După treizeci de ani de căutare, au fost găsite ecuații diferențiale neliniare cu soluții solitonale tridimensionale. Ideea cheie a fost „complexarea” timpului, care poate găsi aplicații ulterioare în fizica teoretică.

La studierea oricărui sistem fizic, începe mai întâi etapa „acumulării inițiale” a datelor experimentale și înțelegerea lor. Apoi ștafeta este trecută la fizica teoretică. Sarcina unui fizician teoretician este să obțină și să rezolve ecuații matematice pentru acest sistem pe baza datelor acumulate. Și dacă primul pas, de regulă, nu prezintă o problemă anume, atunci al doilea - corect rezolvarea ecuațiilor rezultate se dovedește adesea a fi o sarcină incomparabil mai dificilă.

Se întâmplă să fie descrisă evoluția în timp a multor sisteme fizice interesante ecuații diferențiale neliniare: astfel de ecuații pentru care principiul suprapunerii nu funcționează. Acest lucru îi privează imediat pe teoreticieni de posibilitatea de a folosi multe tehnici standard (de exemplu, combinați soluții, extindeți-le într-o serie) și, ca rezultat, pentru fiecare astfel de ecuație, trebuie inventată o metodă de soluție absolut nouă. Dar în acele cazuri rare în care se găsesc o astfel de ecuație integrabilă și o metodă de rezolvare a acesteia, nu se rezolvă doar problema inițială, ci și o serie de probleme matematice conexe. De aceea, uneori, fizicienii teoreticieni, sacrificând „logica naturală” a științei, caută mai întâi astfel de ecuații integrabile și abia apoi încearcă să le găsească aplicații în diferite domenii ale fizicii teoretice.

Una dintre cele mai remarcabile proprietăți ale unor astfel de ecuații este soluțiile în formă solitonii- limitate în spațiu „bucăți de câmp” care se mișcă în timp și se ciocnesc între ele fără distorsiuni. Fiind limitate în spațiu și indivizibile „grămădițe”, solitonii pot oferi un simplu și convenabil model matematic mulți obiecte fizice. (Pentru mai multe informații despre solitoni, a se vedea articolul popular al lui N. A. Kudryashov Nonlinear Waves and Solitons // SOZH, 1997, No. 2, pp. 85-91 și cartea lui A. T. Filippov Many Faced Soliton.)

Din păcate, diferit specii sunt cunoscuți foarte puțini solitoni (vezi galeria de portrete solitoni) și toți nu sunt foarte potriviti pentru a descrie obiecte în tridimensională spaţiu.

De exemplu, solitonii obișnuiți (care apar în ecuația Korteweg-de Vries) sunt localizați într-o singură dimensiune. Dacă un astfel de soliton este „lansat” în lumea tridimensională, atunci va arăta ca o membrană plată infinită care zboară înainte. În natură, totuși, astfel de membrane infinite nu sunt observate, ceea ce înseamnă că ecuația originală nu este potrivită pentru descrierea obiectelor tridimensionale.

Nu cu mult timp în urmă, au fost găsite soluții de tip soliton (de exemplu, dromions) ale ecuațiilor mai complexe, care sunt deja localizate în două dimensiuni. Dar chiar și în formă tridimensională sunt cilindri infinit de lungi, adică nu sunt nici foarte fizici. Cei adevarati tridimensională Solitonii nu au fost încă găsiți, din simplul motiv că ecuațiile care i-ar putea produce erau necunoscute.

Recent, situația s-a schimbat dramatic. Matematicianul Cambridge A. Focas, autor al recentei publicații A. S. Focas, Physical Review Letters 96, 190201 (19 mai 2006) a reușit să facă un pas semnificativ înainte în acest domeniu al fizicii matematice. Scurtul său articol de trei pagini conține două descoperiri simultan. În primul rând, a găsit o nouă modalitate de a deriva ecuații integrabile pentru multidimensionale spațiu și, în al doilea rând, a demonstrat că aceste ecuații au soluții multidimensionale asemănătoare solitonilor.

Ambele realizări au fost posibile printr-un pas îndrăzneț făcut de autor. El a luat ecuațiile integrabile deja cunoscute în spațiul bidimensional și a încercat să ia în considerare timpul și coordonatele ca complex, nu numere reale. În acest caz, a fost obținută automat o nouă ecuație pentru spațiu cu patru dimensiuni și timp bidimensional. Ca pas următor, el a impus condiții non-triviale asupra dependenței soluțiilor de coordonate și „timpi”, iar ecuațiile au început să descrie tridimensională o situație care depinde de o singură dată.

Este interesant că o astfel de operațiune „blasfemioasă” precum trecerea la timpul bidimensional și alocarea unui nou temporal despre axa, nu a stricat foarte mult proprietățile ecuației. Ele rămân în continuare integrabile, iar autorul a putut demonstra că printre soluțiile lor se numără și mult doritii solitoni tridimensionali. Acum rămâne ca oamenii de știință să noteze acești solitoni sub formă de formule explicite și să le studieze proprietățile.

Autorul își exprimă încrederea că utilitatea metodei de „complexare” a timpului dezvoltată de el nu se limitează în niciun caz la acele ecuații pe care le-a analizat deja. El enumeră o întreagă gamă de situații din fizica matematică în care abordarea sa poate da rezultate noi și îi încurajează pe colegi să încerce să o aplice în cele mai diverse domenii ale fizicii teoretice moderne.

Doctor în Științe Tehnice A. GOLUBEV.

O persoană, chiar și fără un fizic special sau educatie tehnica cuvintele „electron, proton, neutron, foton” sunt, fără îndoială, familiare. Dar cuvântul „soliton”, care este în consonanță cu ei, este probabil auzit de mulți pentru prima dată. Acest lucru nu este surprinzător: deși ceea ce este desemnat prin acest cuvânt este cunoscut de mai bine de un secol și jumătate, atenția cuvenită a fost acordată solitonilor abia din ultima treime a secolului al XX-lea. Fenomenele Soliton s-au dovedit a fi universale și au fost găsite în matematică, hidromecanică, acustică, radiofizică, astrofizică, biologie, oceanografie și inginerie optică. Ce este - un soliton?

Pictură de I. K. Aivazovsky „Al nouălea val”. Valurile pe apă se propagă ca solinii de grup, în mijlocul cărora, în intervalul de la a șaptea la a zecea, se află unda cea mai înaltă.

O undă liniară obișnuită are forma unei undă sinusoidală obișnuită (a).

Știință și viață // Ilustrații

Știință și viață // Ilustrații

Știință și viață // Ilustrații

Așa se comportă o undă neliniară pe suprafața apei în absența dispersiei.

Așa arată un soliton de grup.

Undă de șoc în fața unei mingi care zboară de șase ori mai rapid decât sunetul. Pentru ureche, este perceput ca o bubuitură puternică.

În toate zonele de mai sus există o caracteristică comună: în ele sau în secțiunile lor individuale, sunt studiate procesele valurilor sau, mai simplu, valurile. În sensul cel mai general, o undă este propagarea unei perturbări a unora cantitate fizica care caracterizează substanţa sau câmpul. Această propagare are loc de obicei într-un mediu - apă, aer, solide. Doar daca undele electromagnetice se poate propaga în vid. Toată lumea, fără îndoială, a văzut cum undele sferice se abate de la o piatră aruncată în apă, „tulburând” suprafața calmă a apei. Acesta este un exemplu de propagare a unei „singuri” perturbații. Foarte des, o perturbare este un proces oscilator (în special, periodic) sub o varietate de forme - oscilația unui pendul, vibrația coardei unui instrument muzical, comprimarea și extinderea unei plăci de cuarț sub acțiunea unui curent alternativ. , vibrații în atomi și molecule. Undele - propagarea oscilațiilor - pot avea o altă natură: unde pe apă, unde sonore, unde electromagnetice (inclusiv luminoase). Diferența dintre mecanismele fizice care implementează procesul undei implică moduri diferite de descriere matematică a acestuia. Dar valuri de origine diferită au și unele proprietăți generale, pentru a cărui descriere se folosește un aparat matematic universal. Și aceasta înseamnă că este posibil să studiem fenomenele ondulatorii, făcând abstracție de natura lor fizică.

În teoria undelor, acest lucru se face de obicei, luând în considerare proprietățile undelor precum interferența, difracția, dispersia, împrăștierea, reflexia și refracția. Dar, în același timp, are loc o împrejurare importantă: o astfel de abordare unificată este justificată cu condiția ca procesele ondulatorii de natură diferită studiate să fie liniare.Vom vorbi despre ce înseamnă aceasta puțin mai târziu, dar acum observăm doar că numai undele cu amplitudine nu prea mare. Dacă amplitudinea undei este mare, aceasta devine neliniară, iar acest lucru este direct legat de subiectul articolului nostru - solitoni.

Din moment ce vorbim despre valuri tot timpul, nu este greu de ghicit că solitonii sunt și ei ceva din domeniul undelor. Acest lucru este adevărat: o formațiune foarte neobișnuită se numește soliton - o undă „solitară” (undă solitar). Mecanismul apariției sale a rămas mult timp un mister pentru cercetători; părea că natura acestui fenomen contrazice legile binecunoscute ale formării și propagării undelor. Claritatea a apărut relativ recent, iar acum solinii sunt studiați în cristale, materiale magnetice, fibre optice, în atmosfera Pământului și a altor planete, în galaxii și chiar în organismele vii. S-a dovedit că tsunami-urile, impulsurile nervoase și dislocațiile din cristale (încălcări ale periodicității rețelelor lor) sunt toate solitoni! Soliton este cu adevărat „cu mai multe fețe”. Apropo, acesta este numele excelentei cărți de știință populară a lui A. Filippov „The Many-Faced Soliton”. Îl recomandăm cititorului care nu se teme de un număr destul de mare de formule matematice.

Pentru a înțelege ideile de bază asociate solitonilor și, în același timp, a face fără matematică, va trebui să vorbim în primul rând despre neliniaritatea și dispersia deja menționate - fenomenele care stau la baza mecanismului de formare a solitonilor. Dar mai întâi, să vorbim despre cum și când a fost descoperit solitonul. El i-a apărut pentru prima dată omului sub „fața” unui val solitar pe apă.

Acest lucru s-a întâmplat în 1834. John Scott Russell, un fizician scoțian și talentat inginer-inventator, a fost invitat să investigheze posibilitatea de a naviga pe nave cu abur de-a lungul canalului care leagă Edinburgh și Glasgow. La acea vreme, transportul de-a lungul canalului se efectua cu mici șlepuri trase de cai. Pentru a-și da seama cum să transforme șlepuri atunci când a înlocuit tracțiunea cailor cu abur, Russell a început să observe șlepurele. diverse forme deplasându-se cu viteze diferite. Și în cursul acestor experimente, el a întâlnit brusc un complet un fenomen neobișnuit. Așa a descris-o în Raportul său despre valuri:

„Urmam mișcarea unei șlep care era trasă rapid de-a lungul unui canal îngust de câțiva cai, când șlepul s-a oprit brusc.viteză și luând forma unei mari înălțări solitare - o apă rotunjită, netedă și bine definită. deal.Si-a continuat drumul de-a lungul canalului, neschimbandu-i cel putin forma si fara incetinirea.L-am urmat calare, iar cand l-am depasit, inca se rostogolea inainte cu o viteza de aproximativ 8-9 mile pe ora. , păstrându-și profilul de elevație inițial, de aproximativ treizeci de picioare lungime și un picior până la un picior și jumătate înălțime. Înălțimea sa a scăzut treptat și după o milă sau două de urmărire l-am pierdut în coturile canalului."

Russell a numit fenomenul pe care l-a descoperit „unda solitar de traducere”. Mesajul său a fost însă întâmpinat cu scepticism de autoritățile recunoscute în domeniul hidrodinamicii - George Airy și George Stokes, care credeau că valurile nu își pot menține forma atunci când se deplasează pe distanțe mari. Pentru aceasta au avut toate motivele: au pornit de la ecuațiile de hidrodinamică general acceptate la acea vreme. Recunoașterea unui val „solitar” (care a fost numit soliton mult mai târziu - în 1965) a avut loc în timpul vieții lui Russell prin lucrările mai multor matematicieni care au arătat că poate exista și, în plus, experimentele lui Russell au fost repetate și confirmate. Dar controversa în jurul solitonului nu s-a oprit multă vreme - autoritatea lui Airy și Stokes a fost prea mare.

Omul de știință olandez Diderik Johannes Korteweg și studentul său Gustav de Vries au adus claritatea finală problemei. În 1895, la treisprezece ani după moartea lui Russell, au găsit ecuația exactă, ale cărei soluții ondulatorii descriu complet procesele în desfășurare. Ca o primă aproximare, aceasta poate fi explicată după cum urmează. Undele Korteweg-de Vries au o formă nesinusoidală și devin sinusoidale numai atunci când amplitudinea lor este foarte mică. Odată cu creșterea lungimii de undă, ele iau forma unor cocoașe departe una de cealaltă, iar la o lungime de undă foarte mare rămâne o cocoașă, care corespunde undei „solitare”.

Ecuația Korteweg - de Vries (așa-numita ecuație KdV) a jucat un rol foarte important în zilele noastre, când fizicienii și-au dat seama de universalitatea și de posibilitatea de aplicare a undelor de natură variată. Cel mai remarcabil lucru este că descrie unde neliniare, iar acum ar trebui să ne oprim asupra acestui concept mai detaliat.

În teoria undelor, ecuația undelor este de o importanță fundamentală. Fără a o prezenta aici (acest lucru necesită familiaritate cu matematica superioară), observăm doar că funcția dorită care descrie valul și mărimile asociate acesteia sunt conținute în primul grad. Astfel de ecuații se numesc liniare. Ecuația de undă, ca oricare alta, are o soluție, adică o expresie matematică, care, atunci când este substituită, se transformă într-o identitate. Soluția ecuației de undă este o undă armonică liniară (sinusoidală). Subliniem încă o dată că termenul „liniar” este folosit aici, nu în sens geometric(o sinusoidă nu este o linie dreaptă), ci în sensul utilizării primei puteri a mărimilor în ecuația de undă.

Undele liniare se supun principiului suprapunerii (adunării). Aceasta înseamnă că atunci când sunt suprapuse mai multe unde liniare, forma undei rezultate este determinată printr-o simplă adăugare a undelor originale. Acest lucru se întâmplă deoarece fiecare undă se propagă în mediu independent de celelalte, nu există schimb de energie sau altă interacțiune între ele, trec liber unul prin celălalt. Cu alte cuvinte, principiul suprapunerii înseamnă independența undelor și de aceea pot fi adăugate. În condiții normale, acest lucru este valabil pentru sunet, lumină și undele radio, precum și pentru undele care sunt luate în considerare teoria cuantica. Dar pentru undele dintr-un lichid, acest lucru nu este întotdeauna adevărat: pot fi adăugate doar unde de amplitudine foarte mică. Dacă încercăm să adăugăm undele Korteweg - de Vries, atunci nu vom obține deloc o undă care poate exista: ecuațiile hidrodinamicii sunt neliniare.

Aici este important de subliniat faptul că proprietatea de liniaritate a undelor acustice și electromagnetice se observă, așa cum sa menționat deja, în condiții normale, ceea ce înseamnă, în primul rând, amplitudini mici ale undelor. Dar ce înseamnă „amplitudine mică”? Amplitudine unde sonore determină volumul sunetului, lumina - intensitatea luminii și undele radio - intensitatea electro camp magnetic. Radiodifuziunea, televiziunea, telefoanele, computerele, corpurile de iluminat și multe alte dispozitive funcționează în același mediu „normal”, ocupând o varietate de unde de amplitudine mică. Dacă amplitudinea crește brusc, undele își pierd liniaritatea și atunci apar noi fenomene. În acustică, undele de șoc care se propagă la viteze supersonice sunt cunoscute de mult. Exemple unde de soc- tunet în timpul unei furtuni, sunetele unei împușcături și ale unei explozii și chiar bătăi de bici: vârful său se mișcă mai repede decât sunetul. Neliniar unde luminoase obtinut cu ajutorul laserelor puternice pulsate. Trecerea unor astfel de valuri prin diverse medii modifică proprietățile media în sine; se observă fenomene complet noi, care fac obiectul studiului opticii neliniare. De exemplu, apare o undă luminoasă, a cărei lungime este de două ori mai mică, iar frecvența, respectiv, de două ori mai mare decât cea a luminii de intrare (se generează a doua armonică). Dacă, de exemplu, un fascicul laser puternic cu o lungime de undă l 1 = 1,06 μm (radiație infraroșie, invizibilă pentru ochi) este direcționat către un cristal neliniar, atunci la ieșirea cristalului apare lumină verde cu o lungime de undă l 2 = 0,53 μm. pe lângă infraroșu.

Dacă sunetul și undele luminoase neliniare se formează numai în condiții speciale, atunci hidrodinamica este neliniară prin însăși natura sa. Și din moment ce hidrodinamica prezintă neliniaritate chiar și în cele mai simple fenomene, de aproape un secol se dezvoltă complet izolat de fizica „liniară”. Pur și simplu nu i-a trecut nimănui prin minte să caute ceva asemănător cu valul „solitar” al lui Russell în alte fenomene ondulatorii. Și numai atunci când s-au dezvoltat noi domenii ale fizicii - acustica neliniară, radiofizică și optică - cercetătorii și-au amintit solitonul Russell și au pus întrebarea: un astfel de fenomen poate fi observat doar în apă? Pentru a face acest lucru, a fost necesar să înțelegem mecanismul general de formare a solitonilor. Condiția de neliniaritate s-a dovedit a fi necesară, dar insuficientă: a fost cerut altceva de la mediu pentru ca în el să se nască un val „solitar”. Și în urma cercetării, a devenit clar că condiția lipsă a fost prezența dispersiei mediului.

Să ne amintim pe scurt despre ce este vorba. Dispersia este dependența vitezei de propagare a fazei undei (așa-numita viteză a fazei) de frecvență sau, care este aceeași, de lungimea de undă (vezi „Știința și viața” nr. ). Conform binecunoscutei teoreme Fourier, o undă nesinusoidală de orice formă poate fi reprezentată printr-un set de componente sinusoidale simple cu frecvențe (lungimi de undă), amplitudini și faze inițiale diferite. Aceste componente din cauza dispersiei se propagă cu viteze diferite de fază, ceea ce duce la „pătașul” formei de undă pe măsură ce se propagă. Dar solitonul, care poate fi reprezentat și ca suma acestor componente, după cum știm deja, își păstrează forma atunci când se mișcă. De ce? Amintiți-vă că un soliton este o undă neliniară. Și aici se află cheia pentru a-și debloca „misterul”. Se dovedește că un soliton apare atunci când efectul neliniarității, care face „cocoașul” solitonului mai abrupt și tinde să-l răstoarne, este echilibrat prin dispersie, ceea ce îl face mai plat și tinde să-l estompeze. Adică, un soliton apare „la joncțiunea” neliniarității și dispersiei, care se compensează reciproc.

Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Să presupunem că la suprafața apei s-a format o cocoașă, care a început să se miște. Să vedem ce se întâmplă dacă nu ținem cont de dispersie. Viteza unei unde neliniare depinde de amplitudine (undele liniare nu au o astfel de dependență). Vârful cocoașului se va mișca cel mai repede dintre toate, iar la un moment dat, partea din față va deveni mai abruptă. Abruptul frontului crește, iar în decursul timpului valul se va „răsturna”. Vedem o răsturnare similară a valurilor când privim surf-ul de pe malul mării. Acum să vedem la ce duce prezența dispersiei. Cocoașa inițială poate fi reprezentată prin suma componentelor sinusoidale cu lungimi de undă diferite. Componentele cu undă lungă rulează cu o viteză mai mare decât cele cu undă scurtă și, prin urmare, reduc abruptul muchiei de atac, în mare măsură nivelând-o (vezi „Știința și viața” nr. 8, 1992). La o anumită formă și viteză a cocoașei, poate avea loc o restaurare completă a formei originale și apoi se formează un soliton.

Una dintre proprietățile uimitoare ale undelor „solitare” este că seamănă mult cu particulele. Deci, într-o coliziune, doi solitoni nu trec unul prin altul, ca undele liniare obișnuite, ci, parcă, se resping unul pe celălalt ca mingile de tenis.

Solitonii de alt tip, numiti solitoni de grup, pot apărea și pe apă, deoarece forma lor este foarte asemănătoare cu grupurile de valuri, care în realitate se observă în locul unei undă sinusoidală infinită și se mișcă cu o viteză de grup. Solitonul de grup seamănă foarte mult cu undele electromagnetice modulate în amplitudine; învelișul său este nesinusoidal, este descris de o funcție mai complexă - secanta hiperbolică. Viteza unui astfel de soliton nu depinde de amplitudine și, în acest sens, diferă de solitonii KdV. De obicei nu există mai mult de 14-20 de valuri sub plic. Valul mediu - cel mai înalt - din grup este astfel în intervalul de la a șaptea la a zecea; de unde cunoscuta expresie „al nouălea val”.

Domeniul de aplicare al articolului nu ne permite să luăm în considerare multe alte tipuri de solitoni, de exemplu, solitonii din corpuri cristaline solide - așa-numitele dislocații (seamănă cu „găuri” în rețea cristalinăși sunt, de asemenea, capabili să se miște), solitoni magnetici înrudiți în feromagneți (de exemplu, în fier), impulsuri nervoase asemănătoare solitonilor în organismele vii și multe altele. Ne limităm la luarea în considerare a solitonilor optici, care în timpuri recente a atras atenția fizicienilor prin posibilitatea utilizării lor în linii de comunicații optice foarte promițătoare.

Un soliton optic este un soliton de grup tipic. Formarea sa poate fi înțeleasă prin exemplul unuia dintre efectele optice neliniare - așa-numita transparență autoindusă. Acest efect constă în faptul că un mediu care absoarbe lumină de intensitate scăzută, adică opac, devine brusc transparent atunci când trece prin el un impuls luminos puternic. Pentru a înțelege de ce se întâmplă acest lucru, să ne amintim ce cauzează absorbția luminii în materie.

O cuantă de lumină, care interacționează cu un atom, îi dă energie și o transferă la un nivel de energie mai înalt, adică într-o stare excitată. Fotonul dispare - mediul absoarbe lumina. După ce toți atomii mediului sunt excitați, absorbția energiei luminoase se oprește - mediul devine transparent. Dar o astfel de stare nu poate dura mult: fotonii care zboară în spate fac atomii să revină la starea lor inițială, emițând cuante de aceeași frecvență. Este exact ceea ce se întâmplă atunci când un impuls scurt de lumină de putere mare a frecvenței corespunzătoare este direcționat printr-un astfel de mediu. Marginea anterioară a pulsului aruncă atomii la nivelul superior, fiind parțial absorbiți și devenind mai slabi. Maximul pulsului este absorbit într-o măsură mai mică, iar marginea de fugă a pulsului stimulează tranziția inversă de la nivelul excitat la nivelul solului. Atomul emite un foton, energia acestuia este returnată impulsului, care trece prin mediu. În acest caz, forma pulsului se dovedește a corespunde unui soliton de grup.

Destul de recent, într-unul din americani reviste științifice A apărut o publicație despre evoluțiile binecunoscutei Companii Bell (Bell Laboratories, SUA, Statul New Jersey) pentru transmiterea semnalului pe distanțe foarte mari prin ghidaje de lumină din fibră optică folosind solitoni optici. În timpul transmisiei normale prin linii de comunicație cu fibră optică, semnalul trebuie amplificat la fiecare 80-100 de kilometri (fibra însăși poate servi ca amplificator atunci când este pompată cu lumină de o anumită lungime de undă). Și la fiecare 500-600 de kilometri este necesar să instalați un repetor care transformă semnalul optic într-unul electric, păstrând toți parametrii săi, apoi din nou într-unul optic pentru transmisie ulterioară. Fără aceste măsuri, semnalul la o distanță care depășește 500 de kilometri este distorsionat dincolo de recunoaștere. Costul acestui echipament este foarte mare: transmiterea unui terabit (10 12 biți) de informații de la San Francisco la New York costă 200 de milioane de dolari pe stație de releu.

Utilizarea solitonilor optici, care își păstrează forma în timpul propagării, face posibilă transmisie optică semnalizare la distanțe de până la 5-6 mii de kilometri. Cu toate acestea, există dificultăți semnificative în calea creării unei „linii soliton”, care au fost depășite doar foarte recent.

Posibilitatea existenței solitonilor într-o fibră optică a fost prezisă în 1972 de fizicianul teoretician Akira Hasegawa, angajat al companiei Bell. Dar la acel moment, nu existau fibre optice cu pierderi mici în acele regiuni de lungime de undă în care puteau fi observați solitonii.

solitonii optici se pot propaga numai într-un ghid de lumină cu o valoare de dispersie mică, dar finită. Cu toate acestea, o fibră optică care menține valoarea de dispersie necesară pe întreaga lățime spectrală a unui transmițător multicanal pur și simplu nu există. Și acest lucru face ca solitonii „obișnuiți” să nu fie folosiți în rețele cu linii de transmisie lungi.

O tehnologie soliton adecvată a fost creată de-a lungul unui număr de ani sub conducerea lui Lynn Mollenauer, un specialist de top în departamentul de tehnologie optică al aceleiași companii Bell. Această tehnologie s-a bazat pe dezvoltarea fibrelor optice controlate prin dispersie, ceea ce a făcut posibilă crearea solitonilor a căror formă de puls poate fi menținută la nesfârșit.

Metoda de control este următoarea. Cantitatea de dispersie de-a lungul lungimii fibrei optice se schimbă periodic între valori negative și pozitive. În prima secțiune a ghidului de lumină, pulsul se extinde și se deplasează într-o direcție. În a doua secțiune, care are o dispersie a semnului opus, pulsul este comprimat și deplasat în direcția opusă, în urma căreia forma acestuia este restabilită. Cu o mișcare ulterioară, impulsul se extinde din nou, apoi intră în zona următoare, care compensează acțiunea zonei anterioare și așa mai departe - are loc un proces ciclic de expansiuni și contracții. Pulsul experimentează o pulsație în lățime cu o perioadă egală cu distanța dintre amplificatoarele optice ale unui ghid de lumină convențional - de la 80 la 100 de kilometri. Drept urmare, potrivit lui Mollenauer, un semnal cu un volum de informații mai mare de 1 terabit poate parcurge cel puțin 5-6 mii de kilometri fără retransmitere la o rată de transmisie de 10 gigabiți pe secundă pe canal fără nicio distorsiune. O astfel de tehnologie pentru comunicarea la distanță ultra lungă prin linii optice este deja aproape de stadiul de implementare.

SOLITON

SOLITON

Undă solitară stabilă din punct de vedere structural într-un mediu dispersiv neliniar. S. se comportă ca bărbații: atunci când interacționează între ei sau cu anumite alte perturbări, S. nu se prăbușesc, ci diverg din nou, păstrându-și structura neschimbată. Structura lui S. este menținută staționară datorită echilibrului dintre acțiunea neliniarității mediului (vezi SISTEME NELLINEARE) și dispersie (vezi DISPERSIUNEA UNDELOR). De exemplu, în cazul gravitației undele pe suprafața lichidului pentru o dispersie plată suficient de lungă (l->2pH, unde H este adâncimea rezervorului) este absentă, undele se propagă cu o viteză de fază v=?(g(H+h)), unde g -, h este cota suprafeței apei într-un punct dat al profilului undei. Vârful undei se mișcă mai repede decât partea de jos (neliniaritate), astfel încât abruptul frontului de undă crește până când lungimea frontului devine proporțională cu valoarea 2pН, după care v va depinde de abruptul frontului (dispersie) . Ca urmare, pe profil apar valuri (Fig. 1), a căror dezvoltare duce la formarea S.

Orez. 1. Evoluția profilului undei pe suprafața unui rezervor de adâncime N.

Orez. 5. Pereche legată de solitoni.

În sistemele cu dispersie puternică, dacă profilul undei staționare este apropiat de sinusoidal, este posibilă și existența unui modul. unde sub formă de unde localizate. pachete cu un plic staționar în mișcare, care prezintă, de asemenea, un comportament „asemănător particulelor” atunci când sunt expuse (C. „plic”). Astfel de forme de undă sunt posibile pentru undele de pe suprafața unui rezervor adânc, undele Langmuir într-o plasmă, impulsuri de lumină scurte (picosecunde) de mare putere în mediul de lucru al unui laser și așa mai departe.

S. joacă un rol important în teoria condensatorului. stare in-va, în special în cuantică. statistica, teoria tranzițiilor de fază. Soluțiile Soliton au anumite ecuații propuse pentru a descrie elemente. h-ts. Studiul Sf. în S. ca unde „asemănătoare particulelor”, inclusiv posibilul S. tridimensional, în care scade în toate direcțiile într-un spațiu tridimensional (și nu numai de-a lungul unei coordonate, ca în exemplele de mai sus ) , a condus la încercări de a folosi S. la construirea unui cuantic. teoria câmpului neliniar.

Dicţionar enciclopedic fizic. - M.: Enciclopedia Sovietică. Redactor-șef A. M. Prokhorov. 1983 .

SOLITON

(din lat. solus - unu) - staționar localizat sau staționar în medie perturbare a unui periodic omogen sau spațial. S. se caracterizează prin următoarele proprietăți: localizat într-o regiune finită;se propagă fără deformare, transferând energie, moment unghiular; își păstrează structura atunci când interacționează cu alte S. similare; pot forma stări legate, ansambluri. Profilul (forma) unei forme de undă este determinat într-un mediu neliniar prin două procese concurente: răspândirea undei datorită dispersiei mediului și „răsturnarea” frontului de undă în creștere din cauza neliniarității.

Înainte de început anii 1960 S. numit val solitar - o formă neschimbată, răspândită din stâlp. viteza pe suprafața unui lichid greu de adâncime finită și într-o plasmă. Acum, sub definiția lui S., setul de diferite geturi fizice. obiecte. Prima clasificare a lui S. se poate face în funcție de numărul de dimensiuni spațiale de-a lungul cărora are loc localizarea unei perturbații staționare a unui mediu neliniar. S. unidimensionale sunt clasice. Impulsuri și plicuri 2p în optică neliniară (vezi solitonii optic), localizare. conductivitate colectivă în molecule organice. semiconductori și în metale unidimensionale (vezi unde de densitate de sarcină), S. (quanta fluxului magnetic) în joncțiunile Josephson în supraconductori (vezi. efectul Josephson), etc. La S. bidimensionale dislocaţii în cristalin. zăbrele, disclinări în cristale lichide, structuri vortex într-un strat subțire de lichid superfluid, Superfluidity), magn. tuburi (vârtejuri Abrikosov) în supraconductori de tip 2 (vezi. supraconductivitate), zone anticiclonice în geofize. hidrodinamică, inclusiv „Marea Pată Roșie” de pe Jupiter, canale auto-concentrareaîn optica neliniară. Soliton în teoria câmpului cuantic), găuri negre teoria gravitației. În teoria câmpului cuantic, sunt considerate sisteme care sunt localizate în spațiu-timp cu patru dimensiuni, instantoane.

Matematic, S. sunt soluții staționare localizate de neliniare ecuatii diferentialeîn derivate parţiale sau generalizările acestora (ecuaţii diferenţiale-diferenţiale, integro-diferenţiale etc.). cazuri de dif. fizic situațiile și fenomenele sunt descrise prin aceleași ecuații, de exemplu. Korteweg - ecuația de Vries, ecuația sinus-Gordon, - Ecuația Petviashvili. Ecuațiile liniare (cu excepția ecuației de undă unidimensională) nu au soluții staționare localizate. S. sunt în esență obiecte neliniare, sarcină topologică, adică dacă configurația câmpului de undă în prezența lui S. este diferită din punct de vedere topologic de configurația stării neperturbate. Mijloace. parte a ecuațiilor, metoda de împrăștiere inversă, majoritatea sunt sisteme hamiltoniene integrabile.

solitoni unidimensionali. O undă solitară pe suprafața unui lichid de adâncime finită a fost observată pentru prima dată în 1834 de J. S. Russell. Mat.

Aici H - adâncimea neperturbată a lichidului, - viteza undelor lungi de amplitudine mică, x 0 - poziția centrului lui S., undele de șoc fără coliziune în plasmă care apar, modelând comportamentul unui lanț de atomi legați prin forțe elastice neliniare și descrise prin ecuații de mișcare

unde l este numărul unui atom din lanț, E. Fermi (E. Fermi), J. Pasta (J. Pasta) și C. Ulam (S. Ulam) în 1954 a descoperit stochastizarea anormal de lentă în acest sistem. Sistemul nu s-a termicizat (nu a stabilit o termodinamică

derivat în 1895 pentru a descrie evoluția unui pachet de undă pe suprafața unui lichid de mică adâncime. Ecuația KdV este o ecuație universală care descrie medii unidimensionale sau cvasi-unidimensionale în care concurează neliniaritatea pătratică slabă [termenul 6 și ei wur-nii (3)] și dispersie liniară slabă [term și xxxîn ecuaţia (3)].S-a dovedit că descrie şi oscilaţiile. comportamentul unui lanț de atomi,

În funcție de raportul dintre cei doi factori de mai sus, sistemul trece de la o stare la alta, iar în cazul compensării lor reciproce, apare C.

Din soluția numerică a ecuației (3) [N. Zabuski (N. Zabusky) și M. Kruskal (M. Kruskal), 1964] rezultă că S. au mijloace. stabilitate și ciocniri, se risipesc elastic, păstrându-și forma și amplitudinea. Analizând acest fenomen, M. Kruskal, J. Green (G. Green), C. Gardner (S. Gardner) și R. Miura (R. Miura) deschis in 1967 fundam. metoda împrăștierii inverse:

Ecuația (5) este o ecuație staționară Schrödinger cu un potențial- u(x, t). Dacă satisface ecuația KdV (3), atunci proprietăți discrete. valorile ecuației Schrödinger nu depind de timp și sunt direct legate de C. Dacă ecuația (5) are N proprietăți discrete. valori, atunci vor fi prezente N C. de forma (4) cu parametrii .În cazul general, soluţia conţine şi o „parte nesolită” oscilantă.

În cazul pur solitonului

Soluția N-soliton descrie împrăștierea N C. una peste alta. ciocnirea pereche a lui S. cu amplitudini S. dobândesc schimburi

adică, S. rapid dobândește schimbări pozitive și lente - negative. Când interacționați N S. plin cu fiecare S. este egal cu algebric. interacțiunea particulelor nerelativiste, între care există forțe repulsive pereche. De exemplu, pentru două S. (4) cu aceleași amplitudini separate printr-o distanță L mărimea caracteristică mult mai mare S., potențial de forță de respingere

O imagine tipică a apariției radiației solare în ocean, fotografiată din spațiu, este prezentată în Fig.: cinci benzi (solitoni) sunt clar vizibile mișcându-se din dreapta jos în stânga sus.

Ecuația neliniară Schrödinger pentru o funcție complexă u(x,t)

este unul dintre principalele ecuații ale fizicii neliniare, care descriu evoluția opticii. unde în cristale neliniare, unde Langmuir în plasmă, unde termice în solideşi altele.În propagarea cvasiarmonicii unidimensionale. și xx) și dispersia liniară (termenul ) are loc automodularea - apar unde de anvelopă. În cazul unui echilibru de autocompresie neliniară și răspândire dispersivă, apar plicurile S..

Aici și v- amplitudinea și viteza lui S. [spre deosebire de S. (4), acești parametri sunt independenți reciproc], Ф 0 și X 0 descrie faza si pozitia lui S. la inceput. moment.

V. E. Zakharov și A. B. Shabat au arătat (1971) că ecuația (7) este, de asemenea, exact integrabilă în cadrul metodei de împrăștiere inversă cu ajutorul ecuațiilor auxiliare. sistem supradeterminat de ecuații liniare de tip (5), (6) pentru o funcție multicomponentă (vectorală). O consecință a integrității exacte este existența unor soluții exacte de multisoluții. Ca și în cazul ecuației KdV, aceste soluții descriu ciocniri pur elastice ale S. cu conservarea formei, amplitudinii și vitezei. Unitate o consecință a coliziunii sunt schimbările de fază - modificări ale parametrilor Ф 0 și x 0 .

Ecuația unidimensională a sinusului-Gordon. Precis integrat cu auxiliar

Această ur-ţiune se găseşte la mulţi. fizic sarcini, în care anarmonic. autoacțiunea potențială neliniară a câmpului de undă este periodică în variabila câmp F(x, t). Exemplele sunt în joncțiunile Josephson, valuri de densitate de sarcină în metale unidimensionale, unde neliniare de magnetizare în feromagneți ușor planari și slabi etc.

Ecuația (9) are soluții solitone a două decomp. tipuri: așa-numitele. kinki ibreezers. K i n k

este un val solitar cu un topologic încărca deplasându-se cu o viteză v (v2< unu). Kink are sens. n. fluxon - magnetic cuantic. curgere în teoria joncțiunilor Josephson lungi, x 0 , care caracterizează poziția îndoirilor la început. v1 ,v 2 (v1v 2) defazarile sunt egale:

Se poate observa că schimbările de fază nu depind de topologic. taxe îndoite.

Ca și în cazul lui S., descris de ecuațiile (3) și (7), defazarea totală a oricărei îndoituri atunci când este împrăștiată de un set de alte îndoituri este exact egală cu suma deplasărilor generate de coliziunile sale cu fiecare dintre celelalte se îndoiesc separat.

Din punct de vedere vizual, două îndoituri separate de o distanță L mult mai mare decât dimensiunile lor caracteristice ~ (1 - v 2) -1/2 pot fi reprezentate ca particule relativiste de ușă care interacționează cu potențialul

Astfel, îndoirile cu aceleași sarcini se resping reciproc, în timp ce îndoirile cu sarcini opuse - sunt atrasi.

O pereche de îndoire cu sarcini opuse poate forma o stare oscilantă legată - așa-numita. respirație, care este al 2-lea tip de soluție solitonică exactă a ecuației (9):

[o respirație în mișcare poate fi obținută din (11) prin transformarea Lorentz]. Parametrul care se schimbă în interior , caracterizează energia de legare a respirației, o anumită diferență în energiile unei perechi de obiecte aflate la distanță ( v= 0) îndoituri (10) și energie de respirație (11):. Ciocnirile de respirație între ele și cu îndoituri sunt, de asemenea, pur elastice și sunt însoțite de schimbări de fază aditive. În sistemele reale, respirația nu este observată din cauza disipării.

În limita Ф 2 1 substituţie

transformă ecuația (9) într-o ecuație Schrödinger neliniară (7) (cu semnul superior).În acest caz, respirația (11) (la ) se transformă într-un S în repaus (8) cu amplitudine

solitoni multidimensionali. S. bidimensional este o soluție a ecuației Kadomtsev-Petviashvili exact integrabilă

descrierea undelor ion-acustice în plasmă, pe suprafața unui lichid „de mică adâncime” etc. Soluția exactă a ecuației (12)

care conține un parametru complex arbitrar v, descrie un S bidimensional stabil (așa-numitul l și m p), care se deplasează cu o viteză și = (v x ,Vy),,. La hotărâre. (13) scade pe măsură ce ( x 2+ y2) -1 , adică Adică, spre deosebire de S-ul unidimensional (4), (8), (10), (11), care se caracterizează printr-o decădere exponențială a profilului la , S-ul bidimensional (13) are un asimptotic al legii puterii. Ciocnirile oricărui număr de lămpi (13) sunt pur elastice și, spre deosebire de C unidimensional, defazajele sunt identice egale cu zero.

Conceptul de S. poate fi generalizat în cazul ecuațiilor de undă neliniare neintegrabile. Aceasta include sisteme aproape integrabile, care diferă de ecuațiile integrabile universale în termeni mici perturbatori, care au loc în fizica reală. sisteme. Teoria perturbației pentru sisteme aproape integrabile se bazează, de asemenea, pe metoda împrăștierii inverse [D. Kaup (D. Cairo), 1976; V. I. Karpman şi E. M. Maslov, 1977]. În sistemele aproape integrabile, C. este mai bogat; în special, micile perturbații pot da naștere la interacțiuni inelastice ale striațiilor și efectelor multisol, care sunt absente în cazul exact integrabil.

În sistemele care sunt departe de a fi exact integrabile, interacțiunile simetriilor se dovedesc a fi profund inelastice. Astfel, ecuația de undă relativistic invariabilă neintegrabilă

care descrie, de exemplu, dinamica parametrului de comandă în timpul tranzițiilor de fază de tip deplasare în feroelectrice, are o soluție exactă stabilă de tip kink:

După calcule și căutare de analogii, acești oameni de știință au descoperit că ecuația folosită de Fermi, Pasta și Ulam, cu o scădere a distanței dintre greutăți și cu o creștere nelimitată a numărului lor, intră în ecuația Korteweg-de Vries. Adică, în esență, problema propusă de Fermi a fost redusă la soluția numerică a ecuației Korteweg-de Vries, propusă în 1895 pentru a descrie valul solitar Russell. Aproximativ în aceiași ani, s-a demonstrat că ecuația Korteweg-de Vries este folosită și pentru a descrie undele ion-acustice din plasmă. Apoi a devenit clar că această ecuație se găsește în multe domenii ale fizicii și, prin urmare, valul solitar, care este descris de această ecuație, este un fenomen larg răspândit.

Continuând experimentele de calcul pentru a modela propagarea unor astfel de unde, Kruskal și Zabusky au luat în considerare coliziunea lor. Să ne oprim mai în detaliu asupra discuției despre acest fapt remarcabil. Să fie două unde solitare descrise de ecuația Korteweg-de Vries, care diferă ca amplitudine și se mișcă una după alta în aceeași direcție (Fig. 2). Din formula undelor solitare (8) rezultă că, cu cât viteza acestor unde este mai mare, cu atât amplitudinea acestora este mai mare, iar lățimea vârfului scade odată cu creșterea amplitudinii. Astfel, undele înalte solitare se mișcă mai repede. O undă cu o amplitudine mai mare va depăși o undă cu o amplitudine mai mică care se deplasează înainte. Apoi, de ceva timp, cele două valuri se vor mișca împreună ca un întreg, interacționând una cu cealaltă, iar apoi se vor separa. O proprietate remarcabilă a acestor unde este că după interacțiunea lor, forma și

Orez. 2. Doi solitoni descriși de ecuația Korteweg-de Vries,

înainte de interacțiune (sus) și după (jos)

viteza acestor unde este restabilită. Ambele valuri după ciocnire sunt deplasate doar cu o anumită distanță în comparație cu modul în care s-ar mișca fără interacțiune.

Procesul, în care forma și viteza sunt păstrate după interacțiunea undelor, seamănă cu o coliziune elastică a două particule. Prin urmare, Kruskal și Zabuski au numit astfel de unde solitare solitoni (din engleză solitar - solitar). Acesta este un nume special pentru undele solitare, în consonanță cu electronul, protonul și multe altele. particule elementare, este acum general acceptat.

Undele solitare, care au fost descoperite de Russell, se comportă într-adevăr ca niște particule. Un val mare nu trece prin unul mic în timpul interacțiunii lor. Când undele solitare se ating, valul mare încetinește și scade, în timp ce valul care era mic, dimpotrivă, accelerează și crește. Și atunci când val mic crește până la dimensiunea unuia mare, iar cel mare scade până la dimensiunea unuia mic, solitonii sunt separați și cel mai mare se deplasează înainte. Astfel, solitonii se comportă ca niște mingi de tenis elastice.

Să dăm o definiție a solitonului. Soliton numită undă solitară neliniară, care își păstrează forma și viteza în timpul propriei mișcări și ciocniri cu unde solitare similare, adică este o formațiune stabilă. Singurul rezultat al interacțiunii solitonilor poate fi o schimbare de fază.

Descoperirile legate de ecuația Korteweg-de Vries nu s-au încheiat cu descoperirea solitonului. Următorul pas important legat de această ecuație remarcabilă a fost crearea unei noi metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale parțiale neliniare. Este bine cunoscut faptul că găsirea de soluții la ecuații neliniare este foarte dificilă. Până în anii 1960, se credea că astfel de ecuații ar putea avea doar anumite soluții particulare care să satisfacă condiții inițiale special date. Cu toate acestea, ecuația Korteweg-de Vries s-a găsit și ea într-o poziție excepțională în acest caz.

În 1967, fizicienii americani K.S. Gardner, J.M. Green, M. Kruskal și R. Miura au arătat că soluția ecuației Korteweg-de Vries poate fi obținută în principiu pentru toate condițiile inițiale care dispar într-un anumit fel pe măsură ce coordonata tinde spre infinit. Ei au folosit transformarea ecuației Korteweg-de Vries într-un sistem de două ecuații, numit acum perechea Lax (după matematicianul american Peter Lax, care a adus o mare contribuție la dezvoltarea teoriei solitonilor) și au descoperit un nou metodă de rezolvare a unui număr de ecuații diferențiale parțiale neliniare foarte importante. Această metodă se numește metoda problemei de împrăștiere inversă, deoarece folosește în esență soluția problemei de mecanică cuantică despre reconstrucția potențialului din date de împrăștiere.

2.2. Grupa soliton

Mai sus, am spus că în practică undele, de regulă, se propagă în grupuri. Grupuri similare de valuri pe apă au observat oamenii din timpuri imemoriale. T. Benjamin și J. Feyer au reușit să răspundă la întrebarea de ce „stolurile” de valuri sunt atât de tipice pentru valurile pe apă, abia în 1967. Prin calcule teoretice, ei au arătat că o undă periodică simplă în apă adâncă este instabilă (acum acest fenomen se numește instabilitate Benjamin-Fejér) și, prin urmare, valurile pe apă sunt împărțite în grupuri din cauza instabilității. Ecuația care descrie propagarea grupurilor de unde pe apă a fost obținută de V.E. Zaharov în 1968. Până atunci, această ecuație era deja cunoscută în fizică și se numea ecuația Schrödinger neliniară. În 1971, V.E. Zaharov și A.B. Shabat a arătat că această ecuație neliniară are și soluții sub formă de solitoni, în plus, ecuația neliniară Schrödinger, precum și ecuația Korteweg-de Vries, pot fi integrate prin metoda problemei de împrăștiere inversă. Soloninii ecuației neliniare Schrödinger diferă de solitonii Korteweg-de Vries discutați mai sus prin faptul că corespund formei anvelopei grupului de undă. În exterior, ele seamănă cu undele radio modulate. Acești solitoni sunt numiți solitoni de grup și uneori solitoni de anvelopă. Acest nume reflectă persistența în interacțiunea anvelopei pachetului de undă (analog cu linia întreruptă prezentată în Fig. 3), deși undele înseși sub anvelopă se mișcă cu o viteză diferită de viteza grupului. În acest caz, este descrisă forma plicului

Orez. 3. Un exemplu de soliton de grup (linie întreruptă)

dependenta

a(x,t)=a 0 ch -1 ( )

Unde a a - amplitudine și l este jumătate din dimensiunea solitonului. De obicei, există de la 14 la 20 de valuri sub învelișul unui soliton, unda de mijloc fiind cea mai mare. Legat de acesta este binecunoscutul fapt că cel mai înalt val dintr-un grup pe apă se află între al șaptelea și al zecelea (al nouălea val). Dacă într-un grup de valuri s-a format un număr mai mare de valuri, atunci acesta se va împărți în mai multe grupuri.

Ecuația neliniară Schrödinger, ca și ecuația Korteweg-de Vries, este de asemenea utilizată pe scară largă în descrierea undelor din diferite domenii ale fizicii. Această ecuație a fost propusă în 1926 de remarcabilul fizician austriac E. Schrödinger pentru a analiza proprietățile fundamentale sisteme cuanticeși a fost folosit inițial pentru a descrie interacțiunea particulelor intraatomice. Ecuația generalizată sau neliniară Schrödinger descrie un set de fenomene din fizica proceselor ondulatorii. De exemplu, este folosit pentru a descrie efectul autofocalizării atunci când un fascicul laser puternic acționează asupra unui mediu dielectric neliniar și pentru a descrie propagarea undelor neliniare într-o plasmă.

3. Enunțarea problemei

3.1. Descrierea modelului În prezent, există un interes în creștere semnificativ pentru studiul proceselor undelor neliniare în diverse domenii ale fizicii (de exemplu, în optică, fizica plasmei, radiofizică, hidrodinamică etc.). Pentru a studia undele de amplitudine mică, dar finită în medii dispersive, ecuația Korteweg-de Vries (KdV) este adesea folosită ca ecuație model:

ut+ ii x +bși xxx = 0(3.1)

Ecuația KdV a fost folosită pentru a descrie undele magnetozonice care se propagă strict în câmpul magnetic sau la unghiuri apropiate de

.

Principalele ipoteze care se fac la derivarea ecuației sunt: ​​1) amplitudine mică, dar finită, 2) lungimea de undă este mare în comparație cu lungimea dispersiei.

Compensând efectul neliniarității, dispersia face posibilă formarea într-un mediu dispersiv a undelor staționare de amplitudine finită - solitare și periodice. Undele solitare pentru ecuația KdV au ajuns să fie numite solitoni după lucru. Undele periodice se numesc unde cnoidale. Formulele corespunzătoare pentru descrierea lor sunt date în.

3.2. Formularea unei probleme diferențiale În această lucrare, studiem soluția numerică a problemei Cauchy pentru ecuația Korteweg-de Vries cu condiții periodice în spațiu într-un dreptunghi Q T={(t, X):0< t< T, XÎ [0, l].

ut+ ii x +bși xxx = 0(3.2)

u(x,t)| x=0 =u(x,t)| x=l(3.3)

cu starea initiala

u(x,t)| t=0 =u 0 (x) (3,4)

4. Proprietăţile ecuaţiei Korteweg - de Vries

4.1. Scurtă recenzie rezultate pe ecuația KdV. Problema Cauchy pentru ecuația KdV sub diferite ipoteze despre u 0 (X) luate în considerare în multe lucrări. Problema existenței și unicității unei soluții cu condiții de periodicitate ca condiții la limită a fost rezolvată în această lucrare folosind metoda diferențelor finite. Mai târziu, sub ipoteze mai puțin puternice, existența și unicitatea au fost dovedite în articol în spațiul L ¥ (0,T,H s (R ​​​​1)), unde s>3/2, iar în cazul unei probleme periodice , în spațiul L ¥ (0 ,T,H ¥ (C)) unde C este un cerc de lungime egal cu perioada, în rusă aceste rezultate sunt prezentate în carte.

Marinarii cunosc de mult valuri solitare de mare altitudine care distrug navele. Multă vreme s-a crezut că acest lucru se întâmplă doar în ocean deschis. Cu toate acestea, date recente sugerează că valurile ucigașe solitare (până la 20-30 de metri înălțime) sau solitonii (din engleză solitar - „solitary”) pot apărea și în zonele de coastă. Incidentul de la Birmingham Eram la aproximativ 100 de mile sud-vest de Durban în drum spre Cape Town. Croaziera mergea repede și aproape fără să se rostogolească, întâlnind valuri moderate de vânt și vânt, când deodată am căzut într-o groapă și ne-am repezit în jos pentru a întâlni valul următor, care a trecut prin primele turnulețe de tun și a lovit podul deschis al căpitanului nostru. Am fost doborât și, la o înălțime de 10 metri deasupra nivelului mării, m-am trezit într-un strat de apă de jumătate de metru. Nava a suferit o asemenea lovitură, încât mulți au crezut că suntem torpilați. Căpitanul a încetinit imediat, dar această precauție s-a dovedit a fi în zadar, deoarece au fost restabilite condiții moderate de navigație și nu au mai apărut „gropi”. Acesta este un incident care s-a întâmplat noaptea cu o navă întunecată. a fost una dintre cele mai interesante de pe mare. Cred cu ușurință că o navă încărcată în astfel de circumstanțe se poate scufunda. Așa descrie un ofițer britanic de la crucișătorul Birmingham-. o întâlnire neașteptată cu un singur val catastrofal. Această poveste a avut loc în timpul celui de-al Doilea Război Mondial, așa că reacția echipajului, care a decis că crucișătorul a fost torpilat, este de înțeles. Un incident similar cu vaporul Huarita în 1909 nu s-a încheiat atât de bine. Acesta a transportat 211 pasageri și echipaj. Toți au murit. Astfel de valuri unice care apar în mod neașteptat în ocean, de fapt, sunt numite valuri ucigașe sau solitoni. S-ar părea că. orice furtună poate fi numită ucigaș .. Într-adevăr, câte nave au murit în timpul furtunii și mor acum? Câți marinari și-au găsit ultimul loc de odihnă în adâncurile mării furioase? Și totuși valurile. rezultate din furtunile maritime și chiar uraganele nu sunt numite „ucigași”. Se crede că o întâlnire cu un soliton este cel mai probabil în largul coastei de sud a Africii. La transport rute maritime datorită Canalului Suez s-au schimbat și navele au încetat să navigheze în jurul Africii, numărul de întâlniri cu valuri ucigașe a scăzut. Cu toate acestea, deja după cel de-al doilea război mondial, din 1947, timp de aproximativ 12 ani, nave foarte mari, Bosfontein, s-au întâlnit cu solitoni. „Giasterkerk”, „Orinfontein” și „Jacherefontein”, fără a număra instanțele locale mai mici. În timpul războiului arabo-israelian, Canalul Suez a fost practic închis, iar mișcarea navelor în jurul Africii a devenit din nou intensă. De la o întâlnire cu un val ucigaș din iunie 1968, supertancul World Glory cu o deplasare de peste 28 de mii de tone a murit. Cisterna a primit un avertisment de furtună, iar când s-a apropiat furtuna, totul s-a desfășurat conform instrucțiunilor. Nu se aștepta nimic rău. Dar printre valurile obișnuite de vânt, care nu reprezentau un pericol grav. a apărut brusc Val urias aproximativ 20 de metri înălțime cu un front foarte abrupt. Ea ridică tancul astfel încât mijlocul său să se sprijine pe val, iar prova și pupa erau în aer. Cisterna a fost încărcată cu țiței și s-a rupt în jumătate sub propria greutate. Aceste jumătăți au rămas plutitoare o vreme, dar după patru ore tancul s-a scufundat pe fund. Adevărat, majoritatea echipajului a reușit să fie salvat. În anii 70, „atacurile” valuri ucigașe asupra navelor au continuat. În august 1973, Neptune Sapphire, navigând din Europa către Japonia, la 15 mile de Capul Hermis, cu un vânt de aproximativ 20 de metri pe secundă, a experimentat o lovitură neașteptată de la un val solitar care venise de nicăieri. Lovitura a fost atât de puternică, încât prova navei, lungă de aproximativ 60 de metri, s-a desprins din carenă! Nava „Neptune Sapphire” a avut cel mai avansat design pentru acei ani. Cu toate acestea, întâlnirea cu valul criminal s-a dovedit a fi fatală pentru el. Au fost descrise destul de multe astfel de cazuri. Desigur, nu numai navele mari, pe care există posibilități de salvare a echipajului, se încadrează în lista cumplită a dezastrelor. Întâlnirea cu valuri ucigașe pentru ambarcațiunile mici se termină adesea mult mai tragic. Astfel de nave nu numai că experimentează cea mai puternică lovitură. capabile să le distrugă, dar pe o margine abruptă, valurile se pot răsturna cu ușurință. Se întâmplă atât de repede încât este imposibil să te bazezi pe mântuire. Acesta nu este un tsunami. Ce sunt aceste valuri ucigașe? Primul gând care vine în minte unui cititor informat este un tsunami. După „raidul” catastrofal al undelor gravitaționale de pe coasta de sud-est a Asiei, mulți își imaginează tsunami-ul ca pe un zid de apă ciudat cu un front abrupt, căzând pe țărm și spălând case și oameni. Într-adevăr, tsunami-urile sunt capabile de multe. După apariția acestui val în apropierea Kurilelor de nord, hidrografii, studiind consecințele, au descoperit o barcă de dimensiuni decente, aruncată peste dealurile de pe coastă în interiorul insulei. Adică, energia tsunami-ului este pur și simplu uimitoare. Totuși, este vorba despre tsunami care „atacă” coasta. Tradus în rusă, termenul „tsunami” înseamnă „val mare în port”. Este foarte greu să-l găsești în ocean. Acolo, înălțimea acestui val nu depășește de obicei un metru, iar dimensiunile medii, tipice, sunt de zeci de centimetri. Și panta este extrem de mică, deoarece la o astfel de înălțime lungimea sa este de câțiva kilometri. Așadar, este aproape imposibil să detectezi un tsunami pe fundalul valurilor de vânt sau al umflăturii. Atunci de ce, atunci când „atacă” un țărm, tsunamiurile devin atât de înspăimântătoare? Cert este că acest val, datorită lungimii sale mari, pune apa în mișcare pe toată adâncimea oceanului. Și când ajunge în zone relativ puțin adânci în timpul răspândirii sale, toată această masă colosală de apă se ridică din adâncuri. Așa se face că un val „inofensiv” în oceanul deschis devine distructiv pe coastă. Deci valurile ucigașe nu sunt tsunami. De fapt, solitonii sunt un fenomen neobișnuit și puțin studiat. Se numesc valuri, deși de fapt sunt altceva. Pentru apariția solitonilor, desigur, este nevoie de un impuls inițial, un impact, altfel de unde va veni energia, dar nu numai. Spre deosebire de undele convenționale, solitonii se propagă pe distanțe lungi cu o disipare de energie foarte mică. Acesta este un mister care nu a fost încă explorat. Solitonii practic nu interacționează între ei. De regulă, se propagă la viteze diferite. Desigur, se poate întâmpla ca un soliton să-l ajungă din urmă pe celălalt și apoi să fie rezumați în înălțime, dar apoi să se împrăștie din nou pe căile lor. Desigur, adăugarea de solitoni este un eveniment rar. Dar există un alt motiv pentru creșterea bruscă a abruptului și înălțimii lor. Acest motiv sunt marginile subacvatice prin care „fuge” solitonul. În același timp, energia se reflectă în partea subacvatică, iar valul, așa cum ar fi, „stropește” în sus. O situație similară a fost studiată pe modele fizice de un grup științific internațional. Pe baza acestor studii, pot fi stabilite rute de nave mai sigure. Dar există încă mult mai multe mistere decât trăsături studiate, iar misterul undelor ucigașe îi așteaptă încă pe cercetătorii săi. Deosebit de misterioși sunt solitonii din interiorul apelor mării, pe așa-numitul „strat de salt de densitate”. Acești solitoni pot duce (sau au dus deja) la dezastre submarine.