Pateikti 8 daugianario faktorizavimo pavyzdžiai. Juose yra kvadratinių ir bikvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai, pasikartojančių daugianarių pavyzdžiai ir pavyzdžiai, kaip rasti trečiojo ir ketvirtojo laipsnio daugianarių sveikąsias šaknis.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Polinomų faktoringo metodai
Kvadratinės lygties šaknys
Kubinių lygčių sprendimas

1. Pavyzdžiai su kvadratinės lygties sprendiniu

1.1 pavyzdys

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Išimkite x 2 skliausteliuose:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Lygčių šaknys:
, .

.

1.2 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario faktorius:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Iš skliaustų išimame x:
.
Išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jo diskriminatorius yra.
Kadangi diskriminantas nulis, tada lygties šaknys yra kartotinės: ;
.

Iš čia gauname daugianario skaidymą į veiksnius:
.

1.3 pavyzdys

Penktojo laipsnio daugianario faktorius:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Išimkite x 3 skliausteliuose:
.
Išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2–2 x + 10 = 0.
Jo diskriminatorius yra.
Kadangi diskriminantas yra mažesnis už nulį, lygties šaknys yra sudėtingos: ;
, .

Polinomo faktorizacija turi tokią formą:
.

Jei mus domina faktoringas su realiais koeficientais, tada:
.

Faktoringo daugianario pavyzdžiai naudojant formules

Pavyzdžiai su bikvadratiniais daugianariais

2.1 pavyzdys

Padalinkite dvikvadratinį daugianario koeficientą:
x 4 + x 2 - 20.

Taikykite formules:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b).

;
.

2.2 pavyzdys

Dauginamo koeficientas, kuris redukuojamas į bikvadratinį:
x 8 + x 4 + 1.

Taikykite formules:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b):

;

;
.

2.3 pavyzdys su rekursiniu daugianario

Rekursinio daugianario faktorinavimas:
.

Rekursyvus daugianario laipsnis yra nelyginis. Todėl jis turi šaknį x = - 1 . Dauginamą padaliname iš x - (-1) = x + 1. Dėl to gauname:
.
Mes atliekame pakeitimą:
, ;
;


;
.

Faktoringo polinomų su sveikųjų skaičių šaknimis pavyzdžiai

3.1 pavyzdys

Dauginamo koeficientas:
.

Tarkime, lygtis

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Taigi, mes radome tris šaknis:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Kadangi pradinis daugianario yra trečiojo laipsnio, jis turi ne daugiau kaip tris šaknis. Kadangi radome tris šaknis, jos yra paprastos. Tada
.

3.2 pavyzdys

Dauginamo koeficientas:
.

Tarkime, lygtis

turi bent vieną sveikojo skaičiaus šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x ). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
-2, -1, 1, 2 .
Pakeiskite šias reikšmes po vieną:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Taigi, mes radome vieną šaknį:
x 1 = -1 .
Dauginamą padaliname iš x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Tada
.

Dabar turime išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Jei darysime prielaidą, kad ši lygtis turi sveikąją šaknį, tada ji yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x ). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2 .
Pakeiskite x = -1 :
.

Taigi mes radome kitą šaknį x 2 = -1 . Galima būtų, kaip ir ankstesniu atveju, padalyti daugianarį iš , tačiau terminus sugrupuosime:
.

Kvadratinį trinarį galima apskaičiuoti taip:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

kur a yra skaičius, koeficientas prieš didžiausią koeficientą,

x yra kintamasis (ty raidė),

x 1 ir x 2 – skaičiai, šaknys kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c = 0 , kurie randami per diskriminantą.

Jei kvadratinė lygtis turi tik vieną šaknį, tada skaidymas atrodo taip:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Kvadratinio trinalio faktorinavimo pavyzdžiai:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,   x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0; ⇒ x0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Jei kvadratinis trinaris yra neišsamus (b = 0 arba c = 0), tada jį galima apskaičiuoti šiais būdais:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ kvadratų skirtumui taikyti sumažintą daugybos formulę.

Savarankiško sprendimo užduotys

Nr. 1. Kvadratinis trinaris koeficientas: x 2 + 6 x - 27 = (x + 9) (x - a) . Surasti .

Sprendimas:

Pirmiausia turite prilyginti kvadratinį trinarį nuliui, kad rastumėte x 1 ir x 2.

x 2 + 6 x - 27 = 0

a = 1, b = 6, c = – 27

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 reiškia, kad bus dvi skirtingos šaknys.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9

Žinodami šaknis, kvadratinį trinarį faktorinuojame:

x 2 + 6 x - 27 = (x - (- 9)) (x - 3) = (x + 9) (x - 3)

Nr. 2. Lygtis x 2 + p x + q \u003d 0 turi šaknis - 5; 7. Raskite q.

Sprendimas:

1 būdas:(Jūs turite žinoti, kaip koeficientas yra kvadratinis trinaris)

Jei x 1 ir x 2 yra kvadratinio trinalio a x 2 + b x + c šaknys, tada jį galima apskaičiuoti taip: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .

Kadangi duotame kvadratiniame trinalyje pirminis koeficientas (koeficientas prieš x 2) yra lygus vienetui, skaidymas bus toks:

x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x - 35 = x 2 - 2 x - 35

x 2 + p x + q = x 2 - 2 x - 35 ⇒ p = - 2, q = - 35

2 būdai: (reikia žinoti Vieta teoremą)

Vietos teorema:

Sumažinto kvadratinio trinalio x 2 + p x + q šaknų suma lygi jo antrajam koeficientui p su priešingu ženