Ce este o funcție periodică? Proprietățile funcțiilor periodice. Exemple de funcții periodice și graficele acestora

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări slide-uri:

Algebra și începuturile analizei, clasa a 10-a ( nivel de profil) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Profesor Volkova S.E.

Definiția 1 O funcție y = f (x), x ∈ X se spune că are perioada T dacă pentru orice x ∈ X egalitatea f (x - T) = f (x) = f (x + T) este adevărată. Dacă o funcție cu o perioadă T este definită într-un punct x, atunci este definită și în punctele x + T, x - T. Orice funcție are o perioadă, zero la T \u003d 0 obținem f (x - 0) \u003d f (x) \u003d f (x + 0) .

Definiția 2 O funcție care are o perioadă T diferită de zero se numește periodică. Dacă o funcție y = f (x), x ∈ X, are o perioadă T, atunci orice multiplu al lui T (adică un număr de forma kT, k ∈ Z) este și perioada sa.

Demonstrație Fie 2T perioada funcției. Atunci f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). În mod similar, se demonstrează că f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), etc. Deci f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Cea mai mică perioadă dintre perioadele pozitive ale unei funcții periodice se numește perioada principală a acestei funcții.

Caracteristicile graficului unei funcții periodice Dacă T este perioada principală a funcției y \u003d f (x), atunci este suficient: să construiți o ramură a graficului pe unul dintre intervalele de lungime T, să efectuați o paralelă transferul acestei ramuri de-a lungul axei x cu ±T, ±2T, ±3T etc. De obicei alegeți un decalaj cu capete în puncte

Proprietăți funcții periodice 1. Dacă f(x) este o funcție periodică cu perioada T, atunci funcția g(x) = A f(kx + b), unde k > 0, este și ea periodică cu perioada T 1 = T/k. 2. Fie ca funcția f 1 (x) și f 2 (x) să fie definită pe toată axa reală și să fie periodică cu perioadele T 1 > 0 și T 2 >0. Atunci, pentru T 1 /T 2 ∈ Q, funcția f(x) = f(x) + f 2 (x) este o funcție periodică cu perioada T egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor T 1 și T 2 .

Exemple 1. Funcția periodică y = f(x) este definită pentru toate numerele reale. Perioada sa este 3 și f(0) =4 . Aflați valoarea expresiei 2f(3) - f(-3). Soluţie. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Înlocuirea valorilor obținute în expresia 2f (3) - f(-3) , obținem 8 - 4 =4 . Raspuns: 4.

Exemple 2. Funcția periodică y = f(x) este definită pentru toate numerele reale. Perioada sa este 5 și f(-1) = 1. Aflați f(-12) dacă 2f(3) - 5f(9) = 9. Soluție T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Răspuns: 7.

Referințe A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra și începuturile analizei (nivel de profil), clasa a 10-a A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebră și începuturi de analiză (nivel de profil), Clasa a 10-a. Trusa de instrumente pentru profesor

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Legea periodică și sistemul periodic D.I. Mendeleev.

O lecție generală pe această temă se desfășoară sub forma unui joc, folosind elemente ale tehnologiei atelierelor pedagogice....

Eveniment extracurricular „Legea periodică și sistemul periodic al elementelor chimice ale lui D.I. Mendeleev”

Un eveniment extracurricular dezvăluie istoria creării legii periodice și a sistemului periodic al D.I. Mendeleev. Informațiile sunt prezentate în formă poetică, care contribuie memorare rapidă m...

Aplicație la evenimentul extracurricular „Legea periodică și tabelul periodic al elementelor chimice de D.I. Mendeleev”

Descoperirea legii a fost precedată de o lungă și intensă munca stiintifica DI. Mendeleev timp de 15 ani, iar alți 25 de ani au fost date pentru aprofundarea sa în continuare ....

Scop: generalizarea și sistematizarea cunoștințelor elevilor pe tema „Periodicitatea funcțiilor”; să formeze abilități în aplicarea proprietăților unei funcții periodice, găsirea celei mai mici perioade pozitive a unei funcții, trasarea funcțiilor periodice; promovarea interesului pentru studiul matematicii; cultivați observația, acuratețea.

Echipamente: computer, proiector multimedia, carduri de sarcini, diapozitive, ceasuri, mese ornamentale, elemente de meșteșuguri populare

„Matematica este ceea ce oamenii folosesc pentru a controla natura și pe ei înșiși”
UN. Kolmogorov

În timpul orelor

I. Etapa organizatorică.

Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Prezentarea temei și a obiectivelor lecției.

II. Verificarea temelor.

Verificăm temele în funcție de mostre, discutăm cele mai dificile puncte.

III. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor.

1. Lucru frontal oral.

Întrebări de teorie.

1) Formează definiția perioadei funcției
2) Care este cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=sin(x), y=cos(x)
3). Care este cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=tg(x), y=ctg(x)
4) Folosiți cercul pentru a demonstra corectitudinea relațiilor:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Cum se trasează o funcție periodică?

exerciții orale.

1) Demonstrați următoarele relații

A) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Demonstrați că unghiul de 540º este una dintre perioadele funcției y= cos(2x)

3. Demonstrați că unghiul de 360º este una dintre perioadele funcției y=tg(x)

4. Transformați aceste expresii astfel încât unghiurile incluse în ele să nu depășească 90º în valoare absolută.

A) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Unde te-ai întâlnit cu cuvintele PERIOADĂ, PERIODICITATE?

Răspunsurile elevilor: O perioadă în muzică este o construcție în care este enunțată o gândire muzicală mai mult sau mai puțin completă. Perioada geologică face parte dintr-o eră și este împărțită în epoci cu o perioadă cuprinsă între 35 și 90 de milioane de ani.

Timpul de înjumătățire al unei substanțe radioactive. Fracție periodică. Periodicele sunt publicații tipărite care apar la date strict definite. Sistem periodic Mendeleev.

6. Figurile prezintă părți din graficele funcțiilor periodice. Definiți perioada funcției. Determinați perioada funcției.

Răspuns: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Unde în viața ta te-ai întâlnit cu construcția de elemente care se repetă?

Elevii răspund: Elemente de ornamente, artă populară.

IV. Rezolvarea colectivă a problemelor.

(Rezolvarea problemelor pe diapozitive.)

Să luăm în considerare una dintre modalitățile de a studia o funcție pentru periodicitate.

Această metodă ocolește dificultățile asociate cu demonstrarea că una sau alta perioadă este cea mai mică și, de asemenea, nu este nevoie să abordăm întrebări despre operațiile aritmetice asupra funcțiilor periodice și despre periodicitatea unei funcții complexe. Raționamentul se bazează doar pe definiția unei funcții periodice și pe următorul fapt: dacă T este perioada funcției, atunci nT(n? 0) este perioada acesteia.

Problema 1. Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcției f(x)=1+3(x+q>5)

Soluție: Să presupunem că perioada T a acestei funcții. Atunci f(x+T)=f(x) pentru toate x ∈ D(f), adică.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Fie x=-0,25 obținem

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Am obținut că toate perioadele funcției considerate (dacă există) sunt între numere întregi. Alegeți dintre aceste numere cel mai mic număr pozitiv. aceasta 1 . Să verificăm dacă este de fapt o perioadă 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Deoarece (T+1)=(T) pentru orice T, atunci f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), adică. 1 - perioada f. Deoarece 1 este cel mai mic dintre toate numerele întregi numere pozitive, atunci T=1.

Sarcina 2. Arătați că funcția f(x)=cos 2 (x) este periodică și găsiți perioada ei principală.

Sarcina 3. Găsiți perioada principală a funcției

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Să presupunem perioada T a funcției, apoi pentru oricare X raportul

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Dacă x=0 atunci

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Dacă x=-T, atunci

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Adăugând, obținem:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Să alegem dintre toate numerele „suspecte” pentru perioada cea mai mică pozitivă și să verificăm dacă este o perioadă pentru f. Acest număr

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Prin urmare, este perioada principală a funcției f.

Sarcina 4. Verificați dacă funcția f(x)=sin(x) este periodică

Fie T perioada funcției f. Apoi pentru orice x

sin|x+T|=sin|x|

Dacă x=0, atunci sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Presupune. Că pentru unele n numărul π n este o perioadă

funcția considerată π n>0. Atunci sin|π n+x|=sin|x|

Aceasta implică faptul că n trebuie să fie și par și impar în același timp, ceea ce este imposibil. De aceea funcţie dată nu este periodică.

Sarcina 5. Verificați dacă funcția este periodică

f(x)=

Fie T perioada f, atunci

, deci sinT=0, T=π n, n € Z. Să presupunem că pentru unele n numărul π n este într-adevăr perioada funcției date. Atunci numărul 2π n va fi și o perioadă

Deoarece numărătorii sunt egali, la fel și numitorii lor, deci

Prin urmare, funcția f nu este periodică.

Lucru de grup.

Sarcini pentru grupa 1.

Sarcini pentru grupa 2.

Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei principală (dacă există).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Sarcini pentru grupa 3.

La finalul lucrării, grupurile își prezintă soluțiile.

VI. Rezumând lecția.

Reflecţie.

Profesorul dă elevilor cartonașe cu desene și se oferă să picteze peste o parte a primului desen în funcție de măsura în care, după cum li se pare, ei au stăpânit metodele de studiere a funcției pentru periodicitate și, în parte, a celui de-al doilea desen. , în conformitate cu contribuția lor la lucrarea din lecție.

VII. Teme pentru acasă

unu). Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei principală (dacă există)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funcția y=f(x) are o perioadă T=2 și f(x)=x 2 +2x pentru x € [-2; 0]. Aflați valoarea expresiei -2f(-3)-4f(3,5)

Literatură/

Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei cu studiu aprofundat.
Matematica. Pregătirea pentru examen. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebră și analiză de început pentru clasele 10-11.

Cererea nr. 7

Instituție de învățământ municipală

in medie şcoală cuprinzătoare № 3

Profesor

Korotkov

Asya Edikovna

Kurganinsk

2008

CONŢINUT

Introducere ……………………………………………………… 2-3

Funcțiile periodice și proprietățile lor ……………. 4-6

Sarcini ……………………………………………………… 7-14

Introducere

De remarcat că problemele de periodicitate din literatura educațională și metodologică au o soartă dificilă. Acest lucru se explică printr-o tradiție ciudată - de a permite una sau alta neglijență în definirea funcțiilor periodice care duc la decizii controversate și provoacă incidente la examene.

De exemplu, în carte Dicţionar termeni matematici "- M, 1965, este dată următoarea definiție:" o funcție periodică - o funcție

y = f(x), pentru care există un număr t > 0, care pentru toate x și x + t din domeniul f(x + t) = f(x).

Să dăm un contra-exemplu care arată incorectitudinea acestei definiții. Conform acestei definiții, funcția este periodică cu perioada t = 2π

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 cu un domeniu limitat de definiție, ceea ce contrazice punctul de vedere general acceptat despre funcțiile periodice.

Probleme similare apar în multe dintre cele mai noi manuale alternative pentru școală.

Manualul lui A. N. Kolmogorov dă următoarea definiție: „Vorbind despre periodicitatea funcției f, se crede că există un astfel de număr T ≠ 0 încât domeniul definiției D (f) împreună cu fiecare punct x conține puncte care se obțin din x prin translație paralelă de-a lungul axei Ox (dreapta și stânga) cu o distanță T. Se numește funcția f periodic cu perioada T ≠ 0, dacă pentru oricare dintre domeniile de definiție valorile acestei funcții în punctele x, x - T, x + T sunt egale, adică. f (x + T) \u003d f (x) \u003d f (x - T) ". Mai departe în manual este scris: „Deoarece sinusul și cosinusul sunt definite pe întreaga dreaptă numerică și Sin (x + 2π) = Sin x,

Cos (x + 2π) \u003d Cos x pentru orice x, sinus și cosinus sunt perioada unei funcții cu o perioadă de 2π.

Din anumite motive, acest exemplu nu verifică ceea ce se cere în definiția condiției care

Sin (x - 2π) \u003d Sin x. Ce s-a întâmplat? Ideea este că această condiție este de prisos în definiție. Într-adevăr, dacă T > 0 este perioada funcției f(x), atunci T va fi și perioada acestei funcție.

Vreau să mai dau o definiție din manualul lui M.I. Bashmakov „Algebra și începutul analizei în 10-11 celule”. „Funcția y \u003d f (x) se numește periodică dacă există un astfel de număr T ≠ 0 încât egalitatea

f(x + T) = f(x) este valabil pentru toate valorile lui x.

Definiția de mai sus nu spune nimic despre domeniul de aplicare al funcției, deși înseamnă x din domeniul de aplicare al definiției, nu orice x real. Conform acestei definiții, funcția y \u003d Sin (√x) poate fi periodică 2 , definit doar pentru x ≥ 0, ceea ce nu este adevărat.

În examenul de stat unificat există sarcini pentru periodicitate. Într-un jurnal științific periodic, ca pregătire pentru secțiunea C a USE, a fost dată soluția problemei: „este funcția y (x) \u003d Sin 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) periodic?

Soluția arată că y (x - π) \u003d y (x) în răspuns - o intrare suplimentară

„T = π” (la urma urmei, nu se pune problema găsirii celei mai mici perioade pozitive). Este cu adevărat necesar să se efectueze o formare trigonometrică complexă pentru a rezolva această problemă? La urma urmei, aici vă puteți concentra pe conceptul de periodicitate, ca cheie în starea problemei.

Soluţie.

f1 (x) \u003d Sin x - o funcție periodică cu o perioadă T \u003d 2π

f2 (x) = Cos x este o funcție periodică cu perioada T = 2π, atunci 2π este o perioadă și pentru funcțiile f 3(x) = Sin(2+x) și f 4 (x) = Cos (2 + x), (aceasta rezultă din definiția periodicității)

f5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, perioada sa este orice număr, inclusiv 2π.

pentru că suma și produsul funcțiilor periodice cu o perioadă comună T este și T-periodic, atunci această funcție este periodică.

Sper că materialul prezentat în această lucrare va ajuta la pregătirea unui singur examen de statîn rezolvarea problemelor de periodicitate.

Funcții periodice și proprietățile lor

Definiție: o funcție f(t) se numește periodică dacă pentru orice t din domeniul de definire al acestei funcții D f există un număr ω ≠ 0 astfel încât:

1) numere (t ± ω) є D f ;

2) f(t + ω) = f(t).

1. Dacă numărul ω = perioada funcției f (t), atunci numărul kω, unde k = ±1, ±2, ±3, … sunt și perioadele funcției f(t).

EXEMPLU f(t) = Sint. Numărul T = 2π este cea mai mică perioadă pozitivă a acestei funcții. Fie T 1 = 4π. Să arătăm că T 1 este și perioada acestei funcții.

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.

Deci T 1 este perioada funcției f (t) = Sin t.

2. Dacă funcția f(t) - ω este o funcție periodică, atunci funcțiile f (at), unde a є R, și f (t + c), unde c este o constantă arbitrară, sunt și ele periodice.

Aflați perioada funcției f(аt).

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), adică. f (аt) = f (а(t + ω/а).

Prin urmare, perioada funcției f(аt) – ω 1 = ω/а.

EXEMPLU 1. Aflați perioada funcției y = Sin t/2.

Exemplul 2. Aflați perioada funcției y \u003d Sin (t + π / 3).

Fie f(t) = Sin t; y 0 \u003d Sin (t 0 + π / 3).

Atunci funcția f(t) = Sin t va lua și valoarea y 0 pentru t = t 0 + π/3.

Acestea. toate valorile pe care le ia funcția y sunt luate și de funcția f(t). Dacă t este interpretat ca timp, atunci fiecare valoare a lui y 0 funcția y \u003d Sin (t + π / 3) este luată cu π / 3 unități de timp mai devreme decât funcția f (t) "deplasare" la stânga cu π / 3. Evident, perioada funcției nu se va schimba de la aceasta, adică. T y \u003d T 1.

3. Dacă F(x) este o funcție și f(t) este o funcție periodică și astfel încât f(t) aparține domeniului funcției F(x) – D F , atunci funcția F(f (t)) este o funcție periodică.

Fie F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) pentru orice t є D f.

EXEMPLU Investigați funcția pentru periodicitate: F(x) = ℓ sin x .

Scopul acestei funcții D f coincide cu multimea numerelor reale R. f (x) = Sin x.

Setul de valori ale acestei funcții este [-1; unu]. pentru că segmentul [-1; 1] aparține lui D f , atunci funcția F(x) este periodică.

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).

2 π este perioada acestei funcții.

4. Dacă funcţiile f 1 (t) şi f 2 (t) periodic, respectiv, cu perioade ω 1 și ω 2 și ω 1 / ω 2 = r, unde r este un număr rațional, apoi funcțiile

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) și f 1 (t) f 2 (t) sunt periodice (~ 1 și C 2 sunt constante).

Notă: 1) Dacă r = ω 1 /ω 2 = p/q, deoarece r este un număr rațional, atunci

ω 1 q = ω 2 p = ω, unde ω este cel mai mic multiplu comun al numerelor ω 1 şi ω2 (LCM).

Luați în considerare funcția C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).

Într-adevăr, ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - perioada acestei funcții

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t).

2) ω este perioada funcției f 1 (t) f 2 (t), deoarece

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω \u003d f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t \u003d ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t).

Definiție: Fie f 1 (t) și f (t) sunt funcții periodice cu perioade, respectiv ω 1 și ω 2 , atunci se spune că două perioade sunt comparabile dacăω 1 / ω 2 = r este un număr rațional.

3) Dacă perioadele ω 1 și ω 2 nu sunt comensurabile, atunci funcțiile f 1 (t) + f 2 (t) și

f 1 (t) f 2 (t) nu sunt periodice. Adică dacă f 1 (t) și f 2 (t) sunt diferite de o constantă, periodică, continuă, perioadele lor nu sunt proporționale, atunci f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) nu sunt periodice.

4) Fie f(t) = С, unde С este o constantă arbitrară. Această funcție este periodică. Perioada sa este orice număr rațional, ceea ce înseamnă că nu are cea mai mică perioadă pozitivă.

5) Afirmația este valabilă și pentru Mai mult funcții.

Exemplul 1. Investigați periodicitatea funcției

F(x) = Sin x + Cos x.

Soluţie. Fie f 1 (x) = Sin x, apoi ω 1 = 2πk, unde k є Z.

T 1 = 2π este cea mai mică perioadă pozitivă.

f 2 (x) \u003d Cos x, T 2 \u003d 2π.

Raportul T1/T2 = 2π/2π = 1 este un număr rațional, adică. perioade de funcții f 1 (x) și f 2 (x) sunt proporționale. Deci această funcție este periodică. Să-i găsim perioada. Prin definiția unei funcții periodice, avem

Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

Sin (x + T) - Sin x \u003d Cos x - Cos (x + T),

2 Cos 2x + π / 2 Sin T / 2 \u003d 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,

Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) \u003d 0,

√2 Sin T / 2 Sin (π / 4 - T + 2x / 2) \u003d 0, prin urmare,

Sin T/2 = 0, apoi T = 2πk.

pentru că (х ± 2πk) є D f , unde f(x) = Sin x + Cos x,

f(х + t) = f(х), atunci funcția f(х) este periodică cu cea mai mică perioadă pozitivă 2π.

Exemplul 2. Este funcția periodică f (x) \u003d Cos 2x Sin x, care este perioada ei?

Soluţie. Fie f 1 (x) \u003d Cos 2x, apoi T 1 \u003d 2π: 2 \u003d π (vezi 2)

Fie f 2 (x) = Sin x, apoi T 2 = 2π. pentru că π/2π = ½ este un număr rațional, atunci această funcție este periodică. Perioada sa T = LCM

(π, 2π) = 2π.

Deci, această funcție este periodică cu o perioadă de 2π.

5. Fie funcția f(t), care nu este identic egală cu o constantă, continuă și periodică, atunci are cea mai mică perioadă pozitivă ω 0 , orice altă perioadă a lui ω are forma: ω= kω 0 , unde k є Z.

Notă: 1) Două condiții sunt foarte importante în această proprietate:

f(t) este continuă, f(t) ≠ C, unde C este o constantă.

2) Afirmație inversă neadevarat. Adică, dacă toate perioadele sunt comensurabile, atunci nu rezultă din aceasta că există cea mai mică perioadă pozitivă. Acestea. o funcție periodică poate să nu aibă cea mai mică perioadă pozitivă.

EXEMPLUL 1. f(t) = C, periodic. Perioada sa este orice număr real, nu există cea mai mică perioadă.

Exemplul 2. Funcția Dirichlet:

D(x) =

Orice număr rațional este perioada lui, nu există cea mai mică perioadă pozitivă.

6. Dacă f(t) este o funcție periodică continuă și ω 0 este cea mai mică perioadă pozitivă a acesteia, atunci funcția f(αt + β) are cea mai mică perioadă pozitivă ω 0 /‌‌/α/. Această afirmație rezultă din punctul 2.

Exemplul 1. Găsiți perioada funcției y \u003d Sin (2x - 5).

Soluţie. y \u003d Sin (2x - 5) \u003d Sin (2 (x - 5/2)).

Graficul funcției y se obține din graficul funcției Sin x, mai întâi prin „comprimare” de două ori, apoi prin „deplasare” la dreapta cu 2,5. „Deplasarea nu afectează periodicitatea, T = π este perioada acestei funcții.

Este ușor să obțineți perioada acestei funcții folosind proprietatea articolului 6:

T \u003d 2π / 2 \u003d π.

7. Dacă f (t) - ω este o funcție periodică și are o derivată continuă f "(t), atunci f" (t) este, de asemenea, o funcție periodică, T \u003d ω

EXEMPLUL 1. f(t) = Sin t, T = 2πk. Derivata sa f "(t) = Cos t

F "(t) \u003d Cos t, T \u003d 2πk, k є Z.

EXEMPLUL 2. f(t) = Cos t, T = 2πk. Derivatul său

F "(t) \u003d - Sin t, T \u003d 2πk, k є Z.

Exemplul 3. f(t) =tg t, perioada sa este Т = πk.

F "(t) \u003d 1 / Cos 2 t este și periodic după elementul de proprietate 7 și are perioada T = πk. Cea mai mică perioadă pozitivă este T = π.

SARCINI.

№ 1

Este funcția f(t) = Sin t + Sin πt periodică?

Soluţie. Pentru comparație, rezolvăm această problemă în două moduri.

În primul rând, prin definiția unei funcții periodice. Să presupunem că f(t) este periodic, atunci pentru orice t є D f avem:

Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

Sin (t + T) - Sin t \u003d Sin πt - Sin π (t + T),

2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.

pentru că acest lucru este valabil pentru orice t є D f , atunci, în special, pentru t 0 , la care partea stângă a ultimei egalități dispare.

Atunci avem: 1) Cos 2t 0 + T/2 Sin T/2 = 0. Se rezolvă în raport cu T.

Sin Т/2 = 0 la Т = 2 πk, unde k є Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Rezolvați în raport cu Т.

Sin πТ/2 = 0, atunci Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, unde n є Z.

pentru că avem o identitate, atunci 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, care nu poate fi, deoarece π este un număr irațional, iar n/k este rațional. Adică, presupunerea noastră că funcția f(t) este periodică nu a fost corectă.

În al doilea rând, soluția este mult mai simplă dacă folosim proprietățile de mai sus ale funcțiilor periodice:

Fie f 1 (t) = Sin t, Т 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, Т 2 - 2π/π = 2. Apoi, Т 1 /Т 2 = 2π/2 = π este un număr irațional, adică. perioadele T 1, T2 nu sunt proporționale, deci f(t) nu este periodică.

Răspuns: nu.

№ 2

Arătați că dacă α este un număr irațional, atunci funcția

F(t) = Cos t + Cos αt

nu este periodică.

Soluţie. Fie f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.

Atunci perioadele lor sunt, respectiv, T 1 \u003d 2π, T 2 = 2π//α/ - cele mai mici perioade pozitive. Să găsim, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ este un număr irațional. Deci T 1 și T 2 sunt incomensurabile, iar funcția

f(t) nu este periodic.

№ 3

Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcției f(t) = Sin 5t.

Soluţie. După elementul de proprietate 2 avem:

f(t) este periodic; T = 2π/5.

Răspuns: 2π/5.

№ 4

Este F(x) = arccos x + arcsin x o funcție periodică?

Soluţie. Luați în considerare această funcție

F(x) \u003d arccos x + arcsin x \u003d π - arcsin x + arcsin x \u003d π,

acestea. F(x) este o funcție periodică (vezi elementul de proprietate 5, exemplul 1.).

Răspuns: da.

№ 5

Este o funcție periodică

F(x) \u003d Sin 2x + Cos 4x + 5?

soluţie. Fie f 1 (x) = Sin 2x, apoi T 1 = π;

F 2 (x) \u003d Cos 4x, apoi T 2 \u003d 2π / 4 \u003d π / 2;

F 3 (x) \u003d 5, T 3 - orice număr real, în special T 3 putem presupune egal cu T 1 sau T2 . Atunci perioada acestei funcții este T = LCM (π, π/2) = π. Adică f(x) este periodic cu perioada Т = π.

Răspuns: da.

№ 6

Este funcția f(x) = x - E(x) periodică, unde E(x) este o funcție care asociază argumentul x cu cel mai mic număr întreg care nu îl depășește pe cel dat.

Soluţie. Adesea funcția f (x) se notează cu (x) - partea fracțională a numărului x, adică.

F(x) \u003d (x) \u003d x - E (x).

Fie f(х) o funcție periodică, adică. există un număr T >0 astfel încât x - E(x) = x + T - E(x + T). Să scriem această ecuație

(x) + E(x) - E(x) = (x + T) + E(x + T) - E(x + T),

(x) + (x + T) - adevărat pentru orice x din domeniul D f, cu condiția ca T ≠ 0 și T є Z. Cel mai mic pozitiv dintre ele este T = 1, adică. T = 1 astfel încât

X + T - E (x + T) \u003d x - E (x),

În plus, (х ± Тk) є D f, unde k є Z.

Răspuns: Această funcție este periodică.

№ 7

Este funcția f(x) = Sin x periodică? 2 .

Soluţie. Să spunem f(x) = Sin x 2 functie periodica. Atunci, prin definiția unei funcții periodice, există un număr T ≠ 0 astfel încât: Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 pentru orice x є D f.

Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 \u003d 0,

2 Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0, atunci

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 = 0 sau Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 = 0.

Luați în considerare prima ecuație:

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d π (1 + 2 k) / 2 (k є Z),

T \u003d √ π (1 + 2 k) - x 2 - x. (unu)

Luați în considerare a doua ecuație:

Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X + T \u003d √- 2πk + x 2,

T \u003d √x 2 - 2πk - x. (2)

Din expresiile (1) și (2) se poate observa că valorile găsite ale lui T depind de x, adică. nu există T>0 astfel încât

Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2

Pentru orice x din domeniul acestei funcții. f(x) nu este periodic.

Răspuns: nu

№ 8

Investigați periodicitatea funcției f(x) = Cos 2 x.

Soluţie. Să reprezentăm f(x) prin formula cosinusului unghiului dublu

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.

Fie f 1 (x) = ½, apoi T 1 - poate fi orice număr real; f 2 (x) \u003d ½ Cos 2x este o funcție periodică, deoarece produsul a doua functii periodice avand perioada generala T 2 = pi. Apoi, cea mai mică perioadă pozitivă a acestei funcții

T \u003d LCM (T 1, T 2) \u003d π.

Deci, funcția f(x) = Cos 2 x – π – este periodic.

Răspuns: π este periodic.

№ 9

Poate fi domeniul unei funcții periodice:

A) semi-linia [a, ∞),

B) tăiat?

Soluţie. Nu, pentru că

A) prin definiția unei funcții periodice, dacă x є D f, atunci și x ± ω

Trebuie să aparțină domeniului de aplicare al funcției. Fie x = a, atunci

X 1 \u003d (a - ω) є [a, ∞);

B) fie x = 1, apoi x 1 \u003d (1 + T) є.

№ 10

Poate fi o funcție periodică:

A) strict monoton;

B) par;

B) nici măcar?

Soluţie. a) Fie f(x) o funcție periodică, adică. există T≠0 astfel încât pentru orice x din domeniul funcțiilor D f htsla

(x ± T) є D f și f (x ± T) \u003d f (x).

Remediați orice x 0 º D f , deoarece f(x) este periodic, atunci (x 0 + T) є D f și f (x 0) \u003d f (x 0 + T).

Să presupunem că f(x) este strict monoton și pe întregul domeniu al definiției D f , de exemplu, crește. Apoi, prin definiția unei funcții crescătoare pentru orice x 1 și x 2 din domeniul D f din inegalitatea x 1 2 rezultă că f(x 1 ) 2 ). În special, din condiția x 0 0 + T, rezultă că

F(x 0 ) 0 +T), ceea ce contrazice condiția.

Aceasta înseamnă că o funcție periodică nu poate fi strict monotonă.

b) Da, o funcție periodică poate fi pară. Să luăm câteva exemple.

F (x) \u003d Cos x, Cos x \u003d Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) este o funcție periodică pară.

0 dacă x este un număr rațional;

D(x) =

1 dacă x este un număr irațional.

D(x) = D(-x), domeniul funcției D(x) este simetric.

Funcția Direchlet D(x) este o funcție periodică pară.

f(x) = (x),

f (-x) \u003d -x - E (-x) \u003d (-x) ≠ (x).

Această funcție nu este chiar.

c) O funcție periodică poate fi impară.

f (x) \u003d Sin x, f (-x) \u003d Sin (-x) \u003d - Sin \u003d - f (x)

f(x) este o funcție periodică impară.

f (x) - Sin x Cos x, f (-x) \u003d Sin (-x) Cos (-x) \u003d - Sin x Cos x \u003d - f (x),

f(x) este impar și periodic.

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x) nu este impar.

f(х) = tg x este o funcție periodică impară.

Răspuns: nu; Da; Da.

№ 11

Câte zerouri poate avea o funcție periodică pe:

unu) ; 2) pe toată axa reală, dacă perioada funcției este egală cu T?

Rezolvare: 1. a) Pe segmentul [a, b], o funcție periodică poate să nu aibă zerouri, de exemplu, f(x) = C, C≠0; f (x) \u003d Cos x + 2.

b) Pe intervalul [a, b], o funcție periodică poate avea un număr infinit de zerouri, de exemplu, funcția Direchlet

0 dacă x este un număr rațional,

D(x) =

1 dacă x este un număr irațional.

c) Pe segmentul [a, b], o funcție periodică poate avea un număr finit de zerouri. Să găsim acest număr.

Fie T perioada funcției. Denota

X 0 = (min x є(a,b), astfel încât f(х) = 0).

Apoi numărul de zerouri de pe segmentul [a, b]: N = 1 + E (în x 0 /T).

Exemplul 1. x є [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 x este o funcție periodică cu perioada Т = π; X 0 = -π/2; apoi numărul de zerouri al funcției f(x) pe intervalul dat

N \u003d 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + E (8π / 2π) \u003d 5.

Exemplul 2. f (x) \u003d x - E (x), x є [-2; 8.5]. f(х) – funcție periodică, Т + 1,

x 0 = -2. Apoi numărul de zerouri al funcției f(x) pe segmentul dat

N \u003d 1 + E (8,5 - (-2) / 1) \u003d 1 + E (10,5 / 1) \u003d 1 + 10 \u003d 11.

Exemplul 3. f (x) \u003d Cos x, x є [-3π; π], T 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2.

Apoi numărul de zerouri ale acestei funcții pe un segment dat

N \u003d 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) \u003d 1 + E (7π / 2π) \u003d 1 + 3 \u003d 4.

2. a) Un număr infinit de zerouri, deoarece X 0 є D f și f(х 0 ) = 0, atunci pentru toate numerele

X 0 + Tk, unde k є Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) =0, iar punctele de forma x 0 ± Tk este o mulțime infinită;

b) nu au zerouri; dacă f(х) este periodică și pentru oricare

х є D f funcția f(x) >0 sau f(x)

F(x) \u003d Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;

F(x) \u003d Sin x - 8 + Cos x;

F(x) = Sin x Cos x + 5.

№ 12

Suma funcțiilor neperiodice poate fi periodică?

Soluţie. Da poate. De exemplu:

f1 (х) = х este neperiodic, f 2 (x) \u003d E (x) - neperiodic

F (x) \u003d f 1 (x) - f 2 (x) \u003d x - E (x) - periodic.

f1 (x) \u003d x - neperiodic, f (x) \u003d Sin x + x - neperiodic

F (x) \u003d f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x - periodic.

Răspuns: da.

№ 13

Funcția f(x) și φ(x) sunt periodice cu perioade T 1 și T 2 respectiv. Produsul lor este întotdeauna o funcție periodică?

Soluţie. Nu, doar dacă T 1 și T 2 - comparabil. De exemplu,

F(x) \u003d Sin x Sin πx, T 1 \u003d 2π, T 2 \u003d 2; apoi T1/T2 = 2π/2 = π este un număr irațional, deci f(x) nu este periodic.

f (x) \u003d (x) Cos x \u003d (x - E (x)) Cos x. Fie f 1 (x) \u003d x - E (x), T 1 \u003d 1;

f 2 (x) \u003d Cos (x), T 2 \u003d 2π. T2/T1 = 2π/1 = 2π, deci f(x) nu este periodic.

Răspuns: Nu.

Sarcini pentru soluție independentă

Care dintre funcții sunt periodice, găsiți perioada?

1. f (x) \u003d Sin 2x, 10. f (x) \u003d Sin x / 2 + tg x,

2. f (x) \u003d Cos x / 2, 11. f (x) \u003d Sin 3x + Cos 4x,

3. f (x) \u003d tg 3x, 12. f (x) \u003d Sin 2 x+1,

4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,

5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,

6. f (x) \u003d ctg x / 3, 15. f (x) \u003d x 2 - E (x 2),

7. f (x) \u003d Sin (3x - π / 4), 16. f (x) \u003d (x - E (x)) 2 ,

8. f (x) \u003d Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) \u003d 2 x - E (x),

9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1 dacă n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

Fie f(x) - T o funcție periodică. Care dintre funcții sunt periodice (găsiți T)?

φ(х) = f(х + λ) este periodică, deoarece „deplasarea” de-a lungul axei Ox nu afectează ω; perioada sa ω = T.
φ(х) = а f(х + λ) + в este o funcție periodică cu perioada ω = Т.
φ(x) = f(kx) este o funcție periodică cu perioada ω = T/k.
φ(x) \u003d f (ax + b) - o funcție periodică cu o perioadă ω \u003d T / a.
φ(x) = f(√x) nu este periodic, deoarece domeniul său de definiție Dφ = (x/x ≥ 0), în timp ce domeniul de definiție al unei funcții periodice nu poate fi o semiaxă.
φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) este o funcție periodică, deoarece

φ (x + T) \u003d f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 \u003d φ (x), ω \u003d T.

φ (x) \u003d a f 2 (x) + în f (x) + c.

Fie φ 1 (x) = a f 2 (x) - periodic, ω 1 = t/2;

φ 2 (х) = în f(х) – periodic, ω 2=T/T=T;

φ 3 (х) = с – periodic, ω 3 - orice număr;

atunci ω = LCM(Т/2; Т) = Т, φ(х) este periodic.

Altfel, pentru că Domeniul de definire al acestei funcții este întreaga linie numerică, apoi setul de valori ale funcției f - E f є D φ , deci funcția

φ(х) este periodic și ω = Т.

φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0.

φ(х) este periodic cu perioada ω = Т, deoarece pentru orice x, funcția f(x) ia valorile f(x) ≥ 0, adică. setul său de valori E f є D φ , unde

D φ este domeniul de definire al funcției φ(z) = √z.

№ 15

Este funcția f(x) = x 2 periodice?

Soluţie. Se consideră x ≥ 0, atunci pentru f(x) există o funcție inversă √x, ceea ce înseamnă că pe acest interval f(x) - funcţie monotonă, atunci nu poate fi periodic (vezi Nr. 10).

№ 16

Dat un polinom P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.

Este P(x) o funcție periodică?

Soluţie. 1. Dacă identitatea este constantă, atunci P(x) este o funcție periodică, adică. în cazul în care un i = 0, unde i ≥ 1.

2. Fie P(x) ≠ c, unde c este o constantă. Fie P(x) o funcție periodică, iar P(x) are rădăcini reale, atunci din moment ce P(x) este o funcție periodică, atunci trebuie să existe un număr infinit de ele. Și conform teoremei fundamentale a algebrei, numărul lor k este astfel încât k ≤ n. Deci P(x) nu este o funcție periodică.

3. Fie P(x) un polinom care este identic diferit de zero și nu are rădăcini reale. Să presupunem că P(x) este o funcție periodică. Introducem polinomul q(x) = a 0 , q(х) este o funcție periodică. Se consideră diferența P(x) - q(x) = a 1 x 2 + ... + a n x n.

pentru că există o funcție periodică în partea stângă a egalității, apoi funcția din partea dreaptă este, de asemenea, periodică, în plus, are cel puțin o rădăcină reală, x \u003d 0. Dacă funcția este periodică, atunci trebuie să existe un număr infinit de zerouri. Avem o contradicție.

P(x) nu este o funcție periodică.

№ 17

Funcția f(t) – T este periodică. Este funcția f la (t), unde

k є Z, o funcție periodică, cum sunt legate perioadele lor?

Soluţie. Demonstrarea se va realiza prin metoda funcției matematice. Lăsa

f 1 = f(t), atunci f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),

F 3 \u003d f 3 (t) \u003d f (t) f 2 este o funcție periodică conform proprietății articolului 4.

………………………………………………………………………….

Fie f k-1 = f k-1 (t) este o funcție periodică și perioada sa Т k-1 proporțional cu perioada T. Înmulțim ambele părți ale ultimei egalități cu f(t), obținem f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F la = f la (t) este o funcție periodică după elementul de proprietate 4. ω ≤ Т.

№ 18

Fie f(x) o funcție arbitrară definită la . Este funcția f((x)) periodică?

A n e t: da, pentru că setul de valori ale funcției (x) aparține domeniului de definire a funcției f(x), apoi, după elementul de proprietate 3, f((x)) este o funcție periodică, perioada sa ω = T = 1.

№ 19

F(x) este o funcție arbitrară definită pe [-1; 1], funcția f(sinx) este periodică?

Răspuns: da, perioada sa este ω = T = 2π (dovada este similară cu #18).

Echipamente: computer, proiector multimedia, carduri de sarcini, diapozitive, ceasuri, mese ornamentale, elemente de meșteșuguri populare

„Matematica este ceea ce oamenii folosesc pentru a controla natura și pe ei înșiși”
UN. Kolmogorov

În timpul orelor

I. Etapa organizatorică.

Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Prezentarea temei și a obiectivelor lecției.

II. Verificarea temelor.

Verificăm temele în funcție de mostre, discutăm cele mai dificile puncte.

III. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor.

1. Lucru frontal oral.

Întrebări de teorie.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Cum se trasează o funcție periodică?

exerciții orale.

1) Demonstrați următoarele relații

A) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Demonstrați că unghiul de 540º este una dintre perioadele funcției y= cos(2x)

3. Demonstrați că unghiul de 360º este una dintre perioadele funcției y=tg(x)

4. Transformați aceste expresii astfel încât unghiurile incluse în ele să nu depășească 90º în valoare absolută.

A) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Unde te-ai întâlnit cu cuvintele PERIOADĂ, PERIODICITATE?

Timpul de înjumătățire al unei substanțe radioactive. Fracție periodică. Periodicele sunt publicații tipărite care apar la date strict definite. Sistemul periodic al lui Mendeleev.

6. Figurile prezintă părți din graficele funcțiilor periodice. Definiți perioada funcției. Determinați perioada funcției.

Răspuns: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Unde în viața ta te-ai întâlnit cu construcția de elemente care se repetă?

Elevii răspund: Elemente de ornamente, artă populară.

IV. Rezolvarea colectivă a problemelor.

(Rezolvarea problemelor pe diapozitive.)

Să luăm în considerare una dintre modalitățile de a studia o funcție pentru periodicitate.

Problema 1. Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcției f(x)=1+3(x+q>5)

Soluție: Să presupunem că perioada T a acestei funcții. Atunci f(x+T)=f(x) pentru toate x ∈ D(f), adică.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Fie x=-0,25 obținem

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Deoarece (T+1)=(T) pentru orice T, atunci f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), adică. 1 - perioada f. Deoarece 1 este cel mai mic dintre toate numerele întregi pozitive, atunci T=1.

Sarcina 2. Arătați că funcția f(x)=cos 2 (x) este periodică și găsiți perioada ei principală.

Sarcina 3. Găsiți perioada principală a funcției

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Să presupunem perioada T a funcției, apoi pentru oricare X raportul

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Dacă x=0 atunci

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Dacă x=-T, atunci

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Adăugând, obținem:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Să alegem dintre toate numerele „suspecte” pentru perioada cea mai mică pozitivă și să verificăm dacă este o perioadă pentru f. Acest număr

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Prin urmare, este perioada principală a funcției f.

Sarcina 4. Verificați dacă funcția f(x)=sin(x) este periodică

Fie T perioada funcției f. Apoi pentru orice x

sin|x+T|=sin|x|

Dacă x=0, atunci sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Presupune. Că pentru unele n numărul π n este o perioadă

funcția considerată π n>0. Atunci sin|π n+x|=sin|x|

Aceasta implică faptul că n trebuie să fie și par și impar în același timp, ceea ce este imposibil. Prin urmare, această funcție nu este periodică.

Sarcina 5. Verificați dacă funcția este periodică

f(x)=

Fie T perioada f, atunci

, deci sinT=0, T=π n, n € Z. Să presupunem că pentru unele n numărul π n este într-adevăr perioada funcției date. Atunci numărul 2π n va fi și o perioadă

Deoarece numărătorii sunt egali, la fel și numitorii lor, deci

Prin urmare, funcția f nu este periodică.

Lucru de grup.

Sarcini pentru grupa 1.

Sarcini pentru grupa 2.

Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei principală (dacă există).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Sarcini pentru grupa 3.

La finalul lucrării, grupurile își prezintă soluțiile.

VI. Rezumând lecția.

Reflecţie.

VII. Teme pentru acasă

unu). Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei principală (dacă există)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funcția y=f(x) are o perioadă T=2 și f(x)=x 2 +2x pentru x € [-2; 0]. Aflați valoarea expresiei -2f(-3)-4f(3,5)

Literatură/

Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei cu studiu aprofundat.
Matematica. Pregătirea pentru examen. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebră și analiză de început pentru clasele 10-11.

ANALIZA ARMONICĂ

Introducere.

Dezvoltare modernă tehnologia impune exigențe mari asupra pregătirii matematice a inginerilor. Ca urmare a formulării și studiului unui număr de probleme specifice din mecanică și fizică, a apărut teoria serielor trigonometrice. Seriile Fourier joacă cel mai important rol în toate domeniile tehnologiei bazate pe teoria oscilațiilor și teoria analizei spectrale. De exemplu, în sistemele de transmisie de date pentru a descrie semnale uz practic reprezentările spectrale conduce invariabil la necesitatea implementării experimentale a expansiunii Fourier. Rolul seriilor trigonometrice în inginerie electrică este deosebit de mare în studiul curenților periodici nesinusoidali: spectrul de amplitudine al funcției se găsește folosind seria Fourier în formă complexă. Integrala Fourier este folosită pentru a reprezenta procese neperiodice.

Seriile trigonometrice au aplicații importante în numeroase ramuri ale matematicii și oferă metode deosebit de convenabile pentru rezolvarea problemelor dificile din fizica matematică, cum ar fi vibrația unei coarde și propagarea căldurii într-o tijă.

Funcții periodice.

Multe probleme ale științei și tehnologiei sunt asociate cu funcții periodice care reflectă procese ciclice.

Definiția 1. Fenomenele periodice se numesc fenomene care se repetă în aceeași succesiune și în aceeași formă la anumite intervale ale argumentului.

Exemplu. În analiza spectrală – spectre.

Definiția 2. Funcţie la = f(X) se numește periodic cu punct T, dacă f(x + T) = f(X) pentru toți Xși x + T din sfera funcției.

În figură, perioada funcției descrise T = 2.

Definiția 3. Cea mai mică perioadă pozitivă a unei funcții se numește perioadă principală.

Acolo unde trebuie să se ocupe de fenomene periodice, funcțiile trigonometrice sunt aproape întotdeauna întâlnite.

Perioada de funcționare este egal cu , perioada funcțiilor este egal cu .

Perioadă funcții trigonometrice cu argument ( Oh) se găsește prin formula:

Exemplu. Găsiți perioada principală a funcțiilor 1) .

Soluţie. 1) . 2) .

Lema.În cazul în care un f(X) are punct T, apoi integrala acestei funcții, luată în limite care diferă de T, nu depinde de alegerea limitei inferioare de integrare, adică = .

Perioada principală a dificilului functie periodica la = f(X) (format din suma funcțiilor periodice) este cel mai mic multiplu comun al perioadelor funcțiilor constitutive.

Adică dacă f(X) = f 1 (X) + f 2 (X), T 1 - perioada de functionare f 1 (X), T 2 - perioada de functionare f 2 (X), apoi cea mai mică perioadă pozitivă T trebuie să îndeplinească condiția:

T = nt 1 + kT 2, unde(*) –

Subtitrări slide-uri:

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Citeste si