Įprasti vektoriai nėra vektoriai, kuriems sekasi gerai arba kurie jaučiasi gerai. Pagal apibrėžimą normalus vektorius (normalus) plokštumai yra vektorius, statmenas duotai plokštumai.

Kitaip tariant, normalus yra vektorius, statmenas bet kuriam vektoriui tam tikroje plokštumoje. Tikrai jūs susidūrėte su tokiu apibrėžimu – tačiau vietoj vektorių buvo kalbama apie tiesias linijas. Tačiau kiek aukščiau buvo parodyta, kad C2 uždavinyje galima operuoti bet kokiu patogiu objektu – net tiesia linija, net vektoriumi.

Dar kartą priminsiu, kad bet kuri plokštuma erdvėje apibrėžiama lygtimi Ax + By + Cz + D = 0, kur A, B, C ir D yra kai kurie koeficientai. Nesumažinant sprendinio bendrumo, galime daryti prielaidą, kad D = 1, jei plokštuma nekerta pradžios taško, arba D = 0, jei ji eina. Bet kuriuo atveju normalaus vektoriaus koordinatės šiai plokštumai yra n = (A; B; C).

Taigi, plokštumą taip pat galima sėkmingai pakeisti vektoriumi – tuo pačiu normaliu. Bet kurią plokštumą erdvėje apibrėžia trys taškai. Kaip rasti plokštumos lygtį (taigi ir normalią), mes jau aptarėme pačioje straipsnio pradžioje. Tačiau šis procesas daugeliui sukelia problemų, todėl pateiksiu dar porą pavyzdžių:

· Užduotis . Pjūvis A 1 BC 1 nubrėžtas kubu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Raskite normalųjį vektorių šios atkarpos plokštumai, jei pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa atitinkamai su kraštinėmis AB, AD ir AA 1.

Sprendimas. Kadangi plokštuma neperžengia pradžios taško, jos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz + 1 = 0, t.y. koeficientas D \u003d 1. Kadangi ši plokštuma eina per taškus A 1, B ir C 1, šių taškų koordinatės plokštumos lygtį paverčia teisinga skaitine lygybe.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Panašiai taškams B = (1; 0; 0) ir C 1 = (1; 1; 1) gauname lygtis:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Bet koeficientai A = − 1 ir C = − 1 mums jau žinomi, todėl belieka rasti koeficientą B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Gauname plokštumos lygtį: - A + B - C + 1 = 0, Todėl normaliojo vektoriaus koordinatės yra n = (- 1; 1; - 1).

Atsakymas: n = (- 1; 1; - 1)

· Užduotis . Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nubraižyta atkarpa AA 1 C 1 C. Raskite šios pjūvio plokštumos normalųjį vektorių, jei pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa su briaunos atitinkamai AB, AD ir AA 1.

Sprendimas. AT Ši byla plokštuma eina per pradžią, todėl koeficientas D \u003d 0, o plokštumos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz \u003d 0. Kadangi plokštuma eina per taškus A 1 ir C, šių taškų koordinatės plokštumos lygtį paverskite teisinga skaitine lygybe.

Pakeiskime taško A koordinates 1 = (0; 0; 1), o ne x, y ir z. Mes turime:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Panašiai taškui C = (1; 1; 0) gauname lygtį:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Tegu B = 1. Tada A = − B = − 1, o visos plokštumos lygtis yra: − A + B = 0. Todėl normaliojo vektoriaus koordinatės yra n = (− 1; 1; 0).

Atsakymas: n = (- 1; 1; 0)

Paprastai tariant, aukščiau pateiktuose uždaviniuose būtina sudaryti lygčių sistemą ir ją išspręsti. Bus trys lygtys ir trys kintamieji, tačiau antruoju atveju vienas iš jų bus laisvas, t.y. imti savavališkas vertes. Štai kodėl mes turime teisę dėti B = 1 – nepažeidžiant sprendimo bendrumo ir atsakymo teisingumo.

Tipiškas vektorius lėktuvas(arba normaliai lėktuvas) vadinamas vektoriumi, statmenu duotajam lėktuvas. Vienas iš plokštumos apibrėžimo būdų yra nurodyti jos normaliosios ir taško, esančio ant jo, koordinates lėktuvas. Jei plokštuma pateikta lygtimi Ax+By+Cz+D=0, tai jai būdingas vektorius su koordinatėmis (A;B;C). Kitais atvejais, norint apskaičiuoti tipinį vektorių, reikės šiek tiek padirbėti.

Instrukcija

1. Tegu plokštumą pateikia trys jai priklausantys taškai K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Norėdami rasti tipinį vektorių, suformuluosime lygtį lėktuvas. Pažymėkite savavališką gulintį tašką lėktuvas, raidė L, tegul turi koordinates (x; y; z). Dabar apsvarstykite tris vektorius PK, PM ir PL, jie yra tame pačiame lėktuvas(vienaplaniai), todėl jų mišrus produktas yra lygus nuliui.

2. Aptikti PK, PM ir PL vektorių koordinates: PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y-yp z-zp) Šių vektorių mišrus sandauga bus lygi determinantui, parodytam paveiksle. Šis determinantas turėtų būti apskaičiuotas, kad būtų galima rasti lygtį lėktuvas. Norėdami apskaičiuoti mišraus produkto konkrečiu atveju, žr. pavyzdį.

3. Pavyzdys Tegul plokštuma apibrėžiama trimis taškais K(2;1;-2), M(0;0;-1) ir P(1;8;1). Būtina rasti tipinį vektorių lėktuvas.Paimkite savavališką tašką L su koordinatėmis (x;y;z). Apskaičiuokite PK, PM ir PL vektorius: PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1) Sudarykite mišrios vektorių sandaugos determinantą (jis yra paveikslėlyje).

4. Dabar išplėskite determinantą išilgai pirmosios eilutės, o po to apskaičiuokite 2 dydžio determinantų reikšmes 2. Taigi lygtis lėktuvas-10x + 5y - 15z - 15 \u003d 0 arba, kas yra tas pats, -2x + y - 3z - 3 \u003d 0. Iš čia lengva nustatyti normalų vektorių lėktuvas n = (-2;1;-3).

Prieš atsakant į pateiktą klausimą, būtina nustatyti, kokio normalaus ieškoti. Šiuo atveju apytiksliai užduotyje atsižvelgiama į tam tikrą paviršių.

Instrukcija

1. Pradedant spręsti problemą reikia atsiminti, kad normalioji į paviršių apibrėžiama kaip normalioji liestinės plokštumos. Pagal tai bus parinkta sprendimo metodika.

2. 2 kintamųjų z=f(x, y)=z(x, y) funkcijos grafikas yra erdvės paviršius. Todėl to dažnai klausia visi. Pirmiausia reikia rasti paviršiaus liestinės plokštumą tam tikrame taške М0(x0, y0, z0), kur z0=z(x0, y0).

3. Norėdami tai padaryti, reikia atsiminti, kad vieno argumento funkcijos išvestinės geometrinė prasmė yra funkcijos grafiko liestinės taške, kur y0=f(x0), kampinis eksponentas. 2 argumentų funkcijos dalinės išvestinės randamos teisingai fiksavus „nereikalingą“ argumentą taip pat, kaip ir įprastų funkcijų išvestinius. Tai reiškia, kad funkcijos z=z(x, y) taške (x0,y0) dalinės išvestinės geometrinė reikšmė x atžvilgiu yra ta, kad jos kampinis rodiklis yra lygus sankirtos suformuotai įstrižainės liestine. paviršiaus ir plokštumos y=y0 (žr. 1 pav.).

4. Duomenys, atspindėti fig. 1 leidžia daryti išvadą, kad paviršiaus z=z(x, y) liestinės, turinčios tašką М0(xo, y0, z0), atkarpoje ties y=y0 lygtis: m(x-x0)=(z -z0), y =y0. Kanonine forma leidžiama rašyti: (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Reiškia vadovauti vektoriusši liestinė s1(1/m, 0, 1).

5. Dabar, jei dalinės išvestinės liestinės kampinis eksponentas y atžvilgiu yra pažymėtas n, tada puikiai matoma, kad, kaip ir ankstesnė išraiška, tai sukels (y-y0)/(1/n)= (z-z0), x=x0 ir s2(0, 1/n, 1).

6. Be to, tirpalo judėjimui ieškant liestinės plokštumos lygties leidžiama sustoti ir nevaržomai eiti į norimą normaliąją n. Galite gauti kaip vektorius naujas produktas n=. Jį apskaičiavus bus nustatyta, kad m duotas taškas paviršiai (x0, y0, z0). n=(-1/n, -1/m, 1/min).

7. Nes kiekvienas proporcingas vektorius taip pat liks vektorius omo normalaus, patogiau rezultatą pateikti kaip n=(-n, -m, 1) ir galiausiai n(dz/dx, dz/dx, -1).

Susiję vaizdo įrašai

Pastaba!
Atviras paviršius turi dvi puses. Šiuo atveju rezultatas pateikiamas „viršutinei“ pusei, kur susidaro normalus aštrus kampas su 0Z ašimi.

Dėl vektoriai Yra du kūrinio atvaizdai. Vienas iš jų yra skaliarinis dirbti, kitas yra vektorius. Kiekvienas iš šių atvaizdų turi savo matematinę ir fizinę prasmę ir yra apskaičiuojamas visiškai skirtingai.

Instrukcija

1. Apsvarstykite du vektorius trimatėje erdvėje. Vektorius a su koordinatėmis (xa; ya; za) ir vektorius b su koordinatėmis (xb; yb; zb). skaliarinis dirbti vektoriai a ir b žymimi (a,b). Jis apskaičiuojamas pagal formulę: (a,b) = |a|*|b|*cosα, kur α yra kampas tarp dviejų vektorių. Leidžiama apskaičiuoti skaliarą dirbti koordinatėmis: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. Taip pat yra vektoriaus skaliarinio kvadrato atvaizdas, tai yra skaliaras dirbti vektorius į save: (a,a) = |a|² arba koordinatėmis (a,a) = xa² + ya² + za². Skaliarinis dirbti vektoriai yra skaičius, apibūdinantis vietą vektoriai vienas kito atžvilgiu. Dažnai jis naudojamas kampui tarp vektorių apskaičiuoti.

2. vektorius dirbti vektoriai yra nurodyta. Dėl kryžminės sandaugos gaunamas vektorius, statmenas abiem faktorių vektoriams, o šio vektoriaus ilgis yra lygus lygiagretainio, sukurto ant faktoriaus vektorių, plotui. Be to, trys vektoriai a, b ir sudaro vadinamąjį dešinįjį trigubą vektoriai.Vektoriaus ilgis = |a|*|b|*sinα, kur α yra kampas tarp vektorių a ir b.

Susiję vaizdo įrašai

Tiesinėje algebroje ir geometrijoje vaizdavimas vektorius apibrėžta skirtingai. Algebroje vektorius ohm yra elemento pavadinimas vektorius pėdų erdvė. Toje pačioje geometrijoje vektorius om yra sutvarkyta taškų pora Euklido erdvėje – nukreipta atkarpa. Aukščiau vektorius apibrėžėme tiesines operacijas – sudėjimą vektorius ov ir daugyba vektorius bet tam tikram skaičiui.

Instrukcija

1. Trikampio taisyklė. 2 suma vektorius ov a ir o yra pavadinti vektorius, kurio pratarmė sutampa su pradžia vektorius a a, o pabaiga slypi gale vektorius a o, o pratarmė vektorius ir o atitinka pabaigą vektorius a. Šios sumos konstrukcija parodyta paveikslėlyje.

2. Lygiagretainės taisyklės.Tegul vektorius s a ir o turi bendrą pratarmę. Užbaikime tai vektorius s į lygiagretainį. Tada suma vektorius ovs a ir o sutampa su lygiagretainio, išeinančio iš pradžios, įstriža vektorius ov a ir o.

3. Suma daugiau vektorius ov galima aptikti laipsniškai jiems taikant trikampio taisyklę. Paveikslėlyje parodyta keturių suma vektorius ov.

4. dirbti vektorius o už numerį? vadinamas skaičiumi?a tokiu, kad |?a| = |?| *|a|. Gaunama padauginus iš skaičiaus vektorius lygiagrečiai su inicialu vektorius y arba guli su juo toje pačioje tiesioje linijoje. Jei? > 0, tada vektorius s a ir?a yra vienakrypčiai, jei?<0, то vektorius s a ir a yra nukreiptos skirtingomis kryptimis.

Susiję vaizdo įrašai

Vektorius, kaip nukreiptas segmentas, priklauso ne tik nuo absoliučios vertės (modulio), kuri yra lygi jo ilgiui. Kitas svarbus palyginimas yra vektoriaus kryptis. Jį galima apibrėžti ir koordinatėmis, ir kampu tarp vektoriaus ir koordinačių ašies. Vektoriaus skaičiavimas atliekamas ir randant vektorių sumą ir skirtumą.

Jums reikės

• – vektoriaus apibrėžimas;
• – vektorių savybės;
• - skaičiuotuvas;
• - Bradis stalas arba kompiuteris.

Instrukcija

1. Apskaičiuokite vektorių, galima žinoti jo koordinates. Norėdami tai padaryti, nustatykite vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates. Tegul jie lygūs (x1;y1) ir (x2;y2). Norėdami apskaičiuoti vektorių, raskite jo koordinates. Norėdami tai padaryti, atimkite jo pradžios koordinates iš vektoriaus pabaigos koordinačių. Jie bus lygūs (x2-x1;y2-y1). Paimkite x= x2- x1; y= y2-y1, tada vektoriaus koordinatės bus lygios (x;y).

2. Nustatykite vektoriaus ilgį. Tai galima padaryti nesunkiai išmatuojant liniuote. Bet jei žinote vektoriaus koordinates, apskaičiuokite ilgį. Norėdami tai padaryti, suraskite vektoriaus koordinačių kvadratų sumą ir iš gauto skaičiaus ištraukite kvadratinę šaknį. Tada vektoriaus ilgis bus lygus d=?(x?+y?).

3. Vėliau atraskite vektoriaus kryptį. Norėdami tai padaryti, nustatykite kampą? tarp jo ir x ašies. Šio kampo liestinė lygi vektoriaus y koordinatės ir x koordinatės santykiui (tg ?= y/x). Norėdami rasti kampą, naudokite arctangento funkciją skaičiuoklėje, Bradis lentelėje arba kompiuteryje. Žinant vektoriaus ilgį ir jo kryptį ašies atžvilgiu, galima rasti bet kurio vektoriaus vietą erdvėje.

4. Pavyzdys: vektoriaus pradžios koordinatės yra (-3;5), o pabaigos koordinatės (1;7). Raskite vektorių koordinates (1-(-3);7-5)=(4;2). Tada jo ilgis bus d=?(4?+2?)=?20?4,47 tiesinių vienetų. Kampo tarp vektoriaus ir OX ašies liestinė bus tg ?=2/4=0,5. Šio kampo lanko liestinė suapvalinta iki 26,6?.

5. Raskite vektorių, kuris yra 2 vektorių, kurių koordinatės žinomos, suma. Norėdami tai padaryti, pridėkite atitinkamas suvestinių vektorių koordinates. Jei pridėtų vektorių koordinatės yra atitinkamai (x1;y1) ir (x2;y2), tada jų suma bus lygi vektoriui su koordinatėmis ((x1+x2;y1+y2)). Jei reikia rasti 2 vektorių skirtumą, suraskite sumą iš anksto padauginę vektoriaus koordinates, kurios atimamos iš -1.

6. Atsižvelgdami į vektorių d1 ir d2 ilgius ir kampą tarp jų?, raskite jų sumą naudodami kosinuso teoremą. Norėdami tai padaryti, suraskite vektorių ilgių kvadratų sumą ir iš gauto skaičiaus du kartus atimkite šių ilgių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso. Paimkite gauto skaičiaus kvadratinę šaknį. Tai bus vektoriaus ilgis, kuris yra 2 duotųjų vektorių suma (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)).

Paieškos užduotis vektorius normalūs tiesi linija plokštumoje ir plokštuma erdvėje yra pernelyg primityvi. Iš tikrųjų tai baigiasi bendrųjų tiesės ar plokštumos lygčių įrašymu. Atsižvelgiant į tai, kad kiekvienos iš jų plokštumos kreivė yra tik ypatingas erdvės paviršiaus atvejis, tada bus aptariami paviršiaus normaliai.

Instrukcija

1. 1-as metodas Šis metodas yra pats primityviausias, tačiau norint jį suprasti, reikia turėti galimybę pavaizduoti skaliarinį lauką. Tačiau net ir šiuo klausimu nepatyręs skaitytojas galės pritaikyti gautas šio numerio formules.

2. Gerai žinoma, kad skaliarinis laukas f apibrėžiamas kaip f=f(x, y, z), o bet koks paviršius šiuo atveju yra pakopos paviršius f(x, y, z)=C (C=const). Be to, sluoksnio paviršiaus normalė sutampa su skaliarinio lauko gradientu tam tikrame taške.

3. Skaliarinio lauko gradientas (3 kintamųjų funkcija) yra vektorius g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz). Nes ilgis normalūs nesvarbu, belieka tik užfiksuoti rezultatą. Paviršiaus normalioji f(x, y, z)-C=0 taške M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df) / dz).

4. 2 metodas Tegul paviršius pateikiamas lygtimi F(x, y, z)=0. Kad ateityje būtų leista daryti analogijas su pirmuoju metodu, reikia atsižvelgti į tai, kad tolydžio išvestinė lygi nuliui, o F pateikiama kaip f(x, y, z)-C=0 (C =konst). Jeigu šio paviršiaus atkarpą nubraižysime savavališka plokštuma, tai gautą erdvinę kreivę galima laikyti kokios nors vektorinės funkcijos r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t) hodografu. Tada išvestinė vektorius r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) nukreiptas tangentiškai į tam tikrą paviršiaus tašką M0(x0, y0, z0) (žr. 1 pav.).

5. Kad būtų išvengta painiavos, dabartinės liestinės linijos koordinatės turi būti nurodytos, tarkime, kursyvu (x, y, z). Kanoninė liestinės linijos lygtis, atsižvelgiant į tai, kad r'(t0) yra krypties vektorius, parašyta kaip (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0) )/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Pakeitę vektorinės funkcijos koordinates paviršiaus lygtyje f(x, y, z)-C=0 ir diferencijuodami t atžvilgiu, gauname (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. Lygybė yra kai kurių skaliarinė sandauga vektorius n(df/dx, df/dy, df/dz) ir r'(x'(t), y'(t), z'(t)). Kadangi jis yra nulis, n(df/dx, df/dy, df/dz) yra norimas vektorius normalūs. Atrodo, kad abiejų metodų rezultatai yra vienodi.

7. Pavyzdys (turi teorinę vertę). Aptikti vektorių normalūsį paviršių, pateiktą tipine 2 kintamųjų funkcijos lygtimi z=z(x, y). Sprendimas. Perrašykite šią lygtį į formą z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Taikant bet kurį prielinksnio metodą, paaiškėja, kad n(-dz/dx, -dz/dy, 1) yra norimas vektorius normalūs .

Bet koks vektorius gali būti suskaidytas į kelių sumą vektorius Oho, tokių variantų yra daug. Išskaidyti užduotį vektorius galima pateikti tiek geometrine forma, tiek formulių pavidalu, nuo to priklausys uždavinio sprendimas.

Jums reikės

• yra pradinis vektorius;
• yra vektoriai, kuriuose jis turi būti išskaidytas.

Instrukcija

1. Jei reikia skirstytis vektorius brėžinyje pasirinkite terminų kryptį. Skaičiavimų patogumui išskaidymas į vektorius a, lygiagrečiai koordinačių ašims, bet jūs tikrai galite pasirinkti bet kurią patogią kryptį.

2. Nubrėžkite vieną iš terminų vektorius ov; tuo pačiu jis turi būti iš to paties taško kaip ir pradinis (ilgį pasirenkate patys). Sujunkite pradinio ir gauto galus vektorius ir dar vienas vektorius ohm. Atkreipkite dėmesį: gautos dvi vektorius ir galų gale jie privalo nuvesti jus į tą patį tašką kaip ir pradinis (jei judate pagal rodykles).

3. Pervedimas gautas vektorius ir ten, kur bus patogu juos naudoti, išsaugant kryptį ir ilgį. Nepriklausomai kur vektorius ir bus, sumoje jie bus lygūs pradiniam. Atkreipkite dėmesį, kad jei įdėsite gautą vektorius ir kad jie būtų iš to paties taško, kaip ir pradinis, ir sujungtų jų galus punktyrine linija, gausite lygiagretainį, o pradinis vektorius sutampa su viena iš įstrižainių.

4. Jei reikia skirstytis vektorius(x1,x2,x3) pagal pamatą, tai yra pagal duotąjį vektorius am (p1, p2, p3), (q1, q2, q3), (r1, r2, r3), elkitės taip. Pakeiskite koordinačių reikšmes į formulę x=?p+?q+?r.

5. Rezultate gausite 3 lygčių sistemą p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3. Išspręskite šią sistemą naudodami papildymų arba matricų metodą, suraskite rodiklius ?, ?, ?. Jei uždavinys pateiktas plokštumoje, sprendimas bus paprastesnis, nes vietoj 3 kintamųjų ir lygčių gausite tik du (jie atrodys taip p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2). Rezultatą parašykite kaip x=?p+?q+?r.

6. Jei galiausiai rasite begalinį sprendimų skaičių, apibendrinkite vektorius s p, q, r yra toje pačioje plokštumoje su vektorius om x ir jo vienareikšmiškai neįmanoma išskaidyti tam tikru būdu.

7. Jei sistema neturi sprendimų, drąsiai parašykite problemos rezultatą: vektorius p, q, r yra toje pačioje plokštumoje ir vektorius x - kitoje, todėl jis negali būti išskaidytas tam tikru būdu.

Gali būti, kad egzistuoja specialus atstovavimas lėktuvas piramidės, bet autoriui tai nepažįstama. Atsižvelgiant į tai, kad piramidė reiškia erdvinį daugiakampį, lėktuvas gali formuoti tik kraštus piramidės. Tai yra tie, kurie bus svarstomi.

Instrukcija

1. Pati primityviausia užduotis piramidės yra jo atvaizdavimas viršūnių taškų koordinatėmis. Leidžiama naudoti kitus atvaizdus, ​​kurie lengvai verčiami tiek vienas į kitą, tiek į siūlomą. Paprastumo dėlei apsvarstykite trikampę piramidę. Tada erdviniu atveju „bazės“ vaizdavimas tampa itin sąlyginis. Todėl jis neturėtų būti atskirtas nuo šoninių paviršių. Jei piramidė yra savavališka, jos šoniniai paviršiai vis dar yra trikampiai, ir parašyti lygtį lėktuvas pagrindo dar užtenka 3 balams.

2. Bet koks trikampio veidas piramidės yra visiškai nulemtas trijų atitinkamo trikampio viršūnių taškų. Tegul tai bus М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Norėdami rasti lygtį lėktuvas kuriame yra šis veidas, naudokite bendrąją lygtį lėktuvas forma A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Čia (x0,y0,z0) yra savavališkas taškas lėktuvas, kuriam naudokite vieną iš 3 šiuo metu pateiktų, tarkime M1(x1,y1,z1). Rodikliai A, B, C sudaro normaliojo vektoriaus koordinates lėktuvas n = (A, B, C). Normalui rasti leidžiama naudoti vektoriaus koordinates, lygias vektorinei sandaugai [M1,M2] (žr. 1 pav.). Paimkite juos atitinkamai A, B C. Belieka rasti vektorių (n, M1M) skaliarinę sandaugą koordinačių pavidalu ir prilyginti nuliui. Čia M(x, y, z) yra savavališkas (dabartinis) taškas lėktuvas .

3. Gautas lygties sudarymo algoritmas lėktuvas dėl trijų taškų galima patogiau naudoti. Atkreipkite dėmesį, kad atrasta metodika apima kryžminės sandaugos skaičiavimą, o po to taškinę sandaugą. Tai ne kas kita, kaip mišrus vektorių sandauga. Superkompaktiška forma jis lygus determinantui, kurio eilutes sudaro vektorių koordinatės M1M=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) , M1M3=(x3- x1, y3-y1, z3-z1). Sulyginkite jį su nuliu ir gaukite lygtį lėktuvas determinanto pavidalu (žr. 2 pav.). Atskleidę ją, pateksite į bendrąją lygtį lėktuvas .

Susiję vaizdo įrašai

Kas yra normalu? Paprastais žodžiais tariant, normalus yra statmenas. Tai yra, normalusis linijos vektorius yra statmenas nurodytai tiesei. Akivaizdu, kad bet kuri tiesė turi begalinį jų skaičių (taip pat ir nukreipiančių vektorių), o visi normalūs tiesės vektoriai bus kolineariniai (bendrakrypčiai ar ne – nesvarbu).

Su jais elgtis bus dar lengviau nei su krypties vektoriais:

Jei tiesioji linija duota bendra lygtimi stačiakampėje koordinačių sistemoje, tai vektorius yra normalusis šios tiesės vektorius.

Jei krypties vektoriaus koordinates reikia atsargiai „ištraukti“ iš lygties, tai normalaus vektoriaus koordinatės tiesiog „pašalinamos“.

Normalusis vektorius visada yra statmenas tiesės krypties vektoriui. Įsitikinkite, kad šie vektoriai yra stačiakampiai, naudojant skaliarinę sandaugą:

Pateiksiu pavyzdžius su tomis pačiomis lygtimis kaip ir krypties vektoriui:

Ar galima parašyti tiesės lygtį, žinant vieną tašką ir normalųjį vektorių? Jei žinomas normalus vektorius, tada tiesiausios linijos kryptis taip pat yra vienareikšmiškai nustatyta - tai yra „standžia konstrukcija“, kurios kampas yra 90 laipsnių.

Kaip parašyti tiesės lygtį su tašku ir normaliuoju vektoriumi?

Jei yra žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės normalusis vektorius, tada šios tiesės lygtis išreiškiama formule:

Sudarykite tiesės, pateiktos taške ir normaliojo vektoriaus, lygtį. Raskite tiesės krypties vektorių.

Sprendimas: naudokite formulę:

Gaunama bendroji tiesės lygtis, patikrinkime:

1) "Pašalinkite" normalaus vektoriaus koordinates iš lygties: - taip, iš tiesų, pradinis vektorius gaunamas iš sąlygos (arba vektorius turi būti kolinearinis pirminiam vektoriui).

2) Patikrinkite, ar taškas atitinka lygtį:

Tikra lygybė.

Įsitikinę, kad lygtis teisinga, atliksime antrąją, lengvesnę užduoties dalį. Ištraukiame tiesės krypties vektorių:

Atsakymas:

Brėžinyje situacija yra tokia:

Mokymo tikslais panaši užduotis savarankiškam sprendimui:

Sudarykite tiesės, pateiktos taške ir normaliojo vektoriaus, lygtį. Raskite tiesės krypties vektorių.

Paskutinė pamokos dalis bus skirta retesniems, bet ir svarbiems tiesių plokštumoje lygčių tipams.

Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Tiesės lygtis parametrine forma

Tiesių linijų lygtis segmentuose turi formą , kur yra nulinės konstantos. Kai kurių tipų lygtys negali būti pavaizduotos šia forma, pavyzdžiui, tiesioginio proporcingumo (kadangi laisvasis narys yra nulis ir jokiu būdu negalima gauti jo dešinėje).

Tai, vaizdžiai tariant, yra „techninio“ lygties tipas. Įprasta užduotis yra pavaizduoti bendrąją tiesės lygtį kaip tiesės lygtį atkarpomis. Kodėl tai patogu? Tiesės lygtis atkarpomis leidžia greitai rasti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, o tai labai svarbu kai kuriuose aukštosios matematikos uždaviniuose.

Raskite tiesės susikirtimo su ašimi tašką. Iš naujo nustatome „y“, o lygtis įgauna formą . Norimas taškas gaunamas automatiškai: .

Tas pats su ašimi yra taškas, kuriame linija kerta y ašį.

Veiksmai, kuriuos ką tik išsamiai paaiškinau, atliekami žodžiu.

Duota tiesi linija. Sudarykite tiesės lygtį atkarpomis ir nustatykite grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.

Sprendimas: perkelkime lygtį į formą . Pirmiausia perkeliame laisvą terminą į dešinę:

Norėdami gauti vienetą dešinėje, kiekvieną lygties narį padaliname iš -11:

Mes gaminame trijų aukštų trupmenas:

Tiesios linijos susikirtimo su koordinačių ašimis taškai paviršiuje:

Atsakymas:

Belieka pritvirtinti liniuotę ir nubrėžti tiesią liniją.

Nesunku pastebėti, kad šią tiesią liniją vienareikšmiškai lemia raudonos ir žalios spalvos atkarpos, taigi ir pavadinimas – „tiesios linijos atkarpose lygtis“.

Žinoma, taškus nėra taip sunku rasti iš lygties, bet problema vis tiek naudinga. Nagrinėjamas algoritmas bus reikalingas plokštumos susikirtimo su koordinačių ašimis taškų paieškai, antros eilės tiesių lygčiai į kanoninę formą ir kai kuriose kitose problemose. Todėl kelios tiesios linijos nepriklausomam sprendimui:

Sudarykite tiesės lygtį atkarpomis ir nustatykite jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus.

Pabaigoje sprendimai ir atsakymai. Nepamirškite, kad jei norite, galite piešti viską.

Kaip parašyti parametrines lygtis tiesei?

Tiesios linijos parametrinės lygtys labiau aktualios tiesioms erdvėje, tačiau be jų mūsų abstrakcija bus našlaitė.

Jei yra žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės krypties vektorius, tada šios tiesės parametrines lygtis pateikia sistema:

Sudarykite parametrines tiesės lygtis pagal tašką ir krypties vektorių

Sprendimas baigėsi dar neprasidėjus:

Parametras „te“ gali turėti bet kokią reikšmę nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“, o kiekviena parametro reikšmė atitinka konkretų plokštumos tašką. Pavyzdžiui, jei , tada gauname tašką .

Atvirkštinė problema: kaip patikrinti, ar sąlygos taškas priklauso nurodytai linijai?

Į gautas parametrines lygtis pakeisime taško koordinates:

Iš abiejų lygčių matyti, kad , tai yra, sistema yra nuosekli ir turi unikalų sprendimą.

Panagrinėkime prasmingesnes užduotis:

Sudarykite tiesės parametrines lygtis

Sprendimas: Pagal sąlygą tiesė pateikiama bendra forma. Norint sudaryti tiesės parametrines lygtis, reikia žinoti jos nukreipimo vektorių ir tam tikrą tašką, priklausantį šiai tiesei.

Raskime krypties vektorių:

Dabar reikia rasti tam tikrą tašką, priklausantį linijai (tiks bet kuris), šiuo tikslu patogu perrašyti bendrąją lygtį lygties su nuolydžiu forma:

Tai, žinoma, reiškia esmę

Sudarome tiesės parametrines lygtis:

Ir galiausiai – nedidelė kūrybinė užduotis savarankiškam sprendimui.

Sudarykite tiesės parametrines lygtis, jei jai priklausantis taškas ir normalusis vektorius yra žinomi

Užduotį galima atlikti daugiau nei vienu būdu. Viena iš sprendimo versijų ir atsakymas pabaigoje.

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: Raskite nuolydį:

Sudarome tiesės lygtį iš taško ir nuolydžio:

Atsakymas:

4 pavyzdys: Sprendimas: sudarysime tiesės lygtį pagal formulę:

Atsakymas:

6 pavyzdys: Sprendimas: naudokite formulę:

Atsakymas: (y ašis)

8 pavyzdys: Sprendimas: Padarykime tiesės lygtį dviejuose taškuose:

Padauginkite abi puses iš -4:

Ir padalinti iš 5:

Atsakymas:

10 pavyzdys: Sprendimas: Naudokite formulę:

Sumažiname -2:

Krypties vektorius tiesioginis:
Atsakymas:

12 pavyzdys:
a) Sprendimas: Transformuokime lygtį:

Šiuo būdu:

Atsakymas:

b) Sprendimas: Transformuokime lygtį:

Šiuo būdu:

Atsakymas:

15 pavyzdys: Sprendimas: Pirmiausia parašome bendrąją tiesės, pateiktos taške, lygtį ir normalus vektorius :

Padauginkite iš 12:

Padauginame dar 2, kad atidarę antrąjį skliaustą atsikratytumėte trupmenos:

Krypties vektorius tiesioginis:
Parametines tiesės lygtis sudarome pagal tašką ir krypties vektorius :
Atsakymas:

Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje.
Abipusis linijų išdėstymas. Kampas tarp eilučių

Mes ir toliau svarstome šias begalines-begalines linijas.

Kaip rasti atstumą nuo taško iki linijos?
Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?
Kaip rasti kampą tarp dviejų linijų?

Abipusis dviejų tiesių linijų išdėstymas

Apsvarstykite dvi tiesias linijas, pateiktas lygtimis bendra forma:

Atvejis, kai salė dainuoja kartu choru. Dvi eilutės gali:

1) rungtynės;

2) būti lygiagrečiai: ;

3) arba susikerta viename taške: .

Prisiminkite matematinį sankryžos ženklą, jis įvyks labai dažnai. Įrašas reiškia, kad tiesė kertasi su taško linija.

Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?

Pradėkime nuo pirmojo atvejo:

Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra toks „lambda“ skaičius, kad galioja lygybės

Panagrinėkime tieses ir iš atitinkamų koeficientų sudarykime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.

Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai padauginkite iš -1 (pakeiskite ženklus) ir visus lygties koeficientus Sumažinkite 2, gausite tą pačią lygtį: .

Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:

Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų koeficientai kintamiesiems yra proporcingi: , bet.

Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą:

Tačiau aišku, kad.

Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:

Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų koeficientai ties kintamaisiais NĖRA proporcingi, ty NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų įvykdytos lygybės

Taigi tiesioms linijoms sudarysime sistemą:

Iš pirmosios lygties matyti, kad , o iš antrosios lygties: , tai reiškia, kad sistema yra nenuosekli (sprendinių nėra). Taigi koeficientai ties kintamaisiais nėra proporcingi.

Išvada: linijos susikerta

Praktiniuose uždaviniuose galima naudoti ką tik svarstytą sprendimo schemą. Beje, jis labai panašus į vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą. Tačiau yra labiau civilizuotas paketas:

Sužinokite santykinę linijų padėtį:

Sprendimas pagrįstas tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:

a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: .

, todėl vektoriai nėra kolinearūs, o linijos susikerta.

b) Raskite tiesių krypties vektorius:

Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba vienodos. Čia determinantas nėra būtinas.

Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi, o .

Išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga:

Šiuo būdu,

c) Raskite tiesių krypties vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių:
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.

Proporcingumo koeficientą „lambda“ galima rasti tiesiogiai pagal kolinearinių krypties vektorių santykį. Tačiau tai įmanoma ir per pačių lygčių koeficientus: .

Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:

Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (paprastai ją tenkina bet koks skaičius).

Taigi, linijos sutampa.

Kaip nubrėžti liniją, lygiagrečią nurodytai?

Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: nežinomą tiesią liniją pažymėkite raide . Ką apie tai sako sąlyga? Linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės „ce“ nukreipiamasis vektorius tinka ir tiesei „de“ statyti.

Iš lygties išimame krypties vektorių:

Pavyzdžio geometrija atrodo paprasta:

Analitinis patikrinimas susideda iš šių žingsnių:

1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.

Daugeliu atvejų analitinį patikrinimą lengva atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai supras, kaip linijos yra lygiagrečios be jokio piešinio.

Šiandienos savarankiško sprendimo pavyzdžiai bus kūrybingi.

Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį

Trumpiausias kelias yra pabaigoje.

Kaip rasti dviejų linijų susikirtimo tašką?

Jei tiesiai susikerta taške , tada jo koordinatės yra tiesinių lygčių sistemos sprendimas

Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.

Tiek apie geometrinę dviejų tiesinių lygčių sistemos su dviem nežinomaisiais prasmę – tai dvi susikertančios (dažniausiai) tiesės plokštumoje.

Raskite tiesių susikirtimo tašką

Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.

Grafinis būdas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio:

Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną tiesės lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Tiesą sakant, mes svarstėme grafinį metodą, kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.

Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad septintokai taip nusprendžia, esmė ta, kad taisyklingam ir TIKSLIAM piešiniui padaryti prireiks laiko. Be to, kai kurias linijas ne taip lengva sukonstruoti, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už sąsiuvinio lapo.

Todėl sankirtos taško tikslingiau ieškoti analitiniu metodu. Išspręskime sistemą:

Sistemai išspręsti buvo naudojamas terminų lygčių sudėjimo metodas.

Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.

Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Užduotį patogiai galima suskirstyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Parašykite tiesės lygtį.
2) Parašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.

Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių problemų, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.

Visas sprendimas ir atsakymas pabaigoje:

Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp eilučių

Kaip nubrėžti liniją, statmeną duotai linijai?

Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite statmenos tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: Yra žinoma, darant prielaidą, kad . Būtų malonu rasti tiesės krypties vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:

Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.

Sudarome tiesės lygtį iš taško ir krypties vektoriaus:

Atsakymas:

Išskleiskite geometrinį eskizą:

Analitinis tirpalo patikrinimas:

1) Iš lygčių išskirkite krypties vektorius ir naudojant vektorių skaliarinę sandaugą, darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .

Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį .

Vėlgi, patvirtinimą lengva atlikti žodžiu.

Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma ir taškas.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Užduotyje yra keli veiksmai, todėl patogu sprendinį išdėstyti taškas po taško.

Atstumas nuo taško iki linijos

Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide "p", pavyzdžiui: - atstumas nuo taško "m" iki tiesės "d".

Atstumas nuo taško iki linijos išreiškiamas formule

Raskite atstumą nuo taško iki linijos

Sprendimas: tereikia atidžiai įvesti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Atlikime piešinį:

Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra lygiai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. \u003d 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.

Apsvarstykite kitą užduotį pagal tą patį brėžinį:

Kaip sukurti tašką, simetrišką tiesei linijai?

Užduotis yra rasti taško koordinates, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu . Siūlau veiksmus atlikti savarankiškai, tačiau pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.

2) Raskite linijų susikirtimo tašką: .

Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių laikomas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nėra laikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir tokiu laikomas jo „žaliasis“ kaimynas arba priešingai orientuotas „avietinis“ kampelis.

Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kampo „slinkimo“ kryptis. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .

Kodėl aš tai pasakiau? Atrodo, kad galite apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulėse, pagal kurias rasime kampus, galima lengvai gauti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Neigiamojo kampo brėžinyje būtina rodykle nurodyti jo orientaciją (pagal laikrodžio rodyklę).

Remiantis tuo, kas išdėstyta, sprendimas yra patogiai įforminamas dviem etapais:

1) Apskaičiuokite tiesių nukreipimo vektorių skaliarinę sandaugą:
todėl linijos nėra statmenos.

2) Kampą tarp linijų randame pagal formulę:

Naudojant atvirkštinę funkciją, lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame lanko liestinės nelygumą:

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.

Na, minusas, taigi minusas, viskas gerai. Čia yra geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad kampas pasirodė esąs neigiamos orientacijos, nes problemos sąlygoje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir kampo „sukimas“ prasidėjo būtent nuo jos.

Yra ir trečias sprendimas. Idėja yra apskaičiuoti kampą tarp linijų krypties vektorių:

Čia mes kalbame ne apie orientuotą kampą, o „tiesiog apie kampą“, tai yra, rezultatas tikrai bus teigiamas. Svarbiausia, kad galite gauti bukąjį kampą (ne tą, kurio jums reikia). Tokiu atveju turėsite padaryti išlygą, kad kampas tarp linijų yra mažesnis, ir atimti gautą lanko kosinusą iš „pi“ radianų (180 laipsnių).

Raskite kampą tarp linijų.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Pabandykite tai išspręsti dviem būdais.

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys: Sprendimas: Raskite tiesės krypties vektorių:

Naudodami tašką ir krypties vektorių sudarysime norimos tiesės lygtį

Pastaba: čia pirmoji sistemos lygtis padauginama iš 5, tada 2-oji atimama iš 1-osios lygties.
Atsakymas:

Plokštumos lygtis. Kaip parašyti lygtį plokštumai?
Abipusis plokštumų išdėstymas. Užduotys

Erdvinė geometrija nėra daug sudėtingesnė nei „plokščia“ geometrija, o mūsų skrydžiai erdvėje prasideda šiuo straipsniu. Norint suprasti temą, reikia gerai suprasti vektoriai, be to, pageidautina išmanyti plokštumos geometriją – bus daug panašumų, daug analogijų, todėl informacija bus daug geriau įsisavinama. Mano pamokų serijoje 2D pasaulis atidaromas straipsniu Tiesės lygtis plokštumoje. Bet dabar Betmenas pasitraukė iš plokščiaekranio televizoriaus ir paleidžiamas iš Baikonūro kosmodromo.

Pradėkime nuo piešinių ir simbolių. Schematiškai plokštumą galima nubraižyti kaip lygiagretainį, kuris sukuria erdvės įspūdį:

Plokštuma begalinė, bet turime galimybę pavaizduoti tik jos dalelę. Praktikoje, be lygiagretainio, dar brėžiamas ovalas ar net debesis. Dėl techninių priežasčių man patogiau vaizduoti lėktuvą taip ir tokioje pozicijoje. Tikras plokštumas, kurias nagrinėsime praktiniuose pavyzdžiuose, galima išdėstyti bet kaip – ​​mintyse paimkite piešinį į rankas ir pasukite jį erdvėje, suteikdami plokštumai bet kokį nuolydį, bet kokį kampą.

Žymėjimas: įprasta plokštumus žymėti mažomis graikiškomis raidėmis, matyt, kad jų nesupainiotų su tiesiai į lėktuvą arba su tiesiai erdvėje. Aš įpratau naudoti raidę. Piešinyje tai raidė „sigma“, o visai ne skylutė. Nors, skylėtas lėktuvas, tai tikrai labai juokinga.

Kai kuriais atvejais patogu naudoti tas pačias graikiškas raides su apatiniais indeksais plokštumoms žymėti, pavyzdžiui, .

Akivaizdu, kad plokštumą vienareikšmiškai lemia trys skirtingi taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Todėl trijų raidžių lėktuvų žymėjimai yra gana populiarūs – pagal jiems priklausančius taškus, pavyzdžiui, ir pan. Dažnai raidės rašomos skliausteliuose: kad nebūtų painiojama plokštuma su kita geometrine figūra.

Patyrusiems skaitytojams duosiu nuorodų meniu:

• Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir du vektorius?
• Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

ir mes ilgai lauksime:

Bendroji plokštumos lygtis

Bendroji plokštumos lygtis turi formą , kur koeficientai tuo pačiu metu yra nuliniai.

Nemažai teorinių skaičiavimų ir praktinių uždavinių galioja tiek įprastiniam ortonormaliniam, tiek afininiam erdvės pagrindui (jei nafta yra nafta, grįžkite į pamoką Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorinis pagrindas). Paprastumo dėlei darysime prielaidą, kad visi įvykiai vyksta ortonormaliu pagrindu ir Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje.

O dabar treniruokime šiek tiek erdvinės vaizduotės. Viskas gerai, jei jums tai blogai, dabar mes tai šiek tiek patobulinsime. Net žaidžiant ant nervų reikia praktikos.

Bendriausiu atveju, kai skaičiai nėra lygūs nuliui, plokštuma kerta visas tris koordinačių ašis. Pavyzdžiui, taip:

Dar kartą kartoju, kad lėktuvas tęsiasi neribotą laiką visomis kryptimis, o mes turime galimybę pavaizduoti tik dalį jo.

Apsvarstykite paprasčiausias plokštumų lygtis:

Kaip suprasti šią lygtį? Pagalvokite apie tai: „Z“ VISADA, bet kokios „X“ ir „Y“ reikšmės yra lygios nuliui. Tai yra „gimtosios“ koordinačių plokštumos lygtis. Iš tiesų formaliai lygtį galima perrašyti taip: , iš kur aiškiai matyti, kad mums nesvarbu, kokias reikšmes turi „x“ ir „y“, svarbu, kad „z“ būtų lygus nuliui.

Panašiai:
yra koordinačių plokštumos lygtis ;
yra koordinačių plokštumos lygtis.

Šiek tiek apsunkinkime problemą, apsvarstykime plokštumą (čia ir toliau pastraipoje darome prielaidą, kad skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui). Perrašykime lygtį į formą: . Kaip tai suprasti? „X“ yra VISADA, nes bet kuri „y“ ir „z“ reikšmė yra lygi tam tikram skaičiui. Ši plokštuma lygiagreti koordinačių plokštumai. Pavyzdžiui, plokštuma yra lygiagreti plokštumai ir eina per tašką.

Panašiai:
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis;
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis.

Pridėti narių: . Lygtį galima perrašyti taip: , tai yra, „Z“ gali būti bet kas. Ką tai reiškia? „X“ ir „Y“ yra sujungti santykiu, kuris plokštumoje nubrėžia tam tikrą tiesią liniją (atpažinsite plokštumos tiesės lygtis?). Kadangi Z gali būti bet kas, ši linija „atkartojama“ bet kuriame aukštyje. Taigi lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių ašiai

Panašiai:
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis;
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis.

Jei laisvieji nariai lygūs nuliui, plokštumos tiesiogiai eis per atitinkamas ašis. Pavyzdžiui, klasikinis „tiesioginis proporcingumas“:. Nubrėžkite tiesią liniją plokštumoje ir mintyse padauginkite ją aukštyn ir žemyn (nes „z“ yra bet koks). Išvada: lygties pateikta plokštuma eina per koordinačių ašį.

Apžvalgą baigiame: plokštumos lygtis eina per kilmę. Na, čia visiškai akivaizdu, kad taškas atitinka pateiktą lygtį.

Ir galiausiai atvejis, parodytas brėžinyje: - plokštuma draugauja su visomis koordinačių ašimis, tuo tarpu ji visada „nukerta“ trikampį, kuris gali būti bet kuriame iš aštuonių oktantų.

Tiesinės nelygybės erdvėje

Norint suprasti informaciją, būtina gerai mokytis tiesinės nelygybės plokštumoje nes daug kas bus panašiai. Pastraipa bus trumpa apžvalga su keliais pavyzdžiais, nes medžiaga praktikoje yra gana reta.

Jei lygtis apibrėžia plokštumą, tai nelygybės
paklausti pustarpiai. Jei nelygybė nėra griežta (paskutiniai du sąraše), tai nelygybės sprendinys, be pustarpės, apima ir pačią plokštumą.

5 pavyzdys

Raskite plokštumos vienetinį normalųjį vektorių .

Sprendimas: Vieneto vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas. Pažymėkime šį vektorių . Visiškai aišku, kad vektoriai yra kolineariniai:

Pirmiausia iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: .

Kaip rasti vieneto vektorių? Norėdami rasti vieneto vektorių, jums reikia kas vektoriaus koordinatė, padalinta iš vektoriaus ilgio.

Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:

Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:

Atsakymas:

Patikrinti: , kurį reikėjo patikrinti.

Skaitytojai, atidžiai išstudijavę paskutinę pamokos pastraipą, tikriausiai tai pastebėjo vieneto vektoriaus koordinatės yra būtent vektoriaus krypties kosinusai:

Nukrypkime nuo išardytos problemos: kai jums duotas savavališkas nulinis vektorius, o pagal sąlygą reikia rasti jo krypties kosinusus (žr. paskutines pamokos užduotis Taškinė vektorių sandauga), tada jūs iš tikrųjų taip pat rasite vienetinį vektorių, esantį kolinerėje su duotuoju. Tiesą sakant, dvi užduotys viename butelyje.

Poreikis rasti vienetinį normalųjį vektorių iškyla kai kuriose matematinės analizės problemose.

Mes išsiaiškinome įprasto vektoriaus žvejybą, dabar atsakysime į priešingą klausimą:

Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

Ši standi normalaus vektoriaus ir taško konstrukcija yra gerai žinoma smiginio taikinio. Ištieskite ranką į priekį ir mintyse pasirinkite savavališką erdvės tašką, pavyzdžiui, mažą katę indaujoje. Akivaizdu, kad per šį tašką galite nubrėžti vieną plokštumą, statmeną jūsų rankai.

Plokštumos, einančios per vektoriui statmeną tašką, lygtis išreiškiama formule:

Normalus vektorius

Plokščiasis paviršius su dviem normaliais

Diferencialinėje geometrijoje normalus yra tiesi linija, statmena (statmena) kurios nors kreivės liestinei arba kurio nors paviršiaus liestinės plokštumai. Jie taip pat kalba apie normali kryptis.

Normalus vektorius paviršiui tam tikrame taške yra vieneto vektorius, taikomas tam tikram taškui ir lygiagretus normaliosios krypties krypčiai. Kiekvienam lygaus paviršiaus taškui galite nurodyti du įprastus vektorius, kurie skiriasi kryptimi. Jei paviršiuje galima apibrėžti ištisinį normaliųjų vektorių lauką, tada sakoma, kad šis laukas apibrėžia orientacija paviršius (tai yra, pasirenka vieną iš pusių). Jei to negalima padaryti, paviršius vadinamas nesiorientuojantis.

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „normalus vektorius“ kituose žodynuose:

normalus vektorius- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normalus vektorius vok. Normalenvektorius, m rus. normalusis vektorius, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Šį straipsnį ar skyrių reikia peržiūrėti. Prašau patobulinti straipsnį pagal straipsnių rašymo taisykles. Darboux vektorius yra momentinės sukimosi ašies, aplink kurią sukasi lydintis kreivės trikampis, nukreipiantis vektorius, kai ... ... Vikipedija

Continuums elektrodinamika Continuums elektrodinamika ... Wikipedia

Darboux vektorius yra momentinės sukimosi ašies, aplink kurią sukasi lydintis kreivės trikampis L, nukreipiamasis vektorius, taškui M tolygiai judant išilgai kreivės L. Darbo vektorius yra kreivės L lyginamojoje plokštumoje ir išreiškiamas vieneto sąlygos ... ... Vikipedija

Gradientas (iš lot. gradiens, genus gradientis walking), vektorius, rodantis tam tikro dydžio sparčiausio kitimo kryptį, kurio reikšmė kinta iš vieno erdvės taško į kitą (žr. Lauko teorija). Jei reikšmė išreiškiama ......

Momentinės sukimosi ašies krypties vektorius d, aplink kurį sukasi spiečius, lydintis kreivės L trikampį, taškui M tolygiai judant išilgai kreivės L. D. c. yra kreivės L lyginamojoje plokštumoje ir išreiškiama pagrindinės normalės vienetiniais vektoriais ... Matematinė enciklopedija

Šį straipsnį ar skyrių reikia peržiūrėti. Prašau patobulinti straipsnį pagal straipsnių rašymo taisykles. Hiperpaviršius ... Vikipedija

Grafikos vamzdyno aparatinės ir programinės įrangos kompleksas trimatei grafikai vizualizuoti. Turinys 1 Trimatės scenos elementai 1.1 Techninė įranga 1.2 Programinės įrangos sąsajos ... Vikipedija

Matematinė disciplina, tirianti vektorių operacijų ypatybes Euklido erdvėje. Tuo pačiu metu vektoriaus sąvoka yra matematinė dydžių abstrakcija, kuriai būdinga ne tik skaitinė reikšmė, bet ir ... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Prašymas „Plokštumas“ nukreipiamas čia. Šia tema reikia atskiro straipsnio... Vikipedija