Периметърът на трапец, ако площта е известна. Как да намерите периметъра на правоъгълен трапец

Трапецът е четириъгълник с две успоредни базии неуспоредни страни. Правоъгълният трапец има прав ъгъл с едната страна.

Инструкция

1. Периметърправоъгълен трапец е равно на суматадължините на страните на 2 основи и 2 страни. Задача 1. Намерете обиколката на правоъгълник трапец, ако са известни дължините на всичките му страни. За да направите това, добавете всичките четири стойности: P (периметър) = a + b + c + d. Това е най-примитивната версия за намиране на периметъра, задачите с други първоначални данни, в крайния изход, се свеждат до него. Нека разгледаме вариантите.

2. Задача 2. Намерете обиколката на правоъгълник трапец, ако долната основа AD = a е известна, страничната страна, която не е перпендикулярна на нея, е CD = d, а ъгълът при тази странична страна ADC е Alpha. Решение. Начертайте височината трапецот върха C към по-голяма основа, получаваме сегмента CE, трапецът е разделен на две фигури - правоъгълника ABCE и правоъгълния триъгълник ECD. Хипотенузата на триъгълник е страничната страна, която познаваме трапец CD, единият катет е равен на перпендикулярната страна трапец(според правилото на правоъгълника две успоредни страни са равни - AB \u003d CE), а другата е сегмент, чиято дължина е равна на разликата на основите трапец ED=AD-BC.

3. Намерете краката на триъгълника: като използвате формулите CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC). Сега изчислете горната основа - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d * cos (Алфа) Намерете дължината на перпендикулярната страна - AB \u003d CE \u003d d * sin (Алфа) Оказва се, че сте получили дължините на всички страни на правоъгълника трапец .

4. Добавете получените стойности, това ще бъде периметърът на правоъгълник трапец😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Алфа) + (a - d*cos(Алфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Алфа) - cos(Алфа) + 1 ).

5. Задача 3. Намерете обиколката на правоъгълник трапец, ако знаем дължините на неговите основи AD = a, BC = c, дължината на перпендикулярната странична страна AB = b и остър ъгълс различна страна ADC = Alpha. Решение. Начертайте перпендикуляр CE, вземете правоъгълник ABCE и триъгълник CED. Сега намерете дължината на хипотенузата на триъгълника CD = AB / sin (ADC) = b / sin (Alpha). Оказва се, че имате дължините на всички страни.

6. Съберете получените стойности: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

Всеки от нас научи какво е периметър в началните класове. намирането на страните на квадрат с известен периметър от проблеми обикновено не се появява дори за тези, които са завършили училище преди много време и са успели да забравят курса по математика. Въпреки това, не всеки може да реши подобна задача по отношение на правоъгълник или правоъгълен триъгълник без подсказка.

Инструкция

1. Как се решава задача по геометрия, в условието на която са дадени само периметър и ъгли? Разбира се, ако говорим за остър триъгълник или многоъгълник, тогава е нереалистично да се реши такъв проблем, без да се знае дължината на една от страните. Ако обаче говорим за правоъгълен триъгълник или правоъгълник, тогава по даден периметър е възможно да се открият неговите страни. Правоъгълникът има дължинаи ширина. Ако начертаем диагонал на правоъгълник, можем да открием, че той разделя правоъгълника на две правоъгълен триъгълник. Диагоналът е хипотенузата, а дължината и ширината са катетите на тези триъгълници. За квадрат, който е специален случай на правоъгълник, диагоналът е хипотенузата на правоъгълен равнобедрен триъгълник.

2. Представете си, че има правоъгълен триъгълник със страни a, b и c, в който един от ъглите е 30, а вторият е 60. Фигурата показва, че a = c*sin?, и b = c*cos?. Знаейки, че периметърът на всяка фигура, включително триъгълник, е равен на сбора от всичките му страни, получаваме: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p за триъгълник. Защото ъгълът? = 30, след реформиране получаваме: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. Както бе споменато по-горе, диагоналът на правоъгълника го разделя на два правоъгълни триъгълника с ъгли от 30 и 60 градуса. Тъй като периметърът на правоъгълника е p=2(a + b), ширинаа и дължина b правоъгълници могат да бъдат открити въз основа на факта, че диагоналът е хипотенузата на правоъгълни триъгълници: a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Тези две уравнения се изразяват чрез периметъра на правоъгълника. Дължината и ширината на този правоъгълник се изчисляват от тях, като се вземат предвид получените ъгли при чертане на неговия диагонал.

Подобни видеа

Забележка!
Как да се намери дължината на правоъгълник, ако са известни периметърът и ширината? Извадете два пъти ширината от периметъра, за да получите два пъти дължината. След това го разделяме наполовина, за да намерим дължината.

Полезни съвети
Дори от първоначалното училище мнозина помнят как да намерят периметъра на всяка геометрична фигура: достатъчно е да разберете дължината на всичките му страни и да намерите тяхната сума. Известно е, че в такава фигура като правоъгълник дължините на страните са равни по двойки. Ако ширината и височината на правоъгълник са с еднаква дължина, тогава той се нарича квадрат. Обикновено дължината на правоъгълника се нарича най-голямата от страните, а ширината е най-малката.

Периметър(P) - сумата от дължините на всички страни на фигурата, а четириъгълникът има четири от тях. Това означава, че за да се намери периметърът на четириъгълник, е необходимо лесно да се съберат дължините на всичките му страни. Но ние знаем такива фигури като правоъгълник, квадрат, ромб, тоест положителни четириъгълници. Техните периметри се определят по специални методи.

Инструкция

1. Ако тази фигура е правоъгълник (или успоредник) ABCD, тогава тя има следните свойства: успоредните страни са равни по двойки (виж фигурата). AB = SD и AC = VD. Познавайки такова съотношение на страните на тази фигура, е възможно да се извлече периметърът правоъгълник(и паралелограм): P \u003d AB + SD + AC + VD. Нека някои страни са равни на числото a, другата на числото b, тогава P \u003d a + a + b + b = 2 * a \u003d 2 * b = 2 * (a + c). Пример 1. В правоъгълник ABCD страните са AB = CD = 7 см и AC = VD = 3 см. Намерете обиколката на такъв правоъгълник. Решение: P \u003d 2 * (a + c). P \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 см.

2. Когато решавате задачи за сумата от дължините на страните на фигура, наречена квадрат или ромб, трябва да използвате леко модифицирана формула за периметър. Квадрат и ромб са фигури, които имат еднакви четири страни. Въз основа на дефиницията на периметъра, P \u003d AB + SD + AC + VD и позволявайки дължината да бъде обозначена с буквата a, тогава P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a. Пример 2. Дължината на страната на ромб е 2 см. Намерете периметъра му. Решение: 4*2 см = 8 см.

3. Ако даденият четириъгълник е трапец, то в този случай е лесно да се съберат дължините на четирите му страни. P \u003d AB + SD + AC + VD. Пример 3. Намерете периметъра на трапеца ABCD, ако страните му са равни: AB = 1 см, SD = 3 см, AC = 4 см, ID = 2 см. Решение: P = AB + CD + AC + ID = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Може да се случи, че трапецът е равностранен (има две равни страни), тогава неговият периметър може да бъде намален до формулата: P \u003d AB + SD + AC + VD \ u003d a + b + a + c \u003d 2 * a + c + c. Пример 4. Намерете периметъра на равнобедрен трапец, ако неговите странични стени са 4 см, а основите са 2 см и 6 см. Решение: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 cm + 2 cm + 6 см \u003d 16 см.

Подобни видеа

Полезни съвети
Никой не си прави труда да намери периметъра на четириъгълник (и всяка друга фигура) като сбор от дължините на страните, без да прилага получените формули. Те са дадени за удобство и лекота на изчисление. Методът на решение не е грешка, важни са правилният резултат и умението да се използва математическа терминология.

Съвет 4: Как да намерите основите на правоъгълен трапец

Математическа фигура с четири ъгъла се нарича трапец, ако една двойка противоположни страни е успоредна, а другата двойка не е. Паралелни страни се наричат основания трапец, другите две са странични. В правоъгълен трапецедин от ъглите на страничната страна е прав.

Инструкция

1. Задача 1. Намерете основите BC и AD на правоъгълник трапец, ако знаем дължината на диагонала AC = f; дължината на страничната страна CD = c и ъгълът с нея ADC = ?.. Решение: Погледнете правоъгълния триъгълник CED. Хипотенузата c и ъгълът между хипотенузата и крака EDC са известни. Намерете дължините на страните CE и ED: като използвате формулата за ъгъл CE = CD*sin(ADC); ED=CD*cos(ADC). Оказва се: CE = c*sin?; ED=c*cos?.

2. Да разгледаме правоъгълния триъгълник ACE. Знаете хипотенузата AC и крака CE, намерете страната AE според правилото на правоъгълен триъгълник: сумата от квадратите на краката е равна на квадрата на хипотенузата. Оказва се: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sin?. Изчисли Корен квадратенот дясната страна на равенството. Намерихте горната основа на правоъгълника трапец .

3. Дължината на основата AD е сумата от дължините на 2-те отсечки AE и ED. AE = корен квадратен (f(2) - c*sin?); ED = c*cos?). Оказва се, че AD = квадратен корен(f(2) - c*sin?) + c*cos?. Намерихте ли долната основа на правоъгълника трапец .

4. Задача 2. Намерете основите BC и AD на правоъгълник трапец, ако знаем дължината на диагонала BD = f; дължината на страничната страна CD = c и ъгълът с нея ADC = ?.. Решение: Погледнете правоъгълния триъгълник CED. Намерете дължините на страните CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. Да разгледаме правоъгълника ABCE. Според свойството на правоъгълника AB = CE = c*sin?.Погледнете правоъгълния триъгълник ABD. Според свойството на правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите. Следователно AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sin? Намерихте долната основа на правоъгълника трапец AD = корен квадратен (f(2) - c*sin?).

6. По правилото на правоъгълника BC = AE = AD - ED = квадратен корен(f(2) - c*sin?) - c*cos?. Намерихте ли горната основа на правоъгълника трапец .

Трапецът е четириъгълник с две успоредни и две неуспоредни страни. За да изчислите неговия периметър, трябва да знаете размерите на всички страни на трапеца. В този случай данните в задачите може да са различни.

Ще имаш нужда

  • - калкулатор;
  • - таблици на синуси, косинуси и тангенси;
  • - хартия;
  • - принадлежности за рисуване.

Инструкция

1. Най-примитивният вариант на задачата е, когато са дадени всички страни на трапец. В този случай те трябва лесно да се сгъват. Разрешено е използването на следната формула: p=a+b+c+d, където p е периметърът, а буквите a, b, c и d означават страните срещу ъглите, обозначени със съответните главни букви.

2. Има равнобедрен трапец, достатъчно е да сгънете двете му основи и да добавите към тях два пъти размера на страната. Тоест периметърът в този случай се изчислява по формулата: p \u003d a + c + 2b, където b е страната на трапеца, а и c са основите.

3. Изчисленията ще бъдат малко по-дълги, ако трябва да се изчисли една от страните. Да кажем, че знаем дългата основа, прилежащите към нея ъгли и височината. Трябва да изчислите късата основа и страна. За да направите това, начертайте трапец ABCD, нарисувайте височина BE от горния ъгъл B. Ще получите триъгълник ABE. Даден ви е ъгъл А, съответно знаете неговия синус. Данните за задачата съдържат и височината BE, която в същото време е катет на правоъгълен триъгълник срещу познатия ви ъгъл. За да се намери хипотенузата AB, която същевременно е и страната на трапеца, е достатъчно да разделим BE на sinA. Правилно намерете и дължината на втората страна. За да направите това, трябва да начертаете височина от различен горен ъгъл, тоест CF. Сега знаете по-голямата основа и страни. За да изчислите периметъра, това не е много, имате нужда и от размера на по-малка основа. Съответно, в 2 триъгълника, образувани вътре в трапеца, е необходимо да се намерят размерите на сегментите AE и DF. Това може да се направи, да речем, чрез косинусите на известните ви ъгли A и D. Косинусът е отношението на съседния катет към хипотенузата. За да намерите крака, е необходимо да умножите хипотенузата по косинуса. След това изчислете периметъра, като използвате същата формула, както в първата стъпка, тоест като съберете всички страни.

4. Друг вариант: дадени две основи, височина и една от страните, трябва да намерите втората страна. Също така е по-добре да го направите с тригонометрични функции. За да направите това, нарисувайте трапец. Възможно е, знаете основите AD и BC, както и страната AB и височината BF. От тези данни можете да намерите ъгъл A (през синуса, т.е. съотношението на височината към известната страна), сегмент AF (през косинуса или тангенса, от факта, че ъгълът е по-познат за вас. Спомнете си също свойствата на ъглите на трапец - сумата от ъглите, съседни на едната страна, е 180°. Начертайте височина CF. Имате друг правоъгълен триъгълник, в който трябва да намерите хипотенузата CD и катета DF. Започнете с Извадете от дължината на долната основа дължината на горната и от получената сума - дължината на сегмента, който ви е по-познат AF Сега в правоъгълен триъгълник CFD знаете два крака, че е, можете да намерите тангенса на ъгъл D и от него самия ъгъл. По-късно остава да изчислим страната CD през синуса на същия ъгъл, както е описано по-горе.

Подобни видеа

Каквито и проблеми да решаваме, въображението на съставителите на учебници по математика е наистина неизчерпаемо. Например, как да намерите периметъра на трапец? Първо, нека разберем какво е трапец. Не се страхувайте от тази фигура. Това е просто правоъгълник, в който две страни винаги са успоредни една на друга и се наричат ​​основи, а останалите се наричат ​​страни и могат да бъдат различни. Ако страните на трапец са равни, тогава той се нарича равнобедрен. Съществува и концепцията за правоъгълен трапец, при който една от страните е свързана с основата на трапеца под прав ъгъл.

Как да намерите периметъра на трапец

Какво е периметър? Периметърът е сумата от дължините на всички страни на правоъгълника, към който трапецът също е пряко свързан. Всички други задачи, при които някои количества са неизвестни, също се свеждат до сумиране на страните, след като всички неизвестни са намерени.

Ами ако всички страни са равни? Ако ви бъде дадена задача за решаване, където са дадени всички страни на трапеца a b c d, тогава те просто трябва да се съберат заедно, резултатът ще бъде периметърът. Периметър на правоъгълен трапец. Да предположим, че ни е даден правоъгълен трапец, където знаем долната основа AD=a, неперпендикулярната страна CD=d и ъгъла Alpha.

Как да решим? Начертаваме височина от върха C, която непосредствено разделя нашия трапец на правоъгълник ABCE и триъгълник ECD. Имаме този правоъгълен триъгълник, знаем хипотенузата му CD, която е равна на d. Сега намираме катетите на триъгълника по формулата CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC). Сега знаем почти всичко. BC \u003d AD-ED и съответно страната AB е равна на крака CE, открит по-рано. Сега остава само да се съберат всички намерени страни и отговорът е готов.

Периметър на равнобедрен трапец

  1. Страничните страни и средната линия са известни. Как да намерите периметъра на равнобедрен трапец, ако знаете само страните равни страни AB и CD и средна линия EF? Известно е, че средната линия на трапец е успоредна на основите и също е равна на половината от сбора на тези основи. И за да намерим дължината на основите, трябва само да удвоим дължината средна линия. Въз основа на тези данни решението е: Р=2EF+2AB
  2. Базите и височините са известни. В задачата могат да се знаят само дължините на основите и височината на трапеца. Височината образува правоъгълен триъгълник и има две равни. Подбедрицата е много проста: (AD-BC) / 2. Сега знаем и двата крака, остава само да намерим хипотенузата чрез прилагане на Питагоровата теорема. Нашата хипотенуза е равна на корена от сбора на квадратите на катетите.
  3. И така, намерихме страната на трапеца, имаме две от тях и те са равни, знаем основите от самото начало, така че сега просто трябва да съберем всичко и ще получим желания периметър. По този начин намирането на периметъра на трапец е доста лесно. Основното и първостепенно в този въпрос е да знаете неговите свойства и тогава никога няма да имате проблеми с решаването на проблеми на трапец. Ето защо, преди да се заемете с изчисленията, малко теория няма да навреди.

Инструкция

Ако са известни дължините на двете основи (a и b) и дължината на страничната страна (c), тогава периметърът (P) на тази геометрична фигура се изчислява много лесно. Тъй като трапецът е равнобедрен, страните му имат еднаква дължина и за да знаете дължините на всички страни - просто ги съберете: P = a + b + 2 * c.

Ако дължините на двете основи са неизвестни, но са дадени дължината на линията (l) и страната (c), тогава тези данни са достатъчни за изчисляване на периметъра (P). Средната линия е успоредна на двете основи и равна по дължина на тяхната полусума. Удвоете това и добавете към него и два пъти дължината на страната - това ще бъде периметърът на равнобедрения трапец: P = 2*l+2*c.

Ако от условията на задачата са известни дължините на двете основи (a и b) и височината (h) на равнобедрен трапец, тогава от тези данни е възможно да се възстанови дължината на липсващата страна. Това може да стане, като разгледаме триъгълник, в който хипотенузата е неизвестната страна, а катетите са височината и късата отсечка, която тя отрязва от дългата основа на трапеца. Дължината на този сегмент може да се изчисли, като се раздели наполовина разликата между дължините на по-голямата и по-малката основа: (a-b) / 2. Дължината на хипотенузата (страничната страна на трапеца), според Питагоровата теорема, ще бъде равна на квадратния корен от сумата на двата известни крака, повдигнати до дължините. Заменете дължината на страната във формулата от първата стъпка с получения израз и ще получите следната формула за периметър: P \u003d a + b + 2 * √ (h² + (a-b)² / 4).

Ако на задачите са дадени дължините на по-малката основа (b) и страната (c), както и височината на равнобедрения трапец (h), тогава като се има предвид същия спомагателен триъгълник, както в предишната стъпка, ще трябва да изчислете дължината на крака. Отново използвайте Питагоровата теорема - желаната стойност ще бъде равна на корена на разликата между дължината на квадрата на страната (хипотенузата) и височината (): √ (c²-h²). От тази неизвестна основа на трапец можете да възстановите дължината му – удвоете този израз и добавете дължината на късата основа към резултата: b + 2 * √ (c²-h²). Заместете този израз във формулата от първата стъпка и намерете периметъра на равнобедрен трапец: P = b+2*√(c²-h²)+b+2*c = 2*(√(c²-h²)+b+ ° С).

източници:

  • периметър на трапец

Съвет 2: Как да намерите страните на равнобедрен трапец

Трапецът е четириъгълник с две успоредни страни. Тези страни се наричат ​​основи. Техните крайни точки са свързани чрез сегменти, наречени странични страни. Равнобедреният трапец има равни страни.

Ще имаш нужда

  • - равнобедрен трапец;
  • - дължината на основите на трапеца;
  • - височината на трапеца;
  • - хартия;
  • - молив;
  • - владетел.

Инструкция

Изградете според условията на проблема. Трябва да ви бъдат дадени няколко параметъра. Като, това е и двете, и височината. Но са възможни и други условия - една от основите, наклонът й на страничната страна към нея и височината. Обозначете трапеца като ABCD, нека основите са a и b, означете височината като h, а страните като x. Тъй като трапецът е равнобедрен, страните му са равни.

От върховете B и C начертайте височини до долната основа. Обозначете точките като M и N. Получавате два правоъгълни триъгълника - AMB и CND. Те са равни, тъй като според условията на задачата техните хипотенузи AB и CD, както и катетите BM и CN са равни. Съответно сегментите AM и DN също са равни един на друг. Означете тяхната дължина като y.

За да се намери дължината на сумата от тези сегменти, е необходимо да се извади дължината на основата b от дължината на основата a. 2y=a-b. Съответно, един такъв сегмент ще бъде основи, разделени на 2. y=(a-b)/2.

Намерете дължината на страната на трапеца, която е и хипотенузата на триъгълника с катетите, които познавате. Изчислете го с помощта на Питагоровата теорема. Това ще бъде корен квадратен от сбора на квадратите на височината и разликата на основите, делено на 2. Тоест, x=√y2+h2=√(a-b)2/4+h2.

Познавайки височината и ъгъла на наклона на страната към основата, направете същите конструкции. Разликата на базите в този случай не е необходимо да се изчислява. Използвайте синусовата теорема. Хипотенузата е равна на дължината на катета, умножена по синуса на противоположния ъгъл. В този случай x=h*sinCDN или x=h*sinBAM.

Ако ви е даден ъгълът на наклона на страната на трапеца не към долната, а към горната основа, намерете желания ъгъл въз основа на успоредни линии. Припомнете си едно от свойствата на трапеца, според което ъглите между една от основите и страните са равни.

Забележка

Прегледайте свойствата на равнобедрен трапец. Ако разделим двете му основи наполовина и начертаем права през тези точки, тогава тя ще бъде оста на тази геометрична фигура.

Ако намалите височината от един връх на горната основа към долната, тогава върху последната ще се получат два сегмента. Например в този случай това са сегменти AM и DM. Едната от тях е равна на половината от сбора на основите a и b, а другата е половината от тяхната разлика.

източници:

  • в основата на равнобедрен трапец намерете страните

Съвет 3: Как да намерите средната линия на равнобедрен трапец

Трапецът се счита за четириъгълник само с две успоредни страни - те се наричат ​​основи на тази фигура. Ако в същото време дължините на другите две - странични - страни са еднакви, трапецът се нарича равнобедрен или равнобедрен. Линията, която свързва средните точки на страните, се нарича средна линия на трапеца и може да се изчисли по няколко начина.

Инструкция

Ако дължините на двете основи (A и B) са известни, за да изчислите дължината (L), използвайте свойството на този елемент на трапеца - то е равно на половината от сумата от дължините на основите: L \u003d ½ * (A + B). Например, с дължини от 10 cm и 20 cm, средната линия трябва да бъде равна на ½ * (10 + 20) = 15 cm.

Средната линия (L) заедно с височината (h) на равнобедрен трапец е фактор във формулата за изчисляване на площта (S) на тази фигура. Ако тези два параметъра са дадени в първоначалните задачи, за да изчислите дължината на средната линия, разделете площта на височината: L = S/h. Например, с площ от 75 cm², равнобедрен трапец с височина 15 cm трябва да има средна дължина 75/15 \u003d 5 cm.

С известния периметър (P) и дължината на страничната страна (C) на равнобедрен трапец също не е трудно да се изчисли средната линия (L) на фигурата. Извадете две дължини на страните от периметъра, а останалата стойност ще бъде сумата от дължините на основите - разделете я наполовина и проблемът ще бъде решен: L \u003d (P-2 * C) / 2. Например, с периметър 150 cm и дължина на страната 25 cm, дължината на средната линия трябва да бъде (150-2 * 25) / 2 = 50 cm.

Познавайки дължините на периметъра (P) и височината (h), както и стойността на един от острите ъгли (α) на равнобедрен трапец, можете също да изчислите дължината на средната му линия (L). В триъгълник, съставен от височина, страна и част от основата, единият ъгъл е прав, а стойността на другия е известна. Това ще ви позволи да изчислите дължината на страната с помощта на синусовата теорема - разделете височината на синуса на известен ъгъл: h/sin(α). След това заместете този израз във формулата от предишната стъпка и ще получите равенството: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α). Например, ако известният ъгъл е 30°, височината е 10 cm, а периметърът е 150 cm, дължината на средната линия трябва да се изчисли, както следва: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55 cm .

Съвет 4: Как да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник

Периметърът е сумата от всички страни на многоъгълник. При правилните многоъгълници строго определена връзка между страните улеснява намирането на периметъра.

Инструкция

В произволна фигура, ограничена от различни сегменти на прекъсната линия, периметърът се определя чрез последователни измервания на страните и сумиране на резултатите от измерването. За правилните многоъгълници е възможно да се изчисли с помощта на формули, които отчитат връзките между страните на фигурата.

В произволен триъгълник със страни a, b, c, периметърът P се изчислява по формулата: P \u003d a + b + c. Равнобедреният триъгълник има две равни страни: a=b и намирането на периметъра е опростено до P=2*a+c.

Ако в равнобедрен триъгълник размерите на не всички страни са дадени по условие, тогава могат да се използват други известни параметри за намиране на периметъра, например площта на триъгълника, неговите ъгли, височини, ъглополовящи и медиани. Например, ако са известни само две равни страни на равнобедрен триъгълник и някой от неговите ъгли, тогава намерете третата страна, като използвате синусовата теорема, от която следва, че съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл е постоянна стойност за този триъгълник. Тогава неизвестната страна може да бъде изразена чрез известната страна: a=b*SinA/SinB, където A е ъгълът спрямо неизвестната страна a, B е ъгълът спрямо известната страна b.

Ако са известни площта S на равнобедрен триъгълник и неговата основа b, тогава от формулата за определяне на площта на триъгълника S \u003d b * h / 2 намерете височината h: h \u003d 2 * S / b. Тази височина, спусната до основата b, разделя дадения равнобедрен триъгълник на два равни правоъгълни триъгълника. Странични страни a на оригиналната равнобедрена хипотенуза на правоъгълни триъгълници. Според питагоровата теорема квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите b и h. Тогава периметърът P на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата:
P=b+2*√(b²/4) +4*S²/b²).

Трапецът е четириъгълник, чиито основи лежат на две успоредни прави, докато другите две страни не са успоредни. Намирането на основата на равнобедрен трапец е необходимо както при преминаване на теорията, така и при решаване на задачи в образователни институции, както и в редица професии (инженерство, архитектура, дизайн).

Инструкция

Равнобедреният (или равнобедрен) трапец има неуспоредни страни, както и ъглите, които се образуват при пресичане на долната основа, са равни.

Трапецът има две основи и за да ги намерите, първо трябва да посочите фигура. Нека е даден равнобедрен ABCD с основи AD и BC. В този случай всички параметри са известни, с изключение на базите. Странична страна AB=CD=a, височина BH=h и площ равна на S.

За да решите проблема с основата на трапец, ще бъде най-лесно да съставите система от уравнения, за да намерите необходимите бази чрез взаимосвързани величини.

Обозначете сегмента BC като x, а AD като y, така че в бъдеще да бъде удобно да боравите с формули и да ги разбирате. Ако не направите това веднага, можете да се объркате.

Запишете, което ще бъде полезно при решаването на проблема, като използвате известни данни. Формулата за площта на равнобедрен трапец: S=((AD+BC)*h)/2. Питагорова теорема: a*a = h*h +AH*AH .

Спомнете си свойството на равнобедрен трапец: височините, излизащи от върха на трапеца, отрязват равни сегменти на голяма основа. От това следва, че две основи могат да бъдат свързани по формулата, следваща от това свойство: AD=BC+2AH или y=x+2AH

Основата, получаваме сегмента CE, трапецът е разделен на две - правоъгълника ABCE и правоъгълния триъгълник ECD. Хипотенузата е познатата ни странична страна трапец CD, единият катет е равен на перпендикулярната страна трапец(според правилото на правоъгълника две успоредни страни са равни - AB = CE), а другата е отсечка, чиято дължина на основите трапец ED=AD-BC.

Намерете краката на триъгълника: като използвате съществуващите формули CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC). Сега изчислете горната основа - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos (Алфа). Намерете дължината на перпендикулярната страна - AB \u003d CE \u003d d * sin (Алфа). И така, имате дължините на всички страни на правоъгълника трапец.

Добавете получените стойности, това ще бъде периметърът на правоъгълник трапец:P = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alpha) + (a - d*cos(Alpha)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alpha) - cos(Alpha) + един).

Задача 3. Намерете обиколката на правоъгълник трапец, ако са известни дължините на неговите основи AD = a, BC = c, дължината на перпендикулярната страна AB = b и острия ъгъл с другата страна ADC = Alpha. Решение. Начертайте перпендикуляр CE, вземете правоъгълник ABCE и триъгълник CED. Сега намерете дължината на хипотенузата на триъгълника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Alpha). Така че имате дължините на всички страни.

Съберете получените стойности: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

Всеки от нас научи какво е периметър в началните класове. намирането на страните на квадрат с известен периметър обикновено не създава проблеми дори за тези, които са завършили училище преди много време и са успели да забравят курса по математика. Въпреки това, не всеки успява да реши подобна задача по отношение на правоъгълник или правоъгълен триъгълник без подсказка.

Инструкция

Да приемем, че има правоъгълен триъгълник със страни a, b и c, в който единият ъгъл е 30, а вторият е 60. Фигурата показва, че a = c*sin?, и b = c*cos?. Знаейки, че периметърът на всяка фигура, в и триъгълник, е равен на сбора от всичките му страни, получаваме: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p От този израз можете намерете неизвестната страна c, която е хипотенузата на триъгълника. Е, как е ъгълът? = 30, след трансформация получаваме: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

Както бе споменато по-горе, диагоналът на правоъгълника го разделя на два правоъгълни триъгълника с ъгли от 30 и 60 градуса. Тъй като p=2(a + b), ширинаа и дължина b правоъгълник може да се намери въз основа на факта, че диагоналът е хипотенузата на правоъгълни триъгълници: a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Това са две правоъгълни уравнения. Дължината и ширината на този правоъгълник се изчисляват от тях, като се вземат предвид получените ъгли при чертане на неговия диагонал.

Подобни видеа

Забележка

Как да намерите дължината на правоъгълник, ако знаете периметъра и ширината? Извадете два пъти ширината от периметъра, за да получите два пъти дължината. След това го разделяме наполовина, за да намерим дължината.

Полезни съвети

Още от основно училищемного хора помнят как да намерят периметъра на всяка геометрична фигура: достатъчно е да разберете дължината на всичките му страни и да намерите тяхната сума. Известно е, че в такава фигура като правоъгълник дължините на страните са равни по двойки. Ако ширината и височината на правоъгълник са с еднаква дължина, тогава той се нарича квадрат. Обикновено дължината на правоъгълника се нарича най-голямата от страните, а ширината е най-малката.

източници:

  • каква е ширината на периметъра през 2019 г

Периметър(P) - сумата от дължините на всички страни на фигурата, а четириъгълникът има четири от тях. И така, за да намерите периметъра на четириъгълник, просто трябва да съберете дължините на всичките му страни. Но са известни такива фигури като правоъгълник, квадрат, ромб, тоест правилни четириъгълници. Периметрите им се определят по специални начини.

Инструкция

Ако дадения е правоъгълник (или успоредник) ABCD, тогава той има следните свойства: успоредните страни са равни по двойки (виж). AB = SD и AC = VD. Като знаем съотношението на страните на тази фигура, можем да изведем правоъгълник(и паралелограм): P \u003d AB + SD + AC + VD. Нека някои страни са равни на числото a, другата на числото b, тогава P \u003d a + a + b + b = 2 * a \u003d 2 * b = 2 * (a + c). Пример 1. В ABCD страните са равни на AB = CD = 7 см и AC = VD = 3 см. Намерете обиколката на такъв правоъгълник. Решение: P \u003d 2 * (a + c). P \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 см.

При решаване на задачи за сумата от дължините на страните на фигура, наречена квадрат или ромб, трябва да се използва леко модифицирана формула за периметър. Квадрат и ромб са фигури, които имат еднакви четири страни. Въз основа на дефиницията на периметъра, P \u003d AB + SD + AC + VD и приемайки дължини с буквата a, тогава P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a. Пример 2. Ромб със страна 2 см. Намерете периметъра му. Решение: 4*2 см = 8 см.

Ако даденият четириъгълник е трапец, тогава в този случай просто трябва да съберете дължините на четирите му страни. P \u003d AB + SD + AC + VD. Пример 3. Намерете ABCD, ако страните му са равни: AB = 1 см, SD = 3 см, AC = 4 см, ID = 2 см. Решение: P = AB + SD + AC + ID = 1 см + 3 см + 4 cm + 2 cm = 10 см. Може да се окаже, че е равностранен (двете му страни са равни), тогава неговият периметър може да бъде намален до формулата: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + b + a + c \u003d 2*a + b + s. Пример 4. Намерете периметъра на равнобедрен, ако страничните му стени са 4 см, а основите са 2 см и 6 см. Решение: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 cm + 2 cm + 6 см \u003d 16 см.

Подобни видеа

Полезни съвети

Никой не си прави труда да намери периметъра на четириъгълник (и всяка друга фигура) като сбор от дължините на страните, без да използва получените формули. Те са дадени за удобство и лекота на изчисление. Методът на решаване не е грешка, важен е верният отговор и познаването на математическата терминология.

източници:

  • как да намерите периметъра на правоъгълник

Математическа фигура с четири ъгъла се нарича трапец, ако една двойка противоположни страни е успоредна, а другата двойка не е. Паралелни страни се наричат основания трапец, другите две са странични. В правоъгълен трапецедин от ъглите на страничната страна е прав.

Инструкция

Задача 1. Намерете основите на BC и AD трапец, ако е известна дължината AC = f; дължина на страната CD = c и нейният ъгъл ADC = α Решение: Да разгледаме правоъгълен CED. Известни са хипотенузата c и ъгълът между хипотенузата и катета EDC. Намерете дължините на CE и ED: като използвате формулата за ъгъл CE = CD*sin(ADC); ED=CD*cos(ADC). Така че: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

Да разгледаме правоъгълния триъгълник ACE. Знаете хипотенузата AC и CE, намерете страната AE според правилото: сумата от квадратите на краката е равна на квадрата на хипотенузата. И така: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Изчислете корен квадратен от дясната страна на уравнението. Намерихте горната част правоъгълна трапец.

Дължината на основата AD е сборът от дължините на двете отсечки AE и ED. AE = корен квадратен (f(2) - c*sinα); ED = c*cosα). Така че: AD = квадратен корен(f(2) - c*sinα) + c*cosα. Намерихте долната основа на правоъгълника трапец.

Задача 2. Намерете основите BC и AD на правоъгълник трапец, ако е известна дължината на диагонала BD = f; дължина на страната CD = c и нейният ъгъл ADC = α Решение: Да разгледаме правоъгълен триъгълник CED. Намерете дължините на страните CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

Да разгледаме правоъгълника ABCE. По свойство AB = CE = c*sinα Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABD. Според свойството на правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата Изчисленията ще бъдат малко по-дълги, ако трябва да се изчисли една от страните. Например знаем дългата основа, прилежащите към нея ъгли и височината. Трябва да изчислите късата основа и страна. За да направите това, начертайте трапец ABCD, нарисувайте височина BE от горния ъгъл B. Ще получите триъгълник ABE. Знаете ъгъла А, съответно, знаете неговия синус. Данните за задачата съдържат и височината BE, която също е катет на правоъгълен триъгълник срещу познатия ви ъгъл. За да намерите хипотенузата AB, която е и страната на трапеца, е достатъчно да разделите BE на sinA. По същия начин намерете дължината на втората страна. За да направите това, трябва да начертаете височина от друг горен ъгъл, тоест CF.

Сега знаете по-голямата основа и страни. Това не е достатъчно, за да изчислите периметъра, имате нужда и от размера на по-малка основа. Съответно в двата триъгълника, образувани вътре в трапеца, е необходимо да се намерят размерите на сегментите AE и DF. Това може да стане например чрез известните ви ъгли A и D. Косинусът е отношението на съседния катет към хипотенузата. За да намерите крака, трябва да умножите хипотенузата по косинуса. След това изчислете периметъра, като използвате същата формула, както в първата стъпка, тоест като съберете всички страни.

Друг вариант: дадени две основи, височина и една от страните, трябва да намерите втората страна. Това също се прави най-добре с помощта на тригонометрични функции. За да направите това, нарисувайте трапец. Да предположим, че знаете основите AD и BC, както и страната AB и височината BF. От тези данни можете да намерите ъгъла A (през синуса, т.е. съотношението на височината към позната страна), сегмент AF (или допирателна, тъй като вече знаете ъгъла. Запомнете също свойствата - сумата от ъглите, съседни на едната страна, е 180 °.

Плъзнете CF височина. Имате друг правоъгълен триъгълник, където трябва да намерите хипотенузата CD DF. Започнете с катетъра. Извадете от дължината на долната основа дължината на горната, а от получения резултат - дължината на вече познатия ви сегмент AF. Сега в правоъгълен триъгълник CFD знаете два катета, тоест можете да намерите тангенса на ъгъл D, а от нея - самия ъгъл. След това остава да се изчисли страната на CD през синуса на същия ъгъл, както вече беше описано по-горе.

Подобни видеа

Трапец - четириъгълник геометрична фигура, която има две успоредни страни, наречени основи, и две неуспоредни страни. Ако страните са равни, тогава фигурата се нарича равнобедрен трапец. Правоъгълен трапец - когато едната страна образува прав ъгъл с основата. За да намерите периметъра на трапец, можете да използвате един от методите, в зависимост от изходните данни.

Как да намерите периметъра на трапец, когато дължината на страните и основите е известна

В този случай няма никакви трудности. Използвайки формулата P=a+b+c+d и замествайки всички известни данни, можем лесно да намерим периметъра на трапеца. Например: a=5, b=4, c=6, d=4. Използвайки формулата, получаваме P=5+4+6+4=19

Този метод не може да се използва, ако дължината на поне една от страните не е известна.

Как да намерите периметъра на трапец, когато са известни дължината на страните, горната основа и височината

Разделете трапеца на два триъгълника и правоъгълник.

За да може да се използва формулата P=a+b+c+d, е необходимо да се намери долната основа. Може да се представи като израз k+a+n.

След това използваме Питагоровата теорема. Нека напишем формулата за първия триъгълник c^2=h^2+k^2. След трансформации получаваме k=(c^2-h^2)^1/2. За втория триъгълник: b^2=h^2+n^2, общо n=(b^2-h^2)^1/2. След всички изчисления получаваме P=a+b+(n+a+k)+c.

Как да намерите периметъра на трапец, когато са известни и двете основи и височина (за равнобедрен трапец)

Както в предишния метод, трябва да разделите трапеца на правоъгълник и два триъгълника. Хипотенузите на триъгълниците са и страните на трапеца, които трябва да бъдат намерени. По-малкият крак се намира по следния начин.

Тъй като трапецът е равнобедрен, извадете дължината на по-малката основа от дължината на по-голямата основа и разделете наполовина, т.е. d1=d2=(d-a)/2.

Използвайки Питагоровата теорема, намираме страните c=(d(1)^2+h^2)^1/2. След това, използвайки формулата P=a+2c+d, изчисляваме периметъра.

Как да намерите периметъра на трапец, когато долната основа, страните и долните ъгли са известни

Да разгледаме пример, при който са известни долната основа AD, страните AB и CD и ъглите BAD и CDA.

От върховете B и C начертаваме две височини, които образуват правоъгълник и два правоъгълни триъгълника. В триъгълник ABK страната AB е хипотенузата. Остава да намерим краката по формулата BK=AB*sin(BAK) и AK=AB*cos(BAK). Тъй като BK и CN са височини, те са равни. Използвайки същата формула, намираме ND=CD*cos(CDN). Остава да изчислим BC=AD-AK-ND. Сега трябва да сгънете всички страни и отговорът е готов.

Как да намерите периметъра на трапец, когато са известни дължината на страните и средната линия

Средната линия на трапец е равна на половината от сбора от дължините на основите му, т.е. f=(a+d)/2. Когато дължината на основите е неизвестна, но са дадени размерите на страните и средната линия, периметърът се намира по формулата P=2*f+c+b.

Както можете да видите, намирането на периметъра на трапец не е толкова трудно. Започвайки да решавате проблема, трябва само да определите какви количества са известни и какъв метод може да се използва. И тогава няма да е трудно да се реши дори сложен проблем.

Прочетете също