Poligon je dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom. Kutovi mnogokuta označeni su točkama vrhova polilinije. Vrhovi kutova poligona i vrhovi poligona su sukladne točke.

Definicija. Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne.

Svojstva paralelograma

1. Nasuprotne stranice su jednake.
Na sl. jedanaest AB = CD; PRIJE KRISTA = OGLAS.

2. Nasuprotni kutovi su jednaki (dva oštra i dva tupa kuta).
Na sl. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Dijagonale (odsječci koji povezuju dva suprotna vrha) se sijeku i sjecište je podijeljeno na pola.

Na sl. 11 segmenata AO = OC; BO = OD.

Definicija. Trapez je četverokut u kojem su dvije nasuprotne stranice paralelne, a druge dvije nisu.

Paralelne stranice nazvao ju je osnove, a druge dvije strane strane.

Vrste trapeza

1. Trapezčije stranice nisu jednake,
nazvao svestran(slika 12).

2. Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokračan(slika 13).

3. Trapez, kojemu jedna stranica s osnovicama čini pravi kut, naziva se pravokutan(slika 14).

Segment koji spaja središnje točke stranica trapeza (slika 15) naziva se središnja linija trapeza ( MN). Srednja linija trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je polovici njihova zbroja.

Trapezoid se može nazvati skraćenim trokutom (slika 17), stoga su imena trapeza slična imenima trokuta (trokuti su svestrani, jednakokračni, pravokutni).

Površina paralelograma i trapeza

Pravilo. Površina paralelograma jednak je umnošku svoje stranice s visinom povučenom na tu stranicu.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontakt s njom.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i Nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Stoga ćemo nazvati jednu od njih velik , drugi - mala baza trapez. Visina trapezom se može nazvati bilo koji segment okomice povučene iz vrhova na odgovarajuću suprotnu stranu (za svaki vrh postoje dvije suprotne strane), zatvorene između uzetog vrha i suprotne stranice. Ali moguće je izdvojiti "poseban tip" visina.
Definicija 8. Visina baze trapeza je isječak ravne crte okomit na osnovice, zatvoren između baza.
Teorem 7 . Srednja linija trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je polovici njihova zbroja.
Dokaz. Neka je dan trapez ABCD i središnja linija KM. Nacrtaj pravac kroz točke B i M. Stranicu AD nastavljamo kroz točku D dok je ne presječe s BM. Trokuti BCm i MPD imaju jednake stranice i dva kuta (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - preklapanje, ∠ BMC=∠ DMP - okomito), pa je VM=MP ili točka M polovište BP. KM je srednja linija u trokutu ABP. Prema svojstvu srednje crte trokuta, KM je paralelna s AP, a posebno AD i jednaka je polovici AP:

Teorem 8 . Dijagonale dijele trapez na četiri dijela, od kojih su dva, uz stranice, jednaka.
Podsjećam vas da se figure nazivaju jednakima ako imaju istu površinu. Trokuti ABD i ACD su jednaki: imaju jednake visine (označene žutom bojom) i zajedničku osnovicu. Ovi trokuti su opći dio AOD. Njihovo područje može se proširiti na sljedeći način:

Vrste trapeza:
Definicija 9. (Slika 1) Oštrokutni trapez je trapez u kojem su kutovi uz veću osnovicu šiljasti.
Definicija 10. (Slika 2) Tupi trapez je trapez u kojem je jedan od kutova uz veću osnovicu tup.
Definicija 11. (Slika 4) Trapezoid se naziva pravokutnim, u kojem je jedna strana okomita na baze.
Definicija 12. (Slika 3) Jednakokračan (istokračan, jednakokračan) je trapez, u kojeg su stranice jednake.

