Ինտեգրալների օգտագործումը հեղափոխության պինդ մարմինների ծավալները գտնելու համար

Մաթեմատիկայի գործնական օգտակարությունը պայմանավորված է նրանով, որ առանց

հատուկ մաթեմատիկական գիտելիքները դժվարացնում են սարքի սկզբունքները և օգտագործումը ժամանակակից տեխնոլոգիա. Յուրաքանչյուր մարդ իր կյանքում պետք է կատարի բավականին բարդ հաշվարկներ, օգտագործի սովորաբար օգտագործվող սարքավորումները, գտնել անհրաժեշտ բանաձևերը տեղեկատու գրքերում և կազմել պարզ ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: AT ժամանակակից հասարակությունավելի շատ մասնագիտություններ են պահանջում բարձր մակարդակկրթությունը կապված է մաթեմատիկայի անմիջական կիրառման հետ։ Այսպիսով, դպրոցականի համար մաթեմատիկան դառնում է մասնագիտորեն նշանակալի առարկա։ Առաջատար դերը պատկանում է մաթեմատիկային ալգորիթմական մտածողության ձևավորման գործում, այն դաստիարակում է տվյալ ալգորիթմի համաձայն գործելու և նոր ալգորիթմներ մշակելու կարողություն։

Ուսումնասիրելով հեղափոխության մարմինների ծավալները հաշվելու համար ինտեգրալի կիրառման թեման՝ ֆակուլտատիվ դասարաններում սովորողներին առաջարկում եմ քննարկել թեման՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալները՝ օգտագործելով ինտեգրալները»։ Ահա այս թեմայի հետ կապված որոշ ուղեցույցներ.

1. Հարթ գործչի մակերեսը:

Հանրահաշվի դասընթացից մենք գիտենք, որ գործնական խնդիրները հանգեցրել են որոշակի ինտեգրալի հասկացությանը..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">:

Օքսի առանցքի շուրջ կորագիծ տրապիզոնի պտույտից առաջացած պտտվող մարմնի ծավալը գտնելու համար, որը սահմանափակված է y=f(x) կոտրված գծով, Ox առանցքով, x=a և x=b ուղիղ գծերով, մենք հաշվարկում ենք. բանաձևով

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Մխոցի ծավալը.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Կոնը ստացվում է պտտվելով ուղղանկյուն եռանկյուն ABC(C=90) Ox առանցքի շուրջ, որի վրա ընկած է AC ոտքը:

AB հատվածը գտնվում է y=kx+c գծի վրա, որտեղ https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">:

Թող a=0, b=H (H-ը կոնի բարձրությունն է), ապա Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= «>.

5. Կտրված կոնի ծավալը.

Կտրված կոն կարելի է ձեռք բերել պտտվելով ուղղանկյուն trapezoid ABCD (CDOx) Ox առանցքի շուրջ:

AB հատվածն ընկած է y=kx+c ուղղի վրա, որտեղ , c=r.

Քանի որ ուղիղն անցնում է A կետով (0; r).

Այսպիսով, ուղիղ գիծը նման է https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Թող a=0, b=H (H-ը կտրված կոնի բարձրությունն է), ապա https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" ="> = .

6. Գնդակի ծավալը.

Գնդակը կարելի է ստանալ՝ x առանցքի շուրջ (0;0) կենտրոնով շրջան պտտելով: X առանցքի վերևում գտնվող կիսաշրջանը տրված է հավասարմամբ

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x Ռ.

Թեմա՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով»

Դասի տեսակը.համակցված.

Դասի նպատակը.սովորել ինտեգրալների միջոցով հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները:

Առաջադրանքներ.

համախմբել շարքից կորագիծ trapezoids ընտրելու ունակությունը երկրաչափական ձևերև մշակել կորագիծ տրապիզոիդների մակերեսները հաշվարկելու հմտությունը.

ծանոթանալ եռաչափ գործչի հայեցակարգին;

սովորել հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները.

նպաստել զարգացմանը տրամաբանական մտածողություն, գրագետ մաթեմատիկական խոսք, գծագրերի կառուցման ճշգրտություն;

զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, գործել մաթեմատիկական հասկացությունների և պատկերների հետ, ձևավորել կամք, անկախություն, հաստատակամություն վերջնական արդյունքի հասնելու համար:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

Խմբային ողջույններ. Ուսանողների հետ դասի նպատակների մասին հաղորդակցություն:

Այսօրվա դասը կցանկանայի սկսել առակով. «Կար մի իմաստուն մարդ, ով գիտեր ամեն ինչ։ Մի մարդ ուզում էր ապացուցել, որ իմաստունն ամեն ինչ չգիտի։ Թիթեռը ձեռքերում բռնած՝ նա հարցրեց. «Ասա ինձ, իմաստուն, ո՞ր թիթեռնիկն է իմ ձեռքում՝ մեռա՞ծ, թե՞ ողջ»: Իսկ ինքը մտածում է. «Եթե կենդանին ասի՝ կսպանեմ նրան, եթե մեռածն ասի՝ դուրս կթողնեմ»։ Իմաստունը մտածելուց հետո պատասխանեց. «Ամեն ինչ քո ձեռքերում է»:

Ուստի եկեք այսօր արդյունավետ աշխատենք, ձեռք բերենք գիտելիքների նոր պաշար, իսկ ձեռք բերած հմտություններն ու կարողությունները կկիրառենք հետագա կյանքում և գործնական գործունեության մեջ.«Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է»։

II. Նախկինում սովորած նյութի կրկնություն:

Հիշենք նախկինում ուսումնասիրված նյութի հիմնական կետերը. Դա անելու համար մենք կկատարենք «Ջնջել լրացուցիչ բառը» առաջադրանքը:

(Ուսանողները ասում են լրացուցիչ բառ):

Ճիշտ է «Դիֆերենցիալ».Փորձեք մնացած բառերը մեկը անվանելու համար ընդհանուր բառ. (Ամբողջական հաշվարկ):

Հիշենք ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված հիմնական փուլերն ու հասկացությունները։

Զորավարժություններ.Վերականգնել անցումները: (Աշակերտը դուրս է գալիս և գրում մարկերով անհրաժեշտ բառեր.)

Աշխատեք նոթատետրերում.

Ստացվել է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը անգլիացի ֆիզիկոսԻսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցը (1646-1716): Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում է հենց բնությունը:

Նկատի առեք, թե ինչպես է այս բանաձևը օգտագործվում գործնական առաջադրանքները լուծելիս:

Օրինակ 1: Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծում:Եկեք կառուցենք կոորդինատային հարթությունֆունկցիայի գրաֆիկներ . Ընտրեք հայտնաբերվող գործչի տարածքը:

III. Նոր նյութ սովորելը.

Ուշադրություն դարձրեք էկրանին. Ի՞նչ է պատկերված առաջին նկարում: (Նկարը ցույց է տալիս հարթ գործիչ):

Ի՞նչ է պատկերված երկրորդ նկարում: Արդյո՞ք այս ցուցանիշը հարթ է: (Նկարը ցույց է տալիս եռաչափ պատկեր):

Տիեզերքում, երկրի վրա և առօրյա կյանքում մենք հանդիպում ենք ոչ միայն հարթ պատկերների, այլև եռաչափ, բայց ինչպե՞ս հաշվարկել այդպիսի մարմինների ծավալը։ Օրինակ՝ մոլորակի, գիսաստղի, երկնաքարի ծավալը և այլն։

Նրանք մտածում են ծավալի մասին՝ տներ կառուցելիս և ջուրը մի նավից մյուսը լցնելիս։ Ծավալների հաշվման կանոններ ու մեթոդներ պետք է առաջանային, այլ բան, թե որքանով էին դրանք ճշգրիտ ու հիմնավորված։

Բնակիչների համար էր 1612 թ Ավստրիական քաղաքԼինցը, որտեղ ապրում էր այն ժամանակ հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը, շատ արդյունավետ է հատկապես խաղողի համար։ Մարդիկ պատրաստում էին գինու տակառներ և ցանկանում էին իմանալ, թե ինչպես կարելի է գործնականում որոշել դրանց ծավալները։

Այսպիսով, Կեպլերի դիտարկված աշխատությունները նշանավորեցին հետազոտությունների մի ամբողջ հոսքի սկիզբ, որը գագաթնակետին հասավ 17-րդ դարի վերջին քառորդում։ դիզայն Ի. Նյուտոնի և Գ.Վ. Լայբնիցի դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ. Այդ ժամանակից ի վեր մաթեմատիկական գիտելիքների համակարգում առաջատար տեղ է գրավել մեծության փոփոխականների մաթեմատիկան։

Այսպիսով, այսօր մենք զբաղվելու ենք նման գործնական գործունեությամբ, հետևաբար.

Մեր դասի թեման՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով»։

Դուք կսովորեք հեղափոխության մարմնի սահմանումը կատարելով հետևյալ առաջադրանքը.

«Լաբիրինթոս».

Զորավարժություններ.Գտեք ելք խառնաշփոթ իրավիճակից և գրեք սահմանումը:

IVԾավալների հաշվարկ.

Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ՝ կարող եք հաշվարկել մարմնի, մասնավորապես՝ հեղափոխության մարմնի ծավալը։

Հեղափոխության մարմինը այն մարմինն է, որը ստացվում է կորագիծ տրապիզոնի հիմքի շուրջը պտտելով (նկ. 1, 2):

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևերից մեկով:

1. x առանցքի շուրջ:

2. , եթե կորագիծ trapezoid-ի պտույտը y առանցքի շուրջ:

Աշակերտները նոթատետրում գրում են հիմնական բանաձևերը:

Ուսուցիչը գրատախտակին բացատրում է օրինակների լուծումը:

1. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզի y առանցքի շուրջ պտտվելուց. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0:

Լուծում.

Պատասխան՝ 1163 սմ3։

2. Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է պարաբոլիկ տրապեզոիդը աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտելով։ y =, x = 4, y = 0:

Լուծում.

Վ. Մաթեմատիկայի սիմուլյատոր.

2. Տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է

ԲԱՅՑ) անորոշ ինտեգրալ,

բ) գործառույթը,

Բ) տարբերակում.

7. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագծային տրապեզի աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելուց.

Դ/Զ. Նոր նյութի ամրագրում

Հաշվե՛ք x առանցքի շուրջ ծաղկաթերթիկի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը y=x2, y2=x.

Եկեք գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկները։ y=x2, y2=x. y2 = x գրաֆիկը վերածվում է y = ձևի:

Մենք ունենք V = V1 - V2 Հաշվարկենք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ծավալը.

Եզրակացություն:

Որոշակի ինտեգրալը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մի տեսակ հիմք է, որն անփոխարինելի ներդրում է կատարում գործնական բովանդակության խնդիրների լուծման գործում:

«Ինտեգրալ» թեման հստակ ցույց է տալիս կապը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության և տեխնիկայի միջև։

Զարգացում ժամանակակից գիտանհնար է պատկերացնել առանց ինտեգրալի օգտագործման: Այս առումով անհրաժեշտ է սկսել այն ուսումնասիրել կեսերի շրջանակներում հատուկ կրթություն!

VI. Գնահատում.(Մեկնաբանությամբ):

Մեծ Օմար Խայամ - մաթեմատիկոս, բանաստեղծ, փիլիսոփա: Նա կոչ է անում լինել իր ճակատագրի տերը: Լսեք մի հատված նրա ստեղծագործությունից.

Դուք ասում եք, որ այս կյանքը ընդամենը մի պահ է:
Գնահատե՛ք այն, ոգեշնչե՛ք դրանից։
Ինչպես ծախսես, այնպես էլ կանցնի։
Մի մոռացեք, որ նա ձեր ստեղծագործությունն է:

Սահմանում 3. Հեղափոխության մարմինը այն մարմինն է, որը ստացվում է հարթ պատկերը առանցքի շուրջը պտտելով, որը չի հատում պատկերը և ընկած է նրա հետ նույն հարթության վրա:

Պտտման առանցքը կարող է հատել նաև պատկերը, եթե դա պատկերի համաչափության առանցքն է։

Թեորեմ 2.
, առանցք
և ուղիղ հատվածներ
և

պտտվում է առանցքի շուրջ
. Այնուհետև ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

(2)

Ապացույց. Նման մարմնի համար աբսցիսով հատվածը շառավղով շրջան է
, նշանակում է
և (1) բանաձևը տալիս է ցանկալի արդյունքը:

Եթե ​​թիվը սահմանափակվում է երկու շարունակական ֆունկցիաների գրաֆիկներով
և
, և գծերի հատվածներ
և
, ընդ որում
և
, ապա աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելիս ստանում ենք մարմին, որի ծավալը

Օրինակ 3 Հաշվե՛ք տորուսի ծավալը, որը ստացվում է շրջանով սահմանափակված շրջանի պտտմամբ

x առանցքի շուրջ:

Ռ լուծում. Նշված շրջանակը ներքևից սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով
և վերևում -
. Այս ֆունկցիաների քառակուսիների տարբերությունը.

Ցանկալի ծավալ

(Ինտեգրանդի գրաֆիկը վերին կիսաշրջանն է, ուստի վերևում գրված ինտեգրալը կիսաշրջանի մակերեսն է):

Օրինակ 4 Պարաբոլիկ հատված՝ հիմքով
, և բարձրությունը , պտտվում է հիմքի շուրջ։ Հաշվե՛ք ստացված մարմնի ծավալը (Կավալիերիի «կիտրոն»)։

Ռ լուծում. Տեղադրեք պարաբոլան, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Այնուհետև դրա հավասարումը
, և
. Գտնենք պարամետրի արժեքը :
. Այսպիսով, ցանկալի ծավալը.

Թեորեմ 3. Թող կորագիծ տրապիզը սահմանափակված լինի շարունակական ոչ բացասական ֆունկցիայի գրաֆիկով
, առանցք
և ուղիղ հատվածներ
և
, ընդ որում
, պտտվում է առանցքի շուրջ
. Այնուհետև ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է գտնել բանաձևով

(3)

ապացույց գաղափար. Սեգմենտի բաժանում
կետեր

, մասերի և ուղիղ գծեր քաշեք
. Ամբողջ trapezoid-ը կքայքայվի շերտերի, որոնք կարելի է համարել մոտավորապես ուղղանկյուններ՝ հիմքով։
և բարձրությունը
.

Նման ուղղանկյունի պտույտի արդյունքում առաջացող գլանը կտրվում է գեներատրիքսով և բացվում: Մենք ստանում ենք «գրեթե» զուգահեռաչափ՝ չափերով.
,
և
. Դրա ծավալը
. Այսպիսով, հեղափոխության մարմնի ծավալի համար մենք կունենանք մոտավոր հավասարություն

Ճշգրիտ հավասարություն ստանալու համար մենք պետք է անցնենք սահմանին
. Վերևում գրված գումարը ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարն է
, հետևաբար, սահմանում մենք ստանում ենք ինտեգրալը (3) բանաձևից։ Թեորեմն ապացուցված է.

Դիտողություն 1. 2-րդ և 3-րդ թեորեմներում պայմանը
կարելի է բաց թողնել. բանաձևը (2) ընդհանուր առմամբ անզգայուն է նշանի նկատմամբ
, և (3) բանաձևում դա բավարար է
փոխարինվել է
.

Օրինակ 5 Պարաբոլիկ հատված (հիմք
, բարձրություն ) պտտվում է բարձրության շուրջ։ Գտե՛ք ստացված մարմնի ծավալը:

Լուծում. Դասավորեք պարաբոլան այնպես, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Եվ չնայած պտտման առանցքը հատում է գործիչը, այն՝ առանցքը, համաչափության առանցքն է: Հետեւաբար, պետք է հաշվի առնել միայն հատվածի աջ կեսը: Պարաբոլայի հավասարում
, և
, նշանակում է
. Ծավալի համար ունենք.

Դիտողություն 2. Եթե ​​կորագիծ տրապիզոնի կորագիծ սահմանը տրված է պարամետրային հավասարումներով.
,
,
և
,
ապա (2) և (3) բանաձևերը կարող են օգտագործվել փոխարինման հետ միասին վրա
և
վրա
երբ այն փոխվում է տ-ից
նախքան .

Օրինակ 6 Նկարը սահմանափակված է ցիկլոիդի առաջին աղեղով
,
,
, իսկ աբսցիսային առանցքը։ Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս ցուցանիշը պտտելով՝ 1) առանցքի շուրջը
; 2) առանցքներ
.

Լուծում. 1) Ընդհանուր բանաձեւ
Մեր դեպքում.

2) Ընդհանուր բանաձեւ
Մեր գործչի համար.

Մենք խրախուսում ենք ուսանողներին ինքնուրույն կատարել բոլոր հաշվարկները:

Դիտողություն 3. Թող կորագիծ հատվածը սահմանափակված լինի շարունակական գծով
և ճառագայթներ
,

, պտտվում է բևեռային առանցքի շուրջ։ Ստացված մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Օրինակ 7 Կարդիոիդով սահմանափակված գործչի մի մասը
, շրջանից դուրս պառկած
, պտտվում է բևեռային առանցքի շուրջ։ Գտե՛ք ստացված մարմնի ծավալը:

Լուծում. Երկու գծերն էլ, և, հետևաբար, սահմանած գործիչը սիմետրիկ են բևեռային առանցքի նկատմամբ: Ուստի անհրաժեշտ է դիտարկել միայն այն մասը, որի համար
. Կորերը հատվում են ժամը
և

ժամը
. Ավելին, թիվը կարելի է համարել որպես երկու հատվածների տարբերություն, և, հետևաբար, ծավալը կարող է հաշվարկվել որպես երկու ինտեգրալների տարբերություն: Մենք ունենք:

Առաջադրանքներ անկախ լուծման համար։

1. Շրջանաձև հատված, որի հիմքը
, բարձրություն , պտտվում է հիմքի շուրջ։ Գտեք հեղափոխության մարմնի ծավալը:

2. Գտի՛ր հեղափոխության պարաբոլոիդի ծավալը, որի հիմքը , իսկ բարձրությունն է .

3. Աստրոիդով սահմանափակված պատկեր
,
պտտվում է x առանցքի շուրջ: Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է այս դեպքում։

4. Գծերով սահմանափակված պատկեր
և
պտտվում է x առանցքի շուրջ: Գտեք հեղափոխության մարմնի ծավալը:

I. Հեղափոխության մարմինների հատորներ. Նախնական ուսումնասիրել XII գլուխը, p°p° 197, 198, ըստ G. M. Fikhtengol'ts-ի դասագրքի* Մանրամասն վերլուծել p° 198-ում բերված օրինակները։

508. Հաշվի՛ր x առանցքի շուրջ էլիպսի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը։

Այս կերպ,

530. Գտեք մակերեսի մակերեսը, որը ձևավորվում է y \u003d sin x սինուսոիդի աղեղի Ox առանցքի շուրջ պտտմամբ X \u003d 0 կետից մինչև X \u003d Այն կետը:

531. Հաշվե՛ք h բարձրությամբ և r շառավղով կոնի մակերեսը։

532. Հաշվիր առաջացած մակերեսը

astroid x3 -) - y* - a3 ռոտացիան x առանցքի շուրջ:

533. Հաշվե՛ք x առանցքի շուրջ 18 y-x(6-x)r կորի օղակի շրջադարձից առաջացած մակերեսի մակերեսը։

534. Գտե՛ք X2 - j - (y-3)2 = 4 շրջանագծի պտույտից առաջացած տորսի մակերեսը x առանցքի շուրջ:

535. Հաշվե՛ք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվում է շրջանագծի պտույտից X = ծախս, y = ասինտ Ox առանցքի շուրջ:

536. Հաշվե՛ք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվում է կորի օղակի պտույտից x = 9t2, y = St - 9t3 Ox առանցքի շուրջ:

537. Գտեք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվել է կորի աղեղի պտույտից x = e * sint, y = el արժեքը Ox առանցքի շուրջ

t = 0-ից t = -.

538. Ցույց տվեք, որ x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) Oy առանցքի շուրջ ցիկլոիդի աղեղի պտույտից առաջացած մակերեսը հավասար է 16 u2 o2:

539. Գտի՛ր բևեռային առանցքի շուրջ կարդիոիդը պտտելով ստացված մակերեսը։

540. Գտեք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվել է լեմնիսկատի պտույտից բևեռային առանցքի շուրջ.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ IV գլխի համար

Ինքնաթիռների ֆիգուրների տարածքները

541. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի ամբողջ մակերեսը Եվ առանցքը Oh.

542. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Եվ առանցքը Oh.

543. Գտե՛ք շրջանի տարածքի այն մասը, որը գտնվում է առաջին քառորդում և սահմանափակված է կորով

լ կոորդինատային առանցքներ.

544. Գտեք ներսում պարունակվող տարածքի տարածքը

հանգույցներ:

545. Գտե՛ք կորի մեկ օղակով սահմանափակված շրջանի մակերեսը.

546. Գտե՛ք օղակի ներսում պարունակվող տարածքի մակերեսը.

547. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Եվ առանցքը Oh.

548. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Եվ առանցքը Oh.

549. Գտե՛ք Oxr առանցքով սահմանափակված շրջանի տարածքը

ուղիղ և կոր

Բացառությամբ գտնել հարթ գործչի մակերեսը որոշակի ինտեգրալի միջոցով (տես 7.2.3.)թեմայի ամենակարևոր կիրառությունն է հեղափոխության մարմնի ծավալի հաշվարկ. Նյութը պարզ է, բայց ընթերցողը պետք է պատրաստ լինի՝ պետք է կարողանալ լուծել անորոշ ինտեգրալներմիջին բարդության և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը որոշակի ինտեգրալ, nՊահանջվում են նաև գծագրման ուժեղ հմտություններ: Ընդհանրապես, ինտեգրալ հաշվարկում շատ հետաքրքիր կիրառություններ կան. որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով՝ կարող եք հաշվարկել գործչի մակերեսը, պտույտի մարմնի ծավալը, աղեղի երկարությունը, մակերեսի մակերեսը։ մարմինը և շատ ավելին: Պատկերացրեք մի քանիսը հարթ գործիչկոորդինատային հարթության վրա։ Ներկայացրե՞լ է: ... Այժմ այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.

- x առանցքի շուրջը ;

- y առանցքի շուրջ .

Եկեք նայենք երկու դեպքերին: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն առաջացնում է ամենամեծ դժվարությունները, բայց իրականում լուծումը գրեթե նույնն է, ինչ x-առանցքի շուրջ ավելի տարածված պտույտում։ Սկսենք ռոտացիայի ամենատարածված տեսակից:

Առանցքի շուրջ հարթ պատկերի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկը ԵԶ

Օրինակ 1

Հաշվե՛ք առանցքի շուրջ գծերով սահմանափակված պատկերը պտտելով ստացված մարմնի ծավալը:

Լուծում:Ինչ վերաբերում է տարածքը գտնելու խնդրին. լուծումը սկսվում է հարթ գործչի գծագրով. Այսինքն՝ ինքնաթիռում XOYանհրաժեշտ է կառուցել գծերով սահմանափակված պատկեր՝ չմոռանալով, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը։ Նկարչությունն այստեղ բավականին պարզ է.

Ցանկալի հարթ գործիչը ստվերված է կապույտով, հենց նա է պտտվում առանցքի շուրջը: Պտտման արդյունքում ստացվում է նման մի փոքր ձվաձեւ թռչող ափսե՝ առանցքի վրա երկու սուր գագաթներով։ ԵԶ, սիմետրիկ առանցքի նկատմամբ ԵԶ. Իրականում մարմինը մաթեմատիկական անուն ունի, նայեք տեղեկագրքում։

Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը: Եթե ​​մարմինը գոյացել է առանցքի շուրջ պտտվելու արդյունքումԵԶ, այն մտովի բաժանված է փոքր հաստության զուգահեռ շերտերի dxորոնք ուղղահայաց են առանցքին ԵԶ. Ամբողջ մարմնի ծավալն ակնհայտորեն հավասար է նման տարրական շերտերի ծավալների գումարին։ Յուրաքանչյուր շերտ, ինչպես կիտրոնի կլոր շերտը, ցածր գլանով բարձր է dxև հիմքի շառավղով զ(x) Այնուհետև մեկ շերտի ծավալը պ բազային տարածքի արտադրյալն է զ 2-ից մինչև մխոցի բարձրությունը ( dx), կամ π∙ զ 2 (x)∙dx. Իսկ հեղափոխության ամբողջ մարմնի մակերեսը տարրական ծավալների գումարն է կամ համապատասխան որոշակի ինտեգրալը։ Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

.

Ինչպես սահմանել «a» և «be» ինտեգրման սահմանները, հեշտ է կռահել ավարտված գծագրից: Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը: Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևից պարաբոլային գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում: Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ ԵԶ. Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ֆունկցիան քառակուսի է. զ 2 (x), այսպիսով, Հեղափոխության մարմնի ծավալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը միանգամայն տրամաբանական է։ Հաշվեք հեղափոխության մարմնի ծավալը հետևյալ բանաձևով.

.

Ինչպես արդեն նշել ենք, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։

Պատասխան.

Պատասխանում անհրաժեշտ է նշել չափը՝ խորանարդ միավորներ։ Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու հենց խորանարդ միավորներ? Որովհետև դա ամենահամընդհանուր ձևակերպումն է։ Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել Խորանարդ մետր, գուցե խորանարդ կիլոմետր եւ այլն, ահա թե որքան փոքրիկ կանաչ տղամարդիկ կարող են տեղավորել ձեր երեւակայությունը թռչող ափսեի մեջ։

Օրինակ 2

Գտե՛ք առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած մարմնի ծավալը ԵԶգծերով սահմանափակված պատկեր , , .

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է , , և գծերով սահմանափակված պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջը պտտվելուց։

Լուծում:Եկեք գծագրում պատկերենք հարթ գործիչ, որը սահմանափակված է գծերով , , , , միաժամանակ չմոռանալով, որ հավասարումը. x= 0-ը նշում է առանցքը OY:

Ցանկալի գործիչը ստվերված է կապույտով: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջը ԵԶստացվում է հարթ անկյունային բագել (երկու կոնաձև մակերեսով լվացող մեքենա):

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է որպես մարմնի ծավալի տարբերություն. Նախ, եկեք նայենք նկարին, որը շրջագծված է կարմիրով: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջը ԵԶարդյունքում ստացվում է կտրված կոն: Այս կտրված կոնի ծավալը նշենք որպես Վ 1 .

Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչի մեջ. Եթե ​​այս ցուցանիշը պտտենք առանցքի շուրջը ԵԶ, ապա դուք նույնպես ստանում եք կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նշենք դրա ծավալը ըստ Վ 2 .

Ակնհայտ է, որ ծավալների տարբերությունը Վ = Վ 1 - Վ 2-ը մեր «բլիթ»-ի ծավալն է։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.

1) Կարմիրով շրջանցված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը.

Պատասխան.

Հետաքրքիր է, որ այս դեպքում լուծումը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով դպրոցական բանաձևը՝ կտրված կոնի ծավալը հաշվարկելու համար:

Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է ընդունվում, նման բան.