Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Faktorizavimas kvadratinis trinaris. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktorizavimo pavyzdžiai.

Pagrindinės formulės

Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės lygties šaknys(1) nustatomi pagal formules:
; .
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai yra žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio daugianarį galima pavaizduoti kaip faktorių sandaugą (faktoriuotą):
.

Be to, manome, kad tai yra tikrieji skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinės lygties diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
; .
Tada kvadratinio trinalio faktorizacija turi tokią formą:
.
Jei diskriminantas nulis, , tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ;
ir yra tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis interpretavimas

Jei pastatyti funkcijų grafikas
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Kai , grafikas kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose.
Kai , grafikas paliečia x ašį viename taške.
Kai , grafikas nekerta x ašies.

Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.

Naudingos formulės, susijusios su kvadratine lygtimi

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir pritaikome (f.1) ir (f.3) formules:




,
kur
; .

Taigi, antrojo laipsnio daugianario formulę gavome tokia forma:
.
Iš to matyti, kad lygtis

atliktas
ir .
Tai yra ir yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

Sprendimas

.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.

Iš čia gauname kvadratinio trinalio skaidymą į veiksnius:

.

Funkcijos y = grafikas 2 x 2 + 7 x + 3 kerta x ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta x ašį (ašį) dviejuose taškuose:
ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.

Atsakymas

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Sprendimas

Įrašome kvadratinę lygtį bendras vaizdas:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugybines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinario faktorizacija turi tokią formą:
.

Funkcijos y = x grafikas 2–4 x + 4 paliečia x ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia x ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis koeficientas du kartus:
,
tada tokia šaknis vadinama kartotiniu. Tai yra, jie mano, kad yra dvi vienodos šaknys:
.

Atsakymas

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį užrašome bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas, . Todėl tikrų šaknų nėra.

Galite rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.

Tada


.

Funkcijos grafikas nekerta x ašies. Tikrų šaknų nėra.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės (ašies). Todėl tikrų šaknų nėra.

Atsakymas

Tikrų šaknų nėra. Sudėtingos šaknys:
;
;
.

Kopievskajos kaimo vidurinė mokykla

10 kvadratinių lygčių sprendimo būdų

Vadovas: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikos mokytojas

s.Kopyevo, 2007 m

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

1.4 Kvadratinės lygtys al-Khwarizmi

1.5 Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a

1.6 Apie Vietos teoremą

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Išvada

Literatūra

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų paieška, astronomijos raida ir pati matematika. Kvadratinės lygtys sugebėjo išspręsti apie 2000 m. e. babiloniečiai.

Taikant šiuolaikinį algebrinį žymėjimą, galima teigti, kad jų dantiraščio tekstuose, be nepilnų, yra, pavyzdžiui, pilnosios kvadratinės lygtys:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Šių lygčių sprendimo taisyklė, nurodyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visi iki šiol rasti dantiraščiai pateikia tik receptų forma pateiktų sprendimų problemas, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukštas lygis Algebros raida Babilone, neigiamo skaičiaus samprata ir bendrieji kvadratinių lygčių sprendimo metodai nėra dantiraščio tekstuose.

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros išdėstymo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, lydimų paaiškinimų ir išspręstų formuluojant įvairaus laipsnio lygtis.

Rengdamas lygtis, Diofantas sumaniai pasirenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

11 užduotis.„Rasti du skaičius žinant, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“

Diofantas teigia taip: iš uždavinio sąlygos išplaukia, kad norimi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tai jų sandauga būtų lygi ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus didesnis nei pusė jų sumos, t.y. 10+x, kitas yra mažesnis, t.y. 10-ųjų. Skirtumas tarp jų 2x .

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Iš čia x = 2. Vienas iš norimų skaičių yra 12 , kitas 8 . Sprendimas x = -2 nes Diofanto nėra, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsime pasirinkę vieną iš norimų skaičių kaip nežinomą, tada prieisime prie lygties sprendimo

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 m + 96 = 0. (2)

Akivaizdu, kad Diofantas supaprastina sprendimą, pasirinkdamas norimų skaičių pusę skirtumo kaip nežinomą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties (1) sprendimo.

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

Kvadratinių lygčių problemos jau randamos astronominiame trakte „Aryabhattam“, kurį 499 m. sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių sprendimo taisyklę, sumažintą iki vienos kanoninės formos:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai, išskyrus a, taip pat gali būti neigiamas. Brahmaguptos taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

AT senovės Indija buvo dažni vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip mokslininkas žmogus užtemdyti kito šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydami ir spręsdami algebrines problemas. Užduotys dažnai būdavo aprengiamos poetine forma.

Čia yra viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskara.

13 užduotis.

„Švelnus beždžionių pulkas ir dvylika vynmedžių...

Suvalgę jėgų, linksminomės. Jie pradėjo šokinėti, kabėti ...

Aštunta jų dalis aikštėje Kiek ten buvo beždžionių,

Pasilinksminimai pievoje. Pasakyk man, šitame pulke?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo apie kvadratinių lygčių šaknų dvireikšmes (3 pav.).

13 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara rašo prisidengdamas:

x 2 - 64x = -768

ir, norėdamas užpildyti kairę šios lygties pusę iki kvadrato, jis prideda prie abiejų pusių 32 2 , gaunu tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x – 32) 2 = 256,

x – 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratinės lygtys al-Khorezmi

Al-Khorezmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius išvardija 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, t.y. ax 2 + c = b X.

2) „Kvadratai lygūs skaičiui“, t.y. kirvis 2 = s.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, t.y. ah = s.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, t.y. ax 2 + c = b X.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, t.y. ah 2+ bx = s.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, t.y. bx + c \u003d kirvis 2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimai, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, sprendžiant nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį

al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulinį sprendimą, tikriausiai todėl, kad jis neturi reikšmės konkrečiose praktinėse problemose. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, al-Khorezmi nustato sprendimo taisykles, o tada geometrinius įrodymus, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius.

14 užduotis.„Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Rasti šaknį" (darant prielaidą, kad lygties šaknis x 2 + 21 = 10x).

Autoriaus sprendimas skamba maždaug taip: šaknų skaičių padalinkite per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2, jūs gauti 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai duos 7, tai taip pat yra šaknis.

Traktatas al - Khorezmi yra pirmoji mūsų knyga, kurioje sistemingai išdėstyta kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateiktos jų sprendimo formulės.

1.5 Kvadratinės lygtys Europoje XIII - XVII šimtmečius

Kvadratinių lygčių sprendimo pagal al-Khorezmi modelį Europoje formulės pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis matematikos įtaką tiek islamo šalyse, tiek Senovės Graikija, skiriasi tiek pateikimo išsamumu, tiek aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis užduočių iš „Abako knygos“ perėjo į beveik visus XVI – XVII a. Europos vadovėlius. ir iš dalies XVIII.

Bendra kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, sumažinta iki vienos kanoninės formos:

x 2+ bx = su,

visoms galimoms koeficientų ženklų kombinacijoms b , Su Europoje suformulavo tik 1544 m. M. Stiefel.

Vieta turi bendrą kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestį, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Atsižvelgti, be teigiamų, ir neigiamos šaknys. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbo dėka kvadratinių lygčių sprendimo būdas įgauna šiuolaikišką išvaizdą.

1.6 Apie Vietos teoremą

Teoremą, išreiškiančią ryšį tarp kvadratinės lygties koeficientų ir jos šaknų, pavadintą Vieta, jis pirmą kartą suformulavo taip 1591 m.: „Jeigu B + D padaugintas iš A - A 2 , lygus BD, tada A lygus AT ir lygus D ».

Norint suprasti Vietą, reikia tai atsiminti BET, kaip ir bet kuris balsis, jam reiškė nežinomybę (mūsų X), balsiai AT, D- nežinomybės koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vietos formuluotė reiškia: jeigu

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Išreiškiantis ryšį tarp lygčių šaknų ir koeficientų bendrosios formulės, parašyta naudojant simbolius, Vietas nustatė lygčių sprendimo metodų vienodumą. Tačiau Vietos simbolika dar toli nuo šiuolaikinės formos. Jis nepripažino neigiamų skaičių, todėl spręsdamas lygtis nagrinėjo tik tuos atvejus, kai visos šaknys yra teigiamos.

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Kvadratinės lygtys yra pagrindas, ant kurio remiasi didingas algebros statinys. Kvadratinės lygtys plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines, eksponentines, logaritmines, iracionaliąsias ir transcendentines lygtis bei nelygybes. Mes visi žinome, kaip spręsti kvadratines lygtis nuo mokyklos (8 klasės) iki baigimo.

Kvadratinė lygtis- lengva išspręsti! *Toliau tekste „KU“. Draugai, atrodytų, kad matematikoje tai gali būti lengviau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų „Yandex“ suteikia užklausai per mėnesį. Štai kas atsitiko, pažiūrėkite:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį ieško apie 70 tūkst Ši informacija, ką su tuo turi bendra ši vasara ir kas nutiks tarp mokslo metai– prašymai bus dvigubai didesni. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško seniai mokyklą baigę ir egzaminui besiruošiantys vaikinai ir merginos, o atmintį atgaivinti stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai apsilankytų mano svetainėje pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai pasirodys kalba „KU“, duosiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai rašoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališkais skaičiais su a≠0.

Mokyklos kurse medžiaga pateikiama tokia forma - lygčių padalijimas į tris klases atliekamas sąlygiškai:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Turėti tik vieną šaknį.

3. Neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir išspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Autorius šia proga, kai diskriminantas lygus nuliui, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia lygi devynioms. Teisingai, taip, bet...

Šis vaizdas yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nesistebėkite, pasirodo, dvi lygios šaknys, o kad būtų matematiškai tikslūs, tada atsakyme reikia parašyti dvi šaknis:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra tik viena šaknis.

Dabar toks pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis nėra išgaunama, todėl sprendiniai in Ši byla ne.

Tai yra visas sprendimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Štai kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c - duotus skaičius, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kurioje "y" lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) arba nė vieno (diskriminantas yra neigiamas). Daugiau apie kvadratinę funkciją Galite peržiūrėti Inna Feldman straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: nuspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = -12

* Galėjai iš karto išeiti ir dešinioji pusė lygtį padalinkite iš 2, tai yra, supaprastinkite. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Nuspręskite x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Gavome x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Nuspręskite x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 –4, 1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksinius skaičius? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks jų specifinis vaidmuo bei būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur a ir b yra realieji skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi yra VIENAS SKAIČIUS, o ne priedas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gaukite dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Apsvarstykite specialius atvejus, kai koeficientas "b" arba "c" yra lygus nuliui (arba abu yra lygūs nuliui). Jie lengvai išsprendžiami be jokių diskriminavimo priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuoti, koeficientuoti:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a + b+ c = 0, tada

— jei lygties koeficientams ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a+ su =b, tada

Šios savybės padeda išspręsti tam tikros rūšies lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, taigi

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė a+ su =b, reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje ax 2 + bx - c = 0 koeficientas "b" lygus (a 2 – 1), o koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficientas "b" yra lygus (a 2 - 1), o koeficientas c yra skaitiniu būdu lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsaus prancūzų matematiko Francois Vieta vardu. Naudojant Vietos teoremą, galima išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu, nes įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visą laiką.

PERDAVIMO METODAS

Šiuo metodu koeficientas "a" dauginamas iš laisvojo termino, tarsi "perkeliamas" į jį, todėl jis vadinamas perdavimo būdas.Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu a± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pagal Vieta teoremą (2) lygtyje nesunku nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi du buvo „išmesti“ iš x 2), gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėkite, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra šie:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas tiksliai priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrosios (modifikuotos) šaknys yra 2 kartus didesnės.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei ridename tris vienodus, tai rezultatą dalijame iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir egzaminas.

Apie jo svarbą pasakysiu trumpai - TURĖKITE MESTI greitai ir negalvodami, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminanto formules. Daugelis užduočių, kurios yra USE užduočių dalis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinoma reikšmė ir ji gali būti žymima bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.

Daugiau paprastu būdu. Norėdami tai padaryti, išimkite z iš skliaustų. Gaunate: z(az + b) = 0. Veiksnius galima užrašyti: z=0 ir az + b = 0, nes abu gali baigtis nuliu. Žymėjime az + b = 0 antrąjį perkeliame į dešinę su kitu ženklu. Iš čia gauname z1 = 0 ir z2 = -b/a. Tai yra originalo šaknys.

Jeigu ten yra nepilna lygtis formos az² + c = 0, šiuo atveju jie randami tiesiog perkeliant laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę. Taip pat pakeiskite jo ženklą. Gaunate įrašą az² \u003d -s. Išreikškite z² = -c/a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendinius – teigiamą ir neigiamą kvadratinės šaknies reikšmę.

pastaba

Jei lygtyje yra trupmeninių koeficientų, padauginkite visą lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad pašalintumėte trupmenas.

Mokėti spręsti kvadratines lygtis būtina ir moksleiviams, ir studentams, kartais tai gali padėti suaugusiajam kasdieniame gyvenime. Yra keletas specifinių sprendimo būdų.

Kvadratinių lygčių sprendimas

A*x^2+b*x+c=0 formos kvadratinė lygtis. Koeficientas x yra norimas kintamasis, a, b, c – skaitiniai koeficientai. Atminkite, kad „+“ ženklas gali pasikeisti į „-“.

Norėdami išspręsti šią lygtį, turite naudoti Vieta teoremą arba rasti diskriminantą. Labiausiai paplitęs būdas yra rasti diskriminantą, nes kai kurioms a, b, c reikšmėms negalima naudoti Vieta teoremos.

Norėdami rasti diskriminantą (D), turite parašyti formulę D=b^2 - 4*a*c. D reikšmė gali būti didesnė už, mažesnė už nulį arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis už nulį, tada bus dvi šaknys, jei D = 0, tada lieka tik viena šaknis, tiksliau galime pasakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Į formulę pakeiskite žinomus koeficientus a, b, c ir apskaičiuokite reikšmę.

Suradę diskriminantą, norėdami rasti x, naudokite formules: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a čia sqrt yra funkcija, paimanti nurodyto skaičiaus kvadratinę šaknį. Apskaičiavę šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurių lygtis laikoma išspręsta.

Jei D yra mažesnis už nulį, jis vis tiek turi šaknis. Mokykloje šis skyrius praktiškai nėra studijuojamas. Universiteto studentai turėtų žinoti, kas vyksta neigiamas skaičius po šaknimi. Atsikratome jo, atskirdami įsivaizduojamą dalį, tai yra -1 po šaknimi visada yra lygus menamajam elementui "i", kuris padauginamas iš šaknies su tuo pačiu teigiamu skaičiumi. Pavyzdžiui, jei D=sqrt(-20), po transformacijos gaunamas D=sqrt(20)*i. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki to paties šaknų radinio, kaip aprašyta aukščiau.

Vietos teorema susideda iš x(1) ir x(2) reikšmių parinkimo. Naudojamos dvi identiškos lygtys: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Be to, labai svarbus dalykas yra ženklas prieš koeficientą b, atminkite, kad šis ženklas yra priešingas lygtyje esančiam ženklui. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad apskaičiuoti x(1) ir x(2) yra labai paprasta, tačiau sprendžiant susidursite su tuo, kad skaičius teks parinkti tiksliai.

Kvadratinių lygčių sprendimo elementai

Remiantis matematikos taisyklėmis, kai kurie gali būti koeficientai: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, jei pavyko konvertuoti naudojant matematines formules Panašiu būdušią kvadratinę lygtį, tada nedvejodami užsirašykite atsakymą. x(1) ir x(2) bus lygūs gretimiems skliaustuose esantiems koeficientams, bet su priešingu ženklu.

Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Galbūt jums trūksta kai kurių terminų, jei taip, tada visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš x^2 arba x nėra nieko, tada koeficientai a ir b yra lygūs 1.

Pirmas lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats X) kvadrate ir tuo pačiu metu neturėtų būti X trečiojo (ar didesnio) laipsnio.

Daugelio lygčių sprendimas redukuojamas į kvadratinių lygčių sprendinį.

Išmokime nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kokią nors kitą.

1 pavyzdys

Atsikratykite vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkite iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus x laipsnių mažėjimo tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratas!

3 pavyzdys

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys

Atrodo, kad taip, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Matote, ji susitraukė – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai sąlyginai padalija visas kvadratines lygtis į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota yra lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes juose trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas !!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Toks padalijimas yra dėl sprendimo būdų. Panagrinėkime kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Nebaigtos kvadratinės lygtys yra šių tipų:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi mes žinome, kaip išgauti Kvadratinė šaknis, tada išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad visada turėtumėte žinoti ir atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės dalių. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Oi! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kuriose nėra šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Šiuo būdu,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos jos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia apsieisime be pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kurioje

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas yra šiek tiek sudėtingesnis (tik šiek tiek) nei pateiktosios.

Prisiminti, bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Likę metodai padės tai padaryti greičiau, tačiau jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įsisavinkite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis tokiu būdu yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tai lygtis turi šaknį.Ypatingą dėmesį reikia skirti žingsniui. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie mūsų lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Tai reiškia, kad mes negalėsime išgauti šaknies iš diskriminanto. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra tokio tipo lygtys, kurios vadinamos sumažintomis (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma yra, t.y. gauname pirmąją lygtį:

O produktas yra:

Sukurkime ir išspręskime sistemą:

• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomas, - kai kurie skaičiai, be to.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, a - nemokamas narys.

Kodėl? Nes jei, lygtis iš karto taps tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje išmatų lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia išanalizuosime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus - jie yra paprastesni.

Galima išskirti šiuos lygčių tipus:

I. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai parašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Suskaičiuojame kairę lygties pusę ir randame šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote diskriminanto šaknį šaknies formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknį:
• Jei, tada lygtis turi tą pačią šaknį, bet iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl tai įmanoma skirtingą sumąšaknys? Kreipkimės į geometrine prasme kvadratinė lygtis. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Konkrečiu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . O tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo taškai su x ašimi (ašiu). Parabolė gali išvis nekirsti ašies arba susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei - tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik pateiktos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

O produktas yra:

Išsirinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje, ir patikriname, ar jų suma yra lygi:

ir: duoti iš viso.

ir: duoti iš viso. Norint jį gauti, tereikia pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, taigi šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Taigi šaknų suma yra jų modulių skirtumai.

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje ir kurių skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas yra - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, tai šaknis, kuri yra mažesnė absoliučia verte, turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, taigi ir šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Mes pasirenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatome, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys ir tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys yra minusinės.

Parenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu – sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vieta teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad jį naudoti būtų pelninga, turite automatizuoti veiksmus. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo prekės:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vietos teorema: suma turėtų pasirodyti, bet sandauga yra lygi.

Bet kadangi turėtų būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Būtina visas sąlygas perkelti į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Taip, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia reikia pateikti lygtį. Jei negalite to iškelti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad kvadratinė lygtis reiškia, kad pagrindinis koeficientas yra lygus:

Puikiai. Tada šaknų suma yra lygi, o sandauga.

Čia pasiimti lengviau: juk – pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas terminas yra neigiamas. Kuo jis ypatingas? Ir tai, kad šaknys bus skirtingų ženklų. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o skirtumą tarp jų modulių: šis skirtumas lygus, bet sandauga.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką pirmiausia reikia padaryti? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turi būti lygi, o tai reiškia, kad su minusu bus didesnė šaknis.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik duotose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vieta teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerasta tinkamos laisvojo termino faktorių poros, sveikųjų skaičių šaknų nėra ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Pilno kvadrato pasirinkimo būdas

Jei visi terminai, kuriuose yra nežinomasis, yra pavaizduoti kaip terminai iš sutrumpintos daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratas - tai po kintamųjų pasikeitimo lygtį galima pavaizduoti nepilnos kvadratinės lygties forma. .

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tai tau nieko neprimena? Tai diskriminantas! Būtent taip buvo gauta diskriminanto formulė.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra kvadratinės lygties koeficientai, yra laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis turi tokią formą: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškite nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos lygties, kur) šaknų suma yra lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , a.

2.3. Pilno kvadrato sprendimas