Հիմնական թվերի բացերը. Թվային հատվածները, միջակայքերը, կիսատ միջակայքերը և ճառագայթները կոչվում են թվային միջակայքեր։ Բաց և փակ ճառագայթ

Բ) Թվային գիծ

Դիտարկենք թվային տողը (նկ. 6):

Դիտարկենք ռացիոնալ թվերի բազմությունը

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ ներկայացված է թվային տողի ինչ-որ կետով: Այսպիսով, թվերը նշված են նկարում:

Եկեք ապացուցենք դա։

Ապացույց.Թող լինի կոտորակ: Մենք իրավունք ունենք այս կոտորակը համարել անկրճատելի։ Քանի որ, ուրեմն - թիվը զույգ է. - կենտ: Արտահայտությունը փոխարինելով դրա փոխարեն՝ գտնում ենք՝ , որտեղից հետևում է, որ զույգ թիվ է։ Մենք ստացել ենք հակասություն, որն ապացուցում է պնդումը.

Այսպիսով, թվային առանցքի ոչ բոլոր կետերն են ներկայացնում ռացիոնալ թվեր: Այն կետերը, որոնք չեն ներկայացնում ռացիոնալ թվեր, ներկայացնում են կանչված թվեր իռացիոնալ.

, ձևի ցանկացած թիվ կամ ամբողջ թիվ է կամ իռացիոնալ:

Թվային ընդմիջումներ

Թվային հատվածները, միջակայքերը, կիսատ միջակայքերը և ճառագայթները կոչվում են թվային միջակայքեր։

Թվային բացը սահմանող անհավասարություն Թվային բացերի նշում Թվերի տիրույթի անվանումը Այն կարդում է այսպես.
ա ≤ x ≤ բ [ա; բ] Թվային հատված Հատված a-ից բ
ա< x < b (ա; բ) Ինտերվալ Ընդմիջում a-ից մինչև b
a ≤ x< b [ա; բ) Կես ընդմիջում Կես ընդմիջումից սկսած անախքան բ, այդ թվում ա.
ա< x ≤ b (ա; բ] Կես ընդմիջում Կես ընդմիջումից սկսած անախքան բ, այդ թվում բ.
x ≥ ա [ա; +∞) թվային ճառագայթ Թվերի ճառագայթը ամինչև գումարած անսահմանություն
x > ա (ա; +∞) Բաց թվային ճառագայթ Բացեք համարի ճառագայթը ամինչև գումարած անսահմանություն
x ≤ ա (-∞; ա] թվային ճառագայթ Թվային ճառագայթ մինուս անսահմանությունից մինչև ա
x< a (-∞; ա) Բաց թվային ճառագայթ Բաց թվային ճառագայթ մինուս անսահմանությունից մինչև ա

Կոորդինատային տողի վրա ներկայացնենք թվերը աև բ, ինչպես նաև համարը xնրանց միջեւ.

Պայմանին համապատասխանող բոլոր թվերի բազմությունը ա ≤ x ≤ բ, կոչվում է թվային հատվածկամ պարզապես կտրվածք. Այն նշվում է այսպես. ա; բ]-Կարդում է այսպես՝ a-ից b հատված:

Պայմանին համապատասխանող թվերի հավաքածու ա< x < b , կոչվում է ընդմիջում. Այն նշվում է այսպես. ա; բ)

Այն կարդում է այսպես՝ a-ից b միջակայքը:



a ≤ x պայմանները բավարարող թվերի բազմություններ< b или ա<x ≤ բ, կոչվում են կես ընդմիջումներով. Նշումներ:

Սահմանեք ≤ x< b обозначается так:[ա; բ), կարդացվում է այսպես՝ կես ինտերվալ ից անախքան բ, այդ թվում ա.

Շատ ա<x ≤ բնշված է այսպես. ա; բ], կարդում է այսպես՝ կես ինտերվալ ից անախքան բ, այդ թվում բ.

Հիմա պատկերացրեք Ռեյկետով ա, որից աջ և ձախ թվերի հավաքածու է։

ա, բավարարելով պայմանը x ≥ ա, կոչվում է թվային ճառագայթ.

Այն նշվում է այսպես. ա; +∞) - Կարդում է այսպես՝ թվային ճառագայթ ից ամինչև գումարած անսահմանություն:

Բազմաթիվ թվեր կետի աջ կողմում աանհավասարությանը համապատասխան x > ա, կոչվում է բաց թվով ճառագայթ.

Այն նշվում է այսպես. ա; +∞) - Կարդում է այսպես՝ բաց թվային ճառագայթ ից ամինչև գումարած անսահմանություն:

ա, բավարարելով պայմանը x ≤ ա, կոչվում է թվային գիծ մինուս անսահմանությունից մինչևա .

Այն պիտակավորված է այսպես. -∞; ա]-Կարդում է այսպես՝ թվային ճառագայթ մինուս անսահմանությունից մինչև ա.

Կետի ձախ կողմում գտնվող թվերի հավաքածու աանհավասարությանը համապատասխան x< a , կոչվում է բաց թվային ճառագայթ մինուս անսահմանությունից մինչևա .

Այն նշվում է այսպես. -∞; ա) - Կարդում է այսպես՝ բաց թվային ճառագայթ մինուս անսահմանությունից մինչև ա.

Իրական թվերի բազմությունը ներկայացված է ամբողջ կոորդինատային գծով։ Նրա անունն է թվային գիծ. Այն պիտակավորված է այսպես. - ∞; + ∞ )

3) Մեկ փոփոխականով գծային հավասարումներ և անհավասարումներ, դրանց լուծումները.

Փոփոխական պարունակող հավասարումը կոչվում է հավասարում մեկ փոփոխականով, կամ հավասարում մեկ անհայտով։ Օրինակ, մեկ փոփոխականով հավասարումը 3(2x+7)=4x-1 է:

Հավասարման արմատը կամ լուծումը փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում հավասարումը դառնում է իրական թվային հավասարություն: Օրինակ՝ 1 թիվը 2x+5=8x-1 հավասարման լուծումն է։ x2+1=0 հավասարումը լուծում չունի, քանի որ հավասարման ձախ կողմը միշտ զրոյից մեծ է: (x+3)(x-4)=0 հավասարումը երկու արմատ ունի՝ x1= -3, x2=4:

Հավասարման լուծում նշանակում է գտնել դրա բոլոր արմատները կամ ապացուցել, որ արմատներ չկան:

Հավասարումները կոչվում են համարժեք, եթե առաջին հավասարման բոլոր արմատները երկրորդ հավասարման արմատներն են և հակառակը, երկրորդ հավասարման բոլոր արմատները առաջին հավասարման արմատներն են, կամ եթե երկու հավասարումներն էլ արմատ չունեն։ Օրինակ՝ x-8=2 և x+10=20 հավասարումները համարժեք են, քանի որ առաջին հավասարման արմատը x=10 նույնպես երկրորդ հավասարման արմատն է, և երկու հավասարումներն ունեն նույն արմատը։

Հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են հետևյալ հատկությունները.

Եթե ​​հավասարման մեջ տերմինը մի մասից մյուսը տեղափոխենք նրա նշանը փոխելով, ապա կստանանք տրվածին համարժեք հավասարում։

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն ոչ զրոյական թվով, ապա ստացվում է հավասարում, որը համարժեք է տրվածին։

ax=b հավասարումը, որտեղ x-ը փոփոխական է, իսկ a-ն և b-ը՝ որոշ թվեր, կոչվում է գծային հավասարում մեկ փոփոխականով։

Եթե ​​a¹0, ապա հավասարումն ունի եզակի լուծում:

Եթե ​​a=0, b=0, ապա x-ի ցանկացած արժեք բավարարում է հավասարումը:

Եթե ​​a=0, b¹0, ապա հավասարումը լուծումներ չունի, քանի որ 0x=b չի կատարվում փոփոխականի որևէ արժեքի համար:
Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը.-8(11-2x)+40=3(5x-4)

Բացենք հավասարման երկու մասերի փակագծերը, x-ով բոլոր անդամները տեղափոխենք հավասարման ձախ կողմ, իսկ այն անդամները, որոնք x չեն պարունակում աջ կողմ, ստանում ենք.

16x-15x=88-40-12

Օրինակ 2. Լուծել հավասարումներ.

x3-2x2-98x+18=0;

Այս հավասարումները գծային չեն, բայց մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է լուծել նման հավասարումները։

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից մեկը հավասար է զրոյի, ապա ստանում ենք x1=0; x2=.

Պատասխան՝ 0; .

Գործոնավորելով հավասարման ձախ կողմը.

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), այսինքն. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Սա ցույց է տալիս, որ այս հավասարման լուծումներն են x1=2, x2=3, x3=-3 թվերը։

գ) 7x-ը ներկայացնենք որպես 3x+4x, ապա կունենանք՝ x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, հետևաբար x1=-3, x2=-4:

Պատասխան՝ -3; - չորս.
Օրինակ 3. Լուծե՛ք հավասարումը` ½x+1ç+½x-1ç=3:

Հիշեք թվի մոդուլի սահմանումը.

Օրինակ՝ ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4:

Այս հավասարման մեջ մոդուլի նշանի տակ են x-1 և x + 1 թվերը: Եթե ​​x-ը -1-ից փոքր է, ապա x+1 բացասական է, ապա ½x+1½=-x-1: Իսկ եթե x>-1, ապա ½x+1½=x+1: x=-1 ½x+1½=0-ի համար:

Այս կերպ,

Նմանապես

ա) Դիտարկենք այս հավասարումը½x+1½+½x-1½=3 x£-1-ի համար, այն համարժեք է -x-1-x+1=3, -2x=3, x= հավասարմանը, այս թիվը պատկանում է բազմությանը. x£-1.

բ) Թող -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

գ) Դիտարկենք x>1 դեպքը:

x+1+x-1=3, 2x=3, x=. Այս թիվը պատկանում է x>1 բազմությանը։

Պատասխան՝ x1=-1,5; x2=1,5.
Օրինակ 4. Լուծե՛ք հավասարումը.½x+2½+3½x½=2½x-1½:

Եկեք ցույց տանք հավասարման լուծման համառոտ գրառումը՝ ընդլայնելով մոդուլի նշանը «ընդմիջումներով»։

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2O (-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Պատասխան՝ [-2; 0]
Օրինակ 5. Լուծեք հավասարումը. (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), a պարամետրի բոլոր արժեքների համար:

Այս հավասարումն իրականում ունի երկու փոփոխական, սակայն x-ը համարում է անհայտ, իսկ a-ն՝ պարամետր: Պահանջվում է լուծել x փոփոխականի նկատմամբ հավասարումը a պարամետրի ցանկացած արժեքի համար:

Եթե ​​a=1, ապա հավասարումն ունի 0×x=0 ձև, ցանկացած թիվ բավարարում է այս հավասարումը։

Եթե ​​\u003d -1, ապա հավասարումը ունի 0 × x \u003d -2 ձև, այս հավասարումը չի բավարարում որևէ թվի:

Եթե ​​a¹1, a¹-1, ապա հավասարումն ունի եզակի լուծում:

Պատասխան. եթե a=1, ապա x-ը ցանկացած թիվ է.

եթե a=-1, ապա լուծումներ չկան.

եթե a¹±1, ապա .

Բ) Գծային անհավասարություններ մեկ փոփոխականով:

Եթե ​​x փոփոխականին տրվում է որոշակի թվային արժեք, ապա մենք ստանում ենք թվային անհավասարություն, որն արտահայտում է ճիշտ կամ սխալ պնդումը: Տրվի, օրինակ, 5x-1>3x+2 անհավասարությունը։ x=2-ով ստանում ենք 5 2-1> 3 2+2 - ճշմարիտ հայտարարություն (true numerical statement); x=0-ի համար ստանում ենք 5·0-1>3·0+2 – կեղծ հայտարարություն: Փոփոխականի ցանկացած արժեք, որի դեպքում փոփոխականի հետ տրված անհավասարությունը վերածվում է իրական թվային անհավասարության, կոչվում է անհավասարության լուծում: Փոփոխականով անհավասարություն լուծելը նշանակում է գտնել դրա բոլոր լուծումների բազմությունը:

Մեկ x փոփոխականով երկու անհավասարություններ համարվում են համարժեք, եթե այդ անհավասարությունների լուծումների բազմությունները նույնն են:

Անհավասարությունը լուծելու հիմնական գաղափարը հետևյալն է՝ տրված անհավասարությունը փոխարինում ենք մեկ այլով՝ ավելի պարզ, բայց տրվածին համարժեք. ստացված անհավասարությունը կրկին փոխարինվում է ավելի պարզ համարժեք անհավասարությամբ և այլն։

Նման փոխարինումները կատարվում են հետևյալ պնդումների հիման վրա.

Թեորեմ 1. Եթե մեկ փոփոխականով անհավասարության որևէ անդամ անհավասարության մի մասից մյուսին փոխանցվում է հակառակ նշանով՝ անհավասարության նշանը թողնելով անփոփոխ, ապա կստացվի տրվածին համարժեք անհավասարություն։

Թեորեմ 2. Եթե մեկ փոփոխականով անհավասարության երկու մասերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն դրական թվով, իսկ անհավասարության նշանը թողնելով անփոփոխ, ապա կստացվի տրվածին համարժեք անհավասարություն։

Թեորեմ 3. Եթե մեկ փոփոխականով անհավասարության երկու մասերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն նույնով. բացասական թիվ, անհավասարության նշանը փոխելով հակառակի վրա, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք անհավասարություն։

ax+b>0 ձևի անհավասարություն (համապատասխանաբար՝ ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Օրինակ 1. Լուծե՛ք անհավասարությունը՝ 2(x-3) + 5(1-x)³3(2x-5):

Բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք 2x-6 + 5-5x³6x-15,


Թվային բազմությունների շարքում, այն է հավաքածուներ, որոնց առարկաները թվերն են, առանձնացնում են այսպես կոչված թվային բացեր. Նրանց արժեքն այն է, որ շատ հեշտ է պատկերացնել մի շարք, որը համապատասխանում է նշված թվային տիրույթին, և հակառակը: Ուստի նրանց օգնությամբ հարմար է գրել անհավասարության լուծումների բազմությունը։

Այս հոդվածում մենք կվերլուծենք բոլոր տեսակի թվային միջակայքերը: Այստեղ մենք տալիս ենք նրանց անունները, ներկայացնում ենք նշում, կոորդինատային գծի վրա գծում ենք թվային ընդմիջումներ և ցույց ենք տալիս, թե որ ամենապարզ անհավասարությունները համապատասխանում են դրանց: Եզրափակելով, մենք տեսողականորեն կներկայացնենք ամբողջ տեղեկատվությունը թվային ինտերվալների աղյուսակի տեսքով:

Էջի նավարկություն.

Թվային միջակայքերի տեսակները

Յուրաքանչյուր թվային միջակայք ունի չորս անքակտելիորեն կապված բաներ.

  • թվերի տիրույթի անվանումը,
  • համապատասխան անհավասարություն կամ կրկնակի անհավասարություն,
  • նշանակումը,
  • և դրա երկրաչափական պատկերը՝ կոորդինատային գծի վրա պատկերի տեսքով։

Ցանկացած թվային միջակայք կարող է նշվել ցանկի վերջին երեք եղանակներից որևէ մեկով. կա՛մ անհավասարությամբ, կա՛մ նշանակմամբ, կա՛մ կոորդինատային գծի վրա պատկերով: Ընդ որում, ըստ նշանակման այս մեթոդի, օրինակ, անհավասարությամբ, մյուսները հեշտությամբ վերականգնվում են (մեր դեպքում՝ նշանակումը և երկրաչափական պատկերը)։

Եկեք իջնենք կոնկրետություններին: Եկեք նկարագրենք վերը նշված չորս կողմերի բոլոր թվային միջակայքերը:

Թվային միջակայքերի աղյուսակ

Այսպիսով, նախորդ պարբերությունում մենք սահմանեցինք և նկարագրեցինք հետևյալ թվային միջակայքերը.

  • բաց թվային ճառագայթ;
  • թվային ճառագայթ;
  • ընդմիջում;
  • կես ինտերվալ.

Հարմարության համար մենք ամփոփում ենք թվային ընդմիջումների վերաբերյալ բոլոր տվյալները աղյուսակում: Դրա մեջ դնենք թվային միջակայքի անվանումը, դրան համապատասխանող անհավասարությունը, նշումը և կոորդինատային գծի պատկերը։ Մենք ստանում ենք հետևյալը տեսականու աղյուսակ:


Մատենագիտություն.

  • Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
  • Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 9-րդ դասարան Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-րդ հրատ., Սր. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01752-3 ։

Թվերի բազմությունների շարքում կան բազմություններ, որտեղ առարկաները թվային միջակայքեր են։ Կոմպլեկտ նշելիս ավելի հեշտ է որոշել միջակայքով: Հետևաբար, մենք գրում ենք լուծումների բազմությունները՝ օգտագործելով թվային միջակայքերը:

Այս հոդվածը տալիս է թվային բացերի, անունների, նշումների, կոորդինատների գծի բացերի պատկերների, անհավասարությունների համապատասխանության վերաբերյալ հարցերի պատասխանները։ Եզրափակելով, կքննարկվի բացերի աղյուսակը:

Սահմանում 1

Յուրաքանչյուր թվային միջակայք բնութագրվում է.

  • Անուն;
  • սովորական կամ կրկնակի անհավասարության առկայությունը.
  • նշանակում;
  • երկրաչափական պատկեր կոորդինատային գծի վրա:

Թվային միջակայքը սահմանվում է վերը նշված ցանկի ցանկացած 3 եղանակով: Այսինքն՝ կոորդինատային գծի վրա անհավասարություն, նշում, պատկերներ օգտագործելիս։ Այս մեթոդը առավել կիրառելի է:

Կատարենք թվային ընդմիջումների նկարագրությունը վերը նշված կողմերի հետ.

Սահմանում 2

  • Բաց թվային ճառագայթ:Անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ այն բաց է թողնվել՝ բաց թողնելով։

Այս միջակայքն ունի համապատասխան x անհավասարություններ< a или x >a, որտեղ a-ն իրական թիվ է: Այսինքն՝ նման ճառագայթի վրա կան բոլոր իրական թվերը, որոնք փոքր են a-ից (x< a) или больше a - (x >ա) .

Թվերի բազմությունը, որը կբավարարի x ձևի անհավասարությունը< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a , նման (a , + ∞) .

Բաց ճառագայթի երկրաչափական իմաստը համարում է թվային բացվածքի առկայությունը: Համապատասխանություն կա կոորդինատային ուղղի կետերի և նրա թվերի միջև, ինչի պատճառով ուղիղը կոչվում է կոորդինատային ուղիղ։ Եթե ​​անհրաժեշտ է թվեր համեմատել, ապա կոորդինատային գծի վրա ավելի մեծ թիվը աջ կողմում է։ Այնուհետև x ձևի անհավասարություն< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >ա - կետեր, որոնք գտնվում են աջ կողմում: Թիվն ինքնին հարմար չէ լուծելու համար, հետևաբար, գծագրում այն ​​նշվում է բռունցքված կետով: Այն բացը, որն անհրաժեշտ է, ընդգծվում է ելուստով: Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Վերոնշյալ նկարից երևում է, որ թվային բացերը համապատասխանում են ուղիղ գծի մի մասի, այսինքն՝ a-ից սկսվող ճառագայթների։ Այսինքն՝ դրանք կոչվում են առանց սկզբի ճառագայթներ։ Ուստի այն կոչվեց բաց թվային ճառագայթ։

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1

Տրված խիստ անհավասարության համար x > − 3 տրված է բաց ճառագայթ։ Այս գրառումը կարող է ներկայացվել որպես կոորդինատներ (− 3, ∞): Այսինքն, սրանք բոլոր կետերն են, որոնք գտնվում են աջից, քան - 3-ը:

Օրինակ 2

Եթե ​​ունենք x ձևի անհավասարություն< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Սահմանում 3

  • թվային ճառագայթ.Երկրաչափական իմաստն այն է, որ սկիզբը չցնվի, այլ կերպ ասած՝ ճառագայթը թողնում է իր օգտակարությունը։

Դրա նշանակումը կատարվում է x ≤ a կամ x ≥ a ձևի ոչ խիստ անհավասարությունների օգնությամբ: Այս տեսակի համար ընդունվում է ձևի հատուկ նշում (− ∞ , a ] և [ a , + ∞), իսկ քառակուսի փակագծի առկայությունը նշանակում է, որ կետը ներառված է լուծման կամ բազմության մեջ։ Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Պատկերավոր օրինակի համար սահմանենք թվային ճառագայթ:

Օրինակ 3

x ≥ 5 ձևի անհավասարությունը համապատասխանում է [ 5 , + ∞) նշմանը, ապա ստանում ենք այս ձևի ճառագայթ.

Սահմանում 4

  • Ինտերվալ.Ինտերվալների օգտագործմամբ կարգավորումը գրվում է կրկնակի անհավասարությունների միջոցով a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Օրինակ 4

Ինտերվալի օրինակ - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Սահմանում 5

  • Թվային գիծ.Այս միջակայքը տարբերվում է նրանով, որ այն ներառում է սահմանային կետեր, այնուհետև այն ունի a ≤ x ≤ b ձևը: Նման ոչ խիստ անհավասարությունն ասում է, որ որպես թվային հատված գրելիս օգտագործվում են [ a , b ] քառակուսի փակագծերը, ինչը նշանակում է, որ կետերը ներառված են բազմության մեջ և ցուցադրվում են որպես լրացված։

Օրինակ 5

Հաշվի առնելով հատվածը, մենք ստանում ենք, որ դրա ճշգրտումը հնարավոր է օգտագործելով 2 ≤ x ≤ 3 կրկնակի անհավասարությունը, որը ներկայացված է որպես 2, 3: Կոորդինատային գծի վրա տրված կետկներառվի լուծույթի մեջ և կստվերվի:

Սահմանում 6 Օրինակ 6

Եթե ​​կա կես ինտերվալ (1, 3 ] , ապա դրա նշանակումը կարող է լինել կրկնակի անհավասարության տեսքով 1.< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Սահմանում 7

Բացերը կարող են ցուցադրվել հետևյալ կերպ.

  • բաց թվային ճառագայթ;
  • թվային ճառագայթ;
  • ընդմիջում;
  • թվային հատված;
  • կես ինտերվալ.

Հաշվարկման գործընթացը պարզեցնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հատուկ աղյուսակ, որտեղ կան ուղիղ գծի բոլոր տեսակի թվային միջակայքերի նշանակումներ:

Անուն անհավասարություն Նշանակում Պատկեր
Բաց թվային ճառագայթ x< a - ∞ , ա
x > ա a , +∞
թվային ճառագայթ x ≤ ա (-∞, ա]
x ≥ ա [a, +∞)
Ինտերվալ ա< x < b ա , բ
Թվային հատված ա ≤ x ≤ բ ա , բ

Կես ընդմիջում

Պատասխան - (-∞;+∞) բազմությունը կոչվում է թվային ուղիղ, իսկ ցանկացած թիվ՝ այս ուղիղի կետ: Թող a-ն լինի կամայական կետ իրական գծի վրա և δ

Դրական թիվ. Միջակայքը (a-δ; a+δ) կոչվում է a կետի δ-հարևանություն:

X բազմությունը սահմանափակված է վերևից (ներքևից), եթե կա c թիվ այնպես, որ ցանկացած x ∈ X-ի համար x≤с (x≥c) անհավասարությունը բավարարված է: c թիվն այս դեպքում կոչվում է X բազմության վերին (ներքևի) սահման: Վերևից և ներքևից սահմանափակված բազմությունը կոչվում է սահմանափակված: Կոմպլեկտի վերին (ներքևի) երեսներից ամենափոքրը (ամենամեծը) կոչվում է այս բազմության ճշգրիտ վերին (ներքևի) սահման:

Թվային միջակայքը իրական թվերի միացված բազմություն է, այսինքն՝ այնպիսին, որ եթե 2 թվեր պատկանում են այս բազմությանը, ապա նրանց միջև պարփակված բոլոր թվերը նույնպես պատկանում են այս բազմությանը։ Գոյություն ունեն մի քանի, ինչ-որ իմաստով, տարբեր տեսակի ոչ դատարկ թվային ինտերվալներ՝ գիծ, ​​բաց ճառագայթ, փակ ճառագայթ, գծի հատված, կիսինտերվալ, ինտերվալ։

Թվային գիծ

Բոլոր իրական թվերի բազմությունը կոչվում է նաև թվային գիծ։ Նրանք գրում են.

Գործնականում կարիք չկա տարբերակել կոորդինատ կամ թվային ուղիղ հասկացությունը երկրաչափական իմաստով և այս սահմանմամբ ներմուծված թվային ուղիղ հասկացությունը։ Ուստի սրանք տարբեր հասկացություններնշվում է նույն տերմինով.

բաց ճառագայթ

Թվերի այնպիսի բազմություն, որը կամ կոչվում է բաց թվային ճառագայթ: Գրել կամ համապատասխանաբար. .

փակ ճառագայթ

Թվերի այնպիսի բազմություն, որը կամ կոչվում է փակ թվային ճառագայթ: Գրել կամ համապատասխանաբար.

Թվերի այնպիսի բազմություն, որը կոչվում է թվային հատված:

Մեկնաբանություն. Սահմանման մեջ դա չի նշվում: Ենթադրվում է, որ դեպքը հնարավոր է։ Այնուհետև թվային միջակայքը վերածվում է կետի:

Ինտերվալ

Թվերի մի շարք, ինչպիսին է, կոչվում է թվային միջակայք:

Մեկնաբանություն. Բաց ճառագայթի, ուղիղ գծի և միջակայքի նշանակումների համընկնումը պատահական չէ: Բաց ճառագայթը կարելի է հասկանալ որպես ինտերվալ, որի ծայրերից մեկը հեռացվում է մինչև անվերջություն, իսկ թվային գիծը՝ որպես ինտերվալ, որի երկու ծայրերը հեռացվում են մինչև անսահմանություն։

Կես ընդմիջում

Թվերի այնպիսի բազմություն, որը կամ կոչվում է թվային կիսատ միջակայք:

Գրեք կամ, համապատասխանաբար,

3.Function.Function գրաֆիկ. Գործառույթ սահմանելու եղանակներ.

Պատասխան - Եթե տրված են երկու փոփոխականներ x և y, ապա ասում են, որ y փոփոխականը x փոփոխականի ֆունկցիա է, եթե այս փոփոխականների միջև տրված է այնպիսի հարաբերություն, որը թույլ է տալիս յուրաքանչյուր արժեքի եզակիորեն որոշել y-ի արժեքը:

F = y(x) նշումը նշանակում է, որ մենք դիտարկում ենք մի ֆունկցիա, որը թույլ է տալիս x անկախ փոփոխականի ցանկացած արժեք (դրանցից, որոնք ընդհանրապես կարող է վերցնել x արգումենտը) գտնել y կախված փոփոխականի համապատասխան արժեքը:

Գործառույթ սահմանելու եղանակներ.

Ֆունկցիան կարող է սահմանվել բանաձևով, օրինակ.

y \u003d 3x2 - 2:

Ֆունկցիան կարող է տրվել գրաֆիկով։ Օգտագործելով գրաֆիկը, կարող եք որոշել, թե ֆունկցիայի որ արժեքը համապատասխանում է փաստարկի նշված արժեքին: Սովորաբար սա ֆունկցիայի մոտավոր արժեք է։

4. Ֆունկցիայի հիմնական բնութագրերը՝ միապաղաղություն, հավասարություն, պարբերականություն։

Պատասխան -Պարբերականության սահմանում. F ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե այդպիսի թիվ կա
, որ f(x+
)=f(x), բոլոր x-ի համար Դ Ֆ). Բնականաբար, այդպիսի թվեր կան անսահման թվով։ Ամենափոքր դրական թիվը ^ T կոչվում է ֆունկցիայի պարբերաշրջան։ Օրինակներ. A. y \u003d cos x, T \u003d 2 . B. y \u003d tg x, T \u003d . S. y = (x), T = 1. D. y = , այս ֆունկցիան պարբերական չէ։ Պարիտետի սահմանում. F ֆունկցիան կանչվում է, եթե նույնիսկ բոլոր x-երի համար D(f)-ից f(-x) = f(x) հատկությունը բավարարված է: Եթե ​​f (-x) = -f (x), ապա ֆունկցիան կոչվում է կենտ: Եթե ​​այս հարաբերություններից ոչ մեկը բավարարված չէ, ապա ֆունկցիան կոչվում է ընդհանուր ձևի ֆունկցիա։ Օրինակներ. A. y \u003d cos (x) - նույնիսկ; B. y \u003d tg (x) - տարօրինակ; S. y \u003d (x); y=sin(x+1) – ընդհանուր ֆունկցիաներ: Միապաղաղության սահմանում. F ֆունկցիան՝ X -> R կոչվում է աճող (նվազող), եթե կա
պայմանը բավարարված է.
Սահմանում. X -> R ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ X-ի վրա, եթե այն մեծանում կամ նվազում է X-ում: Եթե ​​f-ը X-ի որոշ ենթաբազմությունների վրա միատոն է, ապա այն կոչվում է մաս-մաս միատոն: Օրինակ. y \u003d cos x-ը մասամբ միատոն ֆունկցիա է:

Կարդացեք նաև