У курсі середньої та старшої школи учні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається у процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення якогось виразу, наприклад, множення дробів.

Що таке дріб?

Так історично склалося, що дробові числа виникли через необхідність вимірювати. Як показує практика, часто зустрічаються приклади визначення довжини відрізка, обсягу прямокутного прямокутника.

Спочатку учні знайомляться з таким поняттям як частка. Наприклад, якщо розділити кавун на 8 частин, то кожному дістанеться по одній восьмій кавуна. Ось ця одна частина з восьми і називається часткою.

Частка, що дорівнює ½ від будь-якої величини, називається половиною; ⅓ - третю; ¼ – чвертю. Записи виду 5/8, 4/5, 2/4 називають звичайними дробами. Звичайний дріб поділяється на чисельник та знаменник. Між ними знаходиться межа дробу, або дробова характеристика. Дробну межу можна намалювати у вигляді як горизонтальної, так і похилої лінії. У разі вона позначає знак поділу.

Знаменник представляє, скільки однакових часток поділяють величину, предмет; а чисельник - скільки однакових часток взято. Чисельник пишеться над дробовою рисою, знаменник - під нею.

Найзручніше показати звичайні дроби на координатному промені. Якщо одиничний відрізок розділити на 4 рівні частки, позначити кожну частку латинською літерою, то в результаті можна отримати відмінний наочний посібник. Так, точка А показує частку, що дорівнює 1 / 4 від всього одиничного відрізка, а точка відзначає 2 / 8 від даного відрізка.

Різновиди дробів

Дроби бувають прості, десяткові, і навіть змішані числа. Крім того, дроби можна розділити на правильні та неправильні. Ця класифікація найбільше підходить для звичайних дробів.

Під правильним дробомрозуміють число, у якого чисельник менший за знаменник. Відповідно, неправильний дріб - число, у якого чисельник більший за знаменник. Другий вигляд зазвичай записують як змішаного числа. Такий вираз складається з цілої та дробової частини. Наприклад, 1½. 1 – ціла частина, ½ – дробова. Однак якщо потрібно провести якісь маніпуляції з виразом (розподіл чи множення дробів, їх скорочення чи перетворення), змішане число перетворюється на неправильний дріб.

Правильне дробове вираз завжди менше одиниці, а неправильне - більше чи одно 1.

Що стосується то під цим виразом розуміють запис, в якому представлено будь-яке число, знаменник дробового виразу якого можна виразити через одиницю з кількома нулями. Якщо дріб правильний, то ціла частина в десяткового записудорівнюватиме нулю.

Щоб записати десятковий дріб, потрібно спочатку написати цілу частину, відокремити її від дробової за допомогою коми і потім уже записати дробовий вираз. Необхідно пам'ятати, що після коми чисельник повинен містити стільки ж цифрових символів, скільки нулів у знаменнику.

приклад. Подати дріб 7 21 / 1000 у десятковому записі.

Алгоритм переведення неправильного дробу в змішане число і навпаки

Записувати у відповіді завдання неправильний дріб некоректно, тому його потрібно перевести в змішане число:

• розділити чисельник на наявний знаменник;
• у конкретному прикладі неповне приватне – ціле;
• і залишок - чисельник дрібної частини, причому знаменник залишається незмінним.

приклад. Перевести неправильний дріб у змішане число: 47/5 .

Рішення. 47: 5. Неповне приватне дорівнює 9, залишок = 2. Значить, 47/5 = 9 2/5.

Іноді потрібно уявити змішане число як неправильний дроб. Тоді потрібно скористатися наступним алгоритмом:

• ціла частина множиться на знаменник дрібного виразу;
• отриманий твір додається до чисельника;
• Результат записується в чисельнику, знаменник залишається незмінним.

приклад. Подати число у змішаному вигляді як неправильний дроб: 9 8 / 10 .

Рішення. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 – чисельник.

Відповідь: 98 / 10.

Розмноження дробів звичайних

Над звичайними дробами можна здійснювати різні операції алгебри. Щоб перемножити два числа, потрібно чисельник перемножити з чисельником, а знаменник із знаменником. Причому множення дробів з різними знаменникамине відрізняється від добутку дробових чисел з однаковими знаменниками.

Трапляється, що після знаходження результату потрібно скоротити дріб. У обов'язковому порядкупотрібно максимально спростити вираз, що вийшов. Звичайно, не можна сказати, що неправильний дріб у відповіді - це помилка, але й назвати правильною відповіддю її теж важко.

приклад. Знайти добуток двох звичайних дробів: ½ і 20/18.

Як видно з прикладу, після знаходження твору вийшов скоротитий дробовий запис. І чисельник, і знаменник у разі ділиться на 4, і результатом виступає відповідь 5 / 9 .

Розмноження дробів десяткових

Добуток десяткових дробів досить сильно відрізняється від твору звичайних за своїм принципом. Отже, множення дробів полягає в наступному:

• два десяткові дроби потрібно записати один під одним так, щоб крайні праві цифри опинилися одна під одною;
• потрібно перемножити записані числа, незважаючи на коми, тобто як натуральні;
• підрахувати кількість цифр після знака комою у кожному із чисел;
• в отриманому після перемноження результаті потрібно відрахувати праворуч стільки цифрових символів, скільки міститься в сумі в обох множниках після коми, і поставити знак, що відокремлює;
• якщо цифр у творі виявилося менше, тоді перед ними потрібно написати стільки нулів, щоб покрити цю кількість, поставити кому і приписати цілу частину, що дорівнює нулю.

приклад. Обчислити добуток двох десяткових дробів: 2,25 та 3,6.

Рішення.

Розмноження змішаних дробів

Щоб вирахувати добуток двох змішаних дробів, потрібно використовувати правило множення дробів:

• перевести числа у змішаному вигляді у неправильні дроби;
• знайти добуток чисельників;
• знайти твір знаменників;
• записати результат, що вийшов;
• максимально спростити вираз.

приклад. Знайти добуток 4½ та 6 2/5.

Розмноження числа на дріб (дроби на число)

Крім знаходження добутку двох дробів, змішаних чисел, зустрічаються завдання, де потрібно помножити на дріб.

Отже, щоб знайти твір десяткового дробута натурального числа, потрібно:

• записати число під дробом так, щоб крайні праві цифри опинилися одна над одною;
• знайти твір, незважаючи на кому;
• в отриманому результаті відокремити цілу частину від дробової за допомогою коми, відрахувавши праворуч кількість знаків, яка знаходиться після коми в дробі.

Щоб помножити звичайний дріб на число, слід знайти добуток чисельника та натурального множника. Якщо у відповіді виходить скоротитий дріб, його слід перетворити.

приклад. Обчислити добуток 5/8 та 12.

Рішення. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Відповідь: 7 1 / 2.

Як видно з попереднього прикладу, необхідно було скоротити результат і перетворити неправильне дробове вираз у змішане число.

Також множення дробів стосується і знаходження добутку числа у змішаному вигляді та натурального множника. Щоб перемножити ці два числа, слід цілу частину змішаного множника помножити на число, чисельник помножити на це значення, а знаменник залишити незмінним. Якщо потрібно, потрібно максимально спростити результат, що вийшов.

приклад. Знайти твір 9 5/6 та 9.

Рішення. 9 5/6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Відповідь: 88 1 / 2.

множення на множники 10, 100, 1000 або 0,1; 0,01; 0,001

З попереднього пункту випливає таке правило. Для множення дробу десяткового на 10, 100, 1000, 10000 і т. д. потрібно пересунути кому вправо на стільки символів цифр, скільки нулів у множнику після одиниці.

Приклад 1. Знайти добуток 0,065 та 1000.

Рішення. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Відповідь: 65.

Приклад 2. Знайти добуток 3,9 та 1000.

Рішення. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Відповідь: 3900.

Якщо потрібно перемножити натуральне числота 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і т. д., слід пересунути вліво кому в творі на стільки символів цифр, скільки нулів знаходиться до одиниці. Якщо потрібно, перед натуральним числом записуються нулі в достатній кількості.

Приклад 1. Знайти добуток 56 та 0,01.

Рішення. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Приклад 2. Знайти твір 4 та 0,001.

Рішення. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Відповідь: 0,004.

Отже, знаходження твору різних дробів повинно викликати труднощів, хіба що підрахунок результату; у такому разі без калькулятора просто не обійтись.

) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).

Формула множення дробів:

Наприклад:

Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше далі робити розрахунки.

Розподіл звичайного дробу на дріб.

Розподіл дробів за участю натурального числа.

Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:

Розмноження змішаних дробів.

Правила множення дробів (змішаних):

• перетворюємо змішані дроби на неправильні;
• перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
• скорочуємо дріб;
• якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.

Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно, спершу, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.

Другий спосіб множення дробу на натуральне число.

Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.

Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.

З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Багатоповерхові дроби.

У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:

Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:

Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.

Зверніть увагу, наприклад:

При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:

Практичні поради при множенні та розподілі дробів:

1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися у розрахунках в умі.

2. У завданнях з різними видами дробів – переходьте до виду звичайних дробів.

3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.

4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів у 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, тому що в побуті часто потрібно розглядати або використовувати якийсь об'єкт не повністю, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми – частки. Частки - це рівні частини, куди розділений той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину чи ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини чи частки будь-якого заходу. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, у VIII столітті виникло саме слово «дроб» у російській мові.

Дробові вислови тривалий час вважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, у разі першопідручників з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося у розумінні людей.

Сучасному вигляду простих дрібних залишків, частини яких розділені саме горизонтальною рисою, вперше посприяв Фібоначчі - Леонардо Пізанський. Його праці датовані 1202 року. Але мета цієї статті – просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів із різними знаменниками.

Розмноження дробів з різними знаменниками

Спочатку варто визначити різновиди дробів:

• правильні;
• неправильні;
• змішані.

Далі слід згадати, як відбувається множення дробових чисел із однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробовий вираз, чисельник якого є добутком чисельників, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменник є квадратом одного з існуючих спочатку.

При множенні простих дробів із різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Єдине відмінність у цьому, що освічене число під дробовою рисою буде добутком різних чисел і, природно, квадратом одного числового виразу його назвати неможливо.

Варто розглянути множення дробів із різними знаменниками на прикладах:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

У прикладах застосовуються способи скорочення дробових виразів. Можна скорочувати лише числа чисельника з числами знаменника, поруч множники, що стоять, над дробовою рисою або під нею скорочувати не можна.

Поряд із простими дробовими числамиіснує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа та дробової частини, тобто є сумою цих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Як відбувається перемноження

Пропонується кілька прикладів до розгляду.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цієї дії можна формулою:

a * b/c = a*b /c.

Власне, такий твір є сума однакових дробових залишків, а кількість доданків вказує це натуральне число. Окремий випадок:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Існує ще один варіант вирішення множення числа на дрібний залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:

d * e/f = e/f: d.

Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як кажуть, націло.

Перевести змішані числа в неправильні дроби та отримати добуток раніше описаним способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

У цьому прикладі бере участь спосіб подання змішаного дробу в неправильний, його також можна подати у вигляді загальної формули:

a bc = a * b + c/c, де знаменник нового дробу утворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при складанні його з чисельником вихідного дробового залишку, а знаменник залишається тим самим.

Цей процес працює і у зворотний бік. Для виділення цілої частини та дробового залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на його знаменник «куточком».

Розмноження неправильних дробіввиробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробовою рисою, при необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.

В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні задачіу різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу за рахунок множення дробів з різними числами в знаменниках – так звані онлайн-калькулятори для розрахунку дробів. Вони здатні не тільки помножити, а й зробити всі інші найпростіші арифметичні операції зі звичайними дробами та змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичної дії та натискається "обчислити". Програма рахує автоматично.

Тема арифметичних процесів з дробовими числами актуальна протягом навчання школярів середньої та старшої ланки. У старших класах розглядають не прості види, а цілі дробові вирази, але знання правил щодо перетворення та розрахунків, отримані раніше, застосовуються у первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знання дають повну впевненість у вдалому вирішенні найскладніших завдань.

На закінчення має сенс навести слова Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої переваги, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості».