Prezentare pe tema: Un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan

1 din 24

Prezentare pe tema: Semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan

diapozitivul numărul 1

Descrierea diapozitivului:

diapozitivul numărul 2

Descrierea diapozitivului:

Obiectivele lecției: Materialele acestei lecții prezintă semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan și proprietățile dreptelor perpendiculare și a unui plan. Lumea din jurul nostru oferă multe exemple de perpendicularitate a unei linii drepte și a unui plan. Un stâlp vertical instalat corespunzător este perpendicular pe planul solului. Liniile de intersecție ale pereților camerei sunt perpendiculare pe planul podelei. În timpul construcției clădirilor, la instalarea stâlpilor, pentru stabilitatea acestora este foarte important să se asigure perpendicularitatea pe suprafața pământului. Pentru a face acest lucru, există metode speciale de verificare a perpendicularității, bazate pe semnul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan și a proprietăților dreptelor perpendiculare și a unui plan, pe care le vom studia. După ce ați studiat materialele din lecția anterioară, v-ați familiarizat cu definiția și proprietățile dreptelor perpendiculare, cu definiția unei linii perpendiculare pe un plan. Repetați aceste materiale din nou. Acest lucru vă va ajuta să răspundeți corect la întrebările testului, care vă testează cunoștințele pe tema „Linii perpendiculare”.

diapozitivul numărul 3

Descrierea diapozitivului:

Drepte perpendiculare Două drepte din spațiu se numesc perpendiculare (perpendiculare reciproce) dacă unghiul dintre ele este de 900. Semnul ┴ este folosit pentru a desemna perpendicularitatea. În figură, linia m este perpendiculară pe dreapta n sau m┴n. Lema pe drepte perpendiculare Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe o a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă. Simbolic, această lemă poate fi scrisă ca

diapozitivul numărul 4

Descrierea diapozitivului:

O dreptă perpendiculară pe un plan Se spune că o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan. Semnul ┴ este folosit pentru a indica perpendicularitatea. Figura prezintă o dreaptă a, perpendiculară pe planul a sau a┴α.

diapozitivul numărul 5

Descrierea diapozitivului:

Teoremă pe două drepte paralele și un plan Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este și ea perpendiculară pe acest plan. Simbol, această teoremă poate fi scrisă după cum urmează Teoremă pe două drepte perpendiculare pe un plan Dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci sunt paralele între ele. Simbolic, această teoremă poate fi scrisă ca

diapozitivul numărul 6

Descrierea diapozitivului:

Un semn de perpendicularitate a unei linii drepte și a unui avion Probabil că toată lumea a trebuit să sape în stâlpii poartei de fotbal. Uneori nici nu ajungea la bara transversală. Cât de important era să așezi ștacheta în așa fel încât să fie perpendicular pe suprafața pământului. Dacă utilizați definiția perpendicularității unei linii drepte pe un plan, atunci ar trebui să verificați perpendicularitatea barei pe fiecare linie dreaptă de pe terenul de fotbal. Este posibil să ne limităm la un număr mai mic de verificări? Se dovedește că poți. Dar o verificare clar nu este suficientă. Dacă o dreaptă dată este perpendiculară doar pe o singură dreaptă dintr-un plan, atunci nu este perpendiculară pe planul însuși (Fig. 3). S-ar putea să se afle în acest plan. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe planul însuși (Fig. 4). Această afirmație se numește semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan și este formulată ca o teoremă. Astfel, pentru a seta stâlpul de poartă perpendicular pe planul câmpului, este suficient să-i verifici perpendicularitatea privindu-l din două laturi diferite, dar nu opuse.

diapozitivul numărul 7

Descrierea diapozitivului:

Teoremă Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acest plan. Fie b┴q; b┴p; p a; qa; p ∩ q=O. Să demonstrăm că b┴a. Pentru a face acest lucru, trebuie să demonstrăm că dreapta b este perpendiculară pe orice dreaptă (arbitrară) m din planul a. Să luăm în considerare mai întâi cazul când dreapta b trece prin punctul de intersecție O. Să trasăm dreapta l prin punctul O și paralelă cu dreapta m. Marcam punctele A si B pe dreapta b, echidistante de punctul O, si trasam o dreapta in planul a care intersecteaza dreptele p, l si q, respectiv, in punctele P, L si Q. Deoarece dreptele p și q sunt bisectoare perpendiculare, atunci АР = BP și AQ=BQ. Prin urmare, ∆APQ=∆BPQ (pe trei laturi). Atunci APL= BPL și ∆ APL= ∆ BPL (pe două laturi și un colț). Apoi AL=BL. Prin urmare, ∆ALB este isoscel, segmentul LO este mediana și înălțimea în acest triunghi, AOL=900 și b┴l. Pentru că l || m, apoi b┴m (după lema pe drepte perpendiculare), adică b┴a.

diapozitivul numărul 8

Descrierea diapozitivului:

Să considerăm acum cazul când dreapta a nu trece prin punctul O, ci a┴q; a┴p. Să tragem o dreaptă prin punctul O paralelă cu dreapta a. Această dreaptă este perpendiculară pe liniile p și q (după lema liniilor perpendiculare) și, prin urmare, coincide cu dreapta b. Deoarece b┴a și b||a, atunci a┴a (prin teorema pe două drepte paralele și un plan). Teorema a fost demonstrată. Simbolic, această teoremă se poate scrie astfel.Demonstrăm două teoreme care justifică existența unui plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe o dreaptă dată și existența unei drepte care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe un plan dat. Când demonstrăm aceste teoreme, vom folosi semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan.

diapozitivul numărul 9

Descrierea diapozitivului:

Un plan perpendicular pe o dreaptă Teoremă Prin orice punct din spațiu trece un plan perpendicular pe o dreaptă dată și, în plus, doar unul. Notăm dreapta dată cu litera a, iar un punct arbitrar din spațiu cu litera M. 1. Să demonstrăm existența unui plan perpendicular pe dreapta a și care trece prin punctul M. Să desenăm două plane prin linia a și astfel încât planul să treacă prin punctul M .. În plan, trasăm prin punctul M, dreapta p, perpendiculară pe dreapta a și care o intersectează în punctul A. În plan, trasăm o dreaptă q, perpendiculară. la dreapta a și care trece prin punctul A. Să considerăm un plan care trece prin dreptele p și q. Acest plan este perpendicular pe dreapta a (pe baza perpendicularității dreptei și a planului) și trece printr-un punct arbitrar M. Prin urmare, acesta este planul dorit. Existența a fost dovedită.

diapozitivul numărul 10

Descrierea diapozitivului:

2. Să demonstrăm unicitatea unui astfel de plan. Să demonstrăm prin contradicție. Să fie două plane u care trec prin punctul M și perpendiculare pe dreapta a. Dar apoi || . Dar planurile și nu pot fi paralele între ele, deoarece au un punct comun M. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă și există un singur plan care trece printr-un punct arbitrar din spațiu perpendicular pe dreapta dată. Unicitatea este dovedită.

diapozitivul numărul 11

Descrierea diapozitivului:

Teoremă pe o dreaptă perpendiculară pe un plan Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și, în plus, doar una. Denota avion dat litera a, și un punct arbitrar din spațiu - litera M. 1. Să demonstrăm existența unei drepte perpendiculare pe plan și care trece prin punctul M. Desenați o dreaptă b în plan. Prin punctul M trasăm un plan perpendicular pe dreapta b (putem face acest lucru pe baza teoremei anterioare pe planul perpendicular pe dreapta). Fie c linia comună a planelor și. Să trasăm o dreaptă a în planul prin punctul M, perpendicular pe dreapta c. Apoi linia a este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în plan. Prin urmare, dreapta a este perpendiculară pe planul a (după criteriul perpendicularității dreptei și planului). Prin urmare, a este linia necesară. Existența a fost dovedită.

diapozitivul numărul 12

Descrierea diapozitivului:

2. Să demonstrăm unicitatea unei astfel de linii. Să demonstrăm prin contradicție. Să fie două drepte a și a1 care trec prin punctul M și planuri perpendiculare A. Dar apoi a||a1 (vezi teorema pe două drepte perpendiculare pe plan). Dar dreptele a și a1 nu pot fi paralele între ele, deoarece au un punct comun M. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă și există o singură dreaptă care trece printr-un punct arbitrar din spațiu perpendicular pe planul dat. Unicitatea este dovedită.

diapozitivul numărul 13

Descrierea diapozitivului:

Exemple de probleme pentru dovezi. Exemple de sarcini pentru calcul Date: plan (ABC), MV┴AB, MV┴BC, D(ABC). Demonstrați: ∆MBD este dreptunghiular. Dovada. MV┴AB, MV┴BC. Prin urmare, МВ┴(АВС) (pe baza perpendicularității dreptei și a planului). Apoi МВ┴BD (prin definiție, o dreaptă perpendiculară pe plan). Prin urmare, DBM=900 și ∆MBD este dreptunghiular, ceea ce trebuia demonstrat.

diapozitivul numărul 14

Descrierea diapozitivului:

Dat: ABCD - pătrat, MA ┴, ABCD. Dovezi: BD┴MO. Dovada. MA┴, prin urmare, MA┴BD (prin definiție, o dreaptă perpendiculară pe plan). ВD┴АО (după proprietatea unui pătrat). Atunci ВD┴(АОМ) (după criteriul perpendicularității unei drepte și a unui plan, BD este perpendiculară pe două drepte care se intersectează AO și MA aflate în acest plan). Prin urmare, BD┴MO (prin definiție, o dreaptă perpendiculară pe plan), care urma să fie demonstrată.

Descrierea diapozitivului:

Verifică-te. Linii perpendiculare Înainte de a fi scrise propoziții, împărțite în două părți. Gândiți-vă ce opțiune trebuie să alegeți pentru a reuși propoziție corectă. Introduceți numărul opțiunii selectate. Dacă două drepte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci toate cele trei drepte se află întotdeauna în același plan. apoi se încrucișează între ei. atunci sunt paralele între ele. atunci sunt perpendiculare unul pe celălalt.

diapozitivul numărul 19

Descrierea diapozitivului:

Verifică-te. Linii perpendiculare Înainte de a fi scrise propoziții, împărțite în două părți. Gândiți-vă care dintre opțiuni trebuie să alegeți pentru a obține propoziția potrivită. Introduceți numărul opțiunii selectate. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe unul dintre cele două plane paralele, atunci ea aparține celuilalt plan. atunci celălalt plan nu este perpendicular pe dreapta dată. atunci este perpendicular pe celălalt plan. atunci este întotdeauna paralel cu alt plan.

Descrierea diapozitivului:

diapozitivul numărul 24

Descrierea diapozitivului:

Teme pentru acasă: L.S. Atanasyan și alții.Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 liceu. 1. Exercițiul 129 b) Linia AM este perpendiculară pe planul pătratului ABCD ale cărui diagonale se intersectează în punctul O. Demonstrați că MO > MD. 2. Exercițiul 131 În tetraedrul ABCD punctul M este mijlocul muchiei BC, AB=AC, DB=DC. Demonstrați că planul triunghiului ADM este perpendicular pe dreapta BC. 3. Exercițiul 134 Demonstrați că toate dreptele care trec prin punctul dat M al dreptei a și perpendiculare pe această dreaptă se află în planul care trece prin punctul M și perpendiculare pe dreapta a. 4. Exercițiul 137 Demonstrați că prin fiecare dintre cele două drepte oblice reciproc perpendiculare trece un plan perpendicular pe cealaltă dreaptă.

În această lecție, vom repeta teoria și vom demonstra teorema-atribut de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.
La începutul lecției, ne amintim definiția unei drepte perpendiculare pe un plan. În continuare, considerăm și demonstrăm teorema-atribut de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan. Pentru a demonstra această teoremă, amintim proprietatea bisectoarei perpendiculare.
În continuare, rezolvăm mai multe probleme privind perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

Subiect: Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan

Lecția: Semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan

În această lecție, vom repeta teoria și vom demonstra teorema-semn al perpendicularității unei drepte și a unui plan.

Definiție. Drept A se numește perpendicular pe un plan α dacă este perpendicular pe orice dreptă situată în acest plan.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.

Dovada.

Să ni se dea un plan α. Două linii care se intersectează se află în acest plan. pși q. Drept A perpendicular pe o linie dreaptă p si direct q. Trebuie să dovedim că linia A este perpendiculară pe planul α, adică că linia a este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul α.

Aducere aminte.

Pentru a demonstra acest lucru, trebuie să ne amintim proprietățile bisectoarei perpendiculare pe un segment. Midperpendicular R la segment AB este locul punctelor echidistante de capetele segmentului. Asta este, dacă ideea DIN se află pe bisectoarea perpendiculară p, atunci AC = BC.

Lasă punctul O- punctul de intersecție al unei drepte Ași planul α (Fig. 2). Fără a pierde generalitatea, vom presupune că liniile pși q se intersectează într-un punct O. Trebuie să demonstrăm perpendicularitatea dreptei A la o linie arbitrară m din planul α.

Să trecem prin punct O direct l, paralel cu linia m. Pe o linie dreaptă A pune deoparte segmentele OAși OV, și OA = OV, adică ideea O- mijlocul segmentului AB. Să tragem o linie dreaptă PL, .

Drept R perpendicular pe o linie dreaptă A(din condiție), (prin construcție). Mijloace, R AB. Punct R se află pe o linie dreaptă R. Mijloace, RA = RV.

Drept q perpendicular pe o linie dreaptă A(din condiție), (prin construcție). Mijloace, q- mijloc perpendicular pe segment AB. Punct Q se află pe o linie dreaptă q. Mijloace, QA =QB.

triunghiuri ARQși BPQ egal pe trei laturi (RA = RV, QA =QB, PQ- partea comună). Deci colțurile ARQși BPQ sunt egale.

triunghiuri DARPLși BPL egal în unghi și două laturi adiacente (∠ ARL= ∠BPL, RA = RV, PL- partea comună). Din egalitatea triunghiurilor obținem asta AL=BL.

Luați în considerare un triunghi ABL. Este echilateral deoarece AL=B.L.Într-un triunghi isoscel, mediana LO este și înălțimea, adică linia LO perpendicular AB.

Am înțeles asta A perpendicular pe o linie dreaptă euși deci drept m, Q.E.D.

puncte A, M, O se află pe o dreaptă perpendiculară pe planul α, iar punctele O, V, Sși D se află în planul α (Fig. 3). Care dintre următoarele unghiuri sunt drepte: ?

Soluţie

Să luăm în considerare un unghi. Drept SA este perpendiculară pe planul α și, prin urmare, dreapta SA este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul α, inclusiv pe dreapta ÎN. Mijloace, .

Să luăm în considerare un unghi. Drept SA perpendicular pe o linie dreaptă OS, mijloace, .

Să luăm în considerare un unghi. Drept SA perpendicular pe o linie dreaptă OD, mijloace, . Luați în considerare un triunghi DAO. Un triunghi poate avea un singur unghi drept. Deci unghiul BARAJ- nu este directă.

Să luăm în considerare un unghi. Drept SA perpendicular pe o linie dreaptă OD, mijloace, .

Să luăm în considerare un unghi. Acesta este un unghi într-un triunghi dreptunghic BMO, nu poate fi drept, deoarece unghiul MoU- Drept.

Răspuns: .

Într-un triunghi ABC dat: , AU= 6 cm, Soare= 8 cm, CM- mediană (Fig. 4). Prin vârf DIN direct SC perpendicular pe planul triunghiului ABC, și SC= 12 cm Localizați KM.

Soluţie:

Să găsim lungimea AB conform teoremei lui Pitagora: (cm).

După proprietate triunghi dreptunghic punctul de mijloc al ipotenuzei M echidistant de vârfurile triunghiului. Acesta este SM = AM = VM, (cm).

Luați în considerare un triunghi KSM. Drept KS perpendicular pe plan ABC, care înseamnă KS perpendicular CM. Deci triunghiul KSM- dreptunghiular. Aflați ipotenuza KM din teorema lui Pitagora: (vezi).

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi institutii de invatamant(bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și completată - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 1, 2, 5, 6 pagina 57

2. Definiți perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

3. Specificați o pereche în cub - o muchie și o față care sunt perpendiculare.

4. Punct La se află în afara planului unui triunghi isoscel ABCși echidistante de puncte LAși DIN. M- mijlocul bazei Soare. Demonstrează că linia Soare perpendicular pe plan AKM.

EXPLICAȚIA TEXTULUI A LECȚIEI:

Un inginer petrece mult timp dezvoltării unui design de dispozitiv. Schimbarea și modificarea designului dispozitivului. De ce, de exemplu, un ventilator de uz casnic are o asemenea formă? Designul trebuie să fie astfel încât ventilatorul să nu cadă și să stea ferm perpendicular pe podea în timpul funcționării. Designul acestui aparat de uz casnic poate fi transferat pe desen.

Vom înlocui podeaua cu un plan α, vom desena tija ventilatorului ca o linie dreaptă a și vom desena picioarele de montare ca linii drepte b și c.

Să presupunem că dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.

Să demonstrăm ipoteza.

Luați în considerare dreapta noastră a, care va fi perpendiculară pe liniile care se intersectează b și c, situate în planul α. Să notăm punctul de intersecție al dreptelor drept punct M.

Să demonstrăm că dreapta a este perpendiculară pe planul α.

Deoarece știm că o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan, atunci trebuie să demonstrăm că linia a este perpendiculară pe o dreaptă arbitrară x.

Pentru a demonstra acest lucru, construim suplimentar o dreaptă y paralelă cu dreapta x și care trece prin punctul M.

În plus, pe linia a, marchem punctele M1 și M2 astfel încât punctul M să fie punctul de mijloc al segmentului M1M2.

De asemenea, desenăm o dreaptă în planul care intersectează dreptele b, c, y în punctele B, C, Y respectiv.

Conectăm punctele obținute cu capetele segmentului M1M2. Deoarece dreptele b și c sunt perpendiculare pe dreapta a și trec prin mijlocul segmentului M1M2, ele pot fi numite bisectoare perpendiculare pe segmentul M1M2. Atunci punctele B și C sunt echidistante de capetele segmentului, adică segmentul M1B este egal cu segmentul VM2, iar segmentul M1C este egal cu segmentul CM2.

Triunghiul VM1M este egal cu triunghiul VM2M pe trei laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul M1BY este egal cu unghiul.

Atunci triunghiurile M1BY sunt egale cu triunghiul M2BY pe două laturi și unghiul dintre ele. Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă egalitatea segmentelor M1Y și M2Y.

Aceasta înseamnă că triunghiul M1YM2 este isoscel cu baza M1M2 și segmentul YM este mediana sa, iar prin proprietatea medianei unui triunghi isoscel trasat la baza triunghiului, segmentul YM este înălțimea, ceea ce înseamnă că dreptele y şi a care conţin aceste segmente pot fi considerate perpendiculare.

Linia y este perpendiculară pe dreapta a și paralelă pe dreapta x. Din lema pe perpendicularitatea a două drepte paralele pe o a treia dreaptă, rezultă că și dreapta x este perpendiculară pe dreapta a.

Deci, dreapta a este perpendiculară pe orice dreaptă x, ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe planul α.

Dar în această teoremă, este posibil încă un caz de locație a dreptei a, ceea ce configurația noastră a desenului nu o demonstrează. Când dreapta a nu trece prin punctul de intersecție al dreptelor b și c.

Să demonstrăm această opțiune.

În acest caz, trageți o dreaptă a1 paralelă cu a și care trece prin punctul M.

Este important să ne amintim teorema studiată în lecția anterioară:

dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acel plan.

Deoarece dreapta a este perpendiculară pe liniile b și c și paralelă cu dreapta a1, atunci după lemă și dreapta a1 va fi perpendiculară pe liniile b și c.

În acest aranjament de drepte, am demonstrat deja că linia este perpendiculară pe plan.

Dar atunci dacă dreapta a1 este perpendiculară pe plan și paralelă cu dreapta a, atunci după teorema 1 dreapta a este perpendiculară pe planul α.

Această teoremă face posibilă demonstrarea perpendicularității unei drepte pe un plan, indicând perpendicularitatea doar a două drepte care se intersectează situate în acest plan, și nu a oricărei drepte. În geometrie, această afirmație se numește semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Luați în considerare aplicarea semnului de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Dat un triunghi ABC cu suma unghiurilor A și B egală cu 90 de grade. Linia BD este trasată perpendicular pe planul triunghiului ABC.

Linia CD se află în planul triunghiului BC.

Triunghiul ABC este dreptunghic, deoarece unghiul DAB este egal cu diferența de 180 de grade și cu suma unghiurilor A și B. Prin urmare, linia AC este perpendiculară pe dreapta BC.

Prin condiție, dreapta BD este perpendiculară pe planul ABC, deci este perpendiculară pe dreapta AC.

Atunci linia AC este perpendiculară pe două drepte care se intersectează BC și BD situate în planul triunghiului BCD, ceea ce înseamnă că AC este perpendiculară pe planul BCD și perpendiculară pe dreapta CD situată în acest plan.

Luați în considerare un alt exemplu de rezolvare a problemei.

Sunt date două pătrate ABCD și ABEF.Sunt aranjate astfel încât latura AD AF.

Deoarece ABEF este un pătrat, linia AB este perpendiculară pe latura AF.

Apoi, pe baza perpendicularității dreptei și planului AF la planul pătratului ABCD și a dreptei BC aflate în acest plan.

După definiția pătratului ABCD, latura BC este perpendiculară pe dreapta AB, dar linia AB este paralelă cu dreapta FE cu planul ABEF, prin urmare, după lema pe drepte paralele perpendiculare pe a treia dreaptă, dreapta FE este perpendiculară pe dreapta BC.

Astfel, dreapta BC este perpendiculară pe liniile care se intersectează AF și FE aflate în planul AEF, ceea ce, prin urmare, prin semnul perpendicularității dreptei pe plan, înseamnă că dreapta BC este perpendiculară pe planul AEF.

În viitor, cu ajutorul acestei caracteristici, vor fi demonstrate câteva teoreme principale privind perpendicularitatea dreptelor și planelor în spațiu.

Este clar că este imposibil să se verifice perpendicularitatea unei drepte și a unui plan folosind direct definiția

a acestui concept: la urma urmei, se ocupă de perpendicularitatea unui set infinit de perechi de drepte. Dar se dovedește că pentru aceasta este suficient să se stabilească perpendicularitatea doar a două perechi de linii. Aceasta este ceea ce spune următoarea teoremă.

Teorema 2. O dreaptă perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan dat este perpendiculară pe acest plan.

Explicație: Iată un exemplu: deschideți cartea și puneți-o pe masă (Figura 2.14).

Cotorul cărții este perpendicular pe marginile copertei aflate pe masă și, prin urmare, pe masa în sine. Alt exemplu. Atunci când așezați catargul pe verticală, este suficient să îl faceți astfel încât să fie perpendicular pe două linii drepte trasate prin baza sa pe punte sau pe sol. Și acest lucru se poate face trăgând două perechi de tip de lungime egală dintr-un punct al catargului și fixându-le la aceeași distanță de baza catargului pe fiecare dintre cele două linii drepte (Fig. 2.15). Pe această construcție reală se bazează dovada semnului de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Fie ca dreapta a să intersecteze planul a în punctul O și să fie perpendiculară pe două drepte b și C care trec în planul a prin punctul O. Este necesar să se demonstreze că dreapta a este perpendiculară pe orice dreaptă care trece prin punctul O. în avionul a. Luați orice astfel de linie d, cu excepția b și C (Figura 2.16).

Să alegem pe liniile b și C de-a lungul punctului B și C astfel încât segmentul BC să intersecteze dreapta d într-un punct D. Luați punctele și C, EC astfel încât punctul O să fie punctul de mijloc al segmentelor, adică sunt simetrica punctelor B si C fata de punctul O din planul a. Apoi, segmentul ВХСХ, care este simetric față de O față de segmentul BC, va intersecta linia d într-un punct simetric față de punctul D față de O (demonstrați-o!).

Datorită simetriei punctelor față de punctele B, C, D, avem egalitățile

Acum să luăm orice punct de pe dreapta a și să-l conectăm cu segmentele AB, AC, AD și cu puncte Deoarece și atunci a este bisectoarea perpendiculară pe segment. De aceea . De asemenea. Întrucât, în plus, , i.e. . Pe lângă acestea unghiuri egale, în triunghiuri ABD și avem și . Dar apoi și