Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր. Ուղղանկյուն X և Y կոորդինատներ Զոնալ Գաուս-Կրյուգերի կոորդինատային համակարգ Ո՞ր կետն է կոչվում կոորդինատային համակարգի սկզբնակետ.

Կոորդինատներ - դրանք մեծություններ են, որոնք որոշում են ընդունված կոորդինատային համակարգում ցանկացած կետի դիրքը մակերեսի կամ տարածության վրա: Կոորդինատների համակարգը սահմանում է սկզբնական (բնօրինակ) կետերը, գծերը կամ հարթությունները պահանջվող մեծությունները կարդալու համար՝ կոորդինատների ծագումը և դրանց հաշվարկման միավորները: Տոպոգրաֆիայում և գեոդեզիայում առավել մեծ կիրառություն են ստացել աշխարհագրական, ուղղանկյուն, բևեռային և երկբևեռ կոորդինատների համակարգերը։
Աշխարհագրական կոորդինատները (նկ. 2.8) օգտագործվում են էլիպսոիդի (գնդակի) վրա Երկրի մակերեւույթի կետերի դիրքը որոշելու համար։ Այս կոորդինատային համակարգում սկզբնական միջօրեական հարթությունը և հասարակածային հարթությունը սկզբնականներն են։ Միջօրեականը էլիպսոիդի կտրվածքի գիծ է միջով անցնող հարթությամբ տրված կետև Երկրի պտտման առանցքը:

Զուգահեռը էլիպսոիդի կտրվածքի ուղիղն է հարթության վրա, որն անցնում է տվյալ կետով և ուղղահայաց է երկրի առանցքին: Զուգահեռը, որի հարթությունն անցնում է էլիպսոիդի կենտրոնով, կոչվում է հասարակած։ Մակերեւույթի յուրաքանչյուր կետի միջով երկրագունդը, կարող եք անցկացնել միայն մեկ միջօրեական և միայն մեկ զուգահեռ:
Աշխարհագրական կոորդինատները անկյունային մեծություններ են՝ երկայնություն l և լայնություն j։
Աշխարհագրական երկայնությունը l կոչվում է dihedral անկյուն, պարփակված տվյալ միջօրեականի (B կետով անցնող) հարթության և սկզբնական միջօրեականի հարթության միջև։ Նախնական (զրոյական) միջօրեականի համար վերցվել է Լոնդոն քաղաքի Գրինվիչի աստղադիտարանի գլխավոր դահլիճի կենտրոնով անցնող միջօրեականը։ B կետի համար երկայնությունը որոշվում է l = WCD անկյունով: Երկայնությունները հաշվվում են հիմնական միջօրեականից երկու ուղղություններով՝ արևելք և արևմուտք: Այս առումով տարբերում ենք արևմտյան և արևելյան երկայնությունները, որոնք տատանվում են 0°-ից մինչև 180°:
Աշխարհագրական լայնություն j-ն հասարակածի հարթության և տվյալ կետով անցնող սյունագծի կողմից կազմված անկյունն է։ Եթե Երկիրը վերցվում է որպես գնդակ, ապա B կետի համար (նկ. 2.8) լայնությունը j-ն որոշվում է DCB անկյան միջոցով: Հասարակածից դեպի հյուսիս չափվող լայնությունները կոչվում են հյուսիսային, իսկ հարավից հարավ՝ դրանք տատանվում են 0°-ից հասարակածում մինչև 90° բևեռներում։
Աշխարհագրական կոորդինատները կարող են ստացվել աստղագիտական դիտարկումներից կամ գեոդեզիական չափումներից: Առաջին դեպքում դրանք կոչվում են աստղագիտական, իսկ երկրորդում՝ գեոդեզիական (L՝ երկայնություն, B՝ լայնություն)։ Աստղագիտական դիտարկումներում կետերի պրոյեկցիան հղման մակերևույթի վրա իրականացվում է սալորագծերով, գեոդեզիական չափումներում՝ նորմալներով։ Հետևաբար, աստղագիտական և գեոդեզիական կոորդինատների արժեքները տարբերվում են շեղման գծի շեղման չափով:
Տարբեր վիճակների կողմից տարբեր հղման էլիպսոիդների օգտագործումը հանգեցնում է տարբեր սկզբնական մակերեսների նկատմամբ հաշվարկված նույն կետերի կոորդինատների տարբերությունների: Գործնականում դա արտահայտվում է քարտեզագրական պատկերի ընդհանուր տեղաշարժով միջօրեականների և զուգահեռների նկատմամբ խոշոր և միջին մասշտաբների քարտեզների վրա:
Ուղղանկյուն կոորդինատներ գծային մեծություններ են կոչվում՝ աբսցիսա և օրդինատ, որոնք որոշում են հարթության վրա կետի դիրքը սկզբնական ուղղությունների նկատմամբ։

(նկ. 2.9)
Գեոդեզիայի և տեղագրության մեջ ընդունված է ճիշտ համակարգուղղանկյուն կոորդինատներ. Սա տարբերում է այն ձախ կոորդինատային համակարգից, որն օգտագործվում է մաթեմատիկայում: Սկզբնական ուղղությունները երկու փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղներ են, որոնց սկզբնակետը հատման կետում O.
XX ուղիղ գիծը (աբսցիսայի առանցքը) համահունչ է միջօրեականի ուղղության հետ, որն անցնում է սկզբնակետով կամ ինչ-որ միջօրեականին զուգահեռ ուղղության հետ։ YY ուղիղ գիծը (y առանցք) անցնում է x-ի առանցքին ուղղահայաց O կետով: Նման համակարգում կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է կոորդինատային առանցքներից նրան ամենակարճ հեռավորությամբ։ A կետի դիրքը որոշվում է Xa և Ya ուղղանկյունների երկարությամբ: Xa հատվածը կոչվում է A կետի աբսցիսսա, իսկ Yа-ն այս կետի օրդինատն է։ Ուղղանկյուն կոորդինատները սովորաբար արտահայտվում են մետրերով: Աբսցիսայի և օրդինատների առանցքները O կետի տեղանքը բաժանում են չորս քառորդների (նկ. 2.9): Թաղամասերի անվանումը որոշվում է աշխարհի երկրների ընդունված անվանումներով։ Քառորդները համարակալված են ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ I - SV; II - SE; III - SW; IV - հս.
Աղյուսակում. 2.3-ում ներկայացված են X աբսցիսների և Y օրդինատների նշանները տարբեր քառորդներում տեղակայված կետերի համար և տրված են դրանց անվանումները:

Աղյուսակ 2.3
Ակունքից վեր տեղակայված կետերի աբսցիսները համարվում են դրական, իսկ դրանից ներքև՝ բացասական, դեպի աջ տեղակայված կետերի օրդինատները՝ դրական, դեպի ձախ՝ բացասական։ Հարթ ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգը կիրառվում է սահմանափակ տարածքներում երկրի մակերեսը, որը կարելի է ընդունել որպես հարթ։
Կոորդինատները, որոնց սկզբնաղբյուրը տեղանքի ցանկացած կետ է, կոչվում են բևեռային: Այս կոորդինատային համակարգում չափվում են կողմնորոշման անկյունները: Հորիզոնական հարթության վրա (նկ. 2.10) կամայականորեն ընտրված O կետի միջով, որը կոչվում է բևեռ, գծվում է OX ուղիղ գիծ՝ բևեռային առանցքը:

Այնուհետև ցանկացած կետի դիրքը, օրինակ, M-ը կորոշվի շառավղով` r1 վեկտորը և ուղղության անկյունը a1, իսկ N կետը` համապատասխանաբար r2 և a2: A1 և a2 անկյունները չափվում են բևեռային առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ մինչև շառավիղի վեկտորը: Բևեռային առանցքը կարող է տեղակայվել կամայականորեն կամ համակցվել O բևեռով անցնող ցանկացած միջօրեականի ուղղության հետ։
Երկբևեռ կոորդինատային համակարգը (նկ. 2.11) ներկայացնում է երկու ընտրված ֆիքսված բևեռներ O1 և O2, որոնք միացված են ուղիղ գծով` բևեռային առանցքով: Այս կոորդինատային համակարգը թույլ է տալիս որոշել M կետի դիրքը հարթության վրա բևեռային առանցքի նկատմամբ՝ օգտագործելով երկու անկյուններ b1 և b2, երկու շառավիղային վեկտորներ r1 և r2 կամ դրանց համակցությունները: Եթե հայտնի են O1 և O2 կետերի ուղղանկյուն կոորդինատները, ապա կարելի է հաշվարկել M կետի դիրքը. վերլուծական եղանակով.

Բրինձ. 2.11

Բրինձ. 2.12
Երկրի մակերևույթի կետերի բարձրությունները: Երկրի ֆիզիկական մակերևույթի կետերի դիրքը որոշելու համար բավական չէ իմանալ միայն պլանավորված X, Y կամ l, j կոորդինատները, անհրաժեշտ է երրորդ կոորդինատը՝ H կետի բարձրությունը: H կետը (նկ. 2.12) ուղղահայաց ուղղության երկայնքով հեռավորությունն է տվյալ կետից (A´; B´´) մինչև ընդունված հիմնական մակարդակի MN մակերեսը: Կետի բարձրության թվային արժեքը կոչվում է բարձրություն: Հիմնական մակարդակի MN մակերևույթից չափվող բարձրությունները կոչվում են բացարձակ բարձրություններ (AA´; BB´´), իսկ կամայականորեն ընտրված մակարդակի մակերեսի նկատմամբ որոշվածները կոչվում են պայմանական բարձրություններ (В´В´»: Երկու կետերի բարձրության տարբերությունը կամ Երկրի ցանկացած երկու կետերով անցնող մակարդակի մակերևույթների միջև ուղղահայաց ուղղությամբ հեռավորությունը կոչվում է հարաբերական բարձրություն (В´В´») կամ այդ կետերի ավելցուկ h:
Բելառուսի Հանրապետությունում ընդունվել է 1977 թվականի Բալթյան բարձունքների համակարգը:Բարձրությունները հաշվվում են հարթ մակերեսից, որը համընկնում է Ֆիննական ծոցի ջրի միջին մակարդակի հետ՝ Կրոնշտադտի ստորոտի զրոյից:

Ահա ևս մեկ

4.1. ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐ

Տեղագրության մեջ առավել լայնորեն կիրառվում են ուղղանկյուն կոորդինատները։ Վերցրեք հարթության վրա երկու միմյանց ուղղահայաց գծեր. ՕXև OY. Այս ուղիղները կոչվում են կոորդինատային առանցքներ և դրանց հատման կետը ( Օ) կոորդինատների ծագումն է։

Բրինձ. 4.1. Ուղղանկյուն կոորդինատներ

Հարթության վրա ցանկացած կետի դիրքը հեշտությամբ կարելի է որոշել՝ նշելով կոորդինատային առանցքներից մինչև տվյալ կետը ամենակարճ հեռավորությունները։ Ամենակարճ հեռավորությունները ուղղահայաց են: Կոորդինատային առանցքներից մինչև տվյալ կետ ուղղահայաց հեռավորությունները կոչվում են այս կետի ուղղանկյուն կոորդինատներ: Առանցքին զուգահեռ գծի հատվածներ X, կոչվում են կոորդինատներ XԲԱՅՑ , և զուգահեռ առանցքները Յ- կոորդինատներ ժամըԲԱՅՑ .
Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի քառորդները համարակալված են: Նրանց հաշվարկը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ գնում է x առանցքի դրական ուղղությամբ՝ I, II, III, IV (նկ. 4.1):
Վերևում քննարկված ուղղանկյուն կոորդինատները օգտագործվում են հարթության վրա: Այստեղից նրանք ստացել են անունը հարթ ուղղանկյուն կոորդինատներ: Այս կոորդինատային համակարգը օգտագործվում է տեղանքի փոքր տարածքներում՝ վերցված որպես հարթություն։

4.2. ԶՈՆԱԼ ԳԱՈՒՍՅԱՆ ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

«Տեղագրական քարտեզների կանխատեսումներ» հարցը դիտարկելիս նշվեց, որ Երկրի մակերեսը նախագծված է առանցքային միջօրեականի երկայնքով Երկրի մակերեսին դիպչող գլանի մակերևույթի վրա։ Այս դեպքում Երկրի ոչ թե ամբողջ մակերեսը նախագծված է գլանների վրա, այլ դրա միայն մի մասը՝ սահմանափակված 3 ° երկայնությամբ դեպի արևմուտք և 3 ° դեպի արևելք առանցքային միջօրեականից։ Քանի որ Գաուսյան պրոյեկցիաներից յուրաքանչյուրը հարթություն է փոխանցում Երկրի մակերևույթի միայն մի հատված, որը սահմանափակված է միջօրեականներով 6 ° երկայնության միջով, ապա Երկրի մակերևույթի վրա պետք է կատարվի ընդհանուր առմամբ 60 կանխատեսում (60 գոտի): 60 կանխատեսումներից յուրաքանչյուրում ա առանձին համակարգուղղանկյուն կոորդինատներ.
Յուրաքանչյուր գոտում, առանցքը Xգոտու միջին (առանցքային) միջօրեականն է, որը գտնվում է իր փաստացի դիրքից 500 կմ դեպի արևմուտք, իսկ առանցքը. Յ- հասարակած (նկ. 4.2):

Բրինձ. 4.2. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ
տեղագրական քարտեզների վրա

Ընդլայնված առանցքային միջօրեականի հատումը հասարակածի հետ կլինի կոորդինատների սկզբնաղբյուրը. x=0, y=0. Հասարակածի և փաստացի առանցքային միջօրեականի հատման կետն ունի կոորդինատները x = 0, y = 500 կմ:
Յուրաքանչյուր գոտի ունի իր ծագումը: Գոտիները հաշվվում են Գրինվիչի միջօրեականից դեպի արևելք։ Առաջին վեց աստիճանի գոտին գտնվում է Գրինվիչի միջօրեականի և արևելյան երկայնություն ունեցող միջօրեականի միջև՝ 6º (առանցքային միջօրեական 3º): Երկրորդ գոտին 6º E է: - 12º E (առանցքային միջօրեական 9º): Երրորդ գոտի - 12º E - 18º E (առանցքային միջօրեական 15º): Չորրորդ գոտի - 18º E - 24º E (առանցքային միջօրեական 21º) և այլն:
Կոորդինատում նշվում է գոտու համարը ժամըառաջին թվանշանը. Օրինակ, մուտքը ժամը = 4 525 340 նշանակում է, որ նշված կետը գտնվում է չորրորդ գոտում (առաջին նիշ) հեռավորության վրա 525 340 մգոտու առանցքային միջօրեականից, որը գտնվում է 500 կմ արևմուտք։

Աշխարհագրական կոորդինատներով գոտու համարը որոշելու համար անհրաժեշտ է աստիճանների ամբողջ թվերով արտահայտված երկայնությանը ավելացնել 6 և ստացված գումարը բաժանել 6-ի։ Բաժանման արդյունքում թողնում ենք միայն ամբողջ թիվ։

Օրինակ. Որոշեք Գաուսի գոտու թիվը 18º10 դյույմ արևելյան երկայնություն ունեցող կետի համար։
Լուծում. 18 երկայնության աստիճանների ամբողջ թվին գումարեք 6 և գումարը բաժանեք 6-ի.
(18 + 6) / 6 = 4.
Մեր քարտեզը չորրորդ գոտում է։

Զոնալ կոորդինատային համակարգի կիրառման դժվարություններ են առաջանում, երբ տեղագրական և գեոդեզիական աշխատանքներ են իրականացվում երկու հարևան (հարակից) գոտիներում գտնվող սահմանամերձ տարածքներում: Նման գոտիների կոորդինատային գծերը գտնվում են միմյանց անկյան տակ (Նկար 4.3):

Առաջացող բարդությունները վերացնելու համար. գոտիների համընկնման գոտի , որում կետերի կոորդինատները կարող են հաշվարկվել երկու հարակից համակարգերում։ Համընկնման լայնությունը 4°, 2° յուրաքանչյուր գոտում:

Քարտեզի վրա լրացուցիչ ցանցը կիրառվում է միայն րոպեների և արտաքին շրջանակների միջև գծերի ելքերի տեսքով: Դրա թվայնացումը հարակից գոտու ցանցային գծերի թվայնացման շարունակությունն է։ Լրացուցիչ ցանցային գծերը ստորագրվում են թերթի արտաքին շրջանակից դուրս. Հետևաբար արևելյան գոտում գտնվող քարտեզի թերթիկի վրա համանուն լրացուցիչ ցանցի ելքերը միացնելիս ստացվում է արևմտյան գոտու կիլոմետրանոց ցանց։ Օգտագործելով այս ցանցը, դուք կարող եք որոշել, օրինակ, կետի ուղղանկյուն կոորդինատները ATարևմտյան գոտու ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգում, այսինքն՝ կետերի ուղղանկյուն կոորդինատները. ԲԱՅՑև ATկստացվի արևմտյան գոտու նույն կոորդինատային համակարգում։

Բրինձ. 4.3. Լրացուցիչ կիլոմետրային գծեր գոտիների սահմանին

1:10000 մասշտաբով քարտեզի վրա լրացուցիչ ցանց է բաժանվում միայն այն թերթերի վրա, որոնցում ներքին շրջանակի արևելյան կամ արևմտյան միջօրեականը (տրապեզոիդ շրջանակ) գոտու սահմանն է: Տեղագրական հատակագծերի վրա լրացուցիչ ցանց չի կիրառվում:

4.3. ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ ՈՐՈՇՈՒՄԸ ԿՈՄՊԱՍ-ՉԱՓՈՂԻ ՕԳՆՈՒԹՅԱՆ.

Կարևոր տարրտեղագրական քարտեզը (պլան) ուղղանկյուն ցանց է։ Այս 6 աստիճանի գոտու բոլոր թերթերի վրա ցանցը կիրառվում է գծերի շարքերի տեսքով, կենտրոնական միջօրեականին և հասարակածին զուգահեռ(նկ. 4.2): Ցանցի ուղղահայաց գծերը զուգահեռ են գոտու առանցքային միջօրեականին, իսկ հորիզոնականները՝ հասարակածին։ Հորիզոնական կիլոմետրերի գծերը հաշվում են ներքևից վեր, իսկ ուղղահայացները՝ ձախից աջ .

1:200.000 - 1:50.000 մասշտաբների քարտեզների վրա տողերի միջև ընդմիջումները 2 սմ են, 1:25.000 - 4 սմ, 1:10.000 - 10 սմ, ինչը համապատասխանում է գետնի վրա կիլոմետրերի ամբողջ քանակին: Հետեւաբար, ուղղանկյուն ցանցը նույնպես կոչվում է կիլոմետր, և նրա տողերն են կիլոմետր.
Քարտեզի թերթիկի շրջանակի անկյուններին ամենամոտ կիլոմետրային գծերը ստորագրվում են կիլոմետրերի ամբողջ քանակով, մնացածը` վերջին երկու թվանշաններով: Գրություն 60 65 (տես նկ. 4.4) հորիզոնական գծերից մեկի վրա նշանակում է, որ այս գիծը գտնվում է հասարակածից 6065 կմ հեռավորության վրա (դեպի հյուսիս). 43 07 ուղղահայաց գծում նշանակում է, որ այն գտնվում է չորրորդ գոտում և գտնվում է 307 կմ հեռավորության վրա օրդինատների հաշվարկի սկզբից դեպի արևելք։ Եթե ուղղահայաց կիլոմետրի գծի մոտ եռանիշ թիվը գրված է փոքր թվերով, ապա առաջին երկուսը ցույց են տալիս գոտու համարը.

Օրինակ.Քարտեզի վրա անհրաժեշտ է որոշել կետի ուղղանկյուն կոորդինատները, օրինակ՝ պետական գեոդեզիական ցանցի (ԳԳՑ) կետը՝ 214,3 նիշով (նկ. 4.4): Նախ գրեք (կիլոմետրերով) հրապարակի հարավային կողմի աբսցիսսը, որում գտնվում է այս կետը (այսինքն՝ 6065): Այնուհետև, օգտագործելով չափիչ կողմնացույց և գծային սանդղակ, որոշեք ուղղահայաց երկարությունը Դх= 550 մսեռահասուն ից տրված կետայս տողին: Ստացված արժեքը (in այս դեպքը 550 մ) ավելացվում է գծի աբսցիսային: 6 065 550 համարը աբսցիս է X կետ GGS.
GGS կետի օրդինատը հավասար է նույն քառակուսու արևմտյան կողմի օրդինատին (4307 կմ)՝ գումարված ուղղահայաց երկարությանը. Դու= 250 մ չափված քարտեզի վրա: Նույն կետի օրդինատն է 4 307 250 թիվը։
Չափիչ կողմնացույցի բացակայության դեպքում հեռավորությունները չափվում են քանոնով կամ թղթի շերտով:.

X = 6065550, ժամը= 4307250
Բրինձ. 4.4. Ուղղանկյուն կոորդինատների որոշում գծային սանդղակի միջոցով

4.4. ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ ՈՐՈՇՈՒՄԸ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՈՄԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՎ

Համակարգող - փոքր քառակուսի երկու ուղղահայաց կողմերով: Քանոնների ներքին եզրերի երկայնքով նշվում են կշեռքներ, որոնց երկարությունները հավասար են տվյալ սանդղակի քարտեզի կոորդինատային բջիջների կողմի երկարությանը։ Կոորդինատային հաշվիչի վրա բաժանումները փոխանցվում են քարտեզի գծային մասշտաբից:
Հորիզոնական սանդղակը հավասարեցվում է հրապարակի ստորին գծի հետ (որում գտնվում է կետը), և ուղղահայաց սանդղակը պետք է անցնի այս կետով: Կշեռքները որոշում են կետից մինչև կիլոմետրային գծերի հեռավորությունը:

x A = 6135 350 y A = 5577 710
Բրինձ. 4.5. Դեկարտյան կոորդինատների որոշում՝ օգտագործելով կոորդինատորը

4.5. ԿԵՏԵՐԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ ՔԱՐՏԵԶԻ ՎՐԱ ՏՐՎԱԾ ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐՈՎ.

Քարտեզի վրա տրված ուղղանկյուն կոորդինատներով կետ գծագրելու համար կատարեք հետևյալը. կոորդինատային գրառման մեջ հանդիպում են երկնիշ թվեր, որոնք կրճատում են ուղղանկյուն ցանցի գծերը։ Ըստ առաջին թվի, քարտեզի վրա հայտնաբերվում է հորիզոնական ցանցի գիծ, ըստ երկրորդի` ուղղահայաց: Նրանց խաչմերուկը կազմում է հրապարակի հարավ-արևմտյան անկյունը, որտեղ ընկած է ցանկալի կետը: Հրապարակի արևելյան և արևմտյան կողմերում նրա հարավային կողմից բացված են երկու հավասար հատվածներ, որոնք քարտեզի մասշտաբով համապատասխանում են աբսցիսայի մետրերի քանակին։ X . Հատվածների ծայրերը միացված են ուղիղ գծով և դրա վրա՝ քառակուսու արևմտյան կողմից, քարտեզի սանդղակի վրա դրված է օրդինատի մետրերի թվին համապատասխան հատված. այս հատվածի վերջը ցանկալի կետն է:

4.6. ՀԱՐԹ ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԳԱՈՒՍԻ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ ՀԱՇՎԱՐԿ ԱՇԽԱՐՀԱԳՐԱԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻՑ.

Ինքնաթիռ Գաուսյան դեկարտյան կոորդինատներ X և ժամը շատ դժվար է կապել աշխարհագրական կոորդինատների հետ φ (լայնություն) և λ (երկայնության) կետեր երկրի մակերևույթի վրա. Ենթադրենք ինչ-որ կետ ԲԱՅՑունի աշխարհագրական կոորդինատներ φ և λ . Քանի որ գոտու սահմանային միջօրեականների երկայնությունների տարբերությունը 6° է, ապա, համապատասխանաբար, գոտիներից յուրաքանչյուրի համար հնարավոր է ստանալ ծայրահեղ միջօրեականների երկայնություններ՝ 1-ին գոտի (0° - 6°), 2-րդ գոտի. (6° - 12°), 3-րդ գոտի (12° - 18°) և այլն: Այսպիսով, ըստ աշխարհագրական երկայնությունմիավորներ ԲԱՅՑկարող եք որոշել այն գոտու թիվը, որում գտնվում է այս կետը: Մինչդեռ երկայնությունը λ Գոտու առանցքային միջօրեականի os-ը որոշվում է բանաձևով
λ օս = (6° n - 3°),
որտեղ n- գոտու համարը.

Հարթ ուղղանկյուն կոորդինատներ սահմանելու համար X և ժամը ըստ աշխարհագրական կոորդինատների φ և λ մենք կօգտագործենք Կրասովսկու հղման էլիպսոիդի համար ստացված բանաձևերը (հղման էլիպսոիդը այն պատկերն է, որը հնարավորինս մոտ է Երկրի պատկերին այն մասում, որի վրա այն գտնվում է. տրված վիճակ, կամ մի խումբ պետություններ):

X = 6367558,4969 (φ ուրախ ) - (ա 0 −l 2 N) sinφ cosφ (4.1)
ժամը(l) = lNcosφ (4.2)

Բանաձևերը (4.1) և (4.2) օգտագործում են հետևյալ նշումը.
y(l) - հեռավորությունը կետից մինչև գոտու առանցքային միջօրեական;
լ= (λ - λ օս ) - որոշված կետի և գոտու առանցքային միջօրեականի երկարությունների տարբերությունը.
φ ուրախ - կետի լայնությունը՝ արտահայտված ռադիանի չափով.
Ն = 6399698,902 - cos 2φ;
ա 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
ա 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) cos 2φ - 0,1666667;
ա 4 = (0,25 + 0,00252 cos 2φ) cos 2φ - 0,04166;
ա 5 = 0,0083 - cos 2φ;
ա 6 \u003d (0,166 cos 2 φ - 0,084) cos 2 φ.
y» - հեռավորությունը առանցքային միջօրեականից դեպի արևմուտք 500 կմ:

Ըստ բանաձևի (4.1) կոորդինատի արժեքը y(l)ձեռք են բերվում գոտու առանցքային միջօրեականի համեմատ, այսինքն. այն կարելի է ձեռք բերել գոտու արևելյան մասի համար գումարած նշաններով կամ գոտու արևմտյան մասի մինուս նշաններով: Կոորդինատները գրանցելու համար yգոտիական կոորդինատային համակարգում անհրաժեշտ է հաշվարկել հեռավորությունը գոտու առանցքային միջօրեականից մի կետ՝ 500 կմ դեպի արևմուտք։ (ժամը«աղյուսակում ) , իսկ ստացված արժեքի դիմաց նշանակել գոտու համարը։ Օրինակ, հաշվի առնելով արժեքը
y(l)= -303678.774 մ 47 գոտում.
Հետո
ժամը= 47 (500000.000 - 303678.774) = 47196321.226 մ.
Հաշվարկների համար մենք օգտագործում ենք աղյուսակներ: MicrosoftXL .

Օրինակ. Հաշվեք աշխարհագրական կոորդինատներ ունեցող կետի ուղղանկյուն կոորդինատները.
φ \u003d 47º02 «15.0543» N; λ = 65º01"38.2456"E

Սեղանի մոտ MicrosoftXL մուտքագրեք սկզբնական տվյալները և բանաձևերը (էջ. 4.1):

Աղյուսակ 4.1.

		Դ	Ե	Ֆ
Պարամետր	Հաշվիչ	կարկուտ

φ (աստիճան)	D2 + E2 / 60 + F2 / 3600
φ (ռադ)	RADIANS (C3)


Cos 2 φ

գոտու համարը	INTEGER((D8+6)/6)
λos (աստիճան)

լ (աստիճան)	D11+E11/60+F11/3600
լ (ռադ)	RADIANS (C12)
	6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612C6^2)C6^2))*C6^2
ա 0	32140,404-((135,3302- (0,7092-0,004C6^2)C6^2))*C6^2
ա 4	=(0.25+0.00252C6^2)C6^2-0.04166
ա 6	=(0.166C6^2-0.084)C6^2
ա 3	=(0.3333333+0.001123C6^2)C6^2-0.1666667
ա 5	0.0083-((0.1667-(0.1968+0.004C6^2)C6^2))*C6^2


	6367558.4969C4-(((C15-(((0.5+(C16+C17C20)C20)) C20C14)))C5*C6)
	=((1+(C18+C19C20)C20))C13C14*C6
	ROUND((500000+C23);3)
	CONCATENATE (C9;C24)

Աղյուսակի տեսքը հաշվարկներից հետո (էջ. 4.2):

Աղյուսակ 4.2.


Պարամետր	Հաշվիչ	կարկուտ
φ (աստիճան, րոպե, վրկ)
φ (աստիճաններ)
φ (ռադիաններ)


Cos 2 φ
λ (աստիճան, րոպե, վրկ)
Գոտու համարը
λos (աստիճան)
լ (րոպե, վրկ)
լ (աստիճաններ)
լ (ռադիաններ)

ա 0
ա 4
ա 6
ա 3
ա 5

4.7. ԱՇԽԱՐՀԱԳՐԱԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻ ՀԱՇՎԱՐԿԸ ՀԱՐԹ ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԳԱՈՒՍԻ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐԻՑ.

Այս խնդիրը լուծելու համար օգտագործվում են նաև Կրասովսկու հղման էլիպսոիդի համար ստացված վերահաշվարկի բանաձևերը։
Ենթադրենք, մենք պետք է հաշվարկենք աշխարհագրական կոորդինատները φ և λ միավորներ ԲԱՅՑիր հարթ ուղղանկյուն կոորդինատներով Xև ժամըտրված է գոտիական կոորդինատային համակարգում։ Այս դեպքում կոորդինատի արժեքը ժամըարձանագրվել է գոտու համարի նշումով և հաշվի առնելով գոտու առանցքային միջօրեականի տեղաշարժը դեպի արևմուտք 500 կմ-ով։
Նախնական ըստ արժեքի ժամըգտեք այն գոտու համարը, որում գտնվում է որոշված կետը, որոշեք երկայնությունը գոտու համարով λ o առանցքային միջօրեականը և կետից դեպի արևմուտք առանցքային միջօրեական հեռավորությունը գտնում են հեռավորությունը y(l)կետից մինչև գոտու առանցքային միջօրեականը (վերջինս կարող է լինել գումարած կամ մինուս նշանով):
Աշխարհագրական կոորդինատների արժեքներ φ և λ հարթ ուղղանկյուն կոորդինատներով Xև ժամըհայտնաբերվում են բանաձևերով.
φ = φ X - z 2 բ 2 p″ (4.3)
λ = λ 0 + l (4.4)
l = zρ″ (4.5)

(4.3) և (4.5) բանաձևերում.
φ x ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (X / 6367558.4969) ρ″; ρ″ = 206264.8062″ - վայրկյանների քանակը մեկ ռադիանում
z = Y(L) / (Nx cos φx);
N x \u003d 6399698.902 - cos 2 φ x;
b 2 \u003d (0.5 + 0.003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
b 3 \u003d 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
b 4 \u003d 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
b 5 \u003d 0.2 - (0.1667 - 0.0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.

Հաշվարկների համար մենք օգտագործում ենք աղյուսակներ: MicrosoftXL .
Օրինակ. Հաշվել կետի աշխարհագրական կոորդինատները ուղղանկյունից.
x = 5213504.619; y = 11654079.966:

Սեղանի մոտ MicrosoftXL մուտքագրեք սկզբնական տվյալները և բանաձևերը (էջ. 4.3):

Աղյուսակ 4.3.


1		Պարամետր	հաշվարկ	Գրադ.	Min.	վրկ.
2	1	X	5213504,619
	2	*ժամը*	11654079,966
4	3	**№ գոտիներ***	IF (C3<1000000; C3/100000; C3/1000000)
5	4	գոտու համարը	ՈՂՋ (C4)
6	5	*λoos*	C5 * 6-3
7	6	*ժամը"*	C3-C5*1000000
8	7	*y(l)*	C7-500000
9	8	ρ″	206264,8062
10	9	β"	C2/6367558.4969*C9
11	10	*β ռադ*	RADIANS (C10/3600)
12	11	β		ԱՄԲՈՂՋ (C10/3600)	ԱՄԲՈՂՋ ((C10-D12*3600)/60)	C10-D12* 3600-E12*60
13	12	*Sin β*	SIN (C11)
14	13	*Cosβ*	COS (C11)
15	14	*Cos 2 β*	C14^2
16	15	*φ X "*	C10+(((50221746+((293622+ (2350+22C14^2)C14^2))C14^2))) 10^-10C13C14*C9
17	16	*φ X ուրախ*	RADIANS (C16/3600)
18	17	*φ X*		ԱՄԲՈՂՋ (C16/3600)	ԱՄԲՈՂՋ ((C16-D18*3600)/60)	C16-D18* 3600-E18*60
19	18	*Սին փի.*	SIN (C17)
20	19	*Cos φ X*	COS (C17)
21	20	*Cos 2 φ X*	C20^2
22	21	*Ն X*	6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612C21)C21))*C21
23	22	*Ν X Cosφ X*	C22 * C20
24	23	զ	C8/(C22*C20)
25	24	*զ 2*	C24^2
26	25	*բ 4*	0.25+(0.16161+0.00562C21)C21
27	26	*բ 2*	=(0.5+0.003369C21)C19*C20
28	27	*բ 3*	0.333333-(0.166667-0.001123C21)C21
29	28	*բ 5*	0.2-(0.1667-0.0088C21)C21
30	29		C16-((1-(C26-0.12 C25)C25))C25C27*C9
31	30	φ		=ԱՄԲՈՂՋ (C30/3600)	=ԱՄԲՈՂՋ ((C30-D31*3600)/60)	=C30-D31* 3600-E31*60
32	31	լ"	=((1-(C28-C29C25)C25))C24C9
33	32	*լ 0*		=ԱՄԲՈՂՋ (C32/3600)	=ԱՄԲՈՂՋ ((C32-D33*3600)/60)	=C32-D33* 3600-E33*60
34	33	λ		C6+D33

Աղյուսակի տեսքը հաշվարկներից հետո (էջ. 4.4):

Աղյուսակ 4.4.


Պարամետր	հաշվարկ	Գրադ.


Գոտու համարը*
Գոտու համարը
λoos (աստիճան)
*ժամը"*



β ռադ



Cos 2 β
φ X "
φ X ուրախ
φ X

Cos φ X
Cos 2 φ X
Ն X
Ν X Cos φ X

զ 2
բ 4
բ 2
բ 3
բ 5

φ

լ 0
λ

Եթե հաշվարկները ճիշտ են կատարվել, պատճենեք երկու աղյուսակները մեկ թերթիկի վրա, թաքցրեք միջանկյալ հաշվարկների տողերը և թիվ p/p սյունակը և թողեք միայն սկզբնական տվյալների և հաշվարկի արդյունքների մուտքագրման տողերը: Մենք ձևավորում ենք աղյուսակը և կարգավորում ենք սյունակների և սյունակների անվանումները ըստ ցանկության։

Աշխատանքային թերթիկները կարող են այսպիսի տեսք ունենալ

Աղյուսակ 4.5.

Նշումներ.
1. Կախված պահանջվող ճշգրտությունից, կարող եք ավելացնել կամ նվազեցնել բիթերի խորությունը:
2. Աղյուսակում տողերի թիվը կարելի է կրճատել՝ համադրելով հաշվարկները: Օրինակ, մի հաշվարկեք անկյան ռադիանները առանձին, այլ անմիջապես գրեք այն բանաձևով =SIN(RADIANS(C3)):
3. Աղյուսակի 23-րդ կետում կլորացնելը. 4.1. մենք արտադրում ենք «կլատչի» համար։ 3-րդ փուլի թվանշանների քանակը:
4. Եթե «Գրադ» և «Մին» սյունակներում չփոխեք բջիջների ձևաչափը, ապա թվերի դիմաց զրոներ չեն լինի։ Ձևաչափի փոփոխությունն այստեղ կատարվում է միայն տեսողական ընկալման համար (հեղինակի որոշմամբ) և չի ազդում հաշվարկների արդյունքների վրա։
5. Բանաձևերը պատահաբար չվնասելու համար պետք է պաշտպանել աղյուսակը՝ Գործիքներ / Պաշտպանել թերթիկը։ Պաշտպանությունից առաջ ընտրեք բջիջները սկզբնական տվյալների մուտքագրման համար, այնուհետև՝ Ձևաչափեք բջիջները / Պաշտպանություն / Պաշտպանված բջիջ - հանեք նշումը:

4.8. ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅԱՆ ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԵՎ ԲԵՎԵՌԱԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳՆԵՐԻ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

Բևեռային կոորդինատների համակարգի պարզությունը և այն կառուցելու հնարավորությունը տեղանքի ցանկացած կետի համեմատ, որպես բևեռ, հանգեցրին դրա լայն կիրառմանը տեղագրության մեջ: Ռելիեֆի առանձին կետերի բևեռային համակարգերը միմյանց կապելու համար անհրաժեշտ է անցնել ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում վերջիններիս դիրքի որոշմանը, որը կարող է տարածվել շատ ավելի մեծ տարածքի վրա: Երկու համակարգերի միջև կապը հաստատվում է ուղղակի և հակադարձ գեոդեզիական խնդիրների լուծումով։
Ուղղակի գեոդեզիական խնդիր բաղկացած է վերջնակետի կոորդինատների որոշմամբ AT (նկ. 4.4) տողեր ԱԲիր երկարությամբԳ հորիզոնականդ , ուղղությունα և ելակետի կոորդինատները XԲԱՅՑ , ժամըԲԱՅՑ .

Բրինձ. 4.6. Ուղղակի և հակադարձ գեոդեզիական խնդիրների լուծում

Այսպիսով, եթե մենք վերցնենք կետը ԲԱՅՑ(նկ. 4.4) բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռի և ուղիղ գծի համար ԱԲ- առանցքին զուգահեռ բևեռային առանցքի համար Օհ, ապա կետի բևեռային կոորդինատները ATկամք դև α . Անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգի այս կետի ուղղանկյուն կոորդինատները ԻՆՉՊԵՍ.

Սկսած թզ. 3.4 ցույց է տալիս, որ XAT տարբերվում է XԲԱՅՑ ըստ արժեքի ( XAT - XԲԱՅՑ ) = Δ XԱԲ , ա ժամըAT տարբերվում է ժամըԲԱՅՑ ըստ արժեքի ( ժամըAT - ժամըԲԱՅՑ ) = Δ ժամըԱԲ . Եզրափակչի կոորդինատների տարբերությունները ATև առաջնային ԲԱՅՑգծի կետեր ԱԲ Δ Xև Դ ժամըկանչեց կոորդինատային հավելումներ . Կոորդինատների ավելացումները գծի ուղղանկյուն կանխատեսումներ են ԱԲկոորդինատային առանցքի վրա. Կոորդինատներ XAT և ժամըAT կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

XAT = XԲԱՅՑ + Δ XԱԲ (4.1)
ժամըAT = ժամըԲԱՅՑ + Δ ժամըԱԲ (4.2)

Աճման արժեքները որոշվում են ASV ուղղանկյուն եռանկյունից՝ ըստ տրվածի դև α, քանի որ Δ-ի ավելացումները Xև Դ ժամըայս ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերն են.

Δ XԱԲ =դcos α (4.3)
Δ ժամըԱԲ = դմեղք α (4.4)

Կոորդինատների աճի նշանը կախված է դիրքի անկյունից:

Աղյուսակ 4.1.

Փոխարինելով Δ հավելումների արժեքը XԱԲ և Դ ժամըԱԲ բանաձևերում (3.1 և 3.2), մենք ստանում ենք ուղղակի գեոդեզիական խնդրի լուծման բանաձևեր.

XAT = XԲԱՅՑ + դcos α (4.5)
ժամըAT = ժամըԲԱՅՑ + դմեղք α (4.6)

Հակադարձ գեոդեզիական խնդիր Հորիզոնական բացվածքի երկարությունը որոշելն էդիսկ AB ուղղի α ուղղությունը՝ ըստ նրա սկզբնական A կետի (xA, yA) և B (xB, yB) վերջնական կետի տրված կոորդինատների։Ուղղության անկյունը հաշվարկվում է ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերից.

tgα = (4.7)

Հորիզոնական տարածություն դ, որոշվում է բանաձևով.

դ = (4.8)

Ուղղակի և հակադարձ գեոդեզիական խնդիրներ լուծելու համար կարող եք օգտագործել աղյուսակներ Microsoft-ը գերազանցել .

Օրինակ.
Տրված միավոր ԲԱՅՑկոորդինատներով. XԲԱՅՑ = 6068318,25; ժամըԲԱՅՑ = 4313450,37. Հորիզոնական տարածություն (դ)կետի միջև ԲԱՅՑև կետ ATհավասար է 5248.36 մ. Անկյունը առանցքի հյուսիսային ուղղության միջև Օհև ուղղությունը դեպի կետ AT(դիրքի անկյունը - α ) հավասար է 30º-ի:

Հաշվի՛ր կետի ուղղանկյուն կոորդինատները B (xAT ,ժամըAT ).

Աղյուսակներում չմշակված տվյալների և բանաձևերի մուտքագրում Microsoft Excel (էջ. 4.2):

Աղյուսակ 4.2.


	Նախնական տվյալներ
	XԲԱՅՑ
	ժամըԲԱՅՑ


	Հաշվիչ
	Δ XԱԲ =d cos α	B4*COS(RADIANS(B5))
	Δ ժամըԱԲ = d sin α	B4*SIN(RADIANS(B5))
	XAT
	ժամըAT

Աղյուսակի տեսքը հաշվարկներից հետո (ներդիր. 4.3).

Աղյուսակ 4.3.


	Նախնական տվյալներ
	XԲԱՅՑ
	ժամըԲԱՅՑ


	Հաշվիչ
	Δ XԱԲ =d cos α
	Δ ժամըԱԲ = d sin α
	XAT
	ժամըAT

Օրինակ.
Տրվում են միավորներ ԲԱՅՑև ATկոորդինատներով.
XԲԱՅՑ = 6068318,25; ժամըԲԱՅՑ = 4313450,37;
XAT = 6072863,46; ժամըAT = 4313450,37.
Հաշվել հորիզոնական հեռավորությունը դկետի միջև ԲԱՅՑև կետ AT,և նաև անկյունը α հյուսիսային առանցքի միջև Օհև ուղղությունը դեպի կետ AT.
Աղյուսակներում չմշակված տվյալների և բանաձևերի մուտքագրում Microsoft Excel (էջ. 4.4):

Աղյուսակ 4.4.


	Նախնական տվյալներ
	XԲԱՅՑ
	ժամըԲԱՅՑ
	XAT
	ժամըAT
	Հաշվիչ
	ԴхԱԲ
	ԴուԱԲ
		ROOT (B7^2+B8^2)
	Շոշափող
	Arctangent
	աստիճաններ	GREES (B11)
	Ընտրություն	IF (B12<0;B12+180;B12)
	Դիրքի անկյուն (deg)	IF (B8<0;B13+180;B13)

Աղյուսակի տեսքը հաշվարկներից հետո (էջ. 4.5):

Աղյուսակ 4.5.


	Նախնական տվյալներ
	XԲԱՅՑ
	ժամըԲԱՅՑ
	XAT
	ժամըAT
	Հաշվիչ
	ԴхԱԲ
	ԴուԱԲ

	Շոշափող
	Arctangent
	աստիճաններ
	Ընտրություն
	Դիրքի անկյուն (deg)

Եթե ձեր հաշվարկները համապատասխանում են ձեռնարկի հաշվարկներին, թաքցրեք միջանկյալ հաշվարկները, ձևաչափեք և պաշտպանեք աղյուսակը:

Տեսանյութ
Ուղղանկյուն կոորդինատներ

Հարցեր և առաջադրանքներ ինքնատիրապետման համար

Ո՞ր մեծություններն են կոչվում ուղղանկյուն կոորդինատներ:
Ո՞ր մակերեսի վրա են օգտագործվում ուղղանկյուն կոորդինատները:
Ո՞րն է ուղղանկյուն կոորդինատների գոտիական համակարգի էությունը:
Որքա՞ն է վեց աստիճանանոց գոտու թիվը, որում գտնվում է Լուգանսկ քաղաքը կոորդինատներով՝ 48°35′ N.L. 39°20′ արևելյան
Հաշվե՛ք այն վեց աստիճանի գոտու առանցքային միջօրեականի երկայնությունը, որում գտնվում է Լուգանսկ քաղաքը։
Ինչպե՞ս են x և y կոորդինատները հաշվվում Գաուսի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում:
Բացատրե՛ք տեղագրական քարտեզի վրա ուղղանկյուն կոորդինատների որոշման կարգը՝ օգտագործելով չափիչ կողմնացույց:
Բացատրե՛ք տեղագրական քարտեզի վրա կոորդինատաչափի միջոցով ուղղանկյուն կոորդինատների որոշման կարգը:
Ո՞րն է ուղղակի գեոդեզիական խնդրի էությունը:
Ո՞րն է հակադարձ գեոդեզիական խնդրի էությունը:
Որքա՞ն է կոորդինատների աճը:
Սահմանի՛ր անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը:
Ինչպե՞ս կարող է Պյութագորասի թեորեմը ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի փոխհարաբերությունների վերաբերյալ կիրառվել տեղագրության մեջ:

1.10. ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐ ՔԱՐՏԵԶԻ ՎՐԱ

Ուղղանկյուն կոորդինատներ (հարթ) - գծային մեծություններ՝ աբսիսսա Xեւ ձեռնադրելY ,հարթության վրա (քարտեզի վրա) կետերի դիրքի որոշում երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների նկատմամբ XևՅ(նկ. 14): Աբսցիսսա Xեւ ձեռնադրելՅմիավորներ ԲԱՅՑ-հեռավորությունները կոորդինատների սկզբնակետից մինչև կետից իջած ուղղահայաց հիմքերը ԲԱՅՑհամապատասխան առանցքների վրա՝ նշելով նշանը.

Բրինձ. տասնչորս.Ուղղանկյուն կոորդինատներ

Տոպոգրաֆիայում և գեոդեզիայում, ինչպես նաև տեղագրական քարտեզներում, կողմնորոշումն իրականացվում է հյուսիսի երկայնքով, անկյունները հաշվելով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, հետևաբար, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները պահպանելու համար պտտվում է մաթեմատիկայում ընդունված կոորդինատային առանցքների դիրքը: 90 °-ով:

Ուղղանկյուն կոորդինատները ԽՍՀՄ տեղագրական քարտեզների վրա կիրառվում է կոորդինացիոն գոտիների համար: Կոորդինատային գոտիներ - երկրագնդի մակերևույթի մասեր, որոնք սահմանափակված են միջօրեականներով, որոնց երկայնությունը 6 °-ի բազմապատիկ է: Առաջին գոտին սահմանափակվում է 0° և 6° միջօրեականներով, երկրորդը՝ b" և 12°, երրորդը՝ 12° և 18° և այլն։

Գոտիները հաշվվում են Գրինվիչի միջօրեականից արևմուտքից արևելք։ ԽՍՀՄ տարածքը գտնվում է 29 գոտիներում՝ 4-ից մինչև 32-րդ ներառյալ։ Յուրաքանչյուր գոտու երկարությունը հյուսիսից հարավ մոտ 20000 է կմ.Գոտու լայնությունը հասարակածում մոտ 670 է կմ, 40°-510 լայնության վրա կմ, տլայնություն 50°-430 կմ, 60°-340 լայնության վրա կմ.

Տվյալ գոտու բոլոր տեղագրական քարտեզներն ունեն ուղղանկյուն կոորդինատների միասնական համակարգ։ Յուրաքանչյուր գոտու կոորդինատների սկզբնաղբյուրը գոտու միջին (առանցքային) միջօրեականի հասարակածի հետ հատման կետն է (նկ. 15), գոտու միջին միջօրեականը համապատասխանում է.

Բրինձ. տասնհինգ.Տեղագրական քարտեզների վրա ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգը՝ a-one zone; բ - գոտու մասերը

աբսցիսային առանցքները, իսկ հասարակածը՝ օրդինատային առանցքները։ Կոորդինատների առանցքների նման դասավորությամբ բացասական արժեքներ կունենան հասարակածից հարավ գտնվող կետերի աբսցիսաները և միջին միջօրեականից արևմուտք գտնվող կետերի օրդինատները։ Տեղագրական քարտեզների վրա կոորդինատների օգտագործման հարմարության համար ընդունվում է օրդինատների պայմանական հաշիվ՝ բացառելով օրդինատների բացասական արժեքները: Դա ձեռք է բերվում նրանով, որ օրդինատները հաշվվում են ոչ թե զրոյից, այլ 500 արժեքից։ կմ,Այսինքն՝ յուրաքանչյուր գոտու կոորդինատների սկզբնաղբյուրը, ասես, տեղափոխվել է 500-ով կմդեպի ձախ՝ առանցքի երկայնքովՅ .Բացի այդ, միանշանակորեն որոշել կետի դիրքը ուղղանկյուն կոորդինատներում երկրագնդի վրա կոորդինատային արժեքի նկատմամբՅգոտու համարը վերագրվում է ձախ կողմում (միանիշ կամ երկնիշ թիվ):

Պայմանական կոորդինատների և դրանց իրական արժեքների միջև կապն արտահայտվում է բանաձևերով.

X" \u003d X-, Y \u003d U- 500 000,

որտեղ x"և Յ»-օրդինատների իրական արժեքներ;X, Y -օրդինատների պայմանական արժեքներ. Օրինակ, եթե կետն ունի կոորդինատներ

X = 5 650 450: Y= 3 620 840,

ապա սա նշանակում է, որ կետը գտնվում է երրորդ գոտում 120 հեռավորության վրա կմ 840 մգոտու միջին միջօրեականից (620840-500000) և հասարակածից հյուսիս՝ 5650 հեռավորության վրա։ կմ 450 մ.

Ամբողջական կոորդինատներ - ուղղանկյուն կոորդինատները գրված (անվանված) ամբողջությամբ, առանց հապավումների. Վերոնշյալ օրինակում տրվում են օբյեկտի ամբողջական կոորդինատները.

X = 5 650 450; Y= 3620 840.

Կրճատ կոորդինատներ օգտագործվում են տեղագրական քարտեզի վրա թիրախի նշանակումը արագացնելու համար, այս դեպքում նշվում են միայն տասնյակ և միավոր կիլոմետրեր և մետրեր: Օրինակ, տվյալ օբյեկտի կրճատված կոորդինատները կլինեն.

X = 50 450; Յ = 20 840.

Համառոտ կոորդինատները չեն կարող օգտագործվել կոորդինատային գոտիների հանգույցում թիրախավորելիս, և եթե գործողության տարածքը ընդգրկում է 100-ից ավելի երկարություն ունեցող տարածք. կմըստ լայնության կամ երկայնության.

Կոորդինատային (կիլոմետր) ցանց - տեղագրական քարտեզների վրա քառակուսիների ցանց, որը կազմված է հորիզոնական և ուղղահայաց գծերով, որոնք գծված են ուղղանկյուն կոորդինատների առանցքներին որոշակի ընդմիջումներով (Աղյուսակ 5). Այս գծերը կոչվում են կիլոմետրեր: Կոորդինատային ցանցը նախատեսված է օբյեկտների կոորդինատները որոշելու և քարտեզի վրա օբյեկտները դրանց կոորդինատներով գծելու, թիրախի նշանակման, քարտեզի կողմնորոշման, ուղղորդված անկյունների չափման և հեռավորությունների և տարածքների մոտավոր որոշման համար:

Աղյուսակ 5 Համակարգել ցանցերը քարտեզների վրա

Քարտեզի մասշտաբներ	Քառակուսիների կողմերի չափերը		քառակուսիների տարածք, քառ. կմ
Քարտեզի մասշտաբներ	քարտեզի վրա, սմ	հողի վրա, կմ	քառակուսիների տարածք, քառ. կմ
1:25 000		1
1:50 000
1:100 000
1:200 000

1:500000 մասշտաբով քարտեզի վրա կոորդինատային ցանցն ամբողջությամբ ցուցադրված չէ. Շրջանակի կողմերում կիրառվում են միայն կիլոմետրային գծերի ելքերը (2-ից հետո սմ).Անհրաժեշտության դեպքում քարտեզի վրա կարելի է գծել կոորդինատային ցանց՝ օգտագործելով այս արդյունքները:

Քարտեզների վրա կիլոմետրային գծերը մակագրված են դրանց սահմաններից դուրս ելքերում և թերթի ներսում մի քանի խաչմերուկներում (նկ. 16): Քարտեզի թերթիկի վրա ծայրահեղ կիլոմետրային գծերը ստորագրված են ամբողջությամբ, մնացածները՝ կրճատված, երկու թվանշաններով (այսինքն՝ նշվում են միայն տասնյակները և կիլոմետրերի միավորները)։ Հորիզոնական գծերի մոտ գտնվող ստորագրությունները համապատասխանում են y առանցքից (հասարակած) հեռավորություններին կիլոմետրերով: Օրինակ, վերին աջ անկյունում գտնվող 6082 մակագրությունը ցույց է տալիս, որ այս տողը 6082 է հասարակածից կմ.

Ուղղահայաց գծի վերնագրերը ցույց են տալիս գոտու համարը (մեկ կամ երկու առաջին նիշ) և հեռավորությունը կիլոմետրերով (միշտ երեք նիշ) կոորդինատների սկզբնակետից, որը պայմանականորեն տեղափոխվել է միջին միջօրեականից դեպի արևմուտք 500-ով: կմ.Օրինակ, ներքևի ձախ անկյունում գտնվող 4308 ստորագրությունը նշանակում է. 4 - գոտու համար, 308 - հեռավորությունը պայմանական ծագումից կիլոմետրերով:

Լրացուցիչ կոորդինատային (կիլոմետր) ցանց կարելի է գծագրել տեղագրական քարտեզների վրա 1:25000, 1:50000, 1:100.000 և 1:200.000 մասշտաբներով հարակից արևմտյան կամ արևելյան գոտու կիլոմետրային գծերի ելքերում: Կիլոմետրային գծերի ելքերը համապատասխան ստորագրություններով գծիկների տեսքով տրված են քարտեզների վրա, որոնք գտնվում են գոտու սահմանային միջօրեականներից 2 ° դեպի արևելք և արևմուտք հեռավորության վրա:

բրինձ. 16.Կոորդինատների (կիլոմետր) ցանցը քարտեզի թերթիկի վրա

Լրացուցիչ կոորդինատային ցանցը նախատեսված է մի գոտու կոորդինատները մեկ այլ, հարևան գոտու կոորդինատային համակարգի վերածելու համար:

Նկ. 17 գծիկ՝ արևմտյան շրջանակի արտաքին կողմում՝ 81.6082 և շրջանակի հյուսիսային կողմում՝ 3693, 94, 95 և այլն ստորագրություններով։ Նշել հարակից (երրորդ) գոտու կոորդինատային համակարգում կիլոմետրային գծերի ելքերը. Անհրաժեշտության դեպքում քարտեզի թերթիկի վրա գծվում է լրացուցիչ կոորդինատային ցանց՝ շրջանակի հակառակ կողմերում համանուն գծիկները միացնելով: Նորակառույց ցանցը հարակից գոտու քարտեզի թերթիկի կիլոմետրային ցանցի շարունակությունն է և քարտեզը սոսնձելիս պետք է ամբողջությամբ համընկնի (միաձուլվի) դրա հետ։

Արևմտյան (3-րդ) գոտու կոորդինատային ցանց

Բրինձ. 17. Լրացուցիչ կոորդինատային ցանց

Գլուխ I. Վեկտորները հարթության վրա և տարածության մեջ

§ 13. Անցում մեկ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգից մյուսին

Առաջարկում ենք այս թեման դիտարկել երկու տարբերակով.

1) Ի.Ի. Պրիվալովի «Անալիտիկ երկրաչափություն» դասագրքի հիման վրա (դասագիրք բարձրագույն տեխնիկական ուսումնական հաստատությունների համար, 1966 թ.)

Պրիվալով «Անալիտիկ երկրաչափություն»

§ 1. Կոորդինատների փոխակերպման խնդիրը.

Հարթության վրա կետի դիրքը որոշվում է որոշ կոորդինատային համակարգի նկատմամբ երկու կոորդինատներով: Կետի կոորդինատները կփոխվեն, եթե ընտրենք այլ կոորդինատային համակարգ:

Կոորդինատների փոխակերպման խնդիրն է Իմանալով մի կոորդինատային համակարգի կետի կոորդինատները՝ գտնել դրա կոորդինատները մեկ այլ համակարգում.

Այս խնդիրը կլուծվի, եթե մենք սահմանենք բանաձևեր, որոնք կապում են կամայական կետի կոորդինատները երկու համակարգերում, և այդ բանաձևերի գործակիցները կներառեն հաստատուն արժեքներ, որոնք որոշում են համակարգերի փոխադարձ դիրքը:

Թող տրվի երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգ հոյև XO 1Y(նկ. 68):

Նոր համակարգի դիրքորոշումը XO 1Yհամեմատ հին համակարգի հոյկորոշվի, եթե հայտնի լինեն կոորդինատները ա և բ Նոր սկիզբ O 1ըստ հին համակարգի և անկյունի α առանցքների միջև Օ՜և Մոտ 1 X. Նշել ըստ Xև ժամըկամայական M կետի կոորդինատները՝ համեմատած հին համակարգի, նույն կետի X և Y կոորդինատների միջոցով՝ նոր համակարգի նկատմամբ: Մեր խնդիրն է կազմել հին կոորդինատները Xև ժամըարտահայտված նոր X-ի և Y-ի տեսքով: Ստացված փոխակերպման բանաձևերը պետք է ակնհայտորեն ներառեն հաստատունները ա, բ և α .

Այս ընդհանուր խնդրի լուծումը մենք կստանանք երկու հատուկ դեպք դիտարկելով։

1. Կոորդինատների ծագումը փոխվում է, մինչդեռ առանցքների ուղղությունները մնում են անփոփոխ ( α = 0).

2. Առանցքների ուղղությունները փոխվում են, մինչդեռ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը մնում է անփոփոխ ( ա = բ = 0).

§ 2. Ծագման փոխանցում.

Թող տրվեն տարբեր ծագում ունեցող դեկարտյան կոորդինատների երկու համակարգեր Օև O 1և առանցքների նույն ուղղությունները (նկ. 69):

Նշել ըստ ա և բ նոր սկզբի կոորդինատները Մոտ 1հին համակարգում և միջոցով x, yև X, Յ- կամայական M կետի կոորդինատները, համապատասխանաբար, հին և նոր համակարգերում: M կետի նախագծում առանցքի վրա Մոտ 1 Xև Օ՜, ինչպես նաև կետը Մոտ 1մեկ առանցքի Օ՜, մենք անցնում ենք առանցքի Օ՜երեք կետ Օ, աև Ռ. Սեգմենտի արժեքները ՕԱ, ԱՌև ԿԱՄկապված են հետևյալ առնչությամբ.

| ՕԱ| + | ԱՌ | = | ԿԱՄ |. (1)

Նկատելով, որ | | ՕԱ| = ա , | ԿԱՄ | = X , | ԱՌ | = | O 1 R 1 | = X, մենք վերագրում ենք հավասարությունը (1) ձևով.

ա + X = x կամ x = X + ա . (2)

Նմանապես, նախագծելով M և Մոտ 1 y առանցքի վրա մենք ստանում ենք.

y = Յ + բ (3)

Այսպիսով, հին կոորդինատը հավասար է նորին գումարած նոր ծագման կոորդինատը՝ ըստ հին համակարգի։

(2) և (3) բանաձևերից նոր կոորդինատները կարող են արտահայտվել հների տեսքով.

X = x - ա , (2")

Յ = յ-բ . (3")

§ 3. Կոորդինատային առանցքների պտույտ:

Թող տրվեն նույն ծագմամբ երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր Օև առանցքների տարբեր ուղղություններ (նկ. 70):

Թող α առանցքների միջև անկյունն է Օ՜և Օհ. Նշել ըստ x, y և X, Yկամայական M կետի կոորդինատները, համապատասխանաբար, հին և նոր համակարգերում.

X = | ԿԱՄ | , ժամը = | վարչապետ | ,

X= | ԿԱՄ 1 |, Յ= | Ռ 1 Մ |.

Դիտարկենք կոտրված գիծ ԿԱՄ 1 պատգամավորև վերցրեք դրա պրոյեկցիան առանցքի վրա Օ՜. Նկատելով, որ ճեղքված գծի պրոյեկցիան հավասար է փակվող հատվածի պրոյեկցիայի (I Գլուխ, § 8), մենք ունենք.

ԿԱՄ 1 պատգամավոր = | ԿԱՄ |. (4)

Մյուս կողմից, կոտրված գծի պրոյեկցիան հավասար է նրա կապերի պրոյեկցիաների գումարին (Գլուխ I, § 8); հետևաբար, հավասարությունը (4) կգրվի հետևյալ կերպ.

և այլն ԿԱՄ 1+ պր Ռ 1 Մ+ պր պատգամավոր= | ԿԱՄ | (4")

Քանի որ ուղղորդված հատվածի պրոյեկցիան հավասար է դրա արժեքին բազմապատկված պրոյեկցիայի առանցքի և առանցքի միջև անկյան կոսինուսով, որի վրա ընկած է հատվածը (Գլուխ I, § 8), ապա.

և այլն ԿԱՄ 1 = X cos α

և այլն Ռ 1 Մ = Յ cos (90° + α ) = - Յմեղք α ,

պր պատգամավոր= 0.

Հետևաբար հավասարությունը (4") տալիս է մեզ.

x = X cos α - Յմեղք α . (5)

Նմանապես, նույն կոտրված գիծը նախագծելով առանցքի վրա OU, մենք ստանում ենք արտահայտություն համար ժամը. Իսկապես, մենք ունենք.

և այլն ԿԱՄ 1+ պր Ռ 1 Մ+ պր պատգամավոր= պր ԿԱՄ = 0.

Նկատելով դա

և այլն ԿԱՄ 1 = X cos( α - 90 °) = Xմեղք α ,

և այլն Ռ 1 Մ = Յ cos α ,

պր պատգամավոր = - y ,

Կունենա:

Xմեղք α + Յ cos α - y = 0,

y = Xմեղք α + Յ cos α . (6)

(5) և (6) բանաձևերից մենք ստանում ենք նոր կոորդինատներ Xև Յարտահայտված հին միջոցով X և ժամը , եթե լուծենք (5) և (6) հավասարումները Xև Յ.

Մեկնաբանություն.Բանաձևերը (5) և (6) կարելի է տարբեր կերպ ձեռք բերել:

Սկսած թզ. 71 մենք ունենք.

X = OP = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ -ՕՄ մեղք α մեղք φ ,

ժամը = PM = OM մեղք ( α + φ ) = OM մեղք α cos φ + OM cos α մեղք φ .

Քանի որ (Ch. I, § 11) OM cos φ = X, ՕՄ մեղք φ =Յ, ապա

x = X cos α - Յմեղք α , (5)

y = Xմեղք α + Յ cos α . (6)

§ 4. Ընդհանուր գործ.

Թող բերվեն երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր՝ տարբեր սկզբնավորմամբ և առանցքների տարբեր ուղղություններով (նկ. 72):

Նշել ըստ ա և բ նոր սկզբի կոորդինատները Օ, ըստ հին համակարգի, միջոցով α - կոորդինատային առանցքների պտտման անկյունը և, վերջապես, միջով x, y և X, Y- կամայական M կետի կոորդինատները, համապատասխանաբար, ըստ հին և նոր համակարգերի.

Արտահայտել X և ժամը միջոցով Xև Յ, ներկայացնում ենք օժանդակ կոորդինատային համակարգ x 1 Օ 1 y 1 , որի սկիզբը դնում ենք նոր սկզբում Օ 1 և վերցրեք առանցքների ուղղությունները, որպեսզի համընկնեն հին առանցքների ուղղությունների հետ: Թող x 1 և y 1-ը նշանակում է M կետի կոորդինատները այս օժանդակ համակարգի նկատմամբ: Անցնելով հին կոորդինատային համակարգից օժանդակ համակարգին՝ ունենք (§ 2).

X = X 1 + ա , y = y 1 +b .

X 1 = X cos α - Յմեղք α , y 1 = Xմեղք α + Յ cos α .

Փոխարինելով X 1 և y 1-ը նախորդ բանաձևերում վերջին բանաձևերից իրենց արտահայտություններով վերջապես գտնում ենք.

x = X cos α - Յմեղք α + ա

y = Xմեղք α + Յ cos α + բ (ես)

Բանաձևերը (I) պարունակում են, որպես հատուկ դեպք, §§ 2 և 3-ի բանաձևերը: Այսպիսով, α = 0 բանաձևեր (I) վերածվում են

x = X + ա , y = Յ + բ ,

և ժամը ա = բ = 0 մենք ունենք.

x = X cos α - Յմեղք α , y = Xմեղք α + Յ cos α .

Բանաձևերից (I) մենք ստանում ենք նոր կոորդինատներ Xև Յարտահայտված հին միջոցով X և ժամը եթե (I) հավասարումները լուծելի են Xև Յ.

Մենք նշում ենք բանաձևերի (I) մի շատ կարևոր հատկություն. դրանք գծային են Xև Յ, այսինքն՝ ձևի.

x = AX+BY+C, y = Ա 1 X+B 1 Y+C 1 .

Հեշտ է ստուգել նոր կոորդինատները Xև Յարտահայտված հնի միջոցով X և ժամը նաև առաջին աստիճանի բանաձևեր առնչությամբ X և y.

Գ.Ն. Յակովլև «Երկրաչափություն»

§ 13. Անցում մեկ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգից մյուսին

Ընտրելով ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ՝ հաստատվում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն հարթության կետերի և իրական թվերի դասավորված զույգերի միջև։ Սա նշանակում է, որ հարթության յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է մեկ զույգ թվերի, իսկ իրական թվերի յուրաքանչյուր դասավորված զույգ համապատասխանում է մեկ կետի։

Այս կամ այն կոորդինատային համակարգի ընտրությունը ոչնչով չի սահմանափակվում և յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում որոշվում է միայն հարմարության նկատառումներով: Հաճախ նույն հավաքածուն պետք է դիտարկել տարբեր կոորդինատային համակարգերում: Միևնույն կետը տարբեր համակարգերում ակնհայտորեն տարբեր կոորդինատներ ունի: Տարբեր կոորդինատային համակարգերում կետերի բազմությունը (մասնավորապես՝ շրջան, պարաբոլա, ուղիղ գիծ) տրված է տարբեր հավասարումներով։

Եկեք պարզենք, թե ինչպես են հարթության կետերի կոորդինատները փոխակերպվում մի կոորդինատային համակարգից մյուսին անցնելիս:

Թող հարթության վրա տրվեն երկու ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր՝ O, ես, ժ և մոտ», ես", ժ" (նկ. 41):

Առաջին համակարգը, որն ունի սկիզբ O կետում և հիմքի վեկտորներ ես և ժ մենք համաձայնում ենք անվանել հինը, երկրորդը՝ սկիզբը O» կետով և հիմքի վեկտորները ես" և ժ» - նոր.

Մենք հայտնի կհամարենք նոր համակարգի դիրքը հին համակարգի նկատմամբ. թող հին համակարգում O կետը ունենա կոորդինատներ ( ա;բ ), վեկտոր ես" ձևեր վեկտորով ես անկյուն α . Անկյուն α հաշվելով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժման հակառակ ուղղությամբ:

Դիտարկենք կամայական M կետը: Նշեք դրա կոորդինատները հին համակարգում միջոցով ( x;y ), նորում - միջոցով ( x"; y" ) Մեր խնդիրն է հաստատել Մ կետի հին և նոր կոորդինատների հարաբերությունները։

Զույգերով միացրեք O և O, O, O և M, O և M կետերը: Եռանկյունի կանոնի համաձայն ստանում ենք.

Օ.Մ > = OO" > + Օ"Մ > . (1)

Եկեք քայքայենք վեկտորները Օ.Մ> և OO"> ըստ հիմքի վեկտորների ես և ժ , և վեկտորը Օ"Մ> ըստ հիմքի վեկտորների ես" և ժ» :

Օ.Մ > = x ես+y ժ , OO" > = ա ես+b ժ , Օ"Մ > = x" ես«+y» ժ "

Այժմ հավասարությունը (1) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

x ես+y ժ = (ա ես+b ժ ) + (x" ես«+y» ժ "). (2)

Նոր հիմքի վեկտորներ ես" և ժ» ընդլայնվել է հին հիմքի վեկտորների նկատմամբ ես և ժ հետևյալ կերպ.

ես" = cos α ես + մեղք α ժ ,

ժ» = cos ( π / 2 + α ) ես + մեղք ( π / 2 + α ) ժ = - մեղք α ես + cos α ժ .

Գտնված արտահայտությունների փոխարինում ես" և ժ» բանաձևով (2) մենք ստանում ենք վեկտորի հավասարություն

x ես+y ժ = ա ես+b ժ + X"(cos α ես + մեղք α ժ ) + ժամը"(- մեղք α ես + cos α ժ )

երկուսին համարժեք թվային հավասարումներ:

x = a + X" cos α - ժամը"մեղք α ,
ժամը = բ+ X"մեղք α + ժամը" cos α

Բանաձևերը (3) տալիս են հին կոորդինատների ցանկալի արտահայտությունները Xև ժամըմատնանշում է իր նոր կոորդինատները X"և ժամը". Նոր կոորդինատների արտահայտությունները հների մասով գտնելու համար բավական է լուծել անհայտների նկատմամբ հավասարումների համակարգը (3). X"և ժամը".

Այսպիսով, կետերի կոորդինատները սկզբնակետը կետ տեղափոխելիս ( ա; բ ) և պտտել առանցքները անկյան տակ α փոխակերպվում են (3) բանաձևերով։

Եթե փոխվում է միայն կոորդինատների սկզբնաղբյուրը, և առանցքների ուղղությունները մնում են նույնը, ապա, ենթադրելով (3) բանաձևով. α = 0, մենք ստանում ենք

Բանաձևերը (5) կոչվում են ռոտացիայի բանաձևեր.

Առաջադրանք 1.Հին համակարգում նոր սկզբի կոորդինատները թող լինեն (2; 3), իսկ A կետի կոորդինատները հին համակարգում (4; -1): Գտե՛ք Ա կետի կոորդինատները նոր համակարգեթե առանցքների ուղղությունները մնում են նույնը.

Բանաձևերով (4) ունենք

Պատասխանել. A (2;-4)

Առաջադրանք 2.Թող P կետի կոորդինատները հին համակարգում (-2; 1), իսկ նոր համակարգում, որի առանցքների ուղղությունները նույնն են, այս կետի կոորդինատները (5; 3): Գտե՛ք նոր սկզբի կոորդինատները հին համակարգում:

Եվ ըստ բանաձևերի (4) մենք ստանում ենք

- 2= ա + 5
1 = բ + 3

որտեղ ա = - 7, բ = - 2.

Պատասխանել. (-7; -2):

Առաջադրանք 3. A կետի կոորդինատները նոր համակարգում (4; 2): Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները հին համակարգում, եթե սկզբնաղբյուրը մնում է նույնը, իսկ հին համակարգի կոորդինատային առանցքները պտտվում են անկյան տակ։ α = 45 °:

Բանաձևերով (5) մենք գտնում ենք

Առաջադրանք 4. A կետի կոորդինատները հին համակարգում (2 √3 ; - √3 ). Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները նոր համակարգում, եթե հին համակարգի սկզբնաղբյուրը տեղափոխվում է (-1;-2) կետը, և առանցքները պտտվում են անկյան տակ։ α = 30 °:

Բանաձևերով (3) ունենք

Այս հավասարումների համակարգի լուծումը X"և ժամը", գտնում ենք. X" = 4, ժամը" = -2.

Պատասխանել. Ա(4;-2):

Առաջադրանք 5.Տրվում է ուղիղ գծի հավասարումը ժամը = 2X - 6. Նոր կոորդինատային համակարգում գտե՛ք նույն ուղիղի հավասարումը, որը ստացվում է հին համակարգից՝ առանցքները անկյան տակ պտտելով. α = 45 °:

Պտտման բանաձևերը այս դեպքում ունեն ձևը

Հավասարման մեջ ուղիղ գիծը փոխարինելը ժամը = 2X - 6 հին փոփոխականներ X և ժամը նոր, մենք ստանում ենք հավասարումը

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

որը պարզեցումներից հետո ստանում է ձև y" = x" / 3 - 2√2

Կիրառական գիտությունների խնդիրների մեծ մասը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ օբյեկտի կամ կետի գտնվելու վայրը, որը որոշվում է ընդունված կոորդինատային համակարգերից մեկի միջոցով։ Բացի այդ, կան բարձրության համակարգեր, որոնք նաև որոշում են կետի բարձրության դիրքը

Որոնք են կոորդինատները

Կոորդինատները թվային կամ բառացի արժեքներ են, որոնք կարող են օգտագործվել տեղանքի վրա կետի գտնվելու վայրը որոշելու համար: Որպես հետևանք, կոորդինատային համակարգը նույն տիպի արժեքների մի շարք է, որոնք ունեն կետ կամ օբյեկտ գտնելու նույն սկզբունքը:

Շատ գործնական խնդիրներ լուծելու համար պահանջվում է կետի գտնվելու վայրը գտնելը: Գիտության մեջ, ինչպիսին է գեոդեզիան, տվյալ տարածության մեջ կետի տեղակայումը հետևյալն է հիմնական նպատակըորի վրա հիմնված են բոլոր հետագա աշխատանքները:

Կոորդինատային համակարգերի մեծ մասը, որպես կանոն, սահմանում է կետի գտնվելու վայրը հարթության վրա, որը սահմանափակվում է ընդամենը երկու առանցքով: Եռաչափ տարածության մեջ կետի դիրքը որոշելու համար օգտագործվում է նաև բարձրությունների համակարգ։ Նրա օգնությամբ դուք կարող եք պարզել ցանկալի օբյեկտի ճշգրիտ վայրը:

Համառոտ գեոդեզիայում օգտագործվող կոորդինատային համակարգերի մասին

Կոորդինատային համակարգերը որոշում են կետի գտնվելու վայրը տարածքի վրա՝ տալով նրան երեք արժեք: Յուրաքանչյուր կոորդինատային համակարգի համար դրանց հաշվարկման սկզբունքները տարբեր են։

Գեոդեզիայում օգտագործվող հիմնական տարածական կոորդինատային համակարգերը.

Գեոդեզիական.
Աշխարհագրական.
Բևեռային.
Ուղղանկյուն:
Zonal Gauss-Kruger կոորդինատները.

Բոլոր համակարգերն ունեն իրենց ելակետը, օբյեկտի գտնվելու վայրի և շրջանակի արժեքները:

Գեոդեզիական կոորդինատներ

Գեոդեզիական կոորդինատները կարդալու համար օգտագործվող հիմնական ցուցանիշը երկրագնդի էլիպսոիդն է։

Էլիպսոիդը եռաչափ սեղմված պատկեր է, որը լավագույն միջոցըներկայացնում է երկրագնդի պատկերը: Շնորհիվ այն բանի, որ գլոբուսը մաթեմատիկորեն սխալ պատկեր է, դա էլիպսոիդն է, որը դրա փոխարեն օգտագործվում է գեոդեզիական կոորդինատները որոշելու համար։ Սա հեշտացնում է բազմաթիվ հաշվարկների իրականացումը մակերեսի վրա մարմնի դիրքը որոշելու համար:

Գեոդեզիական կոորդինատները սահմանվում են երեք արժեքներով՝ գեոդեզիական լայնություն, երկայնություն և բարձրություն։

Գեոդեզիական լայնությունը այն անկյունն է, որի սկիզբը գտնվում է հասարակածի հարթության վրա, իսկ վերջը գտնվում է ցանկալի կետին գծված ուղղահայաց վրա:
Գեոդեզիական երկայնությունը այն անկյունն է, որը չափվում է զրոյական միջօրեականից մինչև այն միջօրեականը, որի վրա գտնվում է ցանկալի կետը:
Գեոդեզիական բարձրություն - տվյալ կետից Երկրի պտույտի էլիպսոիդի մակերեսին գծված նորմայի արժեքը։

Աշխարհագրական կոորդինատները

Բարձրագույն գեոդեզիայի բարձր ճշգրտության խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ է տարբերակել գեոդեզիական և աշխարհագրական կոորդինատները։ Ինժեներական գեոդեզիայում օգտագործվող համակարգում նման տարբերությունները, աշխատանքի ծածկած փոքր տարածքի պատճառով, որպես կանոն, չեն լինում։

Էլիպսոիդն օգտագործվում է որպես հղման հարթություն՝ գեոդեզիական կոորդինատները որոշելու համար, իսկ գեոիդը՝ աշխարհագրական կոորդինատները որոշելու համար։ Գեոիդը մաթեմատիկորեն սխալ թիվ է, ավելի մոտ է Երկրի իրական թվին: Նրա հարթեցված մակերեսի համար վերցնում են այն, ինչը շարունակվում է ծովի մակարդակի տակ իր հանգիստ վիճակում։

Աշխարհագրական կոորդինատների համակարգը, որն օգտագործվում է գեոդեզիայում, նկարագրում է երեք արժեք ունեցող կետի դիրքը տարածության մեջ։ երկայնությունը համընկնում է գեոդեզիականի հետ, քանի որ հղման կետը նույնպես կոչվելու է Գրինվիչ։ Այն անցնում է Լոնդոն քաղաքի համանուն աստղադիտարանի միջով։ որոշվում է գեոիդի մակերեսի վրա գծված հասարակածից։

Գեոդեզիայում օգտագործվող տեղական կոորդինատային համակարգում բարձրությունը չափվում է ծովի մակարդակից իր հանգիստ վիճակում: Ռուսաստանի և նախկին Միության երկրների տարածքում նշանը, որից որոշվում են բարձունքները, Կրոնշտադտի ստորոտն է։ Այն գտնվում է Բալթիկ ծովի մակարդակում։

Բևեռային կոորդինատներ

Գեոդեզիայում օգտագործվող բևեռային կոորդինատային համակարգը չափումների արդյունքի այլ նրբերանգներ ունի։ Այն օգտագործվում է տեղանքի փոքր տարածքներում՝ կետի հարաբերական դիրքը որոշելու համար։ Հղման կետը կարող է լինել որպես աղբյուր նշված ցանկացած օբյեկտ: Այսպիսով, օգտագործելով բևեռային կոորդինատները, անհնար է որոշել երկրագնդի տարածքում մի կետի միանշանակ գտնվելու վայրը:

Բևեռային կոորդինատները սահմանվում են երկու մեծությամբ՝ անկյուն և հեռավորություն։ Անկյունը չափվում է միջօրեականի հյուսիսային ուղղությունից մինչև տվյալ կետ՝ որոշելով նրա դիրքը տարածության մեջ։ Բայց մեկ անկյունը բավարար չի լինի, ուստի ներկայացվում է շառավղային վեկտոր՝ կանգնած կետից մինչև ցանկալի օբյեկտի հեռավորությունը: Այս երկու տարբերակներով դուք կարող եք որոշել կետի գտնվելու վայրը տեղական համակարգում:

Որպես կանոն, այս կոորդինատային համակարգը օգտագործվում է կատարման համար ինժեներական աշխատանքանցկացվում է փոքր տարածքում:

Ուղղանկյուն կոորդինատներ

Գեոդեզիայում օգտագործվող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը նույնպես օգտագործվում է տեղանքի փոքր տարածքներում: Համակարգի հիմնական տարրը կոորդինատային առանցքն է, որից կատարվում է հղումը: Կետի կոորդինատները հայտնաբերվում են որպես աբսցիսից և օրդինատների առանցքներից մինչև ցանկալի կետը գծված ուղղահայացների երկարությունը:

X առանցքի հյուսիսային ուղղությունը և y առանցքի արևելքը համարվում են դրական, իսկ հարավը և արևմուտքը բացասական են: Կախված նշաններից և քառորդներից, որոշվում է տարածության կետի գտնվելու վայրը:

Գաուս-Կրյուգերի կոորդինատները

Գաուս-Կրյուգերի կոորդինատային գոտիական համակարգը նման է ուղղանկյունին։ Տարբերությունն այն է, որ այն կարող է կիրառվել երկրագնդի ողջ տարածքում, և ոչ միայն փոքր տարածքների վրա։

Գաուս-Կրյուգերի գոտիների ուղղանկյուն կոորդինատները, ըստ էության, երկրագնդի պրոյեկցիան են հարթության վրա։ Այն առաջացել է գործնական նպատակներով՝ թղթի վրա Երկրի մեծ տարածքները պատկերելու համար։ Փոխանցող աղավաղումները համարվում են աննշան:

Համաձայն այս համակարգի՝ գլոբուսը ըստ երկայնության բաժանվում է վեց աստիճանի գոտիների՝ առանցքային միջօրեականը մեջտեղում։ Հասարակածը գտնվում է կենտրոնում հորիզոնական գծի երկայնքով: Արդյունքում կա 60 նման գոտի։

Վաթսուն գոտիներից յուրաքանչյուրն ունի ուղղանկյուն կոորդինատների իր համակարգը, որը չափվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով X-ից, իսկ աբսցիսայի երկայնքով՝ երկրագնդի հասարակածի տարածքից: Ամբողջ երկրագնդի տարածքում գտնվելու վայրը միանշանակորեն որոշելու համար, գոտու համարը դրվում է X և Y արժեքների դիմաց:

Ռուսաստանում x-առանցքի արժեքները սովորաբար դրական են, մինչդեռ y-ի արժեքները կարող են բացասական լինել: Abscissa առանցքի արժեքներում մինուս նշանից խուսափելու համար յուրաքանչյուր գոտու առանցքային միջօրեականը պայմանականորեն տեղափոխվում է 500 մետր դեպի արևմուտք։ Այնուհետև բոլոր կոորդինատները դրական են դառնում:

Կոորդինատների համակարգը հնարավորին չափ առաջարկել է Գաուսը և մաթեմատիկորեն հաշվարկել Քրյուգերը 20-րդ դարի կեսերին։ Այդ ժամանակվանից այն օգտագործվել է գեոդեզիայում՝ որպես հիմնականներից մեկը։

Բարձրության համակարգ

Գեոդեզիայում օգտագործվող կոորդինատների և բարձրությունների համակարգերն օգտագործվում են Երկրի վրա կետի դիրքը ճշգրիտ որոշելու համար։ Բացարձակ բարձունքներչափվում են ծովի մակարդակից կամ որպես բնօրինակ վերցված այլ մակերեսից: Բացի այդ, կան հարաբերական բարձրություններ. Վերջիններս հաշվվում են որպես ցանկալի կետից ցանկացած այլ ավելցուկ: Հարմար է դրանք օգտագործել տեղական կոորդինատային համակարգում աշխատելու համար՝ արդյունքների հետագա մշակումը պարզեցնելու համար։

Կոորդինատային համակարգերի կիրառումը գեոդեզիայում

Բացի վերը նշվածից, կան նաև այլ կոորդինատային համակարգեր, որոնք օգտագործվում են գեոդեզիայում: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր առավելություններն ու թերությունները: Կան նաև իրենց աշխատանքի ոլորտները, որոնց համար տեղին է գտնվելու վայրի որոշման այս կամ այն մեթոդը:

Հենց աշխատանքի նպատակն է որոշում, թե գեոդեզիայում օգտագործվող կոորդինատային համակարգերն են լավագույնս օգտագործվում: Փոքր տարածքներում աշխատելու համար հարմար է օգտագործել ուղղանկյուն և բևեռային կոորդինատային համակարգեր, իսկ լայնածավալ խնդիրների լուծման համար անհրաժեշտ են համակարգեր, որոնք թույլ են տալիս ծածկել երկրի մակերևույթի ամբողջ տարածքը։