Як знайти НОК (найменше загальне кратне)

Загальне кратне для двох цілих чисел - це таке ціле число, яке ділиться націло без залишку на обидва задані числа.

Найменша загальна кратна для двох цілих чисел - це найменше з усіх цілих чисел, яке ділиться націло і без залишку на обидва задані числа.

Спосіб 1. Знайти НОК можна, по черзі, для кожного із заданих чисел, виписуючи в порядку зростання всі числа, що виходять шляхом їх множення на 1, 2, 3, 4 тощо.

прикладдля чисел 6 та 9.
Множимо число 6, послідовно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Отримуємо: 6, 12, 18 , 24, 30
Множимо число 9, послідовно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Отримуємо: 9, 18 , 27, 36, 45
Як видно, НОК для чисел 6 і 9 дорівнюватиме 18.

Даний спосіб зручний, коли обидва числа невеликі та їх нескладно множити на послідовність цілих чисел. Однак, трапляються випадки, коли потрібно знайти НОК для двозначних чи тризначних чисел, а також коли вихідних чисел три або навіть більше.

Спосіб 2. Знайти НОК можна, розклавши вихідні числа на прості множники.
Після розкладання необхідно викреслити з рядів, що вийшли простих множниківоднакові числа. Решта числа першого числа будуть множником для другого, а залишки числа другого - множником для першого.

прикладдля числа 75 та 60.
Найменше загальне кратне чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 та 60 на прості множники:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Як видно, множники 3 та 5 зустрічаються в обох рядках. Подумки їх "закреслюємо".
Випишемо множники, що залишилися, що входять у розкладання кожного з цих чисел. При розкладанні числа 75 у нас залишилося число 5, а при розкладанні числа 60 залишилися 2 * 2
Значить, щоб визначити НОК для чисел 75 і 60, нам потрібно залишити числа від розкладання 75 (це 5) помножити на 60, а числа, що залишилися від розкладання числа 60 (це 2 * 2) помножити на 75. Тобто, для простоти розуміння , ми говоримо, що множимо "навхрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким чином ми знайшли НОК для чисел 60 і 75. Це - число 300.

приклад. Визначити НОК для чисел 12, 16, 24
У цьому випадку наші дії будуть дещо складнішими. Але, спочатку, як завжди, розкладемо всі числа на прості множники
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Щоб правильно визначити НОК, вибираємо найменше з усіх чисел (це число 12) і послідовно проходимо по його множникам, викреслюючи їх, якщо хоча б в одному з інших рядів чисел зустрівся такий самий ще не закреслений множник.

Крок 1 . Ми бачимо, що 2 * 2 зустрічаються у всіх рядах чисел. Закреслюємо їх.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Крок 2. У простих множниках числа 12 залишилося тільки число 3. Але воно є у простих множниках числа 24. Викреслюємо число 3 з обох рядів, при цьому для числа 16 ніяких дій не передбачається.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Як бачимо, при розкладанні числа 12 ми викреслили всі числа. Отже, знаходження НОК завершено. Залишилося лише обчислити його значення.
Для числа 12 беремо множники, що залишилися, у числа 16 (найближчого за зростанням)
12 * 2 * 2 = 48
Це і є НОК

Як бачимо, в даному випадку перебування НОК було дещо складніше, але коли потрібно його знайти для трьох і більше чисел, даний спосібдозволяє зробити це швидше. Втім, обидва способи знаходження НОК є правильними.

Школярам задають чимало завдань з математики. Серед них часто зустрічаються завдання з таким формулюванням: є два значення. Як знайти найменше загальне кратне для заданих чисел? Необхідно вміти виконувати такі завдання, оскільки отримані навички застосовують для роботи з дробами при різних знаменниках. У статті розберемо, як знайти НОК та основні поняття.

Перш ніж знайти відповідь на питання, як знаходити НОК, потрібно визначитися з терміном кратне. Найчастіше формулювання цього поняття звучить так: кратним деякому значенню А називають таке натуральне число, яке без залишку буде ділитися на А. Так, для 4 кратними будуть 8, 12, 16, 20 і так далі, до необхідної межі.

При цьому кількість дільників для конкретного значення може бути обмеженою, а кратних дуже багато. Також є така сама величина для натуральних значень. Це такий показник, який ділиться на них без залишку. Розібравшись із поняттям найменшого значення для певних показників, перейдемо до того, як його знаходити.

Знаходимо НОК

Найменше кратне двох чи більше показників є найменшим натуральним числом, яке повністю ділиться на всі ці числа.

Існує кілька способів знайти таке значення, Розглянемо такі способи:

1. Якщо числа невеликі, то випишіть у рядок всі, хто поділяється на нього. Продовжуйте це робити, допоки не знайдеться серед них спільне. У запису їх позначають буквою К. Наприклад, для 4 і 3 найменшим кратним є 12.
2. Якщо це великі або потрібно знайти кратне для 3 і більше значень, то слід скористатися іншою методикою, що передбачає розкладання чисел на прості множники. Спочатку розкладаєте найбільше із зазначених, потім усі інші. Кожна з них має свою кількість множників. Як приклад розкладемо 20 (2*2*5) та 50 (5*5*2). У меншого з них підкресліть множники та додайте до найбільшого. В результаті вийде 100, що і буде найменшим загальним кратним для вищеописаних чисел.
3. При знаходженні 3 чисел (16, 24 та 36) принципи такі самі, як і двох інших. Розкладемо кожне з них: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Не увійшли до розкладання найбільшого лише дві двійки з розкладання числа 16. Додаємо їх і отримуємо 144, яке є найменшим результатом для зазначених раніше чисельних значень.

Тепер ми знаємо, якою є загальна методика знаходження найменшого значення для двох, трьох і більше значень. Однак є й приватні методи, які допомагають шукати НОК, якщо попередні не допомагають.

Як знаходити НОД та НОК.

Приватні засоби знаходження

Як і для будь-якого математичного розділу, є окремі випадки знаходження НОК, які допомагають у специфічних ситуаціях:

• якщо одне з чисел ділиться на інші без залишку, то найнижче кратне цих чисел дорівнює йому (НОК 60 і 15 і 15);
• взаємно прості числа немає спільних простих дільників. Їх найменше значення дорівнює добутку цих чисел. Таким чином, для чисел 7 та 8 таким буде 56;
• це правило працює й інших випадків, включаючи спеціальні, про які можна прочитати в спеціалізованій літературі. Сюди слід віднести і випадки розкладання складених чисел, які є темою окремих статей і навіть кандидатських дисертацій.

Окремі випадки трапляються рідше, ніж стандартні приклади. Але завдяки їм можна навчитися працювати з дробами різного ступеня складності. Особливо це актуально для дробів, де є різні знаменники.

Небагато прикладів

Розберемо кілька прикладів, завдяки яким можна зрозуміти принцип знаходження найменшого кратного:

1. Знаходимо НОК (35; 40). Розкладаємо спочатку 35 = 5 * 7, потім 40 = 5 * 8. Додаємо до найменшої цифри 8 і отримуємо НОК 280.
2. НОК (45; 54). Розкладаємо кожне з них: 45 = 3 * 3 * 5 і 54 = 3 * 3 * 6. Додаємо до 45 цифру 6. Отримуємо НОК, що дорівнює 270.
3. Та й останній приклад. Є 5 і 4. Простих кратних їм немає, тому найменше загальне кратне у разі буде їх твір, рівне 20.

Завдяки прикладам можна зрозуміти, як є НОК, які є нюанси і в чому полягає сенс таких маніпуляцій.

Знаходить НОК набагато простіше, ніж здається спочатку. Для цього застосовується як просте розкладання, так і множення простих значень один на одного. Вміння працювати з даним розділом математики допомагає при подальшому вивченні математичних тем, Особливо дробів різного ступеня складності.

Не забувайте періодично вирішувати приклади у різний спосіб, це розвиває логічний апарат і дозволяє запам'ятати численні терміни. Вивчайте методи знаходження такого показника і ви зможете добре працювати з рештою математичних розділів. Вдалого вивчення математики!

Відео

Це відео допоможе вам зрозуміти та запам'ятати, як знаходити найменше загальне кратне.

Розглянемо три способи знаходження найменшого загального кратного.

Знаходження шляхом розкладання на множники

Перший спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.

Допустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:

Щоб число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб до нього входили всі прості множники цих дільників. Для цього нам необхідно взяти всі прості множники цих чисел найбільшою мірою, що зустрічається, і перемножити їх між собою:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13860. Ніяке інше число менше 13860 не ділиться націло на 99, на 30 і на 28.

Щоб знайти найменше загальне кратне даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник із найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, та перемножити ці множники між собою.

Оскільки взаємно прості числа немає загальних простих множників, їх найменше загальне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 та 33 – взаємно прості. Тому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32340.

Так само треба робити, коли знаходиться найменше загальне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Знаходження шляхом підбору

Другий спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом підбору.

Приклад 1. Коли найбільше з цих чисел ділиться націло інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому їх. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 та 6. Кожне з них ділиться націло на 60, отже:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В інших випадках, щоб знайти найменше загальне кратне, використовується наступний порядок дій:

1. Визначаємо найбільше з даних чисел.
2. Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його на натуральні числа в порядку їх зростання і перевіряючи чи діляться на отриманий твір інші дані числа.

Приклад 2. Дано три числа 24, 3 і 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 і 3:

24 · 1 = 24 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 2 = 48 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 3 = 72 - ділиться на 3 та на 18.

Отже, НОК (24, 3, 18) = 72.

Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК

Третій спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом послідовного знаходження НОК.

НОК двох цих чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного з їхньої найбільший спільний дільник.

Приклад 1. Знайдемо НОК двох даних чисел: 12 та 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:

Ділимо твір на їхній НОД:

Таким чином НОК (12, 8) = 24.

Щоб знайти НОК трьох чи більше чисел використовується наступний порядок дій:

1. Спочатку знаходять НОК якихось двох із цих чисел.
2. Потім НОК знайденого найменшого загального кратного і третього даного числа.
3. Потім НОК отриманого найменшого загального кратного і четвертого числа і т.д.
4. Таким чином, пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.

Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 та 9. НОК чисел 12 та 8 ми вже знайшли у попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше загальне кратне числа 24 і третього цього числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:

Ділимо твір на їхній НОД:

Отже, НОК (12, 8, 9) = 72.

Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.

Наприклад:

Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Число 36 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Числа, на які число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 та 12) називаються дільниками числа. Дільник натурального числа a- це таке натуральне число, яке ділить це число aбез залишку. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим .

Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12. Загальний дільник двох даних чисел aі b- це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа aі b.

Загальним кратнимкількох чисел називається число, яке поділяється на кожне із цих чисел. Наприклад, Числа 9, 18 і 45 мають загальне кратне 180. Але 90 і 360 - теж їх загальні кратні. Серед усіх jбщих кратних завжди є найменше, в даному випадку це 90. Це число називається найменшимзагальним кратним (НОК).

НОК завжди натуральне число, яке має бути більшим за найбільший з чисел, для яких воно визначається.

Найменше загальне кратне (НОК). Властивості.

Комутативність:

Асоціативність:

Зокрема, якщо і взаємно-прості числа, то:

Найменше загальне кратне двох цілих чисел mі nє дільником всіх інших загальних кратних mі n. Більш того, безліч спільних кратних m, nзбігається з безліччю кратних для НОК( m, n).

Асимптотики можуть бути виражені через деякі теоретико-числові функції.

Так, функція Чебишева. А також:

Це випливає з визначення та властивостей функції Ландау g(n).

Що випливає із закону розподілу простих чисел.

Знаходження найменшого загального кратного (НОК).

НОК( a, b) можна обчислити декількома способами:

1. Якщо відомий найбільший спільний дільник, можна використовувати його зв'язок із НОК:

2. Нехай відоме канонічне розкладання обох чисел на прості множники:

де p 1 ,...,p k- Різні прості числа, а d 1 ,...,d kі e 1 ,...,e k- Невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутнє у розкладанні).

Тоді НОК ( a,b) обчислюється за формулою:

Іншими словами, розкладання НОК містить усі прості множники, що входять хоча б в одне з розкладів чисел a, b, причому із двох показників ступеня цього множника береться найбільший.

приклад:

Обчислення найменшого загального кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовних обчислень НОК від двох чисел:

Правило.Щоб знайти НОК ряду чисел, потрібно:

- Розкласти числа на прості множники;

- перенести в множники шуканого твору найбільше розкладання (твор множників самого великої кількостііз заданих), а потім додати множники з розкладання інших чисел, які не зустрічаються в першому числі або стоять у ньому менше разів;

- отриманий добуток простих множників буде НОК заданих чисел.

Будь-які два і більше натуральних чиселмають своє НОК. Якщо числа не кратні один одному або не мають однакових множників у розкладанні, то їх НОК дорівнює добутку цих чисел.

Прості множники числа 28 (2, 2, 7) доповнили множником 3 (числа 21), отриманий добуток (84) буде найменшим числом, яке поділяється на 21 та 28 .

Прості множники найбільшого числа 30 доповнили множником 5 числа 25, отриманий твір 150 більший за найбільше 30 і ділиться на все задані числабез залишку. Це найменший твір із можливих (150, 250, 300...), якому кратні всі задані числа.

Числа 2,3,11,37 - прості, тому їх НОК дорівнює добутку заданих чисел.

Правило. Щоб обчислити НОК простих чисел, всі ці числа потрібно перемножити між собою.

Ще один варіант:

Щоб знайти найменше загальне кратне (НОК) кількох чисел потрібно:

1) уявити кожне число як добуток його простих множників, наприклад:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записати ступені всіх простих множників:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) виписати всі прості дільники (множники) кожного із цих чисел;

4) вибрати найбільший ступінь кожного з них, що зустрівся у всіх розкладах цих чисел;

5) перемножити ці ступені.

приклад. Знайти НОК чисел: 168, 180 та 3024.

Рішення. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Виписуємо найбільші ступені всіх простих дільників і перемножуємо їх:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120.