Danas je vaša pozornost pozvana na još jednu prezentaciju o nevjerojatnoj i tajanstvenoj temi - geometriji. U ovoj prezentaciji predstavit ćemo vam novu nekretninu geometrijski oblici, posebno, s konceptom proporcionalnih segmenata u pravokutnim trokutima.
Prvo se morate sjetiti što je trokut? Ovo je najjednostavniji mnogokut koji se sastoji od tri vrha povezana s tri segmenta. Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva. Već ste se s njima detaljnije upoznali u našem prethodnom materijali za obuku skrenuta vašoj pozornosti.
Dakle, vraćajući se na našu današnju temu, označavamo redom da visina pravokutnog trokuta, izvučena iz kuta od 90 stupnjeva, dijeli na dva trokuta, koji su slični jedan drugome i izvornom. Svi crteži i grafikoni koji Vas zanimaju dani su u predloženoj prezentaciji te Vam preporučamo da ih pogledate uz opisano objašnjenje.
Grafički primjer gornje teze može se vidjeti na drugom slajdu. Trokuti su slični jer imaju dva jednaka kuta. Ako navedete detaljnije, tada visina spuštena na hipotenuzu s njom tvori pravi kut, odnosno već postoje isti kutovi, a svaki od formiranih kutova također ima jedan zajednički kut kao početni. Rezultat su dva međusobno jednaka kuta. Odnosno, trokuti su slični.
Označimo također što pojam "proporcionalne srednje vrijednosti" ili "geometrijske sredine" znači sam po sebi? Ovo je određeni segment XY za segmente AB i CD, kada su jednaki korijen proizvoda njihovih duljina.
Iz čega također slijedi da je krak pravokutnog trokuta geometrijska sredina između hipotenuze i projekcije tog kraka na hipotenuzu, odnosno drugi krak.
Još jedna od nekretnina pravokutni trokut je da je njegova visina, povučena pod kutom od 90 o, prosječni proporcional između projekcija kateta na hipotenuzu. Ako pogledate prezentaciju i druge materijale koji su vam predstavljeni, vidjet ćete da postoji dokaz ove teze u vrlo jednostavnom i pristupačan oblik. Ranije smo već dokazali da su dobiveni trokuti slični jedan drugome i izvornom trokutu. Zatim, koristeći omjer kateta ovih geometrijskih figura, dolazimo do zaključka da je visina pravokutnog trokuta izravno proporcionalna kvadratnom korijenu produkta segmenata koji su nastali kao rezultat spuštanja visine s pravi kut izvornog trokuta.
Posljednja stvar u prezentaciji je da je krak pravokutnog trokuta geometrijska sredina za hipotenuzu i njezin segment koji se nalazi između kraka i visine povučene iz kuta jednakog 90 stupnjeva. Ovaj slučaj treba promatrati sa strane da su ti trokuti slični jedan drugome, a kateta jednog od njih je dobivena hipotenuzom drugog. Ali to ćete detaljnije upoznati proučavanjem predloženih materijala.
Znak sličnosti pravokutnog trokuta
Uvedimo najprije znak sličnosti pravokutnih trokuta.
Teorem 1
Znak sličnosti pravokutnog trokuta: dva pravokutna trokuta slična su kad im je jedan jednak oštar kut(Sl. 1).
Slika 1. Slični pravokutni trokuti
Dokaz.
Neka nam je dano da je $\kut B=\kut B_1$. Budući da su trokuti pravokutni, $\kut A=\kut A_1=(90)^0$. Stoga su slični prema prvom znaku sličnosti trokuta.
Teorem je dokazan.
Teorem o visini u pravokutnom trokutu
Teorem 2
Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravokutnog kuta dijeli trokut na dva slična pravokutna trokuta od kojih je svaki sličan zadanom trokutu.
Dokaz.
Neka nam je dan pravokutni trokut $ABC$ s pravim kutom $C$. Nacrtajte visinu $CD$ (sl. 2).
Slika 2. Ilustracija teorema 2
Dokažimo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični trokutu $ABC$ te da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.
Budući da je $\kut ADC=(90)^0$, trokut $ACD$ je pravokutan. Trokuti $ACD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $A$, pa su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $ABC$ slični.
Budući da je $\kut BDC=(90)^0$, trokut $BCD$ je pravokutan. Trokuti $BCD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $B$, pa su prema teoremu 1 trokuti $BCD$ i $ABC$ slični.
Razmotrimo sada trokute $ACD$ i $BCD$
\[\kut A=(90)^0-\kut ACD\] \[\kut BCD=(90)^0-\kut ACD=\kut A\]
Stoga su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.
Teorem je dokazan.
Prosječna proporcionalna
Teorem 3
Visina pravokutnog trokuta, izvučena iz vrha pravog kuta, prosječna je proporcija za segmente na koje visina dijeli hipotenuzu tog trokuta.
Dokaz.
Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični, dakle
Teorem je dokazan.
Teorem 4
Krak pravokutnog trokuta je srednji proporcional između hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorenog između kraka i visine povučene iz vrha kuta.
Dokaz.
U dokazu teorema koristit ćemo se oznakom sa slike 2.
Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $ABC$ slični, dakle
Teorem je dokazan.
Znak sličnosti pravokutnog trokuta
Uvedimo najprije znak sličnosti pravokutnih trokuta.
Teorem 1
Znak sličnosti pravokutnog trokuta: dva pravokutna trokuta slična su kad imaju po jedan jednak šiljasti kut (slika 1).
Slika 1. Slični pravokutni trokuti
Dokaz.
Neka nam je dano da je $\kut B=\kut B_1$. Budući da su trokuti pravokutni, $\kut A=\kut A_1=(90)^0$. Stoga su slični prema prvom znaku sličnosti trokuta.
Teorem je dokazan.
Teorem o visini u pravokutnom trokutu
Teorem 2
Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravokutnog kuta dijeli trokut na dva slična pravokutna trokuta od kojih je svaki sličan zadanom trokutu.
Dokaz.
Neka nam je dan pravokutni trokut $ABC$ s pravim kutom $C$. Nacrtajte visinu $CD$ (sl. 2).
Slika 2. Ilustracija teorema 2
Dokažimo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični trokutu $ABC$ te da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.
Budući da je $\kut ADC=(90)^0$, trokut $ACD$ je pravokutan. Trokuti $ACD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $A$, pa su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $ABC$ slični.
Budući da je $\kut BDC=(90)^0$, trokut $BCD$ je pravokutan. Trokuti $BCD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $B$, pa su prema teoremu 1 trokuti $BCD$ i $ABC$ slični.
Razmotrimo sada trokute $ACD$ i $BCD$
\[\kut A=(90)^0-\kut ACD\] \[\kut BCD=(90)^0-\kut ACD=\kut A\]
Stoga su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.
Teorem je dokazan.
Prosječna proporcionalna
Teorem 3
Visina pravokutnog trokuta, izvučena iz vrha pravog kuta, prosječna je proporcija za segmente na koje visina dijeli hipotenuzu tog trokuta.
Dokaz.
Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični, dakle
Teorem je dokazan.
Teorem 4
Krak pravokutnog trokuta je srednji proporcional između hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorenog između kraka i visine povučene iz vrha kuta.
Dokaz.
U dokazu teorema koristit ćemo se oznakom sa slike 2.
Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $ABC$ slični, dakle
Teorem je dokazan.
Ciljevi lekcije:
- uvesti pojam srednje proporcije (geometrijske sredine) dvaju odsječaka;
- razmotriti problem proporcionalnih segmenata u pravokutni trokut: svojstvo visine pravokutnog trokuta povučene iz vrha pravog kuta;
- formirati vještine učenika u korištenju obrađene teme u procesu rješavanja problema.
Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.
Plan:
- Organizacijski trenutak.
- Ažuriranje znanja.
- Proučavanje svojstva visine pravokutnog trokuta izvučene iz vrha pravog kuta:
– pripremna faza;
- Uvod;
- asimilacija. - Uvođenje pojma srednje vrijednosti proporcionalne dvama segmentima.
- Usvajanje pojma prosječne proporcije dvaju odsječaka.
- Dokaz o posljedicama:
- visina pravokutnog trokuta, izvučena iz vrha pravog kuta, prosječna je proporcija između segmenata na koje je hipotenuza podijeljena tom visinom;
- kateta pravokutnog trokuta je srednja proporcija između hipotenuze i odsječka hipotenuze koji se nalazi između katete i visine. - Rješavanje problema.
- Sažimajući.
- Postavljanje domaće zadaće.
Tijekom nastave
I. ORGANIZACIJA
Pozdrav ljudi, sjednite. Jesu li svi spremni za lekciju?
Počinjemo s radom.
II. AŽURIRANJE ZNANJA
Koji ste važan matematički koncept naučili u prethodnim lekcijama? ( s konceptom sličnosti trokuta)
- Prisjetimo se koja se dva trokuta nazivaju sličnima? (dva trokuta se nazivaju sličnima ako su im kutovi jednaki i ako su stranice jednog trokuta proporcionalne sličnim stranicama drugog trokuta)
Čime dokazujemo sličnost dvaju trokuta? (
- Nabroji ove znakove. (formulirajte tri znaka sličnosti trokuta)
III. PROUČAVANJE SVOJSTAVA VISINE PRAVOKUTNOG TROKUTA IZVEDEN IZ VRŠENA PRAVOG KUTA
a) pripremna faza
- Ljudi, pogledajte prvi slajd. ( Primjena) Ovdje su dva pravokutna trokuta - i . i su visine i, respektivno. 
.
Zadatak 1. a) Odredite jesu li i slični.
Čime dokazujemo sličnost trokuta? ( znakovi sličnosti trokuta)
(prvi znak, budući da se ništa ne zna o stranicama trokuta u zadatku)
. (Dva para: 1. ∟B= ∟B1 (ravne linije), 2. ∟A= ∟A 1)
- Donesite zaključak. ( po prvom znaku sličnosti trokuta ~)
Zadatak 1. b) Odredite jesu li i slični.
Koji ćemo kriterij sličnosti koristiti i zašto? (prvi znak, jer se u zadatku ništa ne zna o stranicama trokuta)
– Koliko parova jednaki kutovi trebamo li pronaći? Pronađite ove parove (budući da su trokuti pravokutni, dovoljan je jedan par jednakih kutova: ∟A= ∟A 1)
- Donesite zaključak. (po prvom znaku sličnosti trokuta zaključujemo da su ti trokuti slični).
Kao rezultat razgovora, slajd 1 izgleda ovako:
b) otkriće teorema
Zadatak 2.
Odredite ako i , I su slični. Kao rezultat razgovora nastaju odgovori koji se odražavaju na slajdu.
- Brojka je pokazala da . Jesmo li koristili ovu mjeru stupnja kada smo odgovarali na pitanja zadataka? ( Ne, ne koristi se)
- Dečki, zaključite: na koje trokute visina izvučena iz vrha pravog kuta dijeli pravokutni trokut? (donijeti zaključak)
- Postavlja se pitanje: hoće li ova dva pravokutna trokuta, na koje visina dijeli pravokutni trokut, biti međusobno slična? Pokušajmo pronaći parove jednakih kutova.
Kao rezultat razgovora gradi se zapis:
- A sada napravimo potpuni zaključak. ( ZAKLJUČAK: visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta dijeli trokut na dva dijela. sličan
- To. formulirali smo i dokazali teorem o svojstvu visine pravokutnog trokuta.
Utvrdimo strukturu teorema i napravimo crtež. Što je dano u teoremu i što treba dokazati? Učenici zapisuju u svoje bilježnice:
Dokažimo prvu točku teoreme za novi crtež. Koji ćemo kriterij sličnosti koristiti i zašto? (Prvo, budući da se ništa ne zna o stranicama trokuta u teoremu)
Koliko pari jednakih kutova trebamo pronaći? Pronađite ove parove. (NA ovaj slučaj jedan par je dovoljan: ∟A-općenito)
- Donesite zaključak. Trokuti su slični. Kao rezultat, prikazan je primjer formulacije teorema
- Drugu i treću točku napiši sam kod kuće.
c) asimilacija teorema
- Dakle, ponovno formulirajte teorem (Visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, dijeli trokut na dva sličan pravokutni trokuti, od kojih je svaki sličan ovome)
- Koliko se pari sličnih trokuta u konstrukciji "u pravokutnom trokutu visina iz vrha pravog kuta" može pronaći ovim teoremom? ( Tri para)
Učenici dobivaju sljedeće zadatke:
IV. UVOĐENJE POJMA PROSJEČNE PROPORCIONALNOSTI DVIJE CRTE
Sada ćemo naučiti novi koncept.
Pažnja!
Definicija. Segment linije XY nazvao prosječno proporcionalan (geometrijska sredina) između segmenata AB i CD, ako
(zapisati u bilježnicu).
V. POVEZIVANJE POJMA PROSJEČNE PROPORCIONALNOSTI DVIJE CRTE
Sada prijeđimo na sljedeći slajd.
Vježba 1. Odredite duljinu prosječnih proporcionalnih odsječaka MN i KP, ako je MN = 9 cm, KP = 16 cm.
- Što je zadano u zadatku? ( Dva odsječka i njihove duljine: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
- Što trebate pronaći? ( Duljina prosječne proporcije ovih segmenata)
- Koja je formula za srednji proporcionalni i kako je nalazimo?
(Zamjenjujemo podatke u formulu i nalazimo duljinu srednjeg proporcija.)
Zadatak broj 2. Odredi duljinu dužine AB ako je prosječna proporcija dužina AB i CD 90 cm i CD = 100 cm.
- Što je zadano u zadatku? (duljina odsječka CD = 100 cm, a prosječna proporcija odsječaka AB i CD je 90 cm)
Što bi trebalo pronaći u problemu? ( Duljina segmenta AB)
- Kako ćemo riješiti problem? (Zapišimo formulu za prosječne proporcionalne odsječke AB i CD, iz nje izrazimo duljinu AB i zamijenimo podatke zadatka.)
VI. ZAKLJUČAK
- Bravo dečki. A sada se vratimo na sličnost trokuta koju smo dokazali u teoremu. Ponovite teorem. ( Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta dijeli trokut na dva sličan pravokutni trokuti, od kojih je svaki sličan zadanom)
- Iskoristimo prvo sličnost trokuta i . Što iz ovoga slijedi? ( Prema definiciji sličnosti, stranice su proporcionalne sličnim stranicama)
- Koja će se jednakost dobiti korištenjem osnovnog svojstva proporcije? ()
– Express CD i izvući zaključak (
;
.
Zaključak: visina pravokutnog trokuta, izvučena iz vrha pravog kuta, prosječna je proporcija između segmenata na koje je hipotenuza podijeljena ovom visinom)
- A sada sami dokažite da je kateta pravokutnog trokuta prosječna proporcija između hipotenuze i segmenta hipotenuze koji je zatvoren između katete i visine. Nalazimo iz - ... segmente na koje je hipotenuza podijeljena ovu visinu )
Krak pravokutnog trokuta je srednji proporcional između ... (- ... hipotenuza i isječak hipotenuze koji se nalazi između te katete i visine )
– Gdje primjenjujemo naučene tvrdnje? ( Prilikom rješavanja problema)
IX. POSTAVLJANJE DOMAĆE ZADAĆE
d/z: br. 571, br. 572 (a, e), samostalan rad u bilježnici, teorija.
Lekcija 40 C. b. a. h. C. pr. Kr. H. ak. A. V. Visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, dijeli trokut na 2 slična pravokutna trokuta, od kojih je svaki sličan danom trokutu. Znak sličnosti pravokutnog trokuta. Dva pravokutna trokuta su slična ako svaki ima isti šiljasti kut. Odsječak XY naziva se srednja proporcionalna (geometrijska sredina) za odsječke AB i CD ako vrijedi svojstvo 1. Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta je srednja proporcionalna između projekcija kateta na hipotenuzu. Svojstvo 2. Krak pravokutnog trokuta je srednji proporcional između hipotenuze i projekcije tog kraka na hipotenuzu.
Slajd 28 iz prezentacije "Geometrija "Slični trokuti"". Veličina arhive s prezentacijom je 232 KB.Geometrija 8. razred
Sažetak druge prezentacije"Rješenje zadataka o Pitagorinom poučku" - Trokut ABC jednakokračan. Praktična upotreba Pitagorini teoremi. ABCD je četverokut. Kvadratna površina. Pronađite sunce. Dokaz. Osnovice jednakokračnog trapeza. Razmotrimo Pitagorin teorem. Površina četverokuta. Pravokutni trokuti. Pitagorin poučak. Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrati nogu.
"Pronalaženje površine paralelograma" - temelj. Visina. Određivanje visine paralelograma. Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta. Površina paralelograma. Pronađite površinu trokuta. Svojstva područja. oralne vježbe. Pronađite površinu paralelograma. Visine paralelograma. Nađi opseg kvadrata. Površina trokuta. Pronađite površinu kvadrata. Pronađite površinu pravokutnika. Kvadratna površina.
“Kvadrat 8. razred” - Crni kvadrat. Zadaci za usmeni rad oko oboda kvadrata. Kvadratna površina. Četvrtasti znakovi. Trg je među nama. Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice jednake. Kvadrat. Torba s kvadratnom bazom. usmene zadatke. Koliko je kvadrata prikazano na slici. Kvadratna svojstva. Bogati trgovac. Zadaci za usmeni rad na površini kvadrata. Opseg kvadrata.
"Definicija osne simetrije" - Točke koje leže na istoj okomici. Nacrtajte dvije crte. Izgradnja. Točke parcele. Trag. Brojke koje nemaju osna simetrija. Segment linije. Nedostaju koordinate. Lik. Oblici koji imaju više od dvije osi simetrije. Simetrija. Simetrija u poeziji. Gradite trokute. Osi simetrije. Izgradnja segmenta. Izgradnja točke. Likovi s dvije osi simetrije. Narodi. Trokuti. Proporcionalnost.
"Definiranje sličnih trokuta" - Poligoni. proporcionalni rezovi. Omjer površina sličnih trokuta. Dva se trokuta nazivaju sličnima. Pojmovi. Konstruirajte trokut s dva kuta i simetralom u vrhu. Pretpostavimo da trebamo odrediti udaljenost do pola. Treći znak sličnosti trokuta. Sagradimo trokut. ABC. Trokuti ABC i ABC imaju tri jednake stranice. Određivanje visine objekta.
„Rješenje Pitagorinog poučka“ – Dijelovi prozora. Najjednostavniji dokaz. Hamurabi. Dijagonalno. Potpuni dokaz. Dokaz oduzimanjem. pitagorejci. Dokaz metodom dekompozicije. Povijest teorema. Promjer. Dokaz metodom komplementa. Epsteinov dokaz. Cantor. Trokuti. sljedbenici. Primjene Pitagorine teoreme. Pitagorin poučak. Izjava teorema. Dokaz Perigala. Primjena teorema.
