Sustav nejednakosti Uobičajeno je nazvati bilo koji skup od dvije ili više nejednakosti koje sadrže nepoznatu količinu.
Ova formulacija je jasno ilustrirana, na primjer, takvim sustavi nejednakosti:
Riješite sustav nejednadžbi - znači pronaći sve vrijednosti nepoznate varijable za koje se ostvaruje svaka nejednakost sustava ili dokazati da takve ne postoje .
Dakle, za svakog pojedinca nejednakosti sustava izračunajte nepoznatu varijablu. Nadalje, iz dobivenih vrijednosti odabire samo one koje vrijede i za prvu i za drugu nejednakost. Stoga pri zamjeni odabrane vrijednosti obje nejednakosti sustava postaju točne.
Analizirajmo rješenje nekoliko nejednakosti:
Stavite jedan ispod drugog para brojevnih pravaca; stavite vrijednost na vrh x, pod kojom vrijedi prva nejednakost o ( x> 1) postaju istinite, a na dnu vrijednost x, koje su rješenje druge nejednadžbe ( x> 4).
Usporedbom podataka o brojevne crte, imajte na umu da je rješenje za oboje nejednakosti bit će x> 4. Odgovor, x> 4.
Primjer 2
Izračunavanje prvog nejednakost dobijemo -3 x< -6, или x> 2, drugi - x> -8, ili x < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения x, pod kojim je prvi nejednakost sustava, a na donjem brojevnom pravcu sve te vrijednosti x, pod kojom se ostvaruje druga nejednakost sustava.
Uspoređujući podatke nalazimo da oboje nejednakosti implementirati će se za sve vrijednosti x postavljeni od 2 do 8. Skupovi vrijednosti x označiti dvostruka nejednakost 2 < x< 8.
Primjer 3 Nađimo
U ovoj lekciji ćemo započeti proučavanje sustava nejednakosti. Prvo ćemo razmotriti sustave linearnih nejednadžbi. Na početku lekcije razmotrit ćemo gdje i zašto nastaju sustavi nejednakosti. Zatim ćemo proučiti što znači riješiti sustav i sjetiti se unije i presjeka skupova. Na kraju ćemo riješiti konkretne primjere za sustave linearnih nejednadžbi.
Tema: dijetarealne nejednakosti i njihovi sustavi
Lekcija:Glavnipojmovi, rješavanje sustava linearnih nejednadžbi
Do sada smo rješavali pojedinačne nejednadžbe i na njih primijenili metodu intervala, to bi moglo biti linearne nejednakosti, i kvadrat i racionalan. Sada prijeđimo na rješavanje sustava nejednadžbi – prvo linearni sustavi. Pogledajmo primjer odakle dolazi potreba za razmatranjem sustava nejednakosti.
Pronađite opseg funkcije
Pronađite opseg funkcije
Funkcija postoji kada postoje oba kvadratna korijena, tj.
Kako riješiti takav sustav? Potrebno je pronaći sve x koji zadovoljavaju i prvu i drugu nejednadžbu.
Nacrtajte na os x skup rješenja prve i druge nejednadžbe.
Interval presjeka dviju zraka je naše rješenje.
Ova metoda predstavljanja rješenja sustava nejednadžbi ponekad se naziva krovna metoda.
Rješenje sustava je presjek dva skupa.
Predstavimo ovo grafički. Imamo skup A proizvoljne prirode i skup B proizvoljne prirode koji se sijeku.
Definicija: Sjecište dva skupa A i B je treći skup koji se sastoji od svih elemenata uključenih u A i B.
Razmotrite na konkretnim primjerima rješavanja linearnih sustava nejednadžbi kako pronaći sjecišta skupova rješenja pojedinačnih nejednadžbi uključenih u sustav.
Riješite sustav nejednadžbi:
Odgovor: (7; 10].
4. Riješite sustav 
Odakle može doći druga nejednakost sustava? Na primjer, iz nejednakosti
Rješenja svake nejednadžbe grafički označimo i nađemo interval njihova sjecišta.
Dakle, ako imamo sustav u kojem jedna od nejednakosti zadovoljava bilo koju vrijednost x, tada se može eliminirati.
Odgovor: sustav je nedosljedan.
Razmotrili smo tipične probleme potpore na koje se svodi rješenje bilo kojeg linearnog sustava nejednadžbi.
Razmotrite sljedeći sustav.
7. 
Ponekad je linearni sustav dan dvostrukom nejednakošću; razmotrite ovaj slučaj.
8. 
Razmatrali smo sustave linearnih nejednadžbi, razumjeli odakle dolaze, razmatrali tipične sustave na koje se svode svi linearni sustavi i neke od njih riješili.
1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zbornik. Za opće obrazovanje Institucije - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.
2. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Radna knjiga za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i drugi - 4. izd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.
3. Yu.N. Makarychev, Algebra. 9. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja. institucije / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. izdanje, vlč. i dodatni - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. razred 16. izd. - M., 2011. - 287 str.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati 1. dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. izd., izbrisano. — M.: 2010. — 224 str.: ilustr.
6. Algebra. 9. razred Na 2 sata Dio 2. Knjiga zadataka za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i drugi; ur. A. G. Mordkovich. - 12. izdanje, vlč. — M.: 2010.-223 str.: ilustr.
1. Portal prirodnih znanosti ().
2. Elektronički obrazovni i metodološki kompleks za pripremu razreda 10-11 za prijemni ispiti iz informatike, matematike, ruskog jezika ().
4. Obrazovni centar "Tehnologija obrazovanja" ().
5. College.ru odjeljak o matematici ().
1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra, 9. razred: Zadatnica za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. broj 53; 54; 56; 57.
Program za rješavanje linearnih, kvadratnih i frakcijskih nejednadžbi ne daje samo odgovor na problem, on vodi detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješavanja u svrhu provjere znanja iz matematike i/ili algebre.
Štoviše, ako je u procesu rješavanja jedne od nejednadžbi potrebno riješiti npr. kvadratna jednadžba, zatim se prikazuje i njegovo detaljno rješenje (uključeno je u spojler).
Ovaj program može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za kontrolni rad, roditeljima da kontroliraju rješavanje nejednakosti od strane svoje djece.
Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.
Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.
Pravila za unos nejednakosti
Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.
Brojevi se mogu unijeti kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, razlomački brojevi može se unijeti ne samo kao decimalni, već i kao obični razlomak.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak od cijelog broja može biti odvojen točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale dakle: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Nazivnik ne može biti negativan.
Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
cijeli dio odvojen od razlomka znakom &: &
Unos: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Prilikom unosa izraza mogu se koristiti zagrade. U tom slučaju, kod rješavanja nejednadžbe, izrazi se prvo pojednostavljuju.
Na primjer: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Odaberite željeni znak nejednakosti i unesite polinome u donja polja.
Riješite sustav nejednadžbi Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.
Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sekund...
Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Sustavi nejednakosti s jednom nepoznanicom. Numerički rasponi
S pojmom sustava upoznali ste se u 7. razredu i naučili rješavati sustave linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Zatim će se razmatrati sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom. Skupovi rješenja sustava nejednadžbi mogu se pisati pomoću intervala (intervala, poluintervala, odsječaka, zraka). Također ćete naučiti o zapisu numeričkih intervala.
Ako je u nejednadžbama \(4x > 2000 \) i \(5x \leq 4000 \) nepoznati broj x isti, tada se te nejednadžbe razmatraju zajedno i kaže se da tvore sustav nejednakosti: $$ \lijevo\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Vitičasta zagrada pokazuje da trebate pronaći takve vrijednosti x za koje se obje nejednakosti sustava pretvaraju u prave numeričke nejednakosti. Ovaj sustav je primjer sustava linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom.
Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom je vrijednost nepoznanice pri kojoj sve nejednadžbe sustava prelaze u prave brojčane nejednadžbe. Riješiti sustav nejednadžbi znači pronaći sva rješenja tog sustava ili utvrditi da ih nema.
Nejednadžbe \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) mogu se napisati kao dvostruka nejednadžba: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Rješenja sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom su različiti numerički skupovi. Ovi skupovi imaju imena. Dakle, na realnoj osi, skup brojeva x tako da je \(-2 \leq x \leq 3 \) predstavljen je segmentom s krajevima u točkama -2 i 3.
| -2 | 3 |
Ako je \(a segment i označen je s [a; b]
Ako je \(interval i označen s (a; b)
Skupovi brojeva \(x \) koji zadovoljavaju nejednakosti \(a \leq x po poluintervalima i označeni su s [a; b) odnosno (a; b]
Odsječci, intervali, poluintervali i zrake nazivaju se numerički intervali.
Na ovaj način, brojčane praznine mogu se dati u obliku nejednakosti.
Rješenje nejednadžbe s dvije nepoznanice je par brojeva (x; y) koji ovu nejednadžbu pretvara u pravu numeričku nejednadžbu. Riješiti nejednadžbu znači pronaći skup svih njezinih rješenja. Dakle, rješenja nejednadžbe x > y bit će, na primjer, parovi brojeva (5; 3), (-1; -1), budući da \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)
Rješavanje sustava nejednadžbi
Već ste naučili kako riješiti linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom. Znati što su sustav nejednadžbi i rješenje sustava. Stoga vam postupak rješavanja sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom neće predstavljati nikakve poteškoće.
Pa ipak, podsjećamo: da biste riješili sustav nejednadžbi, morate riješiti svaku nejednadžbu zasebno, a zatim pronaći presjek tih rješenja.
Na primjer, izvorni sustav nejednakosti reduciran je na oblik:
$$ \lijevo\(\begin(niz)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(niz)\desno. $$
Da bismo riješili ovaj sustav nejednadžbi, označimo rješenje svake nejednadžbe na realnoj osi i pronađemo njihovo sjecište:
| -2 | 3 |
Sjecište je segment [-2; 3] - ovo je rješenje izvornog sustava nejednadžbi.
LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNAČBE I
§ 23 Sustavi linearnih nejednadžbi
Sustav linearnih nejednadžbi je bilo koji skup dviju ili više linearnih nejednadžbi koje sadrže istu nepoznatu veličinu.
Primjeri takvih sustava su:
Riješiti sustav nejednadžbi znači pronaći sve vrijednosti nepoznate veličine za koje je svaka nejednadžba sustava zadovoljena.
Riješimo gornje sustave.
Postavimo dva brojevna pravca jedan ispod drugog (slika 31); na gornjoj noti te vrijednosti x , pod kojom vrijedi prva nejednakost ( x > 1), a na dnu - te vrijednosti x , pod kojim je zadovoljena druga nejednakost ( x > 4).
Uspoređujući rezultate na brojevnim pravcima, primjećujemo da će obje nejednakosti biti istovremeno zadovoljene za x > 4. Odgovor, x > 4.
Prva nejednakost daje -3 x < -б, или x > 2, a drugi - x > -8, ili x < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения x , pod kojom je zadovoljena prva nejednakost sustava, a na drugom realnom pravcu, koji se nalazi ispod prvog, sve te vrijednosti x , za koju je zadovoljena druga nejednakost sustava (slika 32).
Usporedba ova dva rezultata pokazuje da će obje nejednakosti istovremeno vrijediti za sve vrijednosti x , zaključeno od 2 do 8. Skup takvih vrijednosti x piše se kao dvostruka nejednadžba 2< x < 8.
Primjer 3. Riješite sustav nejednadžbi
Prva nejednakost sustava daje 5 x < 10, или x < 2, второе x > 4. Dakle, bilo koji broj koji istovremeno zadovoljava obje nejednakosti ne smije biti veći od 2 niti veći od 4 (slika 33).
Ali takvih brojeva nema. Stoga ovaj sustav nejednakosti nije zadovoljen ni za jednu vrijednost x . Takvi sustavi nejednakosti nazivaju se nekonzistentni.
Vježbe
Riješite ove sustave nejednadžbi (br. 179 -184):
Riješite nejednadžbe (br. 185, 186):
185. (2x + 3) (2 - 2x ) > 0. 186. (2 - π ) (2x - 15) (x + 4) > 0.
Pronađite važeće vrijednosti slova uključenih u podatke jednakosti (br. 187, 188):
Riješite nejednadžbe (br. 189, 190):
189. 1 < 2x - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Oh < 5.
191. Kolika treba biti temperatura 10 litara vode da se, kad se pomiješa sa 6 litara vode temperature 15°, dobije voda temperature najmanje 30°, a ne više od 40°?
192. Jedna stranica trokuta je 4 cm, a zbroj druge dvije 10 cm.Odredi te stranice ako su izražene cijelim brojevima.
193. Poznato je da sustav dviju linearnih nejednadžbi nije zadovoljen ni za jednu vrijednost nepoznate veličine. Može li se reći da pojedine nejednakosti ovog sustava nisu zadovoljene ni za jednu vrijednost nepoznate veličine?
Definicija 1 . skup točaka u prostoru R n čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu a 1 x 1 + a 2 x 2 +…+ a n x n = b, Zove se ( n - 1 )-dimenzionalna hiperravnina u n-dimenzionalni prostor.
Teorem 1. Hiperravnina dijeli sav prostor na dva poluprostora. Poluprostor je konveksan skup.
Sjecište konačnog broja poluprostora je konveksan skup.
Teorem 2 . Rješavanje linearne nejednadžbe s n nepoznato
a 1 x 1 + a 2 x 2 +…+ a n x n b
je jedan od poluprostora na koje je cijeli prostor podijeljen hiperravninom
a 1 x 1 + a 2 x 2 +…+a n x n= b.
Razmotrimo sustav iz m linearne nejednakosti sa n nepoznato.
Rješenje svake nejednadžbe sustava je određeni poluprostor. Rješenje sustava bit će presjek svih poluprostora. Ovaj skup će biti zatvoren i konveksan.
Rješavanje sustava linearnih nejednadžbi
s dvije varijable
Neka je dan sustav m linearne nejednakosti u dvije varijable.
Rješenje svake nejednadžbe bit će jedna od poluravnina na koju je cijela ravnina podijeljena odgovarajućim pravcem. Rješenje sustava bit će presjek tih poluravnina. Ovaj problem se može riješiti grafički na ravnini x 1 0 x 2 .
37. Prikaz konveksnog poliedra
Definicija 1. Zatvoreno konveksan ograničen skup R n koji ima konačan broj kutne točke, naziva se konveksnim n-dimenzionalni poliedar.
Definicija 2 . Zatvoreni konveksni neograničeni skup R n, koji ima konačan broj kutnih točaka, naziva se konveksna poliedarska regija.
Definicija 3 . Mnogo ALIR n se naziva ograničenim ako postoji n-dimenzionalna lopta koja sadrži ovaj skup.
Definicija 4. Konveksna linearna kombinacija točaka je izraz gdje t i , .
Teorema (teorem reprezentacije za konveksni poliedar). Bilo koja točka konveksnog poliedra može se prikazati kao konveksna linearna kombinacija njegovih kutnih točaka.
38. Područje dopuštenih rješenja sustava jednadžbi i nejednadžbi.
Neka je dan sustav m linearne jednadžbe i nejednadžbe sa n nepoznato.
Definicija 1 . Točka R n se naziva mogućim rješenjem sustava ako njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbe i nejednadžbe sustava. Ukupnost svega moguća rješenja naziva se domena mogućih rješenja (ROA) sustava.
Definicija 2. Moguće rješenje čije koordinate nisu negativne nazivamo dopustivim rješenjem sustava. Skup svih dopuštenih rješenja naziva se područje dopuštenih rješenja (DDR) sustava.
Teorem 1 . ODE je zatvoreni, konveksni, ograničeni (ili neograničeni) podskup u R n.
Teorem 2. Dopušteno rješenje sustava je referentno ako i samo ako je ta točka kutna točka ODS-a.
Teorem 3 (teorem o reprezentaciji ODT). Ako je ODE ograničen skup, tada se svako dopustivo rješenje može prikazati kao konveksna linearna kombinacija kutnih točaka ODE (u obliku konveksne linearne kombinacije rješenja nosača sustava).
Teorem 4 (teorem o postojanju potpornog rješenja sustava). Ako sustav ima barem jedno dopušteno rješenje (ODR), tada među dopuštenim rješenjima postoji barem jedno referentno rješenje.
