Što znači faktorizirati? Kako to učiniti? Što se može naučiti rastavljanjem broja na proste faktore? Odgovori na ova pitanja ilustrirani su konkretnim primjerima.

Definicije:

Prost broj je broj koji ima točno dva različita djelitelja.

Složeni broj je broj koji ima više od dva djelitelja.

razgraditi se prirodni broj na faktore znači prikazati ga kao umnožak prirodnih brojeva.

Rastaviti prirodni broj na proste faktore znači prikazati ga kao umnožak prostih brojeva.

Bilješke:

• U proširenju prostog broja jedan od faktora je jednak jedan, a drugi je jednak samom tom broju.
• O rastavljanju jedinstva na faktore nema smisla govoriti.
• Složeni broj može se rastaviti na faktore od kojih je svaki različit od 1.

	Rastavimo broj 150 na faktore. Na primjer, 150 je 15 puta 10. 15 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 2. Zapisujući njihova razlaganja na proste faktore umjesto na 15 i 10, dobili smo rastavljanje broja 150.
	Broj 150 može se rastaviti na druge načine. Na primjer, 150 je umnožak brojeva 5 i 30. 5 je prost broj. 30 je složeni broj. Može se predstaviti kao proizvod 10 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 2. Rastavljanje broja 150 na proste faktore dobili smo na drugačiji način.
	Imajte na umu da su prvo i drugo proširenje iste. Razlikuju se samo po redoslijedu množitelja. Uobičajeno je da se faktori pišu uzlaznim redoslijedom.
Bilo koji složeni broj može se rastaviti na proste faktore na jedinstven način do reda faktora.

Kad se razgradi velike brojke za proste faktore koristite zapis stupca:

	Najmanji prosti broj s kojim je djeljiv 216 je 2. Podijelimo 216 s 2. Dobit ćemo 108.
	Dobiveni broj 108 djeljiv je s 2. Napravimo podjelu. Kao rezultat dobivamo 54.
	Prema testu djeljivosti s 2, broj 54 djeljiv je s 2. Nakon dijeljenja dobivamo 27.
	Broj 27 završava neparnim brojem 7. To Nije djeljiv s 2. Sljedeći prosti broj je 3. Podijelimo 27 s 3. Dobijemo 9. Najmanji prosti broj Broj s kojim je 9 djeljiv je 3. Tri je sam glavni broj, djeljiva je sama sa sobom i s jedinicom. Podijelimo 3 sami sa sobom. Kao rezultat, dobili smo 1.

• Broj je djeljiv samo onim prostim brojevima koji su dio njegove dekompozicije.
• Broj je djeljiv samo onim složenim brojevima čije je rastavljanje na proste faktore u njemu potpuno sadržano.

Razmotrite primjere:

	4900 je djeljiv s prostim brojevima 2, 5 i 7 (oni su uključeni u proširenje broja 4900), ali nije djeljiv, primjerice, s 13.
	11 550 75. To je tako jer je proširenje broja 75 u potpunosti sadržano u proširenju broja 11550. Rezultat dijeljenja bit će umnožak faktora 2, 7 i 11. 11550 nije djeljivo s 4 jer postoji dodatno 2 u proširenju 4.

Nađite kvocijent dijeljenja broja a s brojem b, ako se ti brojevi rastave na proste faktore kako slijedi a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Rastavljanje broja b u potpunosti je sadržano u rastavljanju broja a.
	Rezultat dijeljenja a s b je umnožak tri broja preostala u proširenju a. Dakle, odgovor je: 30.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Prosvjetljenje, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za tečaj matematike 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: udžbenik Sugovornik za 5.-6 Srednja škola. - M .: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.

1. Internetski portal Matematika-na.ru ().
2. Internetski portal Math-portal.ru ().

Domaća zadaća

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. br. 127, br. 129, br. 141.
2. Ostali zadaci: br.133, br.144.

Sve počinje geometrijskom progresijom. Na prvom predavanju o seriji (vidi odjeljak 18.1. Osnovne definicije) dokazali smo da je ova funkcija zbroj niza , a niz konvergira funkciji na
. Tako,

.

Zapišimo nekoliko varijanti ove serije. Zamjena x na - x , dobivamo

prilikom zamjene x na
dobivamo

itd.; područje konvergencije svih ovih serija je isto:
.

2.
.

Sve derivacije ove funkcije u točki x =0 su jednaki
, tako serija izgleda

.

