Coordonatele - sunt marimi care determina pozitia oricarui punct de pe suprafata sau in spatiu in sistemul de coordonate acceptat. Sistemul de coordonate stabilește punctele, liniile sau planurile inițiale (originale) pentru citirea cantităților necesare - originea coordonatelor și unitățile de calcul ale acestora. În topografie și geodezie, sistemele de coordonate geografice, dreptunghiulare, polare și bipolare au primit cea mai mare aplicație.
Coordonatele geografice (Fig. 2.8) sunt folosite pentru a determina poziția punctelor de pe suprafața Pământului pe un elipsoid (bilă). În acest sistem de coordonate, planul meridian inițial și planul ecuatorial sunt cele inițiale. Un meridian este o linie de secțiune a unui elipsoid prin care trece un plan punct datși axa de rotație a Pământului.

O paralelă este o linie de secțiune a unui elipsoid printr-un plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe axa pământului. Paralela al cărei plan trece prin centrul elipsoidului se numește ecuator. Prin fiecare punct de pe suprafață globul, puteți desena un singur meridian și o singură paralelă.
Coordonatele geografice sunt marimi unghiulare: longitudine l si latitudine j.
Longitudinea geografică l se numește unghi diedru, închisă între planul meridianului dat (care trece prin punctul B) și planul meridianului inițial. Pentru meridianul inițial (zero), a fost luat meridianul care trece prin centrul sălii principale a Observatorului Greenwich din orașul Londra. Pentru punctul B, longitudinea este determinată de unghiul l = WCD. Longitudinile sunt numărate de la meridianul prim în ambele direcții - est și vest. În acest sens, distingem între longitudine vestică și estică, care variază de la 0° la 180°.
Latitudine geografică j este unghiul format de planul ecuatorului și plumbul care trece prin punctul dat. Dacă Pământul este luat ca o minge, atunci pentru punctul B (Fig. 2.8) latitudinea j este determinată de unghiul DCB. Latitudinile măsurate de la ecuator la nord sunt numite nordice, iar la sud - sud, acestea variază de la 0 ° la ecuator la 90 ° la poli.
Coordonatele geografice pot fi derivate din observații astronomice sau măsurători geodezice. În primul caz, ele sunt numite astronomice, iar în al doilea - geodezice (L - longitudine, B - latitudine). În observațiile astronomice, proiecția punctelor pe suprafața de referință se realizează prin linii de plumb, în ​​măsurători geodezice - prin normale. Prin urmare, valorile coordonatelor astronomice și geodezice diferă în funcție de cantitatea de abatere a liniei de plumb.
Utilizarea diferitelor elipsoide de referință în diferite stări duce la diferențe în coordonatele acelorași puncte calculate în raport cu diferite suprafețe inițiale. În practică, aceasta se exprimă în deplasarea generală a imaginii cartografice în raport cu meridianele și paralelele de pe hărți de scară mare și medie.
Coordonate dreptunghiulare marimile liniare se numesc - abscisa si ordonata, care determina pozitia unui punct pe plan fata de directiile initiale.

(Fig. 2.9)
În geodezie și topografie, este acceptat sistem corect coordonate dreptunghiulare. Acest lucru îl diferențiază de sistemul de coordonate din stânga folosit în matematică. Direcțiile inițiale sunt două drepte reciproc perpendiculare cu originea în punctul lor de intersecție O.
Linia dreaptă XX (axa absciselor) este aliniată cu direcția meridianului care trece prin origine, sau cu direcția paralelă cu un meridian. Linia dreaptă YY (axa y) trece prin punctul O perpendicular pe axa x. Într-un astfel de sistem, poziția unui punct pe un plan este determinată de cea mai scurtă distanță până la acesta față de axele de coordonate. Poziția punctului A este determinată de lungimea perpendicularelor Xa și Ya. Segmentul Xa este numit abscisa punctului A, iar Yа este ordonata acestui punct. Coordonatele dreptunghiulare sunt de obicei exprimate în metri. Abscisa și axele ordonatelor împart terenul în punctul O în patru sferturi (Fig. 2.9). Numele cartierelor este determinat de denumirile acceptate ale țărilor lumii. Sferturile sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic: I - SV; II - SE; III - SW; IV - NV.
În tabel. 2.3 prezintă semnele absciselor X și ordonatele Y pentru punctele situate în diferite sferturi și sunt date denumirea acestora.

Tabelul 2.3
Abcisele punctelor situate în sus de la origine sunt considerate pozitive, iar în jos - negative, ordonatele punctelor situate la dreapta - pozitive, la stânga - negative. Sistemul de coordonate dreptunghiulare plate este utilizat în zone limitate suprafața pământului, care poate fi considerat plat.
Coordonatele, a căror origine este orice punct al terenului, sunt numite polare. În acest sistem de coordonate se măsoară unghiurile de orientare. Pe un plan orizontal (Fig. 2.10), printr-un punct O ales arbitrar, numit pol, se trasează o linie dreaptă OX - axa polară.

Atunci poziția oricărui punct, de exemplu, M va fi determinată de rază - vectorul r1 și unghiul de direcție a1 și punctul N - respectiv r2 și a2. Unghiurile a1 și a2 sunt măsurate de la axa polară în sensul acelor de ceasornic până la vectorul rază. Axa polară poate fi localizată în mod arbitrar sau combinată cu direcția oricărui meridian care trece prin polul O.
Sistemul de coordonate bipolar (Fig. 2.11) reprezintă doi poli fixați selectați O1 și O2, legați printr-o linie dreaptă - axa polară. Acest sistem de coordonate vă permite să determinați poziția punctului M în raport cu axa polară pe plan folosind două unghiuri b1 și b2, doi vectori de rază r1 și r2 sau combinații ale acestora. Dacă sunt cunoscute coordonatele dreptunghiulare ale punctelor O1 și O2, atunci poziția punctului M poate fi calculată într-un mod analitic.


Orez. 2.11

Orez. 2.12
Înălțimile punctelor de pe suprafața pământului. Pentru a determina poziția punctelor suprafeței fizice a Pământului, nu este suficient să cunoașteți doar coordonatele planificate X, Y sau l, j, este necesară o a treia coordonată - înălțimea punctului H. Înălțimea punctul H (Fig. 2.12) este distanța de-a lungul direcției verticale de la un punct dat (A’; B’ ´) până la suprafața de nivel principal acceptată MN. Valoarea numerică a înălțimii unui punct se numește cotă. Înălțimile măsurate de la suprafața de nivel principală MN se numesc înălțimi absolute (AA´; BB´´), iar cele determinate în raport cu o suprafață de nivel aleasă arbitrar se numesc înălțimi condiționate (В´В´´). Diferența de înălțime a două puncte sau distanța de-a lungul direcției verticale dintre suprafețele de nivel care trec prin oricare două puncte ale Pământului se numește înălțime relativă (В´В´´) sau excesul acestor puncte h.
În Republica Belarus a fost adoptat sistemul baltic de înălțimi din 1977. Înălțimile se numără de la suprafața plană, care coincide cu nivelul mediu al apei din Golful Finlandei, de la zero al piciorului Kronstadt.

Iată altul

4.1. COORDONATE DREPTANGULARE

În topografie, coordonatele dreptunghiulare sunt cele mai utilizate. Luați pe un plan două drepte reciproc perpendiculare - OXși OY. Aceste linii se numesc axe de coordonate, iar punctul lor de intersecție ( O) este originea coordonatelor.

Orez. 4.1. Coordonate dreptunghiulare

Poziția oricărui punct din plan poate fi determinată cu ușurință prin specificarea celor mai scurte distanțe de la axele de coordonate la punctul dat. Cele mai scurte distanțe sunt perpendiculare. Distanțele de-a lungul perpendicularelor de la axele de coordonate la un punct dat se numesc coordonate dreptunghiulare ale acestui punct. Segmente de linie paralele cu axa X, se numesc coordonate XDAR , și axele paralele Y- coordonatele laDAR .
Sferturile sistemului de coordonate dreptunghiulare sunt numerotate. Numărarea lor merge în sensul acelor de ceasornic din direcția pozitivă a axei x - I, II, III, IV (Fig. 4.1).
Coordonatele dreptunghiulare discutate mai sus sunt folosite pe un plan. De aici au primit numele coordonate dreptunghiulare plate. Acest sistem de coordonate este utilizat în zone mici ale terenului, luate ca un avion.

4.2. SISTEM DE COORDONATE DREPTUNGULAR GAUSSIAN ZONAL

Luând în considerare problema „Proiecțiilor hărților topografice”, s-a remarcat că suprafața Pământului este proiectată pe suprafața unui cilindru care atinge suprafața Pământului de-a lungul meridianului axial. În acest caz, nu întreaga suprafață a Pământului este proiectată pe cilindru, ci doar o parte a acestuia, limitată de 3° de longitudine la vest și 3° la est de meridianul axial. Deoarece fiecare dintre proiecțiile gaussiene transmite în plan doar un fragment din suprafața Pământului, limitat de meridiane la 6 ° de longitudine, atunci ar trebui făcute în total 60 de proiecții (60 de zone) pe suprafața Pământului. În fiecare dintre cele 60 de proiecții, a sistem separat coordonate dreptunghiulare.
În fiecare zonă, axa X este meridianul mijlociu (axial) al zonei, situat la 500 km spre vest de poziția actuală, iar axa Y- ecuator (Fig. 4.2).

Orez. 4.2. Sistem de coordonate dreptunghiular
pe hărți topografice

Intersecția meridianului axial extins cu ecuatorul va fi originea coordonatelor: x=0, y=0. Punctul de intersecție al ecuatorului și meridianul axial real are coordonatele : x = 0, y = 500 km.
Fiecare zonă are propria sa origine. Zonele sunt numărate de la meridianul Greenwich spre est. Prima zonă de șase grade este situată între meridianul Greenwich și meridianul cu longitudine estică 6º (meridianul axial 3º). A doua zonă este 6º E. - 12º E (meridianul axial 9º). A treia zonă - 12º E - 18º E (meridianul axial 15º). Zona a patra - 18º E - 24º E (meridianul axial 21º), etc.
Numărul zonei este indicat în coordonate la prima cifră. De exemplu, intrarea la = 4 525 340 înseamnă că punctul specificat se află în a patra zonă (prima cifră) la distanță 525 340 m de la meridianul axial al zonei, care se află la vest de 500 km.

Pentru a determina numărul zonei după coordonatele geografice, este necesar să adăugați 6 la longitudinea exprimată în numere întregi de grade și să împărțiți suma rezultată la 6. Ca urmare a împărțirii, lăsăm doar un număr întreg.

Exemplu. Determinați numărul zonei Gauss pentru un punct având o longitudine estică de 18º10".
Soluţie. La numărul întreg de grade de longitudine 18, adăugați 6 și împărțiți suma la 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Harta noastră se află în a patra zonă.

Dificultăți în utilizarea sistemului de coordonate zonal apar atunci când se efectuează lucrări topografice și geodezice în zone de frontieră situate în două zone învecinate (adiacente). Liniile de coordonate ale unor astfel de zone sunt situate la un unghi una față de cealaltă (Figura 4.3).

Pentru a elimina complicațiile care apar, banda de suprapunere a zonei , în care coordonatele punctelor pot fi calculate în două sisteme adiacente. Lățimea de suprapunere 4°, 2° în fiecare zonă.

O grilă suplimentară pe hartă este aplicată numai sub formă de ieșiri ale liniilor sale între cadrele minute și exterioare. Digitalizarea acestuia este o continuare a digitizării liniilor de grilă ale zonei adiacente. Liniile de grilă suplimentare sunt semnate în afara cadrului exterior al foii. În consecință, pe o foaie de hartă situată în zona de est, la conectarea ieșirilor rețelei suplimentare cu același nume, se obține o grilă de kilometri a zonei de vest. Folosind această grilă, puteți determina, de exemplu, coordonatele dreptunghiulare ale unui punct LAîn sistemul de coordonate dreptunghiulare ale zonei vestice, adică coordonatele dreptunghiulare ale punctelor DARși LA se va obţine în acelaşi sistem de coordonate al zonei vestice.

Orez. 4.3. Liniile kilometrice suplimentare la granița zonelor

Pe o hartă cu o scară de 1:10.000, o grilă suplimentară este împărțită numai pe acele foi în care meridianul de est sau de vest al cadrului interior (cadru trapezoid) este limita zonei. Pe planurile topografice nu se aplică o grilă suplimentară.

4.3. DETERMINAREA COORDONATELOR DREPTUNGULARE CU AJUTORUL BUSOLEI-MĂSURATOR

Un element important harta topografică (planul) este o grilă dreptunghiulară. Pe toate foile din această zonă de 6 grade, grila este aplicată sub formă de rânduri de linii, paralel cu meridianul central și cu ecuatorul(Fig. 4.2). Liniile verticale ale grilei sunt paralele cu meridianul axial al zonei, iar liniile orizontale sunt paralele cu ecuatorul. Liniile kilometrice orizontale sunt numărate de jos în sus, iar cele verticale - de la stânga la dreapta .

Intervalele dintre liniile de pe hărțile de scară 1:200.000 - 1:50.000 sunt de 2 cm, 1:25.000 - 4 cm, 1:10.000 - 10 cm, ceea ce corespunde unui număr întreg de kilometri pe sol. Prin urmare, se mai numește și o grilă dreptunghiulară kilometru, iar liniile sale sunt kilometru.
Liniile de kilometri cele mai apropiate de colțurile cadrului foii de hartă sunt semnate cu numărul total de kilometri, restul - cu ultimele două cifre. Inscripţie 60 65 (vezi Fig. 4.4) pe una dintre liniile orizontale înseamnă că această linie se află la 6065 km distanță de ecuator (spre nord): inscripția 43 07 la linia verticală înseamnă că se află în zona a patra și se află la 307 km distanță de începutul calculului ordonatelor spre est. Dacă un număr din trei cifre este scris cu cifre mici lângă linia kilometrică verticală, primele două indică numărul zonei.

Exemplu. Este necesar să se determine coordonatele dreptunghiulare ale unui punct de pe hartă, de exemplu, un punct al rețelei geodezice de stat (GGS) cu marcajul 214,3 (Fig. 4.4). Mai întâi, notați (în kilometri) abscisa laturii sudice a pătratului în care este situat acest punct (adică 6065). Apoi, folosind un compas de măsurare și o scară liniară, determinați lungimea perpendicularei Δх= 550 m pubescent din punct dat la această linie. Valoarea rezultată (in acest caz 550 m) se adaugă la abscisa liniei. Numărul 6 065 550 este o abscisă X punctul GGS.
Ordonata punctului GGS este egală cu ordonata laturii de vest a aceluiași pătrat (4307 km), adăugată la lungimea perpendicularei Δу= 250 m măsurată pe hartă. Numărul 4 307 250 este ordonata aceluiași punct.
În absența unei busole de măsurare, distanțele sunt măsurate cu o riglă sau o bandă de hârtie..

X = 6065550, la= 4307250
Orez. 4.4. Determinarea coordonatelor dreptunghiulare folosind o scară liniară

4.4. DETERMINAREA COORDONATELOR RECTANGULARE FOLOSIND UN COORDONATOR

Coordonator - un pătrat mic cu două laturi perpendiculare. Scale sunt marcate de-a lungul marginilor interioare ale riglelor, ale căror lungimi sunt egale cu lungimea laturii celulelor de coordonate ale hărții scării date. Diviziunile de pe contorul de coordonate sunt transferate de la scara liniară a hărții.
Scara orizontală este aliniată cu linia de jos a pătratului (în care se află punctul), iar scara verticală trebuie să treacă prin acest punct. Scara determină distanța de la punct la liniile kilometrice.

x A = 6135 350 y A = 5577 710
Orez. 4.5. Determinarea coordonatelor carteziene cu ajutorul coordonatorului

4.5. APLICAREA PUNCTELOR PE O HARTĂ DIN COORDONATE DREPTUNGULARE DATE

Pentru a reprezenta un punct pe o hartă la coordonatele dreptunghiulare date, procedați după cum urmează: în înregistrarea de coordonate se găsesc numere de două cifre, care abreviau liniile grilei dreptunghiulare. Conform primului număr, pe hartă se găsește o linie de grilă orizontală, conform celui de-al doilea - una verticală. Intersecția lor formează colțul de sud-vest al pieței în care se află punctul dorit. Pe laturile de est și de vest ale pătratului, două segmente egale sunt așezate din latura sa de sud, corespunzând pe scara hărții numărului de metri în abscisă. X . Capetele segmentelor sunt legate printr-o linie dreaptă și pe ea, din latura vestică a pătratului, pe scara hărții este așezat un segment corespunzător numărului de metri din ordonată; capătul acestui segment este punctul dorit.

4.6. CALCULUL COORDONATELOR GAUSS DIN COORDONATE GEOGRAFICE PLATE RECTANGULARE

Coordonate carteziene gaussiene plane X și la foarte greu de raportat la coordonatele geografice φ (latitudine) și λ (longitudine) puncte de pe suprafața pământului. Să presupunem un punct DAR are coordonate geografice φ și λ . Deoarece diferența de longitudini ale meridianelor de frontieră ale zonei este de 6°, atunci, respectiv, pentru fiecare dintre zone este posibil să se obțină longitudinele meridianelor extreme: zona 1 (0° - 6°), zona a 2-a (6° - 12°), zona a 3-a (12° - 18°) etc. Astfel, conform longitudine geografică puncte DAR puteți determina numărul zonei în care se află acest punct. În timp ce longitudinea λ os al meridianului axial al zonei este determinat de formula
λ os = (6°n - 3°),
în care n- numărul zonei.

Pentru a defini coordonatele dreptunghiulare plane X și la după coordonatele geografice φ și λ vom folosi formulele derivate pentru elipsoidul de referință al lui Krasovsky (elipsoidul de referință este o figură care este cât mai aproape de figura Pământului în acea parte a acestuia pe care se află stare dată, sau un grup de state):

X = 6367558,4969 (φ bucuros ) - (a 0 −l 2 N)sinφ cosφ (4.1)
la(l) = lNcosφ (4.2)

Formulele (4.1) și (4.2) folosesc următoarea notație:
y(l) - distanța de la punct la meridianul axial al zonei;
l= (λ - λ os ) - diferența dintre longitudinele punctului determinat și meridianul axial al zonei);
φ bucuros - latitudinea punctului, exprimată în măsura în radiani;
N = 6399698,902 - cos 2φ;
A 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
A 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) cos 2φ - 0,1666667;
A 4 = (0,25 + 0,00252 cos 2φ) cos 2φ - 0,04166;
A 5 = 0,0083 - cos 2φ;
A 6 \u003d (0,166 cos 2 φ - 0,084) cos 2 φ.
y" - distanța de la meridianul axial referitor la vest de 500 km.

Conform formulei (4.1), valoarea coordonatei y(l) sunt obținute în raport cu meridianul axial al zonei, adică. se poate obține cu semne plus pentru partea de est a zonei sau semne minus pentru partea de vest a zonei. Pentru a înregistra coordonatele yîn sistemul de coordonate zonal, este necesar să se calculeze distanța până la un punct de la meridianul axial al zonei, la 500 km spre vest (la"in masa ) , iar în fața valorii obținute, atribuiți numărul zonei. De exemplu, având în vedere valoarea
y(l)= -303678,774 m în zona 47.
Apoi
la= 47 (500000,000 - 303678,774) = 47196321,226 m.
Folosim foi de calcul pentru calcule. MicrosoftXL .

Exemplu. Calculați coordonatele dreptunghiulare ale unui punct care are coordonate geografice:
φ \u003d 47º02 "15,0543" N; λ = 65º01"38,2456"E

La masă MicrosoftXL introduceți datele și formulele inițiale (tab. 4.1).

Tabelul 4.1.

				D	E	F
		Parametru	Tehnica de calcul	grindină
		φ (grade)	D2+E2/60+F2/3600
		φ (rad)	RADIANI(C3)
		Cos 2 φ
		numărul zonei	INTEGER((D8+6)/6)
		λos (grade)
		l (grade)	D11+E11/60+F11/3600
		l (rad)	RADIANI(C12)
			6399698,902-((21562,267- (108,973-0,612*C6^2)*C6^2))*C6^2
		A 0	32140,404-((135,3302- (0,7092-0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2
		A 4	=(0,25+0,00252*C6^2)*C6^2-0,04166
		A 6	=(0,166*C6^2-0,084)*C6^2
		A 3	=(0,3333333+0,001123*C6^2)*C6^2-0,1666667
		A 5	0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2
			6367558.4969*C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17*C20)*C20))) *C20*C14)))*C5*C6)
			=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6
			ROUND((500000+C23);3)
			CONCATENATE(C9;C24)

Vedere a tabelului după calcule (tab. 4.2).

Tabelul 4.2.

		Parametru	Tehnica de calcul	grindină
		φ (grade, min, sec)
		φ (grade)
		φ (radiani)
		Cos 2 φ
		λ (grade, min, sec)
		Numărul zonei
		λos (grade)
		l (min, sec)
		l (grade)
		l (radiani)
		A 0
		A 4
		A 6
		A 3
		A 5

4.7. CALCULUL COORDONATELOR GEOGRAFICE DIN COORDONATE GAUSS DREPTANGULARE PLATE

Pentru a rezolva această problemă se folosesc și formulele de recalculare obținute pentru elipsoidul de referință Krasovsky.
Să presupunem că trebuie să calculăm coordonatele geografice φ și λ puncte DAR prin coordonatele sale dreptunghiulare plate Xși la dat în sistemul de coordonate zonal. În acest caz, valoarea coordonatei laînregistrată cu indicarea numărului zonei și ținând cont de deplasarea meridianului axial al zonei spre vest cu 500 km.
Pre prin valoare la găsiți numărul zonei în care se află punctul determinat, determinați longitudinea după numărul zonei λ o meridianul axial și distanța de la punct la meridianul axial spre vest găsiți distanța y(l) de la punct la meridianul axial al zonei (cel din urmă poate fi cu semnul plus sau minus).
Valorile coordonatelor geografice φ și λ în coordonate dreptunghiulare plane Xși la se gasesc dupa formulele:
φ = φ X - z 2 b 2 p″ (4,3)
λ = λ 0 + l (4,4)
l = zρ″ (4,5)

În formulele (4.3) și (4.5):
φ x ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (X / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264,8062″ - numărul de secunde într-un radian
z = Y(L) / (Nx cos φx);
N x \u003d 6399698,902 - cos 2 φ x;
b 2 \u003d (0,5 + 0,003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
b 3 \u003d 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
b 4 \u003d 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
b 5 \u003d 0,2 - (0,1667 - 0,0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.

Folosim foi de calcul pentru calcule. MicrosoftXL .
Exemplu. Calculați coordonatele geografice ale unui punct din dreptunghi:
x = 5213504,619; y = 11654079,966.

La masă MicrosoftXL introduceți datele și formulele inițiale (tab. 4.3).

Tabelul 4.3.

1 Parametru calcul Grad. Min. Sec. 2 1 X 5213504,619 2 la 11654079,966 4 3 №*zone IF(C3<1000000; C3/100000;C3/1000000) 5 4 numărul zonei TOTAL (C4) 6 5 λoos C5*6-3 7 6 la" C3-C5*1000000 8 7 y(l) C7-500000 9 8 ρ″ 206264,8062 10 9 β" C2/6367558.4969*C9 11 10 β rad RADIANI(C10/3600) 12 11 β TOTUL (C10/3600) TOTUL ((C10-D12*3600)/60) C10-D12* 3600-E12*60 13 12 Sin β SIN(C11) 14 13 Cosβ COS(C11) 15 14 Cos 2 β C14^2 16 15 φ X " C10+(((50221746+((293622+ (2350+22*C14^2)*C14^2))*C14^2))) *10^-10*C13*C14*C9 17 16 φ X bucuros RADIANI(C16/3600) 18 17 φ X TOTUL (C16/3600) TOTUL ((C16-D18*3600)/60) C16-D18* 3600-E18*60 19 18 Sin phi. SIN(C17) 20 19 Cos φ X COS(C17) 21 20 Cos 2 φ X C20^2 22 21 N X 6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612*C21)*C21))*C21 23 22 Ν X Cosφ X C22*C20 24 23 z C8/(C22*C20) 25 24 z 2 C24^2 26 25 b 4 0,25+(0,16161+0,00562*C21)*C21 27 26 b 2 =(0,5+0,003369*C21)*C19*C20 28 27 b 3 0,333333-(0,166667-0,001123*C21)*C21 29 28 b 5 0,2-(0,1667-0,0088*C21)*C21 30 29 C16-((1-(C26-0,12 *C25)*C25))*C25*C27*C9 31 30 φ =INTEGER (C30/3600) =INTEGER ((C30-D31*3600)/60) =C30-D31* 3600-E31*60 32 31 eu =((1-(C28-C29*C25)*C25))*C24*C9 33 32 l 0 =INTEGER (C32/3600) =INTEGER ((C32-D33*3600)/60) =C32-D33* 3600-E33*60 34 33 λ C6+D33

Vedere a tabelului după calcule (tab. 4.4).

Tabelul 4.4.

		Parametru	calcul	Grad.
		Numărul zonei*
		Numărul zonei
		λoos (grade)
		la"
		β rad
		Cos 2 β
		φ X "
		φ X bucuros
		φ X
		Cos φ X
		Cos 2 φ X
		N X
		Ν X Cos φ X
		z 2
		b 4
		b 2
		b 3
		b 5
		φ
		l 0
		λ

Dacă calculele sunt efectuate corect, copiați ambele tabele pe o singură foaie, ascundeți rândurile de calcule intermediare și coloana Nr. p / p și lăsați doar liniile pentru introducerea datelor inițiale și a rezultatelor calculului. Formatăm tabelul și ajustăm numele coloanelor și coloanelor după cum doriți.

Fișele de lucru ar putea arăta așa

Tabelul 4.5.

Note.
1. În funcție de precizia necesară, puteți crește sau micșora adâncimea de biți.
2. Numărul de rânduri din tabel poate fi redus prin combinarea calculelor. De exemplu, nu calculați radianii unui unghi separat, ci scrieți imediat în formula =SIN(RADIANS(C3)).
3. Rotunjirea la punctul 23 din tabel. 4.1. producem pentru "ambreiaj". Numărul de cifre la rotunjirea 3.
4. Dacă nu modificați formatul celulelor din coloanele „Grad” și „Min”, atunci nu vor fi zerouri în fața numerelor. Modificarea formatului aici se face numai pentru percepția vizuală (prin decizia autorului) și nu afectează rezultatele calculelor.
5. Pentru a nu deteriora accidental formulele, ar trebui să protejați masa: Instrumente / Foaie de protecție. Înainte de protecție, selectați celulele pentru introducerea datelor inițiale, apoi: Formatare celule / Protecție / Celulă protejată - debifați.

4.8. RELAȚIA SISTEMELOR DE COORDONATE PLAN DREPTANGULARE ȘI POLARE

Simplitatea sistemului de coordonate polare și posibilitatea de a-l construi relativ la orice punct al terenului, luat ca stâlp, a dus la utilizarea pe scară largă în topografie. Pentru a lega între ele sistemele polare ale punctelor individuale ale terenului, este necesar să se treacă la determinarea poziției acestuia din urmă într-un sistem de coordonate dreptunghiular, care poate fi extins la o zonă mult mai mare. Legătura dintre cele două sisteme se stabilește prin rezolvarea problemelor geodezice directe și inverse.
Problemă geodezică directă constă în determinarea coordonatelor punctului final LA (Fig. 4.4) linii AB pe lungimea sa G orizontalăd , direcțieα și coordonatele punctului de plecare XDAR , laDAR .

Orez. 4.6. Rezolvarea problemelor geodezice directe și inverse

Deci, dacă luăm ideea DAR(Fig. 4.4) pentru polul sistemului de coordonate polare și linia dreaptă AB- pentru axa polară paralelă cu axa OH, apoi coordonatele polare ale punctului LA voi dși α . Este necesar să se calculeze coordonatele dreptunghiulare ale acestui punct din sistem CUM.

Din fig. 3.4 arată că XLA difera de XDAR prin valoarea ( XLA - XDAR ) = Δ XAB , A laLA difera de laDAR prin valoarea ( laLA - laDAR ) = Δ laAB . Diferențe în coordonatele finalei LAși primară DAR puncte de linie AB Δ Xşi Δ la numit incremente de coordonate . Creșterile de coordonate sunt proiecții ortogonale ale liniei AB pe axa de coordonate. Coordonatele XLA și laLA poate fi calculat folosind formulele:

XLA = XDAR + Δ XAB (4.1)
laLA = laDAR + Δ laAB (4.2)

Valorile de increment sunt determinate din triunghiul dreptunghic ASV conform datei dși α, deoarece incrementele Δ Xşi Δ la catetele acestui triunghi dreptunghic sunt:

Δ XAB =dcos α (4.3)
Δ laAB = dpăcat α (4.4)

Semnul creșterilor de coordonate depinde de unghiul de poziție.

Tabelul 4.1.

Înlocuind valoarea incrementelor Δ XAB şi Δ laAB în formulele (3.1 și 3.2), obținem formule pentru rezolvarea problemei geodezice directe:

XLA = XDAR + dcos α (4.5)
laLA = laDAR + dpăcat α (4.6)

Problema geodezică inversă este de a determina lungimea travei orizontalediar direcția α a dreptei AB în funcție de coordonatele date ale punctului său inițial A (xA, yA) și punctului final B (xB, yB). Unghiul de direcție se calculează din catetele unui triunghi dreptunghic:

tgα = (4.7)

Spațiere orizontală d, determinată de formula:

d = (4.8)

Pentru a rezolva probleme geodezice directe și inverse, puteți utiliza foi de calcul Microsoft excela .

Exemplu.
Punct dat DAR cu coordonatele: XDAR = 6068318,25; laDAR = 4313450,37. Spațiere orizontală (d) intre punct DARși punct LA egal cu 5248,36 m. Unghiul dintre direcţia nordică a axei OHși direcția spre obiect LA(unghi de poziție - α ) este egal cu 30º.

Calculați coordonatele dreptunghiulare ale unui punct B(xLA ,laLA ).

Introducerea datelor brute și a formulelor în foi de calcul Microsoft Excel (tab. 4.2).

Tabelul 4.2.

	Datele inițiale
	XDAR
	laDAR
	Tehnica de calcul
	Δ XAB =d cos α	B4*COS(RADIANI(B5))
	Δ laAB = d sin α	B4*SIN(RADIANI(B5))
	XLA
	laLA

Vedere tabel după calcule (tab. 4.3).

Tabelul 4.3.

	Datele inițiale
	XDAR
	laDAR
	Tehnica de calcul
	Δ XAB =d cos α
	Δ laAB = d sin α
	XLA
	laLA

Exemplu.
Se acordă puncte DARși LA cu coordonatele:
XDAR = 6068318,25; laDAR = 4313450,37;
XLA = 6072863,46; laLA = 4313450,37.
Calculați distanța orizontală d intre punct DARși punct LA,și, de asemenea, unghiul α între axa nordică OHși direcția spre obiect LA.
Introducerea datelor brute și a formulelor în foi de calcul Microsoft Excel (tab. 4.4).

Tabelul 4.4.

	Datele inițiale
	XDAR
	laDAR
	XLA
	laLA
	Tehnica de calcul
	ΔхAB
	ΔуAB
		ROOT(B7^2+B8^2)
	Tangentă
	Arctangent
	grade	GRADE(B11)
	Alegere	IF(B12<0;B12+180;B12)
	Unghiul de poziție (grade)	DACA(B8<0;B13+180;B13)

Vedere a tabelului după calcule (tab. 4.5).

Tabelul 4.5.

	Datele inițiale
	XDAR
	laDAR
	XLA
	laLA
	Tehnica de calcul
	ΔхAB
	ΔуAB
	Tangentă
	Arctangent
	grade
	Alegere
	Unghiul de poziție (grade)

Dacă calculele dvs. se potrivesc cu cele din tutorial, ascundeți calculele intermediare, formatați și protejați foaia de calcul.

Video
Coordonate dreptunghiulare

Întrebări și sarcini pentru autocontrol

1. Ce mărimi se numesc coordonate dreptunghiulare?
2. Pe ce suprafață sunt folosite coordonatele dreptunghiulare?
3. Care este esența sistemului zonal de coordonate dreptunghiulare?
4. Care este numărul zonei de șase grade în care se află orașul Lugansk cu coordonatele: 48°35′ N.L. 39°20′ E
5. Calculați longitudinea meridianului axial al zonei de șase grade în care se află orașul Lugansk.
6. Cum se numără coordonatele x și y într-un sistem de coordonate dreptunghiular gaussian?
7. Explicați procedura de determinare a coordonatelor dreptunghiulare pe o hartă topografică folosind o busolă de măsurare.
8. Explicați procedura de determinare a coordonatelor dreptunghiulare pe o hartă topografică folosind un contor de coordonate.
9. Care este esența problemei geodezice directe?
10. Care este esența problemei geodezice inverse?
11. Care este incrementul de coordonate?
12. Definiți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi.
13. Cum poate fi aplicată în topografie teorema lui Pitagora privind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic?

1.10. COORDONATE DREPTUNGULARE PE HARTĂ

Coordonate dreptunghiulare (plat) - mărimi liniare: abscisă X si ordonataY ,determinarea poziţiei punctelor pe un plan (pe o hartă) faţă de două axe reciproc perpendiculare XșiY(Fig. 14). Abscisă X si ordonataYpuncte DAR- distanțe de la originea coordonatelor până la bazele perpendicularelor scăzute dintr-un punct DAR pe axele corespunzătoare, indicând semnul.

Orez. paisprezece.Coordonate dreptunghiulare

În topografie și geodezie, precum și pe hărțile topografice, orientarea se efectuează de-a lungul nordului, numărând unghiurile în sensul acelor de ceasornic, prin urmare, pentru a păstra semnele funcțiilor trigonometrice, poziția axelor de coordonate, adoptată în matematică, este rotită. cu 90 °.

Coordonatele dreptunghiulare pe hărțile topografice ale URSS aplicat zonelor de coordonate. Zone de coordonate - părți ale suprafeței pământului, limitate de meridiane cu o longitudine care este un multiplu de 6 °. Prima zonă este limitată de meridianele 0° și 6°, a doua - b "și 12°, a treia - 12° și 18° etc.

Zonele sunt numărate de la meridianul Greenwich de la vest la est. Teritoriul URSS este situat în 29 de zone: de la a 4-a la a 32-a inclusiv. Lungimea fiecărei zone de la nord la sud este de aproximativ 20.000 km. Lățimea zonei de la ecuator este de aproximativ 670 km, la latitudine 40°-510 km, t latitudine 50°-430 km, la latitudine 60°-340 km.

Toate hărțile topografice dintr-o zonă dată au un sistem comun de coordonate dreptunghiulare. Originea coordonatelor în fiecare zonă este punctul de intersecție a meridianului mijlociu (axial) al zonei cu ecuatorul (Fig. 15), meridianul mijlociu al zonei corespunde cu

Orez. cincisprezece.Sistemul de coordonate dreptunghiulare pe hărți topografice: a-o zonă; b-părți ale zonei

axele de abscisă, iar ecuatorul - axele ordonatelor. Cu o astfel de aranjare a axelor de coordonate, abscisele punctelor situate la sud de ecuator și ordonatele punctelor situate la vest de meridianul mijlociu vor avea valori negative. Pentru comoditatea utilizării coordonatelor pe hărțile topografice, se adoptă o contabilitate condiționată a ordonatelor, excluzând valorile negative ale ordonatelor. Acest lucru se realizează prin faptul că ordonatele nu se numără de la zero, ci de la valoarea 500 km, Adică, originea coordonatelor din fiecare zonă este, parcă, mutată cu 500 km la stânga de-a lungul axeiY .În plus, pentru a determina fără ambiguitate poziția unui punct în coordonate dreptunghiulare pe glob la valoarea coordonateiYnumărul zonei este atribuit la stânga (număr cu o cifră sau două cifre).

Relația dintre coordonatele condiționate și valorile lor reale este exprimată prin formulele:

X" \u003d X-, Y \u003d U- 500 000,

Unde X"și Y"-valorile reale ale ordonatelor;X Y -valorile condiționale ale ordonatelor. De exemplu, dacă punctul are coordonate

X = 5 650 450: Y= 3 620 840,

atunci aceasta înseamnă că punctul este situat în a treia zonă la o distanță de 120 km 840 m de la meridianul mijlociu al zonei (620840-500000) și la nord de ecuator la o distanță de 5650 km 450 m.

Coordonatele complete - coordonatele dreptunghiulare scrise (numite) integral, fără abrevieri. În exemplul de mai sus, sunt date coordonatele complete ale obiectului:

X = 5 650 450; Y= 3620 840.

Coordonate prescurtate sunt folosite pentru a accelera desemnarea țintei pe o hartă topografică, în acest caz sunt indicate doar zeci și unități de kilometri și metri. De exemplu, coordonatele scurtate ale unui obiect dat ar fi:

X = 50 450; Y = 20 840.

Coordonatele abreviate nu pot fi utilizate atunci când vizați la joncțiunea zonelor de coordonate și dacă aria de acțiune acoperă un spațiu cu o lungime mai mare de 100 km după latitudine sau longitudine.

Grilă de coordonate (kilometri). - o grilă de pătrate pe hărți topografice, formată din linii orizontale și verticale trasate paralele cu axele coordonatelor dreptunghiulare la anumite intervale (Tabel 5). Aceste linii se numesc kilometri. Grila de coordonate este destinată să determine coordonatele obiectelor și ale obiectelor desenate pe hartă după coordonatele lor, pentru desemnarea țintei, orientarea hărții, măsurarea unghiurilor direcționale și pentru determinarea aproximativă a distanțelor și a zonelor.

Tabelul 5 Grile de coordonate pe hărți

Scale hărților	Dimensiunile laturilor pătratelor		suprafata de patrate, mp km
	pe hartă, cm	pe pământ, km
1:25 000		1
1:50 000
1:100 000
1:200 000

Pe o hartă cu o scară de 1:500.000, grila de coordonate nu este afișată complet; numai ieșirile liniilor kilometrice sunt aplicate pe părțile laterale ale cadrului (după 2 cm). Dacă este necesar, o grilă de coordonate poate fi desenată pe hartă folosind aceste rezultate.

Liniile de kilometri de pe hărți sunt semnate la ieșirile lor în afara limitelor și la mai multe intersecții din interiorul foii (Fig. 16). Liniile de kilometri care sunt extreme pe foaia de hartă sunt semnate integral, restul sunt prescurtate, cu două cifre (adică sunt indicate doar zeci și unități de kilometri). Semnăturile din apropierea liniilor orizontale corespund distanțelor față de axa y (ecuator) în kilometri. De exemplu, legenda 6082 din colțul din dreapta sus arată că această linie este la 6082 de la ecuator km.

Legendele liniilor verticale indică numărul zonei (una sau două primele cifre) și distanța în kilometri (întotdeauna trei cifre) de la originea coordonatelor, mutate condiționat la vest de meridianul mijlociu cu 500 km. De exemplu, semnătura 4308 din colțul din stânga jos înseamnă: 4 - numărul zonei, 308 - distanța de la originea condiționată în kilometri.

O grilă suplimentară de coordonate (kilometri) poate fi trasată pe hărțile topografice la scara 1:25.000, 1:50.000, 1:100.000 și 1:200.000 la ieșirile liniilor kilometrice din zona adiacentă de vest sau de est. Ieșirile liniilor kilometrice sub formă de liniuțe cu semnăturile corespunzătoare sunt date pe hărți situate pe o distanță de 2 ° la est și vest de meridianele de frontieră ale zonei.

orez. 16.Grilă de coordonate (kilometri) pe o foaie de hartă

O grilă de coordonate suplimentară are scopul de a converti coordonatele unei zone în sistemul de coordonate al altei zone învecinate.

Pe fig. 17 liniuțe pe latura exterioară a cadrului de vest cu semnăturile 81.6082 și pe latura de nord a cadrului cu semnăturile 3693, 94, 95 etc. indicați ieșirile liniilor kilometrice în sistemul de coordonate al zonei adiacente (a treia). Dacă este necesar, pe foaia de hartă este desenată o grilă de coordonate suplimentară prin conectarea liniuțelor cu același nume pe părțile opuse ale cadrului. Grila nou construită este o continuare a grilei de kilometri a foii de hartă a zonei adiacente și trebuie să coincidă complet (ună) cu aceasta atunci când lipiți hărțile.

Grila de coordonate a zonei de vest (a treia).

Orez. 17. Grilă de coordonate suplimentară

Capitolul I. Vectorii în plan și în spațiu

§ 13. Trecerea de la un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare la altul

Vă oferim să luați în considerare acest subiect în două versiuni.

1) Pe baza manualului de I.I.Privalov „Geometria analitică” (manual pentru instituțiile de învățământ tehnic superior, 1966)

I.I. Privalov „Geometrie analitică”

§ 1. Problema transformării coordonatelor.

Poziția unui punct pe plan este determinată de două coordonate relativ la un sistem de coordonate. Coordonatele punctului se vor schimba dacă alegem un alt sistem de coordonate.

Sarcina de a transforma coordonatele este de a pentru a, cunoscând coordonatele unui punct dintr-un sistem de coordonate, să-i găsească coordonatele într-un alt sistem.

Această problemă va fi rezolvată dacă stabilim formule care relaționează coordonatele unui punct arbitrar din două sisteme, iar coeficienții acestor formule vor include valori constante care determină poziția reciprocă a sistemelor.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene hoyși XO 1Y(Fig. 68).

Poziția noului sistem XO 1Y raportat la vechiul sistem hoy se va determina dacă coordonatele sunt cunoscute A și b nou inceput O 1 conform vechiului sistem si unghiului α între axe Ohși Aproximativ 1 X. Notează prin Xși la coordonatele unui punct arbitrar M față de vechiul sistem, prin coordonatele X și Y ale aceluiași punct față de noul sistem. Sarcina noastră este să facem coordonatele vechi Xși la exprimată în termenii noilor X și Y. Formulele de transformare rezultate trebuie să includă în mod evident constantele a, b și α .

Vom obține soluția acestei probleme generale luând în considerare două cazuri speciale.

1. Originea coordonatelor se modifică, în timp ce direcțiile axelor rămân neschimbate ( α = 0).

2. Direcțiile axelor se modifică, în timp ce originea coordonatelor rămâne neschimbată ( a = b = 0).

§ 2. Transferul originii.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu origini diferite Oși O 1şi aceleaşi direcţii ale axelor (Fig. 69).

Notează prin A și b coordonatele unui nou început Aproximativ 1în vechiul sistem și prin X yși X, Y-coordonatele unui punct arbitrar M, respectiv, în sistemele vechi și noi. Punctul de proiectare M pe axă Aproximativ 1 Xși Oh, precum și punctul Aproximativ 1 pe axă Oh, ajungem pe ax Oh trei puncte Oh, ași R. Segmentează valori OA, ARși SAU sunt legate prin următoarea relație:

| OA| + | AR | = | SAU |. (1)

Observând că | | OA| = A , | SAU | = X , | AR | = | O1R1 | = X, rescriem egalitatea (1) sub forma:

A + X = X sau X = X + A . (2)

În mod similar, proiectând M și Aproximativ 1 pe axa y, obținem:

y = Y + b (3)

Asa de, coordonata veche este egală cu cea nouă plus coordonata noii origini conform vechiului sistem.

Din formulele (2) și (3), noile coordonate pot fi exprimate în termenii celor vechi:

X = x - a , (2")

Y = y-b . (3")

§ 3. Rotirea axelor de coordonate.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu aceeași origine Oşi direcţii diferite ale axelor (Fig. 70).

Lăsa α este unghiul dintre axe Ohși OH. Notează prin X y și X Y coordonatele unui punct arbitrar M, respectiv, în sistemul vechi și cel nou:

X = | SAU | , la = | P.M | ,

X= | SAU 1 |, Y= | R 1 M |.

Luați în considerare o linie întreruptă SAU 1 MPși ia proiecția acesteia pe axă Oh. Observând că proiecția liniei întrerupte este egală cu proiecția segmentului de închidere (Capitolul I, § 8), avem:

SAU 1 MP = | SAU |. (4)

Pe de altă parte, proiecția unei linii întrerupte este egală cu suma proiecțiilor legăturilor sale (Capitolul I, § 8); prin urmare, egalitatea (4) se va scrie după cum urmează:

etc SAU 1+ pr R 1 M+ pr MP= | SAU | (4")

Deoarece proiecția unui segment direcționat este egală cu valoarea lui înmulțită cu cosinusul unghiului dintre axa de proiecție și axa pe care se află segmentul (Capitolul I, § 8), atunci

etc SAU 1 = X cos α

etc R 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y păcat α ,

relatii cu publicul MP= 0.

Prin urmare, egalitatea (4") ne dă:

X = X cos α - Y păcat α . (5)

În mod similar, proiectând aceeași linie întreruptă pe axă OU, obținem o expresie pentru la. Într-adevăr, avem:

etc SAU 1+ pr R 1 M+ pr MP= pr SAU = 0.

Observând că

etc SAU 1 = X ca ( α - 90°) = X păcat α ,

etc R 1 M = Y cos α ,

relatii cu publicul MP = - y ,

vom avea:

X păcat α + Y cos α - y = 0,

y = X păcat α + Y cos α . (6)

Din formulele (5) și (6) obținem coordonate noi Xși Y exprimată prin vechi X și la , dacă rezolvăm ecuațiile (5) și (6) în raport cu Xși Y.

Cometariu. Formulele (5) și (6) pot fi obținute diferit.

Din fig. 71 avem:

X = OP = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM sin α păcat φ ,

la = PM = OM sin ( α + φ ) = OM sin α cos φ + OM cos α păcat φ .

Întrucât (Ch. I, § 11) OM cos φ = X, OM sin φ =Y, apoi

X = X cos α - Y păcat α , (5)

y = X păcat α + Y cos α . (6)

§ 4. Caz general.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu origini diferite și direcții diferite ale axelor (Fig. 72).

Notează prin A și b coordonatele unui nou început O, conform vechiului sistem, prin α - unghiul de rotaţie al axelor de coordonate şi, în final, prin X y și X Y- coordonatele unui punct arbitrar M, respectiv, conform vechiului și noului sistem.

A exprima X și la prin Xși Y, introducem un sistem de coordonate auxiliar X 1 O 1 y 1, al cărui început îl plasăm la noul început O 1 și luați direcțiile axelor pentru a coincide cu direcțiile axelor vechi. Lăsa X 1 și y 1 notăm coordonatele punctului M relativ la acest sistem auxiliar. Trecând de la vechiul sistem de coordonate la cel auxiliar avem (§ 2):

X = X 1 + a , y = y 1 +b .

X 1 = X cos α - Y păcat α , y 1 = X păcat α + Y cos α .

Înlocuirea X 1 și y 1 în formulele anterioare prin expresiile lor din ultimele formule, găsim în cele din urmă:

X = X cos α - Y păcat α + A

y = X păcat α + Y cos α + b (eu)

Formulele (I) contin, ca caz special, formulele §§ 2 si 3. Astfel, pentru α = 0 formule (I) se transformă în

X = X + A , y = Y + b ,

iar la a = b = 0 avem:

X = X cos α - Y păcat α , y = X păcat α + Y cos α .

Din formulele (I) obținem coordonate noi Xși Y exprimată prin vechi X și la dacă ecuaţiile (I) sunt rezolvabile în raport cu Xși Y.

Observăm o proprietate foarte importantă a formulelor (I): sunt liniare în raport cu Xși Y, adică de forma:

X = AX+BY+C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .

Este ușor să verificați dacă noile coordonate Xși Y exprimată prin vechiul X și la de asemenea formule de gradul I cu privire la X și y.

G.N. Yakovlev „Geometrie”

§ 13. Trecerea de la un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare la altul

Prin alegerea unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, se stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele planului și perechile ordonate de numere reale. Aceasta înseamnă că fiecare punct al planului corespunde unei singure perechi de numere, iar fiecare pereche ordonată de numere reale corespunde unui singur punct.

Alegerea unuia sau altui sistem de coordonate nu este limitată de nimic și este determinată în fiecare caz particular doar de considerente de comoditate. Adesea, aceeași mulțime trebuie luată în considerare în sisteme de coordonate diferite. Unul și același punct în sisteme diferite are, evident, coordonate diferite. Un set de puncte (în special, un cerc, o parabolă, o linie dreaptă) în diferite sisteme de coordonate este dat de ecuații diferite.

Să aflăm cum se transformă coordonatele punctelor planului în trecerea de la un sistem de coordonate la altul.

Să fie date două sisteme de coordonate dreptunghiulare pe plan: O, eu, j și despre", i",j" (Fig. 41).

Primul sistem cu originea în punctul O și vectori de bază i și j suntem de acord să-l numim pe cel vechi, pe al doilea - cu începutul în punctul O" și vectorii de bază eu" și j" - nou.

Vom considera ca fiind cunoscuta pozitia noului sistem fata de cel vechi: sa fie punctul O" din vechiul sistem sa aiba coordonate ( a;b ), un vector eu" forme cu vector i colţ α . Colţ α numărând în sensul opus mișcării în sensul acelor de ceasornic.

Se consideră un punct arbitrar M. Se notează coordonatele sale în vechiul sistem prin ( X y ), în cel nou - prin ( X y" ). Sarcina noastră este să stabilim relația dintre coordonatele vechi și noi ale punctului M.

Conectați în perechi punctele O și O", O" și M, O și M. Conform regulii triunghiului, obținem

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Să descompunăm vectorii OM> și OO"> prin vectori de bază i și j , și vectorul O"M> prin vectori de bază eu" și j" :

OM > = X i+y j , OO" > = A i+b j , O"M > = X" i"+y" j "

Acum egalitatea (1) poate fi scrisă după cum urmează:

X i+y j = (A i+b j ) + (X" i"+y" j "). (2)

Noi vectori de bază eu" și j" extins peste vechii vectori de bază i și j in felul urmator:

eu" = cos α i + păcat α j ,

j" = cos( π / 2 + α ) i + păcat ( π / 2 + α ) j = - păcat α i + cos α j .

Înlocuind expresiile găsite pentru eu" și j" în formula (2), obținem egalitatea vectorială

X i+y j = A i+b j + X"(cos α i + păcat α j ) + la"(-păcat α i + cos α j )

echivalent cu doi egalități numerice:

x = a + X" cos α - la" păcat α , la = b+ X" păcat α + la" cos α

Formulele (3) dau expresiile dorite pentru coordonatele vechi Xși la puncte prin noile sale coordonate X"și la". Pentru a găsi expresii pentru noile coordonate în funcție de cele vechi, este suficient să rezolvăm sistemul de ecuații (3) în raport cu necunoscutele. X"și la".

Deci, coordonatele punctelor la mutarea originii la punctul ( A; b ) și rotiți axele cu un unghi α sunt transformate prin formulele (3).

Dacă se schimbă doar originea coordonatelor, iar direcțiile axelor rămân aceleași, atunci, presupunând în formulele (3) α = 0, obținem

Formulele (5) se numesc formule de rotație.

Sarcina 1. Fie coordonatele noului început în vechiul sistem (2; 3), iar coordonatele punctului A în vechiul sistem (4; -1). Găsiți coordonatele punctului A în sistem nou dacă direcţiile axelor rămân aceleaşi.

Prin formulele (4) avem

Răspuns. A(2;-4)

Sarcina 2. Fie coordonatele punctului P în vechiul sistem (-2; 1), iar în noul sistem, ale căror direcții ale axelor sunt aceleași, coordonatele acestui punct (5; 3). Găsiți coordonatele noului început în vechiul sistem.

Și Conform formulelor (4), obținem

- 2= a + 5 1 = b + 3

Unde A = - 7, b = - 2.

Răspuns. (-7; -2).

Sarcina 3. Coordonatele punctului A în noul sistem (4; 2). Găsiți coordonatele acestui punct în vechiul sistem, dacă originea rămâne aceeași, iar axele de coordonate ale vechiului sistem sunt rotite cu un unghi α = 45°.

Prin formulele (5) găsim

Sarcina 4. Coordonatele punctului A din vechiul sistem (2 √3 ; - √3 ). Găsiți coordonatele acestui punct în noul sistem, dacă originea vechiului sistem este mutată în punctul (-1;-2), iar axele sunt rotite cu un unghi α = 30°.

Prin formulele (3) avem

Rezolvarea acestui sistem de ecuații pentru X"și la", găsim: X" = 4, la" = -2.

Răspuns. A(4;-2).

Sarcina 5. Având în vedere ecuația unei drepte la = 2X - 6. Aflați ecuația aceleiași drepte în noul sistem de coordonate, care se obține din vechiul sistem prin rotirea axelor cu un unghi α = 45°.

Formulele de rotație în acest caz au forma

Înlocuirea dreptei în ecuație la = 2X - 6 variabile vechi X și la nou, obținem ecuația

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (X y") - 6 ,

care după simplificări ia forma y" = X" / 3 - 2√2

Pentru a rezolva majoritatea problemelor din științele aplicate, este necesar să se cunoască locația unui obiect sau punct, care este determinat folosind unul dintre sistemele de coordonate acceptate. În plus, există sisteme de elevație care determină și locația la altitudine a unui punct pe

Ce sunt coordonatele

Coordonatele sunt valori numerice sau literale care pot fi folosite pentru a determina locația unui punct pe teren. În consecință, un sistem de coordonate este un set de valori de același tip care au același principiu pentru găsirea unui punct sau obiect.

Găsirea locației unui punct este necesară pentru a rezolva multe probleme practice. Într-o știință precum geodezia, localizarea unui punct într-un spațiu dat este obiectivul principal pe care se bazează toate lucrările ulterioare.

Majoritatea sistemelor de coordonate, de regulă, definesc locația unui punct pe un plan limitat de doar două axe. Pentru a determina poziția unui punct în spațiul tridimensional se folosește și un sistem de înălțimi. Cu ajutorul acestuia, puteți afla locația exactă a obiectului dorit.

Pe scurt despre sistemele de coordonate utilizate în geodezie

Sistemele de coordonate determină locația unui punct pe un teritoriu dându-i trei valori. Principiile calculului lor sunt diferite pentru fiecare sistem de coordonate.

Principalele sisteme de coordonate spațiale utilizate în geodezie:

1. Geodezic.
2. Geografic.
3. Polar.
4. Dreptunghiular.
5. Coordonatele zonale Gauss-Kruger.

Toate sistemele au propriul punct de plecare, valori pentru locația obiectului și domeniul de aplicare.

Coordonatele geodezice

Figura principală folosită pentru a citi coordonatele geodezice este elipsoidul pământului.

Un elipsoid este o figură comprimată tridimensională care cel mai bun mod reprezintă figura globului. Datorită faptului că globul este o figură incorectă din punct de vedere matematic, elipsoidul este folosit în schimb pentru a determina coordonatele geodezice. Acest lucru facilitează implementarea multor calcule pentru a determina poziția corpului pe suprafață.

Coordonatele geodezice sunt definite de trei valori: latitudine geodezică, longitudine și altitudine.

1. Latitudinea geodezică este un unghi al cărui început se află pe planul ecuatorului, iar sfârșitul se află pe perpendiculara trasă la punctul dorit.
2. Longitudinea geodezică este unghiul care se măsoară de la meridianul zero la meridianul pe care se află punctul dorit.
3. Înălțimea geodezică - valoarea normalului trasat pe suprafața elipsoidului de rotație a Pământului dintr-un punct dat.

Coordonatele geografice

Pentru a rezolva problemele de înaltă precizie ale geodeziei superioare, este necesar să se facă distincția între coordonatele geodezice și cele geografice. În sistemul utilizat în geodezia de inginerie, astfel de diferențe, din cauza spațiului mic acoperit de lucrare, de regulă, nu.

Un elipsoid este folosit ca plan de referință pentru a determina coordonatele geodezice, iar un geoid este folosit pentru a determina coordonatele geografice. Geoidul este o figură incorectă din punct de vedere matematic, mai aproape de figura reală a Pământului. Pentru suprafața sa nivelată, ei iau ceea ce este continuat sub nivelul mării în starea sa calmă.

Sistemul de coordonate geografice folosit în geodezie descrie poziția unui punct în spațiu cu trei valori. longitudinea coincide cu geodezică, deoarece punctul de referință va fi numit și Greenwich. Trece prin observatorul cu același nume din orașul Londra. determinată din ecuatorul desenat pe suprafaţa geoidului.

Înălțimea în sistemul de coordonate local utilizat în geodezie este măsurată de la nivelul mării în starea sa calmă. Pe teritoriul Rusiei și al țărilor din fosta Uniune, marca de la care se determină înălțimile este piciorul Kronstadt. Este situat la nivelul Marii Baltice.

Coordonate polare

Sistemul de coordonate polare utilizat în geodezie are alte nuanțe ale produsului măsurătorilor. Este folosit în zone mici de teren pentru a determina locația relativă a unui punct. Punctul de referință poate fi orice obiect marcat ca sursă. Astfel, folosind coordonatele polare, este imposibil să se determine locația fără ambiguitate a unui punct de pe teritoriul globului.

Coordonatele polare sunt definite de două mărimi: unghi și distanță. Unghiul este măsurat din direcția nordică a meridianului până la un punct dat, determinând poziția acestuia în spațiu. Dar un unghi nu va fi suficient, așa că este introdus un vector rază - distanța de la punctul în picioare până la obiectul dorit. Cu aceste două opțiuni, puteți determina locația punctului în sistemul local.

De obicei, acest sistem de coordonate este folosit pentru a efectua lucrare de inginerieținute într-o zonă restrânsă.

Coordonate dreptunghiulare

Sistemul de coordonate dreptunghiulare folosit în geodezie este folosit și în zone mici ale terenului. Elementul principal al sistemului este axa de coordonate din care se face referința. Coordonatele unui punct se găsesc ca lungimea perpendicularelor trase din abscisă și axele ordonatelor către punctul dorit.

Direcția nordică a axei x și estul axei y sunt considerate pozitive, iar sudul și vestul sunt negative. În funcție de semne și sferturi, se determină locația unui punct în spațiu.

Coordonatele Gauss-Kruger

Sistemul zonal de coordonate Gauss-Kruger este similar cu cel dreptunghiular. Diferența este că poate fi aplicată pe întregul teritoriu al globului, și nu doar pe zone mici.

Coordonatele dreptunghiulare ale zonelor Gauss-Kruger, de fapt, sunt proiecția globului pe un plan. A apărut în scopuri practice pentru a reprezenta pe hârtie zone mari ale Pământului. Distorsiunile de transfer sunt considerate nesemnificative.

Conform acestui sistem, globul este împărțit după longitudine în zone de șase grade cu meridianul axial în mijloc. Ecuatorul este în centru de-a lungul unei linii orizontale. Ca rezultat, există 60 de astfel de zone.

Fiecare dintre cele șaizeci de zone are propriul sistem de coordonate dreptunghiulare, măsurate de-a lungul axei ordonatelor de la X și de-a lungul axei absciselor - din zona ecuatorului Pământului Y. Pentru a determina fără ambiguitate locația pe teritoriul întregului glob , numărul zonei este pus în fața valorilor X și Y.

Valorile axei x în Rusia sunt de obicei pozitive, în timp ce valorile lui y pot fi negative. Pentru a evita semnul minus în valorile axei absciselor, meridianul axial al fiecărei zone este mutat condiționat la 500 de metri spre vest. Apoi toate coordonatele devin pozitive.

Sistemul de coordonate a fost propus de Gauss ca posibil și calculat matematic de Krüger la mijlocul secolului al XX-lea. De atunci, a fost folosit în geodezie ca unul dintre principalele.

Sistem de inaltime

Sistemele de coordonate și înălțimi utilizate în geodezie sunt folosite pentru a determina cu precizie poziția unui punct pe Pământ. Înălțimi absolute sunt măsurate de la nivelul mării sau de la o altă suprafață luată ca original. În plus, există înălțimi relative. Acestea din urmă sunt considerate ca un exces de la punctul dorit la oricare altul. Este convenabil să le folosiți pentru lucrul în sistemul local de coordonate pentru a simplifica procesarea ulterioară a rezultatelor.

Aplicarea sistemelor de coordonate în geodezie

Pe lângă cele de mai sus, există și alte sisteme de coordonate utilizate în geodezie. Fiecare dintre ele are propriile sale avantaje și dezavantaje. Există, de asemenea, propriile domenii de lucru pentru care este relevantă una sau alta metodă de determinare a locației.

Scopul lucrării este cel care determină care sisteme de coordonate utilizate în geodezie sunt cel mai bine utilizate. Pentru lucrul în zone mici, este convenabil să se utilizeze sisteme de coordonate dreptunghiulare și polare, iar pentru rezolvarea problemelor la scară largă sunt necesare sisteme care să permită acoperirea întregului teritoriu al suprafeței pământului.