Svojstva jednakokračnog trapeza:
Teorem 10 . Kutovi uz svaku osnovicu jednakokračnog trapeza su jednaki.
Dokaz. Dokažimo, na primjer, jednakost kutova A i D s većom osnovicom AD jednakokračnog trapeza ABCD. U tu svrhu kroz točku C povučemo ravnu crtu paralelnu s bočnom stranicom AB. Sjeći će veliku osnovicu u točki M. Četverokut ABCM je paralelogram, jer po konstrukciji ima dva para paralelnih stranica. Dakle, odsječak CM sekante zatvorene unutar trapeza jednak je njegovoj bočnoj stranici: CM=AB. Odavde je jasno da je CM=CD, trokut CMD je jednakokračan, ∠CMD=∠CDM, pa je, prema tome, ∠A=∠D. Kutovi uz manju osnovicu također su jednaki, jer su za one koje se nalaze unutarnje jednostrane i imaju zbroj dviju linija.
Teorem 11 . Dijagonale jednakokračnog trapeza su jednake.
Dokaz. Promotrimo trokute ABD i ACD. Jednak je na dvije stranice i kut između njih (AB=CD, AD je zajednički, kutovi A i D su jednaki prema teoremu 10). Prema tome AC=BD.

Teorem 13 . Dijagonale jednakokračnog trapeza podijeljene su sjecištem na odgovarajuće jednake dijelove. Promotrimo trokute ABD i ACD. Jednak je na dvije stranice i kut između njih (AB=CD, AD je zajednički, kutovi A i D su jednaki prema teoremu 10). Dakle, ∠ OAD=∠ ODA, pa su kutovi OVS i OSV jednaki kao međusobno preklapajući kutovi ODA i OAD. Prisjetimo se teorema: ako su u trokutu dva kuta jednaka, onda je on jednakokračan, dakle trokuti OVS i OAD su jednakokračni, što znači OS=OB i OA=OD, itd.
Jednakokračan trapez je simetričan lik.
Definicija 13. Os simetrije jednakokračnog trapeza naziva se ravna crta koja prolazi središtima njegovih osnovica.
Teorem 14 . Os simetrije jednakokračnog trapeza okomita je na njegove osnovice.
U teoremu 9 dokazali smo da pravac koji spaja polovišta osnovica trapeza prolazi kroz sjecište dijagonala. Zatim (teorem 13) smo dokazali da su trokuti AOD i BOC jednakokračni. OM i OK su po definiciji medijani ovih trokuta. Prisjetimo se svojstva jednakokračnog trokuta: medijan jednakokračnog trokuta, spušten na osnovicu, ujedno je i visina trokuta. Zbog okomitosti osnovica dijelova pravca KM, os simetrije je okomita na osnovice.
Znakovi koji razlikuju jednakokračni trapez među svim trapezijima:
Teorem 15 . Ako su kutovi uz jednu od osnovica trapeza jednaki, tada je trapez jednakokračan.
Teorem 16 . Ako su dijagonale trapeza jednake, tada je trapez jednakokračan.
Teorem 17 . Ako bočne stranice trapeza, proširene do sjecišta, zajedno sa svojom velikom osnovicom tvore jednakokračni trokut, tada je trapez jednakokračan.
Teorem 18 . Ako se trapez može upisati u krug, onda je on jednakokračan.
Znak pravokutnog trapeza:
Teorem 19 . Svaki četverokut sa samo dva prava kuta u susjednim vrhovima je pravokutni trapez (očito su dvije stranice paralelne, jer su jednostrane jednake, u slučaju kada su tri prava kuta pravokutnik)
Teorem 20 . Polumjer kružnice upisane u trapez jednak je polovici visine osnovice.
Dokaz ovog teorema je objasniti da polumjeri povučeni na baze leže na visini trapeza. Iz točke O - središta kružnice ABCD upisane u ovaj trapez, povučemo polumjere do dodirnih točaka s njegovim osnovicama trapeza. Kao što znate, radijus povučen na točku dodira je okomit na tangentu, dakle OK ^ BC i OM ^ AD. Prisjetimo se teorema: ako je pravac okomit na jedan od paralelnih pravaca, onda je okomit i na drugi. Dakle, pravac OK također je okomit na AD. Dakle, kroz točku O prolaze dva pravca okomita na pravac AD, što ne može biti, stoga se ti pravci podudaraju i čine zajedničku okomicu na KM, što jednak je zbroju dva radijusa i je promjer upisane kružnice, pa je r=KM/2 ili r=h/2.
Teorem 21 . Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbroja baza i visine baza.

Dokaz: Neka je ABCD zadani trapez, a AB i CD njegove osnovice. Neka je također AH visina spuštena s točke A na pravac CD. Tada je S ABCD = S ACD + S ABC .
Ali S ACD = 1/2AH CD i S ABC = 1/2AH AB.
Prema tome, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Druga formula je prešla iz četverokuta.

\[(\Veliki(\tekst(Proizvoljni trapez)))\]

Definicije

Trapez je konveksni četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza zovu se njegove osnovice, a druge dvije stranice zovu se stranice.

Visina trapeza je okomica spuštena iz bilo koje točke jedne osnovice na drugu osnovicu.

Teoremi: svojstva trapeza

1) Zbroj kutova na stranici je \(180^\circ\) .

2) Dijagonale dijele trapez na četiri trokuta od kojih su dva slična, a druga dva jednaka.

Dokaz

1) Zato što \(AD\paralela BC\) , tada su kutovi \(\kut BAD\) i \(\kut ABC\) jednostrani na tim pravcima i sekanti \(AB\) , dakle, \(\kut BAD +\kut ABC=180^\krug\).

2) Zato što \(AD\paralela BC\) i \(BD\) je sekanta, a zatim \(\kut DBC=\kut BDA\) kao da leži poprijeko.
Također \(\kut BOC=\kut AOD\) kao okomit.
Dakle, u dva kuta \(\trokut BOC \sim \trokut AOD\).

Dokažimo to \(S_(\trokut AOB)=S_(\trokut COD)\). Neka je \(h\) visina trapeza. Zatim \(S_(\trokut ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trokut ACD)\). Zatim: \

Definicija

Sredina trapeza je segment koji povezuje središta stranica.

Teorema

Srednja linija trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je polovici njihova zbroja.

Dokaz*

1) Dokažimo paralelizam.

Nacrtaj pravac \(MN"\paralelno AD\) (\(N"\u CD\) ) kroz točku \(M\) ). Zatim, po Talesovom teoremu (jer \(MN"\paralelno AD\paralelno BC, AM=MB\)) točka \(N"\) je polovište segmenta \(CD\)... Dakle, točke \(N\) i \(N"\) će se poklapati.

2) Dokažimo formulu.

Nacrtajmo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Neka \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Zatim, prema Thalesovom teoremu, \(M"\) i \(N"\) su središta odsječaka \(BB"\) odnosno \(CC"\). Dakle, \(MM"\) je srednja linija \(\trokut ABB"\) , \(NN"\) je srednja linija \(\trokut DCC"\) . Zato: \

Jer \(MN\paralela AD\paralela BC\) i \(BB", CC"\perp AD\) , tada su \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) pravokutnici. Prema Thalesovom teoremu, \(MN\paralelni AD\) i \(AM=MB\) impliciraju da \(B"M"=M"B\) . Dakle, \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) su jednaki pravokutnici, dakle \(M"N"=B"C"=BC\) .

Na ovaj način:

\ \[=\dfrac12 \lijevo(AB"+B"C"+BC+C"D\desno)=\dfrac12\lijevo(AD+BC\desno)\]

Teorem: svojstvo proizvoljnog trapeza

Polovišta osnovica, sjecište dijagonala trapeza i sjecište produžetaka bočnih stranica leže na istoj ravnici.

Dokaz*
Preporuča se da se upoznate s dokazom nakon proučavanja teme "Slični trokuti".

1) Dokažimo da točke \(P\) , \(N\) i \(M\) leže na istoj pravci.

Nacrtajte pravac \(PN\) (\(P\) je točka presjeka produžetaka stranica, \(N\) je središte \(BC\) ). Neka siječe stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) polovište \(AD\) .

Razmotrite \(\trikut BPN\) i \(\trikut APM\) . Slični su u dva kuta (\(\kut APM\) - zajednički, \(\kut PAM=\kut PBN\) koji odgovara na \(AD\paralela BC\) i \(AB\) sekanta). Sredstva: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Razmotrite \(\trokut CPN\) i \(\trokut DPM\) . Slični su u dva kuta (\(\kut DPM\) - zajednički, \(\kut PDM=\kut PCN\) koji odgovara na \(AD\paralela BC\) i \(CD\) sekanta). Sredstva: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ali \(BN=NC\) , stoga \(AM=DM\) .

2) Dokažimo da točke \(N, O, M\) leže na jednoj ravnoj liniji.

Neka je \(N\) polovište \(BC\) , \(O\) sjecište dijagonala. Nacrtajte pravac \(NO\) , on će sijeći stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) polovište \(AD\) .

\(\trokut BNO\sim \trokut DMO\) pod dva kuta (\(\kut OBN=\kut ODM\) koji leži na \(BC\paralelni AD\) i \(BD\) sekanti; \(\kut BON=\kut DOM\) kao okomiti). Sredstva: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Na sličan način \(\trokut CON\sim \trokut AOM\). Sredstva: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ali \(BN=CN\) , dakle \(AM=MD\) .

\[(\Veliki(\text(Istokračni trapez)))\]

Definicije

Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan kut prav.

Trapez se naziva jednakokračan ako su mu stranice jednake.

Teoremi: svojstva jednakokračnog trapeza

1) Jednakokračni trapez ima jednake kutove pri osnovici.

2) Dijagonale jednakokračnog trapeza su jednake.

3) Dva trokuta što ih tvore dijagonale i baza su jednakokračni.

Dokaz

1) Promotrimo jednakokračni trapez \(ABCD\) .

Iz vrhova \(B\) i \(C\) spustimo na stranicu \(AD\) okomice \(BM\), odnosno \(CN\). Budući da \(BM\perp AD\) i \(CN\perp AD\) , tada \(BM\parallel CN\) ; \(AD\paralela BC\) , tada je \(MBCN\) paralelogram, dakle \(BM = CN\) .

Razmotrimo pravokutne trokute \(ABM\) i \(CDN\) . Budući da imaju jednake hipotenuze i krak \(BM\) je jednak kraku \(CN\) , ti su trokuti sukladni, dakle \(\kut DAB = \kut CDA\) .

2)

Jer \(AB=CD, \kut A=\kut D, AD\)- opći, pa na prvi znak. Prema tome, \(AC=BD\) .

3) Zato što \(\trokut ABD=\trokut ACD\), zatim \(\kut BDA=\kut CAD\) . Dakle, trokut \(\trokut AOD\) je jednakokračan. Slično se može dokazati da je \(\trokut BOC\) jednakokračan.

Teoremi: znakovi jednakokračnog trapeza

1) Ako su kutovi na osnovici trapeza jednaki, onda je on jednakokračan.

2) Ako su dijagonale trapeza jednake, onda je on jednakokračan.

Dokaz

Razmotrimo trapez \(ABCD\) takav da je \(\kut A = \kut D\) .

Dovršimo trapez do trokuta \(AED\) kao što je prikazano na slici. Budući da je \(\kut 1 = \kut 2\) , tada je trokut \(AED\) jednakokračan i \(AE = ED\) . Kutovi \(1\) i \(3\) jednaki su kao što odgovaraju paralelnim pravcima \(AD\) i \(BC\) i sekanti \(AB\) . Slično, kutovi \(2\) i \(4\) su jednaki, ali \(\kut 1 = \kut 2\) , tada \(\kut 3 = \kut 1 = \kut 2 = \kut 4\), dakle, trokut \(BEC\) je također jednakokračan i \(BE = EC\) .

Eventualno \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tj. \(AB = CD\) , što je trebalo i dokazati.

2) Neka \(AC=BD\) . Jer \(\trokut AOD\sim \trokut BOC\), tada ćemo njihov koeficijent sličnosti označiti s \(k\) . Onda ako \(BO=x\) , tada \(OD=kx\) . Slično \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Jer \(AC=BD\) , zatim \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Dakle, \(\trokut AOD\) je jednakokračan i \(\kut OAD=\kut ODA\) .

Dakle, prema prvom znaku \(\trokut ABD=\trokut ACD\) (\(AC=BD, \kut OAD=\kut ODA, AD\)- Općenito). Dakle \(AB=CD\) , dakle.

Trapez je poseban slučaj četverokuta kojemu je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčka riječτράπεζα, što znači "stol", "stol". U ovom ćemo članku razmotriti vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, otkrit ćemo kako izračunati pojedine elemente ovog primjera, dijagonalu jednakokračnog trapeza, središnju crtu, površinu itd. Materijal je prikazan u stilu elementarne popularne geometrije, odnosno na lako pristupačan način. oblik.

Opće informacije

Prvo, shvatimo što je četverokut. Ova figura je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri stranice i četiri vrha. Dva vrha četverokuta koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.

Dakle, natrag na trapez. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije strane koje su paralelne. Nazivaju se bazama. Druge dvije (neparalelne) su strane. U ispitnim materijalima i raznim kontrolni radovi vrlo često se mogu naći zadaci vezani uz trapeze čije rješavanje često od učenika zahtijeva znanja koja nisu predviđena programom. Školski predmet geometrije upoznaje učenike sa svojstvima kutova i dijagonala, kao i sa središnjicom jednakokračnog trapeza. No, uostalom, osim ovoga, spomenuta geometrijska figura ima i druge značajke. Ali više o njima kasnije...

Vrste trapeza

Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokračan i pravokutan.

1. Pravokutni trapez- ovo je lik u kojem je jedna od strana okomita na baze. Ima dva kuta koji su uvijek devedeset stupnjeva.

2. Jednakokračni trapez je geometrijski lik čije su stranice međusobno jednake. To znači da su i kutovi na bazama jednaki u parovima.

Glavna načela metodologije proučavanja svojstava trapeza

Glavno načelo je korištenje tzv. pristupa zadatku. U biti, nema potrebe za upisivanjem teorijski tečaj geometrija novih svojstava ove figure. Oni se mogu otkriti i formulirati u procesu rješavanja razne zadatke(bolje od sustava). Pritom je vrlo važno da nastavnik zna koje zadatke treba postaviti učenicima u određenom trenutku obrazovnog procesa. Štoviše, svako svojstvo trapeza može se prikazati kao ključni zadatak u sustavu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva vraćanje u procesu učenja na pojedinačne značajke datog geometrijski lik. Tako ih je učenicima lakše zapamtiti. Na primjer, svojstvo četiri točke. Može se dokazati iu proučavanju sličnosti i naknadno uz pomoć vektora. A jednaka površina trokuta koji graniče sa stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo svojstava trokuta s jednakim visinama nacrtanih na strane koje leže na istoj ravnoj liniji, već i korištenjem formule S= 1/ 2(ab*sinα). Osim toga, možete vježbati na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na opisanom trapezu itd.

Korištenje "izvannastavnih" značajki geometrijskog lika u sadržaju školskog tečaja tehnologija je zadatka za njihovo podučavanje. Stalno pozivanje na proučavana svojstva pri prolasku kroz druge teme omogućuje učenicima stjecanje dubljeg znanja o trapezu i osigurava uspješnost rješavanja zadataka. Dakle, počnimo proučavati ovu prekrasnu figuru.

Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza

Kao što smo već primijetili, stranice ove geometrijske figure su jednake. Također je poznat kao pravi trapez. Zašto je tako značajan i zašto je dobio takvo ime? Značajke ove figure uključuju činjenicu da su ne samo strane i uglovi na bazama jednaki, već i dijagonale. Također, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je 360 ​​stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza samo se oko jednakokračnog može opisati kružnica. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova ove figure 180 stupnjeva i samo pod tim uvjetom može se opisati krug oko četverokuta. Sljedeće svojstvo geometrijske figure koja se razmatra je da će udaljenost od osnovnog vrha do projekcije suprotnog vrha na ravnu liniju koja sadrži ovu bazu biti jednaka srednjoj liniji.

Sada shvatimo kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmotrite rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.

Riješenje

Obično se četverokut obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD osnovice. U jednakokračnom trapezu stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina X, a veličina baza Y i Z (manja odnosno veća). Za izračun je potrebno povući visinu H iz kuta B. Rezultat je pravokutni trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AN su katete. Izračunavamo veličinu noge AN: oduzimamo manju od veće baze i rezultat dijelimo s 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Sada, da izračunamo šiljasti kut trokuta koristimo funkciju cos. Dobivamo sljedeći zapis: cos(β) = H/F. Sada izračunavamo kut: β=arcos (H/F). Nadalje, znajući jedan kut, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi kutovi su definirani.

Postoji i drugo rješenje za ovaj problem. Na početku spustimo visinu H iz kuta B. Izračunamo vrijednost kraka BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutni trokut jednaka je zbroju kvadrata kateta. Dobivamo: BN \u003d √ (X2-F2). Dalje, koristimo trigonometrijska funkcija tg. Kao rezultat imamo: β = arctg (BN / F). Oštar kut pronađeno. Dalje, određujemo na isti način kao i prva metoda.

Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Zapišimo prvo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada je:

Visina figure bit će jednaka zbroju baza podijeljenom s dva;

Njegova visina i središnja linija su jednake;

Središte kruga je točka u kojoj se nalazi ;

Ako je bočna stranica podijeljena točkom dodira na segmente H i M, tada je jednaka korijen proizvodi iz ovih segmenata;

Četverokut kojeg čine dodirne točke, vrh trapeza i središte upisane kružnice je kvadrat čija je stranica jednaka polumjeru;

Površina figure jednaka je umnošku baza i umnošku polovine zbroja baza i njegove visine.

Slični trapezi

Ova tema je vrlo zgodna za proučavanje svojstava ovog.Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni koji graniče s bazama su slični, a stranicama su jednaki. Ovu tvrdnju možemo nazvati svojstvom trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se pomoću kriterija sličnosti u dva kuta. Za dokazivanje drugog dijela bolje je koristiti dolje navedenu metodu.

Dokaz teorema

Prihvaćamo da je lik ABSD (AD i BS - osnovice trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Njihova točka sjecišta je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na donjoj bazi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na stranama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im dužice BO i OD osnovice. Dobivamo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Dakle, PSOD = PBOS / K. Slično tome, trokuti BOS i AOB imaju zajedničku visinu. Uzimamo segmente CO i OA kao njihove baze. Dobivamo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K i PAOB \u003d PBOS / K. Iz ovoga slijedi da je PSOD = PAOB.

Za učvršćivanje gradiva učenicima se savjetuje da pronađu odnos između površina dobivenih trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama, rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je da su površine trokuta BOS i AOD jednake, potrebno je pronaći površinu trapeza. Budući da je PSOD \u003d PAOB, to znači da je PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iz sličnosti trokuta BOS i AOD slijedi da je BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Prema tome, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobivamo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tada je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

svojstva sličnosti

Nastavljajući razvijati ovu temu, možemo dokazati drugo zanimljive karakteristike trapez. Dakle, koristeći sličnost, možete dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku formiranu sjecištem dijagonala ove geometrijske figure, paralelno s bazama. Da bismo to učinili, rješavamo sljedeći problem: potrebno je pronaći duljinu dužine RK koja prolazi kroz točku O. Iz sličnosti trokuta AOD i BOS slijedi da je AO/OS=AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB slijedi da je AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Odavde dobivamo RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Slično, iz sličnosti trokuta DOK i DBS, slijedi da je OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Odavde dobivamo da je RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odsječak koji prolazi kroz točku u kojoj se sijeku dijagonale paralelno s bazama i povezuje dvije strane, prepolovljena je sjecišnom točkom. Njegova duljina je harmonijska sredina baza figure.

Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se naziva svojstvo četiri točke. Sjecišta dijagonala (O), sjecišta nastavaka stranica (E), kao i polovišta osnovica (T i W) uvijek leže na istoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Dobiveni trokuti BES i AED slični su, au svakom od njih središnje ET i EZH dijele kut pri vrhu E na jednake dijelove. Dakle, točke E, T i W leže na istoj pravci. Jednako se na istoj pravci nalaze i točke T, O i G. Sve to proizlazi iz sličnosti trokuta BOS i AOD. Iz ovoga zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i W - ležati na jednoj ravnoj liniji.

Koristeći slične trapeze, od učenika se može tražiti da pronađu duljinu segmenta (LF) koji dijeli lik na dva slična. Ovaj segment bi trebao biti paralelan s bazama. Budući da su rezultirajući trapezi ALFD i LBSF slični, tada je BS/LF=LF/AD. Slijedi da je LF=√(BS*BP). Dobivamo da segment koji trapez dijeli na dva slična ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina osnovica lika.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Temelji se na segmentu koji dijeli trapez na dvije figure jednake veličine. Prihvaćamo da je trapez ABSD isječak EN podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavljena je visina koja je segmentom EH podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 i PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2, a druga (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Slijedi da je B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dobivamo da je duljina isječka koji trapez dijeli na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu duljina baza: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Zaključci o sličnosti

Dakle, dokazali smo da:

1. Dužina koja spaja polovišta stranica trapeza paralelna je s AD i BS i jednaka je aritmetičkoj sredini BS i AD (duljina osnovice trapeza).

2. Pravac koji prolazi točkom O sjecišta dijagonala paralelnih s AD i BS bit će jednak harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Isječak koji trapez dijeli na slične ima duljinu geometrijske sredine osnovica BS i AD.

4. Element koji dijeli lik na dva jednaka ima duljinu srednjih kvadratnih brojeva AD i BS.

Da bi konsolidirao gradivo i razumio vezu između razmatranih segmenata, učenik ih treba izgraditi za određeni trapez. On može lako prikazati središnju liniju i segment koji prolazi kroz točku O - sjecište dijagonala figure - paralelno s bazama. Ali gdje će treći i četvrti? Ovaj odgovor će dovesti učenika do otkrića željenog odnosa između prosjeka.

Odsječak koji spaja središta dijagonala trapeza

Razmotrimo sljedeće svojstvo ove figure. Prihvaćamo da je isječak MH paralelan s bazama i da raspolavlja dijagonale. Nazovimo sjecišne točke W i W. Ovaj segment će biti jednak polurazlici baza. Analizirajmo ovo detaljnije. MSH - srednja linija trokuta ABS, jednaka je BS / 2. MS - srednja linija trokuta ABD, jednaka je AD / 2. Tada dobivamo da je ShShch = MShch-MSh, dakle, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Centar gravitacije

Pogledajmo kako je ovaj element određen za danu geometrijsku figuru. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Što to znači? Potrebno je dodati donju bazu na gornju bazu - na bilo koju stranu, na primjer, desno. A dno je produženo za duljinu vrha ulijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalom. Točka sjecišta ovog segmenta sa srednjom linijom figure je težište trapeza.

Upisani i opisani trapezi

Nabrojimo značajke takvih figura:

1. Trapez se može upisati u kružnicu samo ako je jednakokračan.

2. Trapez se može opisati oko kružnice pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih osnovica jednak zbroju duljina stranica.

Posljedice upisane kružnice:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dvama polumjerima.

2. Bočna stranica opisanog trapeza promatra se iz središta kružnice pod pravim kutom.

Prvi korolar je očigledan, a za dokaz drugog potrebno je utvrditi da je kut SOD pravi, što, zapravo, također neće biti teško. Ali znanje danu imovinu omogućuje korištenje pravokutnog trokuta pri rješavanju problema.

Sada specificiramo ove posljedice za jednakokračni trapez, koji je upisan u krug. Dobijamo da je visina geometrijska sredina baza figure: H=2R=√(BS*AD). Uvježbavajući glavnu tehniku ​​rješavanja zadataka za trapeze (princip crtanja dviju visina), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Prihvaćamo da je BT visina jednakokračnog lika ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Primjenom gore opisane formule, to neće biti teško učiniti.

Sada shvatimo kako odrediti polumjer kruga pomoću područja opisanog trapeza. Spuštamo visinu s vrha B na bazu AD. Budući da je krug upisan u trapez, tada je BS + AD \u003d 2AB ili AB \u003d (BS + AD) / 2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα \u003d BN / AB \u003d 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dobivamo PABSD \u003d (BS + AD) * R, slijedi da je R \u003d PABSD / (BS + AD).

Sve formule srednje crte trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ove geometrijske figure. Odredimo čemu je jednaka srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M \u003d (A + B) / 2.

2. Kroz visinu, osnovicu i kutove:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - kutovi između njih:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Kroz površinu i visinu: M = P / N.