Ne continuăm conversația despre cele mai utilizate formule în trigonometrie. Cele mai importante dintre ele sunt formulele de adunare.
Definiția 1
Formulele de adunare vă permit să exprimați funcțiile diferenței sau ale sumei a două unghiuri folosind funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri.
Pentru început, vă vom prezenta lista plina formule de adunare, apoi le vom demonstra și analiza câteva exemple ilustrative.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule de bază de adunare în trigonometrie
Există opt formule de bază: sinusul sumei și sinusul diferenței a două unghiuri, cosinusurile sumei și diferenței, tangentele și cotangentele sumei și, respectiv, diferenței. Mai jos sunt formulările și calculele lor standard.
1. Sinusul sumei a două unghiuri se poate obține astfel:
Se calculează produsul sinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea;
Înmulțiți cosinusul primului unghi cu sinusul primului unghi;
Adunați valorile rezultate.
Scrierea grafică a formulei arată astfel: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Sinusul diferenței se calculează aproape în același mod, doar produsele rezultate nu trebuie adăugate, ci scăzute unul de celălalt. Astfel, calculăm produsele sinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și cosinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și găsim diferența lor. Formula se scrie astfel: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Cosinusul sumei. Pentru aceasta, găsim produsele cosinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și respectiv sinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și, respectiv, găsim diferența lor: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Diferența de cosinus: calculăm produsele sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor date, ca mai înainte, și le adunăm. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangenta sumei. Această formulă se exprimă sub formă de fracție, în numărătorul căreia se află suma tangentelor unghiurilor dorite, iar la numitor este unitatea din care se scade produsul tangentelor unghiurilor dorite. Totul este clar din notația ei grafică: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Tangenta diferenței. Calculăm valorile diferenței și produsul tangentelor acestor unghiuri și le tratăm într-un mod similar. La numitor, adunăm la unul, și nu invers: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Cotangenta sumei. Pentru calcule folosind această formulă avem nevoie de produsul și suma cotangentelor acestor unghiuri, cu care procedăm astfel: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangenta diferentei . Formula este similară cu cea anterioară, dar la numărător și numitor - minus, și nu plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Probabil ați observat că aceste formule sunt similare în perechi. Folosind semnele ± (plus-minus) și ∓ (minus-plus), le putem grupa pentru a facilita notarea:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
În consecință, avem o formulă de înregistrare pentru suma și diferența fiecărei valori, doar într-un caz acordăm atenție semnului superior, în celălalt - celui inferior.
Definiția 2
Putem lua orice unghiuri α și β, iar formulele de adunare pentru cosinus și sinus vor funcționa pentru ele. Dacă putem determina corect valorile tangentelor și cotangentelor acestor unghiuri, atunci formulele de adunare pentru tangente și cotangente vor fi valabile și pentru ele.
La fel ca majoritatea conceptelor din algebră, formulele de adunare pot fi demonstrate. Prima formulă pe care o vom demonstra este formula cosinusului diferenței. Din aceasta, puteți deduce cu ușurință restul dovezilor.
Să clarificăm conceptele de bază. Avem nevoie de un cerc unitar. Se va dovedi dacă luăm un anumit punct A și rotim în jurul centrului (punctul O) unghiurile α și β. Atunci unghiul dintre vectorii O A 1 → și O A → 2 va fi egal cu (α - β) + 2 π z sau 2 π - (α - β) + 2 π z (z este orice număr întreg). Vectorii rezultați formează un unghi care este egal cu α - β sau 2 π - (α - β) sau poate diferi de aceste valori printr-un număr întreg de rotații complete. Aruncă o privire la poză:
Am folosit formulele de reducere și am obținut următoarele rezultate:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Linia de jos: cosinusul unghiului dintre vectorii O A 1 → și O A 2 → este egal cu cosinusul unghiului α - β, deci cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Reamintim definițiile sinusului și cosinusului: sinusul este o funcție a unghiului egal cu raportul catetei unghiului opus față de ipotenuză, cosinusul este sinusul unghiului suplimentar. Prin urmare, punctele A 1și A2 au coordonatele (cos α , sin α) și (cos β , sin β) .
Obținem următoarele:
O A 1 → = (cos α , sin α) și O A 2 → = (cos β , sin β)
Dacă nu este clar, priviți coordonatele punctelor situate la începutul și la sfârșitul vectorilor.
Lungimile vectorilor sunt egale cu 1, deoarece avem un singur cerc.
Să analizăm acum produsul scalar al vectorilor O A 1 → și O A 2 → . În coordonate arată astfel:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Din aceasta putem deduce egalitatea:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Astfel, se demonstrează formula pentru cosinusul diferenței.
Acum vom demonstra următoarea formulă - cosinusul sumei. Acest lucru este mai ușor deoarece putem folosi calculele anterioare. Luați reprezentarea α + β = α - (- β) . Avem:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Aceasta este dovada formulei pentru cosinusul sumei. Ultima linie folosește proprietatea sinusului și cosinusului unghiurilor opuse.
Formula pentru sinusul sumei poate fi derivată din formula pentru cosinusul diferenței. Să luăm formula de reducere pentru aceasta:
de forma sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Asa de
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Și iată dovada formulei pentru sinusul diferenței:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Observați utilizarea proprietăților sinus și cosinus ale unghiurilor opuse în ultimul calcul.
În continuare, avem nevoie de dovezi ale formulelor de adunare pentru tangentă și cotangente. Să ne amintim definițiile de bază (tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cotangenta este invers) și să luăm formulele deja derivate în avans. Am reușit:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Avem o fracție complexă. În continuare, trebuie să împărțim numărătorul și numitorul la cos α cos β , având în vedere că cos α ≠ 0 și cos β ≠ 0 , obținem:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β
Acum reducem fracțiile și obținem o formulă de următoarea formă: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Se obține t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Aceasta este dovada formulei de adiție tangente.
Următoarea formulă pe care o vom demonstra este formula tangentei diferențelor. Totul se arată clar în calcule:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formulele pentru cotangente sunt dovedite într-un mod similar:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Mai departe:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
Formulele de adunare sunt folosite pentru a exprima prin sinusurile și cosinusurile unghiurilor a și b, valorile funcțiilor cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b).
Formule de adunare pentru sinusuri și cosinusuri
Teoremă: Pentru orice a și b, următoarea egalitate este adevărată cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Să demonstrăm această teoremă. Luați în considerare următoarea figură:
Pe ea, punctele Ma, M-b, M(a+b) se obțin prin rotirea punctului Mo prin unghiurile a, -b, respectiv a+b. Din definițiile sinusului și cosinusului, coordonatele acestor puncte vor fi următoarele: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+). b) (cos(a+ b);sin(a+b)). Unghiul MoOM (a + b) \u003d unghiul M-bOM, prin urmare triunghiurile MoOM (a + b) și M-bOM sunt egale și sunt isoscele. Deci, bazele MoM (a-b) și M-bMa sunt de asemenea egale. Prin urmare, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) și cos(-a) = cos(a). Să ne transformăm egalitatea, ținând cont de aceste formule și de pătratul sumei și diferenței, atunci:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Acum aplicăm identitatea trigonometrică de bază:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Le dăm similare și reducem cu -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
De asemenea, sunt valabile următoarele formule:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Aceste formule pot fi obținute din cea dovedită mai sus, folosind formulele de reducere și înlocuind b cu -b. Pentru tangente și cotangente există și formule de adunare, dar nu vor fi valabile pentru niciun argument.
Formule pentru adăugarea tangentelor și cotangentelor
Pentru orice unghiurile a,b cu excepția a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n și a+b =pi/2 +pi*m, pentru orice numere întregi k,n,m va fi valabilă următoarea formulă:
tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Pentru orice unghi a,b cu excepția a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n și a-b =pi/2 +pi*m, pentru orice numere întregi k,n,m se va aplica următoarea formulă :
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Pentru orice unghi a,b cu excepția a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m și pentru orice numere întregi k,n,m următoarea formulă va fi valabilă:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui semiunghi etc.
În acest articol, vom enumera în ordine toate principalele formule trigonometrice, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
Principal identități trigonometrice stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule turnate
Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. colţ
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi .
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formule unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere
Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
destinatia principala formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice este de a trece la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificare expresii trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Substituție trigonometrică universală
Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor se numește substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.
Bibliografie.
- Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
Drepturi de autor de către studenți inteligenți
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
Nu te voi convinge să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și cum sunt utile foile de înșelăciune. Și aici - informații despre cum să nu învățați, ci să vă amintiți câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat! Folosim asocieri pentru memorare.
1. Formule de adunare:
cosinus întotdeauna „merg în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus.
Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. Ei „totul este greșit”, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.
Sinusuri - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.
2. Formule de sumă și diferență:
cosinus întotdeauna „merg în perechi”. După ce adăugați două cosinus - „chile”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom primi koloboks. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.
Sinusuri - "mix" :
3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și o diferență.
Când primim o pereche de cosinus? La adăugarea cosinusurilor. De aceea
Când primim o pereche de sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:
„Amestecarea” se obține atât prin adăugarea, cât și prin scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa e, pliază. Și pentru formulă luați adunarea:
În prima și a treia formulă între paranteze - suma. Din rearanjarea locurilor termenilor, suma nu se modifică. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența
iar în al doilea rând, suma
Cearșafurile pentru pătuț în buzunar oferă liniște sufletească: dacă uiți formula, o poți șterge. Și dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, formulele pot fi reținute cu ușurință.
