भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियम बहुत सरल हैं।

चरणों में भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियमों पर विचार करें:

1. हर के एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) का पता लगाएं। परिणामी LCM भिन्नों का सामान्य हर होगा;

2. भिन्नों को एक समान हर में लाएँ;

3. एक सामान्य हर में घटाई गई भिन्नों को जोड़ें।

पर सरल उदाहरणभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने का तरीका जानें।

उदाहरण

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने का एक उदाहरण।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें:

1	+	5
6		12

आइए कदम से कदम तय करें।

1. हर के एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) का पता लगाएं।

संख्या 12 6 से विभाज्य है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 12 संख्याओं 6 और 12 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर: अंक 6 और 12 का अंक 12 है:

एलसीएम (6, 12) = 12

परिणामी एनओसी दो भिन्नों 1/6 और 5/12 का सामान्य हर होगा।

2. भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

हमारे उदाहरण में, केवल पहले अंश को 12 के एक सामान्य भाजक तक कम करने की आवश्यकता है, क्योंकि दूसरे अंश में पहले से ही 12 का हर है।

12 के आम भाजक को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें:

2 में एक अतिरिक्त गुणक है।

पहले भिन्न (1/6) के अंश और हर को 2 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

भिन्न $\frac63$ पर विचार करें। इसका मान 2 है, क्योंकि $\frac63 =6:3 = 2$। यदि अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए तो क्या होगा? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. जाहिर है, भिन्न का मान नहीं बदला है, इसलिए $\frac(12)(6)$ भी 2 के बराबर y है। अंश और हर को गुणा करें 3 से और $\frac(18)(9)$, या 27 से प्राप्त करें और $\frac(162)(81)$ या 101 से प्राप्त करें और $\frac(606)(303)$ प्राप्त करें। इनमें से प्रत्येक स्थिति में, अंश को हर से भाग देने पर प्राप्त होने वाली भिन्न का मान 2 होता है। इसका अर्थ है कि यह परिवर्तित नहीं हुआ है।

अन्य भिन्नों के मामले में भी यही पैटर्न देखा जाता है। यदि भिन्न $\frac(120)(60)$ (2 के बराबर) के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जाता है ($\frac(60)(30)$ का परिणाम), या 3 से ($\ का परिणाम) frac(40)(20) $), या 4 से ($\frac(30)(15)$ का परिणाम) और इसी तरह, फिर प्रत्येक मामले में भिन्न का मान अपरिवर्तित रहता है और 2 के बराबर होता है।

यह नियम उन भिन्नों पर भी लागू होता है जो समान नहीं हैं। पूरा नंबर.

यदि भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए, तो हमें $\frac(2)(6)$ प्राप्त होता है, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदला है। और वास्तव में, यदि आप केक को 3 भागों में विभाजित करते हैं और उनमें से एक लेते हैं, या इसे 6 भागों में विभाजित करते हैं और 2 भाग लेते हैं, तो आपको दोनों मामलों में समान मात्रा में पाई मिलेगी। इसलिए, संख्या $\frac(1)(3)$ और $\frac(2)(6)$ समान हैं। आइए एक सामान्य नियम तैयार करें।

किसी भी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, और भिन्न का मान नहीं बदलता है।

यह नियम बहुत उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यह कुछ मामलों में अनुमति देता है, लेकिन हमेशा नहीं, बड़ी संख्या में संचालन से बचने के लिए।

उदाहरण के लिए, हम अंश $\frac(126)(189)$ के अंश और हर को 63 से विभाजित कर सकते हैं और अंश $\frac(2)(3)$ प्राप्त कर सकते हैं जो कि गणना करना बहुत आसान है। एक और उदाहरण। हम भिन्न $\frac(155)(31)$ के अंश और हर को 31 से विभाजित कर सकते हैं और 5:1=5 से भिन्न $\frac(5)(1)$ या 5 प्राप्त कर सकते हैं।

इस उदाहरण में, हमने पहली बार सामना किया एक भिन्न जिसका हर 1 . है. इस तरह के अंश गणना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यह याद रखना चाहिए कि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित किया जा सकता है और उसका मान नहीं बदलेगा। अर्थात्, $\frac(273)(1)$ 273 के बराबर है; $\frac(509993)(1)$ 509993 के बराबर है और इसी तरह। इसलिए, हमें संख्याओं को से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ऐसे भिन्नों के साथ, जिनका हर 1 के बराबर है, आप अन्य सभी भिन्नों के समान अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$।

