Inštrukcia

Ak je modul reprezentovaný ako spojitá funkcia, potom hodnota jeho argumentu môže byť kladná alebo záporná: |х| = x, x > 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Je ľahké vidieť, že sčítanie a odčítanie komplexných čísel sa riadi rovnakým pravidlom ako sčítanie a .

Súčin dvoch komplexných čísel je:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Keďže i^2 = -1, konečný výsledok je:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Operácie umocnenia a extrakcie odmocniny pre komplexné čísla sú definované rovnakým spôsobom ako pre reálne čísla. V komplexnej oblasti však pre ľubovoľné číslo existuje presne n čísel b takých, že b^n = a, čiže n koreňov n-tého stupňa.

Konkrétne to znamená, že každá algebraická rovnica n-tého stupňa v jednej premennej má presne n komplexných koreňov, z ktorých niektoré môžu byť a .

Podobné videá

Zdroje:

• Prednáška "Komplexné čísla" v roku 2019

Koreň je ikona, ktorá označuje matematickú operáciu nájdenia takého čísla, ktorej zvýšenie o stupeň uvedený pred znakom koreňa by malo poskytnúť číslo uvedené pod týmto znakom. Na vyriešenie problémov, v ktorých sú korene, často nestačí len vypočítať hodnotu. Musíme vykonať ďalšie operácie, jednou z nich je zavedenie čísla, premennej alebo výrazu pod koreňový znak.

Inštrukcia

Určte exponent odmocniny. Indikátor je celé číslo označujúce mocninu, na ktorú sa musí zvýšiť výsledok výpočtu odmocniny, aby sa získal koreňový výraz (číslo, z ktorého je tento odmocninec extrahovaný). Exponent koreňa, zadaný ako horný index pred ikonou koreňa. Ak tento nie je špecifikovaný, je Odmocnina, ktorého stupeň je dva. Napríklad koreňový exponent √3 je dva, exponent ³√3 je tri, koreňový exponent ⁴√3 je štyri atď.

Zvýšte číslo, ktoré chcete pridať pod znamienko odmocniny, na mocninu rovnajúcu sa exponentu tohto odmocniny, ktorý ste určili v predchádzajúcom kroku. Napríklad, ak potrebujete zadať číslo 5 pod znamienkom odmocniny ⁴√3, potom exponent odmocniny je štyri a potrebujete výsledok zvýšenia 5 na štvrtú mocninu 5⁴=625. Môžete to urobiť akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje - vo vašej mysli, pomocou kalkulačky alebo zodpovedajúcich zverejnených služieb.

Zadajte hodnotu získanú v predchádzajúcom kroku pod znamienko koreňa ako násobiteľa radikálneho výrazu. Pre príklad použitý v predchádzajúcom kroku s pridaním pod koreň ⁴√3 5 (5*⁴√3) možno túto akciu vykonať takto: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Ak je to možné, zjednodušte výsledný radikálny výraz. Pre príklad z predchádzajúcich krokov je to tak, že stačí vynásobiť čísla pod znamienkom odmocniny: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Tým sa dokončí operácia pridania čísla pod koreň.

Ak sú v úlohe neznáme premenné, potom je možné vykonať vyššie uvedené kroky všeobecný pohľad. Napríklad, ak chcete zaviesť neznámu premennú x pod koreň štvrtého stupňa a koreňový výraz je 5/x³, potom celú postupnosť akcií možno zapísať takto: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Zdroje:

• ako sa nazýva koreňový znak

Reálne čísla nestačia na riešenie žiadnej kvadratickej rovnice. Najjednoduchšia kvadratická rovnica, ktorá nemá korene medzi reálnymi číslami, je x^2+1=0. Pri riešení sa ukáže, že x=±sqrt(-1) a podľa zákonov elementárnej algebry extrahujte koreň párneho stupňa zo záporu čísla je zakázané.

Termín (modul) v doslovnom preklade z latinčiny znamená „merať“. Tento pojem zaviedol do matematiky anglický vedec R. Cotes. A nemecký matematik K. Weierstrass predstavil znak modulu - symbol, ktorým sa tento pojem pri písaní označuje.

Prvýkrát sa tento pojem študuje v matematike v rámci programu 6. ročníka. stredná škola. Podľa jednej definície je modul absolútna hodnota reálneho čísla. Inými slovami, ak chcete zistiť modul reálneho čísla, musíte zahodiť jeho znamienko.

Graficky absolútna hodnota a označené ako |a|.

Hlavné rozlišovacia črta tohto pojmu spočíva v tom, že ide vždy o nezápornú veličinu.

Čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkom, sa nazývajú opačné čísla. Ak je hodnota kladná, potom je jej opak záporný a nula je jej vlastným opakom.

geometrická hodnota

Ak vezmeme do úvahy koncept modulu z hľadiska geometrie, potom bude označovať vzdialenosť, ktorá sa meria v jednotkových segmentoch od začiatku po daný bod. Táto definícia plne odhaľuje geometrický zmysel skúmaný pojem.

Graficky to možno vyjadriť takto: |a| = O.A.

Vlastnosti absolútnej hodnoty

Nižšie zvážime všetky matematické vlastnosti tohto konceptu a spôsoby písania vo forme doslovných výrazov:

Vlastnosti riešenia rovníc s modulom

Ak hovoríme o riešení matematických rovníc a nerovníc, ktoré obsahujú modul, musíte si uvedomiť, že na ich vyriešenie budete musieť tento znak otvoriť.

Napríklad, ak znamienko absolútnej hodnoty obsahuje nejaký matematický výraz, tak pred otvorením modulu je potrebné vziať do úvahy aktuálne matematické definície.

|A + 5| = A + 5 ak A je väčšie alebo rovné nule.

5-A ak je A menšie ako nula.

V niektorých prípadoch môže byť znamienko jednoznačne rozšírené pre akúkoľvek hodnotu premennej.

Uvažujme ešte o jednom príklade. Zostrojme súradnicovú čiaru, na ktorej označíme všetky číselné hodnoty, ktorých absolútna hodnota bude 5.

Najprv musíte nakresliť súradnicovú čiaru, určiť na nej počiatok súradníc a nastaviť veľkosť jedného segmentu. Okrem toho musí mať čiara smer. Teraz na tejto priamke je potrebné použiť značky, ktoré sa budú rovnať hodnote jedného segmentu.

Môžeme teda vidieť, že na tejto súradnicovej línii budú pre nás dva body záujmu s hodnotami 5 a -5.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných udalostiach a Pripravované akcie.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

V tomto článku budeme podrobne analyzovať absolútna hodnota čísla. Dáme rôzne definície modul čísla, zavádzame notáciu a dávame grafické ilustrácie. Pritom zvážte rôzne príklady nájdenie modulu čísla podľa definície. Potom uvádzame a zdôvodňujeme hlavné vlastnosti modulu. Na konci článku si povieme, ako sa určuje a zisťuje modul komplexného čísla.

Navigácia na stránke.

Modul počtu - definícia, zápis a príklady

Najprv sa predstavíme označenie modulu. Modul čísla a budeme písať ako , to znamená, že naľavo a napravo od čísla umiestnime zvislé čiary, ktoré tvoria znamienko modulu. Uveďme pár príkladov. Napríklad modulo -7 možno zapísať ako ; modul 4 125 je zapísaný ako a modul je zapísaný ako .

Nasledujúca definícia modulu sa vzťahuje na, a teda, na celé čísla a na racionálne a iracionálne čísla, ako na jednotlivé časti množiny reálnych čísel. Budeme hovoriť o module komplexného čísla v.

Definícia.

Modul a je buď samotné číslo a, ak a je kladné číslo, alebo číslo −a, opak čísla a, ak a je záporné číslo, alebo 0, ak a=0 .

Vyslovená definícia modulu čísla sa často píše v nasledujúcom tvare , tento zápis znamená, že ak a>0 , ak a=0 a ak a<0 .

Záznam môže byť reprezentovaný v kompaktnejšej forme . Tento zápis znamená, že ak (a je väčšie alebo rovné 0 ), a ak a<0 .

Existuje aj záznam . Tu by mal byť prípad, keď a=0 vysvetlený samostatne. V tomto prípade máme , ale −0 = 0 , keďže nula sa považuje za číslo, ktoré je opačné.

Poďme priniesť príklady hľadania modulu čísla s danou definíciou. Napríklad nájdime moduly s číslami 15 a . Začnime hľadaním. Keďže číslo 15 je kladné, jeho modul sa podľa definície rovná tomuto samotnému číslu, teda . Aký je modul čísla? Keďže je záporné číslo, jeho modul sa rovná číslu opačnému k číslu, teda číslu . Touto cestou, .

Na záver tohto odseku uvádzame jeden záver, ktorý je veľmi vhodné aplikovať v praxi pri hľadaní modulu čísla. Z definície modulu čísla vyplýva, že modul čísla sa rovná číslu pod znamienkom modulu bez ohľadu na jeho znamienko a z vyššie uvedených príkladov je to veľmi jasne viditeľné. Vyjadrené vyhlásenie vysvetľuje, prečo sa modul čísla tiež nazýva absolútna hodnota čísla. Takže modul čísla a absolútna hodnota čísla sú jedno a to isté.

Modul čísla ako vzdialenosť

Geometricky možno modul čísla interpretovať ako vzdialenosť. Poďme priniesť určenie modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Definícia.

Modul a je vzdialenosť od začiatku na súradnicovej čiare k bodu zodpovedajúcemu číslu a.

Táto definícia je v súlade s definíciou modulu čísla uvedenou v prvom odseku. Vysvetlime si tento bod. Vzdialenosť od začiatku k bodu zodpovedajúcemu kladnému číslu sa rovná tomuto číslu. Nula zodpovedá počiatku, takže vzdialenosť od počiatku k bodu so súradnicou 0 je nula (žiaden jednotlivý segment a žiadny segment, ktorý tvorí zlomok segmentu jednotky, nie je potrebné odložiť, aby ste sa dostali z bodu O do bodu so súradnicou 0). Vzdialenosť od počiatku k bodu so zápornou súradnicou sa rovná číslu opačnému k súradnici daného bodu, pretože sa rovná vzdialenosti od počiatku k bodu, ktorého súradnica je opačné číslo.

Napríklad modul čísla 9 je 9, pretože vzdialenosť od začiatku k bodu so súradnicou 9 je deväť. Uveďme si ďalší príklad. Bod so súradnicou −3,25 je od bodu O vo vzdialenosti 3,25, tzn .

Znela definícia modulu čísla je špeciálnym prípadom definovania modulu rozdielu dvoch čísel.

Definícia.

Diferenčný modul dvoch čísel a a b sa rovná vzdialenosti medzi bodmi súradnicovej čiary so súradnicami a a b .

To znamená, že ak sú dané body na súradnicovej čiare A(a) a B(b), potom sa vzdialenosť od bodu A do bodu B rovná modulu rozdielu medzi číslami a a b. Ak zoberieme bod O (referenčný bod) ako bod B, tak dostaneme definíciu modulu čísla uvedeného na začiatku tohto odseku.

Určenie modulu čísla pomocou aritmetickej druhej odmocniny

Niekedy nájdené stanovenie modulu pomocou aritmetickej druhej odmocniny.

Napríklad vypočítajme moduly čísel −30 a na základe tejto definície. Máme . Podobne vypočítame modul dvoch tretín: .

Definícia modulu čísla v zmysle aritmetickej druhej odmocniny je tiež v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Ukážme to. Nech a je kladné číslo a nech −a je záporné. Potom a , ak a=0 , potom .

Vlastnosti modulu

Modul má niekoľko charakteristických výsledkov - vlastnosti modulu. Teraz uvedieme hlavné a najčastejšie používané z nich. Pri zdôvodňovaní týchto vlastností sa budeme opierať o definíciu modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Začnime najzrejmejšou vlastnosťou modulu − modul čísla nemôže byť záporné číslo. V doslovnom tvare má táto vlastnosť tvar pre ľubovoľné číslo a . Táto vlastnosť sa dá veľmi ľahko zdôvodniť: modul čísla je vzdialenosť a vzdialenosť nemôže byť vyjadrená ako záporné číslo.

Prejdime k ďalšej vlastnosti modulu. Modul čísla sa rovná nule práve vtedy, ak je toto číslo nula. Modul nuly je podľa definície nulový. Nula zodpovedá začiatku, žiadny iný bod na súradnicovej línii nezodpovedá nule, pretože každé reálne číslo je spojené s jedným bodom na súradnicovej línii. Z rovnakého dôvodu každé číslo iné ako nula zodpovedá inému bodu, ako je počiatok. A vzdialenosť od začiatku k akémukoľvek inému bodu ako k bodu O sa nerovná nule, pretože vzdialenosť medzi dvoma bodmi je rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa tieto body zhodujú. Vyššie uvedená úvaha dokazuje, že iba nulový modul sa rovná nule.

Pohni sa. Opačné čísla majú rovnaké moduly, to znamená pre ľubovoľné číslo a . V skutočnosti dva body na súradnicovej čiare, ktorých súradnice sú opačné čísla, sú v rovnakej vzdialenosti od začiatku, čo znamená, že moduly opačných čísel sú rovnaké.

Ďalšia vlastnosť modulu je: modul súčinu dvoch čísel sa rovná súčinu modulov týchto čísel, teda . Podľa definície je modul súčinu čísel a a b buď a b, ak , alebo −(a b) ak . Z pravidiel násobenia reálnych čísel vyplýva, že súčin modulov čísel a a b sa rovná buď a b , , alebo −(a b) , ak , čo dokazuje uvažovanú vlastnosť.

Modul podielu delenia a číslom b sa rovná podielu delenia modulu a modulom b, teda . Zdôvodnime túto vlastnosť modulu. Keďže kvocient sa rovná súčinu, potom . Na základe predchádzajúcej vlastnosti máme . Zostáva len použiť rovnosť , ktorá je platná vďaka definícii modulu čísla.

Nasledujúca vlastnosť modulu je zapísaná ako nerovnosť: , a , b a c sú ľubovoľné reálne čísla. Písomná nerovnosť nie je nič iné ako trojuholníková nerovnosť. Aby to bolo jasné, zoberme si body A(a) , B(b) , C(c) na súradnicovej priamke a uvažujme degenerovaný trojuholník ABC, ktorého vrcholy ležia na tej istej priamke. Podľa definície sa modul rozdielu rovná dĺžke segmentu AB, - dĺžke segmentu AC a - dĺžke segmentu CB. Keďže dĺžka žiadnej strany trojuholníka nepresahuje súčet dĺžok ostatných dvoch strán, nerovnosť , teda platí aj nerovnosť.

Práve preukázaná nerovnosť je oveľa bežnejšia vo forme . Zapísaná nerovnosť sa zvyčajne považuje za samostatnú vlastnosť modulu s formuláciou: „ Modul súčtu dvoch čísel nepresahuje súčet modulov týchto čísel". Ale nerovnosť priamo vyplýva z nerovnosti , ak do nej vložíme −b namiesto b a vezmeme c=0 .

Modul komplexného čísla

Dajme si stanovenie modulu komplexného čísla. Nech nám je dané komplexné číslo, napísané v algebraickom tvare , kde x a y sú nejaké reálne čísla, ktoré reprezentujú reálnu a imaginárnu časť daného komplexného čísla z a je imaginárnou jednotkou.

Modul je absolútna hodnota výrazu. Ak chcete aspoň nejako označiť modul, je obvyklé používať rovné konzoly. Hodnota, ktorá je uzavretá v párnych zátvorkách, je hodnota, ktorá sa používa modulo. Proces riešenia akéhokoľvek modulu spočíva v otvorení tých istých priamych zátvoriek, ktoré sa v matematickom jazyku nazývajú modulárne zátvorky. K ich zverejneniu dochádza podľa určitého počtu pravidiel. V poradí modulov riešenia sú tiež množiny hodnôt tých výrazov, ktoré boli v zátvorkách modulov. Vo väčšine prípadov je modul rozšírený takým spôsobom, že výraz, ktorý bol submodulom, dostane kladné aj záporné hodnoty, vrátane hodnoty nula. Ak vychádzame zo stanovených vlastností modulu, tak sa v procese zostavujú rôzne rovnice či nerovnice z pôvodného výrazu, ktoré je potom potrebné riešiť. Poďme zistiť, ako vyriešiť moduly.

Proces riešenia

Riešenie modulu začína napísaním pôvodnej rovnice s modulom. Ak chcete odpovedať na otázku, ako riešiť rovnice s modulom, musíte ho úplne otvoriť. Na vyriešenie takejto rovnice sa modul rozšíri. Musia sa zvážiť všetky modulárne výrazy. Je potrebné určiť, pri akých hodnotách neznámych veličín zahrnutých v jeho zložení modulárny výraz v zátvorkách zmizne. Aby to bolo možné, stačí prirovnať výraz v modulárnych zátvorkách k nule a potom vypočítať riešenie výslednej rovnice. Zistené hodnoty musia byť zaznamenané. Rovnakým spôsobom musíte tiež určiť hodnotu všetkých neznámych premenných pre všetky moduly v tejto rovnici. Ďalej je potrebné zaoberať sa definíciou a zohľadnením všetkých prípadov existencie premenných vo výrazoch, keď sú odlišné od hodnoty nula. Na to je potrebné zapísať nejaký systém nerovností zodpovedajúci všetkým modulom v pôvodnej nerovnosti. Nerovnosti musia byť zložené tak, aby pokryli všetky dostupné a možné hodnoty premennej, ktoré sa nachádzajú na číselnej osi. Potom musíte na vizualizáciu nakresliť rovnakú číselnú os, na ktorú v budúcnosti umiestnite všetky získané hodnoty.

Takmer všetko sa dnes dá vybaviť online. Modul nie je výnimkou z pravidiel. Môžete to vyriešiť online na jednom z mnohých moderných zdrojov. Všetky tieto hodnoty premennej, ktoré sú v nulovom module, budú špeciálnym obmedzením, ktoré sa použije v procese riešenia modulárnej rovnice. V pôvodnej rovnici je potrebné rozšíriť všetky dostupné modulárne zátvorky a zároveň zmeniť znamienko výrazu tak, aby sa hodnoty požadovanej premennej zhodovali s hodnotami, ktoré sú viditeľné na číselnej osi. Výsledná rovnica musí byť vyriešená. Hodnotu premennej, ktorú získame v priebehu riešenia rovnice, je potrebné kontrolovať voči obmedzeniu, ktoré je nastavené samotným modulom. Ak hodnota premennej plne spĺňa podmienku, potom je správna. Všetky korene, ktoré sa získajú v priebehu riešenia rovnice, ale nebudú vyhovovať obmedzeniam, musia byť vyradené.