Mai mult într-un mod simplu. Pentru a face acest lucru, scoateți z din paranteze. Se obține: z(az + b) = 0. Factorii se pot scrie: z=0 și az + b = 0, deoarece ambii pot rezulta zero. În notația az + b = 0, îl deplasăm pe al doilea la dreapta cu alt semn. De aici obținem z1 = 0 și z2 = -b/а. Acestea sunt rădăcinile originalului.

Daca exista ecuație incompletă de forma az² + c = 0, în acest caz se găsesc prin simpla transferare a termenului liber la partea dreapta ecuații. Schimbați-i și semnul. Obțineți înregistrarea az² \u003d -s. Exprimați z² = -c/a. Luați rădăcina și scrieți două soluții - o valoare pozitivă și una negativă a rădăcinii pătrate.

Notă

Dacă există coeficienți fracționali în ecuație, înmulțiți întreaga ecuație cu factorul corespunzător pentru a scăpa de fracții.

A ști să rezolvi ecuații patratice este necesar atât pentru școlari, cât și pentru elevi, uneori poate ajuta un adult în viața de zi cu zi. Există mai multe metode de decizie specifice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice

O ecuație pătratică de forma a*x^2+b*x+c=0. Coeficientul x este variabila dorită, a, b, c - coeficienți numerici. Amintiți-vă că semnul „+” se poate schimba în semnul „-”.

Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să utilizați teorema Vieta sau să găsiți discriminantul. Cea mai obișnuită modalitate este de a găsi discriminantul, deoarece pentru unele valori ale lui a, b, c nu este posibil să se folosească teorema Vieta.

Pentru a găsi discriminantul (D), trebuie să scrieți formula D=b^2 - 4*a*c. Valoarea lui D poate fi mai mare, mai mică sau egală cu zero. Dacă D este mai mare sau mai mic decât zero, atunci vor fi două rădăcini, dacă D = 0, atunci rămâne o singură rădăcină, mai exact, putem spune că D în acest caz are două rădăcini echivalente. Înlocuiți coeficienții cunoscuți a, b, c în formulă și calculați valoarea.

După ce ați găsit discriminantul, pentru a găsi x, utilizați formulele: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a unde sqrt este funcția de a lua rădăcina pătrată a numărului dat. După calcularea acestor expresii, vei găsi cele două rădăcini ale ecuației tale, după care ecuația este considerată rezolvată.

Dacă D este mai mic decât zero, atunci are totuși rădăcini. La școală, această secțiune practic nu este studiată. Studenții ar trebui să știe că sub rădăcină apare un număr negativ. Scăpăm de el prin separarea părții imaginare, adică -1 sub rădăcină este întotdeauna egal cu elementul imaginar „i”, care este înmulțit cu rădăcina cu același număr pozitiv. De exemplu, dacă D=sqrt(-20), după transformare se obține D=sqrt(20)*i. După această transformare, soluția ecuației este redusă la aceeași constatare a rădăcinilor, așa cum este descris mai sus.

Teorema lui Vieta constă în selectarea valorilor x(1) și x(2). Se folosesc două ecuații identice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Mai mult, un punct foarte important este semnul din fața coeficientului b, amintiți-vă că acest semn este opus celui din ecuație. La prima vedere, se pare că calcularea x(1) și x(2) este foarte simplă, dar la rezolvare, vei întâlni faptul că numerele vor trebui selectate exact.

Elemente pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice

Conform regulilor matematicii, unele pot fi factorizate: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, dacă ați reușit să convertiți folosind formule matematice Intr-un mod similar această ecuație pătratică, apoi nu ezitați să scrieți răspunsul. x(1) și x(2) vor fi egali cu coeficienții adiacenți dintre paranteze, dar cu semnul opus.

De asemenea, nu uitați de ecuațiile pătratice incomplete. Este posibil să vă lipsească unii dintre termeni, dacă da, atunci toți coeficienții săi sunt pur și simplu egali cu zero. Dacă x^2 sau x nu este precedat de nimic, atunci coeficienții a și b sunt egali cu 1.

Transformarea unei ecuații pătratice complete într-una incompletă arată astfel (pentru cazul \(b=0\)):

Pentru cazurile în care \(c=0\) sau când ambii coeficienți sunt egali cu zero, totul este similar.

Vă rugăm să rețineți că \(a\) nu este egal cu zero, nu poate fi egal cu zero, deoarece în acest caz se transformă în:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

În primul rând, trebuie să înțelegeți că ecuația pătratică incompletă este încă, prin urmare, poate fi rezolvată în același mod ca și ecuația pătratică obișnuită (prin). Pentru a face acest lucru, adăugăm pur și simplu componenta lipsă a ecuației cu un coeficient zero.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(3x^2-27=0\)
Soluţie :

		Avem o ecuație pătratică incompletă cu coeficientul \(b=0\). Adică, putem scrie ecuația în următoarea formă:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		De fapt, aici este aceeași ecuație ca la început, dar acum poate fi rezolvată ca un pătrat obișnuit. Mai întâi notăm coeficienții.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Calculați discriminantul folosind formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Să găsim rădăcinile ecuației folosind formulele \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Scrieți răspunsul

Răspuns : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(-x^2+x=0\)
Soluţie :

		Din nou, o ecuație pătratică incompletă, dar acum coeficientul \(c\) este egal cu zero. Scriem ecuația ca fiind completă.

Descriere bibliografica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice // Tânăr om de știință. - 2016. - Nr. 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Proiectul nostru este dedicat modalităților de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Scopul proiectului: să învețe cum să rezolvi ecuațiile pătratice în moduri care nu sunt incluse în programa școlară. Sarcină: găsiți toate modalitățile posibile de a rezolva ecuații pătratice și învățați cum să le utilizați singur și prezentați-le colegilor de clasă aceste metode.

Ce sunt „ecuațiile pătratice”?

Ecuație cuadratică - ecuația formei topor2 + bx + c = 0, Unde A, b, c- unele numere ( a ≠ 0), X- necunoscut.

Numerele a, b, c se numesc coeficienți ai ecuației pătratice.

• a se numește primul coeficient;
• b se numește al doilea coeficient;
• c - membru liber.

Și cine a fost primul care a „inventat” ecuații pătratice?

Unele tehnici algebrice pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și pătratice erau cunoscute încă de acum 4000 de ani în Babilonul Antic. Tabletele antice de lut babiloniene găsite, datate undeva între 1800 și 1600 î.Hr., sunt cele mai vechi dovezi ale studiului ecuațiilor pătratice. Aceleași tablete conțin metode de rezolvare a anumitor tipuri de ecuații pătratice.

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II în antichitate a fost cauzată de necesitatea rezolvării problemelor legate de găsirea zonelor de pământ și de terasamente cu caracter militar, precum și de dezvoltarea astronomiei și matematica în sine.

Regula de rezolvare a acestor ecuații, enunțată în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum dau doar probleme cu soluțiile enunțate sub formă de rețete, fără nicio indicație despre cum au fost găsite. In ciuda faptului ca nivel inalt dezvoltarea algebrei în Babilon, în textele cuneiforme nu există conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Matematicienii babilonieni din aproximativ secolul al IV-lea î.Hr. a folosit metoda complementului pătrat pentru a rezolva ecuații cu rădăcini pozitive. În jurul anului 300 î.Hr. Euclid a venit cu o metodă de soluție geometrică mai generală. Primul matematician care a găsit soluții la o ecuație cu rădăcini negative sub forma unei formule algebrice a fost un om de știință indian. Brahmagupta(India, secolul al VII-lea d.Hr.).

Brahmagupta a subliniat o regulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

ax2 + bx = c, a>0

În această ecuație, coeficienții pot fi negativi. Regula lui Brahmagupta coincide în esență cu a noastră.

În India, competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Într-una dintre cărțile vechi indiene, despre astfel de competiții se spune următoarele: „Așa cum soarele strălucește stelele cu strălucirea sa, așa om de știință eclipsă glorie în adunările populare, oferind și rezolvând probleme algebrice. Sarcinile erau adesea îmbrăcate în formă poetică.

Într-un tratat algebric Al-Khwarizmi se dă o clasificare a ecuaţiilor liniare şi pătratice. Autorul enumeră 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 = bx.

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică ax2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 = c.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 + c = bx.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 + bx = c.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c == ax2.

Pentru Al-Khwarizmi, care a evitat utilizarea numere negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt termeni, nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul conturează metodele de rezolvare a acestor ecuații, folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Decizia lui, desigur, nu coincide complet cu a noastră. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip, Al-Khwarizmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de zero. soluție, probabil pentru că în sarcini practice specifice, nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, Al-Khwarizmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezile geometrice ale acestora.

Formele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice pe modelul lui Al-Khwarizmi în Europa au fost descrise pentru prima dată în „Cartea Abacului”, scrisă în 1202. matematician italian Leonard Fibonacci. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative.

Această carte a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din această carte au fost transferate în aproape toate manualele europene din secolele XIV-XVII. Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică x2 + bx = c cu toate combinațiile posibile de semne și coeficienți b, c, a fost formulată în Europa în 1544. M. Stiefel.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generala Viet are, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli printre primele din secolul al XVI-lea. ţine cont, pe lângă pozitiv, şi rădăcini negative. Abia în secolul al XVII-lea. datorită muncii Girard, Descartes, Newtonși alți oameni de știință, modul de rezolvare a ecuațiilor pătratice ia o formă modernă.

Luați în considerare mai multe moduri de a rezolva ecuații pătratice.

Modalități standard de rezolvare a ecuațiilor pătratice din curiculumul scolar:

1. Factorizarea părții stângi a ecuației.
2. Metoda de selecție a pătratului complet.
3. Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin formulă.
4. Soluție grafică ecuație pătratică.
5. Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta.

Să ne oprim mai în detaliu asupra soluției ecuațiilor pătratice reduse și nereduse folosind teorema Vieta.

Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuațiile pătratice de mai sus, este suficient să găsiți două numere astfel încât produsul cărora să fie egal cu termenul liber, iar suma să fie egală cu al doilea coeficient cu semnul opus.

Exemplu.X 2 -5x+6=0

Trebuie să găsiți numere al căror produs este 6 și suma este 5. Aceste numere vor fi 3 și 2.

Raspuns: x 1 =2, x 2 =3.

Dar puteți folosi această metodă pentru ecuații cu primul coeficient diferit de unul.

Exemplu.3x 2 +2x-5=0

Luăm primul coeficient și îl înmulțim cu termenul liber: x 2 +2x-15=0

Rădăcinile acestei ecuații vor fi numere al căror produs este - 15, iar suma este - 2. Aceste numere sunt 5 și 3. Pentru a găsi rădăcinile ecuației inițiale, împărțim rădăcinile obținute la primul coeficient.

Raspuns: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rezolvarea ecuațiilor prin metoda „transferului”.

Se consideră ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0, unde a≠0.

Înmulțind ambele părți cu a, obținem ecuația a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Fie ax = y, de unde x = y/a; atunci ajungem la ecuația y 2 + prin + ac = 0, care este echivalentă cu cea dată. Găsim rădăcinile sale la 1 și la 2 folosind teorema Vieta.

În cele din urmă obținem x 1 = y 1 /a și x 2 = y 2 /a.

Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, parcă „transferat” acestuia, de aceea se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Exemplu.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Să „transferăm” coeficientul 2 la termenul liber și făcând înlocuirea obținem ecuația y 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei inverse a lui Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Raspuns: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Proprietăţile coeficienţilor unei ecuaţii pătratice.

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Dacă a + b + c \u003d 0 (adică, suma coeficienților ecuației este zero), atunci x 1 \u003d 1.

2. Dacă a - b + c \u003d 0 sau b \u003d a + c, atunci x 1 \u003d - 1.

Exemplu.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Deoarece a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), atunci x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Raspuns: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplu.132x 2 + 247x + 115 = 0

pentru că a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), apoi x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Raspuns: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Există și alte proprietăți ale coeficienților unei ecuații pătratice. dar utilizarea lor este mai complicată.

8. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă.

Fig 1. Nomograma

Aceasta este o metodă veche și uitată în prezent de rezolvare a ecuațiilor pătratice, plasată la p. 83 a colecției: Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.

Tabelul XXII. Nomograma pentru rezolvarea ecuațiilor z2 + pz + q = 0. Această nomogramă permite, fără a rezolva ecuația pătratică, să se determine rădăcinile ecuației prin coeficienții ei.

Scara curbilinie a nomogramei este construită după formulele (Fig. 1):

Presupunând OS = p, ED = q, OE = a(toate în cm), din Fig. 1 asemănarea triunghiurilor SANși CDF obținem proporția

de unde, după substituții și simplificări, urmează ecuația z 2 + pz + q = 0, iar scrisoarea zînseamnă eticheta oricărui punct de pe scara curbă.

Orez. 2 Rezolvarea unei ecuații pătratice folosind o nomogramă

Exemple.

1) Pentru ecuație z 2 - 9z + 8 = 0 nomograma dă rădăcinile z 1 = 8,0 și z 2 = 1,0

Răspuns: 8,0; 1.0.

2) Rezolvați ecuația folosind nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Împărțiți coeficienții acestei ecuații la 2, obținem ecuația z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomograma dă rădăcinile z 1 = 4 și z 2 = 0,5.

Răspuns: 4; 0,5.

9. Metoda geometrică de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Exemplu.X 2 + 10x = 39.

În original, această problemă este formulată după cum urmează: „Pătratul și zece rădăcini sunt egale cu 39”.

Luați în considerare un pătrat cu latura x, dreptunghiuri sunt construite pe laturile sale, astfel încât cealaltă parte a fiecăruia dintre ele să fie de 2,5, prin urmare, aria fiecăruia este de 2,5x. Cifra rezultată este apoi completată cu un nou pătrat ABCD, completând patru pătrate egale în colțuri, latura fiecăruia dintre ele este 2,5 și aria este 6,25

Orez. 3 Mod grafic soluția ecuației x 2 + 10x = 39

Aria S a pătratului ABCD poate fi reprezentată ca suma ariilor: pătratul original x 2, patru dreptunghiuri (4∙2,5x = 10x) și patru pătrate atașate (6,25∙4 = 25), adică. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Înlocuind x 2 + 10x cu numărul 39, obținem acel S \u003d 39 + 25 \u003d 64, ceea ce implică că latura pătratului ABCD, adică. segment AB \u003d 8. Pentru latura dorită x a pătratului original, obținem

10. Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Bezout.

teorema lui Bezout. Restul după împărțirea polinomului P(x) la binomul x - α este egal cu P(α) (adică valoarea lui P(x) la x = α).

Dacă numărul α este rădăcina polinomului P(x), atunci acest polinom este divizibil cu x -α fără rest.

Exemplu.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Împărțiți P(x) la (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, sau x-3=0, x=3; Raspuns: x1 =2, x2 =3.

Concluzie: Abilitatea de a rezolva rapid și rațional ecuații pătratice este pur și simplu necesară pentru rezolvarea unor ecuații mai complexe, de exemplu, ecuații raționale fracționale, ecuații grade superioare, ecuații biquadratice, iar în liceu ecuații trigonometrice, exponențiale și logaritmice. După ce am studiat toate metodele găsite pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, putem sfătui colegii, pe lângă metodele standard, să rezolve prin metoda transferului (6) și să rezolve ecuații prin proprietatea coeficienților (7), deoarece acestea sunt mai accesibile pentru înțelegere. .

Literatură:

1. Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.
2. Algebră clasa a 8-a: manual pentru clasa a 8-a. educatie generala instituții Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ed. a XV-a, revizuită. - M.: Iluminismul, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Un ghid pentru profesori. / Ed. V.N. Mai tanara. - M.: Iluminismul, 1964.

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea trinom pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factorizării.

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul zero, , atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă se construiește graficul funcției
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul intersectează axa (axa) absciselor în două puncte.
Când , graficul atinge axa x la un moment dat.
Când , graficul nu traversează axa x.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

Soluţie

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

Răspuns

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Soluţie

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

Răspuns

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Soluţie

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Răspuns

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este esențială.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a , b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac .

Această formulă trebuie cunoscută pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

O sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație în același mod:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este egal cu zero - rădăcina va fi una.

Rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după ce au fost rezolvate 50-70 de ecuații - în general, nu atât de multe.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când coeficienții negativi sunt înlocuiți în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, pictați fiecare pas - și scăpați de greșeli foarte curând.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil atunci când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură ecuație. rădăcină: x \u003d 0.

Să luăm în considerare alte cazuri. Fie b \u003d 0, apoi obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c \u003d 0. Să o transformăm ușor:

Pentru că aritmetica Rădăcină pătrată există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a ) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 satisface inegalitatea (−c / a ) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c / a )< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici măcar nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a ) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea lui x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteză

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, vom analiza câteva dintre aceste ecuații:

O sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.