Аношина О.В.

Основна литература

1. В. С. Шипачев, Висша математика. Основен курс: учебник и
семинар за бакалаври [Сертификат на Министерството на образованието на Руската федерация] / V. S.
Шипачев; изд. А. Н. Тихонова. - 8-мо изд., преработено. и допълнителни Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. В. С. Шипачев, Висша математика. Пълен курс: учебник
за акад. Бакалавърска степен [Удостоверение за УМО] / В. С. Шипачев; изд. НО.
Н. Тихонова. - 4-то издание, Рев. и допълнителни - Москва: Юрайт, 2015. - 608
с
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. висша математика
в упражнения и задачи. [Текст] / P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевников. В 2 часа - М .: висше училище, 2007. - 304+415c.

Докладване

1.
Тест. Изпълнява се в съответствие с:
Задачи и насокиза извършване на контролна работа
в дисциплината "ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА", Екатеринбург, FGAOU
ВО „Руско държавно професионално педагогическо училище
университет“, 2016 – 30-те години.
опция контролна работаизберете по последната цифра
записна книга.
2.
Изпит

Неопределен интеграл, неговите свойства и изчисляване. Първопроизводен и неопределен интеграл

Определение. Извиква се функцията F x
антипроизводна функция f x дефинирана върху
някакъв интервал ако F x f x за
всеки x от този интервал.
Например функцията cos x е
първоизводна функция sin x , тъй като
cos x sin x.

Очевидно, ако F x е антипроизводно
функция f x , тогава F x C , където C е някаква константа, също е
първоизводна функция f x .
Ако F x е някаква антипроизводна
функция f x , тогава всяка функция от формата
F x F x C също е
антипроизводна функция f x и произволна
примитивът може да бъде представен в тази форма.

Определение. Съвкупността от всички
първоизводни на функцията f x ,
определени на някои
между тях се нарича
неопределен интеграл от
функции f x на този интервал и
означена с f x dx .

Ако F x е някаква антипроизводна на функцията
f x , тогава те пишат f x dx F x C , въпреки че
по-правилно би било да се пише f x dx F x C .
Ние, според установената традиция, ще пишем
f x dx F x C .
Така същият символ
f x dx ще означава като цяло
набор от първоизводни на функцията f x ,
и всеки елемент от това множество.

Интегрални свойства

Производната на неопределения интеграл е
интегрант и неговия диференциал към интегранта. Наистина ли:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Интегрални свойства

3. Неопределен интеграл от
диференциал непрекъснато (x)
диференцируемата функция е равна на себе си
тази функция до константа:
d (x) (x) dx (x) C,
тъй като (x) е антипроизводно на (x).

Интегрални свойства

4. Ако функциите f1 x и f 2 x имат
първоизводни, тогава функцията f1 x f 2 x
също има антипроизводно и
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx Kf x dx;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
а 1
х
2. x a dx
C, (a 1) .
а 1
dx
3. ln x C .
х
х
а
4.a x dx
° С.
в а
5. e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8.2 ctgx C .
грях х
dx
9.2tgx C.
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Таблица на неопределените интеграли

11.
dx
arcsin x C.
1x2
dx
1
х
12. 2 2 арктан C .
а
а
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
х
arcsin C ..
а
dx
1
x a
вътре
° С
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
х2 а
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C .
2
ш х

Свойства на диференциалите

При интегриране е удобно за използване
свойства: 1
1. dx d (брадва)
а
1
2. dx d (ax b),
а
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

Примери

Пример. Изчислете cos 5xdx.
Решение. В таблицата на интегралите намираме
cos xdx sin x C .
Да се ​​трансформираме даден интегралкъм масата
възползвайки се от факта, че d ax adx .
Тогава:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Примери

Пример. Изчислете x
3x x 1 dx.
Решение. Тъй като под интегралния знак
тогава е сумата от четири члена
разгънете интеграла като сбор от четири
интеграли:
2
3
2
3
2
3
х
3
х
х
1
dx
х
dx
3
х
dx xdx dx.
x3
х4 х2
3
x C
3
4
2

Независимост на вида на променливата

При изчисляване на интеграли е удобно
използвайте следните свойства
интеграли:
Ако f x dx F x C , тогава
f x b dx F x b C .
Ако f x dx F x C , тогава
1
f ax b dx F ax b C .
а

Пример

Изчислете
1
6
2
3
х
dx
2
3
х
° С
.
3 6
5

Методи на интегриране Интегриране по части

Този метод се основава на формулата udv uv vdu.
По метода на интегриране по части се вземат следните интеграли:
а) x n sin xdx, където n 1,2...k;
b) x n e x dx , където n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , където n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , където n 0, 1, 2,... k .
При изчисляване на интегралите a) и b) въведете
n 1
нотация: x n u, след това du nx dx и, например
sin xdx dv, тогава v cos x.
При изчисляване на интегралите c), d) означаваме за u функцията
arctgx, ln x, а за dv вземат x n dx.

Примери

Пример. Изчислете x cos xdx.
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Примери

Пример. Изчисли
x ln xdx
dx
u ln x, du
х
x2
dvxdx, v
2
x2
x 2 dx
в х
=
2
2 х
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
в х
° С.
=
2
2
2
2 2

Метод на променлива замяна

Нека се изисква да се намери f x dx и
директно вземете примитивното
за f x не можем, но знаем това
тя съществува. Често срещан
антипроизводно чрез въвеждане на нова променлива,
според формулата
f x dx f t t dt, където x t и t е новото
променлива

Интегриране на функции, съдържащи квадратен тричлен

Разгледайте интеграла
axb
dx,
x px q
съдържащи квадратен тричленв
знаменателят на интегранта
изрази. Взима се и такъв интеграл
метод за промяна на променливите,
идентифициран преди това в
знаменател пълен квадрат.
2

Пример

Изчисли
dx
.
х4х5
Решение. Нека трансформираме x 2 4 x 5,
2
избиране на пълен квадрат по формулата a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогава получаваме:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
дт
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
х4х5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Пример

намирам
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 т
2
дт
1 т
1 т
d (t 2 1)
T
2
1
2
2tdt
2
дт
log(t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 т
2
дт

Определен интеграл, неговите основни свойства. Формула на Нютон-Лайбниц. Приложения на определен интеграл.

Концепцията за определен интеграл води до
проблемът за намиране на площта на криволинейна
трапец.
Нека на някакъв интервал е даден
непрекъсната функция y f (x) 0
Задача:
Начертайте неговата графика и намерете F площта на фигурата,
ограничени от тази крива, две прави линии x = a и x
= b, а отдолу - отсечка от абсцисната ос между точките
x = a и x = b.

Фигурата aABb се нарича
криволинеен трапец

Определение

b
f(x)dx
Под определен интеграл
а
от дадена непрекъсната функция f(x) нататък
този сегмент се разбира
съответното увеличение
примитивно, т.е
F (b) F (a) F (x) /
b
а
Числата a и b са границите на интегриране,
е интервалът на интегриране.

правило:

Определеният интеграл е равен на разликата
стойности на първоизводния интегранд
функции за горна и долна граница
интеграция.
Въвеждане на обозначението за разликата
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
а
Формула на Нютон-Лайбниц.

Основни свойства на определен интеграл.

1) Стойността на определен интеграл не зависи от
нотация на интегрирана променлива, т.е.
b
b
а
а
f (x)dx f (t)dt
където x и t са произволни букви.
2) Определен интеграл със същ
навън
интеграцията е нулева
а
f (x)dx F (a) F (a) 0
а

3) При пренареждане на границите на интеграция
определеният интеграл обръща знака си
b
а
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
а
b
(свойство на адитивност)
4) Ако интервалът се раздели на крайно число
частични интервали, след това определения интеграл,
взети през интервала е равно на суматаопределени
интеграли, взети по всички негови частични интервали.
b
° С
b
f(x)dx f(x)dx
° С
а
а
f(x)dx

5) Може да се извади постоянен множител
за знака на определен интеграл.
6) Определен интеграл на алгебриката
суми от краен брой непрекъснати
функции е равно на същата алгебрична
сума определени интегралиот тези
функции.

3. Замяна на променлива в определен интеграл.

3. Замяна на променлива в определена
интегрална.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
а
a(), b(), (t)
където
за t[; ] , функциите (t) и (t) са непрекъснати върху;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
х 1 5
t 0 4
х 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Неправилни интеграли.

Неправилни интеграли.
Определение. Нека функцията f(x) е дефинирана върху
безкраен интервал, където b< + . Если
съществува
b
лим
f(x)dx,
b
а
тогава тази граница се нарича неправилна
интеграл на функцията f(x) върху интервала
}