ऑनलाइन कैलकुलेटर लाइनों के बीच के कोण का पता लगाएं। समतलों के बीच का कोण ज्ञात करना (द्विफलक कोण)। दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो तेज़ कोनेइन पंक्तियों के बीच परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर होती हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक होते हैं। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया बिंदु

इस लाइन के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया जाता है, तो रेखा Ax + Vy + C \u003d 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; = पी /4।

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। के =। फिर वाई =। इसलिये ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण है जिसके द्वारा पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

आप = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तो उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्न के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सीधी रेखा के समीकरण दिए गए हैं सामान्य दृष्टि से

ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनकी समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

ख) उस स्थिति के लिए जब रेखाएँ समीकरणों द्वारा सामान्य रूप (6) में दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

क) उस स्थिति में जब रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात।

इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

b) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनके लंबवत (आवश्यक और पर्याप्त) के लिए शर्त समानता को पूरा करना है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक समीकरणों के निकाय (6) को हल करके ज्ञात किए जाते हैं। रेखाएँ (6) प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक समांतर है और दूसरी दी गई रेखा l के लंबवत है।

कार्य 1

$\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ और $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो पंक्तियाँ हैं: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ और $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. हम अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनते हैं और इसके माध्यम से डेटा के समानांतर दो सहायक रेखाएँ खींचते हैं। दी गई रेखाओं के बीच का कोण दोनों में से कोई एक है आसन्न कोनेसहायक लाइनों द्वारा गठित। रेखाओं के बीच के कोणों में से किसी एक की कोज्या से पाई जा सकती है प्रसिद्ध सूत्र$\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) +p_(1) \cdot p_(2) )(\sqrt(m_(1)) ^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2)^(2) +n_(2)^(2) +p_(2) ^(2) ) $. यदि मान $\cos \phi >0$, तो रेखाओं के बीच एक न्यून कोण प्राप्त होता है, यदि $\cos \phi

पहली पंक्ति के विहित समीकरण: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $।

दूसरी सीधी रेखा के विहित समीकरण पैरामीट्रिक से प्राप्त किए जा सकते हैं:

\ \ \

इस प्रकार, इस रेखा के विहित समीकरण हैं: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $।

हम गणना करते हैं:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ लेफ्ट(-3\राइट)^(2) +4^(2)) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \लगभग 0.9449.\]

टास्क 2

पहली पंक्ति गुजरती है दिए गए अंक$A\बाएं(2,-4,-1\दाएं)$ और $B\बाएं(-3,5,6\दाएं)$, दूसरी पंक्ति दिए गए बिंदुओं के माध्यम से है $C\बाएं(1,-2 , 8\दाएं)$ और $D\बाएं(6,7,-2\दाएं)$। इन रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि कोई रेखा रेखा $AB$ और $CD$ के लंबवत है और उन्हें क्रमशः $M$ और $N$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। इन शर्तों के तहत, $MN$ खंड की लंबाई $AB$ और $CD$ लाइनों के बीच की दूरी के बराबर है।

हम वेक्टर $\overline(AB)$ बनाते हैं:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \बाएं(6-\बाएं(-1\दाएं)\दाएं)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

रेखा के बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड को बिंदु $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ लाइन $AB$ से गुजरने दें।

हम वेक्टर $\overline(AM)$ बनाते हैं:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ बार(j)+\बाएं(z_(एम) -\बाएं(-1\दाएं)\दाएं)\cdot \bar(k)=\] \[=\बाएं(x_(एम) -2\दाएं)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

सदिश $\overline(AB)$ और $\overline(AM)$ समान हैं, इसलिए वे संरेख हैं।

यह ज्ञात है कि यदि वैक्टर $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ और $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ संरेख हैं, तो उनके निर्देशांक आनुपातिक हैं, तो है $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it) y)_((\it 1))) =\frac(z_((\it 2))) ((\it z)_((\it 1))) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, जहां $m $ विभाजन का परिणाम है।

यहाँ से हमें मिलता है: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(एम) +1=7\cdot m$।

अंत में, हम बिंदु $M$ के निर्देशांक के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

हम $\overline(CD)$ वेक्टर बनाते हैं:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ लेफ्ट (-2-8\राइट)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

रेखाओं के बीच की दूरी को दर्शाने वाले खंड को $CD$ रेखा पर बिंदु $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ से गुजरने दें।