आप पूछ सकते हैं कि एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने का क्या उपयोग है, जिसकी एक इकाई बार के नीचे होगी, क्योंकि यह एक पूर्णांक के साथ काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। लेकिन तथ्य यह है कि एक पूर्णांक का एक भिन्न के रूप में प्रतिनिधित्व हमें विभिन्न क्रियाओं को अधिक कुशलता से करने का अवसर देता है जब हम एक ही समय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्या दोनों के साथ काम कर रहे होते हैं। उदाहरण के लिए, सीखने के लिए भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें. मान लीजिए हमें $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(5)$ जोड़ने की जरूरत है।

हम जानते हैं कि आप केवल उन भिन्नों को जोड़ सकते हैं जिनके हर बराबर हैं। इसलिए, हमें यह सीखने की जरूरत है कि भिन्नों को ऐसे रूप में कैसे लाया जाए जब उनके हर बराबर हों। इस मामले में, हमें फिर से इस तथ्य की आवश्यकता है कि आप किसी भिन्न के अंश और हर को उसके मान को बदले बिना उसी संख्या से गुणा कर सकते हैं।

सबसे पहले, हम भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(5)(15)$ मिलता है, भिन्न का मान नहीं बदला है। फिर हम भिन्न $\frac(1)(5)$ के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(3)(15)$ मिलता है, फिर से भिन्न का मान नहीं बदला है। इसलिए, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$।

आइए अब इस प्रणाली को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों वाली संख्याओं के योग पर लागू करने का प्रयास करते हैं।

हमें $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ जोड़ना होगा। सबसे पहले, हम सभी पदों को भिन्नों में परिवर्तित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$। अब हमें सभी भिन्नों को एक समान हर में लाने की आवश्यकता है, इसके लिए हम पहली भिन्न के अंश और हर को 12 से, दूसरे को 4 से, और तीसरे को 3 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें $\frac(36) मिलता है। )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, जो $\frac(55)(12)$ के बराबर है। अगर आप छुटकारा पाना चाहते हैं अनुचित अंश, इसे एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग वाली संख्या में बदला जा सकता है: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ या $4\frac( 7)(12)$।

सभी नियम जो अनुमति देते हैं भिन्नों के साथ संचालन, जिनका हमने अभी अध्ययन किया है, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में भी मान्य हैं। तो, -1: 3 को $\frac(-1)(3)$, और 1: (-3) को $\frac(1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

चूँकि दोनों एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से भाग देते हैं और एक धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्याओं में एक ऋणात्मक परिणाम से विभाजित करते हैं, दोनों ही मामलों में हमें ऋणात्मक संख्या के रूप में उत्तर मिलेगा। वह है

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ या $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$। इस तरह से लिखे जाने पर ऋण चिह्न संपूर्ण भिन्न को समग्र रूप से संदर्भित करता है, न कि अंश या हर को अलग से।

दूसरी ओर, (-1) : (-3) को $\frac(-1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और जब से हम एक ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है सकारात्मक संख्या, तो $\frac(-1)(-3)$ को $+\frac(1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी तरह किया जाता है जैसे धनात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव। उदाहरण के लिए, $1- 1\frac13$ क्या है? आइए दोनों संख्याओं को भिन्नों के रूप में निरूपित करें और $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करें और $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, यानी $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, या $-\frac(1)(3)$।

अंशों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

तो, भिन्न क्या हैं, भिन्नों के प्रकार, परिवर्तन - हमें याद आया। आइए मुख्य प्रश्न से निपटें।

आप अंशों के साथ क्या कर सकते हैं?हाँ, सब कुछ सामान्य संख्याओं जैसा ही है। जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, भाग दें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ संक्रियाएं पूर्णांकों वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं। असल में, यही वे दशमलव के लिए अच्छे हैं। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम को सही ढंग से लगाने की जरूरत है।

मिश्रित संख्या, जैसा कि मैंने कहा, अधिकांश कार्यों के लिए बहुत कम उपयोग के हैं। उन्हें अभी भी साधारण अंशों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

और यहाँ क्रियाओं के साथ हैं साधारण अंशहोशियार होगा। और भी बहुत कुछ महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षरों, ज्याओं, अज्ञात आदि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली सभी क्रियाएं और आगे भी सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं हैं! साधारण भिन्नों वाली संक्रियाएं सभी बीजगणितों का आधार होती हैं। यही कारण है कि हम यहां इस सभी अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों का जोड़ और घटाव।

हर कोई एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ (घटाना) कर सकता है (मुझे वास्तव में उम्मीद है!) खैर, मैं आपको याद दिला दूं कि मैं पूरी तरह से भुलक्कड़ हूं: जोड़ने (घटाने) पर, भाजक नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। टाइप:

संक्षेप में, में सामान्य दृष्टि से:

क्या होगा यदि भाजक अलग हैं? फिर, भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करते हुए (यहाँ यह फिर से काम आया!), हम हर को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहाँ हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। केवल हरों को समान बनाने के उद्देश्य से। मैं ध्यान देता हूं, केवल 2/5 और 4/10 के मामले में एक ही अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असहज है, और 4/10 भी कुछ नहीं है।

वैसे, गणित में किसी भी कार्य को हल करने का यही सार है। जब हम बाहर हों असुविधाजनकभाव करते हैं वही, लेकिन हल करने के लिए और अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति समान है। यहां हम 16 में से 48 बनाते हैं। सरल गुणन द्वारा 3 पर। यह सब स्पष्ट है। लेकिन यहाँ हम कुछ इस तरह से आते हैं:

हो कैसे?! सात में से नौ बनाना मुश्किल है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! आइए रूपांतरित करें हर एकभिन्न ताकि भाजक समान हों। इसे "एक सामान्य भाजक को कम करना" कहा जाता है:

कैसे! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत आसान! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से समान रूप से विभाज्य है। ऐसी संख्या हमेशा हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करते हैं, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाजित होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे जोड़े में, चरण दर चरण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आपको बस उस हर को खोजने की जरूरत है जो सभी भिन्नों के लिए समान है, और प्रत्येक भिन्न को इसी हर में लाना है। उदाहरण के लिए:

और आम भाजक क्या होगा? बेशक, आप 2, 4, 8 और 16 को गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलते हैं। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या 16 2, 4 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या सामान्य हर होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में बदल दें, इत्यादि।

वैसे, अगर हम 1024 को एक सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ भी काम करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। गणना के कारण केवल सभी को यह अंत नहीं मिलेगा ...

उदाहरण को स्वयं हल करें। लॉगरिदम नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, अंशों का जोड़ (घटाव) स्पष्ट है, मुझे आशा है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, छोटे संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह आनंद उन्हें मिलता है जिन्होंने निचले ग्रेड में ईमानदारी से काम किया ... और कुछ भी नहीं भूले।

और अब हम वही क्रिया करेंगे, लेकिन भिन्नों के साथ नहीं, बल्कि . के साथ भिन्नात्मक भाव. यहां मिलेंगे नए रेक, हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें हरों को समान बनाने की आवश्यकता है। और सिर्फ मदद से गुणा! तो भिन्न का मुख्य गुण कहता है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में x में एक नहीं जोड़ सकता। (लेकिन यह अच्छा होगा!) लेकिन अगर आप हर को गुणा करते हैं, तो आप देखते हैं, सब कुछ एक साथ बढ़ेगा! तो हम नीचे लिखते हैं, अंश की रेखा, ऊपर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर इसे जोड़ते हैं, और नीचे हर के उत्पाद को लिखते हैं, ताकि भूलना न भूलें:

और, ज़ाहिर है, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर के आम भाजक को देखते हुए, हम सोचते हैं: पहली भिन्न में हर x (x + 1) प्राप्त करने के लिए, हमें इस भिन्न के अंश और हर को (x + 1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे भिन्न में - x. आपको यह मिलता है:

टिप्पणी! कोष्ठक यहाँ हैं! यह वह रेक है जिस पर कई कदम चलते हैं। कोष्ठक नहीं, बिल्कुल, लेकिन उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक प्रकट होते हैं क्योंकि हम गुणा करते हैं पूराअंश और पूराहर! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं ...

दायीं ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ अंकीय भिन्नों की तरह होता है, फिर हम दाहिनी ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात्। सब कुछ गुणा करें और पसंद करें। आपको हर में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं है, आपको कुछ गुणा करने की आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, हर (किसी भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

यहां हमें जवाब मिला। प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। उदाहरणों को हल करें, इसकी आदत डालें, सब कुछ सरल हो जाएगा। जिन लोगों ने आवंटित समय में भिन्नों में महारत हासिल कर ली है, ये सभी ऑपरेशन एक हाथ से मशीन पर करें!

और एक और नोट। कई प्रसिद्ध रूप से भिन्नों से निपटते हैं, लेकिन उदाहरणों पर लटके रहते हैं पूरेसंख्याएं। प्रकार: 2 + 1/2 + 3/4= ? एक ड्यूस कहाँ बांधें? कहीं भी जकड़ने की जरूरत नहीं है, आपको एक ड्यूस से एक अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, यह बहुत आसान है! 2=2/1. इस प्रकार सं. किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, भाजक एक है। 7 7/1 है, 3 3/1 है और इसी तरह। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है। (ए + बी) \u003d (ए + बी) / 1, एक्स \u003d एक्स / 1, आदि। और फिर हम इन भिन्नों के साथ सभी नियमों के अनुसार कार्य करते हैं।

खैर, इसके अलावा - भिन्नों के घटाव पर, ज्ञान ताज़ा हो गया था। भिन्नों का एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तन - दोहराया। आप भी चेक कर सकते हैं। क्या हम थोड़ा समझौता करेंगे?)

गणना करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

भिन्नों का गुणा / भाग - अगले पाठ में। भिन्न के साथ सभी कार्यों के लिए कार्य भी हैं।

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87. भिन्नों का योग।

भिन्नों को जोड़ने से पूर्णांकों को जोड़ने में कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक क्रिया है जिसमें इस तथ्य को शामिल किया जाता है कि कई दी गई संख्याओं (शब्दों) को एक संख्या (योग) में जोड़ा जाता है, जिसमें सभी इकाइयाँ और पदों की इकाइयों की भिन्न होती हैं।

हम तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करेंगे:

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग।

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5 ।

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग होगा 2/5 एबी के बराबर होगा।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD को लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD ठीक खंड AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन शर्तों और परिणामी राशि को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और समान हर को छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।

आइए भिन्न जोड़ें: 3/4 + 3/8 पहले उन्हें सबसे कम आम भाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सकता था; हमने इसे यहां अधिक स्पष्टता के लिए लिखा है।

इस प्रकार, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों पर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग।

आइए संख्याएं जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए सबसे पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाते हैं और उन्हें फिर से लिखते हैं:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों के घटाव को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं का घटाव। यह एक क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक के योग से दूसरा पद प्राप्त होता है। आइए तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करें:

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए एक और खंड ईडी को 4/15 एबी के बराबर सेट करें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया है, उससे पता चलता है कि अंतर का अंश अंशों को घटाकर प्राप्त किया गया था, और हर एक ही रहा।

इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, आपको घटाव के अंश को घटाव के अंश से घटाना होगा और उसी हर को छोड़ना होगा।

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर में कम करें:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 - 5/8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन इसे भविष्य में छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, एक भिन्न से एक भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे सामान्य हर में लाना होगा, फिर सबट्रेंड के अंश को माइन्यूएंड के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3 / 4 - 7 2 / 3 ।

आइए न्यूनतम सामान्य भाजक के लिए न्यूनतम और उप-अनुच्छेद के भिन्नात्मक भागों को लाएं:

हम एक पूर्ण से एक पूर्ण और भिन्न से भिन्न घटाते हैं। लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग से बड़ा होता है। ऐसे मामलों में, आपको कम के पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की जरूरत है, इसे उन हिस्सों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और कम के आंशिक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव उसी तरह किया जाएगा जैसे पिछले उदाहरण में:

89. भिन्नों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. ब्याज की अवधारणा।
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्णांक से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर होता है। एक भिन्न (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर हो, और पदों की संख्या गुणक के बराबर हो।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करने की आवश्यकता है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें आसानी से परिणाम मिल गया, क्योंकि क्रिया को एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए कम कर दिया गया था। फलस्वरूप,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना इस भिन्न को जितनी बार पूर्णांक में इकाइयाँ हैं, बढ़ाने के बराबर है। और चूँकि भिन्न में वृद्धि या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या इसके द्वारा भाजक को विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहां से हमें नियम मिलता है:

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और एक ही हर को छोड़ना होगा या, यदि संभव हो तो, अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, इस संख्या से हर को विभाजित करना होगा।

गुणा करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनमें आपको दी गई संख्या का एक भाग ढूँढ़ना या परिकलित करना होता है। इन कार्यों और अन्य कार्यों के बीच का अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक हिस्सा खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं का उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 भाग मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहरों ए और बी के बीच की दूरी 300 किमी के बराबर तय करनी चाहिए। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गांव में 400 घर हैं, इनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कितने ईंट के घर हैं?

यहाँ कुछ ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनका सामना हमें किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए करना पड़ता है। उन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का एक अंश खोजने के लिए समस्या कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की लागत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या 2 समाधान।समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी में से 2/3 खोजने की आवश्यकता है। 300 में से पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (यह 300 का 1/3 है)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (यह 300 का 2/3 है)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो 400 के 3/4 हैं। आइए पहले 400 का 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (जो कि 400 का 1/4 है)।

400 के तीन तिमाहियों की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना, यानी 3 से गुणा किया जाना चाहिए:

100 x 3 = 300 (जो 400 का 3/4 है)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या से भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से भाग देना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।

इससे पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20)। इस अनुच्छेद (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों ही मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम एक पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणा: 9 2/3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम समान संख्याओं को जोड़कर ऐसे गुणन को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं।

इस कारण हमें गुणन की एक नई परिभाषा देनी होगी, यानी दूसरे शब्दों में, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि भिन्न से गुणा करके क्या समझा जाए, इस क्रिया को कैसे समझा जाए।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: किसी पूर्णांक (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ गुणक के इस भिन्न को ज्ञात करना है।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों का 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 के साथ समाप्त होते हैं।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण प्रश्न उठता है: समान संख्याओं का योग ज्ञात करने और किसी संख्या के भिन्न को ज्ञात करने जैसी प्रतीत होने वाली भिन्न क्रियाओं को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को कई बार शब्दों के साथ दोहराना) और नई क्रिया (किसी संख्या का अंश ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 4 मीटर लागत कितनी होगी?

मीटर (4), यानी 50 x 4 = 200 (रूबल) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके इस समस्या को हल किया जाता है।

चलो एक ही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 3/4 मी लागत कितनी होगी?

मीटर (3/4) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके भी इस समस्या को हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना कई बार इसमें संख्याओं को बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषयवस्तु समान होती है और केवल संख्याओं में भिन्नता होती है, इसलिए हम इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

एक पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

आइए पिछली समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3 / 4 खोजना होगा। पहले हम 50 का 1/4 और फिर 3 / 4 पाते हैं।

50 का 1/4, 50/4 है;

50 का 3/4 है।

फलस्वरूप।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5/8 = ?

12 का 1/8, 12/8 है,

12 की संख्या का 5/8 है।

फलस्वरूप,

यहां से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था।

यह याद रखना चाहिए कि गुणन करने से पहले आपको करना चाहिए (यदि संभव हो तो) कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर होता है, अर्थात किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने पर आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणक में भिन्न ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लेते हैं: 3/4 गुना 5/7. इसका मतलब है कि आपको 3 / 4 से 5/7 खोजने की जरूरत है। पहले 3/4 का 1/7 और फिर 5/7 . खोजें

3/4 का 1/7 इस तरह व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस तरह,

दूसरा उदाहरण: 5/8 गुना 4/9.

5/8 का 1/9 है ,

4/9 संख्याएं 5/8 हैं।

इस तरह,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे उत्पाद को गुणनफल का हर बनाना होगा।

इस नियम को सामान्य रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय, (यदि संभव हो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।इसलिये मिश्रित संख्याआसानी से अनुचित अंशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो उन्हें अनुचित अंशों से बदल दिया जाता है। गुणा करें, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएँ: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी भिन्नों को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणा निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. ब्याज की अवधारणा।समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणना करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान रखना चाहिए कि कई मात्राएँ अपने लिए कोई नहीं, बल्कि प्राकृतिक उपखंडों को स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां (1/100) ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां 2 कोप्पेक है, तीन सौवां 3 कोप्पेक है। आप रूबल का 1/10 ले सकते हैं, यह "10 कोप्पेक, या एक पैसा होगा। आप रूबल का एक चौथाई हिस्सा ले सकते हैं, यानी। 25 कोप्पेक, आधा रूबल, यानी। 50 कोप्पेक (पचास कोप्पेक)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से डॉन उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन के लिए माप की इकाई, यानी, किलोग्राम, सबसे पहले, दशमलव उपखंडों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम। और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/ 13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव उपखंडों की अनुमति देते हैं।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में उप-विभाजित मात्राओं की समान (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इस तरह का एक उचित विभाजन "सौवां" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत से 12/100 की कमी आई है।

उदाहरण। पुस्तक की पिछली कीमत 10 रूबल है। वह 1 रूबल से नीचे चली गई। 20 कोप.

2. बचत बैंक वर्ष के दौरान जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। 500 रूबल कैश डेस्क में डाल दिए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या छात्रों की कुल संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र पढ़ते थे, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या के सौवें भाग को प्रतिशत कहते हैं।.

शब्द "प्रतिशत" से उधार लिया गया है लैटिनऔर इसकी जड़ "सेंट" का अर्थ एक सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से निकलता है कि शुरू में प्राचीन रोमब्याज वह धन था जो ऋणी ने "हर सौ के लिए" ऋणदाता को दिया था। "सेंट" शब्द ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान अपने द्वारा उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान एक प्रतिशत अस्वीकृत का उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना की तुलना में 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र योजना से 4 प्रतिशत अधिक हो गया।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग तरह से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत के 12 फीसदी की कमी आई है।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में डाली गई राशि का 2 प्रतिशत प्रति वर्ष भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल के सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

पत्र को छोटा करने के लिए, "प्रतिशत" शब्द के बजाय% चिह्न लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिह्न आमतौर पर गणना में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ एक पूर्णांक के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको निर्दिष्ट चिह्न के साथ एक पूर्णांक को 100 के हर वाले अंश से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले अंश के बजाय संकेतित चिह्न के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 क्यूबिक मीटर मिले। जलाऊ लकड़ी का मी, सन्टी जलाऊ लकड़ी के साथ 30% के लिए लेखांकन। कितनी सन्टी लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि सन्टी जलाऊ लकड़ी स्कूल में वितरित की जाने वाली जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा था, और इस भाग को 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य करना पड़ता है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या के अंश को एक अंश से गुणा करके हल किया जाता है।)

तो 200 का 30% 60 के बराबर होता है।

अंश 30 / 100, इस समस्या में, 10 की कमी की अनुमति देता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा।

कार्य 2.कैंप में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21% थे, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% थे और अंत में 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात्, क्रमशः 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए।

अत: यहाँ किसी संख्या का भिन्न तीन बार ज्ञात करना आवश्यक होगा। हो जाए:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस बात पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि कुल गणनाशिविर में शामिल बच्चों को शत-प्रतिशत लिया गया।

3 एक दा चा 3.कार्यकर्ता को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इनमें से, उन्होंने भोजन पर 65%, एक अपार्टमेंट और हीटिंग पर 6%, गैस, बिजली और रेडियो पर 4%, सांस्कृतिक जरूरतों पर 10% और 15% की बचत की। कार्य में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना धन व्यय किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का एक अंश 5 बार खोजना होगा। चलिए करते हैं।

1) भोजन पर कितना पैसा खर्च किया जाता है? टास्क कहता है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करते हैं:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा दिया गया था? पिछले एक की तरह बहस करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) आपने गैस, बिजली और रेडियो के लिए कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कार्यकर्ता ने कितना पैसा बचाया?

सत्यापन के लिए, इन 5 प्रश्नों में मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% के रूप में लिया जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया है। इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों के बारे में थे (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, अलग-अलग उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता का खर्च), उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दी गई संख्याओं का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन
3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।
4. भिन्न का भिन्न से भाग।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।
6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों पर अनुभाग में इंगित किया गया था, विभाजन इस तथ्य से युक्त क्रिया है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक अन्य कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक से एक पूर्णांक का विभाजन जिसे हमने पूर्णांकों के विभाग में माना है। हम वहां विभाजन के दो मामले मिले: बिना शेष के विभाजन, या "पूरी तरह से" (150: 10 = 15), और शेष के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के दायरे में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का गुणनफल नहीं होता है। भिन्न से गुणन की शुरुआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से भाग देने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 बार 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7 है। एक और उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14.

इस प्रकार, एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश भाज्य के बराबर होता है, और भाजक भाजक होता है।

2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन।

भिन्न 6/7 को 3 से भाग दें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और कारकों में से एक (3) है; ऐसा दूसरा गुणनखंड ज्ञात करना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर प्राप्त होगा इस काम 6/7. जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने जो कार्य निर्धारित किया गया था, वह अंश को 6/7 से 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भिन्न का घटाव या तो उसके अंश को घटाकर या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

पर ये मामलाअंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम करना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं: 5/8 को 2 से विभाजित किया जाता है। यहां अंश 5 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: किसी भिन्न को पूर्णांक से भाग देने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस पूर्णांक से भाग देना होगा(अगर संभव हो तो), एक ही हर को छोड़कर, या एक ही अंश को छोड़कर, इस संख्या से भिन्न के हर को गुणा करें।

3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से भाग देना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 1/2 से गुणा करने पर गुणनफल 5 मिले। जाहिर है, यह संख्या 5 से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है, और किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा करते समय, गुणनफल गुणक से कम होना चाहिए। इसे और स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1/2 = एक्स , तो x 1 / 2 \u003d 5।

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होता है। चूँकि एक निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1/2 = 5 2 = 10

चलो देखते है:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 6 को 2/3 से भाग देना आवश्यक है। आइए पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB खींचिए और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित कीजिए। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड में तीन-तिहाई (3/3) AB 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3। हम छोटे ब्रैकेट की मदद से जुड़ते हैं 18 2 के खंड प्राप्त करते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका अर्थ यह है कि भिन्न 2/3, b इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, भिन्न 2/3, 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। फलस्वरूप,

केवल गणनाओं का उपयोग करके चित्र के बिना यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात, प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है, कितनी बार 2/3 6 में समाहित है। आइए पहले पता करें: 1/3 कितनी बार है 6 में निहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 b इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 b में 18 बार नहीं, बल्कि कई बार आधा है, यानी 18: 2 = 9। इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित किया:

यहाँ से हमें किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने का नियम प्राप्त होता है। किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाकर दिए गए भिन्न के अंश से भाग देना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वही सूत्र वहां प्राप्त किया गया था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 3/4 को 3/8 से भाग देना है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या निरूपित करेगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 20)।

खंड AB लें, इसे एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC, खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चार प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधा में विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ते हैं, तो प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होगा। आरेखण से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर 2 बार खंड में समाहित है; तो विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 15/16 को 3/32 से विभाजित करना आवश्यक है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है, जिसे 3/32 से गुणा करने के बाद, 15/16 के बराबर उत्पाद देगा। आइए गणना इस तरह लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15 / 16 . बनाओ

1/32 अज्ञात संख्या एक्स है ,

32/32 नंबर एक्स पूरा करना ।

फलस्वरूप,

इस प्रकार, किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरा भाजक।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले परिवर्तित किया जाना चाहिए अनुचित अंश,फिर परिणामी भिन्नों को भाग के नियमों के अनुसार विभाजित करें भिन्नात्मक संख्या. एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

आइए अब विभाजित करें:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करना होगा।

6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।

के बीच विभिन्न कार्यभिन्नों पर, कभी-कभी ऐसे भी होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी भिन्न का मान दिया जाता है और इस संख्या को ज्ञात करना आवश्यक होता है। इस प्रकार की समस्या दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या के कुछ अंश को खोजने की आवश्यकता थी, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या को स्वयं खोजने की आवश्यकता है। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमका दिया, जो कि निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या यह कहती है कि घर की सभी खिड़कियों का 1/3 भाग 50 ग्लेज़ेड खिड़कियाँ बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि कुल 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, अर्थात।

घर में 150 खिड़कियां थीं।

कार्य 2.दुकान ने 1,500 किलो आटा बेचा, जो दुकान में आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलो आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा। फलस्वरूप,

500 8 \u003d 4,000 (किलो)।

दुकान में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलो थी।

इस समस्या के विचार से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है।

किसी संख्या को उसके अंश के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने भिन्न दी हुई संख्या ज्ञात करने पर दो प्रश्न हल किए। इस तरह की समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से अच्छी तरह से देखा गया है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करने के बाद, उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न द्वारा विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस तरह की एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में किसी संख्या को उसके अंश से खोजने की समस्या को हल करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानने के लिए एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।इस साल की शुरुआत में, मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक साल पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा लगाया? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मेरे द्वारा एक निश्चित राशि एक बचत बैंक में रखी गई थी और एक वर्ष तक वहीं पड़ी रही। एक साल बाद, मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा निवेशित धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे के हिस्से को जानने के लिए, दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) व्यक्त किया गया है, हमें संपूर्ण, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसकी भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्यों को विभाजन द्वारा हल किया जाता है:

तो, बचत बैंक में 3,000 रूबल डाले गए।

कार्य 2.दो सप्ताह में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके 64% मासिक योजना को पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से पता चलता है कि मछुआरों ने योजना का एक हिस्सा पूरा किया। यह हिस्सा 512 टन के बराबर है, जो कि योजना का 64 फीसदी है। योजना के अनुसार कितने टन मछली काटा जाना है, यह हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मास्को चली गई। जब उन्होंने 276वां किलोमीटर पार किया, तो यात्रियों में से एक ने गुजरने वाले कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हमने पूरी यात्रा का 30% पहले ही कवर कर लिया है।" रीगा से मास्को की दूरी क्या है?

समस्या की स्थिति से देखा जा सकता है कि रीगा से मास्को तक की यात्रा का 30% 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी है, अर्थात इस भाग के लिए संपूर्ण दूरी ज्ञात करें:

91. पारस्परिक संख्या। भाग को गुणन से बदलना।

भिन्न 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 प्राप्त होता है। हमें एक भिन्न मिला है, इसका व्युत्क्रम।

किसी दिए गए अंश का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए:

3 / 4 , रिवर्स 4 / 3 ; 5 / 6 , रिवर्स 6 / 5

दो भिन्नों में यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर होता है और पहले का हर दूसरे का अंश कहलाता है परस्पर उलटा।

आइए अब विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन-सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। इसके व्युत्क्रम की तलाश में, हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी अंशों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उलटा 3; 1/5, उल्टा 5

चूँकि व्युत्क्रम खोजने पर हम पूर्णांकों से भी मिले, भविष्य में हम व्युत्क्रमों के बारे में नहीं, बल्कि पारस्परिक के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखा जाता है। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। उसी तरह, आप एक पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 1 का हर हो सकता है। तो 7 का व्युत्क्रम 1 / 7 होगा, क्योंकि 7 \u003d 7/1; संख्या 10 के लिए उलटा 1 / 10 है क्योंकि 10 = 10 / 1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: दी गई संख्या का व्युत्क्रम दी गई संख्या से एक को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. यह कथन न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, यदि आप एक ऐसी संख्या लिखना चाहते हैं जो भिन्न 5/9 का व्युत्क्रम हो, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात।

अब एक की ओर इशारा करते हैं संपत्तिपारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर पारस्परिक संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम निम्नलिखित तरीके से व्युत्क्रम ढूंढ सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1/8। आइए एक और संख्या ज्ञात करें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स , फिर 7 / 12 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा की शुरुआत की।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से भाग देते हैं, तो हम निम्न कार्य करते हैं:

व्यंजक पर विशेष ध्यान दें और उसकी तुलना दिए गए व्यंजक से करें: .

यदि हम पिछले एक के साथ संबंध के बिना, अलग से अभिव्यक्ति लेते हैं, तो यह सवाल हल करना असंभव है कि यह कहां से आया है: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में परिणाम समान है। तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से भाग देने पर भाज्य को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

अंश, और जिससे इसे विभाजित किया जाता है वह भाजक है।

भिन्न लिखने के लिए पहले उसका अंश लिखिए, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचिए और रेखा के नीचे हर लिखिए। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक दंड कहते हैं। कभी-कभी इसे तिरछा "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस मामले में, अंश रेखा के बाईं ओर लिखा जाता है, और हर को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अंश "दो-तिहाई" को 2/3 के रूप में लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश आमतौर पर पंक्ति के शीर्ष पर लिखा जाता है, और हर नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ।

भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, पहले एक के अंश को गुणा करें अंशोंदूसरे अंकगणित के लिए। परिणाम को नए के अंश में लिखें अंशों. फिर हरों को भी गुणा करें। नए में अंतिम मान निर्दिष्ट करें अंशों. उदाहरण के लिए, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)।

एक भिन्न को दूसरे से भाग देने के लिए, पहले पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। दूसरे भिन्न (भाजक) के साथ भी ऐसा ही करें। या, सभी चरणों को करने से पहले, पहले भाजक को "फ्लिप" करें, यदि यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है: अंश के स्थान पर भाजक होना चाहिए। फिर भाजक के हर को भाजक के नए हर से गुणा करें और अंशों को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)।

स्रोत:

• भिन्नों के लिए बुनियादी कार्य

भिन्नात्मक संख्याएँ आपको किसी मात्रा के सटीक मान को विभिन्न तरीकों से व्यक्त करने की अनुमति देती हैं। भिन्नों के साथ, आप पूर्णांकों के समान गणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेने का तरीका जानने के लिए अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य भाजक। निष्पादन के बाद कुछ अंकगणितीय संचालन के लिए परिणाम के आंशिक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें। यदि भिन्नों में दशमलव और अनियमित हैं, तो पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में शुरू में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक भाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। वे भिन्न जिनमें पूरा भाग अलग दिखता है, हर से गुणा करके और परिणाम में अंश जोड़कर गलत रूप की ओर ले जाता है। यह मान नया अंश बन जाएगा अंशों. शुरू में गलत से पूरे हिस्से को निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से भाग दें। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है। पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए अलग-अलग कार्य करना संभव है। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को गलत रूप में परिवर्तित करना:
- 1 2/3 + 2 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- शब्दों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग योग:
- 1 2/3 + 2 = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

विभाजक ":" के माध्यम से उन्हें फिर से लिखें और सामान्य विभाजन जारी रखें।

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो इस मामले में सबसे बड़ा संभव है। इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

भिन्नों के साथ अंकगणित न करें जिनमें भिन्न हर हों। ऐसी संख्या चुनें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाए, परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

उपयोगी सलाह

भिन्नात्मक संख्याएँ लिखते समय, लाभांश को रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न के अंश के रूप में संदर्भित किया जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलो चावल को भिन्न के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 आधा किलो चावल। यदि किसी भिन्न का हर 10 हो, तो उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, इस तरह के अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और हर के मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। इस उदाहरण में, 2 से भाग देना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू है। सुनिश्चित करें कि आप जिन संख्याओं के साथ अंकगणित करने जा रहे हैं, वे उसी रूप में हैं।