Am considerat mai multe sisteme complet diferite din punct de vedere fizic și ne-am asigurat că ecuațiile mișcării sunt reduse la aceeași formă

Diferențele dintre sistemele fizice apar doar în definiție diferită cantități si in diverse simțul fizic variabil X: poate fi o coordonată, un unghi, o sarcină, un curent etc. Rețineți că în acest caz, după cum reiese din însăși structura ecuației (1.18), mărimea are întotdeauna dimensiunea timpului invers.

Ecuația (1.18) descrie așa-numitul vibratii armonice.

Ecuația vibratii armonice(1.18) este liniară ecuație diferențială de ordinul doi (deoarece conține derivata a doua a variabilei X). Liniaritatea ecuației înseamnă că

dacă vreo funcție x(t) este o soluție a acestei ecuații, apoi funcția Cx(t) va fi si solutia lui ( C este o constantă arbitrară);

dacă funcţiile x 1 (t)și x 2 (t) sunt soluții ale acestei ecuații, apoi suma lor x 1 (t) + x 2 (t) va fi, de asemenea, o soluție la aceeași ecuație.

Se demonstrează și o teoremă matematică, conform căreia ecuația de ordinul doi are două soluții independente. Toate celelalte soluții, conform proprietăților liniarității, pot fi obținute ca combinații liniare ale acestora. Este ușor de verificat prin diferențiere directă că funcțiile independente și satisfac ecuația (1.18). Deci soluția generală a acestei ecuații este:

Unde C1,C2 sunt constante arbitrare. Această soluție poate fi prezentată și sub altă formă. Introducem cantitatea

și definiți unghiul ca:

Atunci soluția generală (1.19) se scrie ca

Conform formulelor de trigonometrie, expresia dintre paranteze este

Ajungem in sfarsit la soluţia generală a ecuaţiei oscilaţiilor armonice la fel de:

Valoare nenegativă A numit amplitudinea oscilației, - faza inițială a oscilației. Întregul argument cosinus - combinația - este numit faza de oscilatie.

Expresiile (1.19) și (1.23) sunt perfect echivalente, așa că putem folosi oricare dintre ele din motive de simplitate. Ambele soluții sunt funcții periodice ale timpului. Într-adevăr, sinusul și cosinusul sunt periodice cu o perioadă . Prin urmare, diferitele stări ale unui sistem care efectuează oscilații armonice se repetă după o perioadă de timp t*, pentru care faza de oscilație primește un increment care este un multiplu al :

De aici rezultă că

Cel mai mic dintre aceste vremuri

numit perioada de oscilatie (Fig. 1.8), a - lui circular (ciclic) frecvență.

Orez. 1.8.

De asemenea, folosesc frecvență ezitare

În consecință, frecvența circulară este egală cu numărul de oscilații per secunde.

Deci, dacă sistemul la timp t caracterizat prin valoarea variabilei x(t), apoi, aceeași valoare, variabila o va avea după o perioadă de timp (Fig. 1.9), adică

Aceeași valoare, desigur, se va repeta după un timp. 2T, ZT etc.

Orez. 1.9. Perioada de oscilație

Soluția generală include două constante arbitrare ( C1, C2 sau A, A), ale căror valori ar trebui determinate de doi condiții inițiale. De obicei (deși nu neapărat) rolul lor este jucat de valorile inițiale ale variabilei x(0)și derivatul său.

Să luăm un exemplu. Fie soluția (1.19) a ecuației oscilațiilor armonice descrie mișcarea unui pendul cu arc. Valorile constantelor arbitrare depind de modul în care am scos pendulul din echilibru. De exemplu, am tras arcul la distanță și a eliberat mingea fără viteza inițială. În acest caz

Înlocuind t = 0în (1.19), găsim valoarea constantei De la 2

Soluția arată astfel:

Viteza sarcinii se găsește prin diferențiere în funcție de timp

Înlocuind aici t = 0, găsiți constanta De la 1:

In cele din urma

Comparând cu (1.23), aflăm că este amplitudinea oscilației, iar faza sa inițială este egală cu zero: .

Acum scoatem pendulul din echilibru într-un alt mod. Să lovim sarcina, astfel încât aceasta să dobândească o viteză inițială, dar practic să nu se miște în timpul impactului. Avem apoi alte condiții inițiale:

soluția noastră arată ca

Viteza sarcinii se va modifica conform legii:

Să-l punem aici:

Cel mai simplu tip de vibrații sunt vibratii armonice- fluctuatii in care deplasarea punctului oscilant fata de pozitia de echilibru se modifica in timp dupa legea sinusului sau cosinusului.

Deci, cu o rotire uniformă a mingii în jurul circumferinței, proiecția acesteia (umbra în raze paralele de lumină) realizează o mișcare oscilatorie armonică pe un ecran vertical (Fig. 1).

Deplasarea de la poziția de echilibru în timpul vibrațiilor armonice este descrisă de o ecuație (se numește legea cinematică a mișcării armonice) de forma:

unde x - deplasare - o valoare care caracterizează poziția punctului oscilant la momentul t față de poziția de echilibru și măsurată prin distanța de la poziția de echilibru la poziția punctului la un moment dat; A - amplitudinea oscilației - deplasarea maximă a corpului din poziția de echilibru; T - perioada de oscilație - timpul unei oscilații complete; acestea. cel mai mic decalaj timp după care se repetă valorile mărimilor fizice care caracterizează oscilația; - faza initiala;

Faza oscilației în timpul t. Faza de oscilație este argumentul functie periodica, care, pentru o amplitudine dată de oscilație, determină starea sistem oscilator(deplasare, viteză, accelerație) a corpului în orice moment dat.

Dacă în momentul inițial de timp punctul oscilant este deplasat maxim de la poziția de echilibru, atunci , iar deplasarea punctului din poziția de echilibru se modifică conform legii

Dacă punctul de oscilație la este într-o poziție de echilibru stabil, atunci deplasarea punctului față de poziția de echilibru se modifică conform legii

Valoarea V, reciproca perioadei și egală cu numărul de oscilații complete efectuate în 1 s, se numește frecvența de oscilație:

Dacă în timpul t corpul face N oscilații complete, atunci

valoarea , care arată câte oscilații face corpul în s, se numește frecvență ciclică (circulară)..

Legea cinematică a mișcării armonice poate fi scrisă astfel:

Grafic, dependența deplasării unui punct oscilant în timp este reprezentată de un cosinus (sau sinusoid).

Figura 2, a prezintă dependența de timp a deplasării punctului de oscilare față de poziția de echilibru pentru cazul .

Să aflăm cum se modifică viteza unui punct oscilant în timp. Pentru a face acest lucru, găsim derivata în timp a acestei expresii:

unde este amplitudinea proiecției vitezei pe axa x.

Această formulă arată că în timpul oscilațiilor armonice, proiecția vitezei corpului pe axa x se modifică, de asemenea, conform legii armonice cu aceeași frecvență, cu o amplitudine diferită, și este înaintea fazei de amestecare cu (Fig. 2, b) .

Pentru a afla dependența de accelerație, găsim derivata în timp a proiecției vitezei:

unde este amplitudinea proiecției accelerației pe axa x.

Pentru oscilațiile armonice, proiecția accelerației conduce la defazarea cu k (Fig. 2, c).

§ 6. OSCILATII MECANICEFormule de bază

Ecuația vibrațiilor armonice

Unde X - deplasarea punctului oscilant din pozitia de echilibru; t- timp; DAR,ω, φ- respectiv amplitudine, frecvență unghiulară, faza inițială a oscilațiilor; - faza de oscilaţii în momentul de faţă t.

Frecvența de oscilație unghiulară

unde ν și T sunt frecvența și perioada oscilațiilor.

Viteza unui punct care face oscilații armonice,

Accelerație armonică

Amplitudine DAR oscilația rezultată obținută prin adăugarea a două oscilații cu aceleași frecvențe care apar de-a lungul unei linii drepte este determinată de formula

Unde A 1 și DAR 2 - amplitudini ale componentelor de oscilație; φ 1 și φ 2 - fazele lor inițiale.

Faza inițială φ a oscilației rezultate poate fi găsită din formulă

Frecvența bătăilor care decurg din adăugarea a două oscilații care apar de-a lungul aceleiași linii drepte cu frecvențe diferite, dar apropiate ca valoare, ν 1 și ν 2,

Ecuația traiectoriei unui punct care participă la două oscilații reciproc perpendiculare cu amplitudini A 1 și A 2 și fazele inițiale φ 1 și φ 2,

Dacă fazele inițiale φ 1 și φ 2 ale componentelor oscilației sunt aceleași, atunci ecuația traiectoriei ia forma

adică punctul se mișcă în linie dreaptă.

În cazul în care diferența de fază , ecuația ia forma

adică punctul se mișcă de-a lungul unei elipse.

Ecuația diferențială a vibrațiilor armonice ale unui punct material

, sau , unde m este masa punctului; k- coeficientul forței cvasi-elastice ( k=tω 2).

Energia totală a unui punct material care face oscilații armonice,

Perioada de oscilație a unui corp suspendat pe un arc (pendul cu arc),

Unde m- masa corpului; k- rigiditatea arcului. Formula este valabilă pentru vibrațiile elastice în limitele în care este îndeplinită legea lui Hooke (cu o masă mică a arcului în comparație cu masa corpului).

Perioada de oscilație a unui pendul matematic

Unde l- lungimea pendulului; g- accelerația gravitației. Perioada de oscilație a unui pendul fizic

Unde J- momentul de inerție al corpului oscilant în jurul axei

fluctuații; A- distanta centrului de masa al pendulului fata de axa de oscilatie;

Lungimea redusă a pendulului fizic.

Formulele de mai sus sunt exacte pentru cazul unor amplitudini infinit de mici. Pentru amplitudini finite, aceste formule dau doar rezultate aproximative. La amplitudini nu mai mari decât eroarea în valoarea perioadei nu depășește 1%.

Perioada de vibrații de torsiune a unui corp suspendat pe un fir elastic,

Unde J- momentul de inerție al corpului în jurul axei care coincide cu firul elastic; k- rigiditatea unui fir elastic, egală cu raportul dintre momentul elastic care apare atunci când firul este răsucit la unghiul cu care este răsucit firul.

Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate , sau ,

Unde r- coeficient de rezistenta; δ - coeficient de amortizare: ;ω 0 - frecvența unghiulară naturală a vibrațiilor *

Ecuația de oscilație amortizată

Unde La)- amplitudinea oscilațiilor amortizate în momentul de față t;ω este frecvența lor unghiulară.

Frecvența unghiulară a oscilațiilor amortizate

О Dependenţa în timp a amplitudinii oscilaţiilor amortizate

eu

Unde DAR 0 - amplitudinea oscilațiilor în acest moment t=0.

Scăderea oscilației logaritmice

Unde La)și A(t+T)- amplitudinile a doua oscilatii succesive separate in timp una de alta printr-o perioada.

Ecuația diferențială a vibrațiilor forțate

unde este o forță periodică externă care acționează asupra unui punct material oscilant și provoacă oscilații forțate; F 0 - valoarea sa de amplitudine;

Amplitudinea vibrațiilor forțate

Frecvența de rezonanță și amplitudinea de rezonanță și

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Punctul oscilează conform legii x(t)=, Unde A=2 vezi Determinarea fazei inițiale φ dacă

X(0)=cm și X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Soluţie. Folosim ecuația mișcării și exprimăm deplasarea în acest moment t=0 până la faza inițială:

De aici găsim faza inițială:

* În formulele date anterior pentru oscilațiile armonice, aceeași valoare a fost pur și simplu notată cu ω (fără indicele 0).

Înlocuiți valorile date în această expresie X(0) și DAR:φ= = . Valoarea argumentului este satisfăcută de două valori de unghi:

Pentru a decide care dintre aceste valori ale unghiului φ satisface și condiția , găsim mai întâi:

Înlocuind în această expresie valoarea t=0 și alternativ valorile fazelor inițiale și, găsim

T ok ca intotdeauna A>0 și ω>0, atunci numai prima valoare a fazei inițiale satisface condiția. Astfel, faza inițială dorită

Pe baza valorii găsite a lui φ, vom construi o diagramă vectorială (Fig. 6.1). Exemplul 2 Punct material cu masa t\u003d 5 g efectuează oscilații armonice cu o frecvență ν =0,5 Hz. Amplitudinea oscilației A=3 cm.Determină: 1) viteza υ puncte în momentul în care offset-ul x== 1,5 cm; 2) forța maximă F max care acționează asupra punctului; 3) Fig. 6.1 energie totală E punct oscilant.

și obținem formula vitezei luând prima derivată temporală a deplasării:

Pentru a exprima viteza în termeni de deplasare, timpul trebuie exclus din formulele (1) și (2). Pentru a face acest lucru, pătram ambele ecuații, împărțim prima cu DAR 2 , al doilea pe A 2 ω 2 și se adaugă:

, sau

Rezolvarea ultimei ecuații pentru υ , găsi

După efectuarea calculelor conform acestei formule, obținem

Semnul plus corespunde cazului în care direcția vitezei coincide cu direcția pozitivă a axei X, semn minus - când direcția vitezei coincide cu direcția negativă a axei X.

Deplasarea în timpul oscilației armonice, în plus față de ecuația (1), poate fi determinată și de ecuație

Repetând aceeași soluție cu această ecuație, obținem același răspuns.

2. Forța care acționează asupra unui punct, găsim conform celei de-a doua legi a lui Newton:

Unde A - accelerația unui punct, pe care o obținem luând derivata în timp a vitezei:

Înlocuind expresia accelerației în formula (3), obținem

De aici valoarea maximă a forței

Înlocuind în această ecuație valorile lui π, ν, tși A, găsi

3. Energia totală a unui punct oscilant este suma energiilor cinetice și potențiale calculate pentru orice moment de timp.

Cel mai simplu mod de a calcula energia totală este în momentul în care energia cinetică atinge valoarea maximă. În acest moment, energia potențială este zero. Deci energia totală E punctul de oscilație este egal cu energia cinetică maximă

Determinăm viteza maximă din formula (2), setând: . Înlocuind expresia vitezei în formula (4), găsim

Înlocuind valorile cantităților în această formulă și efectuând calcule, obținem

sau mcJ.

Exemplul 3 La capetele unei tije subțiri l= 1 m și greutate m 3 =400 g bile mici sunt întărite cu mase m 1=200 g și m 2 = 300 g. Tija oscilează în jurul axei orizontale, perpendicular pe

tija diculară și trecând prin mijlocul acesteia (punctul O din fig. 6.2). Definiți perioada T vibraţiile făcute de tijă.

Soluţie. Perioada de oscilație a unui pendul fizic, care este o tijă cu bile, este determinată de relație

Unde J- t - greutatea sa; l DIN - distanța de la centrul de masă al pendulului până la axă.

Momentul de inerție al acestui pendul este egală cu suma momentele de inerție ale bilelor J 1 și J 2 și tijă J 3:

Luând bilele drept puncte materiale, exprimăm momentele de inerție ale acestora:

Deoarece axa trece prin mijlocul tijei, atunci momentul său de inerție în jurul acestei axe J 3 = =. Înlocuind expresiile rezultate J 1 , J 2 și J 3 în formula (2), găsim momentul total de inerție al pendulului fizic:

Efectuând calcule folosind această formulă, găsim

Orez. 6.2 Masa pendulului este formată din masele bilelor și masa tijei:

Distanţă l DIN găsim centrul de masă al pendulului de pe axa de oscilație, pe baza următoarelor considerații. Dacă axa X direcționați de-a lungul tijei și aliniați originea cu punctul O, apoi distanța dorită l este egală cu coordonata centrului de masă al pendulului, adică

Înlocuirea valorilor cantităților m 1 , m 2 , m, lși efectuând calcule, găsim

După efectuarea calculelor conform formulei (1), obținem perioada de oscilație a unui pendul fizic:

Exemplul 4 Pendulul fizic este o tijă cu o lungime l= 1 m și greutate 3 t 1 Cu atașat la unul dintre capete cu un cerc cu diametru și masă t 1 . Axă orizontală Oz

pendulul trece prin mijlocul tijei perpendicular pe acesta (Fig. 6.3). Definiți perioada T oscilaţiile unui astfel de pendul.

Soluţie. Perioada de oscilație a unui pendul fizic este determinată de formula

(1)

Unde J- momentul de inerție al pendulului în jurul axei de oscilație; t - greutatea sa; l C - distanța de la centrul de masă al pendulului până la axa de oscilație.

Momentul de inerție al pendulului este egal cu suma momentelor de inerție ale tijei J 1 și cerc J 2:

(2).

Momentul de inerție al tijei față de axa perpendiculară pe tijă și care trece prin centrul său de masă este determinat de formula . În acest caz t= 3t 1 și

Găsim momentul de inerție al cercului folosind teorema Steiner ,Unde J- moment de inerție față de o axă arbitrară; J 0 - momentul de inerție în jurul axei care trece prin centrul de masă paralel cu axa dată; A - distanța dintre axele specificate. Aplicând această formulă pe cerc, obținem

Înlocuirea expresiilor J 1 și J 2 în formula (2), găsim momentul de inerție al pendulului în jurul axei de rotație:

Distanţă l DIN de la axa pendulului până la centrul său de masă este

Înlocuind în formula (1) expresiile J, l c și masa pendulului , găsim perioada de oscilație a acestuia:

După ce calculăm prin această formulă, obținem T\u003d 2,17 s.

Exemplul 5 Se adaugă două oscilații de aceeași direcție, exprimate prin ecuații ; X 2 = =, unde DAR 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Determinați fazele inițiale φ 1 și φ 2 ale componentelor oscilației

bani. 2. Găsiți amplitudinea DARși faza inițială φ a oscilației rezultate. Scrieți ecuația pentru oscilația rezultată.

Soluţie. 1. Ecuația oscilației armonice are forma

Să transformăm ecuațiile date în condiția problemei în aceeași formă:

Din compararea expresiilor (2) cu egalitatea (1), găsim fazele inițiale ale primei și celei de-a doua oscilații:

bucuros și bucuros.

2. Pentru a determina amplitudinea DAR a fluctuației rezultate, este convenabil să folosiți diagrama vectorială prezentată în orez. 6.4. Conform teoremei cosinusului, obținem

unde este diferenţa de fază a componentelor oscilaţiei.Deoarece , apoi, înlocuind valorile găsite φ 2 și φ 1 obținem rad.

Înlocuiți valorile DAR 1 , DAR 2 și în formula (3) și efectuați calculele:

A= 2,65 cm.

Tangenta fazei inițiale φ a oscilației rezultate poate fi determinată direct din Fig. 6.4: , de unde faza inițială

Vibrațiile armonice sunt vibrații în care cantitate fizica se modifică în timp după o lege armonică (sinusoidală, cosinus). Ecuația de oscilație armonică poate fi scrisă după cum urmează:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
sau
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - abaterea de la poziția de echilibru la momentul t
A - amplitudinea oscilației, dimensiunea lui A este aceeași cu dimensiunea lui X
ω - frecvența ciclică, rad/s (radiani pe secundă)
φ - faza inițială, rad
t - timp, s
T - perioada de oscilație, s
f - frecvența de oscilație, Hz (Hertz)
π - constantă aproximativ egală cu 3,14, 2π=6,28

Perioada de oscilație, frecvența în herți și frecvența ciclică sunt legate prin relații.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Pentru a vă aminti aceste relații, trebuie să înțelegeți următoarele.
Fiecare dintre parametrii ω, f, T îi determină unic pe ceilalți. Pentru a descrie oscilațiile, este suficient să folosiți unul dintre acești parametri.

Perioada T este timpul unei oscilații, este convenabil să o utilizați pentru trasarea graficelor de oscilație.
Frecvența ciclică ω - folosită pentru a scrie ecuațiile oscilațiilor, vă permite să efectuați calcule matematice.
Frecvența f - numărul de oscilații pe unitatea de timp, este folosită peste tot. În herți, măsuram frecvența la care sunt reglate radiourile, precum și raza de acțiune a telefoanelor mobile. Frecvența vibrațiilor corzilor este măsurată în herți la acordarea instrumentelor muzicale.

Expresia (ωt+φ) se numește faza de oscilație, iar valoarea lui φ se numește faza inițială, deoarece este egală cu faza de oscilație în momentul t=0.

Funcțiile sinus și cosinus descriu raporturile laturilor din triunghi dreptunghic. Prin urmare, mulți nu înțeleg modul în care aceste funcții sunt legate de oscilațiile armonice. Această relație este demonstrată de un vector care se rotește uniform. Proiecția unui vector care se rotește uniform produce oscilații armonice.
Imaginea de mai jos prezintă un exemplu de trei oscilații armonice. Egale ca frecvență, dar diferite ca fază și amplitudine.

Alegerea fazei inițiale permite, la descrierea oscilațiilor armonice, trecerea de la funcția sinus la funcția cosinus:

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala:

Pentru ca vibrațiile libere să apară conform legii armonice, este necesar ca forța care tinde să readucă corpul în poziția de echilibru să fie proporțională cu deplasarea corpului din poziția de echilibru și să fie îndreptată în direcția opusă deplasării. :

unde este masa corpului oscilant.

Un sistem fizic în care pot exista oscilații armonice se numește oscilator armonic, iar ecuaţia oscilaţiilor armonice este ecuația oscilatorului armonic.

1.2. Adăugarea de vibrații

Nu este neobișnuit ca un sistem să participe simultan la două sau mai multe oscilații independente. În aceste cazuri, se formează o mișcare oscilatorie complexă, care este creată prin suprapunerea (adăugarea) vibrațiilor între ele. Evident, cazurile de însumare a oscilațiilor pot fi foarte diverse. Ele depind nu numai de numărul de oscilații adăugate, ci și de parametrii de oscilație, de frecvențele, fazele, amplitudinile, direcțiile acestora. Nu este posibil să trecem în revistă toată varietatea posibilă de cazuri de însumare a oscilațiilor, prin urmare ne vom limita la a lua în considerare doar exemple individuale.

Adăugarea oscilațiilor armonice direcționate de-a lungul unei linii drepte

Luați în considerare adăugarea de oscilații egal direcționate din aceeași perioadă, dar care diferă în faza și amplitudinea inițială. Ecuațiile oscilațiilor adăugate sunt date în următoarea formă:

unde și sunt deplasări; și sunt amplitudinile; și sunt fazele inițiale ale oscilațiilor adăugate.

Fig.2.

Este convenabil să se determine amplitudinea oscilației rezultate folosind o diagramă vectorială (Fig. 2), pe care vectorii amplitudinilor și oscilațiilor însumate sunt reprezentați în unghi și față de axă, iar vectorul de amplitudine al oscilației totale este obținut prin regula paralelogramului.

Dacă rotim uniform sistemul de vectori (paralelogram) și proiectăm vectorii pe axă , atunci proiecţiile lor vor face oscilaţii armonice în conformitate cu ecuații date. Aranjamentul reciproc al vectorilor și, în același timp, rămâne neschimbat, astfel încât mișcarea oscilativă a proiecției vectorului rezultat va fi și ea armonică.

Aceasta implică concluzia că mișcarea totală este o oscilație armonică având o frecvență ciclică dată. Definim modulul de amplitudine DAR fluctuatia rezultata. Într-un unghi (din egalitatea unghiurilor opuse ale unui paralelogram).

Prin urmare,

de aici: .

Conform teoremei cosinusului,

Faza inițială a oscilației rezultate este determinată din:

Relațiile pentru fază și amplitudine fac posibilă găsirea amplitudinii și fazei inițiale a mișcării rezultate și alcătuirea ecuației acesteia: .

bate

Să luăm în considerare cazul în care frecvențele a două oscilații adăugate diferă puțin una de cealaltă și să fie amplitudinile aceleași și fazele inițiale, i.e.

Adăugăm aceste ecuații analitic:

Să ne transformăm

Orez. 3.

Deoarece se modifică lent, valoarea nu poate fi numită amplitudine în sensul deplin al cuvântului (amplitudinea este o valoare constantă). În mod convențional, această valoare poate fi numită o amplitudine variabilă. Graficul acestor fluctuații este prezentat în Fig.3. Oscilațiile adăugate au aceleași amplitudini, dar perioade diferite, în timp ce perioadele și diferă ușor unele de altele. Când se adaugă astfel de oscilații, se observă bătăi. Numărul de bătăi pe secundă este determinat de diferența de frecvențe ale oscilațiilor adăugate, adică.

Bătăile pot fi observate atunci când se sună două diapazon, dacă frecvențele și vibrațiile sunt apropiate una de cealaltă.

Adăugarea de vibrații reciproc perpendiculare

Lăsa punct material participă simultan la două oscilații armonice care apar cu aceleași perioade în două direcții reciproc perpendiculare. Aceste direcții pot fi asociate sistem dreptunghiular coordonate, plasând originea în poziția de echilibru a punctului. Să notăm deplasarea punctului C de-a lungul axelor și, respectiv, prin și . (Fig. 4).

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale.

1). Fazele inițiale ale oscilațiilor sunt aceleași

Să alegem momentul începerii numărătorii inverse în așa fel încât fazele inițiale ale ambelor oscilații să fie egale cu zero. Apoi, deplasările de-a lungul axelor și pot fi exprimate prin ecuațiile:

Împărțind aceste egalități termen cu termen, obținem ecuațiile pentru traiectoria punctului C:
sau .

În consecință, ca urmare a adunării a două oscilații reciproc perpendiculare, punctul C oscilează de-a lungul unui segment de dreaptă care trece prin origine (Fig. 4).

Orez. patru.

2). Diferența de fază inițială este :

Ecuațiile de oscilație în acest caz au forma:

Ecuația traiectoriei punctului:

În consecință, punctul C oscilează de-a lungul unui segment de dreaptă care trece prin origine, dar situat în alte cadrane decât în ​​primul caz. Amplitudine DAR fluctuațiile rezultate în ambele cazuri luate în considerare este egală cu:

3). Diferența de fază inițială este .

Ecuațiile de oscilație au forma:

Împărțiți prima ecuație cu și a doua cu:

Punem la patrat ambele egalități și le adunăm. Obținem următoarea ecuație pentru traiectoria mișcării rezultate a punctului oscilant:

Punctul oscilant C se deplasează de-a lungul unei elipse cu semi-axe și . Cu amplitudini egale, traiectoria mișcării totale va fi un cerc. În cazul general, pentru , dar un multiplu, adică, , când se adaugă oscilații reciproc perpendiculare, punctul de oscilare se mișcă de-a lungul curbelor numite figuri Lissajous.

figurile Lissajous

Figuri ale lui Lissajous- traiectorii închise trasate de un punct care execută simultan două oscilații armonice în două direcții reciproc perpendiculare.

Studiat pentru prima dată de omul de știință francez Jules Antoine Lissajous. Forma figurilor depinde de relația dintre perioadele (frecvențele), fazele și amplitudinile ambelor oscilații(Fig. 5).

Fig.5.

În cel mai simplu caz de egalitate a ambelor perioade, figurile sunt elipse, care, cu diferență de fază sau degenerează în segmente de linie, iar cu diferență de fază și egalitate de amplitudini se transformă într-un cerc. Dacă perioadele ambelor oscilații nu coincid exact, atunci diferența de fază se schimbă tot timpul, drept urmare elipsa se deformează tot timpul. Când semnificativ perioade diferite Cifrele Lissajous nu sunt respectate. Cu toate acestea, dacă perioadele sunt legate ca numere întregi, atunci după un interval de timp egal cu cel mai mic multiplu al ambelor perioade, punctul de mișcare revine din nou la aceeași poziție - se obțin cifrele Lissajous de o formă mai complexă.
Figurile Lissajous se încadrează într-un dreptunghi al cărui centru coincide cu originea coordonatelor, iar laturile sunt paralele cu axele de coordonate și situate de ambele părți ale acestora la distanțe egale cu amplitudinile de oscilație (Fig. 6).