Побудова графіків функцій, що містять модулі, зазвичай викликає чималі труднощі у школярів. Проте все не так погано. Досить запам'ятати кілька алгоритмів вирішення таких завдань, і ви зможете легко побудувати графік навіть самій на вигляд складної функції. Давайте розберемося, що це за алгоритми.
1. Побудова графіка функції y = | f (x) |
Зауважимо, що безліч значень функцій y = | f (x) | : y ≥ 0. Таким чином, графіки таких функцій завжди розташовані повністю у верхній напівплощині.
Побудова графіка функції y = | f (x) | складається з наступних чотирьох простих етапів.
1) Побудувати акуратно та уважно графік функції y = f(x).
2) Залишити без зміни всі точки графіка, які знаходяться вище за осі 0x або на ній.
3) Частину графіка, що лежить нижче за осю 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.
Приклад 1. Зобразити графік функції y = | x 2 - 4x + 3 |
1) Будуємо графік функції y = x 2 - 4x + 3. Очевидно, що графік цієї функції - парабола. Знайдемо координати всіх точок перетину параболи з осями координат та координати вершини параболи.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x1=3, x2=1.
Отже, парабола перетинає вісь 0x у точках (3, 0) та (1, 0).
y = 0 2 - 4 · 0 + 3 = 3.
Отже, парабола перетинає вісь 0y у точці (0, 3).
Координати вершини параболи:
x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 - 4 · 2 + 3 = -1.
Отже, точка (2, -1) є вершиною даної параболи.
Малюємо параболу, використовуючи отримані дані (Рис. 1)
2) Частину графіка, що лежить нижче за осю 0x, відображаємо симетрично щодо осі 0x.
3) Отримуємо графік вихідної функції ( Рис. 2, зображено пунктиром).
2. Побудова графіка функції y = f(|x|)
Зауважимо, що функції виду y = f(|x|) є парними:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Отже, графіки таких функцій симетричні щодо осі 0y.
Побудова графіка функції y = f(|x|) складається з наступного нескладного ланцюжка процесів.
1) Побудувати графік функції y = f(x).
2) Залишити ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану у правій напівплощині.
3) Відобразити вказану у пункті (2) частину графіка симетрично осі 0y.
4) Як остаточний графік виділити об'єднання кривих, отриманих у пунктах (2) та (3).
Приклад 2. Зобразити графік функції y = x 2 - 4 · | + 3
Оскільки x 2 = |x| 2 то вихідну функцію можна переписати в наступному вигляді: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. А тепер можемо застосовувати запропонований вище алгоритм.
1) Будуємо акуратно та уважно графік функції y = x 2 – 4 · x + 3 (див. також Рис. 1).
2) Залишаємо ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану у правій напівплощині.
3) Відображаємо праву частинуграфіка симетрично осі 0y.
(Рис. 3).
Приклад 3. Зобразити графік функції y = log 2 | x |
Застосовуємо схему, дану вище.
1) Будуємо графік функції y = log 2 x (Рис. 4).
3. Побудова графіка функції y = | f ( | x |) |
Зауважимо, що функції виду y = | f ( | x |) | теж є парними. Справді, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = | f (| x |) | = y(x), і тому їх графіки симетричні щодо осі 0y. Безліч значень таких функцій: y ≥ 0. Отже, графіки таких функцій розташовані повністю у верхній півплощині.
Щоб побудувати графік функції y = |f(|x|)|, необхідно:
1) Побудувати акуратно графік функції y = f(|x|).
2) Залишити без змін ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.
4) Як остаточний графік виділити об'єднання кривих, отриманих у пунктах (2) та (3).
Приклад 4. Зобразити графік функції y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.
1) Зауважимо, що x 2 = | x | 2 . Значить замість вихідної функції y = -x 2 + 2|x| - 1
можна використовувати функцію y=-|x| 2 + 2 | - 1, тому що їхні графіки збігаються.
Будуємо графік y = - | x | 2 + 2 | - 1. Для цього застосовуємо алгоритм 2.
a) Будуємо графік функції y = -x 2 + 2x - 1 (Рис. 6).
b) Залишаємо ту частину графіка, яка розташована у правій напівплощині.
c) Відображаємо отриману частину графіка симетрично до осі 0y.
d) Отриманий графік зображено на малюнку пунктиром (Мал. 7).
2) Вище осі 0х точок немає, крапки на осі 0х залишаємо без зміни.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осю 0x, відображаємо симетрично щодо 0x.
4) Отриманий графік зображено на малюнку пунктиром (Рис. 8).
Приклад 5. Побудувати графік функції y = | (2 | x | - 4) / ( | X | + 3) |
1) Спочатку необхідно побудувати графік функції y = (2 | x | - 4) / ( | x | + 3). Для цього повертаємось до алгоритму 2.
a) Акуратно будуємо графік функції y = (2x - 4) / (x + 3) (рис. 9).
Зауважимо, що дана функціяє дробово-лінійною та її графік є гіпербола. Для побудови кривої спочатку потрібно визначити асимптоти графіка. Горизонтальна – y = 2/1 (відношення коефіцієнтів при x у чисельнику та знаменнику дробу), вертикальна – x = -3.
2) Ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній, залишимо без змін.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осі 0x, відобразимо симетрично щодо 0x.
4) Остаточний графік зображено малюнку (рис. 11).
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Урок на тему: "Графік та властивості функції $y=x^3$. Приклади побудови графіків"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник для 7 класу "Алгебра за 10 хвилин"
Освітній комплекс 1С "Алгебра, 7-9 класи"
Властивості функції $y=x^3$
Давайте опишемо властивості цієї функції:
1. x – незалежна змінна, y – залежна змінна.
2. Область визначення: очевидно, що з будь-якого значення аргументу (x) можна визначити значення функції (y). Відповідно, область визначення цієї функції – вся числова пряма.
3. Область значень: може бути будь-яким. Відповідно область значень – також вся числова пряма.
4. Якщо x=0, то й y=0.
Графік функції $y=x^3$
1. Складемо таблицю значень:
2. Для позитивних значень x графік функції $ y = x ^ 3 $ дуже схожий на параболу, гілки якої більш "притиснуті" до осі OY.
3. Оскільки негативних значень x функція $y=x^3$ має протилежні значення, то графік функції симетричний щодо початку координат.
Тепер відзначимо крапки на координатної площинита побудуємо графік (див. рис. 1).
Ця крива називається кубічною параболою.
Приклади
I. На невеликому кораблі повністю закінчилася прісна вода. Необхідно привезти достатню кількість води із міста. Вода замовляється заздалегідь і оплачується за повний куб, навіть якщо залити трохи менше. Скільки кубів треба замовити, щоб не переплачувати за зайвий куб і повністю заповнити цистерну? Відомо, що цистерна має однакові довжину, ширину та висоту, які дорівнюють 1,5 м. Розв'яжемо це завдання, не виконуючи обчислень.
Рішення:
1. Побудуємо графік функції $ y = x ^ 3 $.
2. Знайдемо точку А, координата x, яка дорівнює 1,5. Ми бачимо, що координата функції знаходиться між значеннями 3 та 4 (див. рис. 2). Значить треба замовити 4 куби.
У золоте століття інформаційні технологіїмало хто купуватиме міліметрівку і витрачатиме годинник для малювання функції або довільного набору даних, та й навіщо займатися такою нудотною роботою, коли можна побудувати графік функції онлайн. Крім того, підрахувати мільйони значень виразу для правильного відображення практично нереально і складно, та й попри всі зусилля вийде ламана лінія, а не крива. Тому комп'ютер у цьому випадку – незамінний помічник.
Що таке графік функцій
Функція – це правило, яким кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність деякий елемент іншого множини, наприклад, вираз y = 2x + 1 встановлює зв'язок між множинами всіх значень x і всіх значень y, отже, це функція. Відповідно, графіком функції буде називатися безліч точок, координати яких задовольняють заданий вираз.
На малюнку ми бачимо графік функції y = x. Це пряма і кожна її точка має свої координати на осі. Xі на осі Y. Виходячи з визначення, якщо ми підставимо координату Xдеякої точки в дане рівняння, то отримаємо координату цієї точки на осі Y.
Сервіси для побудови графіків функцій онлайн
Розглянемо кілька популярних і кращих сервісів, що дозволяють швидко накреслити графік функції.
Відкриває список найпростіший сервіс, що дозволяє побудувати графік функції рівняння онлайн. Umath містить лише необхідні інструменти, такі як масштабування, пересування по координатній площині та перегляд координати точки, на яку вказує миша.
Інструкція:
- Введіть ваше рівняння у поле після знака «=».
- Натисніть кнопку "Побудувати графік".
Як бачите все гранично просто та доступно, синтаксис написання складних математичних функцій: з модулем, тригонометричних, показових – наведено прямо під графіком. Також за потреби можна задати рівняння параметричним методом або будувати графіки в системі полярної координат.
У Yotx є всі функції попереднього сервісу, але він містить такі цікаві нововведення як створення інтервалу відображення функції, можливість будувати графік за табличними даними, а також виводити таблицю з цілими рішеннями.
Інструкція:
- Виберіть потрібний спосіб завдання графіка.
- Введіть рівняння.
- Встановіть інтервал.
- Натисніть кнопку «Побудувати».
Для тих, кому ліньки розбиратися, як записати ті чи інші функції, на цій позиції представлений сервіс з можливістю вибирати зі списку потрібну одним клацанням миші.
Інструкція:
- Знайдіть у списку необхідну вам функцію.
- Клацніть на неї лівою кнопкою миші
- За потреби введіть коефіцієнти у поле "Функція:".
- Натисніть кнопку «Побудувати».
У плані візуалізації можна змінювати колір графіка, а також приховувати його або зовсім видаляти.
Desmos безумовно – найнавороченіший сервіс для побудови рівнянь онлайн. Пересуваючи курсор із затиснутою лівою кнопкою миші за графіком можна докладно переглянути всі рішення рівняння з точністю до 0,001. Вбудована клавіатура дозволяє швидко писати ступеня та дроби. Найважливішим плюсом є можливість записувати рівняння у будь-якому стані, не наводячи до вигляду: y = f(x).
Інструкція:
- У лівому стовпці клацніть правою кнопкою миші по вільному рядку.
- У нижньому лівому куті натисніть значок клавіатури.
- На панелі наберіть потрібне рівняння (для написання назв функцій перейдіть в розділ «ABC»).
- Графік будується у часі.
Візуалізація просто ідеальна, адаптивна, видно, що над програмою працювали дизайнери. З плюсів можна відзначити велику різноманітність можливостей, для освоєння яких можна подивитися приклади в меню у верхньому лівому кутку.
Сайтів для побудови графіків функцій безліч, проте кожен вільний вибирати для себе виходячи з необхідного функціоналу та особистих уподобань. Список кращих був сформований так, щоб задовольнити вимоги будь-якого математика від малого до великого. Успіхів вам у осягненні «цариці наук»!
