Քանի որ նշված տարածքները համապատասխանաբար հավասար են

S∆OAC=0,5∙OC∙ՕԱմեղք α= 0,5սինա, Ս աղանդ. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0.5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙մ.թ.ա.= 0,5 տգ.

հետևաբար,

sina< α < tg α.

Անհավասարության բոլոր անդամները բաժանում ենք sin α > 0:

Բայց . Հետևաբար, սահմանների վերաբերյալ 4-րդ թեորեմի հիման վրա մենք եզրակացնում ենք, որ ստացված բանաձևը կոչվում է առաջին ուշագրավ սահման:

Այսպիսով, առաջին ուշագրավ սահմանը ծառայում է բացահայտելու անորոշությունը։ Նշենք, որ ստացված բանաձեւը չպետք է շփոթել սահմանների հետ Օրինակներ.

11. Սահմանափակում և հարակից սահմանները:

ԵՐԿՐՈՐԴ ՈՒՇԱԴՐԱԿԱՆ ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿ

Երկրորդ ուշագրավ սահմանը ծառայում է 1 ∞ անորոշությունը բացահայտելու համար և ունի հետևյալ տեսքը

Ուշադրություն դարձնենք այն փաստին, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանի բանաձևում ցուցիչը պետք է պարունակի հիմքում գտնվող միավորին ավելացվածի հակառակ արտահայտությունը (քանի որ այս դեպքում հնարավոր է փոփոխություն մտցնել. փոփոխականների և ցանկալի սահմանը նվազեցնել մինչև երկրորդ նշանակալի սահմանը)

Օրինակներ.

1. Գործառույթ f(x)=(x-1) 2-ը անսահման փոքր է x→1, քանի որ (տե՛ս նկ.):

2. Գործառույթ f(x)=tg xանսահման փոքր է x→0.

3. f(x)= տեղեկամատյան (1+ x) անսահման փոքր է x→0.

4. f(x) = 1/xանսահման փոքր է x→∞.

Սահմանենք հետևյալ կարևոր կապը.

Թեորեմ.Եթե ​​ֆունկցիան y=f(x)ներկայացված է x→aորպես հաստատուն թվի գումար բև անսահման փոքր α(x): f(x)=b+ α(x)ապա .

Եվ հակառակը, եթե, ապա f(x)=b+α(x), որտեղ կացին)անսահման փոքր է x→a.

Ապացույց.

1. Փաստենք պնդման առաջին մասը. Հավասարությունից f(x)=b+α(x)պետք է |f(x) – b|=| α|. Բայց քանի որ կացին)անվերջ փոքր է, ապա կամայական ε-ի համար կա δ՝ կետի հարևանություն ա,բոլորի համար xորից՝ արժեքներ կացին)բավարարել հարաբերությունները |α(x)|< է. Հետո |f(x) – բ|< է. Եվ սա նշանակում է, որ.

2. Եթե , ապա ցանկացած ε >0 բոլորի համար Xորոշ δ-ից կետի հարևանությունն է ակլինի |f(x) – բ|< է. Բայց եթե նշենք f(x) – b= α, ապա |α(x)|< ε, ինչը նշանակում է, որ ա- անսահման փոքր:

Դիտարկենք անվերջ փոքր ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները։

Թեորեմ 1.Երկու, երեք և ընդհանրապես անվերջ փոքրերի ցանկացած վերջավոր թվի հանրահաշվական գումարը անվերջ փոքր ֆունկցիա է։

Ապացույց. Եկեք ապացույցներ տանք երկու ժամկետով. Թող f(x)=α(x)+β(x), որտեղ և. Մենք պետք է ապացուցենք, որ կամայական կամայական փոքր ε > 0 այնտեղ δ> 0, այնպիսին, որ համար xանհավասարությունը բավարարելով |խ- ա|<δ , կատարվեց |զ(x)|< ε.

Այսպիսով, մենք ամրագրում ենք կամայական ε > 0. Քանի որ, ըստ թեորեմի վարկածի. α(x)անվերջ փոքր ֆունկցիա է, ուրեմն գոյություն ունի δ 1 > 0, որը ժամը |x – ա|< δ 1 ունենք |α(x)|< ε / 2. Նմանապես, քանի որ β(x)անվերջ փոքր է, ուրեմն կա այդպիսի δ 2 > 0, որը ժամը |x – ա|< δ 2 ունենք | β(x)|< ε / 2.

Վերցնենք δ=min(δ1 , δ2 } .Այնուհետև կետի հարևանությամբ աշառավիղը δ անհավասարություններից յուրաքանչյուրը կբավարարվի |α(x)|< ε / 2 և | β(x)|< ε / 2. Հետեւաբար, այս հարեւանությամբ կլինի

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

դրանք. |զ(x)|< ε, որը պետք է ապացուցվեր։

Թեորեմ 2.Անվերջ փոքր ֆունկցիայի արտադրյալ կացին)սահմանափակ գործառույթի համար f(x)ժամը x→a(կամ երբ x→∞) անվերջ փոքր ֆունկցիա է։

Ապացույց. Քանի որ գործառույթը f(x)սահմանափակ է, ապա կա քանակ Մայնպես, որ բոլոր արժեքների համար xկետի ինչ-որ թաղամասից a|f(x)|≤M.Բացի այդ, քանի որ կացին)համար անվերջ փոքր ֆունկցիա է x→a, ապա կամայական ε > 0 կա կետի հարևանություն ա, որում անհավասարությունը |α(x)|< ε /Մ. Հետո այս թաղամասերից ավելի փոքրում մենք ունենք | αf|< ε /Մ= է. Իսկ սա նշանակում է, որ աֆ- անսահման փոքր: Գործի համար x→∞ապացույցն իրականացվում է նույն ձևով։

Ապացուցված թեորեմից հետևում է.

Հետևանք 1.Եթե ​​և ապա

Հետևանք 2.Եթե ​​և գ= const, ապա .

Թեորեմ 3.Անվերջ փոքր ֆունկցիայի հարաբերակցությունը α(x)ըստ գործառույթի f(x), որի սահմանը ոչ զրոյական է, անվերջ փոքր ֆունկցիա է։

Ապացույց. Թող . Հետո 1 /f(x)սահմանափակ գործառույթ կա. Հետևաբար, կոտորակը անվերջ փոքր ֆունկցիայի և սահմանափակ ֆունկցիայի արտադրյալ է, այսինքն. ֆունկցիան անսահման փոքր է:

Օրինակներ.

1. Հասկանալի է, որ համար x→+∞ֆունկցիան y=x 2 + 1-ն անսահման է: Բայց հետո, համաձայն վերը ձևակերպված թեորեմի, ֆունկցիան անվերջ փոքր է ժամը x→+∞, այսինքն. .

Հակադարձի թեորեմը նույնպես կարելի է ապացուցել.

Թեորեմ 2.Եթե ​​ֆունկցիան f(x)- անսահման փոքր է x→a(կամ x→∞)և չի անհետանում, ուրեմն y= 1/f(x)անսահման ֆունկցիա է։

Ինքներդ ապացուցեք թեորեմը։

Օրինակներ.

3. , քանի որ ֆունկցիաները և անվերջ փոքր են համար x→+∞, ապա քանի որ անվերջ փոքր ֆունկցիաների գումարը անվերջ փոքր ֆունկցիա է։ Ֆունկցիան հաստատուն թվի և անսահման փոքր ֆունկցիայի գումարն է։ Հետևաբար, թեորեմ 1-ով, անվերջ փոքր ֆունկցիաների համար մենք ստանում ենք ցանկալի հավասարություն:

Այսպիսով, անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաների ամենապարզ հատկությունները կարելի է գրել՝ օգտագործելով հետևյալ պայմանական հարաբերությունները. Ա≠ 0

13. Նույն կարգի անսահման փոքր ֆունկցիաներ, համարժեք անսահման փոքր:

Անսահման փոքր ֆունկցիաներ և կոչվում են փոքրության նույն կարգի անվերջ փոքր, եթե , նշանակեք: Եվ, վերջապես, եթե չկա, ապա անսահման փոքր ֆունկցիաներ են և անհամեմատելի են։

ՕՐԻՆԱԿ 2. Անվերջ փոքր ֆունկցիաների համեմատություն

Համարժեք անվերջ փոքր ֆունկցիաներ.

Եթե ​​, ապա անվերջ փոքր ֆունկցիաները և կոչվում են համարժեք, նշանակել ~.

Տեղական համարժեք գործառույթներ:

Երբ եթե

Որոշ համարժեքներ(ժամը):

Միակողմանի սահմաններ.

Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, երբ x→aկամայականորեն, այսինքն. ֆունկցիայի սահմանը կախված չէր նրանից, թե ինչպես է xնկատմամբ ա, դեպի ձախ կամ աջ ա. Այնուամենայնիվ, բավականին տարածված է գտնել գործառույթներ, որոնք այս պայմանով սահմանափակում չունեն, բայց դրանք ունեն սահման, եթե x→a, մնալով մի կողմում ա, ձախ կամ աջ (տես նկ.): Հետևաբար, ներդրվում է միակողմանի սահմանների հայեցակարգը:

Եթե f(x)ձգտում է սահմանին բժամը xինչ-որ թվի ձգտում աայսպես xվերցնում է միայն ավելի քիչ արժեքներ, քան ա, ապա գրեք և զանգահարեք f(x) ֆունկցիայի սահմանագիծը a կետում ձախ կողմում:

Այսպիսով, թիվը բկոչվում է ֆունկցիայի սահման y=f(x)ժամը x→aձախ կողմում, եթե կա որևէ դրական թիվ ε, կա δ թիվ (փոքր քան ա

Նմանապես, եթե x→aև ստանում է մեծ արժեքներ ա, ապա գրեք և զանգահարեք բֆունկցիայի սահմանը մի կետում աաջ կողմում։ Նրանք. թիվ բկանչեց y=f(x) ֆունկցիայի սահմանը x→a աջ կողմումԵթե ​​կա որևէ դրական ε, կա այդպիսի δ թիվ (ավելի մեծ, քան ա) որ անհավասարությունը գործում է բոլորի համար:

Նկատի ունեցեք, որ եթե սահմանները ձախ և աջ են մի կետում աֆունկցիայի համար f(x)չեն համընկնում, ապա ֆունկցիան կետում չունի (երկկողմանի) սահման ա.

Օրինակներ.

1. Դիտարկենք ֆունկցիան y=f(x), հատվածի վրա սահմանված է հետևյալ կերպ

Գտնենք ֆունկցիայի սահմանները f(x)ժամը x→ 3. Ակնհայտ է, որ ա

Այլ կերպ ասած, ցանկացած կամայականորեն փոքր թվով էպսիլոնների համար կա այնպիսի դելտա, կախված էպսիլոններից, որ այն փաստից, որ անհավասարությունը բավարարող ցանկացած x-ի համար հետևում է, որ այս կետերում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունը կլինի. լինել կամայականորեն փոքր.

Մի կետում ֆունկցիայի շարունակականության չափանիշ:

Գործառույթկլինի շարունակական A կետում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն շարունակական է A կետում և՛ աջ, և՛ ձախ կողմում, այսինքն, որպեսզի A կետում գոյություն ունենան երկու միակողմանի սահմաններ, դրանք հավասար են միմյանց և հավասար են արժեքին: գործում է Ա կետում.

Սահմանում 2: Ֆունկցիան շարունակական էբազմության վրա, եթե այն շարունակական է այս բազմության բոլոր կետերում:

Գործառույթի ածանցյալը կետում

Թող տրվածը սահմանվի հարևանությամբ: Հաշվի առեք

Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի, ապա այն կոչվում է f ֆունկցիայի ածանցյալը կետում.

Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի ավելացման հարաբերակցության սահմանը արգումենտի աճին, երբ արգումենտը ավելանում է:

Մի կետում ածանցյալը հաշվարկելու կամ գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում .

Տարբերակման կանոններ.

ածանցյալգործառույթները f(x)կետում x=x 0այս պահին ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունն է արգումենտի ավելացմանը, քանի որ վերջինս ձգտում է զրոյի:Ածանցյալը գտնելը կոչվում է. տարբերակում. Ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկվում է ըստ ընդհանուր տարբերակման կանոնի՝ Նշենք f(x) = u, g(x) = v- մի կետում տարբերվող ֆունկցիաներ X. Տարբերակման հիմնական կանոնները 1) (գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին) 2) (հետևաբար, մասնավորապես, հետևում է, որ ֆունկցիայի և հաստատունի արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին. հաստատունով) 3) քանորդի ածանցյալ՝ եթե g  0 4) Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ. 5) Եթե ֆունկցիան պարամետրային է դրված՝ , ապա

Օրինակներ.

1. y = xա - հզորության գործառույթկամայական ցուցանիշով։

Անուղղակի գործառույթ

Եթե ​​ֆունկցիան տրված է y-ի նկատմամբ լուծված y=ƒ(x) հավասարմամբ, ապա ֆունկցիան տրվում է բացահայտորեն (բացահայտ ֆունկցիա):

Տակ անուղղակի հանձնարարությունֆունկցիաները հասկանում են ֆունկցիայի նշանակումը F(x;y)=0 հավասարման տեսքով, որը չի թույլատրվում y-ի նկատմամբ:

Ցանկացած հստակ տրված y=ƒ(x) ֆունկցիա կարող է գրվել որպես անուղղակի տրված է հավասարմամբƒ(x)-y=0, բայց ոչ հակառակը:

Միշտ չէ, որ հեշտ է, իսկ երբեմն էլ անհնար է y-ի հավասարումը լուծել (օրինակ՝ y+2x+cozy-1=0 կամ 2y-x+y=0):

Եթե ​​իմպլիցիտ ֆունկցիան տրված է F(x; y)=0 հավասարմամբ, ապա x-ի նկատմամբ y-ի ածանցյալը գտնելու համար կարիք չկա լուծել y-ի նկատմամբ հավասարումը. Բավական է տարբերակել այս հավասարումը x-ի նկատմամբ, մինչդեռ y-ն որպես x-ի ֆունկցիա,այնուհետև լուծեք ստացված հավասարումը y-ի նկատմամբ»:

Իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալն արտահայտվում է x փաստարկով և y ֆունկցիայով:

Օրինակ:

Գտե՛ք x 3 +y 3 -3xy=0 հավասարմամբ տրված y ֆունկցիայի ածանցյալը:

Լուծում. y ֆունկցիան անուղղակիորեն սահմանված է: x-ի նկատմամբ տարբերել հավասարությունը x 3 +y 3 -3xy=0: Ստացված հարաբերակցությունից

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

հետևում է, որ y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, այսինքն. y "= (y-x 2) / (y 2 -x):

Բարձրագույն պատվերների ածանցյալներ

Հասկանալի է, որ ածանցյալ

գործառույթները y=f(x)կա նաև ֆունկցիա ից x:

y"=f" (x)

Եթե ​​ֆունկցիան f"(x)տարբերվող է, ապա նրա ածանցյալը նշանակվում է նշանով y""=f""(x) xերկու անգամ։
Երկրորդ ածանցյալի ածանցյալը, այսինքն. գործառույթները y""=f""(x), կոչվում է y=f(x) ֆունկցիայի երրորդ ածանցյալըկամ երրորդ կարգի f(x) ֆունկցիայի ածանցյալև խորհրդանշվում է

Ընդհանրապես n-i ածանցյալ կամ ածանցյալ n-րդ կարգի ֆունկցիան y=f(x)նշվում է նշաններով

F-la Leibniz:

Ենթադրենք, որ ֆունկցիաները և տարբերվում են իրենց ածանցյալների հետ մինչև n-րդ կարգի ներառյալ։ Կիրառելով երկու ֆունկցիաների արտադրյալի տարբերակման կանոնը՝ ստանում ենք

Համեմատենք այս արտահայտությունները երկանդամի հզորությունների հետ.

Համապատասխանության կանոնը ապշեցուցիչ է՝ ֆունկցիաների արտադրյալից և 1-ին, 2-րդ կամ 3-րդ կարգերի ածանցյալի բանաձև ստանալու համար անհրաժեշտ է փոխարինել աստիճանները և արտահայտության մեջ (որտեղ n= 1,2,3) համապատասխան կարգերի ածանցյալներ. Բացի այդ, զրոյական հզորությունները և պետք է փոխարինվեն ածանցյալներով զրոյական կարգ, նրանց կողմից նկատի ունենալով գործառույթները և.

Ընդհանրացնելով այս կանոնը կամայական կարգի ածանցյալի դեպքում n, ստանում ենք Լայբնիցի բանաձևը,

որտեղ են երկանդամ գործակիցները.

Ռոլլի թեորեմա.

Այս թեորեմը հնարավորություն է տալիս գտնել կրիտիկական կետերը և այնուհետև բավարար պայմանների օգնությամբ ուսումնասիրել f-րդ ծայրահեղությունների համար։

Թող 1) f-րդ f(x)-ը որոշված ​​և շարունակական լինի ինչ-որ փակ միջակայքում; 2) գոյություն ունի վերջավոր ածանցյալ, առնվազն բաց միջակայքում (a;b); 3) ծայրերում ընդմիջում f-iվերցնում է հավասար արժեքներ f(a) = f(b): Այնուհետև a և b կետերի միջև կա այնպիսի c կետ, որ այս կետում ածանցյալը կլինի = 0:

Համաձայն հատվածի վրա շարունակական f-երորդների հատկության թեորեմի, f-րդ f(x)-ն այս հատվածին ընդունում է իր առավելագույն և նվազագույն արժեքները։

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ; x 2 О

1) Թող M = m, այսինքն. m £ f(x) £ Մ

Þ f-րդ f(x)-ը կընդունի a-ից b-ի միջակայքը հաստատուն արժեքներ, իսկ Þ նրա ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի: f'(x)=0

2) Թող M>m

Որովհետեւ թեորեմի պայմաններով f(a) = f(b) z-ն նրա փոքրագույնն է կամ ամենամեծը f-րդ արժեքըկվերցնի ոչ թե հատվածի ծայրերը, և Þ-ը կվերցնի M կամ m այս հատվածի ներքին կետում: Այնուհետեւ Ֆերմայի թեորեմով f'(c)=0.

Լագրանժի թեորեմ.

Վերջնական աճման բանաձևկամ Լագրանժի միջին արժեքի թեորեմնշում է, որ եթե ֆունկցիան զշարունակական միջակայքում [ ա;բ] և տարբերվող միջակայքում ( ա;բ), ապա կա այնպիսի կետ, որ

Քոշիի թեորեմ.

Եթե ​​f(x) և g(x) ֆունկցիաները շարունակական են միջակայքում և տարբերելի են (a, b) և g¢(x) ¹ 0 (a, b) միջակայքի վրա, ապա կա առնվազն մեկը. կետ e, a< e < b, такая, что

Նրանք. Տվյալ հատվածի վրա ֆունկցիաների հավելումների հարաբերակցությունը հավասար է e կետի ածանցյալների հարաբերակցությանը։ Դասախոսությունների խնդրի լուծման օրինակներ Մարմնի ծավալի հաշվարկ ըստ հայտնի հրապարակներիր զուգահեռ հատվածներԻնտեգրալ հաշվարկ

Դասընթացի աշխատանքի օրինակներէլեկտրատեխնիկա

Այս թեորեմն ապացուցելու համար առաջին հայացքից շատ հարմար է օգտագործել Լագրանժի թեորեմը։ Գրեք վերջավոր տարբերության բանաձևը յուրաքանչյուր ֆունկցիայի համար, այնուհետև բաժանեք դրանք միմյանց վրա: Սակայն այս տեսակետը սխալ է, քանի որ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի համար e կետը ընդհանուր առմամբ տարբեր է: Իհարկե, որոշ հատուկ դեպքերում այս ինտերվալային կետը կարող է նույնը լինել երկու ֆունկցիաների համար, բայց սա շատ հազվադեպ պատահականություն է, ոչ թե կանոն, և, հետևաբար, չի կարող օգտագործվել թեորեմն ապացուցելու համար:

Ապացույց. Դիտարկենք օգնականի գործառույթը

Երբ x→x 0, c-ի արժեքը նույնպես ձգտում է դեպի x 0; նախորդ հավասարության մեջ անցնենք սահմանին.

Որովհետեւ , ապա .

Ահա թե ինչու

(երկու անվերջ փոքրերի հարաբերակցության սահմանը հավասար է նրանց ածանցյալների հարաբերակցության սահմանին, եթե վերջինս գոյություն ունի)

L'Hopital-ի կանոնը, ժամը ∞ / ∞.

Նկատի ունեցեք, որ բոլոր սահմանումները ներառում են X թվային բազմություն, որը ֆունկցիայի տիրույթի մի մասն է՝ X՝ D(f-ով): Գործնականում ամենից հաճախ լինում են դեպքեր, երբ X- թվային միջակայք(հատված, ընդմիջում, ճառագայթ և այլն):

Սահմանում 1.

y \u003d f (x) ֆունկցիան կոչվում է մեծացող X բազմության վրա D (f)-ով, եթե X բազմության ցանկացած երկու կետերի համար x 1 և x 2 այնպիսին է, որ x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Սահմանում 2.

y \u003d f (x) ֆունկցիան կոչվում է նվազում X բազմության վրա D (f)-ով, եթե X բազմության երկու կետերի x 1 և x 2 կետերի ցանկացած միապաղաղության համար, այնպես, որ x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f (x2).

Գործնականում ավելի հարմար է օգտագործել հետևյալ ձևակերպումները. ֆունկցիան մեծանում է, եթե փաստարկի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին. ֆունկցիան նվազում է, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի փոքր արժեքին:

7-րդ և 8-րդ դասարաններում մենք օգտագործել ենք ֆունկցիաների մեծացման կամ նվազման հասկացությունների հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը. շարժվելով աճող ֆունկցիայի գրաֆիկի երկայնքով ձախից աջ, մենք մի տեսակ բարձրանում ենք բլրի վրա (նկ. 55); շարժվելով նվազող ֆունկցիայի գրաֆիկի երկայնքով ձախից աջ, կարծես իջնենք բլուրով (նկ. 56):
Սովորաբար «աճող ֆունկցիա», «նվազող ֆունկցիա» տերմինները միավորվում են միապաղաղ ֆունկցիա ընդհանուր անվանմամբ, իսկ մեծացման կամ նվազման ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը կոչվում է միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն։

Մենք նշում ենք ևս մեկ հանգամանք. եթե ֆունկցիան աճում է (կամ նվազում) իր բնական սահմանման տիրույթում, ապա սովորաբար ասում են, որ ֆունկցիան աճում է (կամ նվազում)՝ առանց X թվային բազմությունը նշելու։

Օրինակ 1

Ուսումնասիրեք միապաղաղության ֆունկցիան.

ա) y \u003d x 3 + 2; բ) y \u003d 5 - 2x:

Լուծում:

ա) Վերցրեք x 1 և x 2 փաստարկի կամայական արժեքները և թող x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Վերջին անհավասարությունը նշանակում է, որ f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Այսպիսով, x 1-ից< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), ինչը նշանակում է, որ տվյալ ֆունկցիան նվազում է (ամբողջ թվային տողի վրա)։

Սահմանում 3.

y - f(x) ֆունկցիան կոչվում է X բազմության ներքևից սահմանափակված D (f), եթե X բազմության ֆունկցիայի բոլոր արժեքները մեծ են որոշակի թվից (այլ կերպ ասած, եթե կա m այնպիսի թիվ, որ x є X ցանկացած արժեքի համար f( x) >m անհավասարությունը):

Սահմանում 4.

y \u003d f (x) ֆունկցիան կոչվում է վերևից սահմանափակված X բազմության վրա D (f)-ով, եթե ֆունկցիայի բոլոր արժեքները փոքր են որոշակի թվից (այլ կերպ ասած, եթե կա M այնպիսի թիվ, որ ցանկացած արժեքի համար x є X անհավասարությունը f (x)< М).

Եթե ​​X բազմությունը նշված չէ, ապա ենթադրվում է, որ ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևից կամ վերևից՝ սահմանման ողջ տիրույթում։

Եթե ​​ֆունկցիան սահմանափակված է և՛ ներքևից, և՛ վերևից, ապա այն կոչվում է սահմանափակված:

Ֆունկցիայի սահմանափակությունը հեշտությամբ կարելի է կարդալ նրա գրաֆիկից. եթե ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևից, ապա դրա գրաֆիկն ամբողջությամբ գտնվում է y \u003d m ինչ-որ հորիզոնական գծի վերևում (նկ. 57); եթե ֆունկցիան սահմանափակված է վերևից, ապա դրա գրաֆիկն ամբողջությամբ գտնվում է y \u003d M ինչ-որ հորիզոնական գծի տակ (նկ. 58):

Օրինակ 2Ուսումնասիրեք սահմանափակության գործառույթը
Լուծում.Մի կողմից, անհավասարությունը բավականին ակնհայտ է (ըստ սահմանման քառակուսի արմատՍա նշանակում է, որ ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևից: Մյուս կողմից մենք ունենք և հետևաբար
Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան սահմանափակված է վերևից: Այժմ նայեք տրված ֆունկցիայի գրաֆիկին (նախորդ պարբերության նկ. 52): Ֆունկցիայի սահմանները թե՛ վերևից, թե՛ ներքևից բավականին հեշտ է ընթերցվում գրաֆիկից:

Սահմանում 5.

m թիվը կոչվում է y \u003d f (x) ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը X C D (f) բազմության վրա, եթե.

1) X-ում կա x 0 այնպիսի կետ, որ f(x 0) = m;

2) բոլոր x-ի համար X-ից լրացված է m>f(х 0) անհավասարությունը:

Սահմանում 6.

M թիվը կոչվում է y \u003d f (x) ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը X C D (f) բազմության վրա, եթե.
1) X-ում կա x 0 այնպիսի կետ, որ f(x 0) = M;
2) X-ից բոլոր x-ի համար անհավասարությունը
Ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը և՛ 7-րդ, և՛ 8-րդ դասարաններում նշել ենք y, իսկ ամենամեծ արժեքը՝ y նշանով։

Եթե ​​X բազմությունը նշված չէ, ապա ենթադրվում է, որ խոսքը ամենափոքրը կամ գտնելու մասին է. ամենամեծ արժեքըգործում է սահմանման ողջ տիրույթում:

Հետևյալ օգտակար հայտարարությունները միանգամայն ակնհայտ են.

1) Եթե ֆունկցիան ունի Y, ապա այն սահմանափակված է ներքևից:
2) Եթե ֆունկցիան ունի Y, ապա այն սահմանափակված է վերեւից:
3) Եթե ֆունկցիան սահմանափակված չէ ստորև, ապա Y գոյություն չունի:
4) Եթե ֆունկցիան վերևից սահմանափակված չէ, ապա Y գոյություն չունի:

Օրինակ 3

Գտեք ֆունկցիայի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները
Լուծում.

Միանգամայն ակնհայտ է, հատկապես, եթե դուք դիմում եք ֆունկցիայի գրաֆիկին (նկ. 52), որ \u003d 0 (ֆունկցիան հասնում է այս արժեքին x \u003d -3 և x \u003d 3 կետերում), a \u003d 3 ( ֆունկցիան հասնում է այս արժեքին x \u003d 0 կետում:
7-րդ և 8-րդ դասարանում մենք նշեցինք ֆունկցիաների ևս երկու հատկություն. Առաջինը կոչվում էր ֆունկցիայի ուռուցիկության հատկություն։ Համարվում է, որ ֆունկցիան X միջակայքում դեպի ներքև ուռուցիկ է, եթե իր գրաֆիկի ցանկացած երկու կետ (X-ից աբսցիսներով) միացնելով ուղիղ հատվածով, հայտնաբերենք, որ գրաֆիկի համապատասխան մասը գտնվում է գծված հատվածի տակ ( Նկար 59): շարունակականություն Ֆունկցիան X ինտերվալի վրա դեպի վեր ուռուցիկ է, եթե իր գրաֆիկի երկու կետերը (X-ից աբսցիսներով) ուղիղ հատվածով միացնելով, հայտնաբերենք, որ գրաֆիկի համապատասխան մասը գտնվում է գծված հատվածի վերևում (նկ. 60): )

Երկրորդ հատկությունը՝ ֆունկցիայի շարունակականությունը X միջակայքի վրա, նշանակում է, որ X միջակայքի ֆունկցիայի գրաֆիկը շարունակական է, այսինքն. չունի ծակոցներ և ցատկեր:

Մեկնաբանություն.

Իրականում, մաթեմատիկայում ամեն ինչ, ինչպես ասում են, «ճիշտ հակառակն է»՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը պատկերվում է որպես հոծ գիծ (առանց ծակումների և ցատկերի) միայն այն դեպքում, երբ ապացուցված է ֆունկցիայի շարունակականությունը։ Բայց գործառույթի շարունակականության պաշտոնական սահմանումը, որը բավականին բարդ և նուրբ է, դեռ մեր ուժերից վեր է: Նույնը կարելի է ասել ֆունկցիայի ուռուցիկության մասին։ Քննարկելով ֆունկցիաների այս երկու հատկությունները՝ մենք կշարունակենք հիմնվել տեսողական-ինտուիտիվ ներկայացումների վրա:

Հիմա վերանայենք մեր գիտելիքները: Հիշելով 7-րդ և 8-րդ դասարաններում սովորած ֆունկցիաները՝ մենք կպարզաբանենք, թե ինչպես են դրանց գրաֆիկները և թվարկելու ֆունկցիայի հատկությունները՝ հավատարիմ մնալով որոշակի կարգի, օրինակ՝ սահմանման տիրույթ; միատոն; սահմանափակում; , ; շարունակականություն; արժեքների շրջանակ; ուռուցիկ.

Հետագայում կհայտնվեն գործառույթների նոր հատկություններ, և հատկությունների ցանկը համապատասխանաբար կփոխվի:

1. Մշտական ​​ֆունկցիա y \u003d C

y \u003d C ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է նկ. 61 - ուղիղ գիծ, ​​x-առանցքին զուգահեռ: Սա այնքան անհետաքրքիր գործառույթ է, որ անիմաստ է թվարկել դրա հատկությունները:

y \u003d kx + m ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է (Նկար 62, 63):

y \u003d kx + m ֆունկցիայի հատկությունները.

1)
2) մեծանում է, եթե k > 0 (նկ. 62), նվազում է, եթե k< 0 (рис. 63);

4) չկա ոչ ամենամեծը, ոչ էլ ամենափոքր արժեքները;
5) ֆունկցիան շարունակական է.
6)
7) ուռուցիկության մասին խոսելն անիմաստ է:

y \u003d kx 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է՝ սկզբում գագաթով և դեպի վեր ուղղված ճյուղերով, եթե k\u003e O (նկ. 64), և դեպի ներքև, եթե k.< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

y - kx 2 ֆունկցիայի հատկությունները:

k > 0 դեպքի համար (նկ. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = գոյություն չունի;
5) շարունակական;
6) Е(f) = ֆունկցիան նվազում է, իսկ ինտերվալի վրա՝ նվազում ճառագայթի վրա;
7) ուռուցիկ դեպի վեր.

y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցված է կետ առ կետ. որքան շատ ենք (x; f (x)) ձևի կետերը, այնքան ավելի ճշգրիտ պատկերացում ենք ստանում գրաֆիկի մասին: Եթե ​​մենք վերցնենք այս կետերից շատ, ապա գրաֆիկի գաղափարն ավելի ամբողջական կլինի: Հենց այս դեպքում է, որ ինտուիցիան մեզ ասում է, որ գրաֆիկը պետք է գծել որպես հոծ գիծ (այս դեպքում՝ որպես պարաբոլա)։ Եվ հետո, կարդալով գրաֆիկը, եզրակացություններ ենք անում ֆունկցիայի շարունակականության, դեպի վար կամ վերև ուռուցիկության, ֆունկցիայի տիրույթի մասին։ Դուք պետք է հասկանաք, որ թվարկված յոթ հատկություններից միայն 1), 2), 3), 4) հատկությունները «օրինական» են այն առումով, որ մենք կարողանում ենք դրանք հիմնավորել՝ հղում կատարելով ճշգրիտ սահմանումներին։ Մենք ունենք միայն տեսողական-ինտուիտիվ ներկայացումներ մնացած հատկությունների մասին: Ի դեպ, դրանում վատ բան չկա։ Մաթեմատիկայի զարգացման պատմությունից հայտնի է, որ մարդկությունը հաճախ և երկար ժամանակ օգտագործում էր որոշակի առարկաների տարբեր հատկություններ՝ չիմանալով ճշգրիտ սահմանումները։ Հետո, երբ կարելի էր նման սահմանումներ ձեւակերպել, ամեն ինչ իր տեղն ընկավ։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը հիպերբոլա է, կոորդինատային առանցքները ծառայում են որպես հիպերբոլայի ասիմպտոտներ (նկ. 66, 67):

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) եթե k > 0, ապա ֆունկցիան նվազում է բաց ճառագայթի վրա (-oo, 0) և բաց ճառագայթի վրա (0, +oo) (նկ. 66); եթե դեպի< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) չի սահմանափակվում ոչ ներքևից, ոչ էլ վերևից.
4) չկա ոչ ամենափոքր, ոչ էլ ամենամեծ արժեքները.
5) ֆունկցիան շարունակական է բաց ճառագայթի վրա (-oo, 0) և բաց ճառագայթի վրա (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) եթե k > 0, ապա ֆունկցիան x-ում դեպի վեր ուռուցիկ է< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, այսինքն. բաց ճառագայթի վրա (0, +oo) (նկ. 66): Եթե ​​դեպի< 0, то функция выпукла вверх при х >o և ուռուցիկ ներքև x-ում< О (рис. 67).
Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլայի ճյուղն է (նկ. 68): Ֆունկցիայի հատկություններ.
1) D(f) = , աճում է ճառագայթի վրա: Այս հատվածում $16-x^2≤16$ կամ $\sqrt(16-x^2)≤4$, բայց սա նշանակում է սահմանափակվածություն վերևից:
Պատասխան․ մեր ֆունկցիան սահմանափակված է $y=0$ և $y=4$ երկու տողերով։

Ամենաբարձր և ամենացածր արժեքը

y= f(x) ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը Х⊂D(f) բազմության վրա ինչ-որ m թիվ է, այնպիսին, որ.

բ) Ցանկացած xϵX-ի համար գործում է $f(x)≥f(x0)$:

Х⊂D(f) բազմության վրա y=f(x) ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը m որոշ թիվ է, այնպիսին, որ.
ա) Կա որոշ x0 այնպիսին, որ $f(x0)=m$:
բ) Ցանկացած xϵX-ի համար $f(x)≤f(x0)$-ը բավարարված է:

Ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը սովորաբար նշվում է y max-ով: և y անունը. .

Սահմանափակություն և ֆունկցիայի ամենափոքր արժեք ունեցող ամենամեծ հասկացությունները սերտորեն կապված են: Հետևյալ պնդումները ճշմարիտ են.
ա) Եթե ֆունկցիայի համար կա ամենափոքր արժեք, ապա այն սահմանափակված է ներքևից:
բ) Եթե ֆունկցիայի համար կա առավելագույն արժեք, ապա այն սահմանափակված է վերևից:
գ) Եթե ֆունկցիան վերևից սահմանափակված չէ, ապա առավելագույն արժեք չկա:
դ) Եթե ֆունկցիան ներքևում սահմանափակված չէ, ապա ամենափոքր արժեքը գոյություն չունի:

Գտե՛ք $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը։
Լուծում. $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$x=4$ $f(4)=5$-ի համար, մնացած բոլոր արժեքների համար ֆունկցիան ավելի փոքր արժեքներ է ընդունում կամ գոյություն չունի, այսինքն՝ սա ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքն է։
Ըստ սահմանման՝ $9-4x^2+16x≥0$։ Գտնենք արմատները քառակուսի եռանկյուն$(2x+1)(2x-9)≥0$: $x=-0.5$-ում և $x=4.5$-ում ֆունկցիան անհետանում է, մնացած բոլոր կետերում այն ​​մեծ է զրոյից: Այնուհետև, ըստ սահմանման, ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը զրո է։
Պատասխան՝ y max. =5 և y րոպե: =0.

Տղերք, մենք ուսումնասիրել ենք նաև ֆունկցիայի ուռուցիկության հասկացությունները։ Որոշ խնդիրներ լուծելիս մեզ կարող է անհրաժեշտ լինել այս գույքը։ Այս հատկությունը նույնպես հեշտությամբ որոշվում է գրաֆիկների միջոցով:

Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև, եթե սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկի երկու կետերը միացված են, և ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է կետերը միացնող գծի տակ։

Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի վեր, եթե սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկի երկու կետերը միացված են, և ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է կետերը միացնող գծից վեր։

Ֆունկցիան շարունակական է, եթե մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը չունի ընդհատումներ, ինչպես օրինակ վերը նշված ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Եթե ​​ցանկանում եք գտնել ֆունկցիայի հատկությունները, ապա հատկությունների որոնման հաջորդականությունը հետևյալն է.
ա) սահմանման տիրույթ.
բ) Միապաղաղություն.
գ) սահմանափակում.
դ) ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը.
ե) շարունակականություն.
զ) Արժեքների միջակայք.

Գտե՛ք $y=-2x+5$ ֆունկցիայի հատկությունները։
Լուծում.
ա) սահմանման տիրույթ D(y)=(-∞;+∞).
բ) Միապաղաղություն. Եկեք ստուգենք ցանկացած արժեք x1 և x2 և թույլ տվեք x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$:
$f(x2)=-2x2+2$:
Քանի որ x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
գ) սահմանափակում. Ակնհայտ է, որ գործառույթը սահմանափակված չէ:
դ) ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը. Քանի որ ֆունկցիան սահմանափակված չէ, չկա առավելագույն կամ նվազագույն արժեք:
ե) շարունակականություն. Մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը բացեր չունի, ապա ֆունկցիան շարունակական է։
զ) Արժեքների միջակայք. E(y)=(-∞;+∞):

Անկախ լուծման համար ֆունկցիայի հատկությունների առաջադրանքներ

Սահմանային թեորեմ միատոն ֆունկցիա. Թեորեմի ապացույցը տրվում է երկու եղանակով. Տրված են նաև խիստ աճող, չնվազող, խիստ նվազող և չաճող ֆունկցիաների սահմանումներ։ Միապաղաղ ֆունկցիայի սահմանում.

Սահմանումներ

Աճող և նվազող ֆունկցիաների սահմանումներ
Թող ֆունկցիան f (x)սահմանվում է X իրական թվերի որոշ բազմության վրա:
Ֆունկցիան կոչվում է խիստ աճող (խիստ նվազում), եթե բոլորի համար x′, x′′ ∈ Xայնպիսին, որ x′< x′′ выполняется неравенство:
զ (x′)< f(x′′) (զ (x′) > f(x′′) ) .
Ֆունկցիան կոչվում է չնվազող (չաճող), եթե բոլորի համար x′, x′′ ∈ Xայնպիսին, որ x′< x′′ выполняется неравенство:
զ (x′) ≤ f(x′′)(զ (x′) ≥ f(x′′) ) .

Սա ենթադրում է, որ խիստ աճող ֆունկցիան նույնպես չի նվազում: Խիստ նվազող ֆունկցիան նույնպես չի աճում:

Միապաղաղ ֆունկցիայի սահմանում
Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղեթե այն չի նվազում կամ չի աճում։

Որոշ X բազմության վրա ֆունկցիայի միապաղաղությունն ուսումնասիրելու համար հարկավոր է գտնել դրա արժեքների տարբերությունը այս բազմությանը պատկանող երկու կամայական կետերում: Եթե ​​, ապա ֆունկցիան խիստ մեծանում է. եթե , ապա ֆունկցիան չի նվազում; եթե , ապա խստորեն նվազում է; եթե , ապա չի ավելանում:

Եթե ​​որոշ բազմության վրա ֆունկցիան դրական է․ Եթե ​​, ապա ֆունկցիան խիստ մեծանում է. եթե , ապա ֆունկցիան չի նվազում; եթե , ապա խստորեն նվազում է; եթե , ապա չի ավելանում:

Թեորեմ
Թող ֆունկցիան f (x)ընդմիջման ընթացքում չի նվազում (ա, բ), որտեղ.
Եթե ​​այն վերևից սահմանափակված է M: թվով, ապա b կետում կա վերջավոր ձախ սահման: Եթե ​​զ (x)վերևում չսահմանափակված, ուրեմն .
Եթե ​​զ (x)ներքևից սահմանափակված է m թվով, ապա a կետում կա վերջավոր աջ սահման: Եթե ​​զ (x)չսահմանափակված ներքևում, ապա .

Եթե ​​a և b կետերը գտնվում են անվերջության վրա, ապա արտահայտություններում սահմանային նշանները նշանակում են, որ .
Այս թեորեմը կարելի է ավելի կոմպակտ ձևակերպել։

Թող ֆունկցիան f (x)ընդմիջման ընթացքում չի նվազում (ա, բ), որտեղ. Այնուհետև a և b կետերում կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Նմանատիպ թեորեմ չաճող ֆունկցիայի համար։

Թող ֆունկցիան չմեծանա այն միջակայքում, որտեղ: Այնուհետև կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Հետևանք
Թող ֆունկցիան լինի միապաղաղ միջակայքում: Այնուհետև այս միջակայքից ցանկացած կետում կան ֆունկցիայի միակողմանի վերջավոր սահմաններ.
եւ .

Թեորեմի ապացույց

Ֆունկցիան չի նվազում

բ - վերջնական համարը

Վերևից սահմանափակված գործառույթ

1.1.1. Թող ֆունկցիան վերևից սահմանափակված լինի M թվով:

.
;
.

Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա . Հետո
ժամը .
Փոխակերպենք վերջին անհավասարությունը.
;
;
.
Որովհետև, ուրեմն. Հետո
ժամը .

ժամը .
«Ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների սահմանումները վերջավոր կետում»):

Գործառույթը չի սահմանափակվում վերեւից

1. Թող ֆունկցիան չնվազի միջակայքում:
1.1. Թող b թիվը լինի վերջավոր.
1.1.2. Թող ֆունկցիան վերևից անսահմանափակ լինի:
Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

.

ժամը .

Նշենք. Ապա ցանկացած գոյություն ունի, այնպես որ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ b կետում ձախ կողմի սահմանն է (տե՛ս «Ֆունկցիայի միակողմանի անսահման սահմանների սահմանումները վերջնակետում»):

b վաղ գումարած անսահմանություն

Վերևից սահմանափակված գործառույթ

1. Թող ֆունկցիան չնվազի միջակայքում:
1.2.1. Թող ֆունկցիան վերևից սահմանափակված լինի M թվով:
Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

Քանի որ ֆունկցիան սահմանափակված է վերևից, կա վերջավոր վերին սահման
.
Նվազագույն վերին սահմանի սահմանման համաձայն՝ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.
;
ցանկացած դրականի համար կա փաստարկ, որի համար
.

Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա . Այնուհետև ժամը. Կամ
ժամը .

Այսպիսով, մենք գտանք, որ ցանկացածի համար գոյություն ունի թիվ, այնպես որ
ժամը .
«Միակողմանի սահմանների սահմանումներ անսահմանության մեջ»):

Գործառույթը չի սահմանափակվում վերեւից

1. Թող ֆունկցիան չնվազի միջակայքում:
1.2. Թող b թիվը լինի գումարած անվերջություն.
1.2.2. Թող ֆունկցիան վերևից անսահմանափակ լինի:
Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

Քանի որ ֆունկցիան վերևից սահմանափակված չէ, ապա ցանկացած M թվի համար կա արգումենտ, որի համար
.

Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա . Այնուհետև ժամը.

Այսպիսով, ցանկացածի համար կա թիվ, այնպես որ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ սահմանը ժամը է (տես «Անսահմանության միակողմանի անսահման սահմանների սահմանումները»):

Ֆունկցիան չի ավելանում

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ ֆունկցիան չի ավելանում։ Դուք կարող եք, ինչպես վերևում, յուրաքանչյուր տարբերակ դիտարկել առանձին: Բայց մենք անմիջապես կփակենք դրանք: Դրա համար մենք օգտագործում ենք. Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

Դիտարկենք ֆունկցիայի արժեքների բազմության վերջավոր ստորին սահմանը.
.
Այստեղ B-ն կարող է լինել կա՛մ վերջավոր թիվ, կա՛մ անվերջության կետ: Ըստ ճշգրիտ ինֆիմի սահմանման՝ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.
;
B կետի ցանկացած հարևանության համար կա փաստարկ, որի համար
.
Թեորեմի պայմանով, . Ահա թե ինչու .

Քանի որ ֆունկցիան չի մեծանում, ապա . Որովհետև, ուրեմն
ժամը .
Կամ
ժամը .
Ավելին, մենք նշում ենք, որ անհավասարությունը սահմանում է b կետի ձախ ծակված հարևանությունը:

Այսպիսով, մենք գտանք, որ կետի ցանկացած հարևանության համար կա b կետի այնպիսի ծակված ձախ հարևանություն, որ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ b կետում ձախ կողմի սահմանը հետևյալն է.

(տե՛ս ֆունկցիայի սահմանի համընդհանուր սահմանումը ըստ Քոշիի)։

Սահմանը ա կետում

Հիմա ցույց տանք, որ a կետում սահման կա և գտնենք դրա արժեքը։

Դիտարկենք մի ֆունկցիա. Թեորեմի պայմանով ֆունկցիան միապաղաղ է . Փոխարինենք x փոփոխականը - x-ով (կամ կատարենք փոխարինումը և հետո t փոփոխականը փոխարինենք x-ով): Այնուհետև ֆունկցիան մոնոտոն է . Անհավասարությունները բազմապատկելով -1 և փոխելով դրանց հերթականությունը՝ եզրակացնում ենք, որ ֆունկցիան միապաղաղ է .

Նմանապես հեշտ է ցույց տալ, որ եթե չի նվազում, ուրեմն չի ավելանում։ Հետո, ըստ վերը ապացուցվածի, սահման կա
.
Եթե ​​չի ավելանում, ուրեմն չի նվազում։ Այս դեպքում սահման կա
.

Այժմ մնում է ցույց տալ, որ եթե առկա է ֆունկցիայի սահմանը ժամը , ապա կա ֆունկցիայի սահմանը ժամը , և այս սահմանները հավասար են.
.

Ներկայացնենք նշումը.
(1) .
Եկեք արտահայտենք f-ը g-ով.
.
Վերցրեք կամայական դրական թիվ: Թող լինի Ա կետի էպսիլոնային հարևանություն: Epsilon հարևանությունը սահմանվում է A-ի և վերջավոր և անվերջ արժեքների համար (տես «Կետի հարևանություն»): Քանի որ կա սահման (1), ուրեմն, ըստ սահմանի սահմանման, ցանկացածի համար գոյություն ունի այնպիսին, որ
ժամը .

Թող a լինի վերջավոր թիվ: Եկեք արտահայտենք -a կետի ձախ ծակված հարևանությունը՝ օգտագործելով անհավասարությունները.
ժամը .
x-ը փոխարինենք -x-ով և հաշվի առնենք, որ.
ժամը .
Վերջին երկու անհավասարությունները սահմանում են a կետի ծակված աջ հարևանությունը: Հետո
ժամը .

Թող a-ն լինի անվերջ թիվ, . Կրկնում ենք քննարկումը.
ժամը ;
ժամը ;
ժամը ;
ժամը .

Այսպիսով, մենք գտանք, որ ցանկացածի համար գոյություն ունի այդպիսին
ժամը .
Դա նշանակում է որ
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Մենք կանվանենք y=f(x) ֆունկցիան BOUNDED UP (BOTTOM) A բազմության վրա D(f) տիրույթից, եթե այդպիսի թիվ կա. Մ , որ այս ցանկացած x-ի համար սահմանել պայմանը

Օգտագործելով տրամաբանական նշաններ, սահմանումը կարելի է գրել այսպես.

f(x) – սահմանափակված վերևից նկարահանման հրապարակում

(f(x) – սահմանափակված ներքեւից նկարահանման հրապարակում

Հաշվի են առնվում նաև բացարձակ արժեքով սահմանափակված կամ պարզապես սահմանափակված ֆունկցիաները:

Սահմանման տիրույթից A բազմության վրա BOUNDED ֆունկցիան կանվանենք, եթե կա M դրական թիվ,

Տրամաբանական խորհրդանիշների լեզվով

f(x) – սահմանափակված է հավաքածուի վրա

Այն ֆունկցիան, որը սահմանափակված չէ, կոչվում է անսահմանափակ: Մենք գիտենք, որ ժխտման միջոցով տրված սահմանումները քիչ բովանդակություն ունեն: Այս պնդումը որպես սահմանում ձևակերպելու համար մենք օգտագործում ենք քանակական գործողությունների հատկությունները (3.6) և (3.7): Այնուհետև տրամաբանական նշանների լեզվով ֆունկցիայի սահմանափակության մերժումը կտա.

f(x) – սահմանափակված է հավաքածուի վրա

Ստացված արդյունքը թույլ է տալիս ձևակերպել հետևյալ սահմանումը.

A բազմության վրա ֆունկցիան կոչվում է ԱՆՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿ, որը պատկանում է ֆունկցիայի տիրույթին, եթե այս բազմության վրա ցանկացած դրական M թվի համար կա x արգումենտի նման արժեքը: , որ արժեքը դեռ կգերազանցի M-ի արժեքը, այսինքն՝ .

Որպես օրինակ, դիտարկեք գործառույթը

Այն սահմանված է ամբողջ իրական առանցքի վրա։ Եթե ​​վերցնենք [–2;1] հատվածը (Ա ​​բազմություն), ապա դրա վրա այն սահմանափակված կլինի և՛ վերևից, և՛ ներքևից։

Իսկապես, ցույց տալու համար, որ այն սահմանափակված է ի վերևից, մենք պետք է հաշվի առնենք պրեդիկատը

և ցույց տվեք, որ կա (կա) M այնպիսին, որ բոլոր x-ի համար, որոնք վերցված են [–2;1] հատվածի վրա, դա ճիշտ կլինի

Դժվար չէ գտնել այդպիսի Մ. Կարելի է ենթադրել M = 7, գոյության քանակականը ենթադրում է M-ի առնվազն մեկ արժեք գտնելը: Նման M-ի առկայությունը հաստատում է այն փաստը, որ [–2;1] հատվածի ֆունկցիան սահմանափակված է վերևից:

Ներքևից դրա սահմանափակությունն ապացուցելու համար մենք պետք է հաշվի առնենք պրեդիկատը

M-ի արժեքը, որն ապահովում է այս պրեդիկատի ճշմարտացիությունը, օրինակ՝ M = -100 է։

Կարելի է ապացուցել, որ ֆունկցիան նույնպես սահմանափակված կլինի մոդուլով. [–2;1] հատվածից բոլոր x-ների համար ֆունկցիայի արժեքները համընկնում են ի արժեքների հետ, հետևաբար, որպես M, մենք կարող ենք վերցնել. Օրինակ, M = 7-ի նախորդ արժեքը:

Եկեք ցույց տանք, որ նույն ֆունկցիան, բայց ինտերվալի վրա, կլինի անսահմանափակ, այսինքն.

Ցույց տալու համար, որ այդպիսի x գոյություն ունի, հաշվի առեք հայտարարությունը

Փաստարկի դրական արժեքների մեջ որոնելով x-ի պահանջվող արժեքները՝ մենք ստանում ենք

Սա նշանակում է, որ անկախ նրանից, թե ինչ դրական Mwe վերցնի, x-ի արժեքները, որոնք ապահովում են անհավասարության կատարումը

ստացվում են հարաբերակցությունից։

Հաշվի առնելով ֆունկցիան ամբողջ իրական առանցքի վրա՝ կարելի է ցույց տալ, որ այն բացարձակ արժեքով անսահմանափակ է:

Իսկապես, անհավասարությունից

Այսինքն՝ որքան էլ մեծ լինի դրական M-ը կամ կապահովի անհավասարության կատարումը։

Ծայրահեղ ՖՈՒՆԿՑԻԱ.

Ֆունկցիան ունի կետում Հետ տեղական առավելագույնը (նվազագույնը), եթե կա այս կետի այնպիսի հարևանություն, որ համար x¹ Հետ այս հարևանությունը բավարարում է անհավասարությունը

հատկապես, որ ծայրահեղ կետը կարող է լինել միայն բացվածքի ներքին կետ, և դրա մեջ պետք է սահմանվի f(x): Ծայրահեղության բացակայության հնարավոր դեպքերը ներկայացված են Նկ. 8.8.

Եթե ​​ֆունկցիան մեծանում է (նվազում) ինչ-որ ընդմիջումով և փոքրանում (մեծանում) ինչ-որ ընդմիջումով, ապա կետը Հետ տեղական առավելագույն (նվազագույն) կետն է:

f(x) ֆունկցիայի առավելագույն բացակայությունը կետում Հետ կարելի է ձևակերպել այսպես.

_______________________

f(x)-ն ունի առավելագույնը c-ում

Սա նշանակում է, որ եթե c կետը տեղական առավելագույն կետ չէ, ապա անկախ նրանից, թե ինչ հարևանությամբ է c կետը ներառված որպես ներքին կետ, կա x-ի առնվազն մեկ արժեք, որը հավասար չէ c-ին, որի համար . Այսպիսով, եթե c կետում չկա առավելագույնը, ապա այս կետում կարող է ընդհանրապես ծայրահեղություն չլինել կամ նվազագույն կետ լինել (նկ. 8.9):

Ծայրահեղության հայեցակարգը տալիս է ցանկացած կետում ֆունկցիայի արժեքի համեմատական ​​գնահատում մոտակա ֆունկցիաների նկատմամբ: Գործառույթների արժեքների նմանատիպ համեմատություն կարելի է անել որոշակի ընդմիջման բոլոր կետերի համար:

Բազմության վրա ֆունկցիայի մեծագույն (նվազագույն) արժեքը նրա արժեքն է այս բազմությունից այնպիսի կետում, որ – ժամը . Ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը հասնում է հատվածի ներքին կետում, իսկ ամենափոքրը – նրա ձախ ծայրում:

Հատվածի վրա տրված ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը որոշելու համար անհրաժեշտ է ընտրել ամենամեծ (ամենափոքր) թիվը նրա մաքսիմումների (նվազագույնների) բոլոր արժեքներից, ինչպես նաև վերցված արժեքներից. միջակայքի ծայրերը. Դա կլինի ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը։ Այս կանոնը կհստակեցվի ավելի ուշ:

Բաց միջակայքում ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու խնդիրը միշտ չէ, որ հեշտությամբ լուծվում է: Օրինակ՝ ֆունկցիան

միջակայքում (նկ. 8.11) չունի դրանք։

Եկեք համոզվենք, որ, օրինակ, այս ֆունկցիան չունի ամենամեծ արժեքը։ Իրոք, հաշվի առնելով ֆունկցիայի միապաղաղությունը, կարելի է պնդել, որ անկախ նրանից, թե որքան մոտ ենք x-ի արժեքները միասնության ձախ կողմում, կլինեն այլ x, որոնցում ֆունկցիայի արժեքները ավելի մեծ կլինեն, քան դրա արժեքները տրված ֆիքսված կետերում, բայց դեռ ավելի քիչ, քան միասնությունը: