Každá jednotlivá hodnota je úplne určená jej distribučnou funkciou. Na riešenie praktických problémov tiež stačí poznať niekoľko číselné charakteristiky, čo umožňuje prezentovať hlavné črty náhodná premenná v krátkej forme.
Tieto množstvá sú primárne očakávaná hodnota a disperzia .
Očakávaná hodnota- priemerná hodnota náhodnej veličiny v teórii pravdepodobnosti. Označené ako .
najviac jednoduchým spôsobom matematické očakávanie náhodnej premennej X(w), sa nachádzajú ako integrálneLebesgue vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R originálny pravdepodobnostný priestor
Môžete tiež nájsť matematické očakávanie hodnoty ako Lebesgueov integrál od X podľa rozdelenia pravdepodobnosti R X množstvá X:
kde je množina všetkých možných hodnôt X.
Matematické očakávanie funkcií od náhodnej premennej X je prostredníctvom distribúcie R X. Napríklad, ak X- náhodná premenná s hodnotami v a f(x)- jednoznačný Borelfunkciu X , potom:
Ak F(x)- distribučná funkcia X, potom je matematické očakávanie reprezentovateľné integrálneLebesgue - Stieltjes (alebo Riemann - Stieltjes):
zatiaľ čo integrovateľnosť X v akom zmysle ( * ) zodpovedá konečnosti integrálu
V konkrétnych prípadoch, ak X Má diskrétna distribúcia s pravdepodobnými hodnotami x k, k = 1, 2, . , a potom pravdepodobnosti
ak X má absolútne spojité rozdelenie s hustotou pravdepodobnosti p(x), potom
v tomto prípade je existencia matematického očakávania ekvivalentná absolútnej konvergencii zodpovedajúceho radu alebo integrálu.
Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej.
- Očakávaná hodnota konštantná hodnota sa rovná tejto hodnote:
C- konštantný;
- M=C.M[X]
- Matematické očakávanie súčtu náhodne získaných hodnôt sa rovná súčtu ich matematických očakávaní:
- Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných = súčin ich matematických očakávaní:
M=M[X]+M[Y]
ak X a Y nezávislý.
ak rad konverguje:
Algoritmus na výpočet matematického očakávania.
Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty je možné prečíslovať prirodzené čísla; prirovnať každú hodnotu s nenulovou pravdepodobnosťou.
1. Postupne vynásobte dvojice: x i na pi.
2. Pridajte súčin každého páru x i p i.
Napríklad, pre n = 4 :
Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej postupne sa prudko zvyšuje v tých bodoch, ktorých pravdepodobnosti majú kladné znamienko.
Príklad: Nájdite matematické očakávanie podľa vzorca.
Matematické očakávanie (priemerná hodnota) náhodnej premennej X , dané na diskrétnom pravdepodobnostnom priestore, je číslo m =M[X]=∑x i p i , ak rad absolútne konverguje.
Pridelenie služby. S online službou vypočítajú sa matematické očakávania, rozptyl a smerodajná odchýlka(pozri príklad). Okrem toho sa vykreslí graf distribučnej funkcie F(X).
Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej
- Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná sebe samej: M[C]=C , C je konštanta;
- M=C M[X]
- Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: M=M[X]+M[Y]
- Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M=M[X] M[Y], ak sú X a Y nezávislé.
Vlastnosti disperzie
- Disperzia konštantnej hodnoty sa rovná nule: D(c)=0.
- Konštantný faktor možno vybrať spod znamienka rozptylu jeho umocnením: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ak sú náhodné premenné X a Y závislé: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pre rozptyl platí výpočtový vzorec:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2
Príklad. Matematické očakávania a rozptyly dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y sú známe: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej Z=9X-8Y+7 .
Riešenie. Na základe vlastností matematického očakávania: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na základe disperzných vlastností: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmus na výpočet matematického očakávania
Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; Každej hodnote priraďte nenulovú pravdepodobnosť.- Vynásobte dvojice jeden po druhom: x i x p i .
- Pripočítame súčin každej dvojice x i p i .
Napríklad pre n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Príklad #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematické očakávanie nájdeme podľa vzorca m = ∑x i p i .
Matematické očakávanie M[X].
M[x] = 1 x 0,1 + 3 x 0,2 + 4 x 0,1 + 7 x 0,3 + 9 x 0,3 = 5,9
Disperzia sa zistí podľa vzorca d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Smerodajná odchýlka σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Príklad č. 2. Diskrétna náhodná premenná má nasledujúce distribučné rady:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | a | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Riešenie. Hodnota a sa zistí zo vzťahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 alebo 0,24 = 3 a , odkiaľ a = 0,08
Príklad č. 3. Určte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej, ak je známy jej rozptyl a x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x) = 12,96
Riešenie.
Tu musíte vytvoriť vzorec na nájdenie rozptylu d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kde očakávanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pre naše údaje
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
alebo -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Preto je potrebné nájsť korene rovnice a budú dva.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Vyberieme ten, ktorý spĺňa podmienku x 1
Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.
Matematické očakávanie a rozptyl sú najčastejšie používané číselné charakteristiky náhodnej premennej. Charakterizujú najdôležitejšie znaky distribúcie: jej polohu a stupeň rozptylu. Matematické očakávanie sa často označuje jednoducho ako priemer. náhodná premenná. Disperzia náhodnej veličiny - charakteristika disperzie, disperzia náhodnej veličiny okolo svojich matematických očakávaní.
V mnohých problémoch praxe úplný, vyčerpávajúci opis náhodnej premennej - zákon rozdelenia - buď nemožno získať, alebo nie je vôbec potrebný. V týchto prípadoch sa obmedzujú na približný popis náhodnej premennej pomocou číselných charakteristík.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Poďme ku konceptu matematického očakávania. Nech je hmotnosť nejakej látky rozložená medzi bodmi osi x X1 , X 2 , ..., X n. Okrem toho má každý hmotný bod hmotnosť zodpovedajúcu mu s pravdepodobnosťou p1 , p 2 , ..., p n. Je potrebné zvoliť jeden bod na osi x, ktorý charakterizuje polohu celého systému hmotných bodov s prihliadnutím na ich hmotnosti. Je prirodzené brať ako taký bod ťažisko sústavy hmotných bodov. Toto je vážený priemer náhodnej premennej X, v ktorom sú úsečka každého bodu Xi vstupuje s „váhou“ rovnajúcou sa zodpovedajúcej pravdepodobnosti. Takto získaná stredná hodnota náhodnej premennej X sa nazýva jeho matematické očakávanie.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých jej možných hodnôt a pravdepodobností týchto hodnôt:
Príklad 1 Zorganizovali výhernú lotériu. Existuje 1 000 výhier, z ktorých 400 je 10 rubľov. 300 - 20 rubľov každý 200 - 100 rubľov každý. a 100 - 200 rubľov každý. Aká je priemerná výhra človeka, ktorý si kúpi jeden tiket?
Riešenie. Priemernú výhru zistíme, ak sa celková suma výhier, ktorá sa rovná 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubľov, vydelí 1000 (celková suma výhier). Potom dostaneme 50 000/1 000 = 50 rubľov. Ale výraz na výpočet priemerného zisku môže byť reprezentovaný aj v tejto forme:
Na druhej strane, za týchto podmienok je výška výhry náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť hodnoty 10, 20, 100 a 200 rubľov. s pravdepodobnosťou rovnou 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Preto sa očakávaný priemerný výnos rovná súčtu súčinov veľkosti výnosov a pravdepodobnosti ich získania.
Príklad 2 Vydavateľstvo sa rozhodlo vydať novú knihu. Knihu sa chystá predať za 280 rubľov, z čoho 200 dostane jemu, 50 kníhkupectvu a 30 autorovi. Tabuľka poskytuje informácie o nákladoch na vydanie knihy a pravdepodobnosti predaja určitého počtu výtlačkov knihy.
Nájdite očakávaný zisk vydavateľa.
Riešenie. Náhodná premenná „zisk“ sa rovná rozdielu medzi príjmom z predaja a nákladmi na náklady. Napríklad, ak sa predá 500 kópií knihy, príjem z predaja je 200 * 500 = 100 000 a náklady na vydanie sú 225 000 rubľov. Vydavateľovi tak hrozí strata 125 000 rubľov. Nasledujúca tabuľka sumarizuje očakávané hodnoty náhodnej premennej - zisku:
| číslo | Zisk Xi | Pravdepodobnosť pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Celkom: | 1,00 | 25000 |
Takto získame matematické očakávanie zisku vydavateľa:
.
Príklad 3Šanca zasiahnuť jednou ranou p= 0,2. Určte spotrebu škrupín, ktoré poskytujú matematický predpoklad počtu zásahov rovný 5.
Riešenie. Vyjadrujeme z rovnakého vzorca očakávania, ktorý sme používali doteraz X- spotreba škrupín:
.
Príklad 4 Určte matematické očakávanie náhodnej premennej X počet zásahov pri troch výstreloch, ak je pravdepodobnosť zásahu pri každom výstrele p = 0,4 .
Tip: nájdite pravdepodobnosť hodnôt náhodnej premennej podľa Bernoulliho vzorec .
Vlastnosti očakávania
Zvážte vlastnosti matematického očakávania.
Nehnuteľnosť 1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante:
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať zo znamenia očakávania:
Nehnuteľnosť 3. Matematické očakávanie súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 4. Matematické očakávanie súčinu náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 5. Ak sú všetky hodnoty náhodnej premennej X znížiť (zvýšiť) o rovnaké číslo OD, potom sa jeho matematické očakávanie zníži (zvýši) o rovnaké číslo:
Keď sa nemôžete obmedziť len na matematické očakávania
Vo väčšine prípadov len matematické očakávanie nedokáže adekvátne charakterizovať náhodnú premennú.
Nech náhodné premenné X a Y sú dané nasledujúcimi distribučnými zákonmi:
| Význam X | Pravdepodobnosť |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Význam Y | Pravdepodobnosť |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematické očakávania týchto veličín sú rovnaké - rovné nule:
Ich distribúcia je však odlišná. Náhodná hodnota X môže nadobúdať iba hodnoty, ktoré sa málo líšia od matematického očakávania a náhodnej premennej Y môže nadobudnúť hodnoty, ktoré sa výrazne odchyľujú od matematického očakávania. Podobný príklad: priemerná mzda neumožňuje posúdiť podiel vysoko a nízko platených pracovníkov. Inými slovami, matematickým očakávaním nemožno posúdiť, aké odchýlky od neho, aspoň v priemere, sú možné. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť rozptyl náhodnej premennej.
Disperzia diskrétnej náhodnej premennej
disperzia diskrétna náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od matematického očakávania:
Smerodajná odchýlka náhodnej premennej X je aritmetická hodnota druhej odmocniny jej rozptylu:
.
Príklad 5 Vypočítajte rozptyly a smerodajné odchýlky náhodných premenných X a Y, ktorého distribučné zákony sú uvedené v tabuľkách vyššie.
Riešenie. Matematické očakávania náhodných premenných X a Y, ako je uvedené vyššie, sa rovnajú nule. Podľa disperzného vzorca pre E(X)=E(r)=0 dostaneme:
Potom smerodajné odchýlky náhodných premenných X a Y tvoria
.
Teda pri rovnakých matematických očakávaniach rozptyl náhodnej premennej X veľmi malé a náhodné Y- významný. Je to dôsledok rozdielu v ich rozdelení.
Príklad 6 Investor má 4 alternatívne investičné projekty. Tabuľka sumarizuje údaje o očakávanom zisku v týchto projektoch s príslušnou pravdepodobnosťou.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Nájdite pre každú alternatívu matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku.
Riešenie. Ukážme, ako sa tieto množstvá počítajú pre 3. alternatívu:
Tabuľka sumarizuje zistené hodnoty pre všetky alternatívy.
Všetky alternatívy majú rovnaké matematické očakávania. To znamená, že z dlhodobého hľadiska majú všetci rovnaký príjem. Smerodajnú odchýlku možno interpretovať ako mieru rizika – čím je väčšia, tým väčšie je riziko investície. Investor, ktorý nechce veľa riskovať, si vyberie projekt 1, pretože má najmenšiu smerodajnú odchýlku (0). Ak investor uprednostňuje riziko a vysoké výnosy v krátkom období, vyberie si projekt s najväčšou smerodajnou odchýlkou – projekt 4.
Vlastnosti disperzie
Uveďme si vlastnosti disperzie.
Nehnuteľnosť 1. Disperzia konštantnej hodnoty je nula:
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením:
.
Nehnuteľnosť 3. Rozptyl náhodnej premennej sa rovná matematickému očakávaniu druhej mocniny tejto hodnoty, od ktorej sa odpočíta druhá mocnina matematického očakávania samotnej hodnoty:
,
kde 
.
Nehnuteľnosť 4. Rozptyl súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich rozptylov:
Príklad 7 Je známe, že diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty: −3 a 7. Okrem toho je známe matematické očakávanie: E(X) = 4. Nájdite rozptyl diskrétnej náhodnej premennej.
Riešenie. Označiť podľa p pravdepodobnosť, s ktorou náhodná premenná nadobudne hodnotu X1 = −3 . Potom pravdepodobnosť hodnoty X2 = 7 bude 1 - p. Odvoďme rovnicu pre matematické očakávania:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
kde dostaneme pravdepodobnosti: p= 0,3 a 1 - p = 0,7 .
Zákon rozdelenia náhodnej premennej:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Rozptyl tejto náhodnej premennej vypočítame pomocou vzorca z vlastnosti 3 rozptylu:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej sami a potom uvidíte riešenie
Príklad 8 Diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty. Má väčšiu hodnotu 3 s pravdepodobnosťou 0,4. Okrem toho je známy rozptyl náhodnej premennej D(X) = 6. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej.
Príklad 9 Urna obsahuje 6 bielych a 4 čierne gule. Z urny sa odoberú 3 loptičky. Počet bielych guľôčok medzi vyžrebovanými guľami je diskrétna náhodná premenná X. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.
Riešenie. Náhodná hodnota X môže nadobúdať hodnoty 0, 1, 2, 3. Zodpovedajúce pravdepodobnosti je možné vypočítať z pravidlo násobenia pravdepodobností. Zákon rozdelenia náhodnej premennej:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Z toho vyplýva matematické očakávanie tejto náhodnej premennej:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Rozptyl danej náhodnej premennej je:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Matematické očakávanie a disperzia spojitej náhodnej premennej
Pre spojitú náhodnú premennú si mechanická interpretácia matematického očakávania zachová rovnaký význam: ťažisko pre jednotkovú hmotnosť rozloženú súvisle na osi x s hustotou f(X). Na rozdiel od diskrétnej náhodnej premennej, pre ktorú je argument funkcie Xi mení sa náhle, pre spojitú náhodnú premennú sa argument mení nepretržite. Ale matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej súvisí aj s jej strednou hodnotou.
Ak chcete nájsť matematické očakávanie a rozptyl spojitej náhodnej premennej, musíte nájsť určité integrály . Ak je daná funkcia hustoty spojitej náhodnej premennej, vstupuje priamo do integrandu. Ak je daná funkcia rozdelenia pravdepodobnosti, potom jej diferencovaním musíte nájsť funkciu hustoty.
Aritmetický priemer všetkých možných hodnôt spojitej náhodnej premennej sa nazýva jeho matematické očakávanie, označené alebo .
Ako už bolo známe, distribučný zákon úplne charakterizuje náhodnú premennú. Zákon o distribúcii je však často neznámy a človek sa musí obmedziť na menej informácií. Niekedy je ešte výhodnejšie použiť čísla, ktoré celkovo opisujú náhodnú premennú; takéto čísla sa volajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.
Matematické očakávanie je jednou z dôležitých číselných charakteristík.
Matematické očakávanie sa približne rovná priemernej hodnote náhodnej premennej.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých jeho možných hodnôt a ich pravdepodobnosti.
Ak je náhodná premenná charakterizovaná konečným distribučným radom:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
potom matematické očakávanie M(X) sa určuje podľa vzorca:
Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej je určené rovnosťou:
kde je hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej X.
Príklad 4.7. Nájdite matematické očakávanie počtu bodov, ktoré vypadnú pri hode kockou.
Riešenie:
Náhodná hodnota X nadobúda hodnoty 1, 2, 3, 4, 5, 6. Urobme zákon jeho rozloženia:
| X | ||||||
| R |
Potom matematické očakávanie je:
Vlastnosti matematického očakávania:
1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante:
M(S)=S.
2. Konštantný faktor možno vyňať zo znamenia očakávania:
M(CX) = CM(X).
3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:
M(XY) = M(X)M(Y).
Príklad 4.8. Nezávislé náhodné premenné X a Y sú dané nasledujúcimi distribučnými zákonmi:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej XY.
Riešenie.
Poďme nájsť matematické očakávania každej z týchto veličín:
náhodné premenné X a Y nezávislé, takže požadované matematické očakávanie:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Dôsledok. Matematické očakávanie súčinu niekoľkých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.
4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Dôsledok. Matematické očakávanie súčtu niekoľkých náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní členov.
Príklad 4.9. Vystrelia sa 3 výstrely s pravdepodobnosťou zasiahnutia cieľa rovnajúcou sa p 1 = 0,4; p2= 0,3 a p 3= 0,6. Nájdite matematické očakávanie celkového počtu zásahov.
Riešenie.
Počet zásahov pri prvom výstrele je náhodná veličina X 1, ktorá môže nadobudnúť iba dve hodnoty: 1 (zásah) s pravdepodobnosťou p 1= 0,4 a 0 (chyba) s pravdepodobnosťou q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematické očakávanie počtu zásahov pri prvom výstrele sa rovná pravdepodobnosti zásahu:
Podobne nájdeme matematické očakávania počtu zásahov v druhom a treťom výstrele:
M(2x)= 0,3 a M (X 3) \u003d 0,6.
Celkový počet zásahov je tiež náhodná premenná pozostávajúca zo súčtu zásahov v každom z troch záberov:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Požadované matematické očakávanie X nachádzame podľa matematickej vety, očakávanie súčtu.
- počet chlapcov medzi 10 novorodencami.
Je celkom jasné, že toto číslo nie je vopred známe a v nasledujúcich desiatich narodených deťoch môžu byť:
Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.
A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:
- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).
Ani majster športu to nevie odhadnúť :)
Aké sú však vaše hypotézy?
2) Spojitá náhodná veličina – berie všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného rozsahu.
Poznámka : skratky DSV a NSV sú populárne v náučnej literatúre
Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.
Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
- toto je zhoda medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke: 
Termín je celkom bežný riadok
distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a preto sa budem držať "zákona".
A teraz veľmi dôležitý bod: od náhodnej premennej nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:
alebo ak je napísané zložené:
Napríklad zákon rozdelenia pravdepodobnosti bodov na kocke má nasledujúci tvar: 
Bez komentára.
Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobudnúť iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:
Príklad 1
Niektoré hry majú nasledujúci zákon o distribúcii výplat: 
...asi o takýchto úlohách snívaš už dlho :) Prezradím ti tajomstvo - ja tiež. Najmä po ukončení prác na teória poľa.
Riešenie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej: 
Odhaľujeme „partizána“: 
– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.
Kontrola: čo sa musíte uistiť.
Odpoveď:
Nie je nezvyčajné, keď zákon o rozdeľovaní treba zostaviť samostatne. Na toto použitie klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace / sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:
Príklad 2
V krabici je 50 lotériových lístkov, z ktorých 12 je výherných a 2 z nich vyhrávajú každý po 1000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - veľkosť výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket z krabice.
Riešenie: ako ste si všimli, je zvykom umiestňovať hodnoty náhodnej premennej vzostupné poradie. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.
Celkovo je takýchto lístkov 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
je pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket nevyhrá.
Ostatné prípady sú jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:
Kontrola: - a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!
Odpoveď: požadovaný zákon o rozdelení výplat: 
Nasledujúca úloha pre nezávislé rozhodnutie:
Príklad 3
Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Vytvorte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.
... vedel som, že ti chýbal :) Spomíname vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Zákon o rozdelení úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi je užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich. číselné charakteristiky .
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Zjednodušene povedané, toto priemerná očakávaná hodnota s opakovaným testovaním. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou 
resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty podľa zodpovedajúcich pravdepodobností:
alebo v zloženom tvare: 
Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov, ktoré padne na kocke:
Teraz si pripomeňme našu hypotetickú hru: 
Vynára sa otázka: je vôbec výhodné hrať túto hru? ... kto má nejaké dojmy? Takže nemôžete povedať „offhand“! Ale na túto otázku možno ľahko odpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - Vážený priemer pravdepodobnosť výhry:
Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.
Neverte dojmom – dôverujte číslam!
Áno, tu môžete vyhrať 10 alebo dokonca 20-30 krát za sebou, ale z dlhodobého hľadiska nás to nevyhnutne zruinuje. A také hry by som ti neradil :) No možno len pre zábavu.
Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie NIE JE NÁHODNÁ hodnota.
Kreatívna úloha pre nezávislý výskum:
Príklad 4
Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na červenú. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej veličiny – jej výplatu. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na kopejky. Ako priemer prehráva hráč za každú stovku vsadených?
Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). V prípade vypadnutia „červenej“ je hráčovi vyplatená dvojnásobná stávka, inak ide do príjmu kasína
Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony a tabuľky, pretože je isté, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Len zmeny zo systému na systém
