У цій статті ми розглянемо основні дії з алгебраїчними дробами:

• скорочення дробів
• множення дробів
• розподіл дробів

Почнемо з скорочення алгебраїчних дробів .

Здавалося б, алгоритмочевидний.

Щоб скоротити алгебраїчні дроби, потрібно

1. Розкласти чисельник та знаменник дробу на множники.

2. Скоротити однакові множники.

Проте, школярі часто роблять помилку, "зменшуючи" не множники, а доданки. Наприклад, є любителі, які в дробі "зменшують" і отримують в результаті, що, зрозуміло, неправильно.

Розглянемо приклади:

1. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник за формулою квадрата суми, а знаменник за формулою різниці квадратів

2. Розділимо чисельник та знаменник на

2. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник. Так як чисельник містить чотири доданки, застосуємо угруповання.

2. Розкладемо на множники знаменник. Також застосуємо угруповання.

3. Запишемо дріб, який у нас вийшов і скоротимо однакові множники:

Розмноження алгебраїчних дробів.

При множенні дробів алгебри ми чисельник множимо на чисельник, а знаменник множимо на знаменник.

Важливо!Не потрібно поспішати виконувати множення у чисельнику та знаменнику дробу. Після того, як ми записали в чисельнику добуток чисельників дробів, а в знаменнику - добуток знаменників, потрібно розкласти на множники кожен множник і скоротити дріб.

Розглянемо приклади:

3. Спростіть вираз:

1. Запишемо добуток дробів: у чисельнику добуток чисельників, а у знаменнику добуток знаменників:

2. Розкладемо кожну дужку на множники:

Тепер нам потрібно скоротити однакові множники. Зауважимо, що вирази і відрізняються лише знаком: і в результаті розподілу першого виразу на друге отримаємо -1.

Отже,

Розподіл алгебраїчних дробів ми виконуємо за таким правилом:

Тобто щоб розділити на дріб, потрібно помножити на "перевернутий".

Ми бачимо, що розподіл дробів зводиться до множення, а множення, зрештою, зводиться до скорочення дробів.

Розглянемо приклад:

4. Спростіть вираз:

Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, спочатку розглянемо приклад.

Скоротити дріб - значить, розділити чисельник і знаменник на те саме. І 360, і 420 закінчуються на цифру, тому можемо скоротити цей дріб на 2. У новому дробі і 180, і 210 теж діляться на 2, скорочуємо і цей дріб на 2. У числах 90 і 105 сума цифр ділиться на 3, тому обидва ці числа діляться на 3, скорочуємо дріб на 3. У новому дробі 30 і 35 закінчуються на 0 і 5, значить, обидва числа діляться на 5, тому скорочуємо дріб на 5. Дріб, що вийшов, шість сьомих — нескорочуваний. Це остаточна відповідь.

До цієї ж відповіді можемо дійти іншим шляхом.

І 360, і 420 закінчуються нулем, отже, вони діляться на 10. Скорочуємо дріб на 10. У новому дробі і чисельник 36, і знаменник 42 діляться на 2. Скорочуємо дріб на 2. У наступному дробі і чисельник 18, і знаменник на 3, отже, скорочуємо дріб на 3. Прийшли до результату – шість сьомих.

І ще один варіант вирішення.

Наступного разу розглянемо приклади скорочення дробів.

Ця стаття продовжує тему перетворення алгебраїчних дробів: розглянемо таку дію як скорочення дробів алгебри. Дамо визначення самому терміну, сформулюємо правило скорочення та розберемо практичні приклади.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сенс скорочення алгебраїчного дробу

У матеріалах про звичайний дроб ми розглядали її скорочення. Ми визначили скорочення звичайного дробу як розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник.

Скорочення дробу алгебри являє собою аналогічну дію.

Визначення 1

Скорочення алгебраїчного дробу– це розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. При цьому, на відміну від скорочення звичайного дробу (загальним знаменником може бути тільки число), загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може служити многочлен, зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчна дріб 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 може бути скорочена на число 3, в результаті отримаємо: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Цей же дріб ми можемо скоротити на змінну х, і це дасть нам вираз 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Також заданий дріб можна скоротити на одночлен 3 · xабо будь-який з багаточленів x + 2 · y, 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y або 3 · x 2 + 6 · x · y.

Кінцевою метою скорочення алгебраїчного дробу є дріб простішого виду, у кращому випадку – нескоротний дріб.

Чи всі дроби алгебри підлягають скороченню?

Знову ж таки з матеріалів про звичайні дроби ми знаємо, що існують скорочені і нескоротні дроби. Нескоротні – це дроби, які мають загальних множників чисельника і знаменника, відмінних від 1 .

З алгебраїчними дробами так само: вони можуть мати спільні множники чисельника і знаменника, можуть і не мати. Наявність загальних множників дозволяє спростити вихідний дріб за допомогою скорочення. Коли спільних множників немає, оптимізувати заданий дріб способом скорочення неможливо.

У загальних випадках за заданим видом дробу досить складно зрозуміти, чи підлягає вона скороченню. Звичайно, в деяких випадках наявність загального множника чисельника та знаменника очевидна. Наприклад, в алгебраїчному дробі 3 · x 2 3 · y зрозуміло, що загальним множником є ​​число 3 .

У дробі - x · y 5 · x · y · z 3 також ми відразу розуміємо, що скоротити її можливо на х, або y, або на х · y. І все ж таки набагато частіше зустрічаються приклади алгебраїчних дробів, коли загальний множник чисельника і знаменника не так просто побачити, а ще частіше - він просто відсутній.

Наприклад, дріб x 3 - 1 x 2 - 1 ми можемо скоротити на х - 1 при цьому зазначений загальний множник у записі відсутній. А ось дріб x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 піддати дії скорочення неможливо, оскільки чисельник і знаменник не мають спільного множника.

Таким чином, питання з'ясування скоротливості алгебраїчного дробу не таке просте, і найчастіше простіше працювати з дробом заданого виду, ніж намагатися з'ясувати, чи вона скоротлива. При цьому мають місце такі перетворення, які в окремих випадках дозволяють визначити загальний множник чисельника і знаменника або зробити висновок про нескоротність дробу. Розглянемо детально це питання у наступному пункті статті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Правило скорочення алгебраїчних дробівскладається з двох послідовних дій:

• знаходження загальних множників чисельника та знаменника;
• у разі знаходження таких здійснення безпосередньо впливу скорочення дробу.

Найзручнішим методом відшукання загальних знаменників є розкладання на множники многочленів, що у чисельнику і знаменнику заданої алгебраїчної дробу. Це дозволяє відразу побачити наявність чи відсутність загальних множників.

Саме вплив скорочення алгебраїчної дробу виходить з основному властивості алгебраїчної дробу, що виражається рівністю undefined , де a , b , c – деякі многочлены, причому b і c – ненульові. Першим кроком дріб наводиться до вигляду a · c b · c, в якому ми відразу помічаємо загальний множник c. Другим кроком – виконуємо скорочення, тобто. перехід до дробу виду a b.

Характерні приклади

Незважаючи на певну очевидність, уточнимо про окремий випадок, коли чисельник і знаменник алгебраїчної дробу рівні. Подібні дроби тотожно рівні 1 на всій ОДЗ змінних цього дробу:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Оскільки звичайні дробиє окремим випадком алгебраїчних дробів, нагадаємо, як здійснюється їх скорочення. Натуральні числа, записані в чисельнику та знаменнику, розкладаються на прості множники, потім загальні множники скорочуються (якщо є).

Наприклад, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Добуток простих однакових множників можна записати як ступеня, і в процесі скорочення дробу використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами. Тоді вищезгадане рішення було б таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель та знаменник розділені на загальний множник 2 2 · 3). Або для наочності, спираючись на властивості множення та поділу, вирішенню дамо такий вигляд:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

За аналогією здійснюється скорочення алгебраїчних дробів, у яких у чисельнику та знаменнику є одночлени з цілими коефіцієнтами.

Приклад 1

Задано алгебраїчну дріб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необхідно зробити її скорочення.

Рішення

Можливо записати чисельник та знаменник заданого дробу як добуток простих множниківта змінних, після чого здійснити скорочення:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однак, раціональнішим способом буде запис рішення у вигляді виразу зі ступенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Відповідь:- 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Коли в чисельнику та знаменнику алгебраїчного дробу є дробові числові коефіцієнти, можливо два шляхи подальших дій: або окремо здійснити поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на якесь натуральне число. Останнє перетворення проводиться в силу основної якості алгебраїчної дробу (про нього можна почитати в статті «Приведення дробу алгебри до нового знаменника»).

Приклад 2

Задано дроб 2 5 · x 0, 3 · x 3 . Необхідно здійснити її скорочення.

Рішення

Можливо скоротити дріб таким чином:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Спробуємо вирішити завдання інакше, попередньо позбавившись дробових коефіцієнтів – помножимо чисельник і знаменник на найменше загальне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто. на НОК (5, 10) = 10 . Тоді отримаємо:

2 5 · x 0, 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Відповідь: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Коли ми скорочуємо алгебраїчні дроби загального вигляду, у яких чисельники і знаменники можуть бути як одночленами, і многочленами, можлива проблема, коли загальний множник який завжди відразу видно. Або більше, він просто не існує. Тоді для визначення загального множника або фіксації факту про його відсутність чисельник і знаменник дробу алгебри розкладають на множники.

Приклад 3

Задано раціональний дріб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Потрібно її скоротити.

Рішення

Розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Здійснимо винесення за дужки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Ми бачимо, що вираз у дужках можна перетворити з використанням формул скороченого множення:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Добре помітно, що можна скоротити дріб на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо скорочення:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Коротке рішення без пояснень запишемо як ланцюжок рівностей:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Відповідь: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Трапляється, що загальні множники приховані числовими коефіцієнтами. Тоді при скороченні дробів оптимально числові множники при старших ступенях чисельника та знаменника винести за дужки.

Приклад 4

Дано алгебраїчну дріб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необхідно здійснити її скорочення, якщо це можливо.

Рішення

На погляд у чисельника і знаменника немає спільного знаменника. Однак спробуємо перетворити заданий дріб. Винесемо за дужки множник х у чисельнику:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Тепер видно певну схожість виразу в дужках і виразу в знаменнику за рахунок x 2 · y . Винесемо за дужку числові коефіцієнти при старших ступенях цих багаточленів:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Тепер стає видно загальний множник, здійснюємо скорочення:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Відповідь: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x.

Зробимо акцент на тому, що навичка скорочення раціональних дробів залежить від уміння розкладати багаточлени на множники.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Минулого разу ми склали план, за яким можна навчитися швидко скорочувати дроби. Наразі розглянемо конкретні приклади скорочення дробів.

Приклади.

Перевіряємо, а чи не ділиться більше на менше (числитель на знаменник або знаменник на чисельник)? Так, у всіх трьох цих прикладах більше ділиться на менше. Таким чином, кожний дріб скорочуємо на менший з чисел (на чисельник або на знаменник). Маємо:

Перевіряємо, чи не ділиться більше на менше? Ні, не ділиться.

Тоді переходимо до перевірки наступного пункту: а чи не закінчується запис і чисельника, і знаменника одним, двома чи кількома нулями? У першому прикладі запис чисельника та знаменника закінчується нулем, у другому – двома нулями, у третьому – трьома нулями. Отже, перший дроб скорочуємо на 10, другий — на 100, третій — на 1000:

Отримали нескоротні дроби.

Більше на менше не ділиться, запис чисел нулями не закінчується.

Тепер перевіряємо, а чи не стоять чисельник та знаменник в одному стовпці у таблиці множення? 36 і 81 обидва діляться на 9, 28 і 63 - на 7, а 32 і 40 - на 8 (вони діляться ще й на 4, але якщо є можливість вибору, завжди скорочуватимемо на більше). Таким чином, приходимо до відповідей:

Усі отримані числа є нескоротними дробами.

Більше на менше не ділиться. А ось запис і чисельника, і знаменника закінчується банкрутом. Значить, скорочуємо дріб на 10:

Цей дріб ще можна скоротити. Перевіряємо за таблицею множення: і 48, і 72 поділяються на 8. Скорочуємо дріб на 8:

Отриманий дріб ще можемо скоротити на 3:

Цей дріб — нескоротний.

Більше чисел на менше не ділиться. Запис чисельника та знаменника закінчується на нуль.Отже, скорочуємо дріб на 10.

Отримані в чисельнику та знаменнику числа перевіряємо на і . Так як сума цифр і 27, і 531 діляться на 3 і на 9, то цей дріб можна скоротити як на 3, так і на 9. Вибираємо більше і скорочуємо на 9. Отриманий результат - нескоротний дріб.

На погляд алгебраїчні дроби здаються дуже складними, і непідготовлений учень може подумати, що з ними неможливо нічого зробити. Нагромадження змінних, чисел і навіть ступенів навіює страх. Тим не менш, для скорочення звичайних (наприклад, 15/25) та алгебраїчних дробів використовуються одні й ті самі правила.

Кроки

Скорочення дробів

Ознайомтеся з діями з простими дробами. Операції із звичайними та алгебраїчними дробами аналогічні. Наприклад, візьмемо дріб 15/35. Щоб спростити цей дріб, слід знайти спільний дільник . Обидва числа діляться на п'ять, тому ми можемо виділити 5 у чисельнику та знаменнику:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Тепер можна скоротити загальні множники, тобто викреслити 5 у чисельнику та знаменнику. В результаті отримуємо спрощений дріб 3/7 . У алгебраїчних виразах загальні множники виділяються так само, як і в звичайних. У попередньому прикладі ми змогли легко виділити 5 з 15 - той же принцип застосуємо і до більш складних виразів, таких як 15x - 5. Знайдемо спільний множник. У даному випадкуце буде 5, тому що обидва члени (15x і -5) діляться на 5. Як і раніше, виділимо загальний множник і перенесемо його вліво.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Щоб перевірити, чи все правильно, достатньо помножити на 5 вираз, що стоїть у дужках - в результаті вийдуть ті ж числа, що були спочатку. Складні члениможна виділяти так само, як і прості. Для алгебраїчних дробів застосовні самі принципи, як і звичайних. Це найпростіший спосіб скоротити дріб. Розглянемо наступний дріб:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Зазначимо, що і в чисельнику (згори), і в знаменнику (знизу) присутній член (x+2), тому його можна скоротити так само, як загальний множник 5 у дробі 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

В результаті отримуємо спрощений вираз: (x-3)/(x+10)

Скорочення алгебраїчних дробів

Знайдіть загальний множник у чисельнику, тобто у верхній частині дробу. При скороченні алгебраїчного дробу насамперед слід спростити обидві його частини. Почніть з чисельника і постарайтеся розкласти його якомога більша кількістьмножників. Розглянемо в цьому розділі наступний дріб:

9x-3 15x+6

Почнемо з чисельника: 9x – 3. Для 9x та -3 загальним множником є ​​число 3. Винесемо 3 за дужки, як це робиться із звичайними числами: 3*(3x-1). В результаті цього перетворення вийде наступний дріб:

3(3x-1) 15x+6

Знайдіть загальний множник у чисельнику. Продовжимо виконання наведеного вище прикладу та випишемо знаменник: 15x+6. Як і раніше, знайдемо, на скільки діляться обидві частини. І в цьому випадку загальним множником є ​​3, так що можна записати: 3*(5x+2). Перепишемо дріб у такому вигляді:

3(3x-1) 3(5x+2)

Скоротіть однакові члени. На цьому етапі можна спростити дріб. Скоротіть однакові члени у чисельнику та знаменнику. У прикладі це число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Визначте, що дріб має найпростіший вигляд. Дроб повністю спрощена в тому випадку, коли в чисельнику і знаменнику не залишилося спільних множників. Врахуйте, що не можна скорочувати ті члени, які стоять усередині дужок - у наведеному прикладі немає можливості виділити x з 3x та 5x, оскільки повними членами є (3x -1) та (5x + 2). Таким чином, дріб не піддається подальшому спрощенню, і остаточна відповідь виглядає так:

(3x-1)(5x+2)

Потренуйтесь скорочувати дроби самостійно. Кращий спосібЗасвоїти метод полягає у самостійному вирішенні завдань. Під прикладами наведено правильні відповіді.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Відповідь:(x=13)

2x 2-x 5x

Відповідь:(2x-1)/5

Спеціальні прийоми

Винесіть негативний знак межі дробу. Припустимо, дано такий дріб:

3(x-4) 5(4-x)

Зауважте, що (x-4) і (4-x) "майже" ідентичні, але їх не можна скоротити відразу, оскільки вони "перевернуті". Тим не менш, (x - 4) можна записати як -1 * (4 - x), подібно до того як (4 + 2x) можна переписати у вигляді 2 * (2 + x). Це називається "зміною знака".

-1 * 3 (4-x) 5(4-x)

Тепер можна скоротити однакові члени (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-х)

Отже, отримуємо остаточну відповідь: -3/5 . Навчіться розпізнавати різницю квадратів. Різниця квадратів - це коли квадрат одного числа віднімається з квадрата іншого числа, як у виразі (a 2 - b 2). Різницю повних квадратівзавжди можна розкласти на дві частини - суму та різницю відповідних квадратного коріння. Тоді вираз набуде наступного вигляду:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Цей прийом дуже корисний при пошуку спільних членів в дробах алгебри.

• Перевірте, чи правильно ви розклали той чи інший вираз на множники. Для цього перемножте множники - в результаті має вийти те саме вираз.
• Щоб повністю спростити дріб, завжди виділяйте найбільші множники.