हम वेक्टर $\overline(CN)$ का निर्माण करते हैं:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ बार(j)+\बाएं(z_(N) -8\दाएं)\cdot \bar(k)=\] \[=\बाएं(x_(N) -1\दाएं)\cdot \bar(i)+ \बाएं(y_(N) +2\दाएं)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

सदिश $\overline(CD)$ और $\overline(CN)$ समान हैं, इसलिए वे संरेख हैं। हम संरेखीय सदिशों की शर्त लागू करते हैं:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8(-10) =n$ जहां $n $ विभाजन का परिणाम है।

यहाँ से हमें मिलता है: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$।

अंत में, हम बिंदु $N$ के निर्देशांक के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

हम $\overline(MN)$ वेक्टर बनाते हैं:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\बाएं(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]

हम $M$ और $N$ के निर्देशांक के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) एम\दाएं)\दाएं)\cdot \bar(k).\]

चरणों को पूरा करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

चूँकि रेखाएँ $AB$ और $MN$ लंबवत हैं, संबंधित वैक्टर का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, अर्थात $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ लेफ्ट (9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

चरणों को पूरा करने के बाद, हमें $m$ और $n$ निर्धारित करने के लिए पहला समीकरण मिलता है: $155\cdot m+14\cdot n=86$।

चूँकि रेखाएँ $CD$ और $MN$ लंबवत हैं, संबंधित वैक्टर का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, अर्थात $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

चरणों को पूरा करने के बाद, हम $m$ और $n$ निर्धारित करने के लिए दूसरा समीकरण प्राप्त करते हैं: $14\cdot m+206\cdot n=77$।

समीकरणों की प्रणाली को हल करके $m$ और $n$ खोजें $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ सीडीओटी एन = 77) \ अंत (सरणी) \ दाएं। $।

हम क्रैमर विधि लागू करते हैं:

अंक $M$ और $N$ के निर्देशांक खोजें:

\ \

आखिरकार:

अंत में, हम वेक्टर $\overline(MN)$ लिखते हैं:

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\बाएं (4,618-2,6701\दाएं)\cdot \bar(k)$ या $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \ बार (के) $।

$AB$ और $CD$ के बीच की दूरी वेक्टर की लंबाई है $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ लगभग 3.8565$ लिन। इकाइयों

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह ... ठीक है, यह छोटा है, जैसे कि आप खुद को वाक्य पढ़ते हैं =) हालांकि, फिर विश्राम मदद करेगा, खासकर आज से मैंने उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं एक हंसमुख मूड रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो पंक्तियाँ कर सकते हैं:

1) मैच;

2) समानांतर हो: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

डमी के लिए सहायता : कृपया चौराहे के गणितीय चिन्ह को याद रखें, यह बहुत बार होगा। प्रवेश का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो पंक्तियों की आपेक्षिक स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक समानुपाती हों, यानी ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है कि समानताएं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरणों की रचना करें: . प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ये रेखाएँ संपाती होती हैं।

वास्तव में, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांकों को 2 से कम करें, आपको समान समीकरण मिलता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि चरों पर उनके गुणांक समानुपाती हों: , लेकिन.

एक उदाहरण के रूप में, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालांकि, यह स्पष्ट है कि .

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि चर के उनके गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, यानी "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मूल्य नहीं है कि समानताएं पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह इस प्रकार है कि , और दूसरे समीकरण से: , इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चरों पर गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, केवल विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह कोलिनियरिटी के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथ्म के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था। वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वेक्टर आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेज है:

उदाहरण 1

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अध्ययन पर आधारित:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश पाते हैं: .

, इसलिए सदिश संरेखी नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस मामले में, मैं चौराहे पर पॉइंटर्स के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द डेथलेस =)

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं में एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहां निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस तरह,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता कारक "लैम्ब्डा" कोलाइनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आमतौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप कुछ ही सेकंड में मौखिक रूप से विचार की गई समस्या को हल करना सीखेंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ देने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर एक रेखा कैसे खींचे?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, कोकिला डाकू कड़ी सजा देता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि रेखा "सी" का निर्देशन वेक्टर भी रेखा "ते" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं में एक ही दिशा सदिश है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो सदिश संरेख होगा)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से बहुत से लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएं बिना किसी आरेखण के समानांतर कैसे होती हैं।

स्वयं को सुलझाने के उदाहरण आज रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

रेखा के समांतर किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखिए यदि

हल करने का एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत तरीका नहीं है। पाठ के अंत में सबसे छोटा रास्ता है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। मेल खाने वाली रेखाओं का मामला कम रुचि का है, इसलिए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो आपको अच्छी तरह से पता हो स्कूल के पाठ्यक्रम:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल होते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

यह आप के लिए है ज्यामितीय अर्थदो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणालीएक समतल पर दो प्रतिच्छेद (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

ग्राफिकल तरीकाबस दी गई रेखाएँ खींचना है और आरेखण से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना है:

यहाँ हमारी बात है:। जाँच करने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में स्थानापन्न करना चाहिए, वे वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। वास्तव में, हमने हल करने का एक ग्राफिकल तरीका माना रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह से निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, चौराहे के बिंदु की तलाश करना अधिक समीचीन है विश्लेषणात्मक विधि. आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के पदवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को पूरा करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य को आसानी से कई चरणों में विभाजित किया जा सकता है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

एक्शन एल्गोरिथम का विकास कई लोगों के लिए विशिष्ट है ज्यामितीय समस्याएं, और मैं इस पर बार-बार ध्यान केंद्रित करूंगा।

पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर:

जूते की एक जोड़ी अभी तक खराब नहीं हुई है, जैसा कि हमें पाठ के दूसरे भाग में मिला है:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री की हो जाएगी:

किसी दी गई रेखा के लंबवत रेखा कैसे खींचना है?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: यह अनुमान से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, इसलिए चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

हम्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिश निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान बिंदु को बिंदु से व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम कम से कम रास्ते में उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आंदोलन होगा। अर्थात् एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "एम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात करें

समाधान: आपको केवल संख्याओं को सूत्र में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना है और गणना करना है:

उत्तर:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर होती है। यदि आप चेकर पेपर पर 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 सेल), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी ड्राइंग के अनुसार दूसरे कार्य पर विचार करें:

कार्य बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा का पता लगाएं जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य के निर्देशांक और सिरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

गणना में कठिनाइयाँ यहाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप गिन सकते हैं सामान्य भिन्न. कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के असीमित तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग करते हुए, लेकिन बेहतर होगा कि आप अपने लिए अनुमान लगाने का प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

जो भी कोना है, फिर जाम:

ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटे कोण के रूप में लिया जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी or विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से कोई भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉलिंग" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, ऋणात्मक कोण को ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ।

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा के साथ प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाते हैं, उनमें एक नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण कोई बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानतथा विधि एक

दो पंक्तियों पर विचार करें समीकरणों द्वारा दिया गयासामान्य रूप में:

अगर सीधा लंबवत नहीं, फिर उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए भाजक पर पूरा ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि , तो सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए फॉर्मूलेशन में लाइनों की गैर-लंबवतता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

का उपयोग करके उलटा काम करनाकोने को खुद ढूंढना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (अंजीर देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा होती है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू होता है।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं को स्वैप करने की आवश्यकता है, अर्थात, दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .

मैं संक्षिप्त रहूंगा। दो रेखाओं के बीच का कोण कोण के बराबरउनके दिशा वैक्टर के बीच। इस प्रकार, यदि आप दिशा वैक्टर a \u003d (x 1; y 1; z 1) और b \u003d (x 2; y 2; z 2) के निर्देशांक खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो आप कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र के अनुसार कोण की कोज्या:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे काम करता है:

एक कार्य। अंक ई और एफ को क्रमशः एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1 में चिह्नित किया गया है। रेखा AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूंकि घन का किनारा निर्दिष्ट नहीं है, हम AB = 1 सेट करते हैं। हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु A पर है, और x, y, z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के साथ निर्देशित होते हैं। . इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। अब आइए अपनी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

सदिश AE के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हमें अंक ए = (0; 0; 0) और ई = (0.5; 0; 1) की आवश्यकता है। चूंकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर AE की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसलिए AE = (0.5; 0; 1)।

अब बीएफ वेक्टर से निपटते हैं। इसी प्रकार, हम बिंदुओं B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) का विश्लेषण करते हैं, क्योंकि एफ - खंड बी 1 सी 1 के बीच में। हमारे पास है:
बीएफ = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)।

तो, दिशा वैक्टर तैयार हैं। रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है, इसलिए हमारे पास है:

एक कार्य। एक नियमित त्रिभुज प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु D और E अंकित हैं - किनारों के मध्य बिंदु क्रमशः A 1 B 1 और B 1 C 1, हैं। रेखा AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स-अक्ष एबी के साथ निर्देशित है, जेड - एए 1 के साथ। हम y अक्ष को इस प्रकार निर्देशित करते हैं कि OXY तल ABC तल के साथ संपाती हो। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। वांछित रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए AD वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: ए = (0; 0; 0) और डी = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - खंड ए 1 बी 1 के बीच में। चूँकि सदिश AD की शुरुआत मूल बिंदु से मेल खाती है, हमें AD = (0.5; 0; 1) मिलता है।

अब आइए सदिश BE के निर्देशांक ज्ञात करें। प्वाइंट बी = (1; 0; 0) की गणना करना आसान है। बिंदु ई के साथ - खंड सी 1 बी 1 के मध्य - थोड़ा और कठिन। हमारे पास है:

यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

एक कार्य। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक के और एल चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1, क्रमश। रेखा AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: हम निचले आधार के केंद्र में निर्देशांक की उत्पत्ति रखते हैं, एफसी के साथ एक्स-अक्ष को निर्देशित करते हैं, वाई-अक्ष सेगमेंट एबी और डीई के मध्य बिंदुओं के माध्यम से, और जेड-अक्ष लंबवत ऊपर की ओर। इकाई खंड फिर से AB = 1 के बराबर है। आइए हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AK और BL के निर्देशांक पाते हैं:

आइए अब कोण की कोज्या ज्ञात करें:

एक कार्य। एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर होते हैं, E और F को चिह्नित किया जाता है - क्रमशः SB और SC की भुजाओं के मध्य बिंदु। रेखा AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स और वाई अक्ष क्रमशः एबी और एडी के साथ निर्देशित हैं, और जेड अक्ष लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अंक ई और एफ क्रमशः एसबी और एससी खंडों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। हम अपने लिए रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखते हैं:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)

बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AE और BF के निर्देशांक पाते हैं:

सदिश AE के निर्देशांक बिंदु E के निर्देशांकों से मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु A मूल बिंदु है। यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

लेख विमानों के बीच के कोण को खोजने के बारे में बात करता है। परिभाषा लाने के बाद, हम एक ग्राफिक चित्रण सेट करेंगे, विधि द्वारा निर्देशांक खोजने के लिए एक विस्तृत विधि पर विचार करें। हम समतलों को प्रतिच्छेद करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं, जिसमें निर्देशांक शामिल होते हैं सामान्य वैक्टर.

सामग्री डेटा और अवधारणाओं का उपयोग करेगी जो पहले विमान और अंतरिक्ष में रेखा के बारे में लेखों में अध्ययन किए गए थे। आरंभ करने के लिए, तर्क पर आगे बढ़ना आवश्यक है जो किसी को दो प्रतिच्छेदन विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए एक निश्चित दृष्टिकोण की अनुमति देता है।

दो प्रतिच्छेदी तल 1 और 2 दिए गए हैं। उनका चौराहा पदनाम c लेगा। समतल का निर्माण इन विमानों के प्रतिच्छेदन से जुड़ा है। विमान χ बिंदु M से सीधी रेखा c के रूप में गुजरता है। समतल 1 और γ 2 को तल का उपयोग करके प्रतिच्छेद किया जाएगा। हम रेखा के पदनामों को स्वीकार करते हैं जो रेखा a के लिए 1 और को प्रतिच्छेद करते हैं, और रेखा b के लिए 2 और को प्रतिच्छेद करते हैं। हम पाते हैं कि रेखाओं a और b का प्रतिच्छेदन बिंदु M देता है।

बिंदु M का स्थान प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच के कोण को प्रभावित नहीं करता है, और बिंदु M उस रेखा c पर स्थित है जिससे होकर समतल गुजरता है।

एक समतल 1 रेखा c पर लंबवत और समतल χ से भिन्न बनाना आवश्यक है। 1 की सहायता से विमानों γ 1 और γ 2 का प्रतिच्छेदन रेखाओं a 1 और b 1 का पदनाम लेगा।