Područje konvergencije ovog niza je cijela numerička os (primjer 6 odjeljka 18.2.4.3. Polumjer konvergencije, interval konvergencije i područje konvergencije potencijskog niza), zato
na
. Kao posljedica toga, preostali član Taylorove formule
. Dakle, serija konvergira u
u bilo kojem trenutku x .

3.
.

Ova serija konvergira apsolutno za

, a njegov zbroj je stvarno jednak
. Preostali član Taylorove formule ima oblik
, gdje
ili
- ograničena funkcija, a
(ovo je uobičajeni izraz prethodnog proširenja).

4.
.

Ovo proširenje se može dobiti, kao i prethodna, uzastopnim izračunavanjem derivacija, ali mi ćemo postupiti drugačije. Razlikujmo pojam iz prethodne serije:

Konvergencija funkciji na cijeloj osi slijedi iz teorema o član-po-članom diferencijaciji potencnog niza.

5. Dokažite sami da je na cijeloj brojčanoj osi .

6.
.

Niz za ovu funkciju se zove binomni niz. Ovdje ćemo izračunati derivate.

…Maclaurin serija ima oblik

Tražimo interval konvergencije: dakle, interval konvergencije je
. Nećemo istraživati ​​preostali član i ponašanje niza na krajevima intervala konvergencije; ispada da kada
niz konvergira apsolutno u obje točke
, na
niz uvjetno konvergira u točki
i divergira u točki
, na
divergira u obje točke.

7.
.

Ovdje ćemo se poslužiti činjenicom da
. Budući da je , dakle, nakon integracije pojam po član,

Područje konvergencije ovog niza je poluinterval
, konvergencija funkciji u unutarnjim točkama slijedi iz teorema o član-po-člani integraciji niza snaga, u točki x =1 - iz kontinuiteta i funkcije i zbroja redova potencije u svim točkama, proizvoljno blizu x =1 na lijevoj strani. Imajte na umu da uzimanje x =1, naći ćemo zbroj niza .

8. Integrirajući red po član, dobivamo proširenje funkcije
. Izvršite sve izračune sami, napišite područje konvergencije.

9. Napišimo proširenje funkcije
prema formuli binomnog niza sa
: . Nazivnik
predstavljen kao dvostruki faktorijel
znači umnožak svih prirodnih brojeva iste parnosti kao , ne prelazi . Ekspanzija konvergira u funkciju za
. Pojamno integrirajući ga od 0 do x , dobivamo . Ispada da taj niz konvergira funkciji na cijelom intervalu
; na x =1 dobivamo još jedan lijepi prikaz broja :
.

18.2.6.2. Rješavanje zadataka o proširenju funkcija u niz. Većina problema u kojima je potrebno proširiti elementarnu funkciju u potencijski niz
, rješava se standardnim proširenjima. Srećom, svaka osnovna elementarna funkcija ima svojstvo koje vam to omogućuje. Razmotrimo neke primjere.

1. Rastaviti funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Serija konvergira na
.

2. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje.
. Područje konvergencije:
.

3. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Serija konvergira na
.

4. Rastaviti funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Serija konvergira na
.

5. Rastaviti funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. . Područje konvergencije
.

6. Proširite funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. Rastavljanje u niz jednostavnih racionalnih razlomaka druge vrste dobiva se počlanim diferenciranjem odgovarajućih razlaganja razlomaka prve vrste. U ovom primjeru. Nadalje, diferencijacijom po pojmovima mogu se dobiti proširenja funkcija
,
itd.

7. Rastaviti funkciju
po stupnjevima
.

Riješenje. Ako racionalni razlomak nije jednostavan, najprije se predstavlja kao zbroj prosti razlomci:
, a zatim postupite kao u primjeru 5: , gdje
.

Naravno, takav pristup nije primjenjiv, primjerice, na dekompoziciju funkcije po stupnjevima x . Ovdje, ako trebate dobiti prvih nekoliko članova Taylorovog niza, najlakši način je pronaći vrijednosti u točki x =0 traženi broj prvih izvodnica.

Ovaj mrežni kalkulator dizajniran je za rastavljanje funkcije na faktore.

Na primjer, faktorizirajte: x 2 /3-3x+12 . Zapišimo to kao x^2/3-3*x+12. Također možete koristiti ovu uslugu, gdje se svi izračuni spremaju u Word formatu.

Na primjer, rastaviti na pojmove. Zapišimo to kao (1-x^2)/(x^3+x) . Da biste vidjeli napredak rješenja, kliknite Prikaži korake . Ako trebate dobiti rezultat u Word formatu, koristite ovu uslugu.

Bilješka: broj "pi" (π) piše se kao pi ; kvadratni korijen kao sqrt , npr. sqrt(3) , tangens od tg se piše kao tan . Za odgovor pogledajte dio Alternativa.

1. Ako je dan jednostavan izraz, na primjer, 8*d+12*c*d , tada faktoriziranje izraza znači rastavljanje izraza na faktore. Da biste to učinili, morate pronaći zajedničke faktore. Ovaj izraz zapisujemo kao: 4*d*(2+3*c) .
2. Izrazi umnožak kao dva binoma: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Ovdje već treba pronaći nekoliko zajedničkih faktora: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Izvadimo (x+7z) i dobijemo: (x+7z)(x + 3y) .

vidi i Dijeljenje polinoma kutom (prikazani su svi koraci dijeljenja stupcem)

Korisna u učenju pravila faktorizacije su formule skraćenog množenja, s kojim će biti jasno kako otvoriti zagrade kvadratom:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metode faktoringa

Nakon što je naučio nekoliko trikova faktorizacija rješenja se mogu klasificirati na sljedeći način:

1. Korištenje formula za skraćeno množenje.
2. Potražite zajednički faktor.

Svaki prirodni broj osim jedan ima dva ili više djelitelja. Na primjer, broj 7 djeljiv je samo s 1 i 7 bez ostatka, odnosno ima dva djelitelja. A broj 8 ima djelitelje 1, 2, 4, 8, odnosno čak 4 djelitelja odjednom.

Koja je razlika između prostih i složenih brojeva

Brojevi koji imaju više od dva faktora nazivaju se složeni brojevi. Brojevi koji imaju samo dva djelitelja, jedan i sam broj, nazivaju se prosti brojevi.

Broj 1 ima samo jedan dio, naime sam broj. Jedinica se ne odnosi na proste ili složene brojeve.

• Na primjer, broj 7 je prost, a broj 8 je složen.

Prvih 10 prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Broj 2 je jedini paran prost broj, svi ostali prosti brojevi su neparni.

Broj 78 je složen, jer je osim sa 1 i samim sobom, djeljiv i sa 2. Kada se podijeli sa 2, dobijemo 39. Odnosno, 78 = 2 * 39. U takvim slučajevima, kaže se da je broj faktoriziran s 2 i 39.

Bilo koji složeni broj može se rastaviti na dva faktora, od kojih je svaki veći od 1. S prostim brojem takav trik neće uspjeti. Tako to ide.

Rastavljanje broja na proste faktore

Kao što je gore navedeno, bilo koji kompozitni broj može se rastaviti na dva faktora. Uzmimo, na primjer, broj 210. Ovaj broj se može rastaviti na dva faktora 21 i 10. Ali brojevi 21 i 10 su također sastavni, rastavimo ih na dva faktora. Dobivamo 10 = 2*5, 21=3*7. I kao rezultat toga, broj 210 već se razložio na 4 faktora: 2,3,5,7. Ovi brojevi su već prosti i ne mogu se rastaviti. Odnosno, rastavili smo broj 210 na proste faktore.

Kada se složeni brojevi rastavljaju na proste faktore, oni se obično pišu rastućim redoslijedom.

Treba imati na umu da se bilo koji složeni broj može rastaviti na proste faktore i štoviše na jedinstven način, do permutacije.

• Obično se pri rastavljanju broja na proste faktore koriste znakovi djeljivosti.

Rastavimo broj 378 na proste faktore

Napisat ćemo brojeve odvajajući ih okomitom crtom. Broj 378 djeljiv je s 2 jer završava s 8. Dijeljenjem dobivamo broj 189. Zbroj znamenki broja 189 djeljiv je s 3, što znači da je i sam broj 189 djeljiv s 3. Kako rezultat, dobivamo 63.

Broj 63 također je djeljiv s 3, na temelju djeljivosti. Dobivamo 21, broj 21 opet možemo podijeliti s 3, dobivamo 7. Sedmica je djeljiva samo sa sobom, dobivamo jedinicu. Time je podjela završena. Desno iza retka dobili smo proste faktore na koje je rastavljen broj 378.

378|2
189|3
63|3
21|3