Անոշինա Օ.Վ.

Հիմնական գրականություն

1. V. S. Shipachev, Բարձրագույն մաթեմատիկա. Հիմնական դասընթաց՝ դասագիրք և
սեմինար բակալավրի համար [Ռուսաստանի Դաշնության կրթության նախարարության վկայական] / V. S.
Շիպաչով; խմբ. Ա.Ն.Տիխոնովա. - 8-րդ հրտ., վերանայված։ և լրացուցիչ Մոսկվա: Յուրայտ, 2015. - 447 էջ.
2. V. S. Shipachev, Բարձրագույն մաթեմատիկա. Ամբողջական դասընթաց՝ դասագիրք
համար ակադ. Բակալավրի աստիճան [UMO-ի վկայական] / V. S. Shipachev; խմբ. ԲԱՅՑ.
Ն.Տիխոնովա. - 4-րդ հրատ., Վեր. և լրացուցիչ - Մոսկվա: Յուրայտ, 2015. - 608
Հետ
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. բարձրագույն մաթեմատիկա
վարժությունների և առաջադրանքների մեջ: [Տեքստ] / P.E. Դանկոն, Ա.Գ. Պոպով, Տ.Յա.
Կոժևնիկով. Ժամը 2-ին - Մ .: ավարտական ​​դպրոց, 2007. - 304+415գ.

Հաշվետվություն

1.
Փորձարկում. Կատարվում է համաձայն.
Առաջադրանքներ և ուղեցույցներվերահսկողական աշխատանք կատարելու համար
«ԿԻՐԱՌԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ» առարկայից Եկատերինբուրգ, ՖԳԱՈՒ
VO «Ռուսական պետական ​​մասնագիտական ​​մանկավարժ
համալսարան», 2016 - 30-ական թթ.
Տարբերակ վերահսկողական աշխատանքընտրել վերջին թվանշանով
ռեկորդների գիրք։
2.
Քննություն

Անորոշ ինտեգրալ, նրա հատկությունները և հաշվարկը Հակածանցյալ և անորոշ ինտեգրալ

Սահմանում. F x ֆունկցիան կոչվում է
հակաածանցյալ ֆունկցիան f x սահմանված է
որոշ ընդմիջում, եթե F x f x համար
յուրաքանչյուր x այս միջակայքից:
Օրինակ, cos x ֆունկցիան է
հակաածանցյալ ֆունկցիա sin x, քանի որ
cos x մեղք x .

Ակնհայտ է, որ եթե F x-ը հակաածանցյալ է
f x ֆունկցիաները, ապա F x C, որտեղ C-ն որոշակի հաստատուն է, նույնպես
հակաածանցյալ ֆունկցիա f x.
Եթե ​​F x-ը որոշ հակաածանցյալ է
f x ֆունկցիա, ապա ձևի ցանկացած ֆունկցիա
F x F x C նույնպես
հակաածանցյալ ֆունկցիա f x և ցանկացած
պրիմիտիվը կարող է ներկայացվել այս ձևով.

Սահմանում. Բոլորի ամբողջությունը
f x ֆունկցիայի հակաածանցյալներ,
որոշված ​​է որոշների վրա
միջեւ կոչվում է
-ի անորոշ ինտեգրալ
f x ֆունկցիաները այս միջակայքում և
նշվում է f x dx-ով:

Եթե ​​F x-ը ֆունկցիայի հակաածանցյալ է
f x , ապա գրում են f x dx F x C , չնայած
ավելի ճիշտ կլինի գրել f x dx F x C .
Մենք, հաստատված ավանդույթի համաձայն, կգրենք
f x dx F x C.
Այսպիսով, նույն խորհրդանիշը
f x dx-ը կնշանակի որպես ամբողջություն
f x ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմություն,
և այս հավաքածուի ցանկացած տարր:

Ինտեգրալ հատկություններ

Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալն է
ինտեգրանդ, և դրա տարբերությունը ինտեգրանդից: Իրոք.
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Ինտեգրալ հատկություններ

3.-ի անորոշ ինտեգրալ
անընդհատ դիֆերենցիալ (x)
դիֆերենցիալ ֆունկցիան հավասար է ինքն իրեն
այս ֆունկցիան մինչև հաստատուն.
d (x) (x) dx (x) C,
քանի որ (x)-ը (x)-ի հակաածանցյալն է։

Ինտեգրալ հատկություններ

4. Եթե f1 x եւ f 2 x ֆունկցիաները ունեն
հակաածանցյալներ, ապա f1 x f 2 x ֆունկցիան
ունի նաև հակաածանցյալ, և
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C.
ա 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
ա 1
dx
3. ln x C.
x
x
ա
4.a x dx
Գ.
Ա
5. e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C .
dx
8.2 ctgx C.
մեղք x
dx
9. 2tgx C.
cos x
dx
arctgx Գ.
10.
2
1 x

Անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ

11.
dx
arcsin x C.
1x2
dx
1
x
12. 2 2 արկտան Գ.
ա
ա
կացին
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C ..
ա
dx
1
x ա
ln
Գ
2
2
2ա x ա
x ա
dx
1
կացին
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 ա
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C.
2
sh x

Դիֆերենցիալների հատկությունները

Ինտեգրվելիս հարմար է օգտագործել
հատկություններ: 1
1. dx d (կացին)
ա
1
2. dx d (ax b),
ա
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Օրինակներ

Օրինակ. Հաշվեք cos 5xdx:
Լուծում. Ինտեգրալների աղյուսակում մենք գտնում ենք
cos xdx sin x C.
Եկեք այս ինտեգրալը վերափոխենք աղյուսակայինի,
օգտվելով այն հանգամանքից, որ դ կացին adx .
Ապա.
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= մեղք 5 x C.
5

Օրինակներ

Օրինակ. Հաշվիր x
3x x 1 dx.
Լուծում. Քանի որ ինտեգրալ նշանի տակ
չորս անդամների գումարն է, ուրեմն
ընդարձակել ինտեգրալը որպես չորսի գումար
ինտեգրալներ:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x Գ
3
4
2

Փոփոխականի տեսակի անկախություն

Ինտեգրալները հաշվարկելիս հարմար է
օգտագործել հետևյալ հատկությունները
ինտեգրալներ:
Եթե ​​f x dx F x C, ապա
f x b dx F x b C.
Եթե ​​f x dx F x C, ապա
1
f ax b dx F ax b C .
ա

Օրինակ

Հաշվել
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
Գ
.
3 6
5

Ինտեգրման մեթոդներ Ինտեգրում ըստ մասերի

Այս մեթոդը հիմնված է udv uv vdu բանաձևի վրա:
Մասերի ինտեգրման մեթոդով վերցված են հետևյալ ինտեգրալները.
ա) x n sin xdx, որտեղ n 1.2...k;
բ) x n e x dx, որտեղ n 1,2...k;
գ) x n arctgxdx, որտեղ n 0, 1, 2,... k . ;
դ) x n ln xdx, որտեղ n 0, 1, 2,... k .
Ա) և բ) ինտեգրալները հաշվարկելիս մուտքագրեք
n 1
նշում՝ x n u, ապա du nx dx և, օրինակ
sin xdx dv, ապա v cos x.
Ինտեգրալները հաշվարկելիս գ), դ) u-ի համար նշանակեք ֆունկցիան
arctgx, ln x, իսկ dv-ի համար վերցնում են x n dx:

Օրինակներ

Օրինակ. Հաշվեք x cos xdx.
Լուծում.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.

Օրինակներ

Օրինակ. Հաշվիր
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
n x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
n x
Գ.
=
2
2
2
2 2

Փոփոխական փոխարինման մեթոդ

Թող պահանջվի գտնել f x dx, և
ուղղակիորեն վերցնել պարզունակը
f x-ի համար մենք չենք կարող, բայց մենք դա գիտենք
նա գոյություն ունի: Հաճախ հայտնաբերված
հակաածանցյալ՝ ներմուծելով նոր փոփոխական,
ըստ բանաձևի
f x dx f t t dt , որտեղ x t-ը և t-ը նորն է
փոփոխական

Քառակուսի եռանկյուն պարունակող ֆունկցիաների ինտեգրում

Դիտարկենք ինտեգրալը
աքսբ
dx,
x px q
Պարունակող քառակուսի եռանկյունմեջ
ինտեգրանդի հայտարարը
արտահայտությունները. Նման ինտեգրալ նույնպես վերցված է
փոփոխականների մեթոդի փոփոխություն,
նախկինում հայտնաբերված
հայտարար լրիվ քառակուսի.
2

Օրինակ

Հաշվիր
dx
.
x4x5
Լուծում. Փոխակերպենք x 2 4 x 5,
2
ընտրելով լրիվ քառակուսի a b 2 a 2 2ab b 2 բանաձևի համաձայն:
Այնուհետև մենք ստանում ենք.
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 տ
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Օրինակ

Գտեք
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 տ
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 տ
2
dt
1 տ
1 տ
դ (t 2 1)
տ
2
1
2
2տդտ
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 տ
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 տ 2 1
1 տ
2
dt

Որոշակի ինտեգրալ, նրա հիմնական հատկությունները: Նյուտոն-Լայբնից բանաձև. Որոշակի ինտեգրալի կիրառություններ.

Որոշակի ինտեգրալի հասկացությունը հանգեցնում է
կորագիծ տարածքը գտնելու խնդիրը
trapezoid.
Թող որոշ ընդմիջում տրվի
շարունակական ֆունկցիա y f (x) 0
Առաջադրանք.
Կազմեք դրա գրաֆիկը և գտեք նկարի F տարածքը,
սահմանափակված այս կորով, երկու ուղիղ x = a և x
= b, իսկ ներքևից՝ աբսցիսային առանցքի մի հատված՝ կետերի միջև
x = a և x = b.

aABb թիվը կոչվում է
կորագիծ trapezoid

Սահմանում

բ
f(x)dx
Որոշակի ինտեգրալի տակ
ա
տրված շարունակական ֆունկցիայից f(x) վրա
այս հատվածը հասկացվում է
համապատասխան աճը
պարզունակ, այսինքն
F (b) F (a) F (x) /
բ
ա
a և b թվերը ինտեգրման սահմաններն են,
ինտեգրման միջակայքն է։

Կանոն.

Որոշակի ինտեգրալը հավասար է տարբերությանը
հակաածանցյալ ինտեգրանդի արժեքները
գործառույթներ վերին և ստորին սահմանների համար
ինտեգրում։
Ներկայացնում ենք տարբերության նշումը
բ
F (b) F (a) F (x) / a
բ
f (x)dx F (b) F (a)
ա
Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները.

1) Որոշակի ինտեգրալի արժեքը կախված չէ
ինտեգրացիոն փոփոխականի նշում, այսինքն.
բ
բ
ա
ա
f (x)dx f (t)dt
որտեղ x և t ցանկացած տառ են:
2) Որոշակի ինտեգրալ նույնի հետ
դրսում
ինտեգրումը զրոյական է
ա
f (x)dx F (a) F (a) 0
ա

3) Ինտեգրման սահմանները վերադասավորելիս
որոշակի ինտեգրալը հակադարձում է իր նշանը
բ
ա
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
ա
բ
(ավելացման հատկություն)
4) Եթե միջակայքը բաժանված է վերջավոր թվի
մասնակի ինտերվալներ, ապա որոշակի ինտեգրալ,
վերցված ընդմիջումով հավասար է գումարինորոշակի
ինտեգրալները վերցված են նրա բոլոր մասնակի ընդմիջումներով:
բ
գ
բ
f(x)dx f(x)dx
գ
ա
ա
f(x)dx

5) հաստատուն բազմապատկիչ կարելի է հանել
որոշակի ինտեգրալի նշանի համար։
6) Հանրահաշվի որոշակի ինտեգրալ
վերջավոր թվով շարունակականի գումարներ
ֆունկցիաները հավասար են նույն հանրահաշվին
գումար որոշակի ինտեգրալներսրանցից
գործառույթները։

3. Փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում:

3. Փոփոխականի փոխարինում որոշակիով
անբաժանելի.
բ
f (x)dx f (t) (t)dt
ա
ա(), բ(), (տ)
որտեղ
t[; ] , (t) և (t) ֆունկցիաները շարունակական են.
5
Օրինակ:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 տ
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Անպատշաճ ինտեգրալներ.

Անպատշաճ ինտեգրալներ.
Սահմանում. Թող f(x) ֆունկցիան սահմանվի
անսահման միջակայք, որտեղ բ< + . Если
գոյություն ունի
բ
լիմ
f(x)dx,
բ
ա
ապա այս սահմանը կոչվում է ոչ պատշաճ
ինտերվալի վրա f(x) ֆունկցիայի ինտեգրալը
}