Պրոյեկցիոն տարածքը կոսինուսի առումով: «Բազմանկյունի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի թեորեմի մանրամասն ապացույցի» մշակում (10-րդ դասարան). Հարթ գործչի նախագծման տարածքը

Դիտարկենք ինքնաթիռը էջ և այն հատող գիծը . Թող ԲԱՅՑ կամայական կետ է տարածության մեջ: Այս կետի միջով գիծ քաշեք , գծին զուգահեռ . Թող . Կետ կոչվում է կետային պրոյեկցիա ԲԱՅՑդեպի ինքնաթիռ էջզուգահեռ նախագծում տրված գծի երկայնքով . Ինքնաթիռ էջ , որի վրա նախագծված են տարածության կետերը կոչվում է պրոյեկցիոն հարթություն։

p - նախագծման հարթություն;

- ուղղակի դիզայն; ;

; ; ;

Ուղղանկյուն ձևավորումզուգահեռ նախագծման հատուկ դեպք է: Ուղղանկյուն պրոյեկցիան զուգահեռ պրոյեկցիա է, որում պրոյեկցիայի գիծը ուղղահայաց է պրոյեկցիայի հարթությանը: Ուղղանկյուն պրոյեկցիան լայնորեն կիրառվում է տեխնիկական գծագրության մեջ, որտեղ գործիչը նախագծվում է երեք հարթության վրա՝ հորիզոնական և երկու ուղղահայաց:

Սահմանում: Կետի ուղղագրական պրոյեկցիա Մդեպի ինքնաթիռ էջկոչվում է հիմք Մ 1ուղղահայաց ՄՄ 1, կետից իջեցված Մդեպի ինքնաթիռ էջ.

Նշանակում: , , .

ՍահմանումՆկարի ուղղագրական պրոյեկցիա Ֆդեպի ինքնաթիռ էջհարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնք պատկերի կետերի բազմության ուղղանկյուն ելուստներն են Ֆդեպի ինքնաթիռ էջ.

Ուղղանկյուն ձևավորումը, որպես զուգահեռ ձևավորման հատուկ դեպք, ունի նույն հատկությունները.

p - նախագծման հարթություն;

- ուղղակի դիզայն; ;

1) ;

2) , .

  1. Զուգահեռ ուղիղների պրոյեկցիաները զուգահեռ են:

ՀԱՐԹ ՖԻԳՈՒՐԻ ՊՐՈԵԿՑԻՈՆ ՏԱՐԱԾՔ

ԹեորեմՈրոշակի հարթության վրա հարթ բազմանկյան պրոյեկցիայի մակերեսը հավասար է նախագծված բազմանկյունի մակերեսին՝ բազմապատկված բազմանկյան հարթության և պրոյեկցիոն հարթության միջև անկյան կոսինուսով:

Փուլ 1. Նախագծվող պատկերը ABC եռանկյուն է, որի AC կողմը գտնվում է պրոյեկցիոն հարթության վրա a (պրոյեկցիոն հարթությանը զուգահեռ):

Տրված է:

Ապացուցել:

Ապացույց:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Ըստ երեք ուղղանկյունների թեորեմի;

ВД - բարձրություն; 1 Դ-ում - բարձրություն;

5. - գծային անկյուն dihedral անկյուն ;

6. ; ; ; ;

Փուլ 2. Նախագծվող պատկերը ABC եռանկյուն է, որի կողմերից ոչ մեկը չի գտնվում պրոյեկցիոն հարթության վրա և զուգահեռ չէ դրան:

Տրված է:

Ապացուցել:

Ապացույց:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Փուլ 1);

5. ; ; ;

(Փուլ 1);

Փուլ. Նախագծված պատկերը կամայական բազմանկյուն է:

Ապացույց:

Բազմանկյունը մեկ գագաթից գծված անկյունագծերով բաժանվում է վերջավոր թվով եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրի համար թեորեմը ճշմարիտ է։ Հետևաբար, թեորեմը ճիշտ կլինի նաև բոլոր եռանկյունների մակերեսների գումարի համար, որոնց հարթությունները պրոյեկցիոն հարթության հետ կազմում են նույն անկյունը։

Մեկնաբանություն: Ապացուցված թեորեմը վավեր է ցանկացածի համար հարթ գործիչ, սահմանափակված փակ կորով։

Զորավարժություններ:

1. Գտե՛ք այն եռանկյան մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե նրա ելքը կանոնավոր եռանկյունի է՝ a կողմով:

2. Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե դրա պրոյեկցիան հավասարաչափ եռանկյուն է, որի կողմը 10 սմ է և հիմքը 12 սմ:

3. Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե նրա ելուստը 9, 10 և 17 սմ կողմերով եռանկյուն է:

4. Հաշվե՛ք տրապեզի մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե դրա պրոյեկցիան հավասարաչափ տրապիզոիդ է, որի ավելի մեծ հիմքը 44 սմ է, կողմը՝ 17 սմ, իսկ անկյունագիծը՝ 39 սմ.

5. Հաշվել պրոյեկցիոն տարածքը կանոնավոր վեցանկյուն 8 սմ կողմով, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը։

6. Ռոմբուս 12 սմ կողմով և սուր անկյունտրված հարթության հետ անկյուն է կազմում. Հաշվեք այս հարթության վրա ռոմբի ելքի մակերեսը:

7. 20 սմ կողմով և 32 սմ անկյունագծով ռոմբը անկյուն է կազմում տվյալ հարթության հետ։ Հաշվեք այս հարթության վրա ռոմբի ելքի մակերեսը:

8. Հորիզոնական հարթության վրա հովանոցի ելուստը ուղղանկյուն է՝ կողքերով և . Գտեք հովանոցի տարածքը, եթե կողային երեսները հավասար ուղղանկյուններ են, որոնք անկյան տակ թեքված են դեպի հորիզոնական հարթությունը, իսկ հովանոցի միջին մասը նախագծման հարթությանը զուգահեռ քառակուսի է:

11. «Գծեր և հարթություններ տիեզերքում» թեմայով վարժություններ.

Եռանկյան կողմերն են 20 սմ, 65 սմ, 75 սմ: Եռանկյան ավելի մեծ անկյան գագաթից դեպի իր հարթությունը գծված է 60 սմ-ի ուղղահայաց: Գտի՛ր ուղղահայացի ծայրերից դեպի մեծ կողմի հեռավորությունը: եռանկյունու։

2. Սմ հեռավորության վրա հարթությունից բաժանված կետից գծվում են երկու թեք՝ հարթության հետ հավասար անկյուններ կազմելով, իսկ իրենց միջև՝ ուղիղ անկյուն։ Գտեք թեք հարթության հատման կետերի հեռավորությունը:

3. Կուսակցություն ուղղանկյուն եռանկյունհավասար է 12 սմ. M կետն ընտրված է այնպես, որ M կետը եռանկյան բոլոր գագաթներով միացնող հատվածները նրա հարթության հետ անկյուններ կազմեն։ Գտե՛ք M կետից մինչև եռանկյան գագաթները և կողմերը հեռավորությունը:

4. Քառակուսու կողմի միջով հարթություն է գծվում քառակուսու անկյունագծի նկատմամբ անկյան տակ: Գտե՛ք այն անկյունները, որոնցով քառակուսու երկու կողմերը թեքված են դեպի հարթությունը:

5. Isosceles ոտք ուղղանկյուն եռանկյունթեքված է հիպոթենուսի միջով անկյան տակ անցնող հարթությանը: Ապացուցեք, որ a հարթության և եռանկյան հարթության անկյունը հավասար է.

