Od mnogih razlomaka koji se nalaze u aritmetici, oni s 10, 100, 1000 u nazivniku zaslužuju posebnu pozornost - općenito, svaka potencija broja deset. Ti razlomci imaju poseban naziv i oznaku.
Decimala je svaki broj čiji je nazivnik potencija broja deset.
Decimalni primjeri:
Zašto je uopće bilo potrebno izolirati takve frakcije? Zašto im je potrebna vlastita prijavnica? Za to postoje najmanje tri razloga:
- Decimale je mnogo lakše uspoređivati. Upamtite: da biste usporedili obične razlomke, morate ih oduzeti jedan od drugoga, a posebno razlomke dovesti na zajednički nazivnik. U decimalnim razlomcima ništa od ovoga nije potrebno;
- Smanjenje kalkulacija. Decimale se zbrajaju i množe prema vlastitim pravilima, a nakon malo vježbe s njima ćete raditi mnogo brže nego s običnim;
- Jednostavnost snimanja. Za razliku od običnih razlomaka, decimale se pišu u jednom retku bez gubitka jasnoće.
Većina kalkulatora također daje odgovore u decimalama. U nekim slučajevima problem može uzrokovati drugačiji format snimanja. Na primjer, što ako u trgovini tražite sitniš u iznosu od 2/3 rubalja :)
Pravila za pisanje decimalnih razlomaka
Glavna prednost decimalnih razlomaka je praktičan i vizualni zapis. Naime:
Decimalni zapis oblik je decimalnog zapisa gdje je cijeli broj odvojen od razlomka običnom točkom ili zarezom. U ovom slučaju, sam separator (točka ili zarez) naziva se decimalna točka.
Na primjer, 0,3 (čitaj: "nula cijeli broj, 3 desetine"); 7,25 (7 cijelih brojeva, 25 stotinki); 3,049 (3 cijela broja, 49 tisućinki). Svi primjeri preuzeti su iz prethodne definicije.
U pisanju se zarez obično koristi kao decimalna točka. Ovdje i dolje, zarez će se također koristiti na cijeloj stranici.
Za pisanje proizvoljnog decimal u ovom obrascu trebate slijediti tri jednostavna koraka:
- Odvojeno ispiši brojnik;
- Decimalnu točku pomaknite ulijevo za onoliko mjesta koliko ima nula u nazivniku. Pretpostavimo da je inicijalno decimalna točka s desne strane svih znamenki;
- Ako se decimalna točka pomaknula, a iza nje na kraju zapisa stoje nule, one se moraju precrtati.
Dešava se da u drugom koraku brojnik nema dovoljno znamenki da završi pomak. U tom slučaju nedostajuće pozicije popunjavaju se nulama. I općenito, bilo koji broj nula može se dodijeliti lijevo od bilo kojeg broja bez štete po zdravlje. Ružno je, ali ponekad korisno.
Na prvi pogled, ovaj algoritam može izgledati prilično komplicirano. Zapravo, sve je vrlo, vrlo jednostavno - samo trebate malo vježbati. Pogledajte primjere:
Zadatak. Za svaki razlomak označite njegov decimalni zapis:
Brojnik prvog razlomka: 73. Pomaknemo decimalnu točku za jedan znak (jer je nazivnik 10) - dobijemo 7,3.
Brojnik drugog razlomka: 9. Decimalnu točku pomaknemo za dvije znamenke (jer je nazivnik 100) - dobijemo 0,09. Morao sam dodati jednu nulu iza decimalne točke i još jednu prije nje, kako ne bih ostavio čudan zapis poput ".09".
Brojnik trećeg razlomka: 10029. Pomaknemo decimalnu točku za tri znamenke (jer je nazivnik 1000) - dobijemo 10,029.
Brojnik zadnjeg razlomka: 10500. Opet pomaknemo točku za tri znamenke - dobijemo 10.500. Postoje dodatne nule na kraju broja. Prekrižimo ih - dobijemo 10,5.
Obratite pažnju na posljednja dva primjera: brojeve 10.029 i 10.5. Prema pravilima, nule s desne strane moraju biti prekrižene, kao što je učinjeno u posljednjem primjeru. Međutim, ni u kojem slučaju to ne smijete učiniti s nulama koje se nalaze unutar broja (koje su okružene drugim znamenkama). Zato smo dobili 10,029 i 10,5, a ne 1,29 i 1,5.
Dakle, shvatili smo definiciju i oblik snimanja decimalnih frakcija. Sada saznajmo kako pretvoriti obične razlomke u decimale - i obrnuto.
Promjena iz razlomaka u decimale
Razmotrimo jednostavan numerički razlomak oblika a/b. Možete koristiti osnovno svojstvo razlomka i pomnožiti brojnik i nazivnik takvim brojem da dobijete potenciju desetice ispod. Ali prije nego što to učinite, pročitajte sljedeće:
Postoje nazivnici koji se ne svode na potenciju desetice. Naučite prepoznati takve razlomke, jer se s njima ne može raditi prema dolje opisanom algoritmu.
To je to. Pa, kako razumjeti je li nazivnik sveden na potenciju desetice ili ne?
Odgovor je jednostavan: faktorirajte nazivnik glavni faktori. Ako su u proširenju prisutni samo faktori 2 i 5, ovaj se broj može svesti na potenciju deset. Ako postoje drugi brojevi (3, 7, 11 - svejedno), možete zaboraviti na stupanj desetice.
Zadatak. Provjerite mogu li se navedeni razlomci predstaviti kao decimalni brojevi:
Zapisujemo i faktoriziramo nazivnike ovih razlomaka:
20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - prisutni su samo brojevi 2 i 5. Stoga se razlomak može predstaviti kao decimalni broj.
12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - postoji "zabranjeni" faktor 3. Razlomak se ne može predstaviti kao decimalni broj.
640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Sve je u redu: nema ničega osim brojeva 2 i 5. Razlomak je predstavljen kao decimalni broj.
48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Ponovno je "isplivao" faktor 3. Ne može se prikazati kao decimalni razlomak.
Dakle, shvatili smo nazivnik - sada ćemo razmotriti cijeli algoritam za prebacivanje na decimalne razlomke:
- Faktorizirajte nazivnik izvornog razlomka i uvjerite se da ga je općenito moguće predstaviti kao decimalu. Oni. provjerite da li su u ekspanziji prisutni samo faktori 2 i 5. U protivnom algoritam ne radi;
- Izbrojte koliko je dvojki i petica prisutno u dekompoziciji (tu neće biti drugih brojeva, sjećate se?). Odaberite takav dodatni množitelj da broj dvojki i petica bude jednak.
- Zapravo, pomnožite brojnik i nazivnik izvornog razlomka s ovim faktorom - dobit ćemo željeni prikaz, tj. nazivnik će biti potencija broja deset.
Naravno, dodatni faktor će se također rastaviti samo na dvojke i petice. Pritom, kako si ne bi zakomplicirali život, od svih mogućih faktora treba izabrati najmanji.
I još nešto: ako u izvornom razlomku postoji cjelobrojni dio, svakako taj razlomak pretvorite u nepravi - i tek onda primijenite opisani algoritam.
Zadatak. Pretvorite ove brojeve u decimale:
Rastavimo nazivnik prvog razlomka na faktore: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Stoga se razlomak može prikazati kao decimalni broj. U proširenju postoje dvije dvojke, a nema petica, pa je dodatni faktor 5 2 = 25. Broj dvojki i petica bit će mu jednak. Imamo:
Sada se pozabavimo drugim razlomkom. Da biste to učinili, imajte na umu da 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - postoji trostruka ekspanzija, tako da se razlomak ne može predstaviti kao decimalni broj.
Posljednja dva razlomka imaju nazivnike 5 (prosti broj) odnosno 20 = 4 5 = 2 2 5 - posvuda su prisutne samo dvojke i petice. U isto vrijeme, u prvom slučaju, "za potpunu sreću", nema dovoljno množitelja 2, au drugom - 5. Dobivamo:
Prebacivanje s decimala na obične
Obrnuta pretvorba - iz decimalnog zapisa u normalni - mnogo je lakša. Ovdje nema ograničenja i posebnih provjera, tako da uvijek možete pretvoriti decimalni razlomak u klasični "dvokatni".
Algoritam prevođenja je sljedeći:
- Precrtajte sve nule s lijeve strane decimale, kao i decimalnu točku. Ovo će biti brojnik željenog razlomka. Glavna stvar - nemojte pretjerivati i ne prekrižite unutarnje nule okružene drugim brojevima;
- Izračunajte koliko je znamenki u izvornom decimalnom razlomku iza decimalne točke. Uzmite broj 1 i dodajte onoliko nula s desne strane koliko ste znakova izbrojali. Ovo će biti nazivnik;
- Zapravo, zapiši razlomak čiji smo brojnik i nazivnik upravo pronašli. Smanjite ako je moguće. Ako je u izvornom razlomku bio cjelobrojni dio, sada ćemo dobiti nepravi razlomak, što je vrlo zgodno za daljnje izračune.
Zadatak. Pretvori decimale u obične: 0,008; 3.107; 2.25; 7,2008.
Prekrižimo nule s lijeve strane i zareze - dobivamo sljedeće brojeve (to će biti brojnici): 8; 3107; 225; 72008.
U prvom i drugom razlomku iza decimalne točke nalaze se 3 decimale, u drugoj - 2, a u trećoj - čak 4 decimale. Dobivamo nazivnike: 1000; 1000; 100; 10000.
Na kraju, spojimo brojnike i nazivnike u obične razlomke:
Kao što se može vidjeti iz primjera, rezultirajuća frakcija se vrlo često može smanjiti. Još jednom napominjem da se svaki decimalni razlomak može prikazati kao običan. Obrnuta transformacija nije uvijek moguća.
U ovom vodiču ćemo pogledati svaku od ovih operacija jednu po jednu.
Sadržaj lekcijeZbrajanje decimala
Kao što znamo, decimalni razlomak sastoji se od cijelog i razlomka. Prilikom zbrajanja decimala, cijeli i razlomački dio se zbrajaju odvojeno.
Na primjer, zbrojimo decimale 3.2 i 5.3. Pogodnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu.
Najprije ova dva razlomka upišemo u stupac, pri čemu cijeli dijelovi moraju biti ispod cijelih, a razlomci ispod razlomaka. U školi se taj zahtjev zove "zarez ispod zareza" .
Zapišimo razlomke u stupac tako da zarez bude ispod zareza:
Zbrajamo razlomljene dijelove: 2 + 3 = 5. Peticu upisujemo u razlomački dio našeg odgovora:
Sada zbrajamo cijele dijelove: 3 + 5 = 8. Osam upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:
Sada zarezom odvajamo cijeli dio od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno slijedimo pravilo "zarez ispod zareza" :
Dobio odgovor 8.5. Dakle, izraz 3,2 + 5,3 je jednak 8,5
3,2 + 5,3 = 8,5
Zapravo, nije sve tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. I ovdje postoje zamke, o kojima ćemo sada govoriti.
Mjesta u decimalama
Decimale, kao i obični brojevi, imaju svoje znamenke. To su desetina, stotinka, tisućinka. U ovom slučaju znamenke počinju nakon decimalne točke.
Prva znamenka nakon decimalne točke odgovara desetinkama, druga znamenka nakon decimalne točke za stotinke, treća znamenka nakon decimalne točke za tisućinke.
Znamenke u decimalnim razlomcima pohranjuju nešto korisna informacija. Konkretno, oni izvješćuju koliko je desetinki, stotinki i tisućinki u decimali.
Na primjer, razmotrite decimalni broj 0,345
Pozicija na kojoj se nalazi trojka zove se deseto mjesto
Položaj na kojem se nalazi četvorka zove se stotinsko mjesto
Pozicija na kojoj se nalazi petica zove se tisućinke
Pogledajmo ovu figuru. Vidimo da je u kategoriji desetinki trojka. Ovo sugerira da postoje tri desetinke u decimalnom razlomku 0,345.
Ako zbrojimo razlomke, tada ćemo dobiti izvorni decimalni razlomak 0,345
Prvo smo dobili odgovor, ali smo ga pretvorili u decimale i dobili 0,345.
Zbrajanje decimala slijedi ista pravila kao i zbrajanje običnih brojeva. Zbrajanje decimalnih razlomaka događa se znamenkama: desetinke se dodaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.
Stoga je pri zbrajanju decimalnih razlomaka potrebno slijediti pravilo "zarez ispod zareza". Zarez ispod zareza daje isti redoslijed u kojem se desetinke dodaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.
Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 1,5 + 3,4
Prije svega zbrajamo razlomke 5 + 4 = 9. Devetku upisujemo u razlomke našeg odgovora:
Sada zbrajamo cijele dijelove 1 + 3 = 4. Četvorku upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:
Sada zarezom odvajamo cijeli dio od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno poštujemo pravilo "zarez ispod zareza":
Dobio odgovor 4.9. Dakle, vrijednost izraza 1,5 + 3,4 je 4,9
Primjer 2 Odredi vrijednost izraza: 3,51 + 1,22
Ovaj izraz pišemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza"
Prije svega zbrajamo razlomački dio, odnosno stotinke 1+2=3. Trojku pišemo u stoti dio našeg odgovora:
Sada dodajte desetine od 5+2=7. Sedam zapisujemo u deseti dio našeg odgovora:
Sada zbrojite cijele dijelove 3+1=4. Četvorku upisujemo u cijeli broj odgovora:
Cijeli dio od razlomka odvajamo zarezom, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":
Dobio odgovor 4.73. Dakle, vrijednost izraza 3,51 + 1,22 je 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Kao i kod običnih brojeva, kod zbrajanja decimalnih razlomaka, . U tom slučaju jedna znamenka se upisuje u odgovor, a ostale se prenose na sljedeću znamenku.
Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 2,65 + 3,27
Ovaj izraz zapisujemo u stupac:
Dodajte stotinke od 5+7=12. Broj 12 neće stati u stoti dio našeg odgovora. Stoga u stoti dio upisujemo broj 2, a jedinicu prenosimo na sljedeći bit:
Sada zbrajamo desetine od 6+2=8 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 9. Broj 9 upisujemo u desetinu našeg odgovora:
Sada zbrojite cijele dijelove 2+3=5. Upisujemo broj 5 u cijeli broj našeg odgovora:
Dobili smo odgovor 5,92. Dakle, vrijednost izraza 2,65 + 3,27 je 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Primjer 4 Odredi vrijednost izraza 9,5 + 2,8
Napiši ovaj izraz u stupac
Zbrajamo razlomke 5 + 8 = 13. Broj 13 neće stati u razlomak našeg odgovora, pa prvo zapišemo broj 3, a jedinicu prebacimo na sljedeću znamenku, odnosno prebacimo je na cijeli broj dio:
Sada zbrajamo cijele dijelove 9+2=11 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 12. Upisujemo broj 12 u cijeli dio našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:
Dobio odgovor 12.3. Dakle, vrijednost izraza 9,5 + 2,8 je 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Prilikom zbrajanja decimalnih razlomaka, broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka mora biti isti. Ako nema dovoljno znamenki, tada se ta mjesta u razlomku popunjavaju nulama.
Primjer 5. Odredi vrijednost izraza: 12,725 + 1,7
Prije nego što zapišemo ovaj izraz u stupac, učinimo jednakim broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka. Decimalni razlomak 12,725 ima tri znamenke iza decimalne točke, dok razlomak 1,7 ima samo jednu. Dakle, u razlomku 1,7 na kraju morate dodati dvije nule. Tada dobivamo razlomak 1.700. Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i početi računati:
Dodajte tisućinke 5+0=5. Broj 5 upisujemo u tisućiti dio našeg odgovora:
Dodajte stotinke 2+0=2. Upisujemo broj 2 u stoti dio našeg odgovora:
Dodajte desetine od 7+7=14. Broj 14 neće stati ni u desetinu našeg odgovora. Stoga prvo zapisujemo broj 4, a jedinicu prenosimo na sljedeći bit:
Sada zbrajamo cijele dijelove 12+1=13 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 14. Upisujemo broj 14 u cijeli dio našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:
Dobio odgovor 14,425. Dakle, vrijednost izraza 12,725+1,700 je 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Oduzimanje decimala
Kod oduzimanja decimalnih razlomaka morate slijediti ista pravila kao i kod zbrajanja: “zarez ispod zareza” i “jednak broj znamenki iza decimalne točke”.
Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 2,5 − 2,2
Ovaj izraz pišemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":
Računamo razlomački dio 5−2=3. Upisujemo broj 3 u deseti dio našeg odgovora:
Izračunajte cjelobrojni dio 2−2=0. Upisujemo nulu u cijeli broj našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:
Dobili smo odgovor 0,3. Dakle, vrijednost izraza 2,5 − 2,2 jednaka je 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Primjer 2 Odredite vrijednost izraza 7.353 - 3.1
U ovom izrazu drugačiji iznos znamenki iza decimalne točke. U razlomku 7.353 tri su znamenke iza decimalne točke, a u razlomku 3.1 samo jedna. To znači da se u razlomku 3.1 moraju dodati dvije nule na kraju kako bi broj znamenki u oba razlomka bio isti. Onda dobijemo 3.100.
Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i izračunati ga:
Dobio sam odgovor 4,253. Dakle, vrijednost izraza 7,353 − 3,1 je 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Kao i kod običnih brojeva, ponekad ćete morati posuditi jedan od susjednog bita ako oduzimanje postane nemoguće.
Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 3,46 − 2,39
Oduzmite stotinke od 6−9. Od broja 6 nemojte oduzimati broj 9. Dakle, trebate uzeti jedinicu od susjedne znamenke. Posudivši jedan od susjedne znamenke, broj 6 pretvara se u broj 16. Sada možemo izračunati stotinke od 16−9=7. Upisujemo sedam u stoti dio našeg odgovora:
Sada oduzmite desetine. Budući da smo uzeli jednu jedinicu u kategoriji desetina, brojka koja se tu nalazila smanjila se za jednu jedinicu. Drugim riječima, deseto mjesto sada nije broj 4, već broj 3. Izračunajmo desetinke od 3−3=0. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo nulu:
Sada oduzmite cijele dijelove 3−2=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:
Dobio odgovor 1.07. Dakle, vrijednost izraza 3,46−2,39 jednaka je 1,07
3,46−2,39=1,07
Primjer 4. Odredite vrijednost izraza 3−1.2
Ovaj primjer oduzima decimalu od cijelog broja. Zapišimo ovaj izraz u stupac tako da cjelobrojni dio decimalnog razlomka 1,23 bude ispod broja 3
Neka sada broj znamenki iza decimalne točke bude isti. Da biste to učinili, nakon broja 3 stavite zarez i dodajte jednu nulu:
Sada oduzmite desetine: 0−2. Nemojte od nule oduzimati broj 2. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne znamenke. Posuđivanjem jedan od susjednog bita, 0 se pretvara u broj 10. Sada možete izračunati desetine od 10−2=8. Osmicu upisujemo u deseti dio našeg odgovora:
Sada oduzmite cijele dijelove. Ranije se broj 3 nalazio u cijelom broju, ali smo od njega posudili jednu jedinicu. Zbog toga se pretvorio u broj 2. Stoga oduzimamo 1 od 2. 2−1=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:
Dobio odgovor 1.8. Dakle, vrijednost izraza 3−1,2 je 1,8
Decimalno množenje
Množenje decimala je jednostavno, pa čak i zabavno. Da biste množili decimale, morate ih množiti kao obične brojeve, zanemarujući zareze.
Nakon dobivenog odgovora potrebno je zarezom odvojiti cijeli broj od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka, zatim izbrojati isti broj znamenki s desne strane odgovora i staviti zarez.
Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 2,5 × 1,5
Te decimalne razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze. Kako biste zanemarili zareze, možete privremeno zamisliti da ih uopće nema:
Dobili smo 375. Kod ovog broja potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate prebrojati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 2,5 i 1,5. U prvom razlomku je jedna znamenka iza decimalne točke, u drugom razlomku također jedna. Ukupno dva broja.
Vraćamo se na broj 375 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 3,75. Dakle, vrijednost izraza 2,5 × 1,5 je 3,75
2,5 x 1,5 = 3,75
Primjer 2 Odredi vrijednost izraza 12,85 × 2,7
Pomnožimo ove decimale, zanemarujući zareze:
Dobili smo 34695. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 12,85 i 2,7. U razlomku 12.85 dvije su znamenke iza decimalne točke, u razlomku 2.7 jedna je znamenka - ukupno tri znamenke.
Vraćamo se na broj 34695 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 34,695. Dakle, vrijednost izraza 12,85 × 2,7 je 34,695
12,85 x 2,7 = 34,695
Množenje decimale regularnim brojem
Ponekad postoje situacije kada trebate pomnožiti decimalni razlomak s običnim brojem.
Da biste pomnožili decimalu i običan broj, morate ih pomnožiti, bez obzira na zarez u decimali. Nakon dobivenog odgovora potrebno je zarezom odvojiti cijeli broj od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru izbrojati isti broj znamenki s desne strane i staviti zarez.
Na primjer, pomnožite 2,54 s 2
Množimo decimalni razlomak 2,54 s uobičajenim brojem 2, zanemarujući zarez:
Dobili smo broj 508. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,54. Razlomak 2,54 ima dvije znamenke iza decimalne točke.
Vraćamo se na broj 508 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 5.08. Dakle, vrijednost izraza 2,54 × 2 je 5,08
2,54 x 2 = 5,08
Množenje decimala s 10, 100, 1000
Množenje decimala s 10, 100 ili 1000 radi se na isti način kao i množenje decimala običnim brojevima. Potrebno je izvršiti množenje, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku, zatim u odgovoru odvojiti cijeli broj od razlomka, računajući onoliko znamenki s desne strane koliko je iza decimalne točke bilo znamenki u decimali. frakcija.
Na primjer, pomnožite 2,88 s 10
Pomnožimo decimalni razlomak 2,88 s 10, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku:
Dobili smo 2880. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,88. Vidimo da u razlomku 2,88 postoje dvije znamenke iza decimalne točke.
Vraćamo se na broj 2880 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 28.80. Zadnju nulu odbacujemo - dobivamo 28,8. Dakle, vrijednost izraza 2,88 × 10 je 28,8
2,88 x 10 = 28,8
Postoji drugi način množenja decimalnih razlomaka s 10, 100, 1000. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.
Na primjer, riješimo prethodni primjer 2,88×10 na ovaj način. Bez davanja bilo kakvih izračuna, odmah gledamo faktor 10. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalnu točku udesno za jednu znamenku, dobivamo 28,8.
2,88 x 10 = 28,8
Pokušajmo 2,88 pomnožiti sa 100. Odmah gledamo faktor 100. Zanima nas koliko je u njemu nula. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalnu točku udesno za dvije znamenke, dobivamo 288
2,88 x 100 = 288
Pokušajmo 2,88 pomnožiti s 1000. Odmah gledamo faktor 1000. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 2,88 pomičemo decimalnu točku udesno za tri znamenke. Treće znamenke nema, pa dodajemo još jednu nulu. Kao rezultat, dobivamo 2880.
2,88 x 1000 = 2880
Množenje decimala s 0,1 0,01 i 0,001
Množenje decimala s 0,1, 0,01 i 0,001 funkcionira na isti način kao i množenje decimale s decimalom. Razlomke je potrebno množiti kao obične brojeve, a u odgovoru staviti zarez, računajući onoliko znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.
Na primjer, pomnožite 3,25 s 0,1
Ove razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze:
Dobili smo 325. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 3,25 i 0,1. U razlomku 3,25 dvije su znamenke iza decimalne točke, u razlomku 0,1 jedna je znamenka. Ukupno tri broja.
Vraćamo se na broj 325 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez. Nakon prebrojavanja tri znamenke, nalazimo da je brojeva gotovo. U ovom slučaju morate dodati jednu nulu i staviti zarez:
Dobili smo odgovor 0,325. Dakle, vrijednost izraza 3,25 × 0,1 je 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Postoji drugi način množenja decimala s 0,1, 0,01 i 0,001. Ova metoda je mnogo lakša i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.
Na primjer, riješimo prethodni primjer 3,25 × 0,1 na ovaj način. Ne dajući nikakve izračune, odmah gledamo faktor 0,1. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 3,25 pomičemo decimalnu točku ulijevo za jednu znamenku. Pomaknuvši zarez za jednu znamenku ulijevo, vidimo da ispred tri nema više znamenki. U tom slučaju dodajte jednu nulu i stavite zarez. Kao rezultat, dobivamo 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,01. Odmah pogledajte množitelj od 0,01. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo zarez ulijevo za dvije znamenke, dobivamo 0,0325
3,25 x 0,01 = 0,0325
Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,001. Odmah pogledajte množitelj od 0,001. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo decimalnu točku ulijevo za tri znamenke, dobivamo 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Ne brkajte množenje decimala s 0,1, 0,001 i 0,001 s množenjem s 10, 100, 1000. Uobičajena pogreška većina ljudi.
Pri množenju s 10, 100, 1000 zarez se pomiče udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.
A kod množenja s 0,1, 0,01 i 0,001 zarez se pomiče ulijevo za onoliko znamenki koliko je nula u množitelju.
Ako je u početku teško zapamtiti, možete koristiti prvu metodu, u kojoj se množenje izvodi kao s običnim brojevima. U odgovoru ćete morati odvojiti cijeli broj od razlomka tako što ćete prebrojati onoliko znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.
Dijeljenje manjeg broja većim. Napredna razina.
U jednoj od prethodnih lekcija rekli smo da se pri dijeljenju manjeg broja s većim dobije razlomak u čijem je brojniku djelitelj, a u nazivniku djelitelj.
Na primjer, da biste jednu jabuku podijelili na dvoje, potrebno je u brojnik napisati 1 (jedna jabuka), a u nazivnik 2 (dva prijatelja). Rezultat je razlomak. Tako će svaki prijatelj dobiti jabuku. Drugim riječima, pola jabuke. Razlomak je odgovor na problem kako podijeliti jednu jabuku na dvije
Ispostavilo se da ovaj problem možete dodatno riješiti ako podijelite 1 s 2. Uostalom, razlomka u bilo kojem razlomku znači dijeljenje, što znači da je to dijeljenje dopušteno iu razlomku. Ali kako? Navikli smo da je dividenda uvijek veća od djelitelja. A ovdje je, naprotiv, dividenda manja od djelitelja.
Sve će postati jasno ako se sjetimo da razlomak znači drobljenje, dijeljenje, dijeljenje. To znači da se jedinica može podijeliti na koliko god dijelova želite, a ne samo na dva dijela.
Kada se manji broj podijeli s većim, dobiva se decimalni razlomak u kojem će cijeli broj biti 0 (nula). Razlomak može biti bilo što.
Dakle, podijelimo 1 sa 2. Riješimo ovaj primjer s kutom:
Ne može se samo tako podijeliti na dvoje. Ako postavite pitanje "koliko je dvojki u jednom" , tada će odgovor biti 0. Stoga privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:
Sada, kao i obično, množimo kvocijent s djeliteljem da izvučemo ostatak:
Došao je trenutak kada se jedinica može podijeliti na dva dijela. Da biste to učinili, dodajte još jednu nulu desno od primljene:
Dobili smo 10. Podijelimo 10 sa 2, dobijemo 5. Peticu upišemo u razlomak našeg odgovora:
Sada vadimo posljednji ostatak kako bismo dovršili izračun. Pomnožimo 5 sa 2, dobivamo 10
Dobili smo odgovor 0,5. Dakle, razlomak je 0,5
Polovica jabuke može se napisati i decimalnim razlomkom 0,5. Ako zbrojimo ove dvije polovice (0,5 i 0,5), opet dobivamo originalnu jednu cijelu jabuku: 
Ovo se također može razumjeti ako zamislimo kako je 1 cm podijeljen na dva dijela. Ako 1 centimetar podijelite na 2 dijela, dobit ćete 0,5 cm
Primjer 2 Odredite vrijednost izraza 4:5
Koliko je petica u četiri? Nikako. Pišemo privatno 0 i stavljamo zarez:
Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod četiri upišemo nulu. Odmah oduzmite ovu nulu od dividende:
Sada počnimo dijeliti (dijeliti) četvorku na 5 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 4, dodamo nulu i podijelimo 40 s 5, dobivamo 8. Osam pišemo privatno.
Dovršavamo primjer množenjem 8 sa 5 i dobivamo 40:
Dobili smo odgovor 0,8. Dakle, vrijednost izraza 4:5 je 0,8
Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 5: 125
Koliko brojeva 125 ima pet? Nikako. Privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:
Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod petice upišemo 0. Od pet odmah oduzmite 0
Sada počnimo dijeliti (dijeliti) pet na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od ovih pet, pišemo nulu:
Podijelite 50 sa 125. Koliko brojeva 125 ima u 50? Nikako. Dakle, u količniku opet pišemo 0
Pomnožimo 0 sa 125, dobijemo 0. Zapišemo ovu nulu ispod 50. Odmah oduzmite 0 od 50
Sada dijelimo broj 50 na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 50, pišemo još jednu nulu:
Podijeli 500 sa 125. Koliko ima brojeva 125 u broju 500. U broju 500 četiri su broja 125. Četvorku pišemo zasebno:
Dovršavamo primjer množenjem 4 sa 125 i dobivamo 500
Dobili smo odgovor 0,04. Dakle, vrijednost izraza 5:125 je 0,04
Dijeljenje brojeva bez ostatka
Dakle, stavimo zarez u kvocijent iza jedinice, čime označavamo da je dijeljenje cijelih dijelova završeno i prelazimo na razlomački dio:
Dodajte nulu ostatku 4
Sada dijelimo 40 sa 5, dobivamo 8. Osam pišemo zasebno:
40−40=0. Primljeno 0 u ostatku. Dakle, podjela je u potpunosti završena. Dijeljenje 9 sa 5 rezultira decimalom od 1,8:
9: 5 = 1,8
Primjer 2. Podijeli 84 sa 5 bez ostatka
Prvo dijelimo 84 sa 5 kao i obično s ostatkom:
Dobio na privatno 16 i jos 4 na saldu. Sada ovaj ostatak dijelimo s 5. Stavljamo zarez u privatno, a ostatku 4 dodajemo 0
Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Osam upišemo u kvocijent iza decimalne točke:
i dovršite primjer provjerom postoji li još ostatak:
Dijeljenje decimale regularnim brojem
Decimalni razlomak, kao što znamo, sastoji se od cijelog i razlomka. Kada dijelite decimalni razlomak običnim brojem, prije svega trebate:
- podijeli cijeli broj decimalnog ulomka ovim brojem;
- nakon što je cijeli dio podijeljen, potrebno je odmah staviti zarez u privatni dio i nastaviti s izračunom, kao kod običnog dijeljenja.
Na primjer, podijelimo 4,8 s 2
Zapišimo ovaj primjer kao kut:
Sada podijelimo cijeli dio s 2. Četiri podijeljeno s dva je dva. Dvojku pišemo privatno i odmah stavljamo zarez:
Sada pomnožimo količnik s djeliteljem i vidimo postoji li ostatak od dijeljenja:
4−4=0. Ostatak nula. Još ne pišemo nulu jer rješenje nije dovršeno. Zatim nastavljamo računati, kao kod običnog dijeljenja. Skinite 8 i podijelite ga s 2
8: 2 = 4. Četvorku upišemo u kvocijent i odmah pomnožimo s djeliteljem:
Dobio odgovor 2.4. Vrijednost izraza 4,8: 2 jednako je 2,4
Primjer 2 Nađi vrijednost izraza 8.43:3
Podijelimo 8 sa 3, dobijemo 2. Iza dva odmah stavite zarez:
Sada množimo kvocijent djeliteljem 2 × 3 = 6. Ispod osmice upisujemo šesticu i nalazimo ostatak:
Podijelimo 24 sa 3, dobijemo 8. Osam napišemo privatno. Odmah ga množimo s djeliteljem da bismo dobili ostatak dijeljenja:
24−24=0. Ostatak je nula. Nula još nije zabilježena. Uzmite zadnje tri dividende i podijelite s 3, dobit ćemo 1. Odmah pomnožite 1 s 3 da dovršite ovaj primjer:
Dobio odgovor 2.81. Dakle, vrijednost izraza 8,43:3 jednaka je 2,81
Dijeljenje decimale decimalom
Da biste decimalni razlomak podijelili na decimalni razlomak, u djelitelju i u djelitelju pomaknite zarez udesno za isti broj znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju, a zatim podijelite običnim brojem.
Na primjer, podijelite 5,95 s 1,7
Zapišimo ovaj izraz kao kut
Sada, u djelitelju i djelitelju, pomaknemo zarez udesno za isti broj znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. Dakle, moramo pomaknuti zarez udesno za jednu znamenku u djelitelju iu djelitelju. Prijenos:
Nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, decimalni razlomak 5,95 pretvorio se u razlomak 59,5. A decimalni razlomak 1,7, nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvorio se u uobičajeni broj 17. I već znamo kako podijeliti decimalni razlomak s uobičajenim brojem. Daljnji izračun nije težak:
Zarez je pomaknut udesno radi lakšeg dijeljenja. To je dopušteno zbog činjenice da se pri množenju ili dijeljenju dividende i djelitelja istim brojem kvocijent ne mijenja. Što to znači?
Ovo je jedan od zanimljive karakteristike podjela. To se zove privatno vlasništvo. Razmotrimo izraz 9: 3 = 3. Ako se u ovom izrazu dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se kvocijent 3 neće promijeniti.
Pomnožimo dividendu i djelitelj s 2 i vidimo što će se dogoditi:
(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3
Kao što se vidi iz primjera, kvocijent se nije promijenio.
Ista stvar se događa kada nosimo zarez u djelitelju iu djelitelju. U prethodnom primjeru, gdje smo podijelili 5,91 s 1,7, pomaknuli smo zarez jednu znamenku udesno u djelitelju i djelitelju. Nakon pomicanja zareza, razlomak 5,91 pretvoren je u razlomak 59,1, a razlomak 1,7 u uobičajeni broj 17.
Zapravo, unutar ovog procesa dogodilo se množenje s 10. Evo kako je to izgledalo:
5,91 × 10 = 59,1
Dakle, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju ovisi o tome čime će se djelitelj i djelitelj pomnožiti. Drugim riječima, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju će odrediti koliko će znamenki u djelitelju iu djelitelju biti pomaknut zarez udesno.
Decimalno dijeljenje s 10, 100, 1000
Dijeljenje decimale s 10, 100 ili 1000 izvodi se na isti način kao . Na primjer, podijelimo 2,1 s 10. Riješimo ovaj primjer kutom:
Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju pomakne ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.
Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 2.1: 10. Gledamo razdjelnik. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za jednu znamenku. Pomaknemo zarez ulijevo za jednu znamenku i vidimo da više nema nijedne znamenke. U ovom slučaju dodajemo još jednu nulu prije broja. Kao rezultat, dobivamo 0,21
Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 100. U broju 100 postoje dvije nule. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za dvije znamenke:
2,1: 100 = 0,021
Pokušajmo podijeliti 2,1 s 1000. U broju 1000 postoje tri nule. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za tri znamenke:
2,1: 1000 = 0,0021
Decimalno dijeljenje s 0,1, 0,01 i 0,001
Dijeljenje decimale s 0,1, 0,01 i 0,001 vrši se na isti način kao . U djelitelju i u djelitelju treba pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko ima iza decimalne točke u djelitelju.
Na primjer, podijelimo 6,3 s 0,1. Najprije pomaknemo zareze u djelitelju iu djelitelju udesno za onoliko znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. Dakle, pomaknemo zareze u djelitelju i u djelitelju udesno za jednu znamenku.
Nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, decimalni razlomak 6,3 pretvara se u uobičajeni broj 63, a decimalni razlomak 0,1, nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvara se u jedinicu. A dijeljenje 63 s 1 vrlo je jednostavno:
Dakle, vrijednost izraza 6,3:0,1 jednaka je 63
Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju prebacuje udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.
Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 6,3:0,1. Pogledajmo razdjelnik. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za jednu znamenku. Pomaknemo zarez udesno za jednu znamenku i dobijemo 63
Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,01. Djelitelj 0,01 ima dvije nule. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za dvije znamenke. Ali u dividendi postoji samo jedna znamenka iza decimalne točke. U tom slučaju na kraju se mora dodati još jedna nula. Kao rezultat, dobivamo 630
Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,001. Djelitelj 0,001 ima tri nule. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za tri znamenke:
6,3: 0,001 = 6300
Zadaci za samostalno rješavanje
Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite nam se nova grupa Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
Već unutra osnovna škola učenici se bave razlomcima. I onda se pojavljuju u svakoj temi. Nemoguće je zaboraviti akcije s ovim brojevima. Stoga morate znati sve informacije o običnim i decimalnim razlomcima. Ovi koncepti su jednostavni, glavna stvar je razumjeti sve u redu.
Zašto su razlomci potrebni?
Svijet oko nas sastoji se od cijelih objekata. Stoga nema potrebe za dionicama. Ali svakodnevni život neprestano tjera ljude da rade s dijelovima predmeta i stvari.
Na primjer, čokolada se sastoji od nekoliko kriški. Razmotrimo situaciju u kojoj njegovu pločicu čini dvanaest pravokutnika. Ako ga podijelite na dva dijela, dobit ćete 6 dijelova. Dobro će se podijeliti na tri. Ali pet neće moći dati cijeli broj kriški čokolade.
Usput, ove kriške su već razlomci. A njihova daljnja podjela dovodi do pojave složenijih brojeva.
Što je "razlomak"?
Ovo je broj koji se sastoji od dijelova jednog. Izvana izgleda kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom crtom. Ova značajka naziva se frakcijska. Broj napisan gore (lijevo) naziva se brojnik. Onaj dolje (desno) je nazivnik.
Zapravo, ispada da je razlomačka crta znak dijeljenja. Odnosno, brojnik se može nazvati dividendom, a nazivnik djeliteljem.
Što su razlomci?
U matematici ih postoje samo dvije vrste: obični i decimalni razlomci. Školarci se najprije upoznaju s osnovna škola, nazivajući ih jednostavno "frakcije". Drugi uče u 5. razredu. Tada se pojavljuju ova imena.
Obični razlomci su svi oni koji su napisani kao dva broja odvojena crtom. Na primjer, 4/7. Decimala je broj u kojem razlomački dio ima položajni zapis i odvojen je zarezom od cijelog broja. Na primjer, 4.7. Učenicima treba biti jasno da su dva navedena primjera potpuno različiti brojevi.
Svaki prosti razlomak može se napisati kao decimalni broj. Ova izjava je gotovo uvijek istinita i obrnuto. Postoje pravila koja vam omogućuju pisanje decimalnog razlomka kao običnog razlomka.
Koje podvrste imaju ove vrste razlomaka?
Bolje početi od Kronološki red kako se proučavaju. Obični razlomci su prvi. Među njima se može razlikovati 5 podvrsta.
Točno. Njegov brojnik uvijek je manji od nazivnika.
krivo Njegov brojnik je veći ili jednak nazivniku.
Smanjiv / nesvodljiv. Može biti ispravno ili pogrešno. Bitno je još nešto, imaju li brojnik i nazivnik zajedničke faktore. Ako ih ima, onda trebaju podijeliti oba dijela razlomka, odnosno smanjiti ga.
Mješoviti. Cijeli broj se pridružuje njegovom uobičajenom ispravnom (netočnom) razlomačkom dijelu. I uvijek stoji s lijeve strane.
Kompozitni. Formira se od dvije frakcije međusobno podijeljene. To jest, ima tri frakcijske značajke odjednom.
Decimale imaju samo dvije podvrste:
konačni, odnosno onaj u kojem je razlomački dio ograničen (ima kraj);
beskonačno - broj čije znamenke iza decimalne točke ne završavaju (mogu se pisati beskonačno).
Kako pretvoriti decimalni u obični?
Ako je to konačan broj, tada se primjenjuje asocijacija po pravilu - kako čujem, tako i napišem. Odnosno, trebate ga pravilno pročitati i zapisati, ali bez zareza, ali s razlomkom.
Kao savjet o potrebnom nazivniku, zapamtite da je to uvijek jedan i nekoliko nula. Potonje treba napisati onoliko koliko ima znamenki u razlomku dotičnog broja.
Kako pretvoriti decimalne razlomke u obične ako njihov cijeli dio nedostaje, odnosno jednak je nuli? Na primjer, 0,9 ili 0,05. Nakon primjene navedenog pravila, ispostavlja se da trebate napisati nula cijelih brojeva. Ali nije naznačeno. Ostaje zapisati samo razlomke. Za prvi broj, nazivnik će biti 10, za drugi - 100. To jest, navedeni primjeri će imati brojeve kao odgovore: 9/10, 5/100. Štoviše, pokazalo se da je potonji moguće smanjiti za 5. Stoga, rezultat za njega mora biti zapisan 1/20.
Kako od decimale napraviti običan razlomak ako je njegov cijeli broj različit od nule? Na primjer, 5,23 ili 13,00108. Oba primjera čitaju cijeli broj i pišu njegovu vrijednost. U prvom slučaju, ovo je 5, u drugom, 13. Zatim morate prijeći na frakcijski dio. S njima je potrebno provesti istu operaciju. Prvi broj ima 23/100, drugi ima 108/100000. Drugu vrijednost potrebno je ponovno smanjiti. Odgovor je ovakav mješovite frakcije: 5 23/100 i 13 27/25000.
Kako pretvoriti beskonačnu decimalu u obični razlomak?
Ako je neperiodičan, tada se takva operacija ne može provesti. Ova činjenica je zbog činjenice da se svaki decimalni razlomak uvijek pretvara u konačni ili periodični.
Jedino što je dopušteno učiniti s takvim razlomkom je zaokružiti ga. Ali tada će decimala biti približno jednaka tom beskonačnom. Već se može pretvoriti u običnu. Ali obrnuti proces: pretvaranje u decimale - nikada neće dati početnu vrijednost. To jest, beskonačni neperiodični razlomci se ne prevode u obične razlomke. Ovo se mora zapamtiti.
Kako napisati beskonačni periodični razlomak u obliku običnog?
U ovim brojevima iza decimalne točke uvijek se pojavljuje jedna ili više znamenki koje se ponavljaju. Zovu se mjesečnice. Na primjer, 0,3(3). Ovdje "3" u razdoblju. Klasificiraju se kao racionalni jer se mogu pretvoriti u obične razlomke.
Oni koji su se susreli s periodičnim razlomcima znaju da oni mogu biti čisti ili mješoviti. U prvom slučaju točka počinje odmah od zareza. U drugom, frakcijski dio počinje bilo kojim brojevima, a zatim počinje ponavljanje.
Pravilo po kojem trebate napisati beskonačnu decimalu u obliku običnog razlomka bit će različito za ove dvije vrste brojeva. Lako je čiste periodične razlomke napisati kao obične razlomke. Kao i kod završnih, potrebno ih je pretvoriti: upišite točku u brojnik, a broj 9 će biti nazivnik, ponavljajući onoliko puta koliko ima znamenki u točki.
Na primjer, 0,(5). Broj nema cijeli dio, pa morate odmah prijeći na frakcijski dio. U brojnik upiši 5, a u nazivnik 9. To jest, odgovor će biti razlomak 5/9.
Pravilo kako napisati običan decimalni razlomak koji je mješoviti razlomak.
Pogledajte duljinu razdoblja. Dakle, 9 će imati nazivnik.
Zapišite nazivnik: prvo devetke, zatim nule.
Za određivanje brojnika potrebno je napisati razliku dvaju brojeva. Sve znamenke nakon decimalne točke bit će smanjene, zajedno s točkom. Oduzima se - bez točke je.
Na primjer, 0,5(8) - zapišite periodični decimalni razlomak kao obični razlomak. Razlomak prije točke je jedna znamenka. Dakle, nula će biti jedan. U točki je također samo jedna znamenka - 8. Odnosno, postoji samo jedna devetka. Odnosno, trebate napisati 90 u nazivniku.
Da biste odredili brojnik od 58, trebate oduzeti 5. Ispada 53. Na primjer, morat ćete napisati 53/90 kao odgovor.
Kako se obični razlomci pretvaraju u decimale?
Najjednostavnija opcija je broj čiji je nazivnik broj 10, 100 i tako dalje. Tada se nazivnik jednostavno odbaci, a između razlomaka i cijeli dijelovi stavlja se zarez.
Postoje situacije kada se nazivnik lako pretvori u 10, 100 itd. Na primjer, brojevi 5, 20, 25. Dovoljno ih je pomnožiti s 2, 5 odnosno 4. Samo je potrebno pomnožiti ne samo nazivnik, već i brojnik istim brojem.
Za sve ostale slučajeve dobro će doći jednostavno pravilo: brojnik podijelite nazivnikom. U ovom slučaju možete dobiti dva odgovora: konačni ili periodični decimalni razlomak.
Operacije s običnim razlomcima
Zbrajanje i oduzimanje
Učenici ih upoznaju ranije od ostalih. I razlomci u početku imaju iste nazivnike, a zatim različite. Opća pravila mogu se svesti na takav plan.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika.
Napiši dodatne faktore svim običnim razlomcima.
Pomnožite brojnike i nazivnike faktorima definiranim za njih.
Zbrojite (oduzmite) brojnike razlomaka, a zajednički nazivnik ostavite nepromijenjenim.
Ako je brojnik umanjenika manji od oduzetog, tada morate saznati imamo li mješoviti broj ili pravi razlomak.
U prvom slučaju, cijeli broj treba uzeti jedan. Dodajte nazivnik brojniku razlomka. I onda izvršite oduzimanje.
U drugom - potrebno je primijeniti pravilo oduzimanja od manjeg broja do većeg. Odnosno, oduzmite modul umanjenika od modula umanjenika i stavite znak "-" kao odgovor.
Pažljivo pogledajte rezultat zbrajanja (oduzimanja). Ako dobijete netočan razlomak, tada treba odabrati cijeli dio. Odnosno, podijelite brojnik s nazivnikom.
Množenje i dijeljenje
Za njihovu provedbu razlomke nije potrebno svesti na zajednički nazivnik. To olakšava poduzimanje radnji. Ali svejedno moraju poštovati pravila.
Pri množenju običnih razlomaka potrebno je uzeti u obzir brojeve u brojnicima i nazivnicima. Ako bilo koji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor, tada se mogu smanjiti.
Pomnožite brojnike.
Pomnožite nazivnike.
Ako dobijete reducibilni razlomak, onda ga treba ponovno pojednostaviti.
Kod dijeljenja prvo morate zamijeniti dijeljenje množenjem, a djelitelj (drugi razlomak) recipročnim (zamijenite brojnik i nazivnik).
Zatim nastavite kao kod množenja (počevši od točke 1).
U zadacima u kojima treba pomnožiti (dijeliti) cijelim brojem, ovaj drugi treba biti napisan u obliku nepravi razlomak. To jest, s nazivnikom 1. Zatim nastavite kako je gore opisano.
Operacije s decimalama
Zbrajanje i oduzimanje
Naravno, uvijek možete pretvoriti decimalu u običan razlomak. I postupite prema već opisanom planu. Ali ponekad je prikladnije djelovati bez ovog prijevoda. Tada će pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje biti potpuno ista.
Izjednačite broj znamenki u razlomačkom dijelu broja, odnosno iza decimalne točke. Dodijeli mu broj nula koji nedostaje.
Napiši razlomke tako da zarez bude ispod zareza.
Zbrajati (oduzimati) kao prirodne brojeve.
Uklonite zarez.
Množenje i dijeljenje
Važno je da ovdje ne morate dodavati nule. Razlomke treba ostaviti kako su dani u primjeru. I onda idite po planu.
Za množenje morate pisati razlomke jedan ispod drugog, ne obraćajući pažnju na zareze.
Množite kao prirodne brojeve.
Stavite zarez u odgovor, brojeći od desnog kraja odgovora onoliko znamenki koliko ih ima u razlomcima oba faktora.
Da biste dijelili, prvo morate pretvoriti djelitelj: neka bude prirodan broj. Odnosno, pomnožite ga s 10, 100 itd., ovisno o tome koliko je znamenki u razlomačkom dijelu djelitelja.
Pomnožite dividendu s istim brojem.
Podijelite decimalu s prirodni broj.
U odgovor stavite zarez u trenutku kada završi dijeljenje cijelog dijela.
Što ako u jednom primjeru postoje obje vrste razlomaka?
Da, u matematici često postoje primjeri u kojima morate izvoditi operacije na običnim i decimalnim razlomcima. Dva su moguća rješenja ovih problema. Trebate objektivno odvagnuti brojke i odabrati najbolju.
Prvi način: predstavlja obične decimale
Prikladno je ako se pri dijeljenju ili pretvaranju dobiju konačni udjeli. Ako barem jedan broj daje periodični dio, tada je ova tehnika zabranjena. Stoga, čak i ako ne volite raditi s običnim razlomcima, morat ćete ih prebrojati.
Drugi način: decimalne razlomke zapišite kao obične
Ova tehnika je prikladna ako postoje 1-2 znamenke u dijelu nakon decimalne točke. Ako ih je više, može ispasti jako veliko. obični razlomak i decimalni zapisi omogućit će vam brže i lakše izračunavanje zadatka. Stoga je uvijek potrebno trezveno procijeniti zadatak i odabrati najjednostavniju metodu rješenja.
Dijeljenje decimalom svodi se na dijeljenje prirodnim brojem.
Pravilo dijeljenja broja decimalnim razlomkom
Za dijeljenje broja decimalnim razlomkom potrebno je i u djelitelju i u djelitelju pomaknuti zarez onoliko znamenki udesno koliko ima djelitelja iza decimalne točke. Nakon toga podijelite s prirodnim brojem.
Primjeri.
Izvršite dijeljenje s decimalom:
Za dijeljenje decimalnim razlomkom potrebno je i kod djelitelja i kod djelitelja pomaknuti zarez onoliko znamenki udesno koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju, odnosno za jedan znak. Dobivamo: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Sada vršimo podjelu kutom. Kao rezultat, dobivamo: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Da bismo izvršili dijeljenje decimalnih razlomaka, kako u djelitelju tako iu djelitelju, pomaknemo zarez udesno za jedan znak: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Sada izvodimo na prirodnom broju. Rezultat: 14,76 : 3,6 = 4,1.
Da bismo izvršili dijeljenje decimalnim razlomkom prirodnog broja, potrebno je iu djelitelju iu djelitelju pomaknuti onoliko znakova udesno koliko ima djelitelja iza decimalne točke. Budući da u ovom slučaju zarez nije napisan u djelitelju, nedostajući broj znakova popunjavamo nulama: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Dobivene prirodne brojeve dijelimo kutom: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Da bismo jedan decimalni razlomak podijelili na drugi, pomaknemo zarez udesno i kod djelitelja i kod djelitelja za onoliko znamenki koliko ima djelitelja iza decimalne točke, odnosno za tri znamenke. Dakle, 0,1218 : 0,058 \u003d 121,8 : 58. Dijeljenje decimalnim razlomkom zamijenjeno je dijeljenjem prirodnim brojem. Dijelimo kutak. Imamo: 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
Kalkulator razlomaka je dizajniran za brzo izračunavanje operacija s razlomcima, pomoći će vam da jednostavno zbrajate, množite, dijelite ili oduzimate razlomke.
Moderni školarci počinju učiti razlomke već u 5. razredu, a svake godine vježbe s njima postaju sve kompliciranije. Matematički pojmovi i količine koje učimo u školi rijetko su nam od koristi u odrasloj dobi. Međutim, razlomci su, za razliku od logaritama i stupnjeva, prilično česti u svakodnevnom životu (mjerenje udaljenosti, vaganje robe itd.). Naš kalkulator dizajniran je za brze operacije s razlomcima.
Prvo, definirajmo što su razlomci i što su. Razlomci su omjer jednog broja prema drugom; ovo je broj koji se sastoji od cijelog broja razlomaka jedinice.
Vrste razlomaka:
- Obični
- Decimale
- mješoviti
Primjer obični razlomci:
Gornja vrijednost je brojnik, donja je nazivnik. Crtica nam pokazuje da je gornji broj djeljiv s donjim brojem. Umjesto sličnog formata pisanja, kada je crtica vodoravna, možete pisati drugačije. Možete staviti kosu liniju, na primjer:
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Decimale najpopularnija su vrsta razlomaka. Sastoje se od cijelog i razlomka, odvojenih zarezom.
Decimalni primjer:
0,2 ili 6,71 ili 0,125
Sastoji se od cijelog i razlomka. Da biste saznali vrijednost ovog razlomka, morate zbrojiti cijeli broj i razlomak.
Primjer mješovitih razlomaka:
Kalkulator razlomaka na našoj web stranici može brzo izvesti bilo koju matematičku operaciju s razlomcima na mreži:
- Dodatak
- Oduzimanje
- Množenje
- Podjela
Da biste izvršili izračun, morate unijeti brojeve u polja i odabrati radnju. Za razlomke je potrebno unijeti brojnik i nazivnik, cijeli broj ne smije biti napisan (ako je razlomak običan). Ne zaboravite kliknuti na gumb "jednako".
Zgodno je što kalkulator odmah nudi postupak rješavanja primjera s razlomcima, a ne samo gotov odgovor. Upravo zahvaljujući proširenom rješenju možete koristiti ovaj materijal pri rješavanju školske zadatke a radi boljeg svladavanja pređenog gradiva.
Trebate izračunati primjer:
Nakon unosa indikatora u polja obrasca dobivamo:
Za samostalan izračun unesite podatke u obrazac.
