Розмноження алгебраїчних дробів. Розмноження та розподіл алгебраїчних дробів Розмноження алгебраїчних дробів з різними знаменниками

Ми вміємо виконувати множення та розподіл арифметичних дробів, наприклад:

якщо літери a, b, c та d позначають арифметичні цілі числа.

Виникає питання, чи залишаються в силі ці рівності, якщо a, b, c і d позначатимуть: 1) які-небудь арифметичні числата 2) будь-які відносні числа.

Насамперед доведеться розглянути складні дроби, наприклад:

Цих прикладів вже достатньо, щоб переконатися у справедливості рівностей, що відносяться до множення та поділу дробів, коли числа a, b, c і d будь-які (цілі чи дробові) арифметичні. Зауважимо, що основних рівностей лише 2, а саме:

Залишається тепер розглянути, чи залишаться справедливими ці рівності, якщо деякі з чисел a, b, c і d припустити негативні: якщо, наприклад, a від'ємне число, b, c і d – позитивні, то дрібка негативна, а дрібка позитивна; тому, наприклад, від поділу має вийти негативне число, але бачимо, що, згідно з нашим припущенням, і вираз має висловити негативне число, т. е. рівність виправдовується й у разі. Легко також розглянути інші припущення для знаків числі a, b, c і d . Результатом цього розгляду є переконання у справедливості рівностей

і для випадку, коли a, b, c і d виражають будь-які відносні числа, тобто для множення та поділу алгебраїчних дробівзалишаються чинними самі правила, як й у арифметичних.

Тепер ми можемо виконувати множення та розподіл алгебраїчних дробів. Найбільші труднощі представляє тут питання скорочення дробів, одержуваних після множення чи поділу. Якщо алгебраїчні дроби одночленні, то скорочення отриманого результату не представить труднощів, а якщо алгебраїчні дроби, то є необхідним попередньо чисельника і знаменника кожної з цих дробів розкладати на множники.

На цьому уроці будуть розглянуті правила множення та поділу алгебраїчних дробів, а також приклади застосування цих правил. Множення та розподіл алгебраїчних дробів не відрізняється від множення та поділу звичайних дробів. Разом з тим, наявність змінних призводить до більш складних способів спрощення отриманих виразів. Незважаючи на те, що множення та розподіл дробів виконується простіше, ніж їх складання та віднімання, до вивчення даної теми необхідно підійти вкрай відповідально, оскільки в ній існує багато «підводних каменів», на які зазвичай не звертають уваги. У рамках уроку ми не тільки вивчимо правила множення та розподілу дробів, але й розберемо нюанси, які можуть виникнути при їх застосуванні.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Розмноження та розподіл алгебраїчних дробів

Правила множення та розподілу алгебраїчних абсолютно аналогічні правилам множення та розподілу звичайних дробів. Нагадаємо їх:

Тобто для того, щоб помножити дроби, необхідно помножити їх чисельники (це буде чисельник твору), і помножити їх знаменники (це буде знаменник твору).

Поділ на дріб - це множення на перевернутий дріб, тобто, для того, щоб розділити два дроби, необхідно перший з них (ділене) помножити на перевернутий другий (ділитель).

Незважаючи на простоту даних правил, багато хто при вирішенні прикладів з цієї теми припускаються помилок у ряді окремих випадків. Розглянемо докладніше ці окремі випадки:

У всіх цих правилах ми скористалися наступним фактом: .

Вирішимо кілька прикладів на множення та розподіл звичайних дробів, щоб згадати, як користуватися вказаними правилами.

Приклад 1

Примітка:при скороченні дробів ми користувалися розкладанням числа на прості множники. Нагадаємо, що простими числами називаються такі натуральні числа, Що діляться тільки на і на себе. Інші числа називаються складовими . Число не відноситься ні до простих, ні до складових. Приклади простих чисел: .

Приклад 2

Розглянемо тепер один із окремих випадків з звичайними дробами.

Приклад 3

Як бачимо, множення та розподіл звичайних дробів, у разі правильного застосування правил, не є складним.

Розглянемо множення та розподіл алгебраїчних дробів.

Приклад 4

Приклад 5

Зазначимо, що скорочувати дроби після множення можна і навіть потрібно за тими самими правилами, які ми до цього розглядали на уроках, присвячених скороченню дробів алгебри. Розглянемо кілька простих прикладівна окремі випадки.

Приклад 6

Приклад 7

Розглянемо тепер трохи більше складних прикладівна множення та розподіл дробів.

Приклад 8

Приклад 9

Приклад 10

Приклад 11

Приклад 12

Приклад 13

До цього розглядали дроби, у яких і чисельник, і знаменник були одночленами. Однак у ряді випадків необхідно перемножити або поділити дроби, чисельники та знаменники яких є багаточленами. У цьому випадку правила залишаються такими ж, а для скорочення необхідно використовувати формули скороченого множення та винесення за дужки.

Приклад 14

Приклад 15

Приклад 16

Приклад 17

Приклад 18

На цьому уроці будуть розглянуті правила множення та поділу алгебраїчних дробів, а також приклади застосування цих правил. Множення та віднімання алгебраїчних дробів не відрізняється від множення та поділу звичайних дробів. Разом з тим, наявність змінних призводить до більш складних способів спрощення отриманих виразів. Незважаючи на те, що множення та розподіл дробів виконується простіше, ніж їх складання та віднімання, до вивчення даної теми необхідно підійти вкрай відповідально, оскільки в ній існує багато «підводних каменів», на які зазвичай не звертають уваги. У рамках уроку ми не тільки вивчимо правила множення та розподілу дробів, але й розберемо нюанси, які можуть виникнути при їх застосуванні.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Розмноження та розподіл алгебраїчних дробів

1. Правила множення та поділу звичайних та алгебраїчних дробів

Правила множення та поділу алгебраїчних дробів абсолютно аналогічні правилам множення та поділу звичайних дробів. Нагадаємо їх:

2. Приватні випадки застосування правил множення та поділу дробів

У всіх цих правилах ми скористалися наступним фактом: .

3. Приклади множення та поділу звичайних дробів

Приклад 1

Примітка: при скороченні дробів ми скористалися розкладанням числа на прості множники. Нагадаємо, що простими числаминазиваються такі натуральні числа, які поділяються тільки на і на себе. Інші числа називаються складовими. Число не відноситься ні до простих, ні до складових. Приклади простих чисел: .

Приклад 2

Розглянемо тепер один із окремих випадків із звичайними дробами.

Приклад 3

Як бачимо, множення та розподіл звичайних дробів, у разі правильного застосування правил, не є складним.

4. Приклади множення та поділу алгебраїчних дробів (прості випадки)

Розглянемо множення та розподіл алгебраїчних дробів.

Приклад 4

Приклад 5

Приклад 6

Приклад 7

Розглянемо тепер кілька складніших прикладів на множення та розподіл дробів.

Приклад 8

Приклад 9

Приклад 10

Приклад 11

Приклад 12

Приклад 13

5. Приклади множення та поділу алгебраїчних дробів (складні випадки)

Приклад 14

Тема: Розмноження та розподіл алгебраїчних дробів

Освіта є те, що залишається, коли все вивчене вже забуте

Лауе

Цілі:

Освітні:

закріпити ЗУН на тему

провести первинний поточний контроль знань

працювати над пробілами

Розвиваючі:

сприяти розвитку комунікативної компетенції, тобто. уміння ефективно співпрацювати з іншими людьми.

сприяти розвитку кооперативної компетенції, тобто. вмінню працювати у парах.

сприяти розвитку проблемної компетенції, тобто. вмінню розуміти неминучість виникнення труднощів у ході будь-якої діяльності.

Виховні:

прищеплювати вміння адекватно оцінювати роботу, виконану товаришем;

під час роботи у парах виховувати якості взаємодопомоги, підтримки.

Методичні:

створення умов для прояву індивідуальності, пізнавальної активностіучнів;

показати методику проведення уроку із проектуванням результатів навчальної діяльностіта способів їх дослідження на основі компетентнісного підходу.

Обладнання:дошка, кольоровий крейда. Таблиця "Умноження та розподіл алгебраїчних дробів"; картки для індивідуальної роботи, картки-"пам'ятки". Завдання у вільну хвилину.

Хід уроку

Організаційний момент

План уроку записано на дошці:

Усна розминка.

Індивідуальна робота.

Розв'язання завдань.

Парні роботи.

Підсумок уроку.

Домашнє завдання.

Вчитель: За старих часів на Русі вважалося, що якщо людина була обізнаною з математики, то це означало вищий ступіньвченості. А вміння правильно бачити та чути перший крок до мудрості. Хочеться, щоб сьогодні всі учні вашого класу показали, наскільки вони мудрі та наскільки обізнані люди в алгебрі 7 класу.

Отже, тема уроку "Множення та розподіл алгебраїчних дробів" На минулому уроці ви почали вивчати цю тему, і ми обговорювали, навіщо її вивчаємо. Давайте згадаємо, де вона нам знадобиться вже за кілька уроків.

Учні: Для спільних дійз алгебраїчними дробами, на вирішення рівнянь, отже, і завдань.

Вчитель: Ще за старих часів на Русі говорили, що множення - мука, а з розподілом - біда. Той, хто умів швидко і безпомилково множити і ділити, вважався великим математиком.

Які цілі ви поставите перед собою?

Учні: Продовжити вивчати тему, навчитися швидко та безпомилково множити та ділити.

Вчитель: Щоб досягти поставленої мети ми (відкриває план, записаний на дошці, промовляє його)

1. Усна розминка: (у цей час 3 - 4 особи вирішують тренажер зі скорочення дробів у парах) розкладіть на множники, заповнивши пропуски

1= (у-1) (…), 5а+5b=… (a+b), ху-х=х (…), 14-2х=…

скоротите дріб

Дроби, дроби, дроби бий скорочуй їх не шкодуй.

знайдіть помилку, допущену при множенні та розподілі алгебраїчних дробів

Вчитель: Де допущено помилку? Чому помилку допущено? Якого правила учень не знав? Яке знав? Як потрібно правильно зробити?

2. Робота у зошиті, № з підручника 488 (1) Аналіз, рішення, перевірка.

Вчитель: А зараз вам представиться можливість показати свої знання при виконанні тесту, а щоб надихнути вас на роботу прочитаю віршик "Щоб записав вчитель "5" у твій щоденник чисельник на чисельник зумій помножити вмить, а щоб викладач задоволений був тобою, ти перший знаменник помножиш на другий "

Самоперевірка, взаємоперевірка. За критеріями (вивішені на дошці) В-1 (321), В-2 (132) за правильними кодами оцінювання в парах. Початковий результат. Оцінка.

Робота над помилками у парах "учень-вчитель"

Якщо парах немає помилок роблять завдання у вільну хвилину.

Спростіть вираз і знайдіть його значення при

5. Підсумок уроку

На закінчення уроку, я хотів би дізнатися у вас, які види роботи викликали у вас труднощі? Як ви вважаєте, чому? Що впізнали нового? Хто із вас задоволений своєю роботою на уроці? Як ви вважаєте, цілей, поставлених на початку уроку досягнуто?

Вчитель: Закінчити урок я хотіла б словами французького інженера-фізика Лауе: "Освіта є те, що залишається, коли все вивчене вже забуте"

Сподіваюся, що цей матеріал ви не забудете, щоб цього не трапилося, треба виконати д/з №486,487,488 парні.

Відеоурок «Умноження та розподіл алгебраїчних дробів. Зведення алгебраїчного дробу в ступінь» - допоміжний засібдля ведення уроку математики на цю тему. За допомогою відеоуроку вчителю легше сформувати в учнів вміння виконувати множення та розподіл алгебраїчних дробів. Наочний посібник містить докладний зрозумілий опис прикладів, у яких виконуються операції множення та поділу. Матеріал може бути продемонстрований під час пояснення вчителя чи стати окремою частиною уроку.

Щоб сформувати вміння вирішувати завдання на множення та поділ алгебраїчних дробів, під час опису рішення даються важливі коментарі, моменти, що вимагають запам'ятовування та глибокого розуміння, виділяються за допомогою кольору, жирного шрифту, покажчиків. За допомогою відеоуроку вчитель може підвищити ефективність уроку. Цей наочний посібник допоможе швидко та ефективно досягти навчальних цілей.

Відеоурок починається з подання теми. Після цього вказується, що операції множення і поділу з дробами алгебри проводяться аналогічно операціям зі звичайними дробами. На екрані демонструються правила множення, поділу та зведення у ступінь дробів. За допомогою буквених параметрів демонструється множення дробів. Зазначається, що з множенні дробів чисельники, і навіть знаменники перемножуються. Так виходить результуючий дріб a/b·c/d=ac/bd. Демонструється розподіл дробів з прикладу виразу a/b:c/d. Вказується, що для виконання операції поділу необхідно в чисельник записати твір чисельника дільника і знаменника дільника. Знаменником приватного стає твір знаменника ділимого та чисельника дільника. Таким чином, операція поділу перетворюється на операцію множення дробу поділеного і дробу, зворотного дільнику. Зведення в ступінь дробу дорівнює дробу, в якому чисельник і знаменник зводяться в призначений ступінь.

Далі розглядається розв'язання прикладів. У прикладі 1 необхідно виконати дії (5х-5у)/(х-у)·(х 2 -у 2)/10х. Щоб розв'язати цей приклад, чисельник другого дробу, що входить до твір, розкладається на множники. Використовуючи формули скороченого множення, робиться перетворення х 2 -у 2 = (х + у) (х-у). Потім чисельники дробів та знаменники перемножуються. Після проведення операцій видно, що у чисельнику та знаменнику є множники, які можна скоротити, використовуючи основну властивість дробу. В результаті перетворень виходить дріб (х + у) 2/2х. Тут же розглядається виконання дій 7а 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Усі чисельники і знаменники розглядаються щодо можливості розкладання на множники, виділення загальних множників. Потім перемножуються чисельники та знаменники. Після множення виробляються скорочення. Результатом перетворення стає дріб 2(a-b)/7а.

Розглядається приклад, у якому необхідно виконати дії (х 3 -1) / 8у: (х 2 + х + 1) / 16у 2 . Щоб вирішити вираз, пропонується перетворити чисельник першого дробу, використовуючи формулу скороченого множення х 3 -1=(х-1)(х 2 +х+1). Відповідно до правила розподілу дробів, перший дріб множиться на дріб, зворотний другий. Після перемноження чисельників та знаменників виходить дріб, який містить у чисельнику та знаменнику однакові множники. Вони скорочуються. В результаті виходить дріб (х-1)2у. Тут описується рішення прикладу (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2). Аналогічно попередньому прикладу, для перетворення чисельника застосовується формула скороченого множення. Також перетворюється знаменник дробу. Потім перший дріб перемножується з дробом, зворотного другого дробу. Після множення виконуються перетворення, скорочення чисельника та знаменника на загальні множники. В результаті виходить дріб -(a+b)(a 2 +b 2)/(b-3). Звертається увага учнів, як змінюються знаки чисельника та знаменника при множенні.

У третьому прикладі необхідно виконати дії з дробами ((х+2)/(3х 2 -6х)) 3:((х 2 +4х+4)/(х 2 -4х+4)) 2 . У рішенні цього прикладу застосовується правило зведення дробу на ступінь. І перший, і другий дріб зведений у ступінь. Вони перетворюються зведенням у ступінь чисельники та знаменника дробу. Крім того, для перетворення знаменників дробів застосовується формула скороченого множення, виділення загального множника. Щоб поділити перший дріб на другий, необхідно помножити перший дріб на зворотний дріб до другого. У чисельнику та знаменнику утворюються вирази, які можна скоротити. Після перетворення виходить дріб (х-2)/27х3 (х+2).

Відеоурок «Умноження та розподіл алгебраїчних дробів. Зведення алгебраїчної дробу в ступінь» застосовується підвищення ефективності традиційного уроку математики. Матеріал може бути корисним вчителю, який здійснює навчання дистанційно. Детальний зрозумілий опис рішення прикладів допоможе учням, які самостійно освоюють предмет або потребують додаткових занять.

1. Правила множення та поділу звичайних та алгебраїчних дробів

2. Приватні випадки застосування правил множення та поділу дробів

3. Приклади множення та поділу звичайних дробів

4. Приклади множення та поділу алгебраїчних дробів (прості випадки)

5. Приклади множення та поділу алгебраїчних дробів (складні випадки)

Читайте також