Jednou z najdôležitejších úloh diferenciálneho počtu je vývoj všeobecných príkladov štúdia správania funkcií.
Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na intervale a jej derivácia je kladná alebo rovná 0 na intervale (a, b), potom y \u003d f (x) sa zvýši o (f "(x) 0). Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na segmente a jej derivácia je záporná alebo rovná 0 na intervale (a,b), potom y=f(x) klesá o (f"( x)0)
Intervaly, v ktorých funkcia neklesá alebo nerastie, sa nazývajú intervaly monotónnosti funkcie. Povaha monotónnosti funkcie sa môže meniť len v tých bodoch jej definičného oboru, v ktorých sa mení znamienko prvej derivácie. Body, v ktorých prvá derivácia funkcie zmizne alebo sa zlomí, sa nazývajú kritické body.
Veta 1 (1. postačujúca podmienka existencie extrému).
Nech je funkcia y=f(x) definovaná v bode x 0 a nech existuje okolie δ>0 také, že funkcia je spojitá na segmente , diferencovateľná na intervale (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) a jeho derivácia si zachováva konštantné znamienko na každom z týchto intervalov. Potom ak na x 0 -δ, x 0) a (x 0, x 0 + δ) sú znamienka derivácie rôzne, potom x 0 je extrémny bod a ak sa zhodujú, potom x 0 nie je extrémny bod . Navyše, ak pri prechode bodom x0 derivácia zmení znamienko z plus na mínus (naľavo od x 0 sa vykoná f "(x)> 0, potom x 0 je maximálny bod; ak derivácia zmení znamienko od mínus do plus (napravo od x 0 sa vykoná f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie a maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémne hodnoty.
Veta 2 (nevyhnutné kritérium pre lokálny extrém).
Ak má funkcia y=f(x) extrém v aktuálnom x=x 0, potom buď f'(x 0)=0 alebo f'(x 0) neexistuje.
V extrémnych bodoch diferencovateľnej funkcie je dotyčnica k jej grafu rovnobežná s osou Ox.
Algoritmus na štúdium funkcie pre extrém:
1) Nájdite deriváciu funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body, kde je funkcia spojitá a derivácia je nulová alebo neexistuje.
3) Zvážte okolie každého z bodov a preskúmajte znamienko derivácie naľavo a napravo od tohto bodu.
4) Určte súradnice krajných bodov, túto hodnotu kritických bodov dosaďte do tejto funkcie. Pomocou dostatočných extrémnych podmienok vyvodzujte príslušné závery.
Príklad 18. Preskúmajte funkciu y=x 3 -9x 2 +24x
Riešenie.
1) y"=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ak priradíme deriváciu k nule, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 4. V tomto prípade je derivát definovaný všade; teda okrem dvoch nájdených bodov neexistujú žiadne iné kritické body.
3) Znamienko derivácie y "=3(x-2)(x-4) sa mení v závislosti od intervalu, ako je znázornené na obrázku 1. Pri prechode bodom x=2 derivácia mení znamienko z plus na mínus, a pri prechode bodom x=4 - z mínusu do plusu.
4) V bode x=2 má funkcia maximum y max =20 a v bode x=4 - minimum y min =16.
Veta 3. (2. postačujúca podmienka existencie extrému).
Nech f "(x 0) a f "" (x 0) existujú v bode x 0. Potom ak f "" (x 0)> 0, potom x 0 je minimálny bod a ak f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Na segmente môže funkcia y \u003d f (x) dosiahnuť najmenšiu (aspoň) alebo najväčšiu (najviac) hodnotu buď v kritických bodoch funkcie ležiacich v intervale (a; b), alebo na koncoch segmentu.
Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie y=f(x) na segmente:
1) Nájdite f "(x).
2) Nájdite body, v ktorých f "(x) = 0 alebo f" (x) - neexistuje, a vyberte z nich tie, ktoré ležia vo vnútri segmentu.
3) Vypočítajte hodnotu funkcie y \u003d f (x) v bodoch získaných v odseku 2, ako aj na koncoch segmentu a vyberte najväčší a najmenší z nich: sú najväčšie ( pre najväčšie) a najmenšie (pre najmenšie) funkčné hodnoty v segmente .
Príklad 19. Nájdite najväčšiu hodnotu spojitej funkcie y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmente .
1) Na segmente máme y = 3x 2 -6x-45
2) Derivácia y" existuje pre všetky x. Nájdime body, kde y"=0; dostaneme:
3x2 -6x-45=0
x 2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2 = 5
3) Vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Do segmentu patrí iba bod x=5. Najväčšia z nájdených hodnôt funkcie je 225 a najmenšia je číslo 50. Takže pri max = 225 pri max = 50.
Vyšetrovanie funkcie na konvexnosti
Na obrázku sú znázornené grafy dvoch funkcií. Prvý z nich je otočený s vydutím nahor, druhý - s vydutím nadol.
Funkcia y=f(x) je spojitá na úsečke a diferencovateľná v intervale (a;b), na tejto úsečke sa nazýva konvexná nahor (nadol), ak pre axb jej graf neleží vyššie (nie nižšie) ako dotyčnica vedená v ľubovoľnom bode M 0 (x 0 ;f(x 0)), kde axb.
Veta 4. Nech má funkcia y=f(x) druhú deriváciu v ľubovoľnom vnútornom bode x úsečky a na koncoch úsečky je spojitá. Potom, ak je nerovnosť f""(x)0 splnená na intervale (a;b), potom je funkcia na segmente klesajúca konvexná; ak je splnená nerovnosť f""(x)0 na intervale (а;b), potom je funkcia konvexná smerom nahor na .
Veta 5. Ak má funkcia y \u003d f (x) druhú deriváciu na intervale (a; b) a ak mení znamienko pri prechode bodom x 0, potom M (x 0 ; f (x 0)) je inflexný bod.
Pravidlo na nájdenie inflexných bodov:
1) Nájdite body, kde f""(x) neexistuje alebo zmizne.
2) Preskúmajte znamienko f""(x) vľavo a vpravo od každého bodu nájdeného v prvom kroku.
3) Na základe vety 4 urobte záver.
Príklad 20. Nájdite extrémne body a inflexné body grafu funkcií y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Máme f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Je zrejmé, že f"(x)=0 pre x 1 = 0, x 2 = 1. Derivácia pri prechode bodom x=0 mení znamienko z mínusu na plus a pri prechode cez bod x=1 znamienko nemení. To znamená, že x=0 je minimálny bod (y min =12) a v bode x=1 nie je žiadny extrém. Ďalej nájdeme 
. Druhá derivácia zaniká v bodoch x 1 = 1, x 2 = 1/3. Znamienka druhej derivácie sa menia takto: Na lúči (-∞;) máme f""(x)>0, na intervale (;1) máme f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Preto x= je inflexný bod funkčného grafu (prechod z konvexnosti nadol ku konvexnosti nahor) a x=1 je tiež inflexný bod (prechod z konvexnosti nahor ku konvexnosti nadol). Ak x=, potom y= ; ak, potom x = 1, y = 13.
Algoritmus na nájdenie asymptoty grafu
I. Ak y=f(x) ako x → a , potom x=a je vertikálna asymptota.
II. Ak y=f(x) ako x → ∞ alebo x → -∞, potom y=A je horizontálna asymptota.
III. Na nájdenie šikmej asymptoty používame nasledujúci algoritmus:
1) Vypočítajte. Ak limita existuje a je rovná b, potom y=b je horizontálna asymptota; ak , prejdite na druhý krok.
2) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa k, prejdite na tretí krok.
3) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa b, prejdite na štvrtý krok.
4) Napíšte rovnicu šikmej asymptoty y=kx+b.
Príklad 21: Nájdite asymptotu funkcie 
1) 
2)
3)
4) Šikmá asymptotová rovnica má tvar
Schéma štúdia funkcie a zostrojenie jej grafu
I. Nájdite doménu funkcie.
II. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
III. Nájdite asymptoty.
IV. Nájdite body možného extrému.
V. Nájdite kritické body.
VI. Pomocou pomocnej kresby preskúmajte znamienko prvej a druhej derivácie. Určte oblasti nárastu a poklesu funkcie, nájdite smer konvexnosti grafu, extrémne body a inflexné body.
VII. Vytvorte graf so zreteľom na štúdiu vykonanú v odsekoch 1-6.
Príklad 22: Nakreslite funkčný graf podľa vyššie uvedenej schémy
Riešenie.
I. Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem x=1.
II. Keďže rovnica x 2 +1=0 nemá reálne korene, tak graf funkcie nemá priesečníky s osou Ox, ale pretína os Oy v bode (0; -1).
III. Ujasnime si otázku existencie asymptot. Skúmame správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti x=1. Pretože y → ∞ pre x → -∞, y → +∞ pre x → 1+, potom priamka x=1 je zvislou asymptotou grafu funkcie.
Ak x → +∞(x → -∞), potom y → +∞(y → -∞); preto graf nemá vodorovnú asymptotu. Ďalej z existencie limitov
Vyriešením rovnice x 2 -2x-1=0 dostaneme dva body možného extrému:
x1=1-√2 a x2=1+√2
V. Aby sme našli kritické body, vypočítame druhú deriváciu:
Keďže f""(x) nezmizne, neexistujú žiadne kritické body.
VI. Skúmame znamienko prvej a druhej derivácie. Možné extrémne body, ktoré je potrebné zvážiť: x 1 =1-√2 a x 2 =1+√2, rozdeľte oblasť existencie funkcie na intervaly (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) a (1+√2;+∞).
V každom z týchto intervalov si derivát zachováva svoje znamienko: v prvom - plus, v druhom - mínus, v treťom - plus. Postupnosť znamienok prvej derivácie bude napísaná takto: +, -, +.
Dostaneme, že funkcia na (-∞;1-√2) rastie, na (1-√2;1+√2) klesá a na (1+√2;+∞) opäť rastie. Extrémne body: maximum pri x=1-√2, navyše f(1-√2)=2-2√2 minimum pri x=1+√2, navyše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) je graf konvexný nahor a na (1;+∞) - nadol.
VII Zo získaných hodnôt urobme tabuľku
VIII Na základe získaných údajov zostavíme náčrt grafu funkcie 
Vykonajte kompletnú štúdiu a nakreslite funkčný graf
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Rozsah funkcie. Keďže funkcia je zlomok, musíte nájsť nuly menovateľa.
1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.
Vylúčime jediný bod x=1x=1 z oblasti definície funkcie a získame:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Pozrime sa na správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti. Nájdite jednostranné limity:
Keďže limity sa rovnajú nekonečnu, bod x=1x=1 je nespojitosť druhého druhu, priamka x=1x=1 je vertikálna asymptota.
3) Určme priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
Nájdite priesečníky so súradnicovou osou OyOy, pre ktoré dávame rovnítko x=0x=0:
Priesečník s osou OyOy má teda súradnice (0;8)(0;8).
Nájdite priesečníky s úsečkou OxOx, pre ktoré nastavíme y=0y=0:
Rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne priesečníky s osou OxOx.
Všimnite si, že x2+8>0x2+8>0 pre ľubovoľné xx. Preto pre x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcia y>0y>0 (nadobudne kladné hodnoty, graf je nad osou x), pre x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcia y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Funkcia nie je ani párna, ani nepárna, pretože:
5) Funkciu skúmame na periodicitu. Funkcia nie je periodická, pretože ide o zlomkovú racionálnu funkciu.
6) Skúmame funkciu pre extrémy a monotónnosť. Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu funkcie:
Prirovnajme prvú deriváciu k nule a nájdime stacionárne body (v ktorých y′=0y′=0):
Dostali sme tri kritické body: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Celý definičný obor funkcie rozdelíme na intervaly danými bodmi a v každom intervale určíme znamienka derivácie:
Pre x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) je derivácia y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
Pre x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) deriváciu y′>0y′>0 funkcia na týchto intervaloch rastie.
V tomto prípade je x=−2x=−2 bod lokálneho minima (funkcia klesá a potom rastie), x=4x=4 je bod lokálneho maxima (funkcia rastie a potom klesá).
Nájdite hodnoty funkcie v týchto bodoch: 
Minimálny bod je teda (−2;4)(−2;4), maximálny bod je (4;−8)(4;−8).
7) Skúmame funkciu pre zlomy a konvexnosť. Nájdite druhú deriváciu funkcie:
Prirovnajte druhú deriváciu k nule:
Výsledná rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne inflexné body. Navyše, keď je splnené x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, to znamená, že funkcia je konkávna, keď x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Skúmame správanie funkcie v nekonečne, teda v .
Keďže limity sú nekonečné, neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.
Skúsme určiť šikmé asymptoty tvaru y=kx+by=kx+b. Hodnoty k,bk,b vypočítame podľa známych vzorcov:
Zistili sme, že funkcia má jednu šikmú asymptotu y=−x−1y=−x−1.
9) Ďalšie body. Poďme vypočítať hodnotu funkcie v niektorých iných bodoch, aby sme vytvorili graf presnejšie.
y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.
10) Na základe získaných údajov zostavíme graf, doplníme ho o asymptoty x=1x=1 (modrá), y=−x−1y=−x−1 (zelená) a označíme charakteristické body (priesečník s y -os je fialová, extrémy sú oranžové, ďalšie body sú čierne):
Úloha 4: Geometrické, ekonomické úlohy (netuším aké, tu je približný výber úloh s riešením a vzorcami) 
Príklad 3.23. a
Riešenie. X a r r
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет najvyššia hodnota funkcie. Najpriaznivejší pomer strán lokality za daných podmienok úlohy je teda y = 2x.
Príklad 3.24.
Riešenie.
R = 2, H = 16/4 = 4.
Príklad 3.22. Nájdite extrémy funkcie f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Riešenie. Keďže f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), potom kritické body funkcie x 1 \u003d 2 a x 2 \u003d 3. Extrémne body môžu byť len v týchto bodoch. Takže ako pri prechode bodom x 1 \u003d 2, derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom má funkcia v tomto bode maximum. Pri prechode bodom x 2 \u003d 3 derivácia mení znamienko z mínus na plus, preto má funkcia v bode x 2 \u003d 3 minimum. Výpočet hodnôt funkcie v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f(2) = 14 a minimum f(3) = 13.
Príklad 3.23. Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikový priestor tak, aby bol z troch strán oplotený drôteným pletivom a na štvrtej strane priliehal k múru. Pre toto existuje a lineárne metre siete. V akom pomere strán bude mať platforma najväčšia plocha?
Riešenie. Označte strany stránky cez X a r. Plocha lokality je S = xy. Nechaj r je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí platiť rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x(a - 2x), kde
0 ≤ x ≤ a/2 (dĺžka a šírka oblasti nemôže byť záporná). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pre x = a/4, odkiaľ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Príklad 3.24. Je potrebné vyrobiť uzavretú valcovú nádrž s objemom V=16p ≈ 50 m 3 . Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?
Riešenie. Celková plocha valca je S = 2pR(R+H). Poznáme objem valca V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Preto S(R) = 2p(R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pre R 3 \u003d 8, preto
R = 2, H = 16/4 = 4.
Podobné informácie.
Inštrukcia
Nájdite rozsah funkcie. Napríklad funkcia sin(x) je definovaná na celom intervale od -∞ do +∞ a funkcia 1/x je definovaná od -∞ do +∞, okrem bodu x = 0.
Definujte oblasti kontinuity a body zlomu. Funkcia je zvyčajne spojitá v tej istej doméne, kde je definovaná. Ak chcete zistiť diskontinuity, musíte vypočítať, kedy sa argument približuje k izolovaným bodom v doméne definície. Napríklad funkcia 1/x má tendenciu k nekonečnu, keď x→0+, a k mínus nekonečnu, keď x→0-. To znamená, že v bode x = 0 má diskontinuitu druhého druhu.
Ak sú limity v bode diskontinuity konečné, ale nie rovnaké, potom ide o diskontinuitu prvého druhu. Ak sú rovnaké, potom sa funkcia považuje za spojitú, hoci nie je definovaná v izolovanom bode.
Nájdite vertikálne asymptoty, ak nejaké existujú. Tu vám pomôžu výpočty z predchádzajúceho kroku, pretože vertikálna asymptota je takmer vždy v bode diskontinuity druhého druhu. Niekedy však z oblasti definície nie sú vylúčené jednotlivé body, ale celé intervaly bodov, a potom môžu byť vertikálne asymptoty umiestnené na okrajoch týchto intervalov.
Skontrolujte, či má funkcia špeciálne vlastnosti: párne, nepárne a periodické.
Funkcia bude párna, ak pre ľubovoľné x v obore f(x) = f(-x). Napríklad cos(x) a x^2 sú párne funkcie.
Periodicita je vlastnosť, ktorá hovorí, že existuje určité číslo T nazývané perióda, ktoré pre ľubovoľné x f(x) = f(x + T). Napríklad všetky hlavné goniometrické funkcie(sínus, kosínus, dotyčnica) - periodické.
Nájdite body. Ak to chcete urobiť, vypočítajte deriváciu danú funkciu a nájdite tých x hodnôt, kde zmizne. Napríklad funkcia f(x) = x^3 + 9x^2 -15 má deriváciu g(x) = 3x^2 + 18x, ktorá zaniká pri x = 0 a x = -6.
Ak chcete určiť, ktoré extrémne body sú maximá a ktoré sú minimá, sledujte zmenu v znamienkach derivácie v nájdených nulách. g(x) zmení znamienko z plus pri x = -6 a späť z mínus na plus pri x = 0. Preto funkcia f(x) má minimum v prvom bode a minimum v druhom.
Našli ste teda aj oblasti monotónnosti: f(x) monotónne rastie na intervale -∞;-6, monotónne klesá na -6;0 a opäť rastie na 0;+∞.
Nájdite druhú deriváciu. Jeho korene ukážu, kde bude graf danej funkcie konvexný a kde konkávny. Napríklad druhá derivácia funkcie f(x) bude h(x) = 6x + 18. Zanikne pri x = -3 a zmení svoje znamienko z mínus na plus. Preto bude graf f (x) pred týmto bodom konvexný, za ním - konkávny a tento bod sám bude inflexným bodom.
Funkcia môže mať iné asymptoty, s výnimkou vertikálnych, ale iba ak jej definičný obor zahŕňa . Ak ich chcete nájsť, vypočítajte limit f(x), keď x→∞ alebo x→-∞. Ak je konečný, potom ste našli horizontálnu asymptotu.
Šikmá asymptota je priamka tvaru kx + b. Ak chcete nájsť k, vypočítajte limitu f(x)/x ako x→∞. Nájsť b - limitu (f(x) – kx) s rovnakým x→∞.
Nakreslite funkciu na vypočítané údaje. Označte asymptoty, ak nejaké existujú. Označte extrémne body a v nich funkčné hodnoty. Pre väčšiu presnosť grafu vypočítajte funkčné hodnoty v niekoľkých ďalších medziľahlých bodoch. Výskum ukončený.
Pre úplnú štúdiu funkcie a vykreslenie jej grafu sa odporúča použiť nasledujúcu schému:
1) nájsť rozsah funkcie;
2) nájdite body diskontinuity funkcie a vertikálne asymptoty (ak existujú);
3) skúmať správanie funkcie v nekonečne, nájsť horizontálne a šikmé asymptoty;
4) skúmať funkciu pre rovnomernosť (nepárnosť) a pre periodicitu (pre goniometrické funkcie);
5) nájsť extrémy a intervaly monotónnosti funkcie;
6) určiť intervaly konvexnosti a inflexných bodov;
7) nájdite priesečníky so súradnicovými osami, ak je to možné, a niektoré ďalšie body, ktoré spresňujú graf.
Štúdium funkcie sa vykonáva súčasne s konštrukciou jej grafu.
Príklad 9 Preskúmajte funkciu a vytvorte graf.
1. Oblasť definície: ;
2. Funkcia sa zlomí v bodoch 
,
;
Skúmame funkciu na prítomnosť vertikálnych asymptot.
;
,
─ vertikálna asymptota.
;
,
─ vertikálna asymptota.
3. Vyšetrujeme funkciu na prítomnosť šikmých a horizontálnych asymptot.
Rovno 
─ šikmá asymptota, ak 
,
.
,
.
Rovno 
─ horizontálna asymptota.
4. Funkcia je rovnomerná, pretože 
. Parita funkcie udáva symetriu grafu vzhľadom na os y.
5. Nájdite intervaly monotónnosti a extrémov funkcie.
Nájdite kritické body, t.j. body, kde derivácia je 0 alebo neexistuje: 
;
. Máme tri body 
;
. Tieto body rozdeľujú celú reálnu os na štyri intervaly. Definujme znamenia 
na každom z nich.
Na intervaloch (-∞; -1) a (-1; 0) funkcia rastie, na intervaloch (0; 1) a (1; +∞) klesá. Pri prechode cez bod 
derivácia mení znamienko z plus na mínus, preto má funkcia v tomto bode maximum 
.
6. Nájdite intervaly konvexnosti, inflexné body.
Poďme nájsť body, kde 
je 0 alebo neexistuje.
nemá skutočné korene. 
,
,
bodov 
a 
rozdeliť skutočnú os na tri intervaly. Definujme znamenie 
v každom intervale.
Teda krivka na intervaloch 
a 
konvexné smerom dole, na intervale (-1;1) konvexné smerom hore; neexistujú žiadne inflexné body, pretože funkcia v bodoch 
a 
neurčené.
7. Nájdite priesečníky s osami.
s nápravou 
graf funkcie sa pretína v bode (0; -1) a s osou 
graf nepretína, lebo čitateľ tejto funkcie nemá skutočné korene.
Graf danej funkcie je na obrázku 1.
Obrázok 1 ─ Graf funkcie 
Aplikácia konceptu derivátu v ekonómii. Funkčná elasticita
Študovať ekonomické procesy a riešiť iné aplikované úlohyČasto sa používa pojem elasticita funkcie.
Definícia. Funkčná elasticita 
sa nazýva limita pomeru relatívneho prírastku funkcie 
k relatívnemu prírastku premennej 
pri 
, . (VII)
Elasticita funkcie ukazuje približne o koľko percent sa funkcia zmení 
pri zmene nezávislej premennej 
o 1 %.
Elasticita funkcie sa používa pri analýze dopytu a spotreby. Ak elasticita dopytu (v absolútnej hodnote) 
, potom sa dopyt považuje za elastický, ak 
─ neutrálne, ak 
─ neelastické vzhľadom na cenu (alebo príjem).
Príklad 10 Vypočítajte elasticitu funkcie 
a nájdite hodnotu indexu elasticity pre 
= 3.
Riešenie: podľa vzorca (VII) elasticita funkcie:
Potom nech x=3 
To znamená, že ak sa nezávislá premenná zvýši o 1 %, potom sa hodnota závisle premennej zvýši o 1,42 %.
Príklad 11 Nech funguje dopyt 
ohľadom ceny 
má formu 
, kde 
─ konštantný koeficient. Nájdite hodnotu indexu elasticity funkcie dopytu pri cene x = 3 deny. Jednotky
Riešenie: vypočítajte elasticitu funkcie dopytu pomocou vzorca (VII)
Za predpokladu 
peňažné jednotky, dostaneme 
. To znamená, že za cenu 
peňažná jednotka zvýšenie ceny o 1 % spôsobí pokles dopytu o 6 %, t.j. dopyt je elastický.
Dnes vás pozývame, aby ste s nami preskúmali a nakreslili funkčný graf. Po dôkladnom preštudovaní tohto článku sa nebudete musieť dlho potiť, aby ste dokončili tento druh úlohy. Nie je ľahké preskúmať a zostaviť graf funkcie, práca je objemná, vyžaduje maximálnu pozornosť a presnosť výpočtov. Aby sme uľahčili vnímanie materiálu, postupne preštudujeme rovnakú funkciu, vysvetlíme všetky naše akcie a výpočty. Vitajte v úžasnom a fascinujúci svet matematika! Choď!
doména
Aby ste mohli preskúmať a vykresliť funkciu, potrebujete poznať niekoľko definícií. Funkcia je jedným zo základných (základných) pojmov v matematike. Odráža závislosť medzi niekoľkými premennými (dvoma, tromi alebo viacerými) so zmenami. Funkcia zobrazuje aj závislosť množín.
Predstavte si, že máme dve premenné, ktoré majú určitý rozsah zmien. Takže y je funkciou x za predpokladu, že každá hodnota druhej premennej zodpovedá jednej hodnote druhej. V tomto prípade je premenná y závislá a nazýva sa funkcia. Zvykom sa hovorí, že premenné x a y sú v Pre väčšiu prehľadnosť tejto závislosti je zostavený graf funkcie. Čo je to funkčný graf? Toto je súbor bodov súradnicová rovina kde každá hodnota x zodpovedá jednej hodnote y. Grafy môžu byť rôzne – priamka, hyperbola, parabola, sínusoida a podobne.
Funkčný graf nemožno vykresliť bez prieskumu. Dnes sa naučíme, ako vykonávať výskum a vykresliť funkčný graf. Počas štúdia je veľmi dôležité robiť si poznámky. Takže bude oveľa jednoduchšie zvládnuť túto úlohu. Najpohodlnejší študijný plán:
- doména.
- Kontinuita.
- Párne alebo nepárne.
- Periodicita.
- Asymptoty.
- Nuly.
- Stálosť.
- Vzostupne a zostupne.
- Extrémy.
- Konvexnosť a konkávnosť.
Začnime prvým bodom. Nájdite doménu definície, to znamená, v akých intervaloch naša funkcia existuje: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). V našom prípade funkcia existuje pre ľubovoľné hodnoty x, to znamená, že definičný obor je R. Toto možno napísať ako xОR.
Kontinuita
Teraz budeme skúmať funkciu diskontinuity. V matematike sa pojem „kontinuita“ objavil ako výsledok štúdia zákonov pohybu. čo je nekonečné? Priestor, čas, niektoré závislosti (príkladom je závislosť premenných S a t v pohybových úlohách), teplota ohrievaného predmetu (voda, panvica, teplomer a pod.), súvislá čiara (teda jedna ktoré sa dajú kresliť bez toho, aby ste ho zložili z listu ceruzkou).
Graf sa považuje za súvislý, ak sa v určitom bode nezlomí. Jedným z najzrejmejších príkladov takéhoto grafu je sínusoida, ktorú môžete vidieť na obrázku v tejto časti. Funkcia je v určitom bode x0 spojitá, ak je splnených niekoľko podmienok:
- funkcia je definovaná v danom bode;
- pravá a ľavá hranica v bode sú rovnaké;
- limita sa rovná hodnote funkcie v bode x0.
Ak nie je splnená aspoň jedna podmienka, funkcia sa preruší. A body, v ktorých sa funkcia preruší, sa nazývajú body zlomu. Príkladom funkcie, ktorá sa pri grafickom zobrazení „zlomí“, je: y=(x+4)/(x-3). Navyše y neexistuje v bode x = 3 (keďže nie je možné deliť nulou).
Vo funkcii, ktorú študujeme (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sa všetko ukázalo ako jednoduché, pretože graf bude súvislý.
Párny Nepárny
Teraz skontrolujte paritu funkcie. Začnime malou teóriou. Párna funkcia je funkcia, ktorá spĺňa podmienku f (-x) = f (x) pre ľubovoľnú hodnotu premennej x (z rozsahu hodnôt). Príklady sú:
- modul x (graf vyzerá ako kavka, stred prvej a druhej štvrtiny grafu);
- x na druhú (parabola);
- kosínus x (kosínusová vlna).
Všimnite si, že všetky tieto grafy sú symetrické pri pohľade na os y.
Čo sa potom nazýva nepárna funkcia? Toto sú funkcie, ktoré spĺňajú podmienku: f (-x) \u003d - f (x) pre akúkoľvek hodnotu premennej x. Príklady:
- hyperbola;
- kubická parabola;
- sínusoida;
- dotyčnica a pod.
Upozorňujeme, že tieto funkcie sú symetrické podľa bodu (0:0), teda počiatku. Na základe toho, čo bolo povedané v tejto časti článku, párne a nepárna funkcia musí mať vlastnosť: x patrí do množiny definícií a -x tiež.
Pozrime sa na funkciu pre paritu. Vidíme, že nezodpovedá žiadnemu z opisov. Preto naša funkcia nie je ani párna, ani nepárna.
Asymptoty
Začnime s definíciou. Asymptota je krivka, ktorá je čo najbližšie ku grafu, to znamená, že vzdialenosť od nejakého bodu má tendenciu k nule. Existujú tri typy asymptot:
- vertikálne, to znamená rovnobežné s osou y;
- horizontálne, t.j. rovnobežné s osou x;
- šikmé.
Pokiaľ ide o prvý typ, tieto riadky by ste mali hľadať v niektorých bodoch:
- medzera;
- konce domény.
V našom prípade je funkcia spojitá a definičný obor je R. Preto neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.
Graf funkcie má horizontálnu asymptotu, ktorá spĺňa nasledujúcu požiadavku: ak x smeruje k nekonečnu alebo mínus nekonečnu a limita sa rovná určitému číslu (napríklad a). V tomto prípade je y=a horizontálna asymptota. Vo funkcii, ktorú študujeme, nie sú žiadne horizontálne asymptoty.
Šikmá asymptota existuje iba vtedy, ak sú splnené dve podmienky:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Potom ho možno nájsť podľa vzorca: y=kx+b. Opäť v našom prípade neexistujú žiadne šikmé asymptoty.
Funkčné nuly
Ďalším krokom je preskúmať graf funkcie na nuly. Je tiež veľmi dôležité poznamenať, že úloha spojená s hľadaním núl funkcie sa vyskytuje nielen pri štúdiu a vykresľovaní grafu funkcie, ale aj ako samostatná úloha a ako spôsob riešenia nerovností. Možno budete musieť nájsť nuly funkcie v grafe alebo použiť matematický zápis.
Nájdenie týchto hodnôt vám pomôže presnejšie vykresliť funkciu. Jednoducho povedané, nula funkcie je hodnota premennej x, pri ktorej y \u003d 0. Ak hľadáte nuly funkcie na grafe, mali by ste venovať pozornosť bodom, kde sa graf pretína s osou x.
Ak chcete nájsť nuly funkcie, musíte vyriešiť nasledujúcu rovnicu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Po vykonaní potrebných výpočtov dostaneme nasledujúcu odpoveď:
znamenie stálosť
Ďalšou fázou štúdia a konštrukcie funkcie (grafiky) je hľadanie intervalov stálosti znamienka. To znamená, že musíme určiť, v ktorých intervaloch má funkcia kladnú hodnotu a v ktorých intervaloch zápornú. Pomôžu nám k tomu nuly funkcií nájdených v predchádzajúcej časti. Musíme teda postaviť priamku (oddelene od grafu) a rozmiestniť nuly funkcie pozdĺž nej v správnom poradí od najmenšej po najväčšiu. Teraz musíte určiť, ktorý z výsledných intervalov má znamienko „+“ a ktorý má „-“.
V našom prípade má funkcia kladnú hodnotu na intervaloch:
- od 1 do 4;
- od 9 do nekonečna.
Negatívny význam:
- od mínus nekonečna do 1;
- od 4 do 9.
To sa dá pomerne ľahko určiť. Dosaďte do funkcie ľubovoľné číslo z intervalu a zistite, aké znamienko je odpoveďou (mínus alebo plus).
Funkcia stúpajúca a klesajúca
Aby sme mohli preskúmať a zostaviť funkciu, musíme zistiť, kde sa graf zväčší (pôjde nahor na Oy) a kde bude klesať (pokles po osi y).
Funkcia sa zvyšuje iba vtedy, ak väčšia hodnota premennej x zodpovedá väčšej hodnote y. To znamená, že x2 je väčšie ako x1 a f(x2) je väčšie ako f(x1). A úplne opačný jav pozorujeme pri klesajúcej funkcii (čím viac x, tým menej y). Ak chcete určiť intervaly zvyšovania a znižovania, musíte nájsť nasledovné:
- rozsah (už ho máme);
- derivácia (v našom prípade: 1/3(3x^2-28x+49);
- vyriešte rovnicu 1/3(3x^2-28x+49)=0.
Po výpočtoch dostaneme výsledok:
Dostaneme: funkcia sa zvyšuje v intervaloch od mínus nekonečna do 7/3 a od 7 do nekonečna a klesá v intervale od 7/3 do 7.
Extrémy
Skúmaná funkcia y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je spojitá a existuje pre ľubovoľné hodnoty premennej x. Bod extrému zobrazuje maximum a minimum tejto funkcie. V našom prípade neexistujú žiadne, čo značne zjednodušuje konštrukčnú úlohu. V opačnom prípade sa tiež nachádzajú pomocou derivačnej funkcie. Po nájdení ich nezabudnite vyznačiť do grafu.
Konvexnosť a konkávnosť
Pokračujeme v štúdiu funkcie y(x). Teraz ho musíme skontrolovať na konvexnosť a konkávnosť. Definície týchto pojmov sú dosť ťažké vnímať, je lepšie analyzovať všetko na príkladoch. Pre test: funkcia je konvexná, ak ide o neklesajúcu funkciu. Súhlasím, je to nepochopiteľné!
Musíme nájsť deriváciu funkcie druhého rádu. Dostaneme: y=1/3(6x-28). Teraz rovnať pravá strana na nulu a vyriešte rovnicu. Odpoveď: x=14/3. Našli sme inflexný bod, teda miesto, kde sa graf mení z konvexného na konkávny alebo naopak. Na intervale od mínus nekonečna do 14/3 je funkcia konvexná a od 14/3 do plus nekonečna je konkávna. Je tiež veľmi dôležité poznamenať, že inflexný bod na grafe by mal byť hladký a mäkký, nie ostré rohy by nemal byť prítomný.
Definícia dodatočných bodov
Našou úlohou je preskúmať a vykresliť funkčný graf. Štúdiu máme hotovú, funkciu teraz nebude ťažké vykresliť. Pre presnejšiu a detailnejšiu reprodukciu krivky alebo priamky v súradnicovej rovine môžete nájsť niekoľko pomocných bodov. Je celkom jednoduché ich vypočítať. Napríklad vezmeme x=3, vyriešime výslednú rovnicu a nájdeme y=4. Alebo x=5 a y=-5 a tak ďalej. Môžete si vziať toľko ďalších bodov, koľko potrebujete postaviť. Nájde sa ich aspoň 3-5.
Plotovanie
Potrebovali sme preskúmať funkciu (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Všetky potrebné značky v priebehu výpočtov boli urobené na súradnicovej rovine. Zostáva už len zostaviť graf, teda spojiť všetky body navzájom. Spájanie bodiek je plynulé a presné, je to otázka zručnosti – trocha cviku a váš rozvrh bude dokonalý.
