Možemo izvoditi množenje i dijeljenje aritmetičkih razlomaka, na primjer:

ako slova a, b, c i d označavaju cijele aritmetičke brojeve.

Postavlja se pitanje ne vrijede li te jednakosti ako a, b, c i d označavaju: 1) neke aritmetički brojevi i 2) bilo koje relativne brojeve.

Prije svega, morat ćete razmotriti složene razlomke, na primjer:

Već su ovi primjeri dovoljni za provjeru valjanosti jednakosti koje se odnose na množenje i dijeljenje razlomaka, kada su brojevi a, b, c i d bilo koja (cijela ili razlomačka) aritmetika. Imajte na umu da postoje samo 2 osnovne jednakosti, naime:

Sada ostaje razmotriti ostaju li ove jednakosti važeće ako se pretpostavi da su neki od brojeva a, b, c i d negativni: ako, na primjer, a negativan broj, b, c i d su pozitivni, tada je razlomak negativan i razlomak pozitivan; stoga bi npr. dijeljenje s trebalo rezultirati negativnim brojem, ali vidimo da bi, prema našoj pretpostavci, izraz također trebao izražavati negativan broj, tj. jednakost je iu ovom slučaju opravdana. Također je lako razmotriti druge pretpostavke za znakove a, b, c i d. Rezultat ovog razmatranja je uvjerenje u valjanost jednakosti

i za slučaj kada a, b, c i d izražavaju bilo koje relativne brojeve, tj. za množenje i dijeljenje algebarski razlomci vrijede ista pravila kao i za aritmetiku.

Sada možemo izvoditi množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka. Najveća poteškoća ovdje je pitanje redukcije razlomaka dobivenih nakon množenja ili dijeljenja. Ako su algebarski razlomci jednočlani, tada redukcija dobivenog rezultata neće predstavljati poteškoće, a ako su razlomci algebarski, tada je potrebno prvo faktorizirati brojnik i nazivnik svakog od tih razlomaka.

U ovoj lekciji ćemo razmotriti pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka, kao i primjere za primjenu tih pravila. Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka ne razlikuje se od množenja i dijeljenja običnih razlomaka. Međutim, prisutnost varijabli dovodi do nešto složenijih načina pojednostavljenja rezultirajućih izraza. Unatoč činjenici da je množenje i dijeljenje razlomaka lakše nego njihovo zbrajanje i oduzimanje, proučavanju ove teme mora se pristupiti vrlo odgovorno, jer u njemu postoje mnoge "zamke" na koje se obično ne obraća pozornost. U okviru lekcije nećemo samo proučavati pravila množenja i dijeljenja razlomaka, već ćemo analizirati i nijanse koje se mogu pojaviti prilikom njihove primjene.

Tema:Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija:Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

Pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka potpuno su slična pravilima za množenje i dijeljenje običnih razlomaka. Prisjetite ih se:

Odnosno, da bismo pomnožili razlomke, potrebno je pomnožiti njihove brojnike (to će biti brojnik umnoška) i pomnožiti njihove nazivnike (to će biti nazivnik umnoška).

Dijeljenje razlomkom je množenje obrnutim razlomkom, odnosno da bismo podijelili dva razlomka, potrebno je prvi od njih (dijeljeni) pomnožiti obrnutim drugim (djeliteljem).

Unatoč jednostavnosti ovih pravila, mnogi ljudi griješe u nizu posebnih slučajeva pri rješavanju primjera na ovu temu. Pogledajmo pobliže ove posebne slučajeve:

U svim ovim pravilima koristili smo sljedeću činjenicu: .

Riješimo nekoliko primjera množenja i dijeljenja običnih razlomaka kako bismo zapamtili kako koristiti navedena pravila.

Primjer 1

Bilješka: kod smanjivanja razlomaka koristili smo se proširenjem broja u glavni faktori. Prisjetite se toga primarni brojevi nazivaju se takvima cijeli brojevi, koji su djeljivi samo po sebi i po sebi. Ostali brojevi su pozvani sastavni . Broj nije ni prost ni složen. Primjeri primarni brojevi: .

Primjer 2

Razmotrimo sada jedan od posebnih slučajeva s obični razlomci.

Primjer 3

Kao što vidite, množenje i dijeljenje običnih razlomaka, ako se pravila pravilno primjenjuju, nije teško.

Razmotrimo množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka.

Primjer 4

Primjer 5

Imajte na umu da je moguće i čak potrebno smanjiti razlomke nakon množenja prema istim pravilima koja smo prethodno razmatrali u lekcijama o smanjenju algebarskih razlomaka. Razmotrite nekoliko jednostavni primjeri za posebne slučajeve.

Primjer 6

Primjer 7

Pogledajmo sada još nekoliko teški primjeri za množenje i dijeljenje razlomaka.

Primjer 8

Primjer 9

Primjer 10

Primjer 11

Primjer 12

Primjer 13

Do sada smo razmatrali razlomke u kojima su i brojnik i nazivnik monomi. Međutim, u nekim slučajevima potrebno je pomnožiti ili podijeliti razlomke čiji su brojnici i nazivnici polinomi. U ovom slučaju pravila ostaju ista, a za smanjenje je potrebno koristiti formule skraćenog množenja i zagrada.

Primjer 14

Primjer 15

Primjer 16

Primjer 17

Primjer 18

U ovoj lekciji ćemo razmotriti pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka, kao i primjere za primjenu tih pravila. Množenje i oduzimanje algebarskih razlomaka ne razlikuje se od množenja i dijeljenja običnih razlomaka. Međutim, prisutnost varijabli dovodi do nešto složenijih načina pojednostavljenja rezultirajućih izraza. Unatoč činjenici da je množenje i dijeljenje razlomaka lakše nego njihovo zbrajanje i oduzimanje, proučavanju ove teme mora se pristupiti vrlo odgovorno, jer u njemu postoje mnoge "zamke" na koje se obično ne obraća pozornost. Kao dio lekcije, nećemo samo proučavati pravila za množenje i dijeljenje razlomaka, već ćemo analizirati i nijanse koje se mogu pojaviti prilikom njihove primjene.

Tema:Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija:Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

1. Pravila množenja i dijeljenja običnih i algebarskih razlomaka

Pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka potpuno su ista kao i pravila za množenje i dijeljenje običnih razlomaka. Prisjetite ih se:

Odnosno, da bismo pomnožili razlomke, potrebno je pomnožiti njihove brojnike (to će biti brojnik umnoška) i pomnožiti njihove nazivnike (to će biti nazivnik umnoška).

Dijeljenje razlomkom je množenje obrnutim razlomkom, odnosno da bismo podijelili dva razlomka, potrebno je prvi od njih (dijeljeni) pomnožiti obrnutim drugim (djeliteljem).

2. Pojedini slučajevi primjene pravila množenja i dijeljenja razlomaka

Unatoč jednostavnosti ovih pravila, mnogi ljudi griješe u nizu posebnih slučajeva pri rješavanju primjera na ovu temu. Pogledajmo pobliže ove posebne slučajeve:

U svim ovim pravilima koristili smo sljedeću činjenicu: .

3. Primjeri množenja i dijeljenja običnih razlomaka

Riješimo nekoliko primjera množenja i dijeljenja običnih razlomaka kako bismo zapamtili kako koristiti navedena pravila.

Primjer 1

Napomena: kod sažimanja razlomaka koristili smo rastavljanje broja na proste faktore. Prisjetite se toga primarni brojevi su prirodni brojevi koji su djeljivi samo sa samim sobom. Ostali brojevi su pozvani sastavni. Broj nije ni prost ni složen. Primjeri prostih brojeva: .

Primjer 2

Razmotrimo sada jedan od posebnih slučajeva s običnim razlomcima.

Primjer 3

Kao što vidite, množenje i dijeljenje običnih razlomaka, ako se pravila pravilno primjenjuju, nije teško.

4. Primjeri množenja i dijeljenja algebarskih razlomaka (jednostavni slučajevi)

Razmotrimo množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka.

Primjer 4

Primjer 5

Imajte na umu da je moguće i čak potrebno smanjiti razlomke nakon množenja prema istim pravilima koja smo prethodno razmatrali u lekcijama o smanjenju algebarskih razlomaka. Razmotrimo neke jednostavne primjere za posebne slučajeve.

Primjer 6

Primjer 7

Razmotrimo sada neke složenije primjere množenja i dijeljenja razlomaka.

Primjer 8

Primjer 9

Primjer 10

Primjer 11

Primjer 12

Primjer 13

5. Primjeri množenja i dijeljenja algebarskih razlomaka (teški slučajevi)

Do sada smo razmatrali razlomke u kojima su i brojnik i nazivnik monomi. Međutim, u nekim slučajevima potrebno je pomnožiti ili podijeliti razlomke čiji su brojnici i nazivnici polinomi. U ovom slučaju pravila ostaju ista, a za smanjenje je potrebno koristiti formule skraćenog množenja i zagrada.

Primjer 14

Tema: Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

Obrazovanje je ono što ostaje kada se sve naučeno već zaboravi.

Laue

Ciljevi:

Obrazovni:

popraviti ZUN na temu

provoditi primarnu tekuću kontrolu znanja

raditi na prazninama

U razvoju:

doprinose razvoju komunikacijske kompetencije, tj. sposobnost učinkovitog rada s drugima.

promicati razvoj kooperativne sposobnosti, tj. sposobnost rada u paru.

doprinose razvoju sposobnosti rješavanja problema, tj. sposobnost razumijevanja neizbježnosti poteškoća u tijeku bilo koje aktivnosti.

Obrazovni:

usaditi sposobnost adekvatne procjene rada prijatelja;

kada radite u parovima, njegovati kvalitete uzajamne pomoći, podrške.

Metodički:

stvaranje uvjeta za ispoljavanje individualnosti, kognitivnu aktivnost studenti;

prikazati metodiku nastavnog sata s nacrtom rezultata aktivnosti učenja te metode njihova istraživanja na temelju kompetencijskog pristupa.

Oprema: ploča, kreda u boji. Tablica "Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka"; karte za individualni rad, memorijske kartice. Besplatni minutni zadatak.

Tijekom nastave

Organiziranje vremena

Nastavni plan napisan je na ploči:

Oralna vježba.

Individualni rad.

Rješavanje problema.

Rad u parovima.

Sažetak lekcije.

Domaća zadaća.

Učitelj, nastavnik, profesor: U starim vremenima u Rusiji se vjerovalo da ako je osoba upućena u matematiku, to znači najviši stupanj učenje. A sposobnost da se ispravno vidi i čuje prvi je korak do mudrosti. Želim da svi današnji učenici u vašem razredu pokažu koliko su mudri i koliko ljudi dobro poznaju algebru 7. razreda.

Dakle, tema lekcije je "Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka" U prošloj lekciji ste počeli učiti ova tema, i razgovarali smo o tome zašto ga proučavamo. Prisjetimo se gdje će nam dobro doći u nekoliko lekcija.

studenti: Za zajedničko djelovanje s algebarskim razlomcima, za rješavanje jednadžbi, a time i problema.

Učitelj, nastavnik, profesor: Još u stara vremena u Rusiji su govorili da je množenje muka, a dijeljenje nevolja. Svatko tko je znao brzo i točno množiti i dijeliti smatran je velikim matematičarom.

Koje ćete si ciljeve postaviti?

studenti: Nastavite proučavati temu, naučite brzo i točno množiti i dijeliti.

Učitelj, nastavnik, profesor: Da bismo postigli svoje ciljeve, mi (otvara plan napisan na ploči, izgovara ga)

1. Usmeno zagrijavanje: (za to vrijeme 3 - 4 osobe rješavaju simulator za smanjivanje razlomaka u parovima) faktorizirajte popunjavanjem praznina

1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...

smanjiti razlomak

Frakcije, frakcije, frakcije tuci sjeci ih ne štedi.

pronaći pogrešku učinjenu pri množenju i dijeljenju algebarskih razlomaka

Učitelj, nastavnik, profesor: Gdje je greška? Zašto je nastala pogreška? Koje pravilo učenik nije znao? Što ste znali? Kako to učiniti ispravno?

2. Rad u bilježnici, br. iz udžbenika 488 (1) Analiza, rješavanje, provjera.

Učitelj, nastavnik, profesor: A sada ćeš imati priliku da pokažeš svoje znanje prilikom rješavanja testa, a da te inspiriram na rad, pročitat ću pjesmicu "Tako da ti učitelj u dnevnik napiše" 5 "uspij pomnožiti brojnik s brojnikom u trenutak, a kako bi učitelj bio zadovoljan s tobom, pomnožiš prvi nazivnik s drugim "

Samoprovjera, međusobna provjera. Prema kriterijima (objavljenima na ploči) B-1 (321), B-2 (132) prema točnim šiframa, ocjenjivanje u parovima. početni rezultat. Procjene.

Rad na greškama u parovima "učenik-učitelj"

Ako u parovima nema pogrešaka, zadatak rješavaju u slobodnoj minuti.

Pojednostavite izraz i pronađite njegovu vrijednost kada

5. Sažetak lekcije

Na kraju lekcije želio bih vas pitati koje su vam vrste poslova stvarale poteškoće? Zašto misliš? Što ste novo naučili? Tko je od vas zadovoljan svojim radom u učionici? Mislite li da su ciljevi postavljeni na početku lekcije postignuti?

Učitelj: Završio bih lekciju riječima francuskog inženjera-fizičara Lauea: „Obrazovanje je ono što ostaje kad se sve naučeno već zaboravi“

Nadam se da nećete zaboraviti ovaj materijal, da se to ne dogodi, morate ispuniti d/z br. 486,487,488 čak.

Video lekcija „Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka. Dizanje algebarskog razlomka na potenciju "- pomoć održati sat matematike na zadanu temu. Uz pomoć video lekcije učitelju je lakše kod učenika oblikovati sposobnost množenja i dijeljenja algebarskih razlomaka. Vizualno pomagalo sadrži detaljan, razumljiv opis primjera u kojima se izvode operacije množenja i dijeljenja. Gradivo se može demonstrirati tijekom nastavnikovog objašnjenja ili postati zaseban dio sata.

Kako bi se formirala sposobnost rješavanja zadataka množenja i dijeljenja algebarskih razlomaka, važni komentari daju se tijekom opisa rješenja, momenti koji zahtijevaju pamćenje i duboko razumijevanje istaknuti su bojom, podebljanim slovima i pokazivačima. Uz pomoć video lekcije, učitelj može povećati učinkovitost lekcije. Ova vizualna pomoć pomoći će vam da brzo i učinkovito postignete svoje ciljeve učenja.

Video vodič počinje predstavljanjem teme. Nakon toga se ukazuje da se operacije množenja i dijeljenja s algebarskim razlomcima izvode slično kao s običnim razlomcima. Zaslon prikazuje pravila za množenje, dijeljenje i stepenovanje razlomaka. Množenje razlomaka demonstrira se pomoću literalnih parametara. Napominje se da se pri množenju razlomaka množe brojnici, kao i nazivnici. Tako se dobije rezultirajući razlomak a/b c/d=ac/bd. Dijeljenje razlomaka prikazano je na primjeru izraza a/b:c/d. Naznačuje se da je za izvođenje operacije dijeljenja potrebno u brojnik upisati umnožak brojnika djelitelja i nazivnika djelitelja. Nazivnik količnika umnožak je nazivnika djelitelja i brojnika djelitelja. Tako se operacija dijeljenja pretvara u operaciju množenja razlomka djelitelja i razlomka recipročnog djelitelja. Podizanje razlomka na potenciju je ekvivalentno razlomku u kojem su brojnik i nazivnik podignuti na naznačenu potenciju.

Slijedi primjer rješenja. U primjeru 1 trebate izvršiti radnje (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x. Da bismo riješili ovaj primjer, brojnik drugog razlomka koji je uključen u produkt rastavlja se na faktore. Koristeći formule skraćenog množenja, vrši se transformacija x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y). Zatim se brojnici razlomaka i nazivnici množe. Nakon izvođenja operacija, jasno je da postoje faktori u brojniku i nazivniku koji se mogu smanjiti korištenjem glavnog svojstva razlomka. Kao rezultat transformacija dobiva se razlomak (x + y) 2 / 2x. Također razmatra izvođenje akcija 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Svi brojnici i nazivnici razmatraju se radi mogućnosti faktorizacije, dodjele zajedničkih faktora. Zatim se brojnici i nazivnici množe. Nakon množenja vrše se redukcije. Rezultat transformacije je razlomak 2(a-b)/7a.

Razmatran je primjer u kojem je potrebno izvršiti radnje (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2. Za rješavanje izraza predlaže se pretvorba brojnika prvog razlomka pomoću skraćene formule množenja x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1). Prema pravilu dijeljenja razlomaka, prvi se razlomak množi recipročnom vrijednošću drugog. Nakon množenja brojnika i nazivnika dobiva se razlomak koji sadrži iste faktore u brojniku i nazivniku. Oni se smanjuju. Rezultat je razlomak (x-1) 2y. Ovdje je također opisano rješenje primjera (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2). Slično prethodnom primjeru, za pretvorbu brojnika koristi se skraćena formula množenja. Preračunava se i nazivnik razlomka. Zatim se prvi razlomak množi s recipročnom vrijednošću drugog razlomka. Nakon množenja rade se transformacije, redukcije brojnika i nazivnika zajedničkim faktorima. Rezultat je razlomak - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3). Učenicima se skreće pozornost na to kako se pri množenju mijenjaju predznaci brojnika i nazivnika.

U trećem primjeru trebate izvesti operacije s razlomcima ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . U rješavanju ovog primjera primjenjuje se pravilo dizanja razlomka na potenciju. I prvi i drugi razlomak dižu se na potenciju. Preračunavaju se podizanjem brojnika i nazivnika na potenciju. Osim toga, za pretvorbu nazivnika razlomaka koristi se skraćena formula množenja, koja ističe zajednički faktor. Da biste prvi razlomak podijelili s drugim, morate pomnožiti prvi razlomak s recipročnom vrijednošću drugog. Brojnik i nazivnik tvore izraze koji se mogu reducirati. Nakon pretvorbe dobije se razlomak (x-2) / 27x 3 (x + 2).

Video lekcija „Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka. Podizanje algebarskog razlomka na potenciju ”koristi se za povećanje učinkovitosti tradicionalne lekcije matematike. Materijal može biti koristan učitelju koji pruža učenje na daljinu. Detaljan jasan opis rješenja primjera pomoći će učenicima koji samostalno svladavaju predmet ili im je potrebna dodatna nastava.