यह देखा जा सकता है कि और χ 1 की रचना करते समय, रेखाएँ a और b रेखा c पर लंबवत होती हैं, तो a 1, b 1 रेखा c पर लंबवत होती हैं। समतल γ 1 में रेखा c के लंबवतता के साथ रेखाएँ a और a 1 ढूँढना, तब उन्हें समानांतर माना जा सकता है। इसी प्रकार, रेखा c के लंबवतता के साथ समतल γ 2 में b और b 1 का स्थान उनके समांतरता को दर्शाता है। इसका मतलब यह है कि विमान 1 से के समानांतर स्थानांतरण करना आवश्यक है, जहां हमें दो मिलती-जुलती रेखाएं a और a 1, b और b 1 मिलती हैं। हम पाते हैं कि प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b 1 के बीच का कोण प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के कोण के बराबर है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यह निर्णय इस तथ्य से सिद्ध होता है कि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच एक कोण है जो बिंदु M के स्थान पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात प्रतिच्छेदन बिंदु। ये रेखाएँ 1 और γ 2 तलों में स्थित हैं। वास्तव में, परिणामी कोण को दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण के रूप में माना जा सकता है।

आइए मौजूदा प्रतिच्छेद करने वाले विमानों γ 1 और γ 2 के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

परिभाषा 1

दो प्रतिच्छेदी तलों 1 और 2 . के बीच का कोणरेखा a और b के प्रतिच्छेदन से बनने वाले कोण को कॉल करें, जहाँ समतल 1 और γ 2 समतल से रेखा c के लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

परिभाषा किसी अन्य रूप में प्रस्तुत की जा सकती है। समतल 1 और γ 2 के चौराहे पर, जहाँ c वह रेखा है जिस पर वे प्रतिच्छेद करते हैं, बिंदु M को चिह्नित करें, जिसके माध्यम से रेखाएँ a और b खींचे, रेखा c के लंबवत और समतल γ 1 और γ 2 में स्थित हों , तो रेखाओं a और b के बीच का कोण तलों के बीच का कोण होगा। व्यवहार में, यह विमानों के बीच एक कोण के निर्माण पर लागू होता है।

प्रतिच्छेदन पर एक कोण बनता है जिसका मान 90 डिग्री से कम होता है, अर्थात कोण का अंश माप इस प्रकार के अंतराल (0, 90] पर मान्य होता है। साथ ही, इन विमानों को लंबवत कहा जाता है। यदि चौराहे पर एक समकोण बनता है तो समानांतर विमानों के बीच के कोण को शून्य के बराबर माना जाता है।

प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने का सामान्य तरीका अतिरिक्त निर्माण करना है। यह इसे सटीकता के साथ निर्धारित करने में मदद करता है, और यह कोण के त्रिकोण, साइन, कोसाइन की समानता या समानता के संकेतों का उपयोग करके किया जा सकता है।

ब्लॉक सी 2 की एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं से एक उदाहरण का उपयोग करके समस्याओं को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 1

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज ए बी सी डी ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 दिया गया है, जहां पक्ष ए बी \u003d 2, ए डी \u003d 3, ए ए 1 \u003d 7, बिंदु ई पक्ष ए ए 1 को 4: 3 के अनुपात में अलग करता है। समतल A B C और B E D 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

स्पष्टता के लिए, आपको एक चित्र बनाने की आवश्यकता है। हमें वह मिलता है

विमानों के बीच के कोण के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए एक दृश्य प्रतिनिधित्व आवश्यक है।

हम एक सीधी रेखा की परिभाषा बनाते हैं जिसके साथ विमान ए बी सी और बी ई डी 1 प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु B एक सामान्य बिंदु है। चौराहे का एक और सामान्य बिंदु खोजा जाना चाहिए। रेखाओं D A और D 1 E पर विचार करें, जो एक ही तल A D D 1 में स्थित हैं। उनका स्थान समानता का संकेत नहीं देता है, जिसका अर्थ है कि उनके पास एक सामान्य प्रतिच्छेदन बिंदु है।

हालाँकि, रेखा D A समतल A B C में स्थित है, और D 1 E B E D 1 में स्थित है। इसलिए हम पाते हैं कि रेखाएँ डी एतथा डी 1 ईप्रतिच्छेदन का एक उभयनिष्ठ बिंदु है, जो समतलों A B C और B E D 1 के लिए भी उभयनिष्ठ है। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को इंगित करता है डी एऔर डी 1 ई पत्र एफ. यहाँ से हम पाते हैं कि B F एक सीधी रेखा है जिसके साथ समतल A B C और B E D 1 प्रतिच्छेद करते हैं।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

एक उत्तर प्राप्त करने के लिए, समतल A B C और B E D 1 में स्थित सीधी रेखाओं का निर्माण करना आवश्यक है, जो रेखा B F पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। फिर इन रेखाओं के बीच के परिणामी कोण को विमानों A B C और B E D 1 के बीच वांछित कोण माना जाता है।

इससे यह देखा जा सकता है कि बिंदु A, बिंदु E का समतल A B C पर प्रक्षेपण है। रेखा B F को बिंदु M पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा खींचना आवश्यक है। यह देखा जा सकता है कि रेखा ए एम उन लंबवत ए एम ⊥ बी एफ के प्रमेय के आधार पर विमान ए बी सी पर लाइन ई एम का प्रक्षेपण है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

A M E तलों A B C और B E D 1 द्वारा निर्मित वांछित कोण है। परिणामी त्रिभुज A E M से हम उस कोण की ज्या, कोज्या या स्पर्शरेखा ज्ञात कर सकते हैं, जिसके बाद कोण स्वयं, केवल इसकी दो ज्ञात भुजाओं के साथ। शर्त के अनुसार, हमारे पास ए ई की लंबाई इस तरह पाई जाती है: रेखा ए ए 1 को बिंदु ई द्वारा 4: 3 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि रेखा की कुल लंबाई 7 भाग है, फिर ए ई \u003d 4 भाग। हम पाते हैं ए.एम.

विचार करने की आवश्यकता है सही त्रिकोणए बी एफ। हमारे पास एक समकोण A है जिसकी ऊँचाई A M है। स्थिति A B \u003d 2 से, तो हम त्रिभुज D D 1 F और A E F की समानता से लंबाई A F पा सकते हैं। हम पाते हैं कि ए ई डी डी 1 = ए एफ डी एफ ⇔ ए ई डी डी 1 = ए एफ डी ए + ए एफ ⇒ 4 7 = ए एफ 3 + ए एफ ⇔ ए एफ = 4

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज A B F से भुजा B F की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। हम पाते हैं कि B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 । A M भुजा की लंबाई त्रिभुज A B F के क्षेत्रफल से होकर ज्ञात की जाती है। हमारे पास यह है कि क्षेत्रफल S A B C = 1 2 · A B · A F, और S A B C = 1 2 · B F · A M दोनों के बराबर हो सकता है।

हम पाते हैं कि ए एम = ए बी ए एफ बी एफ = 2 4 2 5 = 4 5 5

तब हम त्रिभुज A E M के कोण की स्पर्श रेखा का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें प्राप्त होता है:

टी जी ∠ ए एम ई = ए ई ए एम = 4 4 5 5 = 5

समतल A B C और B E D 1 के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त वांछित कोण a r c t g 5 के बराबर है, फिर, सरलीकृत होने पर, हमें a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 मिलता है।

उत्तर: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 ।

प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच कोण ज्ञात करने के कुछ मामले का उपयोग करके दिए गए हैं कार्तिकये निर्देशांक x y z और निर्देशांक विधि के बारे में। आइए अधिक विस्तार से विचार करें।

यदि कोई समस्या दी जाती है जहाँ प्रतिच्छेद करने वाले विमानों γ 1 और γ 2 के बीच के कोण को खोजना आवश्यक है, तो हम वांछित कोण को α से निरूपित करते हैं।

तब दी गई निर्देशांक प्रणाली दर्शाती है कि हमारे पास प्रतिच्छेद करने वाले तलों 1 और 2 के अभिलंब सदिशों के निर्देशांक हैं। तब हम निरूपित करते हैं कि n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z समतल γ 1 का एक प्रसामान्य सदिश है, और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - के लिए विमान 2। सदिशों के निर्देशांकों के अनुसार इन तलों के बीच स्थित कोण की विस्तृत खोज पर विचार करें।

सीधी रेखा को निर्दिष्ट करना आवश्यक है जिसके साथ विमान 1 और γ 2 अक्षर c के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। रेखा पर हमारे पास एक बिंदु M है, जिसके माध्यम से हम एक विमान χ खींचते हैं, जो c के लंबवत है। तल χ रेखा a और b के अनुदिश, समतल γ 1 और 2 को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है। इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रतिच्छेदी तलों 1 और γ 2 के बीच का कोण क्रमशः इन तलों से संबंधित प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के कोण के बराबर है।

तल में, हम बिंदु M से अभिलंब सदिशों को अलग रखते हैं और उन्हें n 1 → और n 2 → निरूपित करते हैं। वेक्टर n 1 → रेखा a के लंबवत रेखा पर स्थित है, और वेक्टर n 2 → रेखा b के लंबवत रेखा पर स्थित है। यहाँ से हम पाते हैं कि दिए गए समतल में सीधी रेखा का एक सामान्य सदिश a है जो n 1 → के बराबर है और सीधी रेखा b के लिए n 2 → के बराबर है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यहाँ से हमें एक सूत्र प्राप्त होता है जिसके द्वारा हम सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करके प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के कोण की ज्या की गणना कर सकते हैं। हमने पाया कि रेखा a और b के बीच के कोण की कोज्या वही है जो प्रतिच्छेद करने वाले तलों 1 और γ 2 के बीच की कोज्या को cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n सूत्र से व्युत्पन्न किया गया है। 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , जहां हमारे पास वह n 1 → = है (n 1 x , n 1 y , n 1 z) और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) निरूपित तलों के सदिशों के निर्देशांक हैं।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

उदाहरण 2

शर्त के अनुसार, एक समानांतर चतुर्भुज D A 1 B 1 C 1 D 1 दिया जाता है , जहां ए बी \u003d 2, ए डी \u003d 3, ए ए 1 \u003d 7, और बिंदु ई पक्ष ए ए 1 4: 3 को अलग करता है। समतल A B C और B E D 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

यह इस स्थिति से देखा जा सकता है कि इसकी भुजाएँ जोड़ीदार लंबवत हैं। इसका मतलब यह है कि एक समन्वय प्रणाली O x y z को बिंदु C पर एक शीर्ष के साथ शुरू करना और अक्षों O x, O y, O z को समन्वयित करना आवश्यक है। दिशा को उपयुक्त पक्षों पर रखना आवश्यक है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

इंटरसेक्टिंग प्लेन ए बी सीतथा बी ई डी 1एक कोण बनाएं, जो सूत्र 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 द्वारा ज्ञात किया जा सकता है, जहां n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) इन तलों के प्रसामान्य सदिश हैं। निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है। आकृति से, हम देखते हैं कि निर्देशांक अक्ष O x y समतल A B C में संपाती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य वेक्टर k → के निर्देशांक मान n 1 → = k → = (0, 0, 1) के बराबर हैं।

विमान बी ई डी 1 का सामान्य वेक्टर बी ई → और बी डी 1 → का वेक्टर उत्पाद है, जहां उनके निर्देशांक निर्देशांक द्वारा पाए जाते हैं चरम बिंदुबी, ई, डी 1, जो समस्या की स्थिति के आधार पर निर्धारित होते हैं।

हम पाते हैं कि B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) । क्योंकि A E E A 1 = 4 3, बिंदुओं A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 के निर्देशांक से हम E 2 , 3 , 4 पाते हैं। हम पाते हैं कि B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 जे → - 6 के → एन 2 → = (12, - 6, - 6)

चाप कोसाइन के माध्यम से कोण की गणना के लिए सूत्र में पाए गए निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम पाते हैं

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

समन्वय विधि एक समान परिणाम देती है।

उत्तर:एक आर सी कॉस 6 6 .

विमानों के उपलब्ध ज्ञात समीकरणों के साथ प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए अंतिम समस्या पर विचार किया जाता है।

उदाहरण 3

कोण की ज्या, कोज्या और दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बने कोण के मान की गणना कीजिए, जो O x y z निर्देशांक प्रणाली में परिभाषित हैं और समीकरण 2 x - 4 y + z + 1 = 0 और 3 y द्वारा दिए गए हैं - जेड - 1 = 0।

समाधान

किसी विषय का अध्ययन करते समय सामान्य समीकरण A x + B y + C z + D = 0 के रूप की रेखा से पता चला कि A, B, C सामान्य वेक्टर के निर्देशांक के बराबर गुणांक हैं। अत: n 1 → = 2 , - 4 , 1 और n 2 → = 0 , 3 , - 1 दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिश हैं।

प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के वांछित कोण की गणना के लिए विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक को सूत्र में बदलना आवश्यक है। तब हमें वह मिलता है

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

अतः हमारे पास यह है कि कोण की कोज्या cos α = 13 210 का रूप लेती है। तब प्रतिच्छेदी रेखाओं का कोण अधिक नहीं होता है। में प्रतिस्थापित करना त्रिकोणमितीय पहचान, हम पाते हैं कि कोण की ज्या का मान व्यंजक के बराबर होता है। हम गणना करते हैं और उसे प्राप्त करते हैं

पाप α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

उत्तर: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210।

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