Kas yra periodinė funkcija? Periodinių funkcijų savybės. Periodinių funkcijų pavyzdžiai ir jų grafikai

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė ( profilio lygis) A.G. Mordkovich, P.E. Semenovas Mokytoja Volkova S.E.

1 apibrėžimas Sakoma, kad funkcija y = f (x), x ∈ X turi periodą T, jei bet kurio x ∈ X lygybė f (x - T) = f (x) = f (x + T) yra teisinga. Jei funkcija su periodu T yra apibrėžta taške x, tada ji taip pat apibrėžiama taškuose x + T, x - T. Bet kuri funkcija turi periodą, nulis ties T \u003d 0 gauname f (x - 0) \u003d f (x) \u003d f (x + 0) .

2 apibrėžimas Funkcija, kurios periodas T skiriasi nuo nulio, vadinama periodine. Jei funkcija y = f (x), x ∈ X turi periodą T, tai bet kuris T kartotinis (t. y. kT formos skaičius, k ∈ Z) taip pat yra jos periodas.

Įrodymas Tegul 2T yra funkcijos periodas. Tada f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Panašiai įrodyta, kad f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) ir kt. Taigi f(x – kT) = f(x) = f(x + kT)

Mažiausias periodas tarp teigiamų periodinės funkcijos periodų vadinamas pagrindiniu šios funkcijos periodu.

Periodinės funkcijos grafiko ypatybės Jei T yra pagrindinis funkcijos y \u003d f (x) periodas, tai pakanka: sukurti grafiko šaką viename iš ilgio T intervalų, atlikti lygiagrečią. šios šakos vertimas išilgai x ašies ±T, ±2T, ±3T ir kt. Paprastai pasirinkite tarpą su galais taškuose

Savybės periodines funkcijas 1. Jei f(x) yra periodinė funkcija su periodu T, tai funkcija g(x) = A f(kx + b), kur k > 0, taip pat yra periodinė su periodu T 1 = T/k. 2. Tegul funkcijos f 1 (x) ir f 2 (x) yra apibrėžtos visoje realioje ašyje ir yra periodinės su periodais T 1 > 0 ir T 2 >0. Tada T 1 /T 2 ∈ Q funkcija f(x) = f(x) + f 2 (x) yra periodinė funkcija, kurios periodas T lygus mažiausiam bendrajam skaičių T 1 ir T 2 kartotiniam.

Pavyzdžiai 1. Periodinė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Jo periodas yra 3 ir f(0) =4 . Raskite reiškinio 2f(3) - f(-3) reikšmę. Sprendimas. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Gautų verčių pakeitimas į išraišką 2f (3) - f(-3) , gauname 8 - 4 =4 . Atsakymas: 4.

Pavyzdžiai 2. Periodinė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Jo periodas lygus 5, o f(-1) = 1. Raskite f(-12), jei 2f(3) - 5f(9) = 9. Sprendimas T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3) = 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Atsakymas: 7.

Literatūra A.G. Mordkovich, P.V. Semjonovas. Algebra ir analizės pradžia (profilio lygis), 10 klasė A.G. Mordkovich, P.V. Semjonovas. Algebra ir analizės pradžia (profilio lygis), 10 klasė. įrankių rinkinys už mokytoją

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

Periodinis įstatymas ir periodinė sistema D.I. Mendelejevas.

Bendra pamoka šia tema vyksta žaidimo forma, naudojant pedagoginių dirbtuvių technologijos elementus....

Užklasinis renginys „Periodinis D.I.Mendelejevo cheminių elementų dėsnis ir periodinė sistema“

Užklasinis renginys atskleidžia periodinio įstatymo ir periodinės sistemos kūrimo istoriją D.I. Mendelejevas. Informacija išdėstyta poetinė forma, kuris prisideda greitas įsiminimas m...

Paraiška į popamokinį renginį „Periodinis dėsnis ir periodinė cheminių elementų lentelė D. I. Mendelejevo“

Prieš įstatymo atradimą buvo ilgas ir intensyvus mokslinis darbas DI. Mendelejevas 15 metų, o dar 25 metai buvo skirti tolesniam jos gilinimui ....

Tikslas: apibendrinti ir sisteminti studentų žinias tema „Funkcijų periodiškumas“; formuoti gebėjimus taikyti periodinės funkcijos savybes, surasti mažiausią teigiamą funkcijos periodą, braižyti periodines funkcijas; skatinti domėjimąsi matematikos studijomis; ugdyti pastabumą, tikslumą.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, užduočių kortelės, skaidrės, laikrodžiai, ornamentiniai stalai, liaudies amatų elementai

„Matematika yra tai, ką žmonės naudoja valdyti gamtą ir save“
A.N. Kolmogorovas

Per užsiėmimus

I. Organizacinis etapas.

Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Pamokos temos ir uždavinių pristatymas.

II. Namų darbų tikrinimas.

Tikriname namų darbus pagal pavyzdžius, aptariame sunkiausius dalykus.

III. Žinių apibendrinimas ir sisteminimas.

1. Žodinis frontalinis darbas.

Teorijos klausimai.

1) Suformuokite funkcijos laikotarpio apibrėžimą
2) Koks yra mažiausias funkcijų y=sin(x), y=cos(x) teigiamas periodas
3). Koks yra mažiausias funkcijų y=tg(x), y=ctg(x) teigiamas periodas
4) Naudokite apskritimą, kad įrodytumėte ryšių teisingumą:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kaip nubraižyti periodinę funkciją?

burnos pratimai.

1) Įrodykite šiuos ryšius

a) nuodėmė (740º) = nuodėmė (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = nuodėmė (80º)

2. Įrodykite, kad 540º kampas yra vienas iš funkcijos y= cos(2x) periodų.

3. Įrodykite, kad 360º kampas yra vienas iš funkcijos y=tg(x) periodų.

4. Transformuokite šias išraiškas taip, kad jose esantys kampai absoliučia verte neviršytų 90º.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kur sutikote žodžius PERIODAS, PERIODiškumas?

Mokinių atsakymai: Laikotarpis muzikoje – tai konstrukcija, kurioje išsakoma daugiau ar mažiau išbaigta muzikinė mintis. Geologinis laikotarpis yra eros dalis ir yra padalintas į epochas, kurių laikotarpis yra nuo 35 iki 90 milijonų metų.

Radioaktyviosios medžiagos pusinės eliminacijos laikas. Periodinė trupmena. Periodiniai leidiniai – spausdinti leidiniai, kurie pasirodo griežtai apibrėžtomis datomis. Periodinė sistema Mendelejevas.

6. Paveiksluose parodytos periodinių funkcijų grafikų dalys. Apibrėžkite funkcijos laikotarpį. Nustatykite funkcijos laikotarpį.

Atsakymas: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Kur gyvenime teko susidurti su pasikartojančių elementų konstravimu?

Mokiniai atsako: Ornamentų elementai, liaudies menas.

IV. Kolektyvinis problemų sprendimas.

(Problemų sprendimas skaidrėse.)

Panagrinėkime vieną iš būdų, kaip tirti funkciją periodiškumui.

Šis metodas apeina sunkumus, susijusius su įrodinėjimu, kad vienas ar kitas periodas yra mažiausias, taip pat nereikia liesti klausimų apie aritmetines operacijas su periodinėmis funkcijomis ir apie kompleksinės funkcijos periodiškumą. Samprotavimas grindžiamas tik periodinės funkcijos apibrėžimu ir tokiu faktu: jei T yra funkcijos periodas, tai nT(n? 0) yra jos periodas.

1 uždavinys. Raskite funkcijos f(x)=1+3(x+q>5) mažiausią teigiamą periodą

Sprendimas: Tarkime, kad šios funkcijos T periodas. Tada f(x+T)=f(x) visiems x ∈ D(f), t.y.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Gauname x=-0,25

(T) = 0<=>T=n, n ∈ Z

Gavome, kad visi nagrinėjamos funkcijos periodai (jei jie yra) yra tarp sveikųjų skaičių. Iš šių skaičių pasirinkite mažiausią teigiamą skaičių. tai 1 . Patikrinkime, ar tai iš tikrųjų laikotarpis 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Kadangi (T+1)=(T) bet kuriam T, tai f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), t.y. 1 - laikotarpis f. Kadangi 1 yra mažiausias iš visų sveikųjų skaičių teigiami skaičiai, tada T = 1.

2 užduotis. Parodykite, kad funkcija f(x)=cos 2 (x) yra periodinė ir suraskite jos pagrindinį periodą.

Užduotis 3. Raskite pagrindinį funkcijos laikotarpį

f(x)=sin(1,5x)+5cos (0,75x)

Tarkime, kad funkcijos T periodas, tada bet kuriai X santykis

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jei x = 0, tada

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jei x = -T, tada

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Pridėjus gauname:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Iš visų „įtartinų“ laikotarpio skaičių parinksime mažiausią teigiamą ir patikrinkime, ar tai yra taškas f. Šis skaičius

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Vadinasi, yra pagrindinis funkcijos f periodas.

4 užduotis. Patikrinkite, ar funkcija f(x)=sin(x) yra periodinė

Tegu T yra funkcijos f periodas. Tada bet kokiam x

sin|x+T|=sin|x|

Jei x=0, tai sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Tarkime. Kad kai kuriems n skaičius π n yra periodas

laikoma funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

Tai reiškia, kad n turi būti ir lyginis, ir nelyginis tuo pačiu metu, o tai neįmanoma. Štai kodėl suteikta funkcija nėra periodinis.

5 užduotis. Patikrinkite, ar funkcija yra periodinė

f(x)=

Tada tegul T yra laikotarpis f

, taigi sinT=0, T=π n, n € Z. Tarkime, kad kai kuriems n skaičius π n iš tiesų yra duotosios funkcijos periodas. Tada skaičius 2π n taip pat bus taškas

Kadangi skaitikliai yra lygūs, tai ir jų vardikliai, taigi

Vadinasi, funkcija f nėra periodinė.

Grupinis darbas.

Užduotys 1 grupei.

Užduotys 2 grupei.

Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei toks yra).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Užduotys 3 grupei.

Darbo pabaigoje grupės pristato savo sprendimus.

VI. Apibendrinant pamoką.

Atspindys.

Mokytojas duoda mokiniams atvirutes su piešiniais ir siūlo nupiešti dalį pirmojo piešinio pagal tai, kiek, kaip jiems atrodo, jie yra įvaldę funkcijos periodiškumo tyrimo metodus, o dalį antrojo. piešimas, atsižvelgiant į jų indėlį į pamokos darbą.

VII. Namų darbai

vienas). Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) turi periodą T=2 ir f(x)=x 2 +2x, kai x € [-2; 0]. Raskite reiškinio reikšmę -2f(-3)-4f(3,5)

Literatūra/

Mordkovičius A.G. Algebra ir analizės pradžia su giluminiu tyrimu.
Matematika. Pasiruošimas egzaminui. Red. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ir pradžios analizė 10-11 klasėms.

Prašymas Nr.7

Savivaldybės švietimo įstaiga

vidutinis Bendrojo lavinimo mokyklos № 3

Mokytojas

Korotkovas

Asja Edikovna

Kurganinskas

2008 m

TURINYS

Įvadas …………………………………………………… 2-3

Periodinės funkcijos ir jų savybės ……………. 4-6

Užduotys …………………………………………………… 7-14

Įvadas

Atkreipkite dėmesį, kad mokomosios ir metodinės literatūros periodiškumo problemos turi sunkų likimą. Tai aiškinama keista tradicija – leisti vienokį ar kitokį aplaidumą apibrėžiant periodines funkcijas, kurios lemia kontroversiškus sprendimus ir provokuoja incidentus egzaminuose.

Pavyzdžiui, knygoje Žodynas matematinius terminus "- M, 1965, pateikiamas toks apibrėžimas:" periodinė funkcija - funkcija

y = f(x), kuriam egzistuoja skaičius t > 0, kuris visiems x ir x + t iš srities f(x + t) = f(x).

Pateiksime priešingą pavyzdį, rodantį šio apibrėžimo neteisingumą. Pagal šį apibrėžimą funkcija yra periodinė, kurios periodas t = 2π

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 su ribota apibrėžimo sritimi, o tai prieštarauja visuotinai priimtam požiūriui į periodines funkcijas.

Panašios problemos kyla daugelyje naujausių alternatyvių vadovėlių mokyklai.

A. N. Kolmogorovo vadovėlyje pateikiamas toks apibrėžimas: „Kalbant apie funkcijos f periodiškumą, manoma, kad yra toks skaičius T ≠ 0, kad apibrėžimo srityje D (f) kartu su kiekvienu tašku x yra taškai, gauti iš x lygiagrečiai perkeliant išilgai ašies Ox (dešinėje ir kairėje) atstumu T. Iškviečiama funkcija f periodinis leidinys su periodu T ≠ 0, jei kuriai nors iš apibrėžimo srities šios funkcijos reikšmės taškuose x, x - T, x + T yra lygios, t.y. f (x + T) \u003d f (x) \u003d f (x - T) ". Toliau vadovėlyje rašoma: „Kadangi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti visoje skaičių tiesėje ir Sin (x + 2π) = Sin x,

Cos (x + 2π) \u003d Cos x bet kuriam x, sinusas ir kosinusas yra funkcijos, kurios periodas yra 2π, laikotarpis.

Dėl tam tikrų priežasčių šiame pavyzdyje netikrinama, ko reikalaujama apibrėžiant sąlygą, kad

Nuodėmė (x - 2π) \u003d Nuodėmė x. Kas nutiko? Esmė ta, kad ši sąlyga apibrėžime yra nereikalinga. Iš tiesų, jei T > 0 yra funkcijos f(x) periodas, tai T taip pat bus šios funkcijos periodas.

Noriu pateikti dar vieną apibrėžimą iš M. I. Bashmakovo vadovėlio „Algebra ir analizės pradžia 10–11 ląstelių“. „Funkcija y \u003d f (x) vadinama periodine, jei yra toks skaičius T ≠ 0, kad lygybė

f(x + T) = f(x) galioja identiškai visoms x reikšmėms.

Aukščiau pateiktas apibrėžimas nieko nesako apie funkcijos apimtį, nors jis reiškia x iš apibrėžimo apimties, o ne bet kokį realų x. Pagal šį apibrėžimą funkcija y \u003d Sin (√x) gali būti periodinė 2 , apibrėžtas tik jei x ≥ 0, o tai netiesa.

Vieningame valstybiniame egzamine yra periodiškumo užduotys. Viename moksliniame periodiniame žurnale, kaip USE C skyriaus mokymas, buvo pateiktas problemos sprendimas: „yra funkcija y (x) \u003d nuodėmė 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) periodinis?

Sprendimas rodo, kad y (x - π) \u003d y (x) atsakyme - papildomas įrašas

„T = π“ (juk mažiausio teigiamo periodo radimo klausimas nekeliamas). Ar tikrai norint išspręsti šią problemą būtina atlikti sudėtingą trigonometrinį darinį? Galų gale, čia galite sutelkti dėmesį į periodiškumo sąvoką, kaip raktą į problemos sąlygą.

Sprendimas.

f 1 (x) \u003d Sin x - periodinė funkcija su periodu T \u003d 2π

f2 (x) = Cos x yra periodinė funkcija, kurios periodas T = 2π, tada 2π yra periodas, o funkcijoms f 3(x) = Sin(2+x) ir f 4 (x) = Cos (2 + x), (tai išplaukia iš periodiškumo apibrėžimo)

f5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, jo periodas yra bet koks skaičius, įskaitant 2π.

Nes periodinių funkcijų su bendru periodu T suma ir sandauga taip pat yra T periodinė, tada ši funkcija yra periodinė.

Tikiuosi, kad šiame darbe pateikta medžiaga padės ruošiantis singlui valstybinis egzaminas sprendžiant uždavinius periodiškumui.

Periodinės funkcijos ir jų savybės

Apibrėžimas: funkcija f(t) vadinama periodine, jei bet kuriai t iš šios funkcijos apibrėžimo srities D f yra skaičius ω ≠ 0, kad:

1) skaičiai (t ± ω) є D f ;

2) f(t + ω) = f(t).

1. Jei skaičius ω = funkcijos f (t) periodas, tai skaičius kω, kur k = ±1, ±2, ±3, … taip pat yra funkcijos f(t) periodai.

PAVYZDYS f(t) = Sint. Skaičius T = 2π yra mažiausias teigiamas šios funkcijos periodas. Tegul T 1 = 4π. Parodykime, kad T 1 taip pat yra šios funkcijos laikotarpis.

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.

Taigi T1 yra funkcijos f (t) = Sin t periodas.

2. Jei funkcija f(t) - ω yra periodinė funkcija, tai funkcijos f (at), kur a є R, ir f (t + c), kur c yra savavališka konstanta, taip pat yra periodinės.

Raskite funkcijos f(аt) periodą.

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), t.y. f (аt) = f (а(t + ω/а).

Todėl funkcijos f(аt) periodas – ω 1 = ω/а.

PAVYZDYS 1. Raskite funkcijos y = Sin t/2 periodą.

2 pavyzdys. Raskite funkcijos y \u003d Sin (t + π / 3) periodą.

Tegul f(t) = Sin t; y 0 \u003d Sin (t 0 + π / 3).

Tada funkcija f(t) = Sin t taip pat įgis reikšmę y 0, kai t = t 0 + π/3.

Tie. visas funkcijos y reikšmes taip pat ima funkcija f(t). Jei t interpretuojamas kaip laikas, tada kiekviena y reikšmė 0 funkcija y \u003d Sin (t + π / 3) imama π / 3 laiko vienetais anksčiau nei funkcija f (t) „paslinkimas“ į kairę π / 3. Akivaizdu, kad nuo to funkcijos laikotarpis nepasikeis, t.y. T y \u003d T 1.

3. Jei F(x) yra kokia nors funkcija, o f(t) yra periodinė funkcija, ir tokia, kad f(t) priklauso funkcijos F(x) – D sričiai F , tada funkcija F(f (t)) yra periodinė funkcija.

Tegu F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) bet kuriam t є D f.

PAVYZDYS Ištirkite periodiškumo funkciją: F(x) = ℓ nuodėmė x.

Šios funkcijos apimtis D f sutampa su realiųjų skaičių aibe R. f (x) = Sin x.

Šios funkcijos reikšmių rinkinys yra [-1; vienas]. Nes segmentas [-1; 1] priklauso D f , tada funkcija F(x) yra periodinė.

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).

2 π yra šios funkcijos periodas.

4. Jei funkcijos f 1 (t) ir f 2 (t) periodiniai, atitinkamai su periodais ω 1 ir ω 2 ir ω 1 / ω 2 = r, kur r yra racionalus skaičius, tada funkcijos

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) ir f 1 (t) f 2 (t) yra periodiniai (~ 1 ir C 2 yra konstantos).

Pastaba: 1) Jei r = ω 1 /ω 2 = p/q, nes r yra racionalus skaičius

ω 1 q = ω 2 p = ω, kur ω yra mažiausias bendras skaičių ω kartotinis 1 ir ω 2 (LCM).

Apsvarstykite funkciją C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).

Iš tiesų, ω = LCM (ω 1 , ω 2 ) – šios funkcijos laikotarpis

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .

2) ω – funkcijos f periodas 1 (t) f 2 (t), nes

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω \u003d f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t \u003d ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t).

Apibrėžimas: tegul f 1 (t) ir f (t) yra periodinės funkcijos su periodais, atitinkamai, ω 1 ir ω 2 , vadinasi, du laikotarpiai yra palyginami, jeiω 1 / ω 2 = r yra racionalus skaičius.

3) Jei periodai ω 1 ir ω 2 nėra proporcingos, tada funkcijos f 1 (t) + f 2 (t) ir

f 1 (t) f 2 t) nėra periodiniai. Tai yra, jei f 1 (t) ir f 2 (t) skiriasi nuo konstantos, periodinės, tolydžios, jų periodai nėra proporcingi, tada f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 t) nėra periodiniai.

4) Tegu f(t) = С, kur С yra savavališka konstanta. Ši funkcija yra periodinė. Jo periodas yra bet koks racionalus skaičius, o tai reiškia, kad jis neturi mažiausio teigiamo periodo.

5) Teiginys tinka ir daugiau funkcijas.

1 pavyzdys. Ištirkite funkcijos periodiškumą

F(x) = Sin x + Cos x.

Sprendimas. Tegul f 1 (x) = Sin x, tada ω 1 = 2πk, kur k є Z.

T 1 = 2π yra mažiausias teigiamas periodas.

f 2 (x) \u003d Cos x, T 2 \u003d 2π.

Santykis T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 yra racionalus skaičius, t.y. funkcijų periodai f 1 (x) ir f 2 (x) yra proporcingi. Taigi ši funkcija yra periodinė. Raskime jo laikotarpį. Pagal periodinės funkcijos apibrėžimą turime

Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

Nuodėmė (x + T) – Sin x \u003d Cos x – Cos (x + T),

2 Cos 2x + π / 2 Sin T / 2 \u003d 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,

Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) \u003d 0,

√2 Sin T / 2 Sin (π / 4 - T + 2x / 2) \u003d 0, todėl

Sin T/2 = 0, tada T = 2πk.

Nes (х ± 2πk) є D f , kur f(x) = Sin x + Cos x,

f(х + t) = f(х), tada funkcija f(х) yra periodinė su mažiausiai teigiamu periodu 2π.

2 pavyzdys. Ar periodinė funkcija f (x) \u003d Cos 2x Sin x, koks jos periodas?

Sprendimas. Tegul f 1 (x) \u003d Cos 2x, tada T 1 \u003d 2π: 2 \u003d π (žr. 2)

Tegul f 2 (x) = Sin x, tada T 2 = 2π. Nes π/2π = ½ yra racionalus skaičius, tada ši funkcija yra periodinė. Jo laikotarpis T = LCM

(π, 2π) = 2π.

Taigi ši funkcija yra periodinė su 2π periodu.

5. Tegul funkcija f(t), kuri nėra identiškai lygi konstantai, yra tolydi ir periodinė, tada ji turi mažiausią teigiamą periodą ω 0 , bet kuris kitas jo ω periodas turi tokią formą: ω= kω 0 , kur k є Z.

Pastaba: 1) Šiam turtui labai svarbios dvi sąlygos:

f(t) yra tolydis, f(t) ≠ C, kur C yra konstanta.

2) Priešingas tvirtinimas netiesa. Tai yra, jei visi laikotarpiai yra proporcingi, tada iš to neišplaukia, kad yra mažiausias teigiamas laikotarpis. Tie. periodinė funkcija negali turėti mažiausio teigiamo periodo.

1 PAVYZDYS. f(t) = C, periodinis. Jo periodas yra bet koks realus skaičius, nėra mažiausio laikotarpio.

2 pavyzdys. Dirichlet funkcija:

D(x) =

Bet koks racionalus skaičius yra jo periodas, nėra mažiausio teigiamo laikotarpio.

6. Jei f(t) yra nuolatinė periodinė funkcija ir ω 0 yra jos mažiausias teigiamas periodas, tada funkcija f(αt + β) turi mažiausią teigiamą periodą ω 0 /‌‌/α/. Šis teiginys išplaukia iš 2 punkto.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos y \u003d Sin (2x - 5) periodą.

Sprendimas. y \u003d nuodėmė (2x - 5) \u003d nuodėmė (2 (x - 5/2)).

Funkcijos y grafikas gaunamas iš Sin x funkcijos grafiko, pirmiausia du kartus „suspaudus“, paskui „paslinkus“ į dešinę 2,5. „Poslinkis neturi įtakos periodiškumui, T = π yra šios funkcijos periodas.

Šios funkcijos laikotarpį lengva gauti naudojant 6 punkto savybę:

T \u003d 2π / 2 \u003d π.

7. Jei f (t) - ω yra periodinė funkcija ir ji turi nuolatinę išvestinę f "(t), tada f" (t) taip pat yra periodinė funkcija, T \u003d ω

1 PAVYZDYS. f(t) = Sin t, T = 2πk. Jo išvestinė f "(t) = Cos t

F "(t) \u003d Kaina t, T = 2πk, k є Z.

2 PAVYZDYS. f(t) = Cos t, T = 2πk. Jo darinys

F "(t) \u003d - Sin t, T \u003d 2πk, k є Z.

3 pavyzdys. f(t) =tg t, jo periodas Т = πk.

F "(t) \u003d 1 / Cos 2 t taip pat yra periodinis pagal 7 savybių elementą ir turi periodą T = πk. Jo mažiausias teigiamas periodas yra T = π.

UŽDUOTYS.

№ 1

Ar funkcija f(t) = Sin t + Sin πt periodinė?

Sprendimas. Palyginimui, šią problemą sprendžiame dviem būdais.

Pirma, pagal periodinės funkcijos apibrėžimą. Tarkime, kad f(t) yra periodinis, tada bet kuriam t є D jei turime:

Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

Sin (t + T) – Sin t \u003d Sin πt – Sin π (t + T),

2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.

Nes tai galioja bet kuriam t є D f , tada, visų pirma, t 0 , kurioje išnyksta paskutinės lygybės kairioji pusė.

Tada mes turime: 1) Cos 2t 0 + T/2 Sin T/2 = 0. Išspręskite T atžvilgiu.

Sin Т/2 = 0, kai Т = 2 πk, kur k є Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Išspręskite Т atžvilgiu.

Sin πТ/2 = 0, tada Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, kur n є Z.

Nes turime tapatybę, tada 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, kurios negali būti, nes π yra neracionalusis skaičius, o n/ k yra racionalusis. Tai yra, mūsų prielaida, kad funkcija f(t) yra periodinė, buvo neteisinga.

Antra, sprendimas yra daug paprastesnis, jei naudosime aukščiau pateiktas periodinių funkcijų savybes:

Tegul f 1 (t) = Sin t, Т 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, Т 2 - 2π/π = 2. Tada Т 1 / Т 2 = 2π/2 = π yra neracionalusis skaičius, t.y. laikotarpiai T 1, T 2 nėra proporcingi, todėl f(t) nėra periodinis.

Atsakymas: ne.

№ 2

Parodykite, kad jei α yra neracionalusis skaičius, tada funkcija

F(t) = Cos t + Cos αt

nėra periodinis.

Sprendimas. Tegul f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.

Tada jų periodai yra atitinkamai T 1 \u003d 2π, T 2 = 2π//α/ – mažiausi teigiami periodai. Susiraskime, T 1 / T 2 = 2π/α//2π = /α/ yra neracionalusis skaičius. Taigi T 1 ir T 2 yra nesuderinami, ir funkcija

f(t) nėra periodinis.

№ 3

Raskite funkcijos f(t) = Sin 5t mažiausią teigiamą periodą.

Sprendimas. Pagal 2 nuosavybės elementą turime:

f(t) yra periodinis; T = 2π/5.

Atsakymas: 2π/5.

№ 4

Ar F(x) = arckos x + arcsin x yra periodinė funkcija?

Sprendimas. Apsvarstykite šią funkciją

F(x) \u003d arcsin x + arcsin x \u003d π - arcsin x + arcsin x \u003d π,

tie. F(x) yra periodinė funkcija (žr. 5 ypatybės punktą, 1 pavyzdį).

Atsakymas: taip.

№ 5

Yra periodinė funkcija

F(x) \u003d Sin 2x + Cos 4x + 5?

sprendimas. Tegul f 1 (x) = Sin 2x, tada T 1 = π;

F 2 (x) \u003d Cos 4x, tada T 2 \u003d 2π / 4 \u003d π / 2;

F 3 (x) \u003d 5, T 3 - bet koks tikrasis skaičius, ypač T 3 galime manyti, lygūs T 1 arba T 2 . Tada šios funkcijos periodas yra T = LCM (π, π/2) = π. Tai yra, f(x) yra periodinis su periodu Т = π.

Atsakymas: taip.

№ 6

Ar funkcija f(x) = x - E(x) yra periodinė, kur E(x) yra funkcija, susiejanti argumentą x su mažiausiu sveikuoju skaičiumi, neviršijančiu duoto.

Sprendimas. Dažnai funkcija f (x) žymima (x) – trupmenine skaičiaus x dalimi, t.y.

F(x) \u003d (x) \u003d x - E (x).

Tegu f(х) yra periodinė funkcija, t.y. egzistuoja toks skaičius T >0, kad x - E(x) = x + T - E(x + T). Parašykime šią lygtį

(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),

(x) + (x + T) – teisinga bet kuriam x iš domeno D f, su sąlyga, kad T ≠ 0 ir T є Z. Mažiausias teigiamas iš jų yra T = 1, t.y. T = 1, todėl

X + T - E (x + T) \u003d x - E (x),

Be to, (х ± Тk) є D f , kur k є Z.

Atsakymas: ši funkcija yra periodinė.

№ 7

Ar funkcija f(x) = Sin x periodinė? 2 .

Sprendimas. Tarkime, f(x) = Sin x 2 periodinė funkcija. Tada pagal periodinės funkcijos apibrėžimą yra toks skaičius T ≠ 0, kad: Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 bet kuriam x є D f.

nuodėmė x 2 \u003d nuodėmė (x + T) 2 \u003d 0,

2 Cos x 2 + (x + T) 2/2 Sin x 2 - (x + T) 2/2 \u003d 0, tada

Cos x 2 + (x + T) 2/2 = 0 arba Sin x 2 - (x + T) 2/2 = 0.

Apsvarstykite pirmąją lygtį:

Cos x 2 + (x + T) 2/2 \u003d 0,

X 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d π (1 + 2 k) / 2 (k є Z),

T \u003d √ π (1 + 2 k) - x 2 - x. (vienas)

Apsvarstykite antrąją lygtį:

Sin x 2 – (x + T) 2/2 \u003d 0,

X + T \u003d √- 2πk + x 2,

T \u003d √x 2 - 2πk - x. (2)

Iš (1) ir (2) išraiškų matyti, kad rastos T reikšmės priklauso nuo x, t.y. nėra T>0 tokio

Nuodėmė x 2 \u003d Nuodėmė (x + T) 2

Bet kuriam x iš šios funkcijos srities. f(x) nėra periodinis.

Atsakymas: ne

№ 8

Ištirkite funkcijos f(x) = Cos periodiškumą 2 x.

Sprendimas. Pavaizduokime f(x) dvigubo kampo kosinuso formule

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.

Tegul f 1 (x) = ½, tada T 1 - tai gali būti bet koks tikrasis skaičius; f 2 (x) \u003d ½ Cos 2x yra periodinė funkcija, nes dviejų periodinių funkcijų sandauga bendras laikotarpis T 2 = pi. Tada mažiausias teigiamas šios funkcijos periodas

T \u003d LCM (T 1, T 2) \u003d π.

Taigi funkcija f(x) = Cos 2 x – π – yra periodinis.

Atsakymas: π yra periodinis.

№ 9

Ar periodinės funkcijos sritis gali būti:

A) pustiesė [a, ∞),

B) supjaustyti?

Sprendimas. Ne, nes

A) pagal periodinės funkcijos apibrėžimą, jei x є D f, tada ir x ± ω

Turi priklausyti funkcijos sričiai. Tada tegul x = a

X 1 \u003d (a - ω) є [a, ∞);

B) tegul x = 1, tada x 1 \u003d (1 + T) є.

№ 10

Ar periodinė funkcija gali būti:

A) griežtai monotoniškas;

B) lygus;

B) net ne?

Sprendimas. a) Tegul f(x) yra periodinė funkcija, t.y. egzistuoja toks T≠0, kad bet kuriam x iš funkcijų srities D f htsla

(x ± T) є D f ir f (x ± T) \u003d f (x).

Pataisykite bet kurį x 0 º D f , nes f(x) yra periodinis, tada (x 0 + T) є D f ir f (x 0) \u003d f (x 0 + T).

Tarkime, kad f(x) yra griežtai monotoniškas ir visoje D apibrėžimo srityje f , pavyzdžiui, padidėja. Tada pagal bet kurios x didėjančios funkcijos apibrėžimą 1 ir x 2 iš domeno D f iš nelygybės x 1 2 iš to seka, kad f(x 1 ) 2 ). Visų pirma iš sąlygos x 0 0 + T, iš to seka

F(x 0 ) 0 +T), o tai prieštarauja sąlygai.

Tai reiškia, kad periodinė funkcija negali būti griežtai monotoniška.

b) Taip, periodinė funkcija gali būti lyginė. Paimkime kelis pavyzdžius.

F (x) \u003d Cos x, Cos x \u003d Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) yra lyginė periodinė funkcija.

0, jei x yra racionalusis skaičius;

D(x) =

1, jei x yra neracionalusis skaičius.

D(x) = D(-x), funkcijos D(x) sritis yra simetriška.

Direchleto funkcija D(x) yra lyginė periodinė funkcija.

f(x) = (x),

f (-x) \u003d -x - E (-x) \u003d (-x) ≠ (x).

Ši funkcija nėra lygi.

c) Periodinė funkcija gali būti nelyginė.

f (x) \u003d nuodėmė x, f (-x) \u003d nuodėmė (-x) \u003d - nuodėmė \u003d - f (x)

f(x) yra nelyginė periodinė funkcija.

f (x) – Sin x Cos x, f (-x) \u003d Sin (-x) Cos (-x) \u003d – Sin x Cos x \u003d – f (x),

f(x) yra nelyginis ir periodinis.

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x) nėra nelyginis.

f(х) = tg x yra nelyginė periodinė funkcija.

Atsakymas: ne; Taip; Taip.

№ 11

Kiek nulių gali turėti periodinė funkcija:

vienas); 2) visoje realiojoje ašyje, jei funkcijos periodas lygus T?

Sprendimas: 1. a) Intervale [a, b] periodinė funkcija gali neturėti nulių, pavyzdžiui, f(x) = C, C≠0; f (x) \u003d Cos x + 2.

b) Atkarpoje [a, b] periodinė funkcija gali turėti begalinį nulių skaičių, pavyzdžiui, Direchlet funkcija

0, jei x yra racionalus skaičius,

D(x) =

1, jei x yra neracionalusis skaičius.

c) Atkarpoje [a, b] periodinė funkcija gali turėti baigtinį nulių skaičių. Raskime šį skaičių.

Tegu T yra funkcijos periodas. Pažymėti

X 0 = (min x є(a,b), kad f(х) = 0).

Tada nulių skaičius atkarpoje [a, b]: N = 1 + E (x 0 /T).

1 pavyzdys. x є [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 х yra periodinė funkcija, kurios periodas Т = π; X 0 = -π/2; tada funkcijos f(x) nulių skaičius duotoje atkarpoje

N \u003d 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + E (8π / 2π) \u003d 5.

2 pavyzdys. f (x) \u003d x - E (x), x є [-2; 8.5]. f(х) – periodinė funkcija, Т + 1,

x 0 = -2. Tada funkcijos f(x) nulių skaičius duotoje atkarpoje

N \u003d 1 + E (8,5 - (-2) / 1) \u003d 1 + E (10,5 / 1) = 1 + 10 \u003d 11.

3 pavyzdys. f (x) \u003d Cos x, x є [-3π; π], T 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2.

Tada šios funkcijos nulių skaičius tam tikrame segmente

N \u003d 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) \u003d 1 + E (7π / 2π) = 1 + 3 \u003d 4.

2. a) Begalinis nulių skaičius, nes X 0 × D f ir f (х 0 ) = 0, tada visiems skaičiams

X 0 + Tk, kur k є Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) =0, o x formos taškai 0 ± Tk yra begalinė aibė;

b) neturi nulių; jei f(х) yra periodinis ir bet kuriam

х є D f funkcija f(x) >0 arba f(x)

F(x) \u003d Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;

F(x) \u003d Sin x - 8 + Cos x;

F(x) = Sin x Cos x + 5.

№ 12

Ar neperiodinių funkcijų suma gali būti periodinė?

Sprendimas. Taip galbūt. Pavyzdžiui:

f 1 (х) = х yra neperiodinis, f 2 (x) \u003d E (x) - neperiodinis

F (x) \u003d f 1 (x) - f 2 (x) \u003d x - E (x) - periodinis.

f 1 (x) \u003d x – neperiodinis, f (x) \u003d Sin x + x – neperiodinis

F (x) \u003d f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x – periodinis.

Atsakymas: taip.

№ 13

Funkcija f(x) ir φ(x) yra periodinės su periodais T 1 ir T 2 atitinkamai. Ar jų produktas visada yra periodinė funkcija?

Sprendimas. Ne, tik jei T 1 ir T 2 - palyginamas. Pavyzdžiui,

F(x) \u003d Sin x Sin πx, T 1 \u003d 2π, T 2 \u003d 2; tada T 1 / T 2 = 2π/2 = π yra neracionalusis skaičius, todėl f(x) nėra periodinis.

f (x) \u003d (x) Cos x \u003d (x - E (x)) Cos x. Tegul f 1 (x) \u003d x - E (x), T 1 \u003d 1;

f 2 (x) \u003d Cos (x), T 2 \u003d 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, taigi f(x) nėra periodinis.

Atsakymas: Ne.

Savarankiško sprendimo užduotys

Kurios iš funkcijų yra periodinės, rasti laikotarpį?

1. f (x) \u003d Sin 2x, 10. f (x) \u003d Sin x / 2 + tg x,

2. f (x) \u003d Cos x / 2, 11. f (x) \u003d Sin 3x + Cos 4x,

3. f (x) \u003d tg 3x, 12. f (x) \u003d nuodėmė 2 x+1,

4. f(x) = Cos (1–2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,

5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,

6. f (x) \u003d ctg x / 3, 15. f (x) \u003d x 2 – E (x 2),

7. f (x) \u003d nuodėmė (3x - π / 4), 16. f (x) \u003d (x - E (x)) 2 ,

8. f (x) \u003d Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) \u003d 2 x - E (x),

9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, jei n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

Tegul f(x) - T yra periodinė funkcija. Kurios iš funkcijų yra periodinės (rasti T)?

φ(х) = f(х + λ) yra periodinis, nes "poslinkis" išilgai Ox ašies neturi įtakos ω; jo periodas ω = T.
φ(х) = а f(х + λ) + в yra periodinė funkcija, kurios periodas ω = Т.
φ(x) = f(kx) yra periodinė funkcija, kurios periodas ω = T/k.
φ(x) \u003d f (ax + b) - periodinė funkcija su periodu ω \u003d T / a.
φ(x) = f(√x) nėra periodinis, nes jo apibrėžimo sritis Dφ = (x/x ≥ 0), o periodinės funkcijos apibrėžimo sritis negali būti pusašis.
φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) yra periodinė funkcija, nes

φ (x + T) \u003d f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 \u003d φ (x), ω \u003d T.

φ (x) \u003d a f 2 (x) + f (x) + c.

Tegul φ 1 (x) = a f 2 (x) – periodinis, ω 1 = t/2;

φ 2 (х) = in f(х) – periodinis, ω 2=T/T=T;

φ 3 (х) = с – periodinis, ω 3 - bet koks skaičius;

tada ω = LCM(Т/2; Т) = Т, φ(х) yra periodinis.

Priešingu atveju, nes šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė, tada funkcijos f - E reikšmių rinkinys f є D φ , taigi funkcija

φ(х) yra periodinis ir ω = Т.

φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0.

φ(х) yra periodinis su periodu ω = Т, nes bet kuriam x funkcijai f(x) įgyja reikšmes f(x) ≥ 0, t.y. jo vertybių rinkinys E f є D φ , kur

D φ yra funkcijos φ(z) = √z apibrėžimo sritis.

№ 15

Ar funkcija f(x) = x 2 periodiškai?

Sprendimas. Apsvarstykite x ≥ 0, tada f(x) yra atvirkštinė funkcija √x, o tai reiškia, kad šiame intervale f(x) - monotoniška funkcija, tada jis negali būti periodinis (žr. Nr. 10).

№ 16

Duotas daugianario P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.

Ar P(x) yra periodinė funkcija?

Sprendimas. 1. Jei tapatumas yra pastovus, tai P(x) yra periodinė funkcija, t.y. jeigu i = 0, kur i ≥ 1.

2. Tegu P(x) ≠ c, kur c yra tam tikra konstanta. Tegul P(x) yra periodinė funkcija, o P(x) turi realias šaknis, tada nuo P(x) yra periodinė funkcija, tada jų turi būti begalinis skaičius. Ir pagal pagrindinę algebros teoremą jų skaičius k yra toks, kad k ≤ n. Taigi P(x) nėra periodinė funkcija.

3. Tegul P(x) yra polinomas, kuris yra identiškas nuliui ir neturintis realių šaknų. Tarkime, kad P(x) yra periodinė funkcija. Įvedame daugianarį q(x) = a 0 , q(х) yra periodinė funkcija. Apsvarstykite skirtumą P(x) - q(x) = a 1 x 2 + ... + a n x n.

Nes kairėje lygybės pusėje yra periodinė funkcija, tada funkcija dešinėje taip pat yra periodinė, be to, ji turi bent vieną tikrąją šaknį, x \u003d 0. Jei funkcija yra periodinė, tada nulių turi būti begalinis skaičius. Mes turime prieštaravimą.

P(x) nėra periodinė funkcija.

№ 17

Funkcija f(t) – T yra periodinė. Ar funkcija fį (t), kur

k є Z, periodinė funkcija, kaip susiję jų laikotarpiai?

Sprendimas. Įrodymas bus atliktas matematinės funkcijos metodu. Leisti

f 1 = f(t), tada f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),

F 3 \u003d f 3 (t) \u003d f (t) f 2 yra periodinė funkcija pagal 4 punkto savybę.

………………………………………………………………………….

Tegu f k-1 = f k-1 (t) yra periodinė funkcija, o jos periodas T k-1 proporcingai periodui T. Abi paskutinės lygybės dalis padauginame iš f(t), gauname f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F iki = f iki t) yra periodinė funkcija pagal 4 nuosavybės elementą. ω ≤ Т.

№ 18

Tegul f(x) yra savavališka funkcija, apibrėžta . Ar funkcija f((x)) yra periodinė?

A n e t: taip, nes funkcijos (x) reikšmių rinkinys priklauso funkcijos f(x) apibrėžimo sričiai, tada pagal 3 savybę f((x)) yra periodinė funkcija, jos periodas ω = T = 1.

№ 19

F(x) yra savavališka funkcija, apibrėžta [-1; 1], ar funkcija f(sinx) yra periodinė?

Atsakymas: taip, jo periodas yra ω = T = 2π (įrodymas panašus į #18).

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, užduočių kortelės, skaidrės, laikrodžiai, ornamentiniai stalai, liaudies amatų elementai

„Matematika yra tai, ką žmonės naudoja valdyti gamtą ir save“
A.N. Kolmogorovas

Per užsiėmimus

I. Organizacinis etapas.

Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Pamokos temos ir uždavinių pristatymas.

II. Namų darbų tikrinimas.

Tikriname namų darbus pagal pavyzdžius, aptariame sunkiausius dalykus.

III. Žinių apibendrinimas ir sisteminimas.

1. Žodinis frontalinis darbas.

Teorijos klausimai.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kaip nubraižyti periodinę funkciją?

burnos pratimai.

1) Įrodykite šiuos ryšius

a) nuodėmė (740º) = nuodėmė (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = nuodėmė (80º)

2. Įrodykite, kad 540º kampas yra vienas iš funkcijos y= cos(2x) periodų.

3. Įrodykite, kad 360º kampas yra vienas iš funkcijos y=tg(x) periodų.

4. Transformuokite šias išraiškas taip, kad jose esantys kampai absoliučia verte neviršytų 90º.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kur sutikote žodžius PERIODAS, PERIODiškumas?

6. Paveiksluose parodytos periodinių funkcijų grafikų dalys. Apibrėžkite funkcijos laikotarpį. Nustatykite funkcijos laikotarpį.

Atsakymas: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Kur gyvenime teko susidurti su pasikartojančių elementų konstravimu?

Mokiniai atsako: Ornamentų elementai, liaudies menas.

IV. Kolektyvinis problemų sprendimas.

(Problemų sprendimas skaidrėse.)

Panagrinėkime vieną iš būdų, kaip tirti funkciją periodiškumui.

1 uždavinys. Raskite funkcijos f(x)=1+3(x+q>5) mažiausią teigiamą periodą

Sprendimas: Tarkime, kad šios funkcijos T periodas. Tada f(x+T)=f(x) visiems x ∈ D(f), t.y.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Gauname x=-0,25

(T) = 0<=>T=n, n ∈ Z

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Kadangi (T+1)=(T) bet kuriam T, tai f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), t.y. 1 - laikotarpis f. Kadangi 1 yra mažiausias iš visų teigiamų sveikųjų skaičių, tai T=1.

2 užduotis. Parodykite, kad funkcija f(x)=cos 2 (x) yra periodinė ir suraskite jos pagrindinį periodą.

Užduotis 3. Raskite pagrindinį funkcijos laikotarpį

f(x)=sin(1,5x)+5cos (0,75x)

Tarkime, kad funkcijos T periodas, tada bet kuriai X santykis

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jei x = 0, tada

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jei x = -T, tada

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Pridėjus gauname:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Iš visų „įtartinų“ laikotarpio skaičių parinksime mažiausią teigiamą ir patikrinkime, ar tai yra taškas f. Šis skaičius

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Vadinasi, yra pagrindinis funkcijos f periodas.

4 užduotis. Patikrinkite, ar funkcija f(x)=sin(x) yra periodinė

Tegu T yra funkcijos f periodas. Tada bet kokiam x

sin|x+T|=sin|x|

Jei x=0, tai sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Tarkime. Kad kai kuriems n skaičius π n yra periodas

laikoma funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

Tai reiškia, kad n turi būti ir lyginis, ir nelyginis tuo pačiu metu, o tai neįmanoma. Todėl ši funkcija nėra periodinė.

5 užduotis. Patikrinkite, ar funkcija yra periodinė

f(x)=

Tada tegul T yra laikotarpis f

, taigi sinT=0, T=π n, n € Z. Tarkime, kad kai kuriems n skaičius π n iš tiesų yra duotosios funkcijos periodas. Tada skaičius 2π n taip pat bus taškas

Kadangi skaitikliai yra lygūs, tai ir jų vardikliai, taigi

Vadinasi, funkcija f nėra periodinė.

Grupinis darbas.

Užduotys 1 grupei.

Užduotys 2 grupei.

Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei toks yra).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Užduotys 3 grupei.

Darbo pabaigoje grupės pristato savo sprendimus.

VI. Apibendrinant pamoką.

Atspindys.

VII. Namų darbai

vienas). Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) turi periodą T=2 ir f(x)=x 2 +2x, kai x € [-2; 0]. Raskite reiškinio reikšmę -2f(-3)-4f(3,5)

Literatūra/

Mordkovičius A.G. Algebra ir analizės pradžia su giluminiu tyrimu.
Matematika. Pasiruošimas egzaminui. Red. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ir pradžios analizė 10-11 klasėms.

HARMONINĖ ANALIZĖ

Įvadas.

Šiuolaikinė plėtra technologijos kelia didelius reikalavimus matematiniam inžinierių rengimui. Suformulavus ir ištyrus daugybę specifinių mechanikos ir fizikos problemų, atsirado trigonometrinių eilučių teorija. Furjė serijos atlieka svarbiausią vaidmenį visose technologijos srityse, pagrįstos virpesių teorija ir spektrinės analizės teorija. Pavyzdžiui, duomenų perdavimo sistemose signalams apibūdinti praktinis naudojimas spektriniai atvaizdai visada lemia poreikį eksperimentiškai įgyvendinti Furjė plėtrą. Trigonometrinių eilučių vaidmuo elektrotechnikoje ypač didelis tiriant periodines nesinusines sroves: funkcijos amplitudės spektras randamas naudojant Furjė eilutes kompleksine forma. Furjė integralas naudojamas neperiodiniams procesams pavaizduoti.

Trigonometrinės serijos yra svarbios daugelyje matematikos šakų ir suteikia ypač patogius metodus sprendžiant sudėtingas matematinės fizikos problemas, tokias kaip stygos virpesiai ir šilumos sklidimas strypuke.

Periodinės funkcijos.

Daugelis mokslo ir technologijų problemų yra susijusios su periodinėmis funkcijomis, kurios atspindi ciklinius procesus.

1 apibrėžimas. Periodiniais reiškiniais vadinami reiškiniai, kurie pasikartoja ta pačia seka ir ta pačia forma tam tikrais argumento intervalais.

Pavyzdys. Spektrinėje analizėje – spektrai.

2 apibrėžimas. Funkcija adresu = f(x) vadinamas periodiniu su tašku T, jei f(x + T) = f(x) visiems X ir x + T iš funkcijos apimties.

Paveiksle pavaizduotos funkcijos laikotarpis T = 2.

3 apibrėžimas. Mažiausias teigiamas funkcijos periodas vadinamas pagrindiniu periodu.

Ten, kur tenka susidurti su periodiniais reiškiniais, beveik visada susiduriama su trigonometrinėmis funkcijomis.

Veikimo laikotarpis yra lygus , funkcijų periodas yra lygus .

Laikotarpis trigonometrinės funkcijos su argumentu ( Oi) randama pagal formulę:

Pavyzdys. Raskite pagrindinį funkcijų laikotarpį 1) .

Sprendimas. 1) . 2) .

Lemma. Jeigu f(x) turi tašką T, tada šios funkcijos integralas, paimtas ribose, kurios skiriasi T, nepriklauso nuo apatinės integravimo ribos pasirinkimo, t.y. = .

Pagrindinis sunkus laikotarpis periodinė funkcija adresu = f(x) (sudaryta iš periodinių funkcijų sumos) yra mažiausias sudedamųjų funkcijų periodų bendras kartotinis.

Tai yra, jei f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), T 1 - funkcijos laikotarpis f 1 (x), T 2 - funkcijos laikotarpis f 2 (x), tada mažiausias teigiamas laikotarpis T turi atitikti sąlygą:

T = nt 1 + kT 2, kur(*) –

Skaidrių antraštės:

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

Taip pat skaitykite