Տարբեր տեսակետներ կան այն մասին, թե ինչ է համարվում բազմանկյուն։ Դպրոցական երկրաչափության դասընթացում օգտագործվում է հետևյալ սահմանումներից մեկը.

Սահմանում 1

Բազմանկյուն

հատվածներից կազմված գործիչ է

այնպես որ հարակից հատվածները(այսինքն՝ ընդհանուր գագաթով հարակից հատվածներ, օրինակ՝ A1A2 և A2A3) մի պառկեք մեկ ուղիղ գծի վրա, իսկ ոչ հարակից հատվածները ընդհանուր կետեր չունեն:

Սահմանում 2

Պարզ փակ բազմանկյունը կոչվում է բազմանկյուն:

միավորներ

կանչեց բազմանկյուն գագաթներ, հատվածներ

— բազմանկյուն կողմերը.

Բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է բազմանկյուն պարագիծ.

Այն բազմանկյունը, որն ունի n գագաթ (հետևաբար n կողմ), կոչվում է n - քառակուսի.

Բազմանկյունը, որը գտնվում է մեկ հարթության մեջ, կոչվում է հարթ. Բազմանկյունի մասին խոսելիս, եթե այլ բան նշված չէ, հասկացվում է, որ խոսքը հարթ բազմանկյունի մասին է։

Բազմանկյան միևնույն կողմի երկու գագաթները կոչվում են հարեւան. Օրինակ, A1-ը և A2-ը, A5-ը և A6-ը հարևան գագաթներ են:

Գծային հատվածը, որը միացնում է երկու ոչ հարակից գագաթները, կոչվում է բազմանկյուն շեղանկյուն.

Պարզեք, թե քանի անկյունագիծ ունի բազմանկյունը:

Բազմանկյան n գագաթներից յուրաքանչյուրից դուրս են գալիս n-3 անկյունագծեր

(ընդհանուր առմամբ n գագաթ կա: Մենք չենք հաշվում ինքնին գագաթը և երկու հարևան գագաթները, որոնք այս գագաթի հետ անկյունագիծ չեն կազմում: Օրինակ A1 գագաթի համար մենք հաշվի չենք առնում հենց A1-ը և հարևան A2 և A3 գագաթները: )

Այսպիսով, n գագաթներից յուրաքանչյուրին համապատասխանում է n-3 անկյունագիծ։ Քանի որ մեկ անկյունագիծը վերաբերում է միանգամից երկու գագաթին, բազմանկյան անկյունագծերի թիվը գտնելու համար n (n-3) արտադրյալը պետք է բաժանվի կիսով չափ։

Հետեւաբար, n-gon ունի

անկյունագծեր.

Ցանկացած բազմանկյուն հարթությունը բաժանում է երկու մասի՝ ներքին և արտաքին տարածքբազմանկյուն. Բազմանկյունից և նրա ներսից բաղկացած պատկերը կոչվում է նաև բազմանկյուն։

§ 1 Եռանկյունի հասկացությունը

Այս դասում դուք կծանոթանաք այնպիսի ձևերի, ինչպիսիք են եռանկյունը և բազմանկյունը:

Եթե ​​երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա, միացված են հատվածներով, ապա կստացվի եռանկյուն: Եռանկյունն ունի երեք գագաթ և երեք կողմ:

Նախքան ABC եռանկյունը, այն ունի երեք գագաթ (կետ A, B և C կետ) և երեք կողմ (AB, AC և CB):

Ի դեպ, այս նույն կողմերը կարելի է այլ կերպ անվանել.

AB=BA, AC=CA, CB=BC.

Եռանկյան կողմերը եռանկյան գագաթներում կազմում են երեք անկյուն։ Նկարում տեսնում եք անկյուն A, B անկյուն, C անկյուն:

Այսպիսով, եռանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք հատվածներով, որոնք միացնում են երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա:

§ 2 Բազմանկյուն հասկացությունը և դրա տեսակները

Եռանկյուններից բացի կան քառանկյուններ, հնգանկյուններ, վեցանկյուններ և այլն։ Մի խոսքով, դրանք կարելի է անվանել բազմանկյուններ։

Նկարում տեսնում եք DMKE քառանկյունը։

D, M, K և E կետերը քառանկյան գագաթներն են:

DM, MK, KE, ED հատվածները այս քառանկյան կողմերն են։ Ինչպես եռանկյան դեպքում, քառանկյունի կողմերը գագաթներում կազմում են չորս անկյուն, կռահեցիք, այստեղից էլ անվանումը՝ քառանկյուն: Այս քառանկյունի համար նկարում տեսնում եք D անկյունը, M անկյունը, K անկյունը և E անկյունը:

Ի՞նչ քառանկյուններ արդեն գիտեք:

Քառակուսի և ուղղանկյուն! Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի չորս անկյուն և չորս կողմ:

Բազմանկյունների մեկ այլ տեսակ հնգանկյունն է։

O, P, X, Y, T կետերը հնգանկյան գագաթներն են, իսկ TO, OP, PX, XY, YT հատվածները՝ այս հնգանկյան կողմերը։ Պենտագոնն ունի համապատասխանաբար հինգ անկյուն և հինգ կողմ:

Ձեր կարծիքով քանի՞ անկյուն և քանի՞ կողմ ունի վեցանկյունը: Ճիշտ է, վեց! Նմանապես վիճելով՝ կարող ենք ասել, թե կոնկրետ բազմանկյունը քանի կողմ, գագաթ կամ անկյուն ունի: Եվ կարող ենք եզրակացնել, որ եռանկյունը նույնպես բազմանկյուն է, որն ունի ուղիղ երեք անկյուն, երեք կողմ և երեք գագաթ։

Այսպիսով, այս դասում դուք ծանոթացաք այնպիսի հասկացություններին, ինչպիսիք են եռանկյունը և բազմանկյունը: Իմացանք, որ եռանկյունն ունի 3 գագաթ, 3 կողմ և 3 անկյուն, քառանկյունը՝ 4 գագաթ, 4 կող և 4 անկյուն, հնգանկյունը՝ համապատասխանաբար 5 կող, 5 գագաթ, 5 անկյուն և այլն։

Օգտագործված գրականության ցանկ.

1. Մաթեմատիկա 5-րդ դասարան. Վիլենկին Ն.Յ., Ժոխով Վ.Ի. և ուրիշներ 31-րդ հրատ., ster. - M: 2013 թ.
2. Դիդակտիկ նյութերմաթեմատիկայի 5-րդ դասարանում. Հեղինակ - Պոպով Մ.Ա. - 2013թ
3. Մենք հաշվարկում ենք առանց սխալների. Աշխատեք ինքնաքննությամբ մաթեմատիկայի 5-6-րդ դասարաններում: Հեղինակ - Մինաևա Ս.Ս. - 2014թ
4. Դիդակտիկ նյութեր մաթեմատիկայից 5-րդ դասարան. Հեղինակներ՝ Դորոֆեև Գ.Վ., Կուզնեցովա Լ.Վ. - 2010 թ
5. Վերահսկում և ինքնուրույն աշխատանքմաթեմատիկայի 5-րդ դասարանում. Հեղինակներ - Պոպով Մ.Ա. - 2012թ
6. Մաթեմատիկա. Դասարան 5: Դասագիրք. հանրակրթության ուսանողների համար. հաստատություններ / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9-րդ հրատ., Սր. - M.: Mnemosyne, 2009

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Առարկա, սովորողների տարիքը՝ երկրաչափություն, 9 դասարան

Դասի նպատակը՝ բազմանկյունների տեսակների ուսումնասիրություն։

Ուսումնական խնդիր՝ թարմացնել, ընդլայնել և ընդհանրացնել ուսանողների գիտելիքները բազմանկյունների մասին; պատկերացում կազմել բաղկացուցիչ մասեր«բազմանկյուն; անցկացնել կանոնավոր բազմանկյունների բաղկացուցիչ տարրերի քանակի ուսումնասիրություն (եռանկյունից մինչև n-անկյուն);

Զարգացնել վերլուծելու, համեմատելու, եզրակացություններ անելու, հաշվողական հմտությունների, բանավոր և գրավոր մաթեմատիկական խոսքի, հիշողության, ինչպես նաև մտածողության և ուսումնական գործունեության անկախություն, զույգերով և խմբերով աշխատելու կարողություն զարգացնել. զարգացնել հետազոտական ​​և կրթական գործունեություն;

Ուսումնական խնդիր՝ դաստիարակել անկախություն, ակտիվություն, պատասխանատվություն հանձնարարված առաջադրանքի համար, նպատակին հասնելու համառություն:

Դասերի ընթացքում.գրատախտակին մեջբերում է գրված

«Բնությունը խոսում է մաթեմատիկայի լեզվով, այս լեզվի տառերով… մաթեմատիկական թվեր»:Գ.Գալիլեյ

Դասի սկզբում դասարանը բաժանվում է աշխատանքային խմբերի (մեր դեպքում բաժանումը 4 հոգուց բաղկացած խմբերի. խմբի անդամների թիվը հավասար է հարցական խմբերի թվին):

1. Զանգահարեք փուլ-

Նպատակները:

ա) թեմայի վերաբերյալ ուսանողների գիտելիքների թարմացում.

բ) ուսումնասիրվող թեմայի նկատմամբ հետաքրքրության արթնացումը, յուրաքանչյուր ուսանողի մոտ ուսումնառության գործունեության մոտիվացիան.

Ընդունելություն՝ «Հավատո՞ւմ եք, որ ...» խաղը, տեքստի հետ աշխատանքի կազմակերպում:

Աշխատանքի ձևերը՝ ճակատային, խմբակային:

«Դուք հավատու՞մ եք դրան…»:

1. ... «բազմանկյուն» բառը ցույց է տալիս, որ այս ընտանիքի բոլոր գործիչները «շատ անկյուններ» ունեն:

2. ... եռանկյունը պատկանում է բազմանկյունների մեծ ընտանիքին, որը տարբերվում է շատ տարբերներից երկրաչափական ձևերմակերեսի վրա?

3. …քառակուսին կանոնավոր ութանկյուն է (չորս կողմ + չորս անկյուն):

Այսօր դասում կխոսենք բազմանկյունների մասին։ Մենք սովորում ենք, որ այս ցուցանիշը սահմանափակված է փակ կոտրված գծով, որն իր հերթին կարող է լինել պարզ, փակ: Խոսենք այն մասին, որ բազմանկյունները հարթ են, կանոնավոր, ուռուցիկ։ Հարթ բազմանկյուններից մեկը եռանկյուն է, որին վաղուց ծանոթ եք (կարող եք ուսանողներին ցույց տալ բազմանկյուններ պատկերող պաստառներ, կոտրված գիծ, ​​ցույց տալ նրանց տարբեր տեսակներ, կարող եք նաև օգտագործել TSO):

2. Ըմբռնման փուլ

Նպատակը` ստանալ նոր տեղեկություններ, դրա ըմբռնումը, ընտրությունը։

Ընդունելություն՝ զիգզագ:

Աշխատանքի ձևերը՝ անհատական->զույգ->խմբային:

Յուրաքանչյուր խմբի տրվում է դասի թեմայի վերաբերյալ տեքստ, և տեքստը ձևավորվում է այնպես, որ ներառում է և՛ սովորողներին արդեն հայտնի, և՛ բոլորովին նոր տեղեկություններ: Տեքստի հետ միասին ուսանողները ստանում են հարցեր, որոնց պատասխանները պետք է գտնել այս տեքստում:

Բազմանկյուններ. Բազմանկյունների տեսակները.

Ո՞վ չի լսել առեղծվածային Բերմուդյան եռանկյունու մասին, որտեղ նավերն ու ինքնաթիռներն անհետանում են առանց հետքի։ Բայց մանկությունից մեզ ծանոթ եռանկյունին հղի է շատ հետաքրքիր ու խորհրդավոր բաներով։

Ի լրումն մեզ արդեն հայտնի եռանկյունների տեսակների, որոնք բաժանված են կողմերի (սանդղակ, հավասարաչափ, հավասարակողմ) և անկյուններով (սուր-անկյուն, բութ-անկյուն, ուղղանկյուն), եռանկյունը պատկանում է շատերից տարբերվող բազմանկյունների մեծ ընտանիքին. տարբեր երկրաչափական ձևեր հարթության վրա:

«Բազմանկյուն» բառը ցույց է տալիս, որ այս ընտանիքի բոլոր կերպարներն ունեն «շատ անկյուններ»։ Բայց սա բավարար չէ գործիչը բնութագրելու համար։

Կտրված գիծը A 1 A 2 ... A n-ն այն պատկերն է, որը բաղկացած է A 1, A 2, ... A n կետերից և դրանք միացնող A 1 A 2, A 2 A 3, ... հատվածներից: Կետերը կոչվում են բազմուղիների գագաթներ, իսկ հատվածները՝ բազմուղիների օղակներ։ (նկ.1)

Կտրված գիծը կոչվում է պարզ, եթե այն չունի ինքնահատումներ (նկ. 2,3):

Կոտրված գիծը կոչվում է փակ, եթե նրա ծայրերը համընկնում են: Կտրված գծի երկարությունը նրա շղթաների երկարությունների գումարն է (նկ. 4):

Պարզ փակ ճեղքված գիծը կոչվում է բազմանկյուն, եթե նրա հարակից օղակները չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա (նկ. 5):

«Բազմանկյուն» բառի մեջ «բազմաթիվ» մասի փոխարեն փոխարինի՛ր կոնկրետ թիվ, օրինակ 3: Կստանաս եռանկյուն: Կամ 5. Հետո՝ հնգանկյուն: Նկատի ունեցեք, որ կան այնքան անկյուններ, որքան կողմեր, ուստի այս թվերը կարելի է անվանել բազմակողմ:

Բազմուղիների գագաթները կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ բազմուղիների շղթաները՝ բազմանկյան կողմեր։

Բազմանկյունը հարթությունը բաժանում է երկու շրջանի՝ ներքին և արտաքին (նկ. 6):

Հարթ բազմանկյունը կամ բազմանկյուն շրջանը հարթության վերջավոր մասն է, որը սահմանափակվում է բազմանկյունով։

Բազմանկյունի երկու գագաթները, որոնք նույն կողմի ծայրերն են, կոչվում են հարևաններ: Այն գագաթները, որոնք մի կողմի ծայրեր չեն, իրար կից չեն:

n գագաթներով և հետևաբար n կողմերով բազմանկյունը կոչվում է n-անկյուն:

Չնայած նրան ամենափոքր թիվըԲազմանկյան կողմերը - 3. Բայց եռանկյունները, միանալով միմյանց, կարող են ձևավորել այլ պատկերներ, որոնք իրենց հերթին նույնպես բազմանկյուններ են:

Բազմանկյունի ոչ հարևան գագաթները միացնող հատվածները կոչվում են անկյունագծեր:

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է մեկ կիսահարթության մեջ իր կողմը պարունակող ցանկացած ուղղի նկատմամբ: Այս դեպքում ուղիղ գիծն ինքնին համարվում է կիսահարթությանը պատկանող։

Ուռուցիկ բազմանկյունի անկյունը տվյալ գագաթին այն անկյունն է, որը ձևավորվում է այդ գագաթին միացող նրա կողմերի կողմից:

Ապացուցենք թեորեմը (ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարի վերաբերյալ) Ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը հավասար է 180 0 *(n - 2):

Ապացույց. n=3 դեպքում թեորեմը վավեր է։ Թող А 1 А 2 …А n լինի տրված ուռուցիկ բազմանկյուն և n>3: Նրա մեջ գծենք անկյունագծեր (մեկ գագաթից)։ Քանի որ բազմանկյունը ուռուցիկ է, այս անկյունագծերը այն բաժանում են n - 2 եռանկյունների: Բազմանկյունի անկյունների գումարը նույնն է, ինչ այս բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարը։ Յուրաքանչյուր եռանկյան անկյունների գումարը 180 0 է, իսկ այդ եռանկյունների թիվը՝ n - 2։ Հետևաբար, ուռուցիկ n անկյունի անկյունների գումարը A 1 A 2 ... A n 180 0 * ( n - 2): Թեորեմն ապացուցված է.

Ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունը տվյալ գագաթին այն անկյունն է, որը հարում է այդ գագաթին գտնվող բազմանկյան ներքին անկյունին:

Ուռուցիկ բազմանկյունճիշտ է կոչվում, եթե բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները հավասար են:

Այսպիսով, քառակուսին կարելի է այլ կերպ անվանել՝ կանոնավոր քառանկյուն: Հավասարակողմ եռանկյունները նույնպես կանոնավոր են։ Նման թվերը վաղուց հետաքրքրում էին շենքերը զարդարող վարպետներին: Նրանք գեղեցիկ նախշեր են պատրաստել, օրինակ՝ մանրահատակի վրա։ Բայց ոչ բոլոր կանոնավոր բազմանկյունները կարող էին օգտագործվել մանրահատակի ձևավորման համար: Մանրահատակ չի կարող ձևավորվել կանոնավոր ութանկյուններից: Փաստն այն է, որ նրանց յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է 135 0-ի: Եվ եթե որևէ կետ երկու նման ութանկյունների գագաթն է, ապա նրանք կունենան 270 0, իսկ երրորդ ութանկյունը տեղավորելու տեղ չկա. 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Բայց քառակուսու համար բավական է։ Ուստի հնարավոր է մանրահատակը ծալել սովորական ութանկյուններից և քառակուսիներից։

Աստղերը ճիշտ են. Մեր հնգաթև աստղը կանոնավոր հնգանկյուն աստղ է: Եվ եթե քառակուսին կենտրոնի շուրջը պտտեք 45 0-ով, ապա կստանաք կանոնավոր ութանկյուն աստղ:

1 խումբ

Ի՞նչ է կոտրված գիծը: Բացատրե՛ք, թե որոնք են բազմուղիների գագաթները և կապերը:

Ո՞ր կոտրված գիծն է կոչվում պարզ:

Ո՞ր կոտրված գիծն է կոչվում փակ:

Ի՞նչ է բազմանկյունը: Ինչպե՞ս են կոչվում բազմանկյան գագաթները: Որո՞նք են բազմանկյան կողմերը:

2 խումբ

Ի՞նչ է հարթ բազմանկյունը: Բերեք բազմանկյունների օրինակներ:

Ի՞նչ է n-gon-ը:

Բացատրի՛ր, թե բազմանկյան որ գագաթներն են հարակից, որոնք՝ ոչ:

Որքա՞ն է բազմանկյան անկյունագիծը:

3 խումբ

Ի՞նչ է ուռուցիկ բազմանկյունը:

Բացատրի՛ր, թե բազմանկյան ո՞ր անկյուններն են արտաքին, որո՞նք են ներքին:

Ի՞նչ է կանոնավոր բազմանկյունը: Բերե՛ք կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ:

4 խումբ

Որքա՞ն է ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը: Ապացուցիր.

Ուսանողները աշխատում են տեքստի հետ, փնտրում են առաջադրված հարցերի պատասխանները, որից հետո ձևավորվում են փորձագիտական ​​խմբեր, որոնցում կատարվում է աշխատանք նույն հարցերի շուրջ. ուսանողները կարևորում են հիմնականը, կազմում են օժանդակ ռեֆերատ, տեղեկատվություն ներկայացնում են մեկում: գրաֆիկական ձևեր. Աշխատանքի ավարտին ուսանողները վերադառնում են իրենց աշխատանքային խմբերին:

3. Մտածողության փուլ -

ա) իրենց գիտելիքների գնահատում, գիտելիքի հաջորդ քայլին մարտահրավեր.

բ) ստացված տեղեկատվության ըմբռնումը և յուրացումը.

Ընդունելություն՝ հետազոտական ​​աշխատանք.

Աշխատանքի ձևերը՝ անհատական->զույգ->խմբային:

Աշխատանքային խմբերը փորձագետներ են առաջարկվող հարցերի յուրաքանչյուր հատվածի պատասխաններում:

Վերադառնալով աշխատանքային խմբին, փորձագետը խմբի մյուս անդամներին ներկայացնում է նրանց հուզող հարցերի պատասխանները։ Խմբում տեղի է ունենում աշխատանքային խմբի բոլոր անդամների տեղեկատվության փոխանակում։ Այսպիսով, յուրաքանչյուրում աշխատանքային խումբ, փորձագետների աշխատանքի շնորհիվ այն զարգանում է ընդհանուր գաղափարուսումնասիրվող թեմայի շուրջ։

Հետազոտական ​​աշխատանքուսանողներին լրացնել աղյուսակը:

Կանոնավոր բազմանկյուններ	Նկարչություն	Կողմերի քանակը	Պիկերի քանակը	Բոլոր ներքին անկյունների գումարը	Աստիճանի չափման ինտ. անկյուն	Արտաքին անկյան աստիճանի չափում	Անկյունագծերի քանակը
Ա) եռանկյուն
Բ) քառանկյուն
Բ) հինգ պատի
Դ) վեցանկյուն
Ե) n-gon

Լուծում հետաքրքիր առաջադրանքներդասի թեմայի շուրջ.

• Քառանկյունում գծեք այնպես, որ այն բաժանի երեք եռանկյունի։
• Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, որի ներքին անկյուններից յուրաքանչյուրը հավասար է 135 0-ի:
• Որոշակի բազմանկյունում բոլոր ներքին անկյունները հավասար են միմյանց: Այս բազմանկյան ներքին անկյունների գումարը կարո՞ղ է լինել՝ 360 0 , 380 0:

Ամփոփելով դասը. Տնային աշխատանքների ձայնագրում.

Բազմանկյունների տեսակները.

Քառանկյուններ

Քառանկյուններ, համապատասխանաբար, բաղկացած են 4 կողմերից և անկյուններից։

Կողմերն ու անկյունները, որոնք գտնվում են միմյանց դեմ, կոչվում են հակառակը.

Շեղանկյունները ուռուցիկ քառանկյունները բաժանում են եռանկյունների (տես նկարը):

Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը 360° է (օգտագործելով բանաձևը՝ (4-2)*180°):

զուգահեռագրություններ

Զուգահեռագիծուռուցիկ քառանկյուն է՝ հակադիր զուգահեռ կողմերով (նկարում համարակալված է 1)։

Զուգահեռագծի հակառակ կողմերն ու անկյունները միշտ հավասար են:

Իսկ հատման կետում անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են:

Trapeze

Trapezeէ նաև քառանկյուն, և trapezeմիայն երկու կողմերն են զուգահեռ, որոնք կոչվում են հիմքերը. Մյուս կողմերն են կողմերը.

Նկարում տրապիզոիդը համարակալված է 2 և 7 համարներով:

Ինչպես եռանկյունում.

Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա trapezoid է հավասարաչափ;

Եթե ​​անկյուններից մեկն ուղղաձիգ է, ապա տրապեզոիդն է ուղղանկյուն.

Trapezoid-ի միջին գիծը հիմքերի գումարի կեսն է և նրանց զուգահեռ:

Ռոմբուս

Ռոմբուսզուգահեռագիծ է, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Բացի զուգահեռագծի հատկություններից, ռոմբուսներն ունեն իրենց հատուկ հատկությունը. ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց ենմիմյանց և ռոմբուսի անկյունները կիսել.

Նկարում ռոմբուսը համարակալված է 5-ով:

Ուղղանկյուններ

Ուղղանկյուն- սա զուգահեռագիծ է, որում յուրաքանչյուր անկյուն ճիշտ է (տես 8-րդ նկարում):

Բացի զուգահեռագծի հատկություններից, ուղղանկյուններն ունեն իրենց հատուկ հատկությունը. ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են.

քառակուսիներ

Քառակուսիուղղանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են (#4):

Այն ունի ուղղանկյան և ռոմբի հատկություններ (քանի որ բոլոր կողմերը հավասար են):

Թեմա՝ «Բազմանկյուններ. Բազմանկյունների տեսակները».

9-րդ դասարան

SL №20

Ուսուցիչ՝ Խարիտոնովիչ Տ.Ի.Դասի նպատակը՝ բազմանկյունների տեսակների ուսումնասիրություն։

Ուսուցման առաջադրանք.թարմացնել, ընդլայնել և ընդհանրացնել ուսանողների գիտելիքները բազմանկյունների մասին. պատկերացում կազմել բազմանկյան «բաղադրիչների» մասին. անցկացնել կանոնավոր բազմանկյունների բաղկացուցիչ տարրերի քանակի ուսումնասիրություն (եռանկյունից մինչև n-անկյուն);

Զարգացման առաջադրանք.զարգացնել վերլուծելու, համեմատելու, եզրակացություններ անելու, հաշվողական հմտությունների, բանավոր և գրավոր մաթեմատիկական խոսքի, հիշողության, ինչպես նաև մտածողության և անկախության զարգացում։ ուսումնական գործունեությունզույգերով և խմբերով աշխատելու ունակություն; զարգացնել հետազոտություններ և ճանաչողական գործունեություն;

Ուսումնական առաջադրանք.զարգացնել անկախություն, ակտիվություն, պատասխանատվություն հանձնարարված առաջադրանքի համար, նպատակին հասնելու համառություն:

Սարքավորումներ՝ ինտերակտիվ գրատախտակ (ներկայացում)

Դասերի ժամանակ

Ցույց տալ ներկայացումը. «Բազմանկյուններ»

«Բնությունը խոսում է մաթեմատիկայի լեզվով, այս լեզվի տառերով… մաթեմատիկական թվեր»: Գ.Գալիլեյ

Դասի սկզբում դասարանը բաժանվում է աշխատանքային խմբերի (մեր դեպքում՝ բաժանում 3 խմբի)

1. Զանգահարեք փուլ-

ա) թեմայի վերաբերյալ ուսանողների գիտելիքների թարմացում.

բ) ուսումնասիրվող թեմայի նկատմամբ հետաքրքրության արթնացումը, յուրաքանչյուր ուսանողի մոտ ուսումնառության գործունեության մոտիվացիան.

Ընդունելություն՝ «Հավատո՞ւմ եք, որ ...» խաղը, տեքստի հետ աշխատանքի կազմակերպում:

Աշխատանքի ձևերը՝ ճակատային, խմբակային:

«Դուք հավատու՞մ եք դրան…»:

1. ... «բազմանկյուն» բառը ցույց է տալիս, որ այս ընտանիքի բոլոր գործիչները «շատ անկյուններ» ունեն:

2. … Արդյո՞ք եռանկյունը պատկանում է բազմանկյունների մեծ ընտանիքին, որոնք տարբերվում են հարթության վրա երկրաչափական տարբեր ձևերից:

3. …քառակուսին կանոնավոր ութանկյուն է (չորս կողմ + չորս անկյուն):

Այսօր դասում կխոսենք բազմանկյունների մասին։ Մենք սովորում ենք, որ այս ցուցանիշը սահմանափակված է փակ կոտրված գծով, որն իր հերթին կարող է լինել պարզ, փակ: Խոսենք այն մասին, որ բազմանկյունները հարթ են, կանոնավոր, ուռուցիկ։ Հարթ բազմանկյուններից մեկը եռանկյուն է, որին վաղուց ծանոթ եք (կարող եք ուսանողներին ցույց տալ բազմանկյուններ պատկերող պաստառներ, կոտրված գիծ, ​​ցույց տալ դրանց տարբեր տեսակները, կարող եք նաև օգտագործել TCO):

2. Ըմբռնման փուլ

Նպատակը` նոր տեղեկատվության ստացում, դրա ըմբռնում, ընտրություն:

Ընդունելություն՝ զիգզագ:

Աշխատանքի ձևերը՝ անհատական->զույգ->խմբային:

Յուրաքանչյուր խմբի տրվում է դասի թեմայով տեքստ, և տեքստը ձևավորվում է այնպես, որ այն ներառում է և՛ սովորողներին արդեն հայտնի, և՛ բոլորովին նոր տեղեկություններ: Տեքստի հետ միասին ուսանողները ստանում են հարցեր, որոնց պատասխանները պետք է գտնել այս տեքստում:

Բազմանկյուններ. Բազմանկյունների տեսակները.

Ով չի լսել առեղծվածայինի մասին բերմուդյան եռանկյունիո՞ր նավերն ու ինքնաթիռներն են անհետանում առանց հետքի: Բայց մանկությունից մեզ ծանոթ եռանկյունին հղի է շատ հետաքրքիր ու խորհրդավոր բաներով։

Ի լրումն մեզ արդեն հայտնի եռանկյունների տեսակների, որոնք բաժանված են կողմերի (սանդղակ, հավասարաչափ, հավասարակողմ) և անկյուններով (սուր-անկյուն, բութ-անկյուն, ուղղանկյուն), եռանկյունը պատկանում է շատերից տարբերվող բազմանկյունների մեծ ընտանիքին. տարբեր երկրաչափական ձևեր հարթության վրա:

«Բազմանկյուն» բառը ցույց է տալիս, որ այս ընտանիքի բոլոր կերպարներն ունեն «շատ անկյուններ»։ Բայց սա բավարար չէ գործիչը բնութագրելու համար։

Կտրված գիծը A1A2…An-ը թվ է, որը բաղկացած է A1,A2,…An կետերից և դրանք միացնող A1A2, A2A3,… հատվածներից: Կետերը կոչվում են բազմուղիների գագաթներ, իսկ հատվածները՝ բազմուղիների օղակներ։ (Նկար 1)

Կտրված գիծը կոչվում է պարզ, եթե այն չունի ինքնահատումներ (նկ. 2,3):

Կոտրված գիծը կոչվում է փակ, եթե նրա ծայրերը համընկնում են: Կոտրված գծի երկարությունը նրա շղթաների երկարությունների գումարն է (նկ. 4):

Պարզ փակ ճեղքված գիծը կոչվում է բազմանկյուն, եթե նրա հարակից օղակները չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա (նկ. 5):

«Բազմանկյուն» բառի մեջ «բազմաթիվ» մասի փոխարեն փոխարինի՛ր կոնկրետ թիվ, օրինակ 3: Կստանաս եռանկյուն: Կամ 5. Հետո՝ հնգանկյուն: Նկատի ունեցեք, որ կան այնքան անկյուններ, որքան կողմեր, ուստի այս թվերը կարելի է անվանել բազմակողմ:

Բազմուղիների գագաթները կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ բազմուղիների շղթաները՝ բազմանկյան կողմեր։

Բազմանկյունը հարթությունը բաժանում է երկու շրջանի՝ ներքին և արտաքին (նկ. 6):

Հարթ բազմանկյունը կամ բազմանկյուն շրջանը հարթության վերջավոր մասն է, որը սահմանափակվում է բազմանկյունով։

Բազմանկյունի երկու գագաթները, որոնք նույն կողմի ծայրերն են, կոչվում են հարևաններ: Այն գագաթները, որոնք մի կողմի ծայրեր չեն, իրար կից չեն:

n գագաթներով և հետևաբար n կողմերով բազմանկյունը կոչվում է n-անկյուն:

Թեև բազմանկյան կողմերի ամենափոքր թիվը 3 է: Բայց եռանկյունները, միանալով միմյանց, կարող են ձևավորել այլ ձևեր, որոնք իրենց հերթին նույնպես բազմանկյուններ են:

Բազմանկյունի ոչ հարևան գագաթները միացնող հատվածները կոչվում են անկյունագծեր:

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է մեկ կիսահարթության մեջ իր կողմը պարունակող ցանկացած ուղղի նկատմամբ: Այս դեպքում գիծն ինքնին համարվում է, որ պատկանում է ԿԻՍԱՓԼԻՆ

Ուռուցիկ բազմանկյունի անկյունը տվյալ գագաթին այն անկյունն է, որը ձևավորվում է այդ գագաթին միացող նրա կողմերի կողմից:

Ապացուցենք թեորեմը (ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարի վերաբերյալ) Ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը հավասար է 1800*(n - 2):

Ապացույց. n=3 դեպքում թեորեմը ճշմարիտ է։ Թող А1А2…А n լինի տրված ուռուցիկ բազմանկյուն և n>3: Նրա մեջ գծենք անկյունագծեր (մեկ գագաթից)։ Քանի որ բազմանկյունը ուռուցիկ է, այս անկյունագծերը այն բաժանում են n - 2 եռանկյունների: Բազմանկյունի անկյունների գումարը նույնն է, ինչ այս բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարը։ Յուրաքանչյուր եռանկյան անկյունների գումարը 1800 է, իսկ այդ եռանկյունների թիվը՝ n - 2։ Հետևաբար, ուռուցիկ n անկյան A1A2 ... A n անկյունների գումարը 1800 * (n - 2) է։ Թեորեմն ապացուցված է.

Ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունը տվյալ գագաթին այն անկյունն է, որը հարում է այդ գագաթին գտնվող բազմանկյան ներքին անկյունին:

Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները հավասար են:

Այսպիսով, քառակուսին կարելի է այլ կերպ անվանել՝ կանոնավոր քառանկյուն: Հավասարակողմ եռանկյունները նույնպես կանոնավոր են։ Նման թվերը վաղուց հետաքրքրում էին շենքերը զարդարող վարպետներին: Նրանք գեղեցիկ նախշեր են պատրաստել, օրինակ՝ մանրահատակի վրա։ Բայց ոչ բոլոր կանոնավոր բազմանկյունները կարող էին օգտագործվել մանրահատակի ձևավորման համար: Մանրահատակ չի կարող ձևավորվել կանոնավոր ութանկյուններից: Փաստն այն է, որ նրանց յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է 1350-ի: Եվ եթե որևէ կետ երկու նման ութանկյունների գագաթն է, ապա նրանք կունենան 2700, իսկ երրորդ ութանկյունը տեղավորելու տեղ չկա. 3600 - 2700 \u003d 900: Բայց սա բավական է քառակուսու համար: Ուստի հնարավոր է մանրահատակը ծալել սովորական ութանկյուններից և քառակուսիներից։

Աստղերը ճիշտ են. Մեր հնգաթև աստղ- կանոնավոր հնգանկյուն աստղ: Եվ եթե քառակուսին կենտրոնի շուրջը պտտեք 450-ով, կստանաք կանոնավոր ութանկյուն աստղ:

Ի՞նչ է կոտրված գիծը: Բացատրե՛ք, թե որոնք են բազմուղիների գագաթները և կապերը:

Ո՞ր կոտրված գիծն է կոչվում պարզ:

Ո՞ր կոտրված գիծն է կոչվում փակ:

Ի՞նչ է բազմանկյունը: Ինչպե՞ս են կոչվում բազմանկյան գագաթները: Որո՞նք են բազմանկյան կողմերը:

Ի՞նչ է հարթ բազմանկյունը: Բերեք բազմանկյունների օրինակներ:

Ի՞նչ է n-gon-ը:

Բացատրի՛ր, թե բազմանկյան որ գագաթներն են հարակից, որոնք՝ ոչ:

Որքա՞ն է բազմանկյան անկյունագիծը:

Ի՞նչ է ուռուցիկ բազմանկյունը:

Բացատրի՛ր, թե բազմանկյան ո՞ր անկյուններն են արտաքին, որո՞նք են ներքին:

Ի՞նչ է կանոնավոր բազմանկյունը: Բերե՛ք կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ:

Որքա՞ն է ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը: Ապացուցիր.

Ուսանողները աշխատում են տեքստի հետ, փնտրում են առաջադրված հարցերի պատասխանները, որից հետո ձևավորվում են փորձագիտական ​​խմբեր, որոնցում կատարվում է աշխատանք նույն հարցերի շուրջ. ուսանողները կարևորում են հիմնականը, կազմում են օժանդակ ռեֆերատ, տեղեկատվություն ներկայացնում են մեկում: գրաֆիկական ձևեր. Աշխատանքի ավարտին ուսանողները վերադառնում են իրենց աշխատանքային խմբերին:

3. Մտածողության փուլ -

ա) իրենց գիտելիքների գնահատում, գիտելիքի հաջորդ քայլին մարտահրավեր.

բ) ստացված տեղեկատվության ըմբռնումը և յուրացումը.

Ընդունելություն՝ հետազոտական ​​աշխատանք.

Աշխատանքի ձևերը՝ անհատական->զույգ->խմբային:

Աշխատանքային խմբերը փորձագետներ են առաջարկվող հարցերի յուրաքանչյուր հատվածի պատասխաններում:

Վերադառնալով աշխատանքային խմբին, փորձագետը խմբի մյուս անդամներին ներկայացնում է նրանց հուզող հարցերի պատասխանները։ Խմբում տեղի է ունենում աշխատանքային խմբի բոլոր անդամների տեղեկատվության փոխանակում։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր աշխատանքային խմբում փորձագետների աշխատանքի շնորհիվ ընդհանուր պատկերացում է ձևավորվում ուսումնասիրվող թեմայի վերաբերյալ։

Ուսանողների հետազոտական ​​աշխատանք- լրացնել աղյուսակը.

Կանոնավոր բազմանկյուններ Նկարում Կողմերի թիվը Գագաթների քանակը Բոլոր ներքին անկյունների գումարը Ներքինի աստիճանի չափումը: անկյուն Արտաքին անկյան աստիճանի չափում Անկյունագծերի քանակը

Ա) եռանկյուն

Բ) քառանկյուն

Բ) հինգ անցք

Դ) վեցանկյուն

Ե) n-gon

Դասի թեմայով հետաքրքիր խնդիրների լուծում:

1) Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, որի ներքին անկյուններից յուրաքանչյուրը հավասար է 1350-ի:

2) Որոշակի բազմանկյունում բոլոր ներքին անկյունները հավասար են միմյանց: Կարո՞ղ է այս բազմանկյան ներքին անկյունների գումարը լինել՝ 3600, 3800:

3) Հնարավո՞ր է հնգանկյուն կառուցել 100,103,110,110,116 աստիճան անկյուններով:

Ամփոփելով դասը.

Ձայնագրությունը Տնային աշխատանք STR 66-72 №15,17 ԵՎ ԽՆԴԻՐԸ. Քառանկյունի մեջ ՈՒՂԻՂ ՆԿԱՐԵՔ, ՈՐ ԲԱԺԱՆԻ ԵՐԵՔ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆԻ:

Արտացոլում թեստերի տեսքով (ինտերակտիվ գրատախտակի վրա)