DEFINIȚIE

Rețeaua de difracție- Acesta este cel mai simplu dispozitiv spectral, constând dintr-un sistem de fante (transparente pentru zonele luminoase) și goluri opace care sunt comparabile cu lungimea de undă.

O rețea de difracție unidimensională constă din fante paralele de aceeași lățime, care se află în același plan, separate prin goluri de aceeași lățime care sunt opace la lumină. Rețelele de difracție reflectorizante sunt considerate cele mai bune. Ele constau dintr-o combinație de zone care reflectă lumina și zone care împrăștie lumina. Aceste grătare sunt plăci metalice lustruite, pe care se aplică lovituri de împrăștiere a luminii cu ajutorul unui tăietor.

Modelul de difracție a rețelei este rezultatul interferenței reciproce a undelor care vin din toate fante. Cu ajutorul unui rețele de difracție, se realizează interferența cu mai multe căi a fasciculelor de lumină coerente care au suferit difracție și care provin din toate fantele.

O caracteristică a rețelei de difracție este perioada acestuia. Perioada rețelei de difracție (d) (constanta sa) se numește valoare egală cu:

unde a este lățimea slotului; b este lățimea zonei opace.

Difracția printr-o rețea de difracție unidimensională

Să presupunem că o undă luminoasă cu lungime este incidentă perpendicular pe planul rețelei de difracție. Deoarece fantele rețelei sunt situate la distanțe egale una de cealaltă, diferențele de cale () care provin de la două sloturi adiacente pentru direcție vor fi aceleași pentru întregul rețele de difracție luate în considerare:

Principalele minime de intensitate sunt observate în direcțiile determinate de condiția:

Pe lângă minimele principale, ca urmare a interferenței reciproce a razelor de lumină care provin din două fante, razele se anulează reciproc în unele direcții. Ca urmare, apar minime suplimentare de intensitate. Ele apar în acele direcții în care este diferența în calea razelor numar impar jumătate de val Condiția pentru minime suplimentare este formula:

unde N este numărul de fante ale rețelei de difracție; - valori întregi cu excepția 0. În cazul în care rețeaua are N sloturi, atunci între cele două maxime principale există un minim suplimentar care separă maximele secundare.

Condiția maximă principală pentru o rețea de difracție este:

Valoarea sinusului nu poate fi mai mare de unu, apoi numărul maximelor principale:

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Grătul de difracție”

EXEMPLUL 1

Exercițiu	Un fascicul de lumină monocromatic cu o lungime de undă incide pe o rețea de difracție perpendiculară pe suprafața sa. Modelul de difracție este proiectat pe un ecran plat folosind o lentilă. Distanța dintre două maxime de intensitate de ordinul întâi este l. Care este constanta rețelei de difracție dacă lentila este plasată în imediata apropiere a rețelei și distanța de la acesta la ecran este L. Luați în considerare că
Soluţie	Ca bază pentru rezolvarea problemei, folosim o formulă care raportează constanta rețelei de difracție, lungimea de undă a luminii și unghiul de deviere al razelor, care corespunde numărului maxim de difracție m: În funcție de starea problemei Deoarece unghiul de deviere al razelor poate fi considerat mic (), presupunem că: Din fig. 1 rezultă că: Înlocuim expresia (1.3) în formula (1.1) și ținem cont că , obținem: Din (1.4) exprimăm perioada rețelei:
Răspuns

EXEMPLUL 2

Exercițiu	Folosind condițiile din exemplul 1 și rezultatul soluției, găsiți numărul de maxime pe care îl va da rețeaua în cauză.
Soluţie	Pentru a determina unghiul maxim de deviere al razelor de lumină în problema noastră, găsim numărul de maxime pe care le poate oferi rețeaua noastră de difracție. Pentru aceasta folosim formula: unde presupunem că pentru . Atunci obținem:

Până acum am luat în considerare difracția undelor sferice, studiind modelul de difracție la punctul de observație, care se află la o distanță finită de obstacol ( Difracția Fresnel ).

Tipul de difracție în care se formează un model de difracție grinzi paralele, se numește Difracția Fraunhofer . Vor apărea fascicule paralele dacă sursa și ecranul sunt la infinit. În practică, se folosesc două lentile: în focalizarea uneia - sursa de lumină, iar în focalizarea celeilalte - ecranul.

 

Deși difracția Fraunhofer nu diferă fundamental de difracția Fresnel, acest caz particular este practic important, deoarece acest tip de difracție este utilizat în multe dispozitive de difracție (un rețea de difracție, de exemplu). În plus, aici calculul matematic este mai simplu și ne permite să rezolvăm problema cantitativă până la capăt (am considerat calitativ difracția Fresnel).

Difracția luminii printr-o singură fantă

Să existe o fante într-un ecran continuu: lățimea fantei, lungimea fantei (perpendicular pe planul foii) (Fig. 9.5). Pe fantă cad fascicule paralele de lumină. Pentru a simplifica calculul, presupunem că în planul slotului AB amplitudinile si fazele undelor incidente sunt aceleasi.

Să împărțim fanta în zone Fresnel, astfel încât diferența de cale optică între razele care provin din zonele învecinate să fie egală cu .

Dacă un număr par de astfel de zone se încadrează în lățimea slotului, atunci în punctul ( focalizare laterală lentile) va exista un minim de intensitate, iar dacă un număr impar de zone, atunci un maxim de intensitate:

Imaginea va fi simetrică concentrare principala puncte . Semnul plus și minus corespunde unghiurilor măsurate într-o direcție sau alta.

Intensitatea luminii. După cum se poate observa din fig. 9,5, maximul central le depășește pe toate celelalte ca intensitate.

Să luăm în considerare efectul lățimii fantei.

pentru că condiția minimă are forma , deci

.

(9.4.3)

Din această formulă se poate observa că odată cu creșterea lățimii slotului b pozițiile minimelor se deplasează spre centru, maximul central devine mai ascuțit.

Cu o scădere a lățimii golului bîntreaga imagine se extinde, se estompează, se extinde și banda centrală, captând o parte din ce în ce mai mare a ecranului, iar intensitatea acesteia scade.

Difracția luminii pe un rețele de difracție

Un rețeau de difracție unidimensional este un sistem de un număr mare N fante de aceeași lățime și paralele între ele în ecran, de asemenea separate prin goluri opace de aceeași lățime (Fig. 9.6).

Modelul de difracție pe rețea este definit ca rezultat al interferenței reciproce a undelor care provin din toate fantele, de exemplu. în grătar efectuate interferență cu mai multe căi fascicule de lumină difractate coerente care provin din toate fantele.

Denota: b – lățimea slotului grătare; A - distanța dintre sloturi; – constantă de grătare.

Lentila colectează toate razele care cad pe el în același unghi și nu introduce nicio diferență suplimentară de cale.

Orez. 9.6	Orez. 9.7

Lasă fasciculul 1 să cadă pe lentilă la un unghi φ ( unghiul de difracție ). undă de lumină, mergând în acest unghi de la fantă, creează o intensitate maximă în punct. Al doilea fascicul care vine din fanta vecină la același unghi φ va ajunge în același punct. Ambele fascicule vor intra în fază și se vor amplifica reciproc dacă diferența de cale optică este egală cu mλ:

Condiție maxim pentru o rețea de difracție va arăta astfel:

,

(9.4.4)

Unde m= ± 1, ± 2, ± 3, … .

Se numesc maximele corespunzătoare acestei condiții maxime majore . Valoarea cantității m corespunzător unuia sau altuia maxim se numește ordinea maximului de difracție.

La punctul F 0 va fi întotdeauna respectat nul sau vârful central de difracție .

Deoarece lumina incidentă pe ecran trece doar prin fantele din rețeaua de difracție, condiția minim pentru gol si va fi condiție minim de difracție principală pentru zăbrele:

.

(9.4.5)

Desigur, când numere mari fante, în punctele ecranului corespunzătoare minimelor principale de difracție, lumina va cădea din unele fante și se va forma efecte secundare maxime și minime de difracție(Fig. 9.7). Dar intensitatea lor, în comparație cu maximele principale, este scăzută (≈ 1/22).

Cu conditia ,

undele trimise de fiecare fantă vor fi anulate prin interferență și vor apărea minime suplimentare .

Numărul de fante determină fluxul de lumină prin grătar. Cu cât sunt mai multe, cu atât mai multă energie este transferată de val prin ea. In afara decat mai mult număr cu cât mai multe minime suplimentare se potrivesc între maximele învecinate. În consecință, maximele vor fi mai înguste și mai intense (Figura 9.8).

Din (9.4.3) se poate observa că unghiul de difracție este proporțional cu lungimea de undă λ. Aceasta înseamnă că rețeaua de difracție descompune lumina albă în componente și respinge lumina cu o lungime de undă mai mare (roșu) la un unghi mai mare (spre deosebire de o prismă, unde totul se întâmplă invers).

Această proprietate a rețelelor de difracție este utilizată pentru a determina compoziția spectrală a luminii (spectrografe de difracție, spectroscoape, spectrometre).

Unul dintre efectele binecunoscute care confirmă natura ondulatorie a luminii este difracția și interferența. Zona principală aplicațiile lor sunt spectroscopia, în care rețelele de difracție sunt folosite pentru a analiza compoziția spectrală a radiației electromagnetice. Formula care descrie poziția maximelor principale date de această rețea este discutată în acest articol.

Care sunt fenomenele de difracție și interferență?

Înainte de a lua în considerare derivarea formulei rețelei de difracție, trebuie să vă familiarizați cu fenomenele datorită cărora acest rețele este util, adică cu difracția și interferența.

Difracția este procesul de modificare a mișcării frontului de undă atunci când acesta întâlnește un obstacol opac pe drum, ale cărui dimensiuni sunt comparabile cu lungimea de undă. De exemplu, dacă treceți printr-o gaură mică lumina soarelui, apoi pe perete se poate observa nu un punct luminos mic (ceea ce ar fi trebuit să se întâmple dacă lumina se propaga în linie dreaptă), ci un punct luminos de o anumită dimensiune. Acest fapt mărturisește natura ondulatorie a luminii.

Interferența este un alt fenomen unic pentru unde. Esența sa constă în impunerea undelor unul asupra celuilalt. Dacă formele de undă din mai multe surse sunt potrivite (coerente), atunci poate fi observat un model stabil de zone luminoase și întunecate alternante pe ecran. Minimele dintr-o astfel de imagine sunt explicate prin sosirea undelor în punct datîn antifază (pi și -pi), iar maximele sunt rezultatul undelor care lovesc punctul considerat într-o fază (pi și pi).

Ambele fenomene descrise au fost explicate pentru prima dată de un englez când a investigat difracția luminii monocromatice prin două fante subțiri în 1801.

Principiul Huygens-Fresnel și aproximările câmpului îndepărtat și apropiat

Descrierea matematică a fenomenelor de difracție și interferență este o sarcină nebanală. Găsirea soluției sale exacte necesită calcule complexe care implică teoria Maxwelliană undele electromagnetice. Cu toate acestea, în anii 1920, francezul Augustin Fresnel a arătat că, folosind ideile lui Huygens despre sursele secundare de unde, se pot descrie cu succes aceste fenomene. Această idee a condus la formularea principiului Huygens-Fresnel, care stă la baza derivării tuturor formulelor de difracție prin obstacole de formă arbitrară.

Cu toate acestea, chiar și cu ajutorul principiului Huygens-Fresnel, pentru a rezolva problema difracției în vedere generala nu reuşeşte, prin urmare, la obţinerea formulelor se recurge la unele aproximări. Principalul este un front de undă plat. Această formă de undă este cea care trebuie să cadă pe obstacol, astfel încât o serie de calcule matematice să poată fi simplificate.

Următoarea aproximare este poziția ecranului în care modelul de difracție este proiectat în raport cu obstacolul. Această poziție este descrisă de numărul Fresnel. Se calculeaza astfel:

Unde a este dimensiunile geometrice ale obstacolului (de exemplu, o fantă sau o gaură rotundă), λ este lungimea de undă, D este distanța dintre ecran și obstacol. Dacă pentru un anumit experiment F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, apoi are loc aproximarea câmpului apropiat sau difracția Fresnel.

Diferența dintre difracția Fraunhofer și Fresnel constă în condițiile diferite pentru fenomenul de interferență la distanțe mici și mari de obstacol.

Derivarea formulei pentru maximele principale ale rețelei de difracție, care va fi prezentată mai târziu în articol, implică luarea în considerare a difracției Fraunhofer.

Rețeaua de difracție și tipurile sale

Acest grătar este o placă de sticlă sau plastic transparent de câțiva centimetri, pe care se aplică lovituri opace de aceeași grosime. Cursele sunt situate la o distanță constantă d una de alta. Această distanță se numește perioadă de rețea. Alte două caracteristici importante ale dispozitivului sunt constanta rețelei a și numărul de fante transparente N. Valoarea lui a determină numărul de fante pe 1 mm lungime, deci este invers proporțională cu perioada d.

Există două tipuri de rețele de difracție:

• Transparent, așa cum este descris mai sus. Modelul de difracție dintr-un astfel de rețele rezultă din trecerea unui front de undă prin acesta.
• reflectorizant. Se realizează prin aplicarea unor mici caneluri pe o suprafață netedă. Difracția și interferența de la o astfel de placă apar din cauza reflectării luminii din vârfurile fiecărei caneluri.

Indiferent de tipul de grătar, ideea efectului său asupra frontului de undă este de a crea o perturbare periodică în acesta. Acest lucru duce la formarea unui număr mare de surse coerente, rezultatul interferenței cărora este un model de difracție pe ecran.

Formula de bază a unui rețele de difracție

Derivarea acestei formule presupune luarea în considerare a dependenței intensității radiației de unghiul de incidență a acesteia pe ecran. În aproximarea câmpului îndepărtat, se obține următoarea formulă pentru intensitatea I(θ):

I(θ) = I0 *(sin(β)/β)2*2, unde

α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ 0));

β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ 0)).

În formulă, lățimea fantei rețelei de difracție este notă cu simbolul a. Prin urmare, factorul din paranteze este responsabil pentru difracția cu o fantă. Valoarea lui d este perioada rețelei de difracție. Formula arată că factorul dintre paranteze pătrate în care apare această perioadă descrie interferența din setul de fante de rețea.

Folosind formula de mai sus, puteți calcula valoarea intensității pentru orice unghi de incidență a luminii.

Dacă găsim valoarea maximelor de intensitate I(θ), atunci putem concluziona că acestea apar cu condiția ca α = m*pi, unde m este orice număr întreg. Pentru condiția maximă, obținem:

m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) - sin(θ 0)) =>

sin (θ m) - sin (θ 0) \u003d m * λ / d.

Expresia rezultată se numește formula pentru maximele rețelei de difracție. Numerele m sunt de ordinul difracției.

Alte moduri de a scrie formula de bază pentru zăbrele

Rețineți că formula dată în paragraful anterior conține termenul sin(θ 0). Aici, unghiul θ 0 reflectă direcția de incidență a frontului undei luminoase în raport cu planul rețelei. Când frontul cade paralel cu acest plan, atunci θ 0 = 0 o . Apoi obținem expresia maximelor:

Deoarece constanta rețelei a (a nu se confunda cu lățimea fantei) este invers proporțională cu valoarea lui d, formula de mai sus poate fi rescrisă în termenii constantei rețelei de difracție ca:

Pentru a evita erorile atunci când înlocuiți anumite numere λ, a și d în aceste formule, trebuie să utilizați întotdeauna unitățile SI corespunzătoare.

Conceptul de dispersie unghiulară a grătarului

Vom nota această valoare cu litera D. Conform definiției matematice, se scrie astfel:

Semnificația fizică a dispersiei unghiulare D este că arată cu ce unghi dθ m se va deplasa maximul pentru ordinul de difracție m dacă lungimea de undă incidentă este modificată cu dλ.

Dacă aplicăm această expresie la ecuația rețelei, atunci obținem formula:

Dispersia rețelei de difracție unghiulară este determinată de formula de mai sus. Se poate observa că valoarea lui D depinde de ordinul m și de perioada d.

Cu cât dispersia D este mai mare, cu atât rezoluția unei rețele date este mai mare.

Rezoluția grătarului

Rezoluția este înțeleasă ca o mărime fizică care arată cu ce valoare minimă pot diferi două lungimi de undă, astfel încât maximele lor să apară separat în modelul de difracție.

Rezoluția este determinată de criteriul Rayleigh. Se spune: două maxime pot fi separate într-un model de difracție dacă distanța dintre ele este mai mare decât jumătatea lățimii fiecăruia dintre ele. Jumătatea unghiulară a maximului pentru grătar este determinată de formula:

Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θ m)).

Rezoluția rețelei în conformitate cu criteriul Rayleigh este:

Δθ m >Δθ 1/2 sau D*Δλ>Δθ 1/2.

Înlocuind valorile lui D și Δθ 1/2, obținem:

Δλ*m/(d*cos(θ m))>λ/(N*d*cos(θ m) =>

Δλ > λ/(m*N).

Aceasta este formula pentru rezoluția unui rețele de difracție. Cu cât este mai mare numărul de curse N pe placă și cu cât este mai mare ordinul de difracție, cu atât rezoluția pentru o anumită lungime de undă λ este mai mare.

Rețeaua de difracție în spectroscopie

Să scriem încă o dată ecuația de bază a maximelor pentru rețea:

Se poate observa aici că, cu cât lungimea de undă cade mai mult pe placa cu lovituri, cu atât valorile unghiurilor vor apărea mai mari pe maximele ecranului. Cu alte cuvinte, dacă lumina nemonocromatică (de exemplu, albă) este trecută prin placă, atunci apariția maximelor de culoare poate fi văzută pe ecran. Pornind de la maximul alb central (difracția ordinul zero), apoi vor apărea maxime pentru undele mai scurte (violet, albastru) și apoi pentru cele mai lungi (portocaliu, roșu).

O altă concluzie importantă din această formulă este dependența unghiului θ m de ordinul difracției. Cu cât m este mai mare, cu atât valoarea lui θ m este mai mare. Aceasta înseamnă că liniile colorate vor fi mai separate una de cealaltă la maxime pentru un ordin de difracție ridicat. Acest fapt era deja consacrat atunci când s-a luat în considerare rezoluția de grilaj (vezi paragraful anterior).

Capacitățile descrise ale rețelei de difracție fac posibilă utilizarea acestuia pentru a analiza spectrele de emisie ale diferitelor obiecte luminoase, inclusiv stele și galaxii îndepărtate.

Exemplu de rezolvare a problemei

Să arătăm cum să folosim formula rețelei de difracție. Lungimea de undă a luminii care cade pe rețea este de 550 nm. Este necesar să se determine unghiul la care apare difracția de ordinul întâi dacă perioada d este de 4 µm.

Convertiți toate datele în unități SI și înlocuiți în această egalitate:

θ 1 \u003d arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) \u003d 7,9 o.

Dacă ecranul se află la o distanță de 1 metru de rețea, atunci de la mijlocul maximului central va apărea linia de ordinul întâi de difracție pentru o undă de 550 nm la o distanță de 13,8 cm, ceea ce corespunde unui unghi. de 7,9 o .

DEFINIȚIE

Rețeaua de difracție este cel mai simplu instrument spectral. Conține un sistem de fante care separă spațiile opace.

Rețelele de difracție sunt împărțite în unidimensionale și multidimensionale. O rețea de difracție unidimensională constă din secțiuni paralele transparente la lumină de aceeași lățime, care sunt situate în același plan. Zonele transparente separă golurile opace. Cu aceste rețele, observațiile se fac în lumină transmisă.

Există rețele de difracție reflectorizante. Un astfel de grătar este, de exemplu, o placă metalică lustruită (oglindă), pe care se aplică lovituri cu un tăietor. Rezultatul sunt zone care reflectă lumina și zone care împrăștie lumina. Observarea cu un astfel de grătar se efectuează în lumină reflectată.

Modelul de difracție a rețelei este rezultatul interferenței reciproce a undelor care provin din toate fantele. Prin urmare, cu ajutorul unui rețele de difracție, se realizează interferența cu mai multe căi a fasciculelor de lumină coerente care au suferit difracție și care provin din toate fantele.

Perioada de grătar

Dacă notăm lățimea fantului de pe grătare ca a, lățimea secțiunii opace - b, atunci suma acestor doi parametri este perioada de grătare (d):

Perioada unei rețele de difracție este uneori numită și constanta rețelei de difracție. Perioada unei rețele de difracție poate fi definită ca distanța pe care se repetă liniile de pe rețea.

Constanta rețelei de difracție poate fi găsită dacă se cunoaște numărul de șanțuri (N) pe care le are rețeaua la 1 mm din lungimea sa:

Perioada rețelei de difracție este inclusă în formulele care descriu modelul de difracție pe acesta. Deci, dacă o undă monocromatică este incidentă pe o rețea de difracție unidimensională perpendicular pe planul său, atunci minimele de intensitate principale sunt observate în direcțiile determinate de condiția:

unde este unghiul dintre normala rețelei și direcția de propagare a razelor difractate.

Pe lângă minimele principale, ca urmare a interferenței reciproce a razelor de lumină trimise de o pereche de fante, acestea se anulează reciproc în unele direcții, rezultând minime de intensitate suplimentare. Ele apar în direcții în care diferența în calea razelor este un număr impar de semi-unde. Condiția minimelor suplimentare este scrisă astfel:

unde N este numărul de fante ale rețelei de difracție; ia orice valoare întreagă cu excepția 0. Dacă rețeaua are N sloturi, atunci între cele două maxime principale există un minim suplimentar care separă maximele secundare.

Condiția pentru maximele principale pentru rețeaua de difracție este expresia:

Valoarea sinusului nu poate depăși unu, prin urmare, numărul maximelor principale (m):

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercițiu	Un fascicul de lumină trece printr-un rețele de difracție cu o lungime de undă de . La o distanță L de rețea, este plasat un ecran pe care se formează un model de difracție folosind o lentilă. Se obţine că primul maxim de difracţie este situat la o distanţă x de cel central (Fig. 1). Care este perioada de grilaj (d)?
Soluţie	Să facem un desen. Rezolvarea problemei se bazează pe condiția maximelor principale ale modelului de difracție: După starea problemei, vorbim despre primul maxim principal, apoi . Din fig. 1 obținem că: Din expresiile (1.2) și (1.1) avem: Exprimăm perioada dorită a rețelei, obținem:
Răspuns

Cu o incidență perpendiculară (normală) a unui fascicul paralel de lumină monocromatică pe un rețele de difracție pe ecran în planul focal al lentilei convergente, situat paralel cu rețeaua de difracție, un model neomogen de distribuție a luminii a diferitelor părți ale ecranului ( modelul de difracție) se observă.

Principal maximele acestui model de difracție satisfac următoarele condiții:

Unde n este ordinul maximului principal de difracție, d - constanta (perioada) grătar, λ este lungimea de undă a luminii monocromatice,φ n- unghiul dintre normala la rețeaua de difracție și direcția până la maximul principal de difracție n th Ordin.

Constanta (perioada) a unui rețele de difracție cu o lungime l

unde N - numărul de fante (curse) pe secțiune a rețelei de difracție cu lungimea I.

Împreună cu lungimea de undăfrecventa folosita frecvent v valuri.

Pentru unde electromagnetice (lumină) în vid

unde c \u003d 3 * 10 8 m / s - viteza propagarea luminii în vid.

Să evidențiem din formula (1) cele mai dificile formule determinate matematic pentru ordinea maximelor principale de difracție:

unde denotă partea întreagă numere d*sin(φ/λ).

Analogi subdeterminați ai formulelor (4, a,b) fără simbol [...] în părțile potrivite conțin pericolul potențial al înlocuirii unei operațiuni de alocare bazate pe fizic partea întreagă a numărului prin operație număr de rotunjire d*sin(φ/λ) la o valoare întreagă conform regulilor matematice formale.

Tendința subconștientă (urmă falsă) de a înlocui operația de extragere a părții întregi a numărului d*sin(φ/λ) operatie de rotunjire

acest număr la o valoare întreagă conform regulilor matematice este și mai îmbunătățit atunci când vine vorba de sarcini de testare tip B pentru a determina ordinea maximelor principale de difracție.

În orice sarcini de testare de tip B, valorile numerice ale cerute mărimi fizice cu acordulrotunjite la valori întregi. Cu toate acestea, în literatura de specialitate nu există reguli uniforme pentru rotunjirea numerelor.

În cartea de referință a lui V. A. Gusev, A. G. Mordkovich despre matematică pentru studenți și belarusă ghid de studiu L. A. Latotina, V. Ya. Chebotarevsky la matematică pentru clasa a IV-a, în esență sunt date aceleași două reguli pentru rotunjirea numerelor. Sunt formulate astfel: „La rotunjire fracție zecimală până la o cifră, toate cifrele care urmează acestei cifre sunt înlocuite cu zerouri, iar dacă sunt după virgulă zecimală, atunci sunt aruncate. Dacă prima cifră care urmează după această cifră este mai mare sau egală cu cinci, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu 1. Dacă prima cifră după această cifră este mai mică de 5, atunci ultima cifră rămasă nu este modificată.

În cartea de referință a lui M. Ya. Vygodsky despre matematica elementară, care a trecut prin douăzeci și șapte de ediții (!), este scris (p. 74): „Regula 3. Dacă numărul 5 este aruncat și nu există cifre semnificative. în spatele acestuia, apoi rotunjirea este efectuată la cel mai apropiat număr par, adică ultima cifră stocată rămâne neschimbată dacă este pară și se amplifică (crește cu 1) dacă este impară."

Având în vedere existența diferitelor reguli de rotunjire pentru numere, regulile de rotunjire ar trebui să fie numere zecimale se formulează în mod explicit în „Instrucțiunile pentru studenți” atașate sarcinilor de testare centralizată în fizică. Această propunere capătă o relevanță suplimentară, deoarece nu numai cetățenii din Belarus și Rusia, ci și alte țări intră în universitățile din Belarus și sunt supuși unor teste obligatorii și nu se știe ce reguli de rotunjire au folosit atunci când studiau în țările lor.

În toate cazurile, numerele zecimale vor fi rotunjite conform reguli, dat în , .

După o digresiune forțată, să revenim la discuția problemelor fizice luate în considerare.

Luând în considerare zero ( n= 0) maximul principal și dispunerea simetrică a maximelor principale rămase relativ la acesta total maximele principale observate din rețeaua de difracție sunt calculate prin formulele:

Dacă distanța de la rețeaua de difracție la ecranul pe care se observă modelul de difracție este notată cu H, atunci coordonatele maximului principal de difracție n Ordinea a treia când se numără de la maximul zero este egală cu

Dacă atunci (radian) și

Problemele legate de subiectul luat în considerare sunt adesea oferite la testele de fizică.

Să începem revizuirea cu o trecere în revistă a testelor rusești utilizate de universitățile din Belarus stadiul inițial când testarea în Belarus a fost opțională și efectuată de individ institutii de invatamant pe propriul risc, ca alternativă la forma obișnuită individuală scris-oral a examenelor de admitere.

Testul #7

A32. Cel mai înalt ordin al spectrului care poate fi observat în difracția luminii cu o lungime de undă λ pe un rețele de difracție cu o perioadă d=3,5λ egală

1) 4; 2) 7; 3) 2; 4) 8; 5) 3.

Soluţie

Monocromaticfara lumina spectre Indiscutabil. În starea problemei, ar trebui să vorbim despre maximul principal de difracție de ordinul cel mai înalt pentru o incidență perpendiculară a luminii monocromatice pe un rețele de difracție.

Conform formulei (4, b)

Dintr-o stare subdeterminată

pe mulțimea numerelor întregi, după rotunjire obținemn max=4.

Doar din cauza nepotrivirii părții întregi a numărului d/λ cu valoarea sa intreaga rotunjita, solutia corecta este ( n max=3) diferă de incorectă (nmax=4) la nivelul testului.

O miniatură uimitoare, în ciuda defectelor de redactare, cu o urmă falsă ajustată fin pentru toate cele trei versiuni de rotunjire a numerelor!

A18. Dacă constanta rețelei de difracție d= 2 μm, atunci pentru lumina albă incidentă în mod normal pe grătar este de 400 nm<λ < 700 нм наибольший полностью наблюдаемый порядок спектра равен

1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.

Soluţie

Este evident că n cn \u003d min (n 1max, n 2max)

Conform formulei (4, b)

Rotunjirea numerelor d/λ la valori întregi conform regulilor - , obținem:

Datorită faptului că partea întreagă a numărului d/λ2 diferă de valoarea sa întreagă rotunjită, această sarcină vă permite să o faceți în mod obiectiv identifica solutia corecta(n cn = 2) din greșit ( n cn =3). Mare problemă cu o pistă falsă!

Testul CT 2002 nr. 3

LA 5. Găsiți ordinul cel mai înalt al spectrului pentru linia galbenă Na (λ = 589 nm) dacă constanta rețelei de difracție este d = 2 µm.

Soluţie

Sarcina este formulată științific incorect. În primul rând, la iluminarea rețelei de difracțiemonocromaticlumina, după cum s-a menționat mai sus, nu poate fi vorba de spectru (spectre). În starea problemei, ar trebui să vorbim despre ordinul cel mai înalt al maximului principal de difracție.

În al doilea rând, în condiția sarcinii trebuie indicat că lumina cade normal (perpendicular) pe rețeaua de difracție, deoarece doar acest caz special este luat în considerare la cursul de fizică al instituțiilor de învățământ secundar. Este imposibil să luați în considerare această restricție implicită: în teste, toate restricțiile trebuie specificate clar! Sarcinile de testare ar trebui să fie sarcini autonome, corecte din punct de vedere științific.

Numărul 3,4, rotunjit la o valoare întreagă conform regulilor aritmeticii - dă și 3. Exact prin urmare, această sarcină ar trebui să fie recunoscută ca simplă și, în general, nereușită, deoarece la nivelul testului nu permite să se distingă în mod obiectiv soluția corectă, determinată de partea întreagă a numărului 3,4, de soluția greșită, determinată. prin valoarea întreagă rotunjită a numărului 3.4. Diferența este dezvăluită numai cu o descriere detaliată a cursului soluției, care se face în acest articol.

Adaosul 1. Rezolvați problema de mai sus prin înlocuirea în starea sa d=2 um până la d= 1,6 um. Răspuns: nmax = 2.

CT 2002 Testul 4

LA 5. Lumina de la o lampă cu descărcare în gaz este direcționată către o rețea de difracție. Spectrele de difracție ale radiației lămpii sunt obținute pe ecran. Linie cu lungimea de undă λ 1 = 510 nm în spectrul de ordinul al patrulea coincide cu linia lungimii de undă λ2în spectrul de ordinul al treilea. Ce este egal cu λ2(în [nm])?

Soluţie

În această problemă, interesul principal nu este soluționarea problemei, ci formularea condițiilor acesteia.

Când este iluminat de un rețeau de difracțienemonocromatic ușoară( λ1 , λ2) destul de este firesc să vorbim (să scriem) despre spectre de difracție, care, în principiu, nu există atunci când este iluminat un rețele de difracțiemonocromatic ușoară.

Starea sarcinii ar trebui să indice faptul că lumina de la lampa cu descărcare în gaz cade în mod normal pe rețeaua de difracție.

În plus, stilul filologic al celei de-a treia propoziții din temă ar fi trebuit schimbat. Taie linia turnover-ului auditiv cu o lungime de undă λ "" , ar putea fi înlocuită cu „o linie corespunzătoare radiației cu o lungime de undă λ "" sau, mai concis, „o linie corespunzătoare lungimii de undă λ "" .

Formulările testelor trebuie să fie corecte din punct de vedere științific și impecabile literar. Testele sunt formulate într-un mod complet diferit față de sarcinile de cercetare și olimpiade! În teste, totul ar trebui să fie precis, specific, lipsit de ambiguitate.

Ținând cont de clarificarea de mai sus a condițiilor sarcinii, avem:

Întrucât după condiţia atribuirii apoi

Testul CT 2002 nr. 5

LA 5. Găsiți cel mai înalt ordin al maximului de difracție pentru linia galbenă de sodiu cu o lungime de undă de 5,89·10 -7 m dacă perioada rețelei de difracție este de 5 µm.

Soluţie

Comparativ cu sarcina LA 5 din testul nr. 3 din TsT 2002, această sarcină este formulată mai precis, însă, în condiția sarcinii, ar trebui să vorbim nu despre „maximul de difracție”, ci despre „ maxim de difracție principală".

Împreună cu principal maxime de difracție, există întotdeauna și secundar vârfuri de difracție. Fără a explica această nuanță într-un curs de fizică școlară, cu atât mai mult este necesar să se respecte cu strictețe terminologia științifică stabilită și să se vorbească numai despre principalele maxime de difracție.

În plus, trebuie subliniat că lumina cade în mod normal pe rețeaua de difracție.

Cu precizările de mai sus

Dintr-o condiție nedefinită

conform regulilor de rotunjire matematică a numărului 8,49 la o valoare întreagă, obținem din nou 8. Prin urmare, această sarcină, ca și cea anterioară, ar trebui considerată nereușită.

Suplimentul 2. Rezolvați problema de mai sus, înlocuind în starea sa d \u003d 5 microni pe (1 \u003d A microni. Răspuns:nmax=6.)

Beneficiu RIKZ 2003 Testul nr. 6

LA 5. Dacă al doilea maxim de difracție se află la o distanță de 5 cm de centrul ecranului, atunci cu o creștere a distanței de la rețeaua de difracție la ecran cu 20%, acest maxim de difracție va fi la o distanță de ... cm .

Soluţie

Condiția sarcinii este formulată nesatisfăcător: în loc de „maxim de difracție” ar trebui „maxim de difracție principală”, în loc de „din centrul ecranului” - „de la maximul de difracție principală zero”.

După cum se poate observa din figura dată,

De aici

Beneficiu RIKZ 2003 Testul nr. 7

LA 5. Determinați ordinul cel mai înalt al spectrului într-un rețele de difracție având 500 de linii pe 1 mm atunci când este iluminat cu lumină cu o lungime de undă de 720 nm.

Soluţie

Condiția sarcinii este formulată extrem de nereușit în termeni științifici (vezi clarificările sarcinilor nr. 3 și 5 din CT 2002).

Există, de asemenea, plângeri cu privire la stilul filologic al formulării sarcinii. În loc de expresia „într-o rețea de difracție” ar fi trebuit să se folosească expresia „din rețea de difracție”, iar în loc de „lumină cu o lungime de undă” - „lumină a cărei lungime de undă”. Lungimea de undă nu este sarcina pentru undă, ci principala sa caracteristică.

Sub rezerva unor clarificări

După toate cele trei reguli de mai sus pentru rotunjirea numerelor, rotunjirea numărului 2,78 la o valoare întreagă dă 3.

Ultimul fapt, chiar și cu toate deficiențele în formularea condiției sarcinii, îl face interesant, deoarece vă permite să distingeți cel corect la nivelul testului (nmax=2) și incorect (nmax=3) soluții.

Multe sarcini privind subiectul luat în considerare sunt cuprinse în CT 2005.

În condițiile tuturor acestor sarcini (B1), este necesar să se adauge cuvântul cheie „principal” înaintea expresiei „maxim de difracție” (a se vedea comentariile la sarcina B5 din CT 2002, Testul nr. 5).

Din păcate, în toate variantele de teste B1 din CT 2005, valorile numerice d(l,N) și λ ales prost și întotdeauna dat în fracții

numărul de „zecimi” este mai mic de 5, ceea ce nu permite deosebirea operației de extragere a părții întregi a unei fracții (soluție corectă) de operația de rotunjire a fracției la o valoare întreagă (urmă falsă) la nivelul testului. Această împrejurare pune la îndoială oportunitatea utilizării acestor sarcini pentru un test obiectiv al cunoștințelor solicitanților cu privire la subiectul luat în considerare.

Se pare că compilatorii testelor s-au dus, la figurat vorbind, prin pregătirea diverselor „garnituri pentru preparat”, fără să se gândească la îmbunătățirea calității componentei principale a „mâncării” - selecția valorilor numerice. d(l,N)și λ pentru a crește numărul de „zecimi” în fracțiile d/ λ=l/(N* λ).

TT 2005 Opțiunea 4

ÎN 1. Pe un rețele de difracție, a cărui perioadăd1\u003d 1,2 μm, un fascicul normal paralel de lumină monocromatică cade cu o lungime de undă λ =500 nm. Daca este inlocuit cu o retea a carui perioadad2\u003d 2,2 μm, atunci numărul maximelor va crește cu ... .

Soluţie

În loc de „lumină cu o lungime de undă λ"" nevoie de „lungimea de undă a luminii λ "" . Stil, stil și mai mult stil!

pentru că

apoi, ținând cont de faptul că X este const, a d 2 >di,

Conform formulei (4, b)

Prin urmare, ∆Ntot. max=2(4-2)=4

Când rotunjim numerele 2,4 și 4,4 la valori întregi, obținem și 2 și, respectiv, 4. Din acest motiv, această sarcină ar trebui să fie recunoscută ca simplă și chiar nereușită.

Suplimentul 3. Rezolvați problema de mai sus prin înlocuirea în starea sa λ =500 nm pornit λ =433 nm (linie albastră în spectrul hidrogenului).

Răspuns: ΔN total. max=6

TT 2005 Opțiunea 6

ÎN 1. Pe un rețele de difracție cu o perioadă d= Fascicul de lumină monocromatic incident de 2 µm, în mod normal, cu lungime de undă λ =750 nm. Numărul de maxime care pot fi observate într-un unghi A\u003d 60 °, a cărei bisectoare este perpendiculară pe planul rețelei, este ... .

Soluţie

Expresia „lumină cu o lungime de undă λ " a fost deja discutat mai sus în TT 2005 Opțiunea 4.

A doua propoziție din condiția acestei sarcini ar putea fi simplificată și scrisă astfel: „Numărul de maxime principale observate în unghiul a = 60 °” și mai departe în textul sarcinii inițiale.

Este evident că

Conform formulei (4, a)

Conform formulei (5, a)

Această sarcină, ca și cea anterioară, nu permite obiectiv determina nivelul de înțelegere a subiectului în discuție de către solicitanți.

Anexa 4. Finalizați sarcina de mai sus, înlocuind în starea sa λ =750 nm activat λ = 589 nm (linia galbenă în spectrul sodiului). Răspuns: Nu o6sh \u003d 3.

TT 2005 Opțiunea 7

ÎN 1. pe un reţele de difracţie cuN 1- 400 de lovituri per l\u003d 1 mm lungime, un fascicul paralel de lumină monocromatică cade cu o lungime de undă λ =400 nm. Daca este inlocuit cu o retea avandN 2=800 de lovituri per l\u003d 1 mm lungime, atunci numărul maximelor de difracție va scădea cu ... .

Soluţie

Omitem discuția despre inexactități în formularea sarcinii, deoarece acestea sunt aceleași ca în sarcinile anterioare.

Din formulele (4, b), (5, b) rezultă că