6. ABC և DBC եռանկյունների հարթությունների միջև երկանկյուն անկյունը հավասար է: Գտեք AD, եթե AB = AC = 5 սմ, BC = 6 սմ, BD = DC = սմ:

թեստի հարցեր«Գծեր և հարթություններ տիեզերքում» թեմայով

1. Թվարկե՛ք ստերեոմետրիայի հիմնական հասկացությունները: Ձևակերպե՛ք ստերեոմետրիայի աքսիոմները:

2. Ապացուցե՛ք աքսիոմների հետեւանքները.

3. Որքա՞ն է երկու ուղիղների հարաբերական դիրքը տարածության մեջ: Սահմանել հատվող, զուգահեռ, հատվող ուղիղները:

4. Ապացուցե՛ք ուղիղների հատման չափանիշը:

5. Ո՞րն է ուղիղի և հարթության հարաբերական դիրքը: Տրե՛ք հատվող, զուգահեռ ուղիղների և հարթությունների սահմանումներ:

6. Ապացուցե՛ք ուղիղ գծի և հարթության զուգահեռության նշանը:

7. Ո՞րն է երկու հարթությունների հարաբերական դիրքը:

8. Սահմանել զուգահեռ հարթություններ: Ապացուցե՛ք երկու հարթությունների զուգահեռության չափանիշ: Ձևակերպե՛ք թեորեմներ զուգահեռ հարթությունների վերաբերյալ:

9. Սահմանեք տողերի միջև եղած անկյունը:

10. Ապացուցե՛ք ուղիղի եւ հարթության ուղղահայացության նշանը։

11. Տրե՛ք ուղղահայաց հիմքի, թեքության հիմքի, թեքության հարթության վրա պրոյեկցիայի սահմանումները: Ձևակերպե՛ք մեկ կետից հարթության վրա իջեցված ուղղահայաց և թեքության հատկությունները:

12. Սահմանի՛ր ուղիղ գծի և հարթության անկյունը:

13. Ապացուցե՛ք թեորեմը երեք ուղղահայացների վրա:

14. Տրե՛ք երկփեղկ անկյան սահմանումներ, երկնիշ անկյան գծային անկյուն:

15. Ապացուցե՛ք երկու հարթությունների ուղղահայացության նշանը:

16. Սահմանեք երկու տարբեր կետերի հեռավորությունը:

17. Սահմանեք հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ:

18. Սահմանել հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն:

19. Սահմանի՛ր ուղիղ գծի և դրան զուգահեռ հարթության հեռավորությունը:

20. Սահմանի՛ր զուգահեռ հարթությունների հեռավորությունը:

21. Սահմանեք թեք գծերի միջև հեռավորությունը:

22. Սահմանի՛ր կետի ուղղանկյուն ելուստը հարթության վրա:

23. Սահմանի՛ր պատկերի ուղղանկյուն ելուստը հարթության վրա:

24. Ձևակերպե՛ք հարթության վրա պրոյեկցիաների հատկությունները:

25. Ձևակերպե՛ք և ապացուցե՛ք հարթ բազմանկյան պրոյեկցիայի տարածքի թեորեմ:

Ես կքննարկեմ ուղղանկյուն քառանկյունի երեսների ելուստների բանաձեւի հարցը։ Ես նախ կքննարկեմ α հարթության մեջ ընկած հատվածի ուղղանկյուն պրոյեկցիան՝ առանձնացնելով այս հատվածի գտնվելու երկու դեպք l=α∩π ուղղի նկատմամբ։
Դեպք 1 AB∥l(նկ. 8): A 1 B 1 հատվածը, որը հանդիսանում է AB հատվածի ուղղանկյուն պրոյեկցիան, հավասար է և զուգահեռ AB հատվածին:

Բրինձ. ութ

Դեպք 2 CD⊥l(նկ. 8): Երեք ուղղանկյունների թեորեմով C 1 D 1 ուղիղը, որը CD ուղղի ուղղանկյուն պրոյեկցիան է, նույնպես ուղղահայաց է l ուղղին։ Հետևաբար, ∠CEC 1 անկյունն է α հարթության և π նախագծման հարթության միջև, այսինքն՝ որտեղ C 0 D=C 1 D 1. Հետեւաբար |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Այժմ դիտարկենք եռանկյան ուղղանկյուն նախագծման հարցը:
Եռանկյան ուղղանկյուն ելքի մակերեսը հարթության վրա հավասար է նախագծված եռանկյան մակերեսին, որը բազմապատկվում է եռանկյան հարթության և ելուստների հարթության միջև անկյան կոսինուսով:

Ապացույց.Եռանկյունի նախագծման տարածք:
ա) նախագծված ABC եռանկյան կողմերից մեկը, օրինակ՝ AC, թող լինի զուգահեռ l=α∩π (նկ. 9) ուղղին կամ ընկած լինի դրա վրա։


Բրինձ. 9
Այնուհետև նրա բարձրությունը VN ուղղահայաց է l ուղիղ գծին, իսկ մակերեսը հավասար է, այսինքն.

Ելնելով հատվածի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի վերը նշված հատկություններից՝ ես ունեմ.

Համաձայն երեք ուղղահայաց թեորեմի՝ B 1 H 1 ուղիղը՝ BH ուղիղի ուղղանկյուն պրոյեկցիան, ուղղահայաց է l ուղղին, հետևաբար, B 1 H 1 հատվածը A 1 B 1 C 1 եռանկյան բարձրությունն է։ . Ահա թե ինչու . Այս կերպ, .
բ) ABC նախագծված եռանկյան կողմերից ոչ մեկը զուգահեռ չէ l ուղղին (նկ. 10): Եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթով l ուղղին զուգահեռ գիծ գծե՛ք: Այս գծերից մեկը գտնվում է մյուս երկուսի միջև (նկարում այն ​​m ուղիղ է), և, հետևաբար, ABC եռանկյունը բաժանում է ABD և ACD եռանկյունների՝ համապատասխանաբար BH և CE բարձրություններով, որոնք գծված են դեպի իրենց ընդհանուր կողմը AD (կամ դրա շարունակություն), որը զուգահեռ է լ. m 1 ուղիղը - m ուղիղի ուղղանկյուն պրոյեկցիան նույնպես բաժանում է A 1 B 1 C 1 եռանկյունը - ABC եռանկյան ուղղանկյուն պրոյեկցիան - A 1 B 1 D 1 և A 1 C 1 D 1 եռանկյունների, որտեղ . Հաշվի առնելով (9) և (10)՝ մենք ստանում ենք

AT վերջին ժամանակները C2 առաջադրանքում կան խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է հարթության վրա կառուցել բազմանկյունի մի հատված և գտնել դրա մակերեսը: Նման խնդիր առաջարկվում է ցուցադրական տարբերակում։ Հաճախ հարմար է գտնել հատվածի տարածքը նրա ուղղանկյուն նախագծման տարածքով: Ներկայացումը տալիս է նման լուծման բանաձև և մանրամասն վերլուծությունառաջադրանք, որն ուղեկցվում է մի շարք գծագրերով.

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք Google հաշիվ (հաշիվ) և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com


Սլայդների ենթագրեր.

Նախապատրաստում միասնական պետական ​​քննությանը մաթեմատիկայի 2014թ. Գտնել խաչմերուկի տարածքը իր ուղղանկյուն նախագծման տարածքով: Առաջադրանք C2 Մաթեմատիկայի ուսուցիչ Կրասնոյարսկի Կնյազկինայի Թ.Վ.

Դիտարկենք այսպիսի խնդրի լուծումը. ուղղանկյուն զուգահեռականությամբ, Զուգահեռի հատվածն անցնում է B և D կետերով և անկյուն է կազմում ABC հարթության հետ։ Գտեք հատվածի տարածքը: Հաճախ հարմար է գտնել հատվածի տարածքը նրա ուղղանկյուն նախագծման տարածքով: Եռանկյան մակերեսը նրա ուղղանկյուն պրոյեկցիայի մակերեսով գտնելը հեշտությամբ պատկերված է հետևյալ նկարով.

CH-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է, C'H-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է, որը ABC եռանկյան ուղղանկյուն պրոյեկցիա է: Ուղղանկյուն եռանկյունից CHC ". ABC եռանկյան մակերեսը" եռանկյան մակերեսն է: ABC է Հետևաբար, ABC եռանկյան մակերեսը հավասար է ABC եռանկյան մակերեսին, որը բաժանված է ABC եռանկյան հարթությունների և ABC եռանկյան հարթությունների միջև անկյան կոսինուսով, որը հանդիսանում է ABC եռանկյան ուղղանկյուն պրոյեկցիան:

Քանի որ ցանկացած բազմանկյունի մակերեսը կարող է ներկայացվել որպես եռանկյունների մակերեսների գումար, բազմանկյան մակերեսը հավասար է հարթության վրա նրա ուղղանկյուն ելքի մակերեսին, որը բաժանված է անկյան միջև ընկած անկյան կոսինուսով։ բազմանկյան հարթությունները և դրա պրոյեկցիան: Մենք օգտագործում ենք այս փաստը մեր խնդիրը լուծելու համար (տես սլայդ 2) Լուծման պլանը հետևյալն է. Ա) Մենք կառուցում ենք հատված։ Բ) Գտեք նրա ուղղանկյուն ելուստը հիմքի հարթության վրա: Գ) Գտեք ուղղանկյուն պրոյեկցիայի տարածքը: Դ) Գտեք խաչմերուկի տարածքը:

1. Նախ պետք է կառուցենք այս բաժինը: Ակնհայտորեն, BD հատվածը պատկանում է հատվածի հարթությանը և բազային հարթությանը, այսինքն, այն պատկանում է հարթությունների հատման գծին.

Երկու հարթությունների միջև անկյունը երկու ուղղահայացների միջև ընկած անկյունն է, որոնք գծված են հարթությունների հատման գծի վրա և ընկած են այդ հարթություններում: Թող O կետը լինի հիմքի անկյունագծերի հատման կետը: OC - ​​ուղղահայաց հարթությունների հատման գծին, որը գտնվում է բազայի հարթությունում.

2. Որոշիր ուղղահայաց դիրքը, որն ընկած է հատվածի հարթության մեջ: (Հիշեք, որ եթե ուղիղ գիծը ուղղահայաց է թեք գծի ելքին, ապա այն նաև ուղղահայաց է ամենաթեքին: Մենք փնտրում ենք թեք իր պրոյեկցիայի (OC) և պրոյեկցիայի և թեքության միջև եղած անկյան տակ: մեկը): Գտե՛ք COC 1 անկյան շոշափողը OC 1-ի և OC-ի միջև

Հետևաբար, հատվածի հարթության և բազային հարթության միջև անկյունն ավելի մեծ է, քան OC 1-ի և OC-ի միջև: Այսինքն՝ հատվածը գտնվում է այսպես. K-ն OP-ի և A1C1, LM||B1D1 հատման կետն է:

Այսպիսով, ահա մեր բաժինը. 3. Գտեք BLMD հատվածի պրոյեկցիան բազային հարթության վրա: Դա անելու համար մենք գտնում ենք L և M կետերի կանխատեսումները:

Քառանկյուն BL ₁M1D-ը հատվածի պրոյեկցիան է հիմքի հարթության վրա: 4. Գտե՛ք BL ₁M1D քառանկյան մակերեսը: Դա անելու համար BCD եռանկյան տարածքից հանեք L 1CM1 եռանկյան մակերեսը Գտեք L 1CM1 եռանկյան մակերեսը: L1CM1 եռանկյունը նման է BCD եռանկյունին: Գտնենք նմանության գործակիցը։

Դա անելու համար հաշվի առեք m եռանկյունիները OPC և OKK1: Հետևաբար, L1CM1 եռանկյան մակերեսը BCD եռանկյան մակերեսի 4/25-ն է (նման թվերի տարածքների հարաբերակցությունը հավասար է քառակուսուին: նմանության գործակից): Այնուհետև BL1M1D քառանկյունի մակերեսը հավասար է BCD եռանկյան մակերեսի 1-4/25=21/25-ին և հավասար է.

5. Այժմ գտեք 6-ը: Եվ վերջապես ստանում ենք՝ Պատասխան՝ 112


Թեմայի վերաբերյալ՝ մեթոդական մշակումներ, ներկայացումներ և նշումներ

«Ինժեներական համակարգչային գրաֆիկա» առարկայի ստուգիչ աշխատանքը բաղկացած է չորսից փորձարկման առարկաներհամապատասխանություն սահմանելու համար: Առաջադրանքները կատարելու համար կունենաք 15-20 րոպե...

Նախապատրաստում մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը-2014թ. Ածանցյալի և հակաածանցյալի օգտագործումը (B8 նախատիպեր USE առաջադրանքների բաց բանկից)

Ներկայացում հետ կարճ դասընթաց B8 տարբեր նախատիպերի տեսություն և լուծումներ բաց բանկՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ առաջադրանքներ. Հնարավոր է օգտագործել ինտերակտիվ գրատախտակի կամ ԱՀ-ի համար՝ ուսանողների համար՝ ինքնուրույն ուսուցման համար։...

Նախապատրաստում մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը-2014թ. Գ1 առաջադրանքի լուծում.

Նյութը տալիս է C1 առաջադրանքի լուծումներ (եռանկյունաչափական հավասարում) և միջակայքին պատկանող արմատները ընտրելու 4 եղանակ՝ եռանկյունաչափական շրջանի օգտագործում, ֆունկցիայի գրաֆիկի օգտագործում, թվարկում ...

Բազմանկյունների ուղղանկյուն պրոյեկցիայի թեորեմի մանրամասն ապացույց

Եթե ​​- բնակարանի պրոյեկցիա n -գնալ դեպի հարթություն, ապա որտեղ է անկյունը բազմանկյունների հարթությունների միջև և. Այլ կերպ ասած, հարթ բազմանկյան պրոյեկցիայի տարածքը հավասար է նախագծվող բազմանկյունի տարածքի և պրոյեկցիայի հարթության և նախագծվող բազմանկյունի հարթության միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին:

Ապացույց. Ի փուլ. Եկեք նախ կատարենք եռանկյան ապացույցը: Դիտարկենք 5 դեպք.

1 դեպք. պառկել պրոյեկցիոն հարթության մեջ .

Համապատասխանաբար թող լինեն հարթության վրա կետերի կանխատեսումները: Մեր դեպքում. Ենթադրենք, որ. Թող - բարձրություն, ապա երեք ուղղահայաց թեորեմով կարող ենք եզրակացնել, որ - բարձրություն (- թեքության պրոյեկցիան, - դրա հիմքը և ուղիղ գիծն անցնում է թեքվածի հիմքով, ընդ որում):

Հաշվի առեք. Այն ուղղանկյուն է։ Կոսինուսի սահմանմամբ.

Մյուս կողմից, քանի որ և, ապա, ըստ սահմանման, հարթությունների կես հարթություններով և սահմանային գծով ձևավորված երկուղի անկյան գծային անկյունն է, և, հետևաբար, դրա չափը նաև անկյան չափն է: եռանկյան պրոյեկցիոն հարթությունները և հենց եռանկյունին, այսինքն.

Գտեք տարածքի հարաբերակցությունը.

Նկատի ունեցեք, որ բանաձևը ճշմարիտ է մնում նույնիսկ այն դեպքում, երբ . Այս դեպքում

2-րդ դեպք. Այն գտնվում է միայն պրոյեկցիոն հարթության մեջ և զուգահեռ է պրոյեկցիայի հարթությանը .

Համապատասխանաբար թող լինեն հարթության վրա կետերի կանխատեսումները: Մեր դեպքում.

Եկեք ուղիղ գիծ գծենք կետի միջով: Մեր դեպքում ուղիղ գիծը հատում է պրոյեկցիայի հարթությունը, ինչը նշանակում է, որ լեմայով ուղիղ գիծը հատում է նաև պրոյեկցիոն հարթությունը։ Թող լինի մի կետում Քանի որ, ուրեմն, կետերը գտնվում են նույն հարթության մեջ, և քանի որ այն զուգահեռ է պրոյեկցիոն հարթությանը, ուղիղ գծի և հարթության զուգահեռության նշանից հետևում է, որ. Հետևաբար, զուգահեռագիծ է: Հաշվի առեք և. Նրանք հավասար են երեք կողմերին (- ընդհանուր, ինչպես զուգահեռագծի հակառակ կողմերը): Ուշադրություն դարձրեք, որ քառանկյունը ուղղանկյուն է և հավասար է (ոտքի և հիպոթենուսի երկայնքով), հետևաբար, այն երեք կողմից հավասար է: Ահա թե ինչու.

1 դեպքի համար կիրառելի է., այսինքն.

3-րդ դեպք. Այն գտնվում է միայն պրոյեկցիոն հարթության մեջ և զուգահեռ չէ պրոյեկցիայի հարթությանը .

Թող կետը լինի ուղիղի հատման կետը պրոյեկցիոն հարթության հետ: Նշենք, որ Ի. 1 առիթով՝ i. Այսպիսով մենք ստանում ենք դա

4 դեպք. Գագաձևերը չեն գտնվում պրոյեկցիոն հարթության մեջ . Դիտարկենք ուղղահայացները: Վերցրեք ամենափոքրը այս ուղղահայացներից: Թող լինի ուղղահայաց: Կարող է այնպես ստացվել, որ կա՛մ միայն, կա՛մ միայն։ Հետո մենք դեռ վերցնում ենք:

Եկեք մի կետից մի հատված առանձնացնենք այնպես, որ և մի հատվածից մի կետ, մի կետ, այնպես որ: Նման շինարարությունը հնարավոր է, քանի որ - ուղղանկյուններից ամենափոքրը: Նկատի ունեցեք, որ դա պրոյեկցիա է և, ըստ շինարարության: Եկեք դա ապացուցենք և հավասար ենք։

Դիտարկենք քառանկյուն. Ըստ պայմանի - մեկ հարթության ուղղահայացներ, հետևաբար, թեորեմի համաձայն, հետևաբար: Քանի որ կառուցմամբ, ապա զուգահեռագծի հիման վրա (զուգահեռ և հավասար հակադիր կողմերի վրա), կարող ենք եզրակացնել, որ զուգահեռագիծ: Նշանակում է, . Նմանապես ապացուցված է, որ . Հետևաբար, և երեք կողմից հավասար են: Ահա թե ինչու. Նկատի ունեցեք, որ և, որպես զուգահեռականների հակառակ կողմեր, հետևաբար, հարթությունների զուգահեռության հիման վրա, . Քանի որ այս հարթությունները զուգահեռ են, նրանք նույն անկյունն են կազմում պրոյեկցիոն հարթության հետ։

Նախորդ դեպքերի համար կիրառվում են.

5 դեպք. Պրոյեկցիոն հարթությունը հատում է կողմերը . Եկեք նայենք ուղիղ գծերին: Նրանք ուղղահայաց են պրոյեկցիայի հարթությանը, ուստի թեորեմով դրանք զուգահեռ են: Կետերում սկզբնավորվող ճառագայթների վրա մենք մի կողմ ենք դնում, համապատասխանաբար, հավասար հատվածներ, այնպես, որ գագաթները գտնվում են նախագծման հարթությունից դուրս: Նկատի ունեցեք, որ դա պրոյեկցիա է և, ըստ շինարարության: Ցույց տանք, որ այն հավասար է։

ի վեր և, ըստ շինարարության, ապա. Հետևաբար, զուգահեռագծի հիման վրա (երկու հավասար և զուգահեռ կողմերի վրա), - զուգահեռագիծ: Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ և զուգահեռներ են։ Բայց հետո, և-ը (որպես հակառակ կողմեր), հետևաբար, հավասար է երեք կողմերում։ Նշանակում է, .

Բացի այդ, և, հետևաբար, հարթությունների զուգահեռության հիման վրա: Քանի որ այս հարթությունները զուգահեռ են, նրանք նույն անկյունն են կազմում պրոյեկցիոն հարթության հետ։

Կիրառելի գործի համար 4:

II փուլ. Եկեք բաժանենք հարթ բազմանկյունը եռանկյունների՝ օգտագործելով գագաթից գծված շեղանկյունները: Այնուհետև, ըստ եռանկյունների նախորդ դեպքերի.

Ք.Ե.Դ.

Հիշենք, որ գծի և հարթության միջև անկյունը տվյալ գծի և հարթության վրա դրա ելքի անկյունն է (նկ. 164):

Թեորեմ. Բազմանկյունի ուղղանկյուն ելքի մակերեսը հարթության վրա հավասար է նախագծված բազմանկյունի մակերեսին՝ բազմապատկված բազմանկյան հարթության և պրոյեկցիոն հարթության կողմից ձևավորված անկյան կոսինուսով:

Յուրաքանչյուր բազմանկյուն կարելի է բաժանել եռանկյունների, որոնց մակերեսների գումարը հավասար է բազմանկյունի մակերեսին։ Հետևաբար, բավական է ապացուցել եռանկյունու թեորեմը:

Թող \(\Delta\)ABC-ն նախագծվի հարթության վրա Ռ. Դիտարկենք երկու դեպք.

ա) \(\Delta\)ABC կողմերից մեկը հարթությանը զուգահեռ է Ռ;

բ) \(\Delta\)ABC կողմերից ոչ մեկը զուգահեռ չէ Ռ.

Հաշվի առեք առաջին դեպքըթող [AB] || Ռ.

Նկարիր (AB) հարթության միջով Ռ 1 || Ռև ուղղահայաց նախագծեք \(\Delta\)ABC-ի վրա Ռ 1 և շարունակ Ռ(նկ. 165); մենք ստանում ենք \(\Delta\)ABC 1 և \(\Delta\)A'B'C':

Ըստ պրոյեկցիոն հատկության՝ մենք ունենք \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) A'B'C', և հետևաբար

S\(\Delta\)ABC1 = S\(\Delta\)A'B'C'

Նկարենք ⊥ և D 1 C 1 հատվածը: Այնուհետև ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ անկյունն է \(\Delta\) ABC հարթության և հարթության միջև։ Ռմեկ . Ահա թե ինչու

S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |ԱԲ| |CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

և հետևաբար S \(\Delta\)A'B'C' = S \(\Delta\)ABC cos φ.


Անցնենք դիտարկմանը երկրորդ դեպք. Նկարեք ինքնաթիռ Ռ 1 || Ռայդ \(\Delta\)ABC գագաթի միջով, որից մինչև հարթություն հեռավորությունը Ռամենափոքրը (թող լինի A գագաթ):

Եկեք նախագծենք \(\Delta\)ABC հարթության վրա Ռ 1 և Ռ(նկ. 166); թող դրա կանխատեսումները լինեն համապատասխանաբար \(\Delta\)AB 1 C 1 և \(\Delta\)A'B'C':

Թող (BC) \(\cap \) էջ 1 = D. Հետո

S \(\Delta\)A'B'C' = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \(\Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

Առաջադրանք.Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի հիմքի կողքով հարթություն է գծվում նրա հիմքի հարթության նկատմամբ φ = 30° անկյան տակ: Գտեք ստացված հատվածի տարածքը, եթե պրիզմայի հիմքի կողմը ա= 6 սմ.

Պատկերենք այս պրիզմայի հատվածը (նկ. 167): Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, դրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը: Հետևաբար, \(\Delta\)ABC-ն \(\Delta\)ADC-ի պրոյեկցիան է, ուստի
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
կամ
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$

Կարդացեք նաև