पाठ सारांश "व्युत्पन्न का भौतिक और ज्यामितीय अर्थ। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा।" पाठ सारांश "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण" फ़ंक्शन स्पर्शरेखा समीकरण के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा की प्रस्तुति

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

शिक्षण विधियों:दृश्य, आंशिक रूप से खोजपूर्ण।

पाठ का उद्देश्य:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा की अवधारणा का परिचय दें, पता करें कि क्या ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न, स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करें और सिखाएं कि इसे विशिष्ट कार्यों के लिए कैसे खोजना है।
तार्किक सोच, अनुसंधान कौशल, कार्यात्मक सोच, गणितीय भाषण का विकास।
काम पर संचार कौशल विकसित करें, विकास को बढ़ावा दें स्वतंत्र गतिविधिछात्र।

उपकरण:कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, हैंडआउट्स।

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"स्पर्शरेखा। स्पर्शरेखा समीकरण" विषय पर पाठ

पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखना।

शिक्षण विधियों:दृश्य, आंशिक रूप से खोजपूर्ण।

पाठ का उद्देश्य:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा की अवधारणा का परिचय दें, पता करें कि व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है, स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करें और सिखाएं कि इसे विशिष्ट कार्यों के लिए कैसे खोजना है।
तार्किक सोच, अनुसंधान कौशल, कार्यात्मक सोच, गणितीय भाषण का विकास।
काम में संचार कौशल का विकास, छात्रों की स्वतंत्र गतिविधि के विकास को बढ़ावा देना।

उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, हैंडआउट्स।

शिक्षण योजना

मैं संगठनात्मक क्षण।
पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना। विषय का संदेश और पाठ का आदर्श वाक्य।

II सामग्री का वास्तविककरण।
(ध्यान सक्रिय करें, स्पर्शरेखा के बारे में ज्ञान की कमी दिखाएं, पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य तैयार करें।)

आइए चर्चा करें कि फ़ंक्शन ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा क्या है? क्या आप इस कथन से सहमत हैं कि "एक स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जिसमें दिए गए वक्र के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है"?
चर्चा होती है। बच्चों के कथन (हाँ और क्यों, नहीं और क्यों)। चर्चा के दौरान, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि यह कथन सत्य नहीं है।

उदाहरण।
1) रेखा x = 1 में परवलय y = x2 के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु M(1; 1) है, लेकिन यह परवलय की स्पर्शरेखा नहीं है। एक ही बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा y = 2x - 1 दिए गए परवलय की स्पर्श रेखा है।
2) इसी प्रकार, रेखा x = आलेख की स्पर्श रेखा नहीं है y = क्योंकि x , हालांकि इसके साथ एकमात्र सामान्य बिंदु K(π; 1) है। दूसरी ओर, एक ही बिंदु से गुजरने वाली रेखा y = - 1 ग्राफ की स्पर्श रेखा है, हालांकि इसमें अपरिमित रूप से कई सामान्य बिंदुप्रकार;(π+2 πk; 1), जहाँ k एक पूर्णांक है, जिसमें से प्रत्येक में यह ग्राफ को स्पर्श करता है।

चित्र 1

चित्र 2

पाठ में बच्चों के लिए लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना:पता लगाएँ कि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है, स्पर्शरेखा के लिए समीकरण कैसे लिखें?
इसके लिए हमें क्या चाहिए?
याद करना सामान्य फ़ॉर्मएक सीधी रेखा के समीकरण, समानांतर रेखाओं के लिए शर्तें, व्युत्पन्न की परिभाषा, विभेदन नियम।

III नई सामग्री के अध्ययन के लिए प्रारंभिक कार्य।
कार्ड पर प्रश्न सामग्री: (बोर्ड पर कार्य पूरे किए जाते हैं)
1 छात्र: डेरिवेटिव की तालिका भरें प्राथमिक कार्य

2 छात्र: भेदभाव के नियमों को याद रखें

3 छात्र: एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिएवाई = केएक्स + 4 बिंदु A(3; -2) से गुजरते हुए।
(y=-2x+4)

4 छात्र: सीधी रेखाओं का समीकरण बनाएंवाई=3x+बी बिंदु (4; 2) से गुजरते हुए।
(वाई = 3x - 2)।

बाकी ललाट काम के साथ।

व्युत्पन्न की परिभाषा तैयार करें।
निम्नलिखित में से कौन सी रेखा समानांतर है? वाई = 0.5x; वाई \u003d - 0.5x; वाई \u003d - 0.5x + 2. क्यों?

वैज्ञानिक के नाम का अनुमान लगाएं:

उत्तर की कुंजी

यह वैज्ञानिक कौन था, उसका काम किससे जुड़ा है, हम अगले पाठ में जानेंगे।
कार्ड पर छात्रों के उत्तरों की जाँच करें।
IV नई सामग्री का अध्ययन।
एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण सेट करने के लिए, हमारे लिए उसका कोणीय जानना पर्याप्त है
एक बिंदु के गुणांक और निर्देशांक।

आइए ढलान से शुरू करें

चित्र तीन

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करेंवाई = एफ (एक्स) बिंदु A पर अवकलनीय(एक्स 0 , एफ(एक्स 0 )) .
इस पर एक बिंदु चुनेंएम (एक्स 0 + , एफ (एक्स 0 + )) और एक secant draw ड्रापूर्वाह्न .
प्रश्न: छेदक का ढाल क्या है? (∆f/∆x=tgβ)

हम चाप के अनुदिश बिंदु का सन्निकटन करेंगे M से बिंदु A . इस मामले में, सीधेपूर्वाह्न बिंदु के चारों ओर घूमेगाए , कुछ सीमित स्थिति में (चिकनी रेखाओं के लिए) पहुंचना - एक सीधी रेखापर . दूसरे शब्दों में, ए.टी , जिसके पास यह गुण है, कहलाता हैस्पर्शरेखा समारोह के ग्राफ के लिए y \u003d f (x) बिंदु A (x 0, f (x 0)) पर।

छेदक की ढलान AM पर AM → 0 स्पर्शरेखा के ढलान की ओर जाता हैएटी f/Δx → f "(x 0) . एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्यएक्स 0 स्पर्शरेखा के ढलान के लिए ले लो। वे कहते हैस्पर्शरेखा x → 0 . पर छेदक की सीमा स्थिति है.

बिंदु x . पर किसी फलन के अवकलज का अस्तित्व 0 (x .) पर एक (गैर-ऊर्ध्वाधर) स्पर्शरेखा के अस्तित्व के बराबर है 0 , एफ(एक्स 0 )) ग्राफ, जबकि स्पर्शरेखा का ढलान के बराबर है f "(x 0) । यह है व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.

स्पर्शरेखा की परिभाषा: एक बिंदु पर अवकलनीय ग्राफ की स्पर्शरेखाएक्स 0 फ़ंक्शन एफ एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा है(एक्स 0 , एफ(एक्स 0 )) और ढलान होनाएफ "(एक्स 0) .
आइए ग्राफ़ के स्पर्शरेखा वाले फलनों को ड्रा करें y \u003d f (x) अंक x 1, x 2, x 3 . पर , और उन कोणों को नोट करें जो वे x-अक्ष के साथ बनाते हैं। (यह अक्ष की धनात्मक दिशा से सीधी रेखा तक धनात्मक दिशा में मापा जाने वाला कोण है।)

चित्र 4

हम देखते हैं कि कोण α 1 न्यून है, कोण α 3 अधिक है, और कोण α 2 . है शून्य, सीधी रेखा के बाद से l ऑक्स अक्ष के समानांतर है। स्पर्शरेखा न्यून कोणसकारात्मक, बेवकूफ - नकारात्मक। इसीलिए f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)

अब हम स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करते हैंसमारोह के ग्राफ के लिए f बिंदु A(x 0 , f(x 0) ) पर।

सीधी रेखा समीकरण का सामान्य दृश्यवाई = केएक्स + बी।

आइए कोणीय गुणांक ज्ञात करें k \u003d f "(x 0), हमें मिलता है y \u003d f "(x0) x + b, f (x) \u003d f "(x) 0)∙x + बी
आइए जानें बी. बी \u003d एफ (एक्स 0) - एफ "(एक्स 0) एक्स 0।
प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करेंकश्मीर और बी एक सीधी रेखा के समीकरण में: y \u003d f "(x 0) x + f (x 0) - f "(x 0) x 0 या y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)

व्याख्यान सामग्री का सामान्यीकरण।

- एक बिंदु पर स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें?

1. संपर्क बिंदु पर फलन का मान
2. एक फ़ंक्शन का सामान्य व्युत्पन्न
3. संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य
4. पाए गए मानों को में बदलें सामान्य समीकरणस्पर्शरेखा

V अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

1. मौखिक कार्य:
1)बी ग्राफ के कौन से बिंदु इसके स्पर्शरेखा हैं
ए) क्षैतिज;
बी) एक्स-अक्ष के साथ एक न्यून कोण बनाता है;
ग) x-अक्ष के साथ एक अधिक कोण बनाता है?
2) तर्क के किन मूल्यों के लिए ग्राफ द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है
ए) 0 के बराबर;
बी) 0 से अधिक;
ग) 0 से कम?

चित्र 5

चित्र 6

3) यह आंकड़ा फ़ंक्शन का ग्राफ दिखाता हैएफ (एक्स) और एक भुज के साथ एक बिंदु पर इसके लिए एक स्पर्शरेखा X 0 . किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें f "(x) बिंदु x 0 पर।

चित्र 7

2. लिखित कार्य।
नंबर 253 (ए, बी), नंबर 254 (ए, बी)। (फील्डवर्क, कमेंट्री के साथ)

3. संदर्भ समस्याओं का समाधान।
आइए चार प्रकार के कार्यों पर विचार करें। बच्चे समस्या की स्थिति को पढ़ते हैं, समाधान एल्गोरिथ्म की पेशकश करते हैं, छात्रों में से एक इसे बोर्ड पर खींचता है, बाकी इसे एक नोटबुक में लिखते हैं।
1. यदि एक स्पर्श बिंदु दिया जाता है
फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखेंएफ (एक्स) = एक्स 3 - 3x - 1 बिंदु M पर भुज -2 के साथ।
समाधान:

आइए फ़ंक्शन के मान की गणना करें: f(-2) =(-2) 3 - 3(-2) - 1 = -3;
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:एफ "(एक्स) \u003d 3x 2 - 3;
व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें:च "(-2) \u003d - 9 ।;
आइए इन मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करें: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.

उत्तर: y = 9x + 15.

2. संपर्क बिंदु के निर्देशांक द्वारा।
ग्राफ़ पर किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा के लिए समीकरण लिखिएकोटि y 0 = 1 के साथ।
समाधान:

उत्तर: y \u003d -x + 2।

3. पूर्व निर्धारित दिशा।
ग्राफ के स्पर्शरेखा समीकरण लिखेंवाई \u003d एक्स 3 - 2x + 7 , रेखा के समानांतरवाई = एक्स .
समाधान।
वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा के समानांतर हैवाई = एक्स . तो उनके पास एक ही ढलान हैके \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. एब्सिसा x 0 संपर्क के बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं 3x 2 - 2 \u003d 1, जहां से x 0 = ±1.
अब हम स्पर्शरेखा समीकरण लिख सकते हैं:वाई = एक्स + 5 और वाई = एक्स + 9।
उत्तर: y = x + 5, y = x + 9।

4. ग्राफ और सीधी रेखा को छूने की शर्तें।
एक कार्य। किस पर b सीधा y = 0.5x + b फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा हैएफ (एक्स) = ?
समाधान।
याद रखें कि स्पर्शरेखा का ढलान स्पर्शरेखा बिंदु पर व्युत्पन्न का मान है। इस सरल रेखा का ढाल k = 0.5 है। यहां से हमें स्पर्श बिंदु के भुज x को निर्धारित करने के लिए समीकरण मिलता है:च "(एक्स) \u003d = 0.5. जाहिर है, इसका एकमात्र मूल x = 1 है। इस बिंदु पर इस फ़ंक्शन का मान y(1) = 1 है। इसलिए, स्पर्श बिंदु के निर्देशांक (1; 1) हैं। अब यह पैरामीटर बी का ऐसा मान चुनना बाकी है, जिस पर रेखा इस बिंदु से गुजरती है, यानी बिंदु के निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं: 1 = 0.5 1 + बी, जहां से बी = 0.5।

5. स्वतंत्र कामशैक्षिक चरित्र।

जोड़े में काम।

जाँच करें: समाधान के परिणाम बोर्ड पर एक तालिका में दर्ज किए जाते हैं (प्रत्येक जोड़ी से एक उत्तर), उत्तरों की चर्चा।

6. किसी फलन के ग्राफ और एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात करना।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन कोण y = f(x) और सीधी रेखा l वह कोण कहलाता है जिस पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा रेखा को उसी बिंदु पर काटती है।
नंबर 259 (ए, बी), नंबर 260 (ए) - बोर्ड पर जुदा।

7. एक नियंत्रित प्रकृति का स्वतंत्र कार्य।(विभेदित कार्य, शिक्षक अगले पाठ के लिए जाँच करता है)
1 विकल्प।

विकल्प 2।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा किस बिंदु पर हैएफ (एक्स) = 3x 2 - 12x + 7 एक्स अक्ष के समानांतर?
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा की बराबरी करेंएफ (एक्स) = एक्स 2 - 4 एब्सिस्सा के साथ बिंदु परएक्स 0 = - 2. पैटर्न बनाएं।
पता करें कि क्या रेखा हैवाई \u003d 12x - 10 फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखावाई = 4x3।

3 विकल्प।

VI पाठ को सारांशित करना।
1. सवालों के जवाब
- किसी बिंदु पर किसी फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा क्या कहलाती है?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
- एक बिंदु पर स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें?
2. पाठ के लक्ष्यों और उद्देश्यों को याद रखें, क्या हमने यह लक्ष्य हासिल कर लिया है?
3. पाठ में क्या कठिनाइयाँ थीं, पाठ के कौन से क्षण आपको सबसे अधिक पसंद आए?
4. पाठ के लिए अंकन।
गृहकार्य पर सातवीं टिप्पणी: पृष्ठ 19 (1, 2), संख्या 253 (सी), संख्या 255 (डी), संख्या 256 (डी), संख्या 257 (डी), संख्या 259 (डी)। लाइबनिज पर एक रिपोर्ट तैयार कीजिए।

साहित्य

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: कक्षा 10 . के लिए एक पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों. संकलक:. एम। निकोल्स्की, एम। के। पोटापोव, एन। एन। रेशेतनिकोव, ए। वी। शेवकिन। - एम .: शिक्षा, 2008।

2. उपदेशात्मक सामग्रीबीजगणित और ग्रेड 10 के लिए विश्लेषण के सिद्धांतों पर / बी.एम. इवलेव, एस.एम. साक्यान, एस.आई. श्वार्जबर्ड। - एम .: शिक्षा, 2008।
3. कंपनी "1C" की मल्टीमीडिया डिस्क। 1 सी: ट्यूटर। गणित (भाग 1) + उपयोग विकल्प. 2006.
4. खुला बैंकगणित में असाइनमेंट/ http://mathege.ru/

पाठ 70-71। फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

09.07.2015 5132 0

लक्ष्य: फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त करें।

I. पाठों के विषय और उद्देश्यों का संचार

द्वितीय. कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति और समेकन

1. गृहकार्य पर प्रश्नों के उत्तर (अनसुलझी समस्याओं का विश्लेषण)।

2. सामग्री (परीक्षण) के आत्मसात का नियंत्रण।

विकल्प 1

1. फ़ंक्शन y \u003d 3x4 - 2 . का व्युत्पन्न खोजेंक्योंकि एक्स।

उत्तर:

बिंदु x = पर।

उत्तर:

3. समीकरण हल करेंवाई '(एक्स) = 0 अगर

उत्तर:

विकल्प 2

1. फ़ंक्शन y \u003d 5xb + 3 . का व्युत्पन्न खोजेंपाप एक्स।

उत्तर:

2. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान की गणना करेंबिंदु x = पर।

उत्तर:

3. समीकरण हल करेंवाई '(एक्स) = 0 अगर

उत्तर:

III. नई सामग्री सीखना

अंत में, आइए अवकलज के अध्ययन के अंतिम चरण की ओर बढ़ते हैं और शेष पाठों में अवकलज के अनुप्रयोग पर विचार करते हैं। इस पाठ में हम किसी फलन के आलेख की स्पर्श रेखा पर चर्चा करेंगे।

स्पर्शरेखा की अवधारणा पर पहले ही विचार किया जा चुका है। यह दिखाया गया था कि एक फ़ंक्शन का ग्राफ बिंदु a . पर भिन्न होता हैएफ (x) व्यावहारिक रूप से स्पर्शरेखा ग्राफ से भिन्न नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदुओं से गुजरने वाले छेदक के करीब है (a;एफ (ए)) और (ए + Δx; एफ (ए + x))। इनमें से कोई भी छेदक बिंदु M(a;एफ (एक))। एक स्पर्शरेखा का समीकरण लिखने के लिए, आपको उसका ढलान निर्दिष्ट करना होगा। छेदक की ढलान f /Δx → . पर 0 एक संख्या की ओर जाता हैएफ "(ए), जो स्पर्शरेखा की ढलान है। इसलिए, वे कहते हैं कि स्पर्शरेखा छेदक की सीमित स्थिति है→ 0.

अब हमें फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण प्राप्त होता हैएफ (एक्स)। चूँकि स्पर्श रेखा एक सीधी रेखा और उसका ढाल हैएफ "(ए), तब हम इसका समीकरण y \u003d . लिख सकते हैंएफ "(ए) एक्स + बी . आइए गुणांक ज्ञात करेंबी इस शर्त से कि स्पर्शरेखा बिंदु M(a;एफ (एक))। इस बिंदु के निर्देशांकों को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें और प्राप्त करें:एफ (ए) \u003d एफ "(ए) ए + बी, जहां से बी \u003d एफ (ए) - एफ "(ए) ए। अब हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैंबी स्पर्शरेखा समीकरण में और प्राप्त करें:या यह स्पर्शरेखा समीकरण है। आइए हम स्पर्शरेखा समीकरण के अनुप्रयोग पर चर्चा करें।

उदाहरण 1

साइनसॉइड किस कोण पर हैx-अक्ष को मूल बिंदु पर काटता है?

वह कोण जिस पर इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष को काटता है, कोण के बराबरफ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा का ढलान aच (एक्स ) इस समय। आइए व्युत्पन्न खोजें:व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है:और ए = 60°।

उदाहरण 2

आइए फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा ग्राफ़ का समीकरण लिखेंएफ (x) = -x2 + 4x बिंदु परए = 1.

एफ "(x) और स्वयं फ़ंक्शन f (x) बिंदु a = 1 पर और प्राप्त करें: f "(a) = f" (1) = -2 1 + 4 = 2 और f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3। इन मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें। हमारे पास है: y \u003d 2 (x - 1) + 3 या y \u003d 2x + 1.

स्पष्टता के लिए, चित्र फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता हैच (एक्स ) और इस फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा। स्पर्श एक बिंदु पर होता हैएम (1; 3)।

उदाहरण 1 और 2 के आधार पर, हम फ़ंक्शन y = के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण को प्राप्त करने के लिए एक एल्गोरिदम बना सकते हैं।एफ (एक्स):

1) पत्र के साथ संपर्क के बिंदु के एब्सिस्सा को नामित करें;

2) एफ (ए) की गणना करें;

3) f "(x) खोजें और f "(a) की गणना करें;

4) मिली संख्याओं को प्रतिस्थापित करेंए, एफ (ए), एफ "(ए) सूत्र में वाई \u003d एफ '(ए) (एक्स - ए) + एफ (ए)।

ध्यान दें कि प्रारंभ में बिंदु a अज्ञात हो सकता है और इसे समस्या की स्थितियों से खोजना होगा। फिर पैराग्राफ 2 और 3 में एल्गोरिथम में "गणना" शब्द को "लिखना" शब्द से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए (जिसे उदाहरण 3 द्वारा चित्रित किया गया है)।

उदाहरण 2 में, स्पर्शरेखा बिंदु का भुज सीधे निर्दिष्ट किया गया था। कई मामलों में, स्पर्श बिंदु विभिन्न अतिरिक्त स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण 3

आइए बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखेंए (0; 4) फंक्शन के ग्राफ के लिएएफ(एक्स) \u003d - एक्स 2 + 2x।

यह जांचना आसान है कि बिंदु A परवलय पर नहीं है। उसी समय, परवलय और स्पर्शरेखा के संपर्क के बिंदु अज्ञात हैं, इसलिए, इन बिंदुओं को खोजने के लिए, एक अतिरिक्त शर्त का उपयोग किया जाएगा - बिंदु ए के माध्यम से स्पर्शरेखा का मार्ग।

मान लीजिए कि संपर्क बिंदु a पर होता है। आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करेंच"(एक्स ) और फ़ंक्शन हीएफ (x) संपर्क बिंदु पर a और हम प्राप्त करते हैं:एफ '(ए) \u003d -2 ए + 2 और एफ (ए .) ) = -a2 + 2a। इन मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें। हमारे पास है:या यह स्पर्शरेखा समीकरण है।

हम इस बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हुए, बिंदु A से स्पर्शरेखा के पारित होने की शर्त को लिखते हैं। हमें मिलता है: 4या 4 = a2, जहाँ से a = ±2। इस प्रकार, स्पर्श दो बिंदुओं B(-2; -8) और C(2; 0) पर होता है। अत: ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ होंगी। आइए उनके समीकरण खोजें। आइए हम मान a = ±2 को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करें। हमें मिलता है: अतए = 2 या yx \u003d -2x + 4; परए = -2 या y2 = 6x + 4. तो, स्पर्श रेखाओं के समीकरण y1 = -2x + 4 और y2 = 6x + 4 हैं।

उदाहरण 4

आइए पिछली समस्या की शर्तों का उपयोग करके स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें।

y1 = -2x + 4 और y2 = 6x + 4 खींची गई स्पर्श रेखाएँ भुज अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण a1 और a2 बनाती हैं (औरटीजी ए 1 = -2 और टीजी ए 2 = 6) और आपस में कोण φ =एक 1 - ए2। हम प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं,जहां से = आर्कटिक 8/11।

उदाहरण 5

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखेंसमानांतर रेखा y \u003d -x + 2।

दो रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर होती हैं यदि उनका ढलान समान हो। सीधी रेखा y \u003d -x + 2 का ढलान -1 है, वांछित स्पर्शरेखा का ढलान हैएफ '(ए), जहां ए - संपर्क के बिंदु की अनुपस्थिति। इसलिए, a निर्धारित करने के लिए, हमारे पास एक अतिरिक्त शर्त हैच '(ए) \u003d -1।

निजी कार्यों के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम व्युत्पन्न पाते हैं:बिंदु पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिएए और प्राप्त करें:

हमें समीकरण मिलता हैया (a - 2)2 = 4, या a - 2 = ±2, जहां से a = 4 और a = 0. इस प्रकार, दो स्पर्श रेखाएं हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करती हैं। आइए हम मानों को a = 4 और a = 0 को स्पर्शरेखा y = . के समीकरण में प्रतिस्थापित करेंएफ '(ए) (एक्स - ए) + एफ (एक)। a = 4 के लिए हमारे पास है:और स्पर्शरेखा y1 \u003d - (x - 4) + 3 या y1 \u003d -x + 7. a \u003d 0 के साथ हमें मिलता है:और स्पर्शरेखा y2 \u003d - (x - 0) - 1 या y2 \u003d -x - 1. तो, स्पर्शरेखा y1 \u003d -x + 7 और y2 \u003d -x - 1 के समीकरण।

ध्यान दें कि अगरएफ "(ए ) मौजूद नहीं है, तो स्पर्शरेखा या मौजूद नहीं है (जैसा कि फ़ंक्शन में हैएफ (एक्स) = |एक्स| बिंदु पर (0; 0) - अंजीर। ए, या लंबवत (फ़ंक्शन की तरहबिंदु पर (0; 0) - अंजीर। बी।

तो एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का अस्तित्वएफ (x) बिंदु पर a बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के बराबर है (a;एफ (ए)) ग्राफिक्स। इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान बराबर हैएफ "(ए)। यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है।

व्युत्पन्न की अवधारणा किसी को अनुमानित गणना करने की अनुमति देती है। यह बार-बार नोट किया गया है कि में→ 0 फ़ंक्शन मानच (एक्स ) और इसकी स्पर्श रेखा y(x) व्यावहारिक रूप से संपाती होती है। इसलिए, x . पर→ 0 कार्य व्यवहारएफ (x) बिंदु x0 के पड़ोस में लगभग सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है(वास्तव में स्पर्शरेखा समीकरण)। अनुमानित गणना के लिए इस सूत्र का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 6

फ़ंक्शन के मान की गणना करेंबिंदु x = 2.03 पर।

इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:एफ "(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. हम मान लेंगे कि x \u003d a + x, जहां a \u003d 2 और Δx \u003d 0.03। हम बिंदु पर फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के मानों की गणना करते हैं ए और प्राप्त करें:तथा अब फ़ंक्शन के मान को परिभाषित करते हैं दिया गया बिंदुएक्स = 2.03। हमारे पास है:

बेशक, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक है यदि मानएफ (ए) और एफ "(ए ) गणना करना आसान है।

उदाहरण 7

गणना करना

समारोह पर विचार करेंआइए व्युत्पन्न खोजें:हम मान लेंगे कि x = a + x, जहाँ a = 8 और Δx = 0.03 है। आइए बिंदु a पर फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करें और प्राप्त करें:आइए अब दिए गए बिंदु x = 8.03 पर फ़ंक्शन का मान निर्धारित करें। हमारे पास है:

उदाहरण 8

आइए हम प्राप्त परिणाम का सामान्यीकरण करें। शक्ति समारोह पर विचार करेंएफ (एक्स) = एक्स एन और हम मान लेंगे कि x = a + x और Δx→ 0. f "(x) = n x n -1 . खोजें और बिंदु a पर फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करें, हम प्राप्त करते हैं:च (ए) \u003d एक और एफ '(ए) \u003d नैन -1 . अब हमारे पास सूत्र हैएफ (एक्स) = ए एन + नैन -1 x. आइए इसका उपयोग 0.98-20 संख्या की गणना करने के लिए करते हैं। हम मान लेंगे किए = 1, = -0.02 और एन = -20। तब हमें मिलता है:

बेशक, उपरोक्त सूत्र का उपयोग किसी भी अन्य कार्यों के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों में।

उदाहरण 9

आइए tg 48° की गणना करें।

समारोह पर विचार करेंएफ (एक्स) = टीजी एक्स और व्युत्पन्न खोजें:हम मान लेंगे कि x =ए + Δ एक्स, जहां ए = 45 डिग्री = π/4 और (एक बार फिर, ध्यान दें कि त्रिकोणमिति में, कोणों को आमतौर पर रेडियन में मापा जाता है)। आइए फ़ंक्शन के मान और उसके व्युत्पन्न को बिंदु a पर खोजें और प्राप्त करें:अब गणना करते हैं(इस बात को ध्यान में रखते हुए कि = 3.14)।

चतुर्थ। परीक्षण प्रश्न

1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण।

2. स्पर्शरेखा समीकरण व्युत्पन्न करने के लिए एल्गोरिथ्म।

3. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

4. अनुमानित गणनाओं के लिए स्पर्शरेखा समीकरण का अनुप्रयोग।

V. पाठों में कार्य

29, नंबर 1 (ए); 2 (बी); 5 (ए, बी); 6 (सी, डी); 9 (ए); 10 (बी); 12 (डी); 14 (ए); 17; 21 (ए); 22 (ए, सी); 24 (ए, बी); 25 (ए); 26.

VI. गृहकार्य

§ 29, नंबर 1 (बी); 2 (सी); 5 (सी, डी); 6 (ए, बी); 9 (बी); 10:00 पूर्वाह्न); 12 (बी); 14 (बी); अठारह; 21 (सी); 22 (बी, डी); 24 (सी, डी); 25 (बी); 27.

सातवीं। रचनात्मक कार्य

1. किन बिंदुओं पर x फलन रेखांकन के स्पर्शरेखा हैंसमानांतर?

उत्तर: x \u003d -1, x \u003d 3.

2. कार्यों के रेखांकन के लिए x किसके लिए स्पर्शरेखा हैं y \u003d 3 cos 5 x - 7 और y = 5 cos 3 x + 4 समानांतर हैं?

उत्तर:

3. वक्र y = x2 किन कोणों पर प्रतिच्छेद करते हैं और

उत्तर: /2 और आर्कटिक 3/5।

4. वक्र किस कोण पर y = . को काटते हैंकॉस एक्स और वाई = पाप एक्स?

उत्तर:

5. परवलय y \u003d 4 - x2 बिंदु पर भुज x \u003d 1 के साथ, एक स्पर्शरेखा खींची जाती है। इस स्पर्शरेखा का y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (0; 5)।

6. परवलय y \u003d 4x - x2 पर भुज x \u003d 3 के साथ बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है। x-अक्ष के साथ इस स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (9/2; 0)।

7. बिंदु (0; -2) से परवलय y \u003d x2 पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

8. फ़ंक्शन y \u003d 3x2 + 3x + 2 के ग्राफ पर, ढलान के साथ स्पर्शरेखा खींची जाती हैंके 1 = 0 और के 2 = 15. संपर्क बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

उत्तर: वाई \u003d 12x - 4।

9. परवलय y = x2 + x - 2 और y = -x2 + 7x - 11 को एक साथ स्पर्श करने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: y \u003d 7x - 11 और y \u003d x - 2।

10. परवलय y \u003d -3x2 + 4x + 4 और y \u003d -3x2 + 16x - 20 के लिए सामान्य स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।

उत्तर: y = -2x + 7।

11. फ़ंक्शन y \u003d x2 - 4x - 3 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x \u003d 0 पर खींची गई है। स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: 9/8।

12. निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध त्रिभुज का क्षेत्रफल और फलन के आलेख की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिएबिंदु x = 2 पर

उत्तर 1।

आठवीं। पाठों को सारांशित करना

अनुभाग: गणित

लक्ष्य।

भेदभाव के नियमों को सामान्य और व्यवस्थित करना;
फ़ंक्शन ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा बनाने के लिए एल्गोरिथ्म को दोहराएं, फ़ंक्शन का अध्ययन करने की योजना;
सबसे बड़े और . के उपयोग के लिए समस्याओं का समाधान सबसे छोटा मानकार्य।

उपकरण।पोस्टर "डेरिवेटिव। डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम। व्युत्पन्न के अनुप्रयोग ”।

कक्षाओं के दौरान

कार्ड के अनुसार, छात्र सैद्धांतिक सामग्री को दोहराते हैं।

1. किसी बिंदु पर किसी फलन के अवकलज को परिभाषित कीजिए। विभेदीकरण किसे कहते हैं? एक बिंदु पर किस फलन को अवकलनीय कहा जाता है?

(बिंदु x पर फलन f का अवकलज वह संख्या है जिससे अनुपात का झुकाव होता है

एक फलन जिसका व्युत्पन्न बिंदु x 0 पर होता है, उस बिंदु पर अवकलनीय कहलाता है। f का अवकलज ज्ञात करना विभेदन कहलाता है।)

2. अवकलज ज्ञात करने के लिए नियम बनाइए।

(1. योग का व्युत्पन्न (u + v)"=u"+v";
2. निरंतर कारक (Cu)"=Cu" के बारे में;
3. उत्पाद का व्युत्पन्न (यूवी)"=u"v+uv";
4. भिन्न का व्युत्पन्न (u / v) "= (u" v-uv ") / v 2;
5. व्युत्पन्न ऊर्जा समीकरण(xn)"=nxn+1 ।)

3. निम्नलिखित कार्यों के व्युत्पन्न क्या हैं:

4. किसी जटिल फलन का अवकलज कैसे ज्ञात करें?

(हमें इसे लगातार प्राथमिक कार्यों के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए और ज्ञात नियमों के अनुसार व्युत्पन्न लेना चाहिए)।

5. निम्नलिखित कार्यों के व्युत्पन्न क्या हैं:

6. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?

(एक बिंदु पर एक व्युत्पन्न का अस्तित्व फ़ंक्शन के ग्राफ के बिंदु (x 0, f (x 0)) पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के बराबर है, और इस स्पर्शरेखा का ढलान f "( एक्स 0))।

7. बिंदु (x 0, f (x 0)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

(स्पर्शरेखा समीकरण का रूप y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x-x 0) है)

8. किसी व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फलन का आलेख बनाने के लिए एक एल्गोरिथम बनाइए।

(1. ओओएफ खोजें।
2. समानता के लिए जाँच करें।
3. आवधिकता की जांच करें।
4. निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
5. फलन का अवकलज और उसके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए।
6. फलन की एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल ज्ञात कीजिए।
7. अध्ययन के परिणामों के आधार पर एक तालिका बनाएं।
8. फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें।)

9. उन प्रमेयों का निरूपण कीजिए जिनकी सहायता से फलन ग्राफ तैयार करना फैशनेबल है।

(1. वृद्धि (कमी) का संकेत।
2. एक चरम सीमा का एक आवश्यक संकेत।
3. अधिकतम (न्यूनतम) का चिह्न।)

10. कार्यों की अनुमानित गणना के लिए कौन से सूत्र मौजूद हैं?

व्यक्तिगत काम।

स्तर ए (तीन विकल्प), स्तर बी (एक विकल्प)।

स्तर ए

विकल्प 1।

1. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f (x) \u003d (x -1) 2 (x -3) 3 समानांतर रेखाएं y \u003d 5-24x।

2. संख्या 18 को तीन धनात्मक पदों के योग के रूप में इस प्रकार लिखिए कि एक पद दूसरे पद का दुगुना हो और तीनों पदों का गुणनफल सबसे बड़ा हो।

4. फलन f(x)=(x-1) e x+1 के बढ़ने और घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए।

विकल्प 2।

1. भुज x 0 \u003d - 2 के बिंदु पर फलन f (x) \u003d 0.x 2 + x-1.5 के ग्राफ की स्पर्शरेखा भुज के किस कोण पर है? इस स्पर्शरेखा का समीकरण लिखिए और इस समस्या का आरेख बनाइए।

2. जैसा कि बी.1 में है।

3. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

स्तर बी

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) \u003d ई -5x;
ख) f(x) = लघुगणक 3 (2x 2 -3x+1)।

2. बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण को एब्सिसा x 0 के साथ लिखें यदि f (x) \u003d e -x, x 0 \u003d 1.

3. फलन f(x)=x·e 2х के बढ़ने और घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए।

पाठ का सारांश।

काम की जाँच की जाती है, सिद्धांत और व्यवहार के लिए एक निशान दिया जाता है।

गृहकार्यव्यक्तिगत रूप से दिया गया:

ए) त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव दोहराएं;
बी) अंतराल विधि;
ग) व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

2. ए: नंबर 138, नंबर 142, बी: नंबर 137 (ए, बी), नंबर 140 (ए)।

3. कार्यों का व्युत्पन्न लें:

ए) एफ (एक्स) = एक्स 4 -3x 2 -7;
बी) एफ (एक्स) = 4x 3 -6x;
ग) f(x)=-2sin(2x-4);
d) f(x)=cos(2x-4)।

4. कार्य अनुसंधान योजना का नाम बताइए।

कक्षा: 10

पाठ के लिए प्रस्तुति

पीछे आगे

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पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

शिक्षण के तरीके: दृश्य, आंशिक रूप से खोज।

पाठ का उद्देश्य।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा की अवधारणा का परिचय दें, पता करें कि व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है, स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करें और सिखाएं कि इसे विशिष्ट कार्यों के लिए कैसे खोजना है।
विकास करना तार्किक सोच, गणितीय भाषण।
अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता का विकास करें।

उपकरण: इंटरेक्टिव बोर्ड, कंप्यूटर।

शिक्षण योजना

I. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना। पाठ और उद्देश्यों के विषय के बारे में संदेश।

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन।

(छात्रों के साथ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा की ज्यामितीय परिभाषा याद करें। उदाहरण दें कि यह कथन पूर्ण नहीं है।)

याद कीजिए कि स्पर्शरेखा क्या है?

"एक स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जिसमें दिए गए वक्र के साथ एक सामान्य बिंदु होता है।" (स्लाइड #2)

इस परिभाषा की शुद्धता की चर्चा। (चर्चा के बाद, छात्र इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि यह परिभाषा गलत है।) उनके निष्कर्ष को स्पष्ट करने के लिए, हम निम्नलिखित उदाहरण देते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें। (स्लाइड #3)

मान लीजिए एक परवलय और दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं , जिसमें इस परवलय के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु M (1; 1) है। इस बात पर चर्चा हो रही है कि पहली पंक्ति इस परवलय की स्पर्शरेखा क्यों नहीं है (चित्र 1), लेकिन दूसरी पंक्ति (चित्र 2) है।

इस पाठ में, हमें यह पता लगाना चाहिए कि किसी बिंदु पर किसी फलन के आलेख की स्पर्श रेखा क्या है, स्पर्शरेखा के लिए समीकरण कैसे लिखें?

स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने के मुख्य कार्यों पर विचार करें।

ऐसा करने के लिए, एक सीधी रेखा के समीकरण के सामान्य रूप, समानांतर रेखाओं के लिए शर्तें, व्युत्पन्न की परिभाषा और विभेदन के नियमों को याद करें। (स्लाइड नंबर 4)

III. नई सामग्री के अध्ययन के लिए प्रारंभिक कार्य।

व्युत्पन्न की परिभाषा तैयार करें। (स्लाइड नंबर 5)
मनमानी प्राथमिक कार्यों की तालिका भरें। (स्लाइड नंबर 6)
भेदभाव के नियमों को याद रखें। (स्लाइड नंबर 7)
निम्नलिखित में से कौन सी रेखा समानांतर है और क्यों? (सुनिश्चित करें कि नेत्रहीन) (स्लाइड संख्या 8)

IV नई सामग्री का अध्ययन।

एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण को सेट करने के लिए, हमारे लिए एक बिंदु के ढलान और निर्देशांक को जानना पर्याप्त है।

मान लीजिए कि फलन का ग्राफ दिया गया है। उस पर एक बिंदु का चयन किया जाता है, इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है (हम मानते हैं कि यह मौजूद है)। स्पर्शरेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

आइए तर्क को बढ़ाते हैं और ग्राफ़ (चित्र 3) पर बिंदु P पर भुज के साथ विचार करते हैं। सेकेंडरी एमपी का ढलान, यानी। छेदक और x-अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि हम अब शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो बिंदु P वक्र के अनुदिश बिंदु M की ओर बढ़ना शुरू कर देगा। हमने इस सन्निकटन में स्पर्शरेखा को छेदक की सीमित स्थिति के रूप में चित्रित किया है। इसलिए, यह मान लेना स्वाभाविक है कि स्पर्शरेखा के ढलान की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी।

फलस्वरूप, ।

यदि फलन के आलेख में y = f (x) बिंदु पर है एक्स = एआप अक्ष के समानांतर एक स्पर्शरेखा खींच सकते हैं पर, फिर स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है। (स्लाइड नंबर 10)

या दूसरे तरीके से। एक बिंदु पर व्युत्पन्न एक्स = एफ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर वाई = एफ (एक्स)इस समय।

यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है। (स्लाइड नंबर 11)

इसके अलावा, अगर:

आइए हम स्पर्शरेखा समीकरण के सामान्य रूप का पता लगाएं।

मान लीजिए कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। हम जानते हैं कि । m की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। आइए इसे समीकरण में डालते हैं। हमें मिलता है, अर्थात्। . पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें कतथा एमएक सीधी रेखा के समीकरण में:

फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण है। (स्लाइड संख्या 12)

उदाहरणों पर विचार करें:

आइए स्पर्शरेखा का समीकरण बनाते हैं:

(स्लाइड नंबर 14)

इन उदाहरणों को हल करते हुए, हमने एक बहुत ही सरल एल्गोरिथम का उपयोग किया, जो इस प्रकार है: (स्लाइड संख्या 15)

विशिष्ट कार्यों और उनके समाधान पर विचार करें।

1 बिंदु पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए।

(स्लाइड नंबर 16)

समाधान। आइए इस उदाहरण में दिए गए एल्गोरिदम का उपयोग करें।

3) ;

4) प्राप्त संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

2 फलन के आलेख पर एक स्पर्श रेखा खींचिए जिससे वह सरल रेखा के समानांतर हो। (स्लाइड नंबर 17)

समाधान। आइए समस्या के सूत्रीकरण को परिष्कृत करें। "एक स्पर्शरेखा खींचना" की आवश्यकता का अर्थ आमतौर पर "एक स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाना" है। आइए इस उदाहरण में दिए गए स्पर्शरेखा आरेखण एल्गोरिदम का उपयोग करें।

वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा के समानांतर होनी चाहिए। दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके ढलान समान हों। तो स्पर्शरेखा का ढलान दी गई सीधी रेखा के ढलान के बराबर होना चाहिए: .नहीं। फलस्वरूप: ; ।, अर्थात।

वी. समस्या समाधान।

1. तैयार ड्राइंग पर समस्याओं का समाधान (स्लाइड नंबर 18 और स्लाइड नंबर 19)

2. पाठ्यपुस्तक से समस्याओं को हल करना: संख्या 29.3 (ए, सी), संख्या 29.12 (बी, डी), संख्या 29.18, संख्या 29.23 (ए) (स्लाइड नंबर 20)

VI. संक्षेप।

1. प्रश्नों के उत्तर दें:

किसी बिंदु पर किसी फलन के आलेख की स्पर्श रेखा क्या कहलाती है?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें?

2. पाठ में क्या कठिनाइयाँ थीं, पाठ के कौन से क्षण आपको सबसे अधिक पसंद आए?

3. अंकन।

सातवीं। पर टिप्पणी गृहकार्य

नंबर 29.3 (बी, डी), नंबर 29.12 (ए, सी), नंबर 29.19, नंबर 29.23 (बी) (स्लाइड नंबर 22)

साहित्य। (स्लाइड 23)

बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए (बुनियादी स्तर) / ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच। - एम .: मेनेमोसिन, 2009।
बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: समस्या पुस्तक, 10-11 कोशिकाओं के लिए। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए (बुनियादी स्तर) / ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच। - एम .: मेनेमोसिन, 2009।
बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। स्वतंत्र और परीक्षण पत्रकक्षा 10-11 के लिए। / एर्शोवा ए.पी., गोलोबोरोडको वी.वी. - एम .: इलेक्सा, 2010।
2010 का उपयोग करें। गणित। टास्क B8. वर्कबुक/ ए.एल. सेमेनोव और आई.वी. यशचेंको के संपादन के तहत - एम।: एमटीएसएनएमओ पब्लिशिंग हाउस, 2010।

कक्षा 11 19.10 में बीजगणित पाठ खोलें। 2011

शिक्षक: गोर्बुनोवा एस.वी.

पाठ विषय:फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण।

पाठ मकसद

"स्पर्शरेखा" की अवधारणा को स्पष्ट करें।
स्पर्शरेखा समीकरण व्युत्पन्न करें।
"फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के समीकरण को आरेखित करने" के लिए एक एल्गोरिथ्म लिखें

वाई = एफ (एक्स)"।

विभिन्न गणितीय स्थितियों में स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए कौशल और क्षमताओं का अभ्यास करना शुरू करें।
अध्ययन के तत्वों का विश्लेषण, सामान्यीकरण, प्रदर्शन, उपयोग करने, गणितीय भाषण विकसित करने की क्षमता बनाने के लिए।

उपकरण: कंप्यूटर, प्रस्तुति, प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, रिमाइंडर कार्ड, प्रतिबिंब कार्ड।

पाठ संरचना:

वह। यू
पाठ विषय संदेश
अध्ययन सामग्री की पुनरावृत्ति
समस्या का निरूपण।
नई सामग्री की व्याख्या।
"एक स्पर्शरेखा के समीकरण को तैयार करने" के लिए एक एल्गोरिथ्म का निर्माण।
इतिहास संदर्भ.
समेकन। स्पर्शरेखा समीकरण बनाने में कौशल और क्षमताओं का विकास।
गृहकार्य।
स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य
पाठ को सारांशित करना।
प्रतिबिंब

कक्षाओं के दौरान

1. ओ.एन.यू.

2. पाठ का विषय पोस्ट करना

आज के पाठ का विषय है "किसी फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण।" अपनी नोटबुक खोलें, पाठ की तारीख और विषय लिखें। (स्लाइड 1)

स्क्रीन पर दिखाई देने वाले शब्दों को आज के पाठ का आदर्श वाक्य बनने दें (स्लाइड 2)

कोई बुरे विचार नहीं हैं
रचनात्मक सोचें
जोखिम लें
आलोचना न करें

पाठ की तैयारी के लिए, हम पहले पढ़ी गई सामग्री को दोहराएंगे। स्क्रीन पर ध्यान दें। समाधान को अपनी नोटबुक में लिख लें।

2. अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति (स्लाइड 3)।

उद्देश्य: भेदभाव के बुनियादी नियमों के ज्ञान का परीक्षण करना।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

एक से अधिक गलती किसके पास है? किसके पास एक है?

3. अद्यतन

उद्देश्य: ध्यान को सक्रिय करने के लिए, स्पर्शरेखा के बारे में ज्ञान की कमी दिखाएं, पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य तैयार करें। (स्लाइड 4)

आइए चर्चा करें कि फ़ंक्शन ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा क्या है?

क्या आप इस कथन से सहमत हैं कि "एक स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जिसमें दिए गए वक्र के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है"?
चर्चा होती है। बच्चों के कथन (हाँ और क्यों, नहीं और क्यों)। चर्चा के दौरान, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि यह कथन सत्य नहीं है।

आइए विशिष्ट उदाहरण देखें:

उदाहरण।(स्लाइड 5)
1) रेखा x = 1 में परवलय y = x 2 के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु M(1; 1) है, लेकिन यह परवलय की स्पर्शरेखा नहीं है।

एक ही बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा y = 2x - 1 दिए गए परवलय की स्पर्श रेखा है।

रेखा x = ग्राफ़ की स्पर्श रेखा नहीं है y = क्योंकि x, हालांकि इसके साथ एकमात्र सामान्य बिंदु K(π; 1) है। दूसरी ओर, एक ही बिंदु से गुजरने वाली रेखा y = - 1 ग्राफ के स्पर्शरेखा है, हालांकि इसमें फॉर्म के अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु हैं (π+2 πk; 1), जहां k एक पूर्णांक है, प्रत्येक में जो चार्ट से संबंधित है।

^ 4. पाठ में बच्चों के लिए लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना: (स्लाइड 6)

पाठ का उद्देश्य स्वयं तैयार करने का प्रयास करें।

पता लगाएँ कि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है, स्पर्शरेखा का समीकरण व्युत्पन्न करें। समस्या समाधान के लिए सूत्र लागू करें
^ 5. नई सामग्री सीखना

देखें कि रेखा x=1 की स्थिति y=2x-1 की स्थिति से कैसे भिन्न है? (स्लाइड 7)

निष्कर्ष निकालें कि स्पर्शरेखा क्या है?

स्पर्शरेखा छेदक की सीमित स्थिति है।

चूंकि स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है, और हमें स्पर्शरेखा के लिए समीकरण लिखने की आवश्यकता है, आपको क्या लगता है कि हमें क्या याद रखना चाहिए?

सरल रेखा समीकरण के सामान्य रूप को याद करें। (y \u003d kx + b)

संख्या k का दूसरा नाम क्या है? (इस रेखा और बैल अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण की ढलान या स्पर्शरेखा) k \u003d tg α

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?

x-अक्ष की स्पर्शरेखा और धनात्मक दिशा के बीच झुकाव कोण की स्पर्शरेखा

यानी मैं tg α = yˈ(x) लिख सकता हूं। (स्लाइड 8)

आइए इसे एक ड्राइंग के साथ स्पष्ट करते हैं। (स्लाइड 9)

मान लीजिए कि एक फलन y = f (x) दिया गया है और इस फलन के ग्राफ से संबंधित एक बिंदु M दिया गया है। आइए इसके निर्देशांक इस प्रकार परिभाषित करें: x=a, y=f(a), यानी। एम (ए, एफ (ए)) और एक व्युत्पन्न होने दें एफ "(ए), यानी किसी दिए गए बिंदु पर, व्युत्पन्न परिभाषित किया गया है। बिंदु एम के माध्यम से एक स्पर्शरेखा बनाएं। स्पर्शरेखा समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है , तो ऐसा लगता है: y \u003d kx + b। इसलिए, कार्य k और b को ढूंढना है। ब्लैकबोर्ड पर ध्यान दें, वहां क्या लिखा है, क्या k खोजना संभव है? (हाँ, k = f " (एक)।)

अब बी कैसे खोजें? वांछित रेखा बिंदु M (a; f (a)) से होकर गुजरती है, हम इन निर्देशांकों को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: f (a) \u003d ka + b, इसलिए b \u003d f (a) - ka, चूंकि k \u003d tg α \u003d yˈ(x), फिर b = f(a) – f "(a)a

समीकरण y = kx + b में b और k के मान रखिए।

y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वाई \u003d एफ (ए) + एफ "(ए) (एक्स-ए)।

हमने बिंदु x = a पर फलन y = f(x) के आलेख की स्पर्श रेखा का समीकरण प्राप्त किया है।

स्पर्शरेखा पर समस्याओं को आत्मविश्वास से हल करने के लिए, आपको इस समीकरण में प्रत्येक तत्व का अर्थ स्पष्ट रूप से समझना होगा। आइए इस पर फिर से ध्यान दें: (स्लाइड 10)

(ए, एफ (ए)) - संपर्क बिंदु
f "(a) \u003d tg α \u003d k ढलान कोण या ढलान
(x, y) - स्पर्शरेखा का कोई भी बिंदु

और इसलिए हमने स्पर्शरेखा के समीकरण को व्युत्पन्न किया, इस समीकरण में प्रत्येक तत्व के अर्थ का विश्लेषण किया, आइए अब फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्राप्त करने का प्रयास करें।

6. एक एल्गोरिथ्म तैयार करना (स्लाइड 11)।

मैं स्वयं छात्रों के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाने का प्रस्ताव करता हूं:

हम अक्षर a के संपर्क के बिंदु के भुज को निरूपित करते हैं।
आइए f(a) की गणना करें।
f "(x) खोजें और f "(a) की गणना करें।
आइए हम संख्या a, f (a), f "(a) के पाए गए मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
वाई \u003d एफ (ए) + एफ "(ए) (एक्स-ए)।

(मैं बाद के काम के लिए अनुस्मारक के रूप में छात्रों को अग्रिम रूप से मुद्रित एल्गोरिदम वितरित करता हूं।)

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि (स्लाइड 12)।

स्क्रीन पर ध्यान दें। शब्द को ठीक करो

1	4/3	9	-4	-1	-3	5

उत्तर: फ्लक्स (स्लाइड 13)।

इस नाम की मूल कहानी क्या है? (स्लाइड 14.15)

भौतिक विज्ञान, यांत्रिकी और गणित में कई समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के संबंध में व्युत्पन्न की अवधारणा उत्पन्न हुई। गणितीय विश्लेषण के बुनियादी नियमों की खोज का सम्मान अंग्रेजी वैज्ञानिक न्यूटन और जर्मन गणितज्ञ लाइबनिज को है। लाइबनिज ने मनमाना वक्र पर स्पर्श रेखा खींचने की समस्या पर विचार किया।

अंग्रेजी गांव वूलस्ट्रॉप में पैदा हुए प्रसिद्ध भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन ने गणित में महत्वपूर्ण योगदान दिया। वक्रों पर स्पर्श रेखा खींचने की समस्याओं को हल करते हुए, वक्राकार आकृतियों के क्षेत्रों की गणना करते हुए, उन्होंने ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एक सामान्य विधि बनाई - प्रवाह विधि (डेरिवेटिव), और खुद व्युत्पन्न कहलाते हैं प्रवाहमय .

उन्होंने पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और अभिन्न की गणना की। वह अपने काम "मेथड ऑफ फ्लक्सियन्स" (1665 - 1666) में डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के बारे में लिखते हैं, जो गणितीय विश्लेषण, डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस की शुरुआत में से एक के रूप में कार्य करता है, जिसे वैज्ञानिक ने लीबनिज से स्वतंत्र रूप से विकसित किया था।

में कई वैज्ञानिक अलग सालस्पर्शरेखा में रुचि रखते थे। कभी-कभी, इतालवी गणितज्ञ एन। टार्टाग्लिया (सी। 1500 - 1557) के कार्यों में एक स्पर्शरेखा की अवधारणा का सामना करना पड़ा - यहां बंदूक के झुकाव के कोण के मुद्दे का अध्ययन करने के दौरान स्पर्शरेखा दिखाई दी, जो सुनिश्चित करता है प्रक्षेप्य की उड़ान की सबसे बड़ी दानशीलता। I. केप्लर ने दिए गए त्रिज्या की एक गेंद में अंकित समानांतर चतुर्भुज के सबसे बड़े आयतन की समस्या को हल करने के दौरान स्पर्शरेखा पर विचार किया।

17वीं शताब्दी में, जी. गैलीलियो के गति के सिद्धांत के आधार पर, व्युत्पन्न की गतिज अवधारणा को सक्रिय रूप से विकसित किया गया था। आर. डेसकार्टेस, फ्रांसीसी गणितज्ञ रोबरवाल, अंग्रेजी वैज्ञानिक डी. ग्रेगरी, आई. बैरो के कार्यों में विभिन्न प्रस्तुति विकल्प पाए जाते हैं।

8. समेकन (स्लाइड 16-18)।

1) भुज के साथ बिंदु पर f (x) \u003d x² - 3x + 5 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें

समाधान:

आइए एक स्पर्शरेखा का समीकरण बनाएं (एल्गोरिदम के अनुसार)। एक मजबूत छात्र को बुलाओ।

ए = -1;
एफ (ए) = एफ (-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
च "(एक्स) \u003d 2x - 3,
च "(ए) \u003d एफ "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;
वाई \u003d 9 - 5 (एक्स + 1),

वाई = 4 - 5x।

उत्तर: y = 4 - 5x।

USE असाइनमेंट 2011 B-8

1. फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल (-3; 4) पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा एब्सिसा ए \u003d 1 के बिंदु पर इस ग्राफ के लिए अपना ग्राफ और स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु ए \u003d 1 पर व्युत्पन्न f "(x) के मूल्य की गणना करें।

समाधान: इसे हल करने के लिए, यह याद रखना आवश्यक है कि यदि किसी दी गई रेखा पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं A और B के निर्देशांक ज्ञात हैं, तो इसकी ढलान की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है: k \u003d, जहाँ (x 1; y 1), (x 2; y 2) क्रमशः बिंदुओं A, B के निर्देशांक हैं। ग्राफ से पता चलता है कि यह स्पर्शरेखा निर्देशांक (1; -2) और (3; -1) वाले बिंदुओं से गुजरती है, जिसका अर्थ है k=(-1-(-2))/(3-1)= 0.5।

2. फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल (-3; 4) पर परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा एब्सिसा ए = -2 के साथ बिंदु पर अपना ग्राफ और इस ग्राफ के स्पर्शरेखा को दिखाता है। बिंदु a \u003d -2 पर व्युत्पन्न f "(x) के मान की गणना करें।

हल: आलेख बिंदुओं (-2;1) (0;-1) से होकर गुजरता है। एफˈ(-2)= -2

8. होमवर्क (स्लाइड 19)।

परीक्षा की तैयारी बी-8 नंबर 3 - 10

^ 9. स्वतंत्र कार्य

फ़ंक्शन y \u003d f (x) के बिंदु पर भुज a के साथ स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।
विकल्प 1 विकल्प 2

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

उत्तर: पहला विकल्प: y=3x; विकल्प 2: y \u003d -11x + 12

10. संक्षेप।

किसी बिंदु पर किसी फलन के आलेख की स्पर्श रेखा क्या कहलाती है?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
एक बिंदु पर स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें?

11. प्रतिबिंब:

एक इमोटिकॉन चुनें जो पाठ के बाद आपके मूड और स्थिति से मेल खाता हो। सबक के लिए धन्यवाद।

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