկալիքը ձեր շահույթի մեկ շահույթի տոկոսն է՝ բազմապատկած ձեր միջին շահույթով, հանած կորստի հավանականությունը՝ բազմապատկած ձեր միջին կորստի վրա:

Պոկերը կարելի է դիտարկել նաև մատով: Կարելի է ենթադրել, որ որոշակի քայլը շահավետ է, բայց որոշ դեպքերում դա կարող է լավագույնը չլինել, քանի որ մեկ այլ քայլ ավելի շահավետ է: Ենթադրենք, դուք ֆուլ հաուս եք կատարել հինգ խաղաքարտի պոկերում: Ձեր հակառակորդը խաղադրույք է կատարում: Դուք գիտեք, որ եթե բարձրացնեք, նա կկանչի: Այսպիսով, բարձրացնելը լավագույն մարտավարությունն է թվում: Բայց եթե դուք իսկապես բարձրացնեք խաղադրույքը, մնացած երկու սպեկուլյանտներն անպայման կծալվեն: Բայց եթե զանգահարեք խաղադրույքը, ապա լիովին վստահ կլինեք, որ ձեզնից հետո մյուս երկու սպեկուլյանտները նույնը կանեն։ Երբ դուք բարձրացնում եք խաղադրույքը, ստանում եք մեկ միավոր, իսկ պարզապես զանգահարելով՝ երկու: Այսպիսով, զանգահարելը ձեզ ավելի բարձր դրական ակնկալվող արժեք է տալիս և լավագույն մարտավարությունն է:

Մատթ. Սպասելը կարող է նաև պատկերացում տալ, թե որ պոկերի մարտավարությունն է ավելի քիչ եկամտաբեր և որոնք ավելի շահավետ: Օրինակ, եթե խաղում եք որոշակի ձեռքով և կարծում եք, որ ձեր միջին կորուստը կազմում է 75 ցենտ, ներառյալ անտերը, ապա դուք պետք է խաղաք այդ ձեռքը, քանի որ սա ավելի լավ է, քան ծալելը, երբ նախագիծը $1 է:

Գորգի էությունը հասկանալու ևս մեկ կարևոր պատճառ. ակնկալիքն այն է, որ դա ձեզ մտքի խաղաղության զգացում է տալիս, անկախ նրանից, թե դուք շահել եք խաղադրույքը, թե ոչ. եթե լավ խաղադրույք կատարեք կամ ժամանակին կատարեք, դուք կիմանաք, որ կատարել եք կամ խնայել եք որոշակի գումար, որը կարող էր ավելի թույլ սպեկուլյանտը: չփրկել. Դա շատ ավելի դժվար է ծալել, եթե դուք հիասթափված եք, որ ձեր հակառակորդը ավելի լավ ձեռք է բերում վիճակահանությանը: Այս ամենի հետ մեկտեղ այն, ինչ դուք խնայում եք չխաղալով, խաղադրույքի փոխարեն ավելացվում է ձեր շահումների վրա մեկ գիշերվա կամ ամսական:

Պարզապես հիշեք, որ եթե ձեռքերը փոխեիք, ձեր հակառակորդը կկանչեր ձեզ, և ինչպես կտեսնեք «Պոկերի հիմնարար թեորեմ» հոդվածում, սա ձեր առավելություններից մեկն է միայն: Դուք պետք է ուրախանաք, երբ դա տեղի ունենա: Դուք նույնիսկ կարող եք սովորել վայելել կորած ձեռքը, քանի որ գիտեք, որ ձեր փոխարեն այլ սպեկուլյանտներ շատ ավելին կկորցնեն:

Ինչպես սկզբում նշվեց մետաղադրամի խաղի օրինակում, ժամային շահույթի հարաբերակցությունը կապված է գորգի ակնկալիքի հետ, և այս հայեցակարգը հատկապես կարևոր է պրոֆեսիոնալ սպեկուլյանտների համար: Երբ դուք պատրաստվում եք պոկեր խաղալ, դուք պետք է մտովի գնահատեք, թե որքան կարող եք հաղթել մեկ ժամվա ընթացքում: Շատ դեպքերում ձեզ հարկավոր կլինի ապավինել ձեր ինտուիցիայի և փորձի վրա, բայց կարող եք նաև օգտագործել որոշ մաթեմատիկական հաշվարկներ: Օրինակ, եթե դուք խաղում եք ոչ-ոքի, և տեսնում եք, որ երեք խաղացողներ խաղադրույք են կատարում $10, իսկ հետո երկու խաղաթղթեր են խաղում, ինչը շատ վատ մարտավարություն է, կարող եք ինքներդ հաշվարկել, որ ամեն անգամ, երբ նրանք $10 գրազ են գալիս, նրանք կորցնում են մոտ $2: Նրանցից յուրաքանչյուրը դա անում է ժամում ութ անգամ, ինչը նշանակում է, որ երեքն էլ մեկ ժամում կորցնում են մոտ 48 դոլար։ Դուք մնացած չորս սպեկուլյանտներից մեկն եք, որոնք մոտավորապես հավասար են, ուստի այս չորս սպեկուլյանտները (և նրանց մեջ դուք) պետք է բաժանեն $48, և յուրաքանչյուրը ժամում կստանա $12 շահույթ: Ձեր ժամային դրույքաչափն այս դեպքում պարզապես ձեր բաժինն է երեք վատ սպեկուլյանտների կողմից մեկ ժամում կորցրած գումարի մեջ:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Երկար ժամանակահատվածում սպեկուլյանտի ընդհանուր շահույթը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարն է առանձին բաշխումներով: Որքան շատ ես խաղում դրական ակնկալիքներով, այնքան շատ ես հաղթում, և հակառակը, որքան շատ ձեռքեր խաղում բացասական ակնկալիքներով, այնքան շատ ես պարտվում: Արդյունքում, դուք պետք է առաջնահերթություն տաք խաղ, որը կարող է առավելագույնի հասցնել ձեր դրական ակնկալիքները կամ ժխտել ձեր բացասականը, որպեսզի կարողանաք առավելագույնի հասցնել ձեր ժամային շահույթը:

Դրական մաթեմատիկական ակնկալիքներ խաղի ռազմավարության մեջ

Եթե ​​դուք գիտեք, թե ինչպես հաշվել քարտերը, կարող եք առավելություն ունենալ կազինոյի նկատմամբ, եթե նրանք չնկատեն և ձեզ դուրս վռնդեն: Կազինոները սիրում են հարբած սպեկուլյանտներին և ատում են քարտերի հաշվիչները: Առավելությունը թույլ կտա ավելի շատ հաղթել, քան ժամանակի ընթացքում պարտվել: Փողի լավ կառավարումը, օգտագործելով շախմատի հաշվարկները, կարող է օգնել ձեզ ավելի շատ դուրս գալ ձեր եզրից և կրճատել ձեր կորուստները: Առանց առավելությունների, ավելի լավ է գումարը տրամադրեք բարեգործությանը: Ֆոնդային բորսայում խաղում առավելությունը տալիս է խաղի համակարգը, որն ավելի շատ շահույթ է ստեղծում, քան կորուստ, տարբերություն. գներըև հանձնաժողովներ։ ոչ ոք կապիտալի կառավարումչի փրկի վատ խաղային համակարգը:

Դրական ակնկալիքը սահմանվում է զրոյից մեծ արժեքով: Որքան մեծ է այս թիվը, այնքան ավելի ուժեղ է վիճակագրական ակնկալիքը: Եթե ​​արժեքը զրոյից փոքր է, ապա ակնկալիքը նույնպես բացասական կլինի. Որքան մեծ է բացասական արժեքի մոդուլը, այնքան վատ է իրավիճակը: Եթե ​​արդյունքը զրոյական է, ապա ակնկալիքը հավասար է: Դուք կարող եք հաղթել միայն այն դեպքում, երբ ունեք դրական մաթեմատիկական ակնկալիք, խելամիտ խաղային համակարգ։ Ինտուիցիայի վրա խաղալը հանգեցնում է աղետի:

Մաթեմատիկական սպասում և

Մաթեմատիկայի ակնկալիքը բավականին լայն պահանջարկ ունեցող և տարածված վիճակագրական ցուցանիշ է ֆինանսական շուկաներում բորսայական առևտրի իրականացման համար: շուկաներ. Առաջին հերթին, այս պարամետրը օգտագործվում է հաջողության վերլուծության համար առևտուր. Դժվար չէ կռահել, որ որքան մեծ է այս արժեքը, այնքան ավելի շատ հիմք է ուսումնասիրվող առևտուրը հաջողված համարելու։ Իհարկե, վերլուծություն աշխատանքթրեյդերը չի կարող կատարվել միայն այս պարամետրի օգնությամբ: Այնուամենայնիվ, հաշվարկված արժեքը որակի գնահատման այլ մեթոդների հետ համատեղ աշխատանք, կարող է զգալիորեն բարելավել վերլուծության ճշգրտությունը:

Մատ ակնկալիքը հաճախ հաշվարկվում է առևտրային հաշիվների մոնիտորինգի ծառայություններում, ինչը թույլ է տալիս արագ գնահատել ավանդի վրա կատարված աշխատանքը: Որպես բացառություն, մենք կարող ենք նշել ռազմավարություններ, որոնք օգտագործում են կորցրած գործարքների «գերաժամկետ մնալը»: Առևտրականբախտը կարող է որոշ ժամանակ ուղեկցել նրան, և, հետևաբար, կարող է ընդհանրապես կորուստներ չլինեն նրա աշխատանքում։ Այս դեպքում միայն ակնկալիքով կողմնորոշվել հնարավոր չի լինի, քանի որ աշխատանքում օգտագործվող ռիսկերը հաշվի չեն առնվի։

Առևտրի մեջ շուկա mat ակնկալիքն առավել հաճախ օգտագործվում է առևտրային ռազմավարության շահութաբերությունը կանխատեսելիս կամ եկամուտը կանխատեսելիս վաճառողիր նախորդի վիճակագրության հիման վրա սակարկություն.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Փողի կառավարման հետ կապված շատ կարևոր է հասկանալ, որ բացասական ակնկալիքով առևտուր անելիս չկա սխեմա. կառավարումգումար, որը միանշանակ կարող է բարձր շահույթ բերել։ Եթե ​​դուք շարունակեք խաղալ ֆոնդային բորսաայս պայմաններում՝ անկախ մեթոդից կառավարումգումար, դուք կկորցնեք ձեր ամբողջ հաշիվը, անկախ նրանից, թե որքան մեծ է եղել սկզբում:

Այս աքսիոմը ճշմարիտ է ոչ միայն բացասական ակնկալիքներով խաղերի կամ առևտրի համար, այլև ճշմարիտ է զույգ գործակիցների համար: Հետևաբար, միակ դեպքը, երբ երկարաժամկետ հեռանկարում օգուտ քաղելու հնարավորություն ունեք, դրական մաթեմատիկական ակնկալիքով գործարքներ կնքելն է։

Բացասական ակնկալիքների և դրական ակնկալիքների տարբերությունը կյանքի և մահվան տարբերությունն է: Կարևոր չէ, թե որքան դրական կամ բացասական է ակնկալիքը. կարևորը դրական է, թե բացասական: Հետեւաբար, նախքան կառավարման խնդիրները դիտարկելը կապիտալպետք է դրական ակնկալիքներով խաղ գտնել:

Եթե ​​դուք չունեք այդ խաղը, ապա աշխարհում ոչ մի գումարի կառավարում ձեզ չի փրկի: Մյուս կողմից, եթե դուք ունեք դրական ակնկալիք, ապա հնարավոր է փողի ճիշտ կառավարման միջոցով այն վերածել էքսպոնենցիալ աճի ֆունկցիայի։ Կարևոր չէ, թե որքան փոքր է դրական ակնկալիքը։ Այսինքն՝ կարեւոր չէ, թե որքանով է շահութաբեր մեկ պայմանագրի վրա հիմնված առեւտրային համակարգը։ Եթե ​​դուք ունեք համակարգ, որը շահում է $10 մեկ պայմանագրով մեկ առևտրի դեպքում (հանձնաժողովներից և սայթաքումից հետո), կարող են օգտագործվել կառավարման մեթոդներ կապիտալայնպես, որ այն ավելի շահավետ է դարձնում, քան համակարգը, որը ցույց է տալիս 1000 դոլար միջին շահույթ մեկ առևտրի համար (վճարներից և սայթաքումից հետո):

Կարևորն այն չէ, թե որքանով էր շահութաբեր համակարգը, այլ այն, թե որքանով կարելի է վստահ ասել, որ համակարգը ապագայում գոնե նվազագույն շահույթ է ցույց տալու։ Հետևաբար, ամենակարևոր նախապատրաստումը, որը կարելի է անել, համոզվելն է, որ համակարգը ապագայում ցույց տա դրական ակնկալվող արժեք:

Ապագայում դրական ակնկալվող արժեք ունենալու համար շատ կարևոր է չսահմանափակել ձեր համակարգի ազատության աստիճանները։ Սա ձեռք է բերվում ոչ միայն օպտիմալացման ենթակա պարամետրերի վերացման կամ կրճատման միջոցով, այլև հնարավորինս շատ համակարգի կանոնների կրճատմամբ: Ձեր ավելացրած յուրաքանչյուր պարամետր, ձեր կատարած յուրաքանչյուր կանոն, համակարգում ձեր կատարած յուրաքանչյուր փոքրիկ փոփոխություն նվազեցնում է ազատության աստիճանների թիվը: Իդեալում, դուք ցանկանում եք կառուցել բավականին պարզունակ և պարզ համակարգ, որը մշտապես փոքր շահույթ կբերի գրեթե ցանկացած շուկայում: Կրկին, կարևոր է, որ դուք հասկանաք, որ կարևոր չէ, թե որքան շահութաբեր է համակարգը, քանի դեռ այն շահութաբեր է: որ դուք վաստակում եք առևտրում, կվաստակեք արդյունավետ փողի կառավարման միջոցով:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Առևտրային համակարգը պարզապես գործիք է, որը ձեզ տալիս է դրական մաթեմատիկական ակնկալիք, որպեսզի հնարավոր լինի օգտագործել փողի կառավարումը: Համակարգերը, որոնք աշխատում են (ցույց են տալիս առնվազն նվազագույն շահույթ) միայն մեկ կամ մի քանի շուկաներում, կամ ունեն տարբեր կանոններ կամ պարամետրեր տարբեր շուկաների համար, ամենայն հավանականությամբ իրական ժամանակում երկար չեն աշխատի: Տեխնիկական թրեյդերների մեծ մասի խնդիրն այն է, որ նրանք չափազանց շատ ժամանակ և ջանք են ծախսում առևտրային համակարգի տարբեր կանոնների և պարամետրերի օպտիմալացման վրա: Սա լրիվ հակառակ արդյունքներ է տալիս։ Առևտրային համակարգի շահույթն ավելացնելու վրա էներգիա և համակարգչային ժամանակ վատնելու փոխարեն, ձեր էներգիան ուղղեք նվազագույն շահույթ ստանալու հուսալիության մակարդակի բարձրացմանը:

Իմանալով, որ կապիտալի կառավարում- սա ընդամենը թվային խաղ է, որը պահանջում է դրական ակնկալիքների օգտագործում, թրեյդերը կարող է դադարեցնել բորսայում առևտրի «սուրբ գրալ» փնտրելը: Փոխարենը, նա կարող է սկսել փորձարկել իր առևտրային մեթոդը, պարզել, թե որքանով է տրամաբանական այս մեթոդը, արդյոք այն դրական ակնկալիքներ է տալիս։ Փողերի կառավարման ճիշտ մեթոդները, որոնք կիրառվում են ցանկացած, նույնիսկ շատ միջակ առևտրային մեթոդների համար, կկատարեն մնացած աշխատանքը:

Որպեսզի ցանկացած թրեյդեր իր աշխատանքում հաջողակ լինի, նա պետք է լուծի երեք կարևորագույն խնդիրները. Ապահովել, որ հաջող գործարքների թիվը գերազանցի անխուսափելի սխալներն ու սխալ հաշվարկները. Ստեղծեք ձեր առևտրային համակարգը այնպես, որ հնարավորինս հաճախակի գումար վաստակելու հնարավորությունը. Ձեռք բերեք ձեր գործողությունների կայուն դրական արդյունքը:

Եվ ահա, մեզ՝ աշխատող թրեյդերների համար, շախմատը լավ օգնություն կարող է լինել։ ակնկալիք. Հավանականության տեսության այս տերմինը առանցքայիններից մեկն է։ Դրանով դուք կարող եք տալ որոշ պատահական արժեքի միջին գնահատական: Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նման է ծանրության կենտրոնին, եթե բոլոր հնարավոր հավանականությունները պատկերացնենք որպես տարբեր զանգվածներով կետեր:

Առևտրային ռազմավարության հետ կապված, դրա արդյունավետությունը գնահատելու համար առավել հաճախ օգտագործվում է շահույթի (կամ վնասի) ակնկալիքը: Այս պարամետրը սահմանվում է որպես տվյալ շահույթի և վնասի մակարդակների արտադրանքների հանրագումար և դրանց առաջացման հավանականություն: Օրինակ՝ մշակված առևտրային ռազմավարությունը ենթադրում է, որ բոլոր գործառնությունների 37%-ը շահույթ կբերի, իսկ մնացածը՝ 63%-ը, անշահավետ կլինի։ Միաժամանակ միջինը եկամուտըհաջող գործարքից կկազմի 7 դոլար, իսկ միջին վնասը կկազմի 1,4 դոլար։ Եկեք հաշվարկենք գորգը: Նման համակարգով առևտրի ակնկալիքը.

Ի՞նչ է նշանակում այս թիվը: Դրանում ասվում է, որ այս համակարգի կանոններին հետևելով՝ յուրաքանչյուր փակ գործարքից միջինը կստանանք 1708 դոլար։ Քանի որ ստացված արդյունավետության միավորը զրոյից մեծ է, նման համակարգը կարող է օգտագործվել իրական աշխատանքի համար: Եթե ​​գորգի հաշվարկի արդյունքում ակնկալիքը բացասական է ստացվում, ապա դա արդեն վկայում է միջին կորստի մասին, և դա կբերի կործանման։

Մեկ առևտրի համար շահույթի չափը կարող է արտահայտվել նաև որպես հարաբերական արժեք %-ի տեսքով: Օրինակ:

Եկամտի տոկոսը 1 գործարքից - 5%;

Հաջողակ առևտրային գործառնությունների տոկոսը` 62%;

Կորուստների տոկոսը 1 առևտրի դիմաց - 3%;

Անհաջող գործարքների տոկոսը՝ 38%;

Այս դեպքում գորգ. ակնկալիքը կլինի.

Այսինքն՝ միջին գործարքը կբերի 1,96 տոկոս։

Կարելի է մշակել այնպիսի համակարգ, որը, չնայած պարտվող գործարքների գերակշռությանը, դրական արդյունք կտա, քանի որ դրա MO>0։

Սակայն միայն սպասելը բավարար չէ։ Դժվար է գումար աշխատել, եթե համակարգը շատ քիչ առեւտրային ազդանշաններ է տալիս: Այս դեպքում այն ​​համեմատելի կլինի բանկային տոկոսների հետ։ Թող յուրաքանչյուր գործողություն միջինը բերի ընդամենը 0,5 դոլար, իսկ եթե համակարգը ենթադրում է տարեկան 1000 գործարք: Սա շատ լուրջ գումար կլինի համեմատաբար կարճ ժամանակում։ Սրանից տրամաբանորեն հետևում է, որ լավ առևտրային համակարգի մեկ այլ հատկանիշ կարելի է համարել պահման կարճ ժամանակահատված:

Աղբյուրներ և հղումներ

dic.academic.ru - ակադեմիական առցանց բառարան

mathematics.ru - ուսումնական կայք մաթեմատիկայի վերաբերյալ

nsu.ru - Նովոսիբիրսկի պետական ​​համալսարանի կրթական կայք

webmath.ru - կրթական պորտալ ուսանողների, դիմորդների և դպրոցականների համար:

exponenta.ru ուսումնական մաթեմատիկական կայք

ru.tradimo.com - անվճար առցանց առևտրի դպրոց

crypto.hut2.ru - բազմամասնագիտական ​​տեղեկատվական ռեսուրս

poker-wiki.ru - պոկերի ազատ հանրագիտարան

sernam.ru - Ընտրված բնագիտական ​​հրատարակությունների գիտական ​​գրադարան

reshim.su - կայք

unfx.ru - Forex-ը UNFX-ում. ուսուցում, առևտրային ազդանշաններ, վստահության կառավարում

- - մաթեմատիկական ակնկալիք Պատահական փոփոխականի թվային բնութագրիչներից մեկը, որը հաճախ կոչվում է նրա տեսական միջին: Դիսկրետ պատահական X փոփոխականի համար մաթեմատիկական ... ... Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ

ՍՊԱՍՎԱԾ ԱՐԺԵՔ- (ակնկալվող արժեք) Տնտեսական փոփոխականի բաշխման միջին արժեքը, որը կարող է վերցնել: Եթե ​​pt-ն ապրանքի գինն է t ժամանակում, ապա դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը նշվում է Ept-ով: Նշել ժամանակի այն կետը, որը պետք է ... ... Տնտեսական բառարան

Ակնկալվող արժեքը- պատահական փոփոխականի միջին արժեքը: Մաթեմատիկական ակնկալիքը դետերմինիստական ​​մեծություն է: Պատահական փոփոխականի իրականացման միջին թվաբանականը մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատումն է: Միջին…… Պաշտոնական տերմինաբանությունը պատահական փոփոխականի (միջին արժեքն) է, պատահական փոփոխականի թվային բնութագիրը: Եթե ​​պատահական փոփոխականը տրված է հավանականության տարածության վրա (տես Հավանականության տեսություն), ապա դրա M. o. MX (կամ EX) սահմանվում է որպես Lebesgue ինտեգրալ. որտեղ... Ֆիզիկական հանրագիտարան

ՍՊԱՍՎԱԾ ԱՐԺԵՔ- պատահական փոփոխականը նրա թվային բնութագիրն է: Եթե ​​X պատահական փոփոխականն ունի բաշխման ֆունկցիա F(x), ապա դրա M. o. կլինի: . Եթե ​​X-ի բաշխումը դիսկրետ է, ապա М.о.: , որտեղ x1, x2, ... դիսկրետ պատահական X փոփոխականի հնարավոր արժեքներն են. p1 ... Երկրաբանական հանրագիտարան

ՍՊԱՍՎԱԾ ԱՐԺԵՔ- Անգլերեն. ակնկալվող արժեք; գերմաներեն Էրվարթունգ մաթեմատիկական. Պատահական փոփոխականի ստոխաստիկ միջին կամ ցրման կենտրոն: Անտինազի. Սոցիոլոգիայի հանրագիտարան, 2009 ... Սոցիոլոգիայի հանրագիտարան

Ակնկալվող արժեքը- Տես նաև. Պայմանական ակնկալիք Մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի միջին արժեքն է, պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը դիտարկվում է հավանականությունների տեսության մեջ: Անգլերեն գրականության մեջ և մաթեմատիկական ... ... Վիքիպեդիայում

Ակնկալվող արժեքը- 1.14 Մաթեմատիկական ակնկալիք E (X), որտեղ դիսկրետ պատահական փոփոխականի xi արժեքներ. p = P (X = xi); f(x) շարունակական պատահական փոփոխականի խտությունն է * Եթե այս արտահայտությունը գոյություն ունի բացարձակ կոնվերգենցիայի իմաստով Աղբյուր ... Նորմատիվային և տեխնիկական փաստաթղթերի տերմինների բառարան-տեղեկատու

Գրքեր

Մենք օգտագործում ենք թխուկներ մեր կայքի լավագույն ներկայացման համար: Շարունակելով օգտվել այս կայքից՝ դուք համաձայն եք դրա հետ: լավ

Մաթեմատիկական ակնկալիք հասկացությունը կարելի է դիտարկել օգտագործելով զառ նետելու օրինակը: Յուրաքանչյուր նետումով գրանցվում են բաց թողնված միավորները: Դրանք արտահայտելու համար օգտագործվում են բնական արժեքներ 1-6 միջակայքում:

Որոշակի քանակությամբ նետումներից հետո, օգտագործելով պարզ հաշվարկներ, կարող եք գտնել ընկած կետերի միջին թվաբանականը:

Ինչպես նաև գցել միջակայքի արժեքներից որևէ մեկը, այս արժեքը կլինի պատահական:

Իսկ եթե մի քանի անգամ ավելացնե՞ք նետումների քանակը։ Մեծ քանակությամբ նետումների դեպքում միավորների միջին թվաբանական արժեքը կմոտենա կոնկրետ թվին, որը հավանականությունների տեսության մեջ ստացել է մաթեմատիկական ակնկալիքի անվանումը։

Այսպիսով, մաթեմատիկական ակնկալիքը հասկացվում է որպես պատահական փոփոխականի միջին արժեք: Այս ցուցանիշը կարող է ներկայացվել նաև որպես հավանական արժեքների կշռված գումար:

Այս հայեցակարգն ունի մի քանի հոմանիշ.

• նկատի ունեմ;
• միջին արժեքը;
• կենտրոնական միտումի ցուցիչ;
• առաջին պահը.

Այլ կերպ ասած, դա ոչ այլ ինչ է, քան մի թիվ, որի շուրջ բաշխվում են պատահական փոփոխականի արժեքները:

Մարդկային գործունեության տարբեր ոլորտներում մաթեմատիկական ակնկալիքը հասկանալու մոտեցումները որոշակիորեն տարբեր կլինեն։

Այն կարելի է դիտել որպես.

• որոշման ընդունումից ստացված միջին օգուտը, այն դեպքում, երբ նման որոշումը դիտարկվում է մեծ թվերի տեսության տեսանկյունից.
• շահելու կամ պարտվելու հնարավոր գումարը (մոլախաղերի տեսություն), որը հաշվարկվում է միջին հաշվով յուրաքանչյուր խաղադրույքի համար: Ժարգոնով դրանք հնչում են որպես «խաղացողի առավելություն» (դրական խաղացողի համար) կամ «կազինո առավելություն» (բացասական խաղացողի համար);
• շահույթից ստացված շահույթի տոկոսը.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը պարտադիր չէ բացարձակապես բոլոր պատահական փոփոխականների համար: Այն բացակայում է նրանց համար, ովքեր ունեն համապատասխան գումարի կամ ինտեգրալի անհամապատասխանություն։

Ակնկալիքային հատկություններ

Ինչպես ցանկացած վիճակագրական պարամետր, մաթեմատիկական ակնկալիքն ունի հետևյալ հատկությունները.

Մաթեմատիկական ակնկալիքների հիմնական բանաձևերը

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հաշվարկը կարող է իրականացվել ինչպես պատահական փոփոխականների համար, որոնք բնութագրվում են և՛ շարունակականությամբ (բանաձև A), և՛ դիսկրետությամբ (բանաձև B).

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, որտեղ xi-ն պատահական փոփոխականի արժեքներն են, pi-ը՝ հավանականությունները.
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, որտեղ f(x)-ը հավանականության տրված խտություն է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հաշվարկման օրինակներ

Օրինակ Ա.

Հնարավո՞ր է պարզել Սպիտակաձյունիկի մասին հեքիաթի թզուկների միջին հասակը։ Հայտնի է, որ 7 թզուկներից յուրաքանչյուրն ուներ որոշակի բարձրություն՝ 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 եւ 0,81 մ.

Հաշվարկման ալգորիթմը բավականին պարզ է.

• գտեք աճի ցուցիչի բոլոր արժեքների գումարը (պատահական փոփոխական).
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Ստացված գումարը բաժանվում է թզուկների թվով.
  6,31:7=0,90.

Այսպիսով, հեքիաթում թզուկների միջին բարձրությունը 90 սմ է, այլ կերպ ասած՝ սա թզուկների աճի մաթեմատիկական ակնկալիքն է։

Աշխատանքային բանաձև - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

Մաթեմատիկական ակնկալիքի գործնական իրականացում

Մաթեմատիկական ակնկալիքի վիճակագրական ցուցանիշի հաշվարկը կիրառվում է գործնական գործունեության տարբեր ոլորտներում։ Խոսքն առաջին հերթին կոմերցիոն ոլորտի մասին է։ Ի վերջո, այս ցուցանիշի ներմուծումը Հյուգենսի կողմից կապված է այն շանսերի որոշման հետ, որոնք կարող են լինել բարենպաստ, կամ, ընդհակառակը, անբարենպաստ ինչ-որ իրադարձության համար։

Այս պարամետրը լայնորեն կիրառվում է ռիսկերի գնահատման համար, հատկապես երբ խոսքը վերաբերում է ֆինանսական ներդրումներին:
Այսպիսով, բիզնեսում մաթեմատիկական ակնկալիքների հաշվարկը գործում է որպես գների հաշվարկման ժամանակ ռիսկի գնահատման մեթոդ:

Նաև այս ցուցանիշը կարող է օգտագործվել որոշակի միջոցառումների արդյունավետությունը հաշվարկելիս, օրինակ, աշխատանքի պաշտպանության վերաբերյալ: Դրա շնորհիվ կարող եք հաշվարկել իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը։

Այս պարամետրի կիրառման մեկ այլ ոլորտ կառավարումն է: Այն կարող է հաշվարկվել նաև արտադրանքի որակի վերահսկման ժամանակ: Օրինակ, գորգ օգտագործելով: ակնկալիքներով, կարող եք հաշվարկել արտադրական թերի մասերի հնարավոր քանակը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն անփոխարինելի է նաև գիտական ​​հետազոտությունների ընթացքում ստացված արդյունքների վիճակագրական մշակման ժամանակ։ Այն նաև թույլ է տալիս հաշվարկել փորձի կամ ուսումնասիրության ցանկալի կամ անցանկալի արդյունքի հավանականությունը՝ կախված նպատակին հասնելու մակարդակից։ Ի վերջո, դրա ձեռքբերումը կարող է կապված լինել շահույթի և շահույթի հետ, իսկ չհասնելը՝ որպես կորուստ կամ կորուստ։

Օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքները Forex-ում

Այս վիճակագրական պարամետրի գործնական կիրառումը հնարավոր է արտարժույթի շուկայում գործարքներ իրականացնելիս։ Այն կարող է օգտագործվել առևտրային գործարքների հաջողությունը վերլուծելու համար: Ավելին, ակնկալիքների արժեքի աճը վկայում է նրանց հաջողության աճի մասին:

Կարևոր է նաև հիշել, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը չպետք է դիտարկվի որպես միակ վիճակագրական պարամետրը, որն օգտագործվում է թրեյդերի կատարողականը վերլուծելու համար: Մի քանի վիճակագրական պարամետրերի օգտագործումը միջին արժեքի հետ մեկտեղ երբեմն մեծացնում է վերլուծության ճշգրտությունը:

Այս պարամետրը լավ է դրսևորվել առևտրային հաշիվների դիտարկումների մոնիտորինգում: Նրա շնորհիվ իրականացվում է ավանդային հաշվի վրա կատարված աշխատանքների արագ գնահատում։ Այն դեպքերում, երբ թրեյդերի գործունեությունը հաջող է, և նա խուսափում է կորուստներից, խորհուրդ չի տրվում օգտագործել միայն մաթեմատիկական ակնկալիքի հաշվարկը։ Այս դեպքերում ռիսկերը հաշվի չեն առնվում, ինչը նվազեցնում է վերլուծության արդյունավետությունը։

Թրեյդերների մարտավարության ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ.

• ամենաարդյունավետը պատահական մուտքագրման վրա հիմնված մարտավարությունն է.
• ամենաքիչ արդյունավետը մարտավարությունն է, որը հիմնված է կառուցվածքային տվյալների վրա:

Դրական արդյունքների հասնելու համար հավասարապես կարևոր է.

• փողի կառավարման մարտավարություն;
• ելքի ռազմավարություններ.

Օգտագործելով այնպիսի ցուցանիշ, ինչպիսին է մաթեմատիկական ակնկալիքը, կարող ենք ենթադրել, թե ինչ շահույթ կամ վնաս կլինի 1 դոլար ներդնելիս։ Հայտնի է, որ կազինոյում կիրառվող բոլոր խաղերի համար հաշվարկված այս ցուցանիշը ձեռնտու է հաստատությանը։ Սա այն է, ինչը թույլ է տալիս գումար աշխատել: Խաղերի երկար շարքի դեպքում հաճախորդի կողմից գումար կորցնելու հավանականությունը զգալիորեն մեծանում է։

Պրոֆեսիոնալ խաղացողների խաղերը սահմանափակվում են փոքր ժամանակահատվածներով, ինչը մեծացնում է հաղթելու հնարավորությունը և նվազեցնում պարտվելու ռիսկը: Նույն օրինաչափությունը նկատվում է նաև ներդրումային գործառնությունների կատարման դեպքում։

Ներդրողը կարճ ժամանակահատվածում կարող է զգալի գումար վաստակել դրական ակնկալիքներով և մեծ քանակությամբ գործարքներով:

Ակնկալիքը կարելի է համարել որպես տարբերություն շահույթի տոկոսի (PW)՝ միջին շահույթի (AW) և կորստի հավանականության (PL) մեծած միջին կորստի (AL) միջև։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալը՝ դիրքը` 12,5 հազար դոլար, պորտֆելը` 100 հազար դոլար, մեկ ավանդի ռիսկը` 1 տոկոս: Գործարքների շահութաբերությունը դեպքերի 40%-ն է՝ 20% միջին շահույթով։ Կորստի դեպքում միջին կորուստը կազմում է 5%: Առևտրի մաթեմատիկական ակնկալիքի հաշվարկը տալիս է $625 արժեք: