Dacă toate numerele A, B, C și D sunt diferite de zero, atunci ecuația generală a planului se numește complet. În caz contrar, se numește ecuația generală a planului incomplet.
Luați în considerare toate posibilele comune ecuații incomplete plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional.
Fie D = 0, atunci avem o ecuație generală incompletă a planului de forma . Acest plan din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz trece prin origine. Într-adevăr, când înlocuim coordonatele punctului în ecuația incompletă rezultată a planului, ajungem la identitatea .
Pentru , sau , sau avem ecuații generale incomplete ale planurilor , sau , sau respectiv. Aceste ecuații definesc plane care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy , Oxz și, respectiv, Oyz (vezi articolul Condiția de paralelism pentru plane) și care trec prin puncte 
și în mod corespunzător. La. De la punctul 
aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația dorită are forma .
Vă prezentăm a doua modalitate de a rezolva această problemă.
Deoarece planul, a cărui ecuație generală trebuie să o compunem, este paralel cu planul Oyz, atunci ca vector normal putem lua vector normal avionul Oyz . Vector normal plan de coordonate Oyz este vectorul de coordonate. Acum cunoaștem vectorul normal al planului și punctul planului, prin urmare, putem scrie ecuația lui generală (am rezolvat o problemă similară în paragraful anterior al acestui articol):
, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Prin urmare, egalitatea 
unde găsim. Acum putem scrie ecuația generală dorită a planului, are forma .
Răspuns:
Bibliografie.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.
Ecuația plană. Cum se scrie o ecuație pentru un avion?
Aranjamentul reciproc al avioanelor. Sarcini
Geometria spațială nu este cu mult mai complicată decât geometria „plată”, iar zborurile noastre în spațiu încep cu acest articol. Pentru a înțelege subiectul, trebuie să înțelegeți bine vectori, în plus, este de dorit să fiți familiarizați cu geometria planului - vor exista multe asemănări, multe analogii, astfel încât informațiile vor fi digerate mult mai bine. Într-o serie de lecții mele, lumea 2D se deschide cu un articol Ecuația unei drepte pe un plan. Dar acum Batman a părăsit televizorul cu ecran plat și se lansează din Cosmodromul Baikonur.
Să începem cu desene și simboluri. Schematic, planul poate fi desenat ca un paralelogram, ceea ce dă impresia de spațiu: 
Avionul este infinit, dar avem ocazia să înfățișăm doar o bucată din el. În practică, pe lângă paralelogram, se desenează și un oval sau chiar un nor. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să înfățișez avionul în acest fel și în această poziție. Avioane reale, pe care le vom lua în considerare exemple practice, poate fi aranjat după bunul plac - luați mental desenul în mâini și răsuciți-l în spațiu, oferind avionului orice pantă, orice unghi.
Notaţie: se obișnuiește să se desemneze avioanele cu litere mici grecești, aparent pentru a nu le confunda cu direct în avion sau cu drept în spațiu. Sunt obișnuit să folosesc litera . În desen, este litera „sigma” și deloc o gaură. Deși, un avion gol, este cu siguranță foarte amuzant.
În unele cazuri, este convenabil să folosiți aceleași litere grecești cu indice pentru a desemna avioane, de exemplu, .
Este evident că planul este determinat în mod unic de trei puncte diferite care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Prin urmare, denumirile de trei litere ale avioanelor sunt destul de populare - în funcție de punctele care le aparțin, de exemplu, etc. Adesea literele sunt cuprinse între paranteze: 
, pentru a nu confunda planul cu o altă figură geometrică.
Pentru cititorii experimentați, voi oferi meniu de comenzi rapide:
- Cum se scrie o ecuație pentru un plan folosind un punct și doi vectori?
- Cum se scrie o ecuație pentru un plan folosind un punct și un vector normal?
și nu vom lâncevi în așteptări lungi:
Ecuația generală a planului
Ecuația generală a planului are forma , unde coeficienții sunt simultan nenuli.
O serie de calcule teoretice și probleme practice sunt valabile atât pentru baza ortonormală obișnuită, cât și pentru baza afină a spațiului (dacă uleiul este ulei, reveniți la lecție Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială). Pentru simplitate, vom presupune că toate evenimentele au loc pe o bază ortonormală și un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian.
Și acum să antrenăm puțină imaginație spațială. E în regulă dacă o ai rău, acum o vom dezvolta puțin. Chiar și jocul pe nervi necesită practică.
În cel mai general caz, când numerele nu sunt egale cu zero, planul intersectează toate cele trei axe de coordonate. De exemplu, așa:
Repet încă o dată că avionul continuă la nesfârșit în toate direcțiile și avem ocazia să ne înfățișăm doar o parte din el.
Luați în considerare cele mai simple ecuații ale planelor:
Cum să înțelegem această ecuație? Gândiți-vă la asta: „Z” ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „X” și „Y” este egal cu zero. Aceasta este ecuația planului de coordonate „nativ”. Într-adevăr, formal ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: 
, de unde este clar că nu ne pasă, ce valori iau „x” și „y”, este important ca „z” să fie egal cu zero.
În mod similar:
este ecuația planului de coordonate ;
este ecuația planului de coordonate.
Să complicăm puțin problema, să considerăm un plan (aici și mai departe în paragraf presupunem că coeficienții numerici nu sunt egali cu zero). Să rescriem ecuația sub forma: . Cum să-l înțelegi? „X” este ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „y” și „z” este egală cu un anumit număr. Acest plan este paralel cu planul de coordonate. De exemplu, un plan este paralel cu un plan și trece printr-un punct.
În mod similar:
- ecuaţia planului, care este paralelă cu planul de coordonate;
- ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate.
Adăugați membri: . Ecuația poate fi rescrisă astfel: , adică „Z” poate fi orice. Ce înseamnă? „X” și „Y” sunt conectate printr-un raport care trasează o anumită linie dreaptă în plan (veți recunoaște ecuația unei drepte într-un plan?). Deoarece Z poate fi orice, această linie este „replicată” la orice înălțime. Astfel, ecuația definește un plan paralel cu axa de coordonate
În mod similar:
- ecuația planului, care este paralelă cu axa de coordonate;
- ecuația planului, care este paralelă cu axa de coordonate.
Dacă termenii liberi sunt zero, atunci planurile vor trece direct prin axele corespunzătoare. De exemplu, clasicul „proporționalitate directă”:. Desenați o linie dreaptă în plan și înmulțiți-o mental în sus și în jos (deoarece „z” este oricare). Concluzie: planul dat de ecuație trece prin axa de coordonate.
Încheiem trecerea în revistă: ecuația planului 
trece prin origine. Ei bine, aici este destul de evident că punctul satisface ecuația dată.
Și, în sfârșit, cazul care este prezentat în desen: - planul este prieten cu toate axele de coordonate, în timp ce întotdeauna „taie” un triunghi care poate fi situat în oricare dintre cei opt octanți.
Inegalități liniare în spațiu
Pentru a înțelege informațiile, este necesar să studiezi bine inegalități liniare în plan pentru că multe lucruri vor fi asemănătoare. Paragraful va fi o scurtă prezentare generală cu câteva exemple, deoarece materialul este destul de rar în practică.
Dacă ecuația definește un plan, atunci inegalitățile
cere semi-spații. Dacă inegalitatea nu este strictă (ultimele două din listă), atunci soluția inegalității, în plus față de semi-spațiu, include planul însuși.
Exemplul 5
Găsiți vectorul normal unitar al planului 
.
Soluţie: Un vector unitar este un vector a cărui lungime este unu. Să notăm acest vector cu . Este destul de clar că vectorii sunt coliniari: 
În primul rând, eliminăm vectorul normal din ecuația planului: .
Cum să găsiți vectorul unitar? Pentru a găsi vectorul unitar, aveți nevoie fiecare coordonata vectorială împărțită la lungimea vectorului.
Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:
Conform celor de mai sus:
Răspuns: 
Verificare: , care a fost necesar să se verifice.
Cititorii care au studiat cu atenție ultimul paragraf al lecției, probabil au observat asta coordonatele vectorului unitar sunt exact cosinusurile de direcție ale vectorului:
Să ne abatem de la problema dezasamblată: când vi se oferă un vector arbitrar diferit de zero, iar prin condiție se cere să-i găsească cosinusurile direcției (vezi ultimele sarcini ale lecției Produsul punctual al vectorilor), atunci, de fapt, găsiți și un vector unitar coliniar cu cel dat. De fapt, două sarcini într-o sticlă.
Necesitatea de a găsi un vector normal unitar apare în unele probleme de analiză matematică.
Ne-am dat seama de pescuitul vectorului normal, acum vom răspunde la întrebarea opusă:
Cum se scrie o ecuație pentru un plan folosind un punct și un vector normal?
Această construcție rigidă a unui vector normal și a unui punct este bine cunoscută de o țintă de săgeți. Vă rugăm să întindeți mâna înainte și să selectați mental un punct arbitrar din spațiu, de exemplu, o pisică mică într-un bufet. Este evident că prin punct dat poți desena un singur plan perpendicular pe mâna ta.
Ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector este exprimată prin formula:
Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.
Există infinit de linii care pot fi trase prin orice punct.
Prin oricare două puncte care nu coincid, există o singură linie dreaptă.
Două drepte non-coincidente în plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt
paralel (urmează din precedentul).
În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii:
- liniile se intersectează;
- liniile drepte sunt paralele;
- linii drepte se intersectează.
Drept linia este o curbă algebrică de ordinul întâi: în Sistemul cartezian coordonate drepte
este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).
Ecuația generală a unei drepte.
Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ah + Wu + C = 0,
și constantă A, B nu egal cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general
ecuație în linie dreaptă.În funcție de valorile constantelor A, Bși DIN Sunt posibile următoarele cazuri speciale:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia trece prin origine
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa OU
. B = C = 0, A ≠ 0- linia coincide cu axa OU
. A = C = 0, B ≠ 0- linia coincide cu axa Oh
Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite forme în funcție de orice dat
condiții inițiale.
Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal.
Definiție. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)
perpendicular pe linie dat de ecuaţie
Ah + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).
Soluţie. Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C
substituim coordonatele punctului dat A in expresia rezultata, obtinem: 3 - 2 + C = 0, deci
C = -1. Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)și M2 (x 2, y 2 , z 2), apoi ecuație în linie dreaptă,
trecând prin aceste puncte:
Dacă vreunul dintre numitori zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe
plan, ecuația unei drepte scrisă mai sus este simplificată:
dacă x 1 ≠ x 2și x = x 1, dacă x 1 = x 2 .
Fracțiune = k numit factor de pantă Drept.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).
Soluţie. Aplicând formula de mai sus, obținem:
Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.
Dacă ecuația generală a unei drepte Ah + Wu + C = 0 aduce la forma:
și desemnează 
, atunci ecuația rezultată se numește
ecuația unei drepte cu panta k.
Ecuația unei drepte pe un punct și un vector de direcție.
Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină
o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.
Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția
Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al dreptei.
Ah + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).
Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,
coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:
1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.
Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.
la x=1, y=2 primim C/ A = -3, adică ecuația dorită:
x + y - 3 = 0
Ecuația unei drepte în segmente.
Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C≠0, atunci, împărțind la -C, obținem:
sau unde
sens geometric coeficienți prin aceea că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție
drept cu ax Oh, A b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa OU.
Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Ecuația normală a unei linii drepte.
Dacă ambele părți ale ecuației Ah + Wu + C = 0împărțiți la număr 
, Care e numit
factor de normalizare, apoi primim
xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii drepte.
Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0.
R- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linie,
A φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.
Exemplu. Având în vedere ecuația generală a unei drepte 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie tipuri diferite ecuații
această linie dreaptă.
Ecuația acestei drepte în segmente:
Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)
Ecuația unei drepte:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,
paralel cu axele sau trecând prin origine.
Unghiul dintre liniile unui plan.
Definiție. Dacă sunt date două rânduri y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, apoi colt ascutitîntre aceste linii
va fi definit ca
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două liniile drepte sunt perpendiculare,
dacă k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Direct Ah + Wu + C = 0și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele când coeficienții sunt proporționali
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Dacă de asemenea С 1 \u003d λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte
se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe o dreaptă dată.
Definiție. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b
reprezentat de ecuația:
Distanța de la un punct la o linie.
Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linie Ah + Wu + C = 0 definit ca:
Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza perpendicularei coborâtă din punct M pentru un dat
direct. Apoi distanța dintre puncte Mși M 1:
(1)
Coordonatele x 1și 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular
linie dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
Poate fi specificat în moduri diferite (un punct și un vector, două puncte și un vector, trei puncte etc.). Cu acest lucru în minte, ecuația planului poate avea forme diferite. De asemenea, în anumite condiții, planurile pot fi paralele, perpendiculare, intersectante etc. Vom vorbi despre asta în acest articol. Vom învăța cum să scriem ecuația generală a planului și nu numai.
Forma normală a ecuației
Să presupunem că există un spațiu R 3 care are un sistem de coordonate dreptunghiular XYZ. Să setăm vectorul α, care va fi eliberat din punctul inițial O. Prin capătul vectorului α desenăm planul P, care va fi perpendicular pe acesta.
Notăm cu P un punct arbitrar Q=(x, y, z). Vom semna vectorul rază al punctului Q cu litera p. Lungimea vectorului α este p=IαI și Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Acesta este un vector unitar care arată lateral, la fel ca vectorul α. α, β și γ sunt unghiurile care se formează între vectorul Ʋ și direcțiile pozitive ale axelor spațiale x, y, z, respectiv. Proiecția unui punct QϵП pe vectorul Ʋ este valoare constantă, care este egal cu p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Această ecuație are sens când p=0. Singurul lucru este că planul P în acest caz va intersecta punctul O (α=0), care este originea, iar vectorul unitar Ʋ eliberat din punctul O va fi perpendicular pe P, indiferent de direcția acestuia, ceea ce înseamnă că vectorul Ʋ este determinat din semn exact. Ecuația anterioară este ecuația planului nostru P, exprimată în formă vectorială. Dar în coordonate va arăta astfel:
P aici este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația unui plan în spațiu în forma sa normală.
Ecuația generală
Dacă înmulțim ecuația în coordonate cu orice număr care nu este egal cu zero, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată, care determină același plan. Va arata asa:
Aici A, B, C sunt numere care sunt simultan diferite de zero. Această ecuație este denumită ecuația planului general.
Ecuații plane. Cazuri speciale
Ecuația în vedere generala pot fi modificate în condiții suplimentare. Să luăm în considerare unele dintre ele.
Să presupunem că coeficientul A este 0. Aceasta înseamnă că planul dat este paralel cu axa dată Ox. În acest caz, forma ecuației se va schimba: Ву+Cz+D=0.
În mod similar, forma ecuației se va schimba în următoarele condiții:
- În primul rând, dacă B = 0, atunci ecuația se va schimba în Ax + Cz + D = 0, ceea ce va indica paralelismul cu axa Oy.
- În al doilea rând, dacă С=0, atunci ecuația este transformată în Ах+Ву+D=0, ceea ce va indica paralelismul cu axa dată Oz.
- În al treilea rând, dacă D=0, ecuația va arăta ca Ax+By+Cz=0, ceea ce va însemna că planul intersectează O (originea).
- În al patrulea rând, dacă A=B=0, atunci ecuația se va schimba în Cz+D=0, ceea ce se va dovedi paralel cu Oxy.
- În al cincilea rând, dacă B=C=0, atunci ecuația devine Ax+D=0, ceea ce înseamnă că planul către Oyz este paralel.
- În al șaselea rând, dacă A=C=0, atunci ecuația va lua forma Ву+D=0, adică va raporta paralelismul la Oxz.
Tip de ecuație în segmente
În cazul în care numerele A, B, C, D sunt diferite de zero, forma ecuației (0) poate fi după cum urmează:
x/a + y/b + z/c = 1,
în care a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.
Obținem ca rezultat. Merită remarcat faptul că acest plan va intersecta axa Ox într-un punct cu coordonatele (a,0,0), Oy - (0,b,0) și Oz - (0,0,c) .
Ținând cont de ecuația x/a + y/b + z/c = 1, este ușor de reprezentat vizual poziția planului în raport cu un sistem de coordonate dat.
Coordonate vectoriale normale
Vectorul normal n la planul P are coordonatele care sunt coeficienții ecuație generală plan dat, adică n (A, B, C).
Pentru a determina coordonatele normalei n, este suficient să cunoaștem ecuația generală a unui plan dat.
Când se utilizează ecuația în segmente, care are forma x/a + y/b + z/c = 1, precum și când se utilizează ecuația generală, se pot scrie coordonatele oricărui vector normal al unui plan dat: (1 /a + 1/b + 1/ Cu).
Trebuie remarcat faptul că vectorul normal ajută la rezolvarea diferitelor probleme. Cele mai frecvente sunt sarcinile care constau in demonstrarea perpendicularitatii sau paralelismului planurilor, probleme in gasirea unghiurilor intre plane sau unghiurilor intre plane si drepte.
Vedere a ecuației planului în funcție de coordonatele punctului și ale vectorului normal
Un vector diferit de zero n perpendicular pe un plan dat se numește normal (normal) pentru un plan dat.
Să presupunem că în spațiul de coordonate (sistem de coordonate dreptunghiulare) Oxyz sunt date:
- punctul Mₒ cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ);
- vector zero n=A*i+B*j+C*k.
Este necesar să se compună o ecuație pentru un plan care va trece prin punctul Mₒ perpendicular pe normala n.
În spațiu, alegem orice punct arbitrar și îl notăm cu M (x y, z). Fie vectorul rază al oricărui punct M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, iar vectorul rază al punctului Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punctul M va aparține planului dat dacă vectorul MₒM este perpendicular pe vectorul n. Scriem condiția de ortogonalitate folosind produsul scalar:
[MₒM, n] = 0.
Deoarece MₒM \u003d r-rₒ, ecuația vectorială a planului va arăta astfel:
Această ecuație poate lua o altă formă. Pentru aceasta, se folosesc proprietățile produsului scalar și partea stângă ecuații. = - . Dacă se notează c, atunci se va obține următoarea ecuație: - c \u003d 0 sau \u003d c, care exprimă constanța proiecțiilor pe vectorul normal al vectorilor de rază ai punctelor date care aparțin planului.
Acum puteți obține forma de coordonate de scriere a ecuației vectoriale a planului nostru = 0. Deoarece r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k și n = A*i+B *j+C*k, avem:
Rezultă că avem o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct perpendicular pe normala n:
A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Vedere a ecuației plane în funcție de coordonatele a două puncte și un vector coliniar cu planul
Definim două puncte arbitrare M′ (x′,y′,z′) și M″ (x″,y″,z″), precum și vectorul a (a′,a″,a‴).
Acum putem compune o ecuație pentru un plan dat, care va trece prin punctele disponibile M′ și M″, precum și orice punct M cu coordonatele (x, y, z) paralele cu vectorul dat a.
În acest caz, vectorii M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) și M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) trebuie să fie coplanari cu vectorul a=(a′,a″,a‴), ceea ce înseamnă că (M′M, M″M, a)=0.
Deci, ecuația noastră a unui plan în spațiu va arăta astfel:
Tipul ecuației unui plan care intersectează trei puncte
Să presupunem că avem trei puncte: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), care nu aparțin aceleiași drepte. Este necesar să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date. Teoria geometriei susține că acest tip de plan există cu adevărat, doar că este singurul și inimitabil. Deoarece acest plan intersectează punctul (x′, y′, z′), forma ecuației sale va fi după cum urmează:
Aici A, B, C sunt diferite de zero în același timp. De asemenea, planul dat intersectează încă două puncte: (x″,y″,z″) și (x‴,y‴,z‴). În acest sens, trebuie îndeplinite următoarele condiții:
Acum putem compune un sistem omogen cu necunoscute u, v, w:
În a noastră cazul x,y sau z este un punct arbitrar care satisface ecuația (1). Având în vedere ecuația (1) și sistemul de ecuații (2) și (3), sistemul de ecuații indicat în figura de mai sus satisface vectorul N (A, B, C), care este netrivial. De aceea determinantul acestui sistem este egal cu zero.
Ecuația (1), pe care am obținut-o, este ecuația planului. Trece exact prin 3 puncte, iar acest lucru este ușor de verificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne extindem determinantul asupra elementelor din primul rând. Din proprietățile existente ale determinantului rezultă că planul nostru intersectează simultan trei puncte date inițial (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Adică am rezolvat sarcina stabilită înaintea noastră.
Unghiul diedric dintre plane
Un unghi diedru este un spațial figură geometrică, format din două semiplane care emană dintr-o linie dreaptă. Cu alte cuvinte, aceasta este partea din spațiu care este limitată de aceste semiplanuri.
Să presupunem că avem două plane cu următoarele ecuații:
Știm că vectorii N=(A,B,C) și N¹=(A¹,B¹,C¹) sunt perpendiculari conform planurilor date. În acest sens, unghiul φ dintre vectorii N și N¹ este egal cu unghiul (diedrul), care se află între aceste plane. Produsul scalar are forma:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
tocmai pentru că
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Este suficient să luăm în considerare faptul că 0≤φ≤π.
De fapt, două plane care se intersectează formează două unghiuri (diedrice): φ 1 și φ 2 . Suma lor este egală cu π (φ 1 + φ 2 = π). În ceea ce privește cosinusurile lor, valorile lor absolute sunt egale, dar diferă în semne, adică cos φ 1 =-cos φ 2. Dacă în ecuația (0) înlocuim A, B și C cu numerele -A, -B și respectiv -C, atunci ecuația pe care o obținem va determina același plan, singurul unghi φ din ecuația cos φ= NN 1 /| N||N 1 | va fi înlocuit cu π-φ.
Ecuația planului perpendicular
Planurile se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90 de grade. Folosind materialul prezentat mai sus, putem găsi ecuația unui plan perpendicular pe altul. Să presupunem că avem două plane: Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Putem afirma că vor fi perpendiculare dacă cosφ=0. Aceasta înseamnă că NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Ecuația planului paralel
Paralele sunt două plane care nu conțin puncte comune.
Condiția (ecuațiile lor sunt aceleași ca în paragraful anterior) este ca vectorii N și N¹, care sunt perpendiculari pe ei, să fie coliniari. Aceasta înseamnă că sunt îndeplinite următoarele condiții de proporționalitate:
A/A¹=B/B1=C/C1.
Dacă condițiile de proporționalitate sunt extinse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
aceasta indică faptul că aceste planuri coincid. Aceasta înseamnă că ecuațiile Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descriu un plan.
Distanța până la avion de la punct
Să presupunem că avem un plan P, care este dat de ecuația (0). Este necesar să găsiți distanța până la acesta de la punctul cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pentru a face acest lucru, trebuie să aduceți ecuația planului P în formă normală:
(ρ,v)=p (p≥0).
În acest caz, ρ(x,y,z) este vectorul rază a punctului nostru Q, situat pe P, p este lungimea perpendicularei P, care a fost eliberată din punctul zero, v este vectorul unitar, care este situat în direcția a.
Diferența ρ-ρº a vectorului de rază a unui punct Q \u003d (x, y, z) aparținând lui P, precum și vectorul de rază a unui punct dat Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) este o astfel de vector, a cărei valoare absolută a proiecției pe v este egală cu distanța d, care trebuie găsită de la Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) la P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, dar
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
Deci se dovedește
d=|(ρ 0 ,v)-p|.
Astfel, vom găsi valoarea absolută a expresiei rezultate, adică d dorită.
Folosind limbajul parametrilor, obținem ceea ce este evident:
d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
În cazul în care un punct dat Q 0 este de cealaltă parte a planului P, precum și originea, atunci între vectorul ρ-ρ 0 și v este deci:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.
În cazul în care punctul Q 0, împreună cu originea, este situat pe aceeași parte a lui P, atunci unghiul creat este ascuțit, adică:
d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.
Ca urmare, rezultă că în primul caz (ρ 0 ,v)> р, în al doilea (ρ 0 ,v)<р.
Planul tangent și ecuația acestuia
Planul tangent la suprafață în punctul tangent Mº este planul care conține toate tangentele posibile la curbele trasate prin acest punct de pe suprafață.
Cu această formă a ecuației de suprafață F (x, y, z) = 0, ecuația planului tangent la punctul tangent Mº (xº, yº, zº) va arăta astfel:
F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.
Dacă specificați suprafața în formă explicită z=f (x, y), atunci planul tangent va fi descris de ecuația:
z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).
Intersecția a două planuri
În sistemul de coordonate (dreptunghiular) se află Oxyz, sunt date două plane П′ și П″, care se intersectează și nu coincid. Deoarece orice plan situat într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinat de o ecuație generală, vom presupune că P′ și P″ sunt date de ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x +B″y+ С″z+D″=0. În acest caz, avem normala n′ (A′, B′, C′) a planului P′ și normala n″ (A″, B″, C″) a planului P″. Deoarece planurile noastre nu sunt paralele și nu coincid, acești vectori nu sunt coliniari. Folosind limbajul matematicii, putem scrie această condiție astfel: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Fie ca linia care se află la intersecția dintre P′ și P″ se notează cu litera a, în acest caz a = P′ ∩ P″.
a este o linie dreaptă formată din mulțimea tuturor punctelor planelor (comune) П′ și П″. Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct aparținând dreptei a trebuie să îndeplinească simultan ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x+B″y+C″z+D″= 0. Aceasta înseamnă că coordonatele punctului vor fi o soluție particulară a următorului sistem de ecuații:
Ca urmare, se dovedește că soluția (generală) a acestui sistem de ecuații va determina coordonatele fiecăruia dintre punctele dreptei, care va acționa ca punct de intersecție al lui П′ și П″ și va determina dreapta linia a în sistemul de coordonate Oxyz (dreptunghiular) în spațiu.
Pentru ca un singur plan să fie trasat prin oricare trei puncte din spațiu, este necesar ca aceste puncte să nu se afle pe o singură dreaptă.
Se consideră punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) într-un sistem de coordonate carteziene comun.
Pentru ca un punct arbitrar M(x, y, z) să se afle în același plan cu punctele M 1 , M 2 , M 3 , vectorii trebuie să fie coplanari.
(
)
= 0
În acest fel, 
Ecuația unui plan care trece prin trei puncte:
Ecuația unui plan în raport cu două puncte și a unui vector coliniar cu planul.
Fie punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) și vectorul 
.
Să compunem ecuația planului care trece prin punctele date M 1 și M 2 și un punct arbitrar M (x, y, z) paralel cu vectorul 
.
Vectori 
și vector 
trebuie să fie coplanare, adică
(
)
= 0
Ecuația plană:
Ecuația unui plan în raport cu un punct și doi vectori,
plan coliniar.
Să fie dați doi vectori 
și 
, planuri coliniare. Atunci pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, vectorii 
trebuie să fie coplanare.
Ecuația plană:
Ecuație plană după punct și vector normal .
Teorema.
Dacă un punct M este dat în spațiu 0
(X 0
, y 0
,
z 0
), apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0
perpendicular pe vectorul normal
(A,
B,
C) se pare ca:
A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Dovada.
Pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, compunem un vector . pentru că vector
- vectorul normal, atunci este perpendicular pe plan și, prin urmare, perpendicular pe vector 
. Apoi produsul scalar
=
0
Astfel, obținem ecuația planului
Teorema a fost demonstrată.
Ecuația unui plan în segmente.
Dacă în ecuația generală Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, împărțiți ambele părți la (-D)
,
înlocuind 
, obținem ecuația planului în segmente:
Numerele a, b, c sunt punctele de intersecție ale planului, respectiv, cu axele x, y, z.
Ecuație plană în formă vectorială.
Unde
- raza-vector al punctului curent M(x, y, z),
Un vector unitar care are direcția perpendicularei coborâtă față de planul de la origine.
, și sunt unghiurile formate de acest vector cu axele x, y, z.
p este lungimea acestei perpendiculare.
În coordonate, această ecuație are forma:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Distanța de la un punct la un plan.
Distanța de la un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) la planul Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 este:
Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P (4; -3; 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.
Deci A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, utilizați formula:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unui plan care trece prin două puncte P(2; 0; -1) și
Q(1; -1; 3) este perpendicular pe planul 3x + 2y - z + 5 = 0.
Vector normal în plan 3x + 2y - z + 5 = 0 
paralel cu planul dorit.
Primim:
Exemplu. Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și
В(3, 2, -1) perpendicular pe plan X + la + 2z – 3 = 0.
Ecuația plană dorită are forma: A X+B y+ C z+ D = 0, vectorul normal la acest plan 
(A, B, C). Vector 
(1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal 
(1, 1, 2). pentru că punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci
Deci vectorul normal 
(11, -7, -2). pentru că punctul A aparține planului dorit, atunci coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ecuația acestui plan, adică. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.
În total, obținem ecuația planului: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.
Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4, -3, 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.
Aflarea coordonatelor vectorului normal 
= (4, -3, 12). Ecuația dorită a planului are forma: 4 X
– 3y
+ 12z+ D = 0. Pentru a găsi coeficientul D, înlocuim coordonatele punctului P în ecuația:
16 + 9 + 144 + D = 0
În total, obținem ecuația dorită: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0
Exemplu. Având în vedere coordonatele vârfurilor piramidei A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Aflați lungimea muchiei A 1 A 2 .
Aflați unghiul dintre muchiile A 1 A 2 și A 1 A 4.
Aflați unghiul dintre muchia A 1 A 4 și fața A 1 A 2 A 3 .
Mai întâi, găsiți vectorul normal al feței A 1 A 2 A 3 
ca produs încrucișat al vectorilor 
și 
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Aflați unghiul dintre vectorul normal și vector 
.
-4
– 4 = -8.
Unghiul dorit între vector și plan va fi egal cu = 90 0 - .
Aflați aria feței A 1 A 2 A 3 .
Aflați volumul piramidei.
Aflați ecuația planului А 1 А 2 А 3 .
Folosim formula pentru ecuația unui plan care trece prin trei puncte.
2x + 2y + 2z - 8 = 0
x + y + z - 4 = 0;
Când utilizați versiunea pentru PC a „ Curs de matematică superioară” puteți rula un program care va rezolva exemplul de mai sus pentru orice coordonate ale vârfurilor piramidei.
Faceți dublu clic pe pictogramă pentru a lansa programul:
În fereastra programului care se deschide, introduceți coordonatele vârfurilor piramidei și apăsați Enter. Astfel, toate punctele de decizie pot fi obținute unul câte unul.
Notă: Pentru a rula programul, trebuie să aveți Maple ( Waterloo Maple Inc.) instalat pe computer, orice versiune începând cu MapleV Release 4.
