Սահմանում. Եթե ​​յուրաքանչյուր n բնական թվին վերագրվում է xn թիվ, ապա ասում ենք, որ տրված է հաջորդականություն

x1, x2, …, xn = (xn)

Հերթականության ընդհանուր տարրը n-ի ֆունկցիա է:

Այսպիսով, հաջորդականությունը կարող է դիտվել որպես ֆունկցիա:

Դուք կարող եք նշել հաջորդականությունը տարբեր ձևերով. գլխավորն այն է, որ նշված է հաջորդականության որևէ անդամ ստանալու մեթոդ:

Օրինակ. (xn) = ((-1)n) կամ (xn) = -1; մեկ; - մեկ; մեկ; …

(xn) = (sinn/2) կամ (xn) = 1; 0; մեկ; 0; …

Դուք կարող եք սահմանել հետևյալ գործողությունները հաջորդականությունների համար.

Հաջորդականության բազմապատկումը m թվով. m(xn) = (mxn), այսինքն. mx1, mx2,…

Հերթականությունների գումարում (հանում)՝ (xn) (yn) = (xn yn):

Հերթականությունների արտադրյալը՝ (xn)(yn) = (xnyn):

Հերթականությունների գործակիցը՝ ժամը (yn) 0:

Սահմանափակ և անսահմանափակ հաջորդականություններ.

Սահմանում. Հաջորդականությունը (xn) կոչվում է սահմանափակված, եթե կա M>0 այնպիսի թիվ, որ ցանկացած n-ի համար անհավասարությունը ճիշտ է.

դրանք. հաջորդականության բոլոր անդամները պատկանում են միջակայքին (-M; M):

Սահմանում. Հաջորդականությունը (xn) համարվում է վերևից սահմանափակված, եթե որևէ n-ի համար գոյություն ունի M այնպիսի թիվ, որ xn M:

Սահմանում. Հաջորդականությունը (xn) կոչվում է ներքևից սահմանափակված, եթե որևէ n-ի համար գոյություն ունի M այնպիսի թիվ, որ xn M

Օրինակ. (xn) = n - սահմանափակված է ներքևից (1, 2, 3, ...):

Սահմանում. A թիվը կոչվում է (xn) հաջորդականության սահման, եթե ցանկացած դրական >0-ի համար կա այնպիսի N թիվ, որ բոլոր n > N-ի համար բավարարված է պայմանը. սա գրված է՝ lim xn = a:

Այս դեպքում հաջորդականությունը (xn) ասում են, որ n-ի համար համընկնում է a-ին:

Հատկություն. Եթե հաջորդականության որևէ թվով անդամ դեն նետենք, ապա ստացվում են նոր հաջորդականություններ, և եթե դրանցից մեկը համընկնում է, ապա մյուսը նույնպես զուգակցվում է։

Օրինակ. Ապացուցեք, որ հաջորդականության սահմանը lim է:

Թող դա ճիշտ լինի n > N-ի համար, այսինքն. . Սա ճիշտ է, ուստի, եթե N-ն ընդունվի որպես ի ամբողջական մաս, ապա վերը նշված պնդումը ճշմարիտ է:

Օրինակ. Ցույց տվեք, որ n-ի համար հաջորդականությունը 3 է, ունի 2 սահման:

Ընդհանուր՝ (xn)= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Ակնհայտ է, որ գոյություն ունի այնպիսի թիվ n, որ, այսինքն. lim (xn) = 2:

Թեորեմ. Հերթականությունը չի կարող ունենալ մեկից ավելի սահման:

Ապացույց. Ենթադրենք, որ (xn) հաջորդականությունն ունի երկու սահմաններ a և b, որոնք հավասար չեն միմյանց:

xn a; xnb; ա բ.

Այնուհետև ըստ սահմանման կա >0 այնպիսի թիվ, որ

Եթե ​​N բնական թվերի բազմության վրա ֆունկցիա է սահմանվում, ապա այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է անվերջ թվային հաջորդականություն։ Սովորաբար թվային հաջորդականությունը նշվում է որպես (Xn), որտեղ n-ը պատկանում է N բնական թվերի բազմությանը։

Թվային հաջորդականությունը կարող է տրվել բանաձևով. Օրինակ՝ Xn=1/(2*n): Այսպիսով, մենք յուրաքանչյուր բնական թվին վերագրում ենք n հաջորդականության որոշակի տարր (Xn):

Եթե ​​մենք այժմ հաջորդաբար վերցնենք n-ը, որը հավասար է 1,2,3, ….-ի, ապա կստանանք հաջորդականությունը (Xn)՝ ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Հերթականության տեսակները

Հերթականությունը կարող է լինել սահմանափակ կամ անսահմանափակ, աճող կամ նվազում:

Զանգերի հաջորդականությունը (Xn): սահմանափակվածեթե կան երկու թվեր m և M այնպես, որ բնական թվերի բազմությանը պատկանող ցանկացած n-ի համար m հավասարությունը<=Xn

Հաջորդականություն (Xn), չի սահմանափակվում,կոչվում է անսահմանափակ հաջորդականություն:

աճողեթե բոլոր n դրական ամբողջ թվերի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը՝ X(n+1) > Xn: Այսինքն՝ հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, պետք է մեծ լինի նախորդ անդամից։

Հաջորդականությունը (Xn) կոչվում է նվազում,եթե n-ի բոլոր դրական ամբողջ թվերի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Հաջորդականության օրինակ

Ստուգենք, թե արդյոք 1/n և (n-1)/n հաջորդականությունները նվազում են։

Եթե ​​հաջորդականությունը նվազում է, ապա X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Այսպիսով, (n-1)/n հաջորդականությունը. աճող։

3. Թվերի հաջորդականության սահմանը

3.1. Թվային հաջորդականության և բնական փաստարկի ֆունկցիայի հայեցակարգը

Սահմանում 3.1.Թվային հաջորդականությունը (այսուհետ՝ պարզապես հաջորդականություն) թվերի դասավորված հաշվելի բազմություն է։

{x1, x2, x3, ... }.

Ուշադրություն դարձրեք երկու կետի.

1.Հաջորդականության մեջ կան անսահման շատ թվեր: Եթե ​​կան վերջավոր թվեր, ապա սա հաջորդականություն չէ:

2. Բոլոր թվերը դասավորված են, այսինքն դասավորված են որոշակի հերթականությամբ։

Հետևյալում մենք հաճախ կօգտագործենք հաջորդականության հապավումը ( xn}.

Որոշ գործողություններ կարող են կատարվել հաջորդականության վրա: Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը:

1.Հաջորդականության բազմապատկում թվով.

Հաջորդականություն գ×{ xn) տարրերով հաջորդականություն է ( գ× xn), այն է

գ×{ x1, x2, x3, ... }={գ× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Հերթականությունների գումարում և հանում.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

կամ ավելի մանրամասն՝

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Հերթականությունների բազմապատկում.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Հերթականությունների բաժանում.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Բնականաբար, ենթադրվում է, որ այս դեպքում բոլոր yn¹ 0.

Սահմանում 3.2.Հաջորդականություն ( xn) կոչվում է վերևից սահմանափակված, եթե https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" բարձրություն = "25 src="> Հաջորդականությունը (xn) կոչվում է սահմանափակված, եթե այն սահմանափակված է ինչպես վերևում, այնպես էլ ներքևում:

3.2. Հերթականության սահմանափակում. Անսահման մեծ հաջորդականություն

Սահմանում 3.3.Թիվ ակոչվում է հաջորդականության սահման ( xn) ժամը nձգտում է դեպի անսահմանություն, եթե

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> եթե .

Նրանք ասում են, որ եթե.

Սահմանում 3.4.Հաջորդականություն ( xn) կոչվում է անսահման մեծ, եթե (այսինքն, եթե ).

3.3. Անսահման փոքր հաջորդականություն.

Սահմանում 3.5.Հաջորդականությունը (xn) կոչվում է անվերջ փոքր, եթե , այսինքն՝ եթե .

Անվերջ փոքր հաջորդականություններն ունեն հետևյալ հատկությունները.

1. Անվերջ փոքր հաջորդականություն է նաև անվերջ փոքր հաջորդականության գումարը և տարբերությունը։

2. Անվերջ փոքր հաջորդականությունը սահմանափակված է:

3. Անվերջ փոքր հաջորդականության և սահմանափակ հաջորդականության արտադրյալը անվերջ փոքր հաջորդականություն է:

4. Եթե ( xn) անսահման մեծ հաջորդականություն է, այնուհետև սկսվում է որոշից Ն, հաջորդականությունը (1/ xn), և դա անվերջ փոքր հաջորդականություն է։ Ընդհակառակը, եթե ( xn) անվերջ փոքր հաջորդականություն է և բոլորը xnտարբերվում են զրոյից, ապա (1/ xn) անսահման մեծ հաջորդականություն է։

3.4. կոնվերգենտ հաջորդականություններ.

Սահմանում 3.6.Եթե ​​կա վերջնաժամկետ https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">:

5. Եթե , ապա .

3.5. Անցում դեպի սահման անհավասարություններում.

Թեորեմ 3.1.Եթե, սկսած որոշներից Ն, բոլորը xn ³ բ, ապա .

Հետևանք.Եթե, սկսած որոշներից Ն, բոլորը xn ³ yn, ապա .

Մեկնաբանություն. Նշենք, որ եթե, սկսած որոշ Ն, բոլորը xn > բ, ապա , այսինքն՝ սահմանին անցնելիս խիստ անհավասարությունը կարող է դառնալ ոչ խիստ։

Թեորեմ 3.2.(«Երկու ոստիկանի թեորեմա») Եթե, ոմանցից սկսած Ն, պահպանվում են հետևյալ հատկությունները

1..gif" width="163" height="33 src=">,

ապա գոյություն ունի.

3.6. Միալար հաջորդականության սահմանը.

Սահմանում 3.7.Հաջորդականություն ( xn) կոչվում է միապաղաղ աճող, եթե այդպիսիք կան n xn+1 ³ xn.

Հաջորդականություն ( xn) կոչվում է խիստ միապաղաղ աճող, եթե այդպիսիք կան n xn+1> xn.

xn­.

Սահմանում 3.8.Հաջորդականություն ( xn) կոչվում է միապաղաղ նվազող, եթե այդպիսիք կան n xn+1 £ xn.

Հաջորդականություն ( xn) կոչվում է խիստ միապաղաղ նվազող, եթե այդպիսիք կան n xn+1< xn.

Այս երկու դեպքերն էլ համակցված են խորհրդանիշի հետ xn¯.

Միալար հաջորդականության սահմանի գոյության թեորեմ.

1. Եթե հաջորդականությունը ( xn) միապաղաղ մեծանում է (նվազում է) և սահմանափակվում է վերևից (ներքևից), այնուհետև ունի վերջավոր սահման, որը հավասար է sup(-ին: xn) (inf( xn}).

2 Եթե հաջորդականությունը ( xn) միապաղաղ մեծանում է (նվազում է), բայց չի սահմանափակվում վերևից (ներքևից), ապա ունի +¥ (-¥) հավասար սահման։

Այս թեորեմի հիման վրա ապացուցվում է, որ կա այսպես կոչված ուշագրավ սահման

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">: Այն կոչվում է հաջորդականության ենթահաջորդականություն ( xn}.

Թեորեմ 3.3.Եթե ​​հաջորդականությունը ( xn) համընկնում է և դրա սահմանն է ա, ապա նրա ցանկացած ենթահաջորդականություն նույնպես զուգակցվում է և ունի նույն սահմանը։

Եթե ​​( xn) անսահման մեծ հաջորդականություն է, ապա նրա ցանկացած ենթահաջորդականություն նույնպես անսահման մեծ է։

Բոլցանո-Վայերշտրասի լեմմա.

1. Ցանկացած սահմանափակ հաջորդականությունից կարելի է դուրս հանել ենթահաջորդականություն, որը կոնվերգիզացնում է վերջավոր սահմանին:

2. Ցանկացած անսահմանափակ հաջորդականությունից կարելի է հանել անսահման մեծ ենթահաջորդականություն:

Այս լեմմայի հիման վրա ապացուցվում է սահմանների տեսության հիմնական արդյունքներից մեկը. Բոլզանո-Կոշիի կոնվերգենցիայի չափանիշ.

Հերթականության համար ( xn) կար վերջավոր սահման, անհրաժեշտ է և բավարար, որ

Այս հատկությունը բավարարող հաջորդականությունը կոչվում է հիմնարար հաջորդականություն կամ հաջորդականություն, որը համընկնում է ինքն իրեն:

Ներածություն…………………………………………………………………………………………… 3

1. Տեսական մաս…………………………………………………………………………………………………………………………

Հիմնական հասկացություններ և տերմիններ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.1 Հերթականությունների տեսակները……………………………………………………………………………

1.1.1. Սահմանափակ և անսահմանափակ թվերի հաջորդականություններ…..6

1.1.2. Հերթականությունների միապաղաղություն……………………………………………

1.1.3. Անվերջ փոքր և անվերջ փոքր հաջորդականություններ…….7

1.1.4 Անվերջ փոքր հաջորդականությունների հատկությունները……………………8

1.1.5 Կոնվերգենտ և դիվերգենտ հաջորդականություններ և դրանց հատկությունները...9

1.2 Հերթականության սահմանը……………………………………………………….11

1.2.1.Թեորեմներ հաջորդականությունների սահմանների մասին……………………………………………………………………………………………

1.3. Թվաբանական առաջընթաց……………………………………………………………………………………………………

1.3.1. Թվաբանական առաջընթացի հատկությունները……………………………………………………………………………

1.4 Երկրաչափական առաջընթաց………………………………………………………………..19

1.4.1. Երկրաչափական առաջընթացի հատկությունները…………………………………………………………….

1.5. Ֆիբոնաչիի թվեր……………………………………………………………………………………………………………………

1.5.1 Ֆիբոնաչիի թվերի կապը գիտելիքի այլ ոլորտների հետ……………………….22

1.5.2. Ֆիբոնաչիի մի շարք թվերի օգտագործում՝ կենդանի և անշունչ բնությունը նկարագրելու համար……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. Սեփական հետազոտություն……………………………………………………….28

Եզրակացություն…………………………………………………………………………….30

Օգտագործված գրականության ցանկ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ներածություն.

Թվերի հաջորդականությունը շատ հետաքրքիր և բովանդակալից թեմա է: Այս թեման հանդիպում է առաջադրանքների մեջ ավելացել է բարդությունըուսանողներին առաջարկված հեղինակների կողմից դիդակտիկ նյութեր, առաջադրանքներում մաթեմատիկական օլիմպիադաներ, ընդունելության քննություններդեպի Բարձրագույն Ուսումնական հաստատություններև քննության վրա։ Ինձ հետաքրքրում է իմանալ մաթեմատիկական հաջորդականությունների կապը գիտելիքի այլ ոլորտների հետ։

Թիրախ հետազոտական ​​աշխատանքԸնդլայնել թվերի հաջորդականության գիտելիքները:

1. Դիտարկենք հաջորդականությունը;

2. Հաշվի առեք դրա հատկությունները.

3. Դիտարկենք հաջորդականության վերլուծական առաջադրանքը.

4. Ցույց տալ իր դերը գիտելիքի այլ ոլորտների զարգացման գործում:

5. Ցույց տվեք Ֆիբոնաչիի թվերի շարքի օգտագործումը կենդանի և անշունչ բնությունը նկարագրելու համար:

1. Տեսական մաս.

Հիմնական հասկացություններ և տերմիններ.

Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը y = f(x), x О N ձևի ֆունկցիա է, որտեղ N-ը բնական թվերի բազմությունն է (կամ բնական արգումենտի ֆունկցիա), որը նշվում է y = f(n) կամ y1, y2, …, այ,…. y1, y2, y3,… արժեքները կոչվում են համապատասխանաբար հաջորդականության առաջին, երկրորդ, երրորդ, … անդամներ:

a թիվը կոչվում է x \u003d ( x n) հաջորդականության սահման, եթե կամայականորեն կանխորոշված ​​կամայականորեն փոքր դրական թիվէ բնական թիվ N այնպես, որ բոլորի համար n>N անհավասարությունը |x n - a|< ε.

Եթե ​​a թիվը x \u003d (x n) հաջորդականության սահմանն է, ապա ասում են, որ x n-ը հակված է a-ին և գրում.

.

Հաջորդականությունը (yn) կոչվում է աճող, եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը (բացի առաջինից) մեծ է նախորդից.

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Հաջորդականությունը (yn) կոչվում է նվազող, եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը (բացի առաջինից) փոքր է նախորդից.

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …:

Աճող և նվազող հաջորդականությունները միավորվում են ընդհանուր տերմինով՝ միատոն հաջորդականություններով։

Հերթականությունը կոչվում է պարբերական, եթե գոյություն ունի T այնպիսի բնական թիվ, որ որոշ n-ից սկսած գործում է yn = yn+T հավասարությունը։ T թիվը կոչվում է ժամանակաշրջանի երկարություն։

Թվաբանական առաջընթացը այն հաջորդականությունն է (an), որում յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է գումարիննախորդ անդամը և նույն d թիվը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա, իսկ d թիվը՝ թվաբանական առաջընթացի տարբերություն։

Այս կերպ, թվաբանական առաջընթացհարաբերություններով ռեկուրսիվ տրված թվային հաջորդականություն է (an):

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Երկրաչափական պրոգրեսիան այն հաջորդականությունն է, որտեղ բոլոր անդամները զրոյական չեն, և որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, ստացվում է նախորդ անդամից՝ բազմապատկելով նույն q թվով:

Այսպիսով, երկրաչափական առաջընթացը թվային հաջորդականություն է (bn), որը տրված է ռեկուրսիվորեն հարաբերություններով

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…):

1.1 Հերթականությունների տեսակները.

1.1.1 Սահմանափակ և անսահմանափակ հաջորդականություններ.

Հաջորդականությունը (bn) համարվում է սահմանափակված վերևից, եթե կա այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած n թվի համար bn≤ M անհավասարությունը բավարարված է.

Հաջորդականությունը (bn) կոչվում է ներքևից սահմանափակված, եթե կա M թիվ այնպես, որ ցանկացած n թվի համար բավարարվի bn≥ M անհավասարությունը.

Օրինակ:

1.1.2 Հերթականությունների միապաղաղություն.

Հաջորդականությունը (bn) կոչվում է չաճող (չնվազող), եթե ցանկացած n թվի համար bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) անհավասարությունը ճշմարիտ է.

(bn) հաջորդականությունը կոչվում է նվազող (աճող), եթե ցանկացած n թվի համար անհավասարությունը bn > bn+1 (bn

Նվազող և աճող հաջորդականությունները կոչվում են խիստ միատոն, ոչ աճող՝ միատոն լայն իմաստով։

Վերևից և ներքևից սահմանափակված հաջորդականությունները կոչվում են սահմանափակված:

Այս բոլոր տեսակների հաջորդականությունը կոչվում է միատոն։

1.1.3 Անսահման մեծ և փոքր հաջորդականություններ:

Անվերջ փոքր հաջորդականությունը թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն է, որը ձգտում է զրոյի:

An հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ փոքր, եթե

Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր x0 կետի հարևանությամբ, եթե ℓimx→x0 f(x)=0:

Ֆունկցիան կոչվում է անվերջության մեջ անվերջ փոքր, եթե ℓimx→.+∞ f(x)=0 կամ ℓimx→-∞ f(x)=0

Անվերջ փոքր է նաև ֆունկցիան, որը տարբերությունն է ֆունկցիայի և դրա սահմանի միջև, այսինքն՝ եթե ℓimx→.+∞ f(x)=а, ապա f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Անսահման մեծ հաջորդականությունը թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն է, որը ձգտում է դեպի անսահմանություն:

An հաջորդականությունը կոչվում է անսահման մեծ, եթե

ℓimn→0 an=∞.

Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ x0 կետի հարեւանությամբ, եթե ℓimx→x0 f(x)= ∞:

Ֆունկցիան կոչվում է անսահման մեծ անսահմանության դեպքում, եթե

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ կամ ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Անվերջ փոքր հաջորդականությունների հատկությունները.

Երկու անվերջ փոքր հաջորդականությունների գումարն ինքնին նույնպես անվերջ փոքր հաջորդականություն է։

Երկու անվերջ փոքր հաջորդականությունների տարբերությունն ինքնին նույնպես անվերջ փոքր հաջորդականություն է։

Ցանկացած վերջավոր թվով անվերջ փոքր հաջորդականությունների հանրահաշվական գումարն ինքնին նույնպես անվերջ փոքր հաջորդականություն է:

Սահմանափակ հաջորդականության և անվերջ փոքր հաջորդականության արտադրյալը անվերջ փոքր հաջորդականություն է:

Ցանկացած վերջավոր թվով անվերջ փոքր հաջորդականության արտադրյալը անվերջ փոքր հաջորդականություն է:

Ցանկացած անվերջ փոքր հաջորդականություն սահմանափակված է:

Եթե ​​անշարժ հաջորդականությունը անսահման փոքր է, ապա նրա բոլոր տարրերը, սկսած որոշներից, հավասար են զրոյի։

Եթե ​​ամբողջ անվերջ փոքր հաջորդականությունը բաղկացած է նույն տարրերից, ապա այդ տարրերը զրո են:

Եթե ​​(xn) անսահման մեծ հաջորդականություն է, որը չի պարունակում զրո անդամներ, ապա կա մի հաջորդականություն (1/xn), որը անվերջ փոքր է: Եթե, այնուամենայնիվ, (xn) պարունակում է զրո տարրեր, ապա հաջորդականությունը (1/xn) դեռ կարող է սահմանվել՝ սկսած ինչ-որ n թվից և դեռ անսահման փոքր կլինի։

Եթե ​​(an)-ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է, որը չի պարունակում զրո անդամներ, ապա կա (1/an) հաջորդականություն, որն անսահման մեծ է: Եթե, այնուամենայնիվ, (an) պարունակում է զրո տարրեր, ապա հաջորդականությունը (1/an) դեռ կարող է սահմանվել՝ սկսած ինչ-որ n թվից և դեռ անսահման մեծ կլինի։

1.1.5 Կոնվերգենտ և դիվերգենտ հաջորդականություններ և դրանց հատկությունները:

Կոնվերգենտ հաջորդականությունը X բազմության տարրերի հաջորդականությունն է, որն ունի սահման այս բազմության մեջ:

Դիվերգենտ հաջորդականությունը այն հաջորդականությունն է, որը կոնվերգենտ չէ:

Յուրաքանչյուր անվերջ փոքր հաջորդականություն կոնվերգենտ է: Դրա սահմանը զրոյական է:

Ցանկացած վերջավոր թվով տարրերի անվերջ հաջորդականությունից հեռացնելը չի ​​ազդում այդ հաջորդականության ոչ կոնվերգենցիայի, ոչ էլ սահմանի վրա:

Ցանկացած կոնվերգենտ հաջորդականություն սահմանափակված է: Այնուամենայնիվ, ամեն սահմանափակ հաջորդականություն չէ, որ համընկնում է:

Եթե ​​(xn) հաջորդականությունը համընկնում է, բայց անսահման փոքր չէ, ապա ինչ-որ թվից սկսած սահմանվում է (1/xn) հաջորդականությունը, որը սահմանափակված է։

Կոնվերգենտ հաջորդականությունների գումարը նույնպես կոնվերգենտ հաջորդականություն է։

Կոնվերգենտ հաջորդականությունների տարբերությունը նույնպես կոնվերգենտ հաջորդականություն է։

Կոնվերգենտ հաջորդականությունների արտադրյալը նույնպես կոնվերգենտ հաջորդականություն է։

Երկու կոնվերգենտ հաջորդականության գործակիցը որոշվում է ինչ-որ տարրից սկսած, եթե երկրորդ հաջորդականությունը անվերջ փոքր է։ Եթե ​​երկու կոնվերգենտ հաջորդականության գործակիցը սահմանված է, ապա դա կոնվերգենտ հաջորդականություն է։

Եթե ​​կոնվերգենտ հաջորդականությունը սահմանափակված է ներքևում, ապա դրա ստորին սահմաններից ոչ մեկը չի գերազանցում դրա սահմանը:

Եթե ​​կոնվերգենտ հաջորդականությունը սահմանափակված է վերևից, ապա դրա սահմանը չի գերազանցում վերին սահմաններից որևէ մեկը:

Եթե ​​որևէ թվի համար մի կոնվերգենտ հաջորդականության անդամները չեն գերազանցում մեկ այլ կոնվերգենտ հաջորդականության անդամները, ապա առաջին հաջորդականության սահմանը նույնպես չի գերազանցում երկրորդի սահմանը։