Kadangi nurodyti plotai yra atitinkamai vienodi

S∆OAC=0,5∙OC∙OA nuodėmė α= 0,5 sinα, S sekta. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α = 0,5 α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC = 0,5 tga.

Vadinasi,

sinα< α < tg α.

Visus nelygybės narius padaliname iš sin α > 0: .

Bet . Todėl, remiantis 4 teorema apie ribas, darome išvadą, kad išvestinė formulė vadinama pirmąja reikšminga riba.

Taigi pirmoji nuostabi riba padeda atskleisti neapibrėžtumą. Atminkite, kad gautos formulės nereikėtų painioti su ribomis Pavyzdžiai.

11.Limitas ir susijusias ribas.

ANTRA PAŽYMI RIBA

Antroji žymi riba skirta neapibrėžčiai 1 ∞ atskleisti ir atrodo taip

Atkreipkime dėmesį į tai, kad antrosios žymiosios ribos formulėje eksponente turi būti išraiška, kuri yra priešinga tai, kuri pridedama prie vieneto bazėje (kadangi šiuo atveju galima įvesti pakeitimą kintamųjų ir sumažinkite norimą ribą iki antros reikšmingos ribos)

Pavyzdžiai.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 yra be galo mažas x→1, kadangi (žr. pav.).

2. Funkcija f(x)=tg x yra be galo mažas x→0.

3. f(x)= log(1+ x) yra be galo mažas x→0.

4. f(x) = 1/x yra be galo mažas x→∞.

Nustatykime tokį svarbų ryšį:

Teorema. Jei funkcija y=f(x) atstovaujama adresu x→a kaip pastovaus skaičiaus suma b ir be galo mažas α(x): f(x)=b+ α(x) tada .

Ir atvirkščiai, jei , tada f(x)=b+α(x), kur a(x) yra be galo mažas x→a.

Įrodymas.

1. Įrodykime pirmąją teiginio dalį. Iš lygybės f(x)=b+α(x) turėtų |f(x) – b|=| α|. Bet kadangi a(x) yra be galo maža, tada savavališkam ε yra δ, taško kaimynystė a, visiems x iš kurių, vertybės a(x) patenkinti santykius |α(x)|< ε. Tada |f(x) – b|< ε. O tai reiškia, kad.

2. Jei , tai bet kuriam ε >0 visiems X iš kai kurių δ yra taško kaimynystė a bus |f(x) – b|< ε. Bet jei pažymėsime f(x) – b= α, tada |α(x)|< ε, o tai reiškia a- be galo mažas.

Panagrinėkime pagrindines be galo mažų funkcijų savybes.

1 teorema. Dviejų, trijų ir apskritai bet kurio baigtinio begalinių mažųjų skaičiaus algebrinė suma yra be galo maža funkcija.

Įrodymas. Pateiksime dviejų terminų įrodymą. Leisti f(x)=α(x)+β(x), kur ir. Turime įrodyti, kad savavališkai savavališkai mažam ε > 0 ten δ> 0, toks, kad už x tenkinantis nelygybę |x- a|<δ , atlikta |f(x)|< ε.

Taigi nustatome savavališką skaičių ε > 0. Kadangi, remiantis teoremos hipoteze, α(x) yra be galo maža funkcija, tada egzistuoja δ 1 > 0, kuri at |x – a|< δ 1 turime |α(x)|< ε / 2. Taip pat nuo β(x) yra be galo mažas, tada yra toks δ 2 > 0, kuri at |x – a|< δ 2 turime | β(x)|< ε / 2.

Paimkime δ=min(δ1 , δ2 } .Tada taško kaimynystėje a spindulys δ kiekviena iš nelygybių bus patenkinta |α(x)|< ε / 2 ir | β(x)|< ε / 2. Todėl šioje kaimynystėje bus

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tie. |f(x)|< ε, kuris turėjo būti įrodytas.

2 teorema. Be galo mažos funkcijos sandauga a(x) ribotai funkcijai f(x) adresu x→a(arba kada x→∞) yra be galo maža funkcija.

Įrodymas. Nuo funkcijos f(x) yra ribotas, tada yra skaičius M toks, kad visoms vertybėms x iš kokios nors taško kaimynystės a|f(x)|≤M. Be to, nuo a(x) yra be galo maža funkcija x→a, tada savavališkam ε > 0 yra taško kaimynystė a, kurioje nelygybė |α(x)|< ε /M. Tada mažesniuose iš šių rajonų turime | αf|< ε /M= ε. O tai reiškia, kad af- be galo mažas. Dėl bylos x→∞įrodinėjimas atliekamas panašiai.

Iš įrodytos teoremos išplaukia:

1 pasekmė. Jei ir tada

2 pasekmė. Jei ir c= const, tada .

3 teorema. Be galo mažos funkcijos santykis α(x) pagal funkciją f(x), kurios riba nėra lygi nuliui, yra be galo maža funkcija.

Įrodymas. Leisti . Tada 1 /f(x) yra ribota funkcija. Todėl trupmena yra begalinės mažos funkcijos ir ribotinės funkcijos sandauga, t.y. funkcija yra be galo maža.

Pavyzdžiai.

1. Aišku, kad už x→+∞ funkcija y = x 2 + 1 yra begalinis. Bet tada, pagal aukščiau suformuluotą teoremą, funkcija yra be galo maža x→+∞, t.y. .

Galima įrodyti ir atvirkštinę teoremą.

2 teorema. Jei funkcija f(x)- be galo mažas at x→a(arba x→∞) ir tada neišnyksta y= 1/f(x) yra begalinė funkcija.

Įrodykite teoremą patys.

Pavyzdžiai.

3. , nes funkcijos ir yra be galo mažos x→+∞, tai be galo mažų funkcijų suma yra be galo maža funkcija. Funkcija yra pastovaus skaičiaus ir be galo mažos funkcijos suma. Todėl pagal 1 teoremą be galo mažoms funkcijoms gauname norimą lygybę.

Taigi be galo mažų ir be galo didelių funkcijų paprasčiausias savybes galima parašyti naudojant šiuos sąlyginius ryšius: A≠ 0

13. Be galo mažos tos pačios eilės funkcijos, lygiavertės be galo mažos.

Be galo mažos funkcijos ir yra vadinamos be galo mažomis tos pačios eilės mažumo, jei , reiškia . Ir, galiausiai, jei neegzistuoja, tada be galo mažos funkcijos ir yra nepalyginamos.

2 PAVYZDYS. Be galo mažų funkcijų palyginimas

Lygiavertės be galo mažos funkcijos.

Jei , vadinasi, be galo mažos funkcijos ir lygiavertis, pažymėkite ~ .

Vietoje lygiavertės funkcijos:

Kada jei

Kai kurie atitikmenys(at ):

Vienašalės ribos.

Iki šiol svarstėme funkcijos ribos apibrėžimą, kai x→a savavališkai, t.y. funkcijos riba nepriklausė nuo to, kaip x link a, į kairę arba į dešinę nuo a. Tačiau gana dažnai galima rasti funkcijų, kurioms pagal šią sąlygą nėra jokių apribojimų, tačiau jos turi ribą, jei x→a, likti vienoje pusėje a, kairėn arba dešinėn (žr. pav.). Todėl įvedama vienpusių ribų sąvoka.

Jeigu f(x) linkęs į ribą b adresu x siekia kokio nors skaičiaus a taip x ima tik mažesnes reikšmes nei a, tada rašyk ir skambink funkcijos f(x) riba taške a kairėje.

Taigi skaičius b vadinama funkcijos riba y=f(x) adresu x→a kairėje pusėje, jei yra teigiamas skaičius ε, yra skaičius δ (mažesnis nei a

Panašiai, jei x→a ir įgauna dideles vertybes a, tada rašyk ir skambink b funkcijos riba taške a Dešinėje. Tie. numerį b paskambino funkcijos y=f(x) riba ties x→a dešinėje, jei yra teigiamas skaičius ε, yra toks skaičius δ (didesnis nei a), kad nelygybė galioja visiems .

Atkreipkite dėmesį, kad jei ribos yra kairėje ir dešinėje taške a už funkciją f(x) nesutampa, tada funkcija taške neturi (dvipusės) ribos a.

Pavyzdžiai.

1. Apsvarstykite funkciją y=f(x), apibrėžta segmente taip

Raskime funkcijos ribas f(x) adresu x → 3. Akivaizdu, kad a

Kitaip tariant, bet kokiam savavališkai mažam epsilonų skaičiui yra tokia delta, priklausomai nuo epsilonų, kad iš to, kad bet kuriai x, tenkinančiai nelygybę, išplaukia, kad funkcijos reikšmių skirtumas šiuose taškuose būti savavališkai mažas.

Funkcijos tęstinumo taške kriterijus:

Funkcija bus tęstinis taške A tada ir tik tada, kai jis yra ištisinis taške A ir dešinėje, ir kairėje, t. y. tam, kad taške A egzistuotų dvi vienpusės ribos, jos yra lygios viena kitai ir lygios funkcija taške A.

2 apibrėžimas: Funkcija yra nuolatinė aibėje, jei ji yra ištisinė visuose šios aibės taškuose.

Funkcijos taške išvestinė

Leisti būti apibrėžtas kaimynystėje . Apsvarstykite

Jei ši riba egzistuoja, tada ji vadinama funkcijos f išvestinė taške .

Funkcijos išvestinė- funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumentas didinamas.

Išvestinės taške apskaičiavimo arba radimo operacija vadinama diferenciacija .

Diferencijavimo taisyklės.

išvestinė funkcijas f(x) taške x=x 0 yra funkcijos padidėjimo šiame taške santykis su argumento prieaugiu, nes pastarasis linkęs į nulį.Išvestinės radimas vadinamas diferenciacija. Funkcijos išvestinė apskaičiuojama pagal bendrąją diferenciacijos taisyklę: Pažymime f(x) = u, g(x) = v- taške skiriasi funkcijos X. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės 1) (sumos išvestinė lygi išvestinių sumai) 2) (taigi visų pirma iš to išplaukia, kad funkcijos ir konstantos sandaugos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai pagal konstantą) 3) Dalinio išvestinė: jei g  0 4) Sudėtinės funkcijos išvestinė: 5) Jei funkcija nustatyta parametriškai: , tada

Pavyzdžiai.

1. y = x a - galios funkcija su savavališku indeksu.

Netiesioginė funkcija

Jei funkcija pateikiama lygtimi y=ƒ(x), išspręsta y atžvilgiu, tada funkcija yra pateikta aiškiai (išskirtinė funkcija).

Pagal numanomas paskyrimas funkcijos supranta funkcijos priskyrimą lygties F(x;y)=0 forma, neleidžiama y atžvilgiu.

Bet koks aišku suteikta funkcija y=ƒ(x) gali būti parašytas kaip netiesiogiai pateiktas lygtimi ƒ(x)-y=0, bet ne atvirkščiai.

Ne visada lengva, o kartais ir neįmanoma, išspręsti y lygtį (pavyzdžiui, y+2x+jaukus-1=0 arba 2y-x+y=0).

Jei numanoma funkcija pateikiama lygtimi F(x; y)=0, tai norint rasti y išvestinę x atžvilgiu, nereikia spręsti lygties y atžvilgiu: pakanka diferencijuoti šią lygtį x atžvilgiu, laikant y kaip x funkciją, ir tada išspręskite gautą lygtį y atžvilgiu".

Netiesioginės funkcijos išvestinė išreiškiama argumentu x ir funkcija y.

Pavyzdys:

Raskite funkcijos y išvestinę, pateiktą lygtimi x 3 +y 3 -3xy=0.

Sprendimas: Funkcija y yra netiesiogiai apibrėžta. Atskirkite x atžvilgiu lygybę x 3 +y 3 -3xy=0. Iš gauto santykio

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

iš to seka, kad y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, t. y. y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės

Aišku, kad išvestinė

funkcijas y=f(x) taip pat yra funkcija iš x:

y"=f" (x)

Jei funkcija f"(x) yra diferencijuojamas, tada jo išvestinė žymima simboliu y""=f""(x) x du kartus.
Antrojo vedinio vedinys, t.y. funkcijas y""=f"""(x), vadinamas trečioji funkcijos y=f(x) išvestinė arba trečios eilės funkcijos f(x) išvestinė ir yra simbolizuojama

Apskritai n-i vedinys arba vedinys n- užsakymo funkcija y=f(x)žymimas simboliais

F-la Leibniz:

Tarkime, kad funkcijos ir yra diferencijuojamos kartu su jų išvestinėmis iki n-osios eilės imtinai. Taikydami dviejų funkcijų sandaugos diferenciacijos taisyklę, gauname

Palyginkime šias išraiškas su dvinario laipsniais:

Stebina atitikimo taisyklė: norint gauti 1, 2 ar 3 eilės išvestinės formulę iš funkcijų ir sandaugos, reikia pakeisti laipsnius ir išraiškoje (kur n= 1,2,3) atitinkamų eilių išvestinės. Be to, nulinės ir galios turėtų būti pakeistos išvestinėmis priemonėmis nulinės eilės, reiškiančias funkcijas ir:

Apibendrinant šią taisyklę savavališkos eilės išvestinės bylos atveju n, mes gauname Leibnizo formulė,

kur yra binominiai koeficientai:

Rolio teorema.

Ši teorema leidžia rasti kritinius taškus ir tada, esant pakankamoms sąlygoms, ištirti ekstremalių f-ąją.

Tegul 1) f-asis f(x) yra apibrėžtas ir ištisinis kai kuriuose uždarytas tarpas; 2) bent atvirajame intervale (a;b) yra baigtinė išvestinė; 3) galuose intervalas f-iįgauna lygias reikšmes f(a) = f(b). Tada tarp taškų a ir b yra toks taškas c, kad išvestinė šiame taške bus = 0.

Pagal teoremą apie f-ųjų, kurios yra ištisinės atkarpoje, savybę, f-oji f(x) įgyja šio atkarpos maksimalias ir minimalias reikšmes.

f (x 1) \u003d M - maks., f (x 2) \u003d m - min; x 1 ;x 2 О

1) Tegul M = m, t.y. m £ f(x) £ M

Þ f-oji f(x) įgis intervalą nuo a iki b pastovių reikšmių, o Þ jo išvestinė bus lygi nuliui. f'(x)=0

2) Tegul M>m

Nes pagal teoremos sąlygas f(a) = f(b) z yra jo mažiausias arba didžiausias f-oji vertė ims ne atkarpos galuose, o Þ ims M arba m vidiniame šios atkarpos taške. Tada pagal Ferma teoremą f'(c)=0.

Lagranžo teorema.

Baigtinė prieaugio formulė arba Lagranžo vidutinės reikšmės teorema teigia, kad jei funkcija f ištisinis segmente [ a;b] ir skiriasi intervalu ( a;b), tada yra toks dalykas

Koši teorema.

Jei funkcijos f(x) ir g(x) yra tolydžios intervale ir diferencijuojamos intervale (a, b) ir g¢(x) ¹ 0 intervale (a, b), tada yra bent vienas taškas e, a< e < b, такая, что

Tie. funkcijų prieaugių santykis duotame segmente yra lygus išvestinių santykiui taške e. Problemų sprendimo paskaitų kurso pavyzdžiai Kūno tūrio skaičiavimas pagal garsios aikštės jo lygiagrečios atkarpos Integralinis skaičiavimas

Kursinio darbo pavyzdžiai elektros inžinerija

Šiai teoremai įrodyti iš pirmo žvilgsnio labai patogu pasinaudoti Lagranžo teorema. Užrašykite kiekvienos funkcijos baigtinio skirtumo formulę ir padalykite jas vieną iš kitos. Tačiau šis požiūris yra klaidingas, nes taškas e kiekvienai funkcijai paprastai skiriasi. Žinoma, kai kuriais ypatingais atvejais šis intervalo taškas gali būti vienodas abiem funkcijoms, tačiau tai labai retas sutapimas, o ne taisyklė, todėl negali būti naudojamas teoremai įrodyti.

Įrodymas. Apsvarstykite pagalbininko funkciją

Kai x→x 0, c reikšmė taip pat linkusi į x 0; perkelkime ankstesnę lygybę iki ribos:

Nes , tada.

Štai kodėl

(dviejų begalinių mažųjų santykio riba lygi jų išvestinių santykio ribai, jei pastarasis yra)

L'Hopital taisyklė, esant ∞ / ∞.

Teorema apie monotoninės funkcijos ribą. Teoremos įrodymas pateikiamas dviem būdais. Taip pat pateikiamos griežtai didėjančių, nemažėjančių, griežtai mažėjančių ir nedidėjančių funkcijų apibrėžimai. Monotoninės funkcijos apibrėžimas.

Apibrėžimai

Didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimai
Tegul funkcija f (x) yra apibrėžtas kai kuriose realiųjų skaičių X aibėje.
Funkcija vadinama griežtai didėja (griežtai mažėja), jei visiems x′, x′′ ∈ X toks, kad x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Funkcija vadinama nemažėjantis (nedidėjantis), jei visiems x′, x′′ ∈ X toks, kad x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Tai reiškia, kad griežtai didėjanti funkcija taip pat nemažėja. Griežtai mažėjanti funkcija taip pat yra nedidėjanti.

Monotoninės funkcijos apibrėžimas
Funkcija vadinama monotoniškas jei jis nemažėja arba nedidėja.

Norėdami ištirti funkcijos monotoniškumą tam tikroje aibėje X, turite rasti jos reikšmių skirtumą dviejuose savavališkuose taškuose, priklausančiuose šiai aibei. Jei , tai funkcija griežtai didėja; jei , tai funkcija nemažėja; jei , tada griežtai mažėja; jei , tai nedidėja.

Jei tam tikroje aibėje funkcija yra teigiama: , tada, norint nustatyti monotoniškumą, galima ištirti jos verčių padalijimo koeficientą dviejuose savavališkuose šios aibės taškuose. Jei , tai funkcija griežtai didėja; jei , tai funkcija nemažėja; jei , tada griežtai mažėja; jei , tai nedidėja.

Teorema
Tegul funkcija f (x) per intervalą nesumažėja (a, b), kur.
Jei jis iš viršaus ribojamas skaičiumi M : , tai taške b : yra baigtinė kairioji riba. Jei f (x) neapribota aukščiau, tada .
Jei f (x) iš apačios ribojasi skaičiumi m : , tada taške a : yra baigtinė dešinioji riba. Jei f (x) neapribota žemiau, tada .

Jei taškai a ir b yra begalybėje, tada išraiškose ribiniai ženklai reiškia, kad .
Šią teoremą galima suformuluoti kompaktiškiau.

Tegul funkcija f (x) per intervalą nesumažėja (a, b), kur. Tada taškuose a ir b yra vienpusės ribos:
;
.

Panaši teorema nedidėjančiai funkcijai.

Tegul funkcija nepadidėja intervale , kur . Tada yra vienpusės ribos:
;
.

Pasekmė
Tegul funkcija yra monotoniška intervale . Tada bet kuriame šio intervalo taške yra vienpusės baigtinės funkcijos ribos:
ir .

Teoremos įrodymas

Funkcija nesumažėja

b – galutinis skaičius

Funkcija ribojama iš viršaus

1.1.1. Tegul funkcija iš viršaus ribojama skaičiumi M : for .

.
;
.

Kadangi funkcija nemažėja, tada . Tada
adresu .
Transformuokime paskutinę nelygybę:
;
;
.
Nes tada. Tada
adresu .

adresu .
„Funkcijos vienpusių ribų apibrėžimai baigtiniame taške“).

Funkcija nėra ribojama iš viršaus

1. Tegul funkcija nemažėja intervale .
1.1. Tegul skaičius b yra baigtinis: .
1.1.2. Tegul funkcija neapribota iš viršaus.
Įrodykime, kad šiuo atveju yra riba.

.

adresu .

Pažymėkime. Tada bet koks egzistuoja, taigi
adresu .
Tai reiškia, kad riba kairėje taške b yra (žr. „Funkcijos vienpusių begalinių ribų apibrėžimai galutiniame taške“).

b anksti plius begalybė

Funkcija ribojama iš viršaus

1. Tegul funkcija nemažėja intervale .
1.2.1. Tegul funkcija iš viršaus ribojama skaičiumi M : for .
Įrodykime, kad šiuo atveju yra riba.

Kadangi funkcija ribojama iš viršaus, yra baigtinė viršutinė riba
.
Pagal mažiausios viršutinės ribos apibrėžimą tenkinamos šios sąlygos:
;
bet kokiam teigiamam yra argumentas, už kurį
.

Kadangi funkcija nemažėja, tada . Tada . Arba
adresu .

Taigi mes nustatėme, kad bet kuriam yra skaičius , taigi
adresu .
„Vienpusių ribų apibrėžimai begalybėje“).

Funkcija nėra ribojama iš viršaus

1. Tegul funkcija nemažėja intervale .
1.2. Tegul skaičius b yra plius begalybė: .
1.2.2. Tegul funkcija neapribota iš viršaus.
Įrodykime, kad šiuo atveju yra riba.

Kadangi funkcija nėra apribota iš viršaus, bet kuriam skaičiui M yra argumentas , kuriam
.

Kadangi funkcija nemažėja, tada . Tada .

Taigi, bet kuriam yra skaičius , taigi
adresu .
Tai reiškia, kad riba ties yra (žr. „Vienpusių begalinių ribų apibrėžimai begalybėje“).

Funkcija nepadidėja

Dabar apsvarstykite atvejį, kai funkcija nedidėja. Kaip aukščiau, galite apsvarstyti kiekvieną variantą atskirai. Bet mes tuoj pat juos padengsime. Tam mes naudojame. Įrodykime, kad šiuo atveju yra riba.

Apsvarstykite baigtinę apatinę funkcijos reikšmių rinkinio ribą:
.
Čia B gali būti baigtinis skaičius arba taškas begalybėje. Pagal tikslaus infimumo apibrėžimą tenkinamos šios sąlygos:
;
bet kuriai taško B kaimynystei yra argumentas, už kurį
.
Pagal teoremos sąlygą,. Štai kodėl .

Kadangi funkcija nedidėja, tada . Nuo tada
adresu .
Arba
adresu .
Be to, pastebime, kad nelygybė apibrėžia taško b kairę pradurtą kaimynystę.

Taigi, mes nustatėme, kad bet kurioje taško kaimynystėje yra tokia pradurta kairioji taško b kaimynystė, kad
adresu .
Tai reiškia, kad taško b riba kairėje yra:

(žr. universalų funkcijos ribos apibrėžimą pagal Koši).

Riba taške a

Dabar parodykime, kad taške a yra riba, ir suraskime jos reikšmę.

Panagrinėkime funkciją. Pagal teoremos sąlygą funkcija yra monotoniška . Pakeiskime kintamąjį x į - x (arba atliksime pakeitimą ir tada pakeiskime kintamąjį t į x ). Tada funkcija yra monotoniška . Padauginus nelygybes iš -1 ir keičiant jų tvarką, darome išvadą, kad funkcija yra monotoniška .

Panašiai nesunku parodyti, kad jei nemažėja, vadinasi, ir nedidėja. Tada, remiantis tuo, kas buvo įrodyta aukščiau, yra riba
.
Jei nedidėja, vadinasi, ir nemažėja. Šiuo atveju yra riba
.

Dabar belieka parodyti, kad jei yra funkcijos riba ties , tada yra funkcijos riba ir šios ribos yra lygios:
.

Supažindinkime su užrašu:
(1) .
Išreikškime f reikšme g:
.
Paimkite savavališką teigiamą skaičių. Tebūna taško A epsiloninė kaimynystė. Epsilono kaimynystė apibrėžiama ir baigtinėms, ir begalinėms A reikšmėms (žr. „Taško kaimynystė“). Kadangi yra riba (1), tai pagal ribos apibrėžimą bet kuriai egzistuoja tokia, kad
adresu .

Tegu a yra baigtinis skaičius. Išreikškime taško -a kairįjį pradurtą kaimynystę naudodami nelygybes:
adresu .
Pakeiskime x į -x ir atsižvelgsime į tai:
adresu .
Paskutinės dvi nelygybės apibrėžia pradurtą dešiniąją taško a kaimynystę. Tada
adresu .

Tegul a yra begalinis skaičius, . Pakartojame diskusiją.
adresu ;
adresu ;
adresu ;
adresu .

Taigi, mes nustatėme, kad bet kokiam yra toks
adresu .
Tai reiškia kad
.

Teorema įrodyta.

Funkciją y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) iškviesime aibėje A iš srities D(f), jei toks skaičius yra M , kad bet kuriam x iš šio nustatykite sąlygą

Naudojant loginius simbolius, apibrėžimas gali būti parašytas taip:

f(x) – apribota iš viršaus filmavimo aikštelėje

(f(x) – apribota iš apačios filmavimo aikštelėje

Taip pat atsižvelgiama į funkcijas, apribotas absoliučia verte arba tiesiog apribotas.

Iš apibrėžimo srities iškviesime funkciją RIBOJAMA aibėje A, jei yra teigiamas skaičius M,

Loginių simbolių kalba

f(x) – rinkinyje ribotas

Neribota funkcija vadinama neapribota. Žinome, kad apibrėžimai, pateikti per neigimą, turi mažai turinio. Norėdami suformuluoti šį teiginį kaip apibrėžimą, naudojame kvantoriaus operacijų (3.6) ir (3.7) savybes. Tada funkcijos ribotumo neigimas loginių simbolių kalba duos:

f(x) – rinkinyje ribotas

Gautas rezultatas leidžia suformuluoti tokį apibrėžimą.

Funkcija UNRIBOTA vadinama aibėje A, kuri priklauso funkcijos domenui, jei šioje aibėje bet kuriam teigiamam skaičiui M yra tokia argumento x reikšmė , kad reikšmė vis tiek viršys M reikšmę, tai yra.

Kaip pavyzdį apsvarstykite funkciją

Jis apibrėžiamas visoje realioje ašyje. Jei imsime atkarpą [–2;1] (aibė A), tai ant jos bus ribojama ir iš viršaus, ir iš apačios.

Iš tiesų, norėdami parodyti, kad jis ribojamas iš viršaus, turime atsižvelgti į predikatą

ir parodykite, kad yra (egzistuoja) M toks, kad visiems x, paimtiems atkarpoje [–2;1], tai bus tiesa

Nesunku rasti tokį M. Galime daryti prielaidą, kad M = 7, egzistavimo kvantorius reiškia, kad reikia rasti bent vieną M reikšmę. Tokio M buvimas patvirtina faktą, kad funkcija atkarpoje [–2;1] yra ribojama iš viršaus.

Norėdami įrodyti jo ribotumą iš apačios, turime atsižvelgti į predikatą

M reikšmė, užtikrinanti šio predikato teisingumą, yra, pavyzdžiui, M = -100.

Galima įrodyti, kad funkcija bus apribota ir moduliu: visiems x iš atkarpos [–2;1] funkcijos reikšmės sutampa su reikšmėmis, todėl kaip M galime imti , pavyzdžiui, ankstesnė M reikšmė = 7.

Parodykime, kad ta pati funkcija, bet intervale , bus neapribota, tai yra,

Norėdami parodyti, kad toks x egzistuoja, apsvarstykite teiginį

Ieškodami reikiamų x reikšmių tarp teigiamų argumento reikšmių, gauname

Tai reiškia, kad nesvarbu, kokį teigiamą Mwe imtųsi, x reikšmės užtikrina nelygybės išsipildymą

gaunami iš santykio.

Atsižvelgiant į funkciją visoje realioje ašyje, galima parodyti, kad ji yra neribota absoliučia verte.

Tikrai, nuo nelygybės

Tai yra, nesvarbu, kokio dydžio teigiamas M yra, arba užtikrins nelygybės išsipildymą.

EKSTREMALI FUNKCIJA.

Funkcija turi tašką Su vietinis maksimumas (minimalus), jei yra tokia šio taško kaimynystė, kad už x¹ Su ši kaimynystė tenkina nelygybę

ypač tai, kad ekstremumo taškas gali būti tik vidinis tarpo taškas, o jame turi būti apibrėžtas f(x). Galimi ekstremumo nebuvimo atvejai parodyti Fig. 8.8.

Jei funkcija didėja (mažėja) tam tikru intervalu ir mažėja (didėja) tam tikru intervalu, tada taškas Su yra vietinis maksimalus (minimalus) taškas.

Funkcijos f(x) maksimumo nebuvimas taške Su galima suformuluoti taip:

_______________________

f(x) turi maksimumą ties c

Tai reiškia, kad jei taškas c nėra vietinis maksimalus taškas, nesvarbu, kokia kaimynystė apima tašką c kaip vidinį tašką, yra bent viena x reikšmė nelygi c, kuriai . Taigi, jei taške c nėra maksimumo, tai ekstremumo šiame taške gali išvis nebūti arba tai gali būti minimalus taškas (8.9 pav.).

Ekstremalumo sąvoka suteikia lyginamąjį funkcijos vertės bet kuriame taške įvertinimą, palyginti su šalia esančiomis. Panašus funkcijų reikšmių palyginimas gali būti atliktas visuose tam tikro intervalo taškuose.

DIDŽIAUSIA (MINIMALI) aibės funkcijos reikšmė yra jos reikšmė taške iš šio rinkinio, kad – už . Didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama vidiniame atkarpos taške, o mažiausia – kairiajame jos gale.

Norint nustatyti didžiausią (mažiausią) atkarpoje pateiktos funkcijos reikšmę, reikia pasirinkti didžiausią (mažiausią) skaičių tarp visų jos maksimumų (minimalų) reikšmių, taip pat reikšmių, paimtų intervalo galai. Tai bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė. Ši taisyklė bus patikslinta vėliau.

Problema rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes atvirame intervale ne visada yra lengvai išsprendžiama. Pavyzdžiui, funkcija

intervale (8.11 pav.) jų neturi.

Pavyzdžiui, įsitikinkime, kad ši funkcija neturi didžiausios vertės. Iš tiesų, atsižvelgiant į funkcijos monotoniškumą, galima teigti, kad nesvarbu, kaip arti nustatysime x reikšmes į kairę nuo vienybės, bus kitų x, kurių funkcijos reikšmės bus didesnės nei jo vertės nurodytuose fiksuotuose taškuose, bet vis tiek mažesnės už vienetą.

Pamoka ir pristatymas tema: "Funkcijos savybės. Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 9 klasei
Interaktyvus mokymosi vadovas 9 klasei „Geometrijos taisyklės ir pratimai“
Elektroninis vadovėlis „Suprantama geometrija“ 7-9 kl

Vaikinai, mes toliau studijuojame skaitines funkcijas. Šiandien mes sutelksime dėmesį į tokią temą kaip funkcijų savybės. Funkcijos turi daug savybių. Prisiminkite, kokias savybes neseniai ištyrėme. Tai tiesa, apimtis ir apimtis – tai viena iš pagrindinių savybių. Niekada nepamirškite apie juos ir atminkite, kad funkcija visada turi šias savybes.

Šiame skyriuje apibrėžsime kai kurias funkcijų savybes. Kokia tvarka juos nustatysime, rekomenduoju vadovautis sprendžiant problemas.

Funkcija didėjanti ir mažėjanti

Pirmoji savybė, kurią apibūdinsime, yra funkcijos padidėjimas ir sumažėjimas.

Funkcijos „padidėjimo“ ir „sumažėjimo“ sąvokas labai lengva suprasti, jei atidžiai žiūrite į funkcijos grafikus. Dėl didėjančios funkcijos: tarsi kylame į kalną, dėl mažėjančios, atitinkamai, leidžiamės žemyn. Bendra forma Didėjančios ir mažėjančios funkcijos pateiktos toliau pateiktuose grafikuose.

Funkcijos padidėjimas ir sumažėjimas paprastai vadinamas monotoniškumu. Tai yra, mūsų užduotis yra rasti mažėjančių ir didėjančių funkcijų intervalus. Bendruoju atveju tai formuluojama taip: suraskite monotoniškumo intervalus arba ištirkite monotoniškumo funkciją.

Ištirkite funkcijos $y=3x+2$ monotoniškumą.
Sprendimas: patikrinkite bet kurio x1 ir x2 funkciją ir palikite x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Nes x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Funkcijos apribojimas

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$ yra apribota aibėje X⊂D(f), jei yra skaičius a, kad bet kuriai xϵX nelygybė f(x)< a.

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$ yra apribota iš viršaus aibėje X⊂D(f), jei yra toks skaičius a, kad bet kuriai xϵX nelygybė f(x)< a.

Jei intervalas X nenurodytas, tai laikoma, kad funkcija yra apribota visoje apibrėžimo srityje. Funkcija, apribota ir aukščiau, ir žemiau, vadinama ribota.

Funkcijos apribojimą lengva perskaityti iš grafiko. Galima nubrėžti tiesią liniją
$y=a$, o jei funkcija aukštesnė už šią eilutę, tada ji apribota iš apačios. Jei žemiau, tai atitinkamai aukščiau. Žemiau yra apatinės ribos funkcijos grafikas. Tvarkaraštis ribota funkcija Vaikinai, pabandykite piešti patys.

Ištirkite funkcijos $y=\sqrt(16-x^2)$ ribotumą.
Sprendimas: kurio nors skaičiaus kvadratinė šaknis yra didesnė už bet kurį nulis. Akivaizdu, kad mūsų funkcija taip pat yra didesnė arba lygi nuliui, tai yra, ji yra ribojama iš apačios.
Kvadratinę šaknį galime išskirti tik iš neneigiamo skaičiaus, tada $16-x^2≥0$.
Mūsų nelygybės sprendimas bus intervalas [-4;4]. Šiame segmente $16-x^2≤16$ arba $\sqrt(16-x^2)≤4$, bet tai reiškia ribojimą iš viršaus.
Atsakymas: mūsų funkciją riboja dvi eilutės $y=0$ ir $y=4$.

Didžiausia ir mažiausia vertė

Mažiausia funkcijos y= f(x) reikšmė aibėje Х⊂D(f) yra koks nors skaičius m, kad:

b) Bet kurio xϵX atveju galioja $f(x)≥f(x0)$.

Didžiausia funkcijos y=f(x) reikšmė aibėje Х⊂D(f) yra koks nors skaičius m, kad:
a) Yra toks x0, kad $f(x0)=m$.
b) Bet kurio xϵX atveju $f(x)≤f(x0)$ tenkinama.

Didžiausia ir mažiausia reikšmė paprastai žymima y max. ir y vardas. .

Apribotumo ir didžiausio, turinčio mažiausią funkcijos reikšmę, sąvokos yra glaudžiai susijusios. Šie teiginiai yra teisingi:
a) Jei yra mažiausia funkcijos reikšmė, tada ji apribota iš apačios.
b) Jei yra didžiausia vertė funkcija, tada ji ribojama iš viršaus.
c) Jei funkcija neapribota iš viršaus, tai nėra maksimalios reikšmės.
d) Jei funkcija nėra apribota žemiau, tada mažiausia reikšmė neegzistuoja.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ reikšmę.
Sprendimas: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5 USD.
Jei $x=4$ $f(4)=5$, visoms kitoms reikšmėms funkcija įgauna mažesnes reikšmes arba neegzistuoja, tai yra, tai yra didžiausia funkcijos reikšmė.
Pagal apibrėžimą: $9-4x^2+16x≥0$. Raskime šaknis kvadratinis trinaris$(2x+1)(2x-9)≥0$. Kai $x=-0.5$ ir $x=4.5$ funkcija išnyksta, visuose kituose taškuose ji didesnė už nulį. Tada pagal apibrėžimą mažiausia funkcijos reikšmė yra nulis.
Atsakymas: y maks. =5 ir y min. =0.

Vaikinai, mes taip pat ištyrėme funkcijos išgaubimo sąvokas. Sprendžiant kai kurias problemas, mums gali prireikti šio turto. Ši savybė taip pat lengvai nustatoma naudojant grafikus.

Funkcija yra išgaubta žemyn, jei bet kurie du pradinės funkcijos grafiko taškai yra sujungti, o funkcijos grafikas yra žemiau taškus jungiančios linijos.

Funkcija yra išgaubta į viršų, jei bet kurie du pradinės funkcijos grafiko taškai yra sujungti, o funkcijos grafikas yra virš taškus jungiančios linijos.

Funkcija yra ištisinė, jei mūsų funkcijos grafikas neturi nutrūkimų, pavyzdžiui, aukščiau pateiktos funkcijos grafikas.

Jei norite rasti funkcijos ypatybes, ypatybių paieškos seka yra tokia:
a) Apibrėžimo sritis.
b) Monotonija.
c) apribojimas.
d) Didžiausia ir mažiausia reikšmė.
e) Tęstinumas.
f) reikšmių diapazonas.

Raskite funkcijos $y=-2x+5$ savybes.
Sprendimas.
a) Apibrėžimo sritis D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Patikrinkime bet kokias reikšmes x1 ir x2 ir tegul x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Nes x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) apribojimas. Akivaizdu, kad funkcija nėra ribojama.
d) Didžiausia ir mažiausia reikšmė. Kadangi funkcija neapribota, nėra maksimalios ar minimalios vertės.
e) Tęstinumas. Mūsų funkcijos grafikas neturi tarpų, tada funkcija yra ištisinė.
f) reikšmių diapazonas. E(y)=(-∞;+∞).

Funkcijos savybių savarankiškam sprendimui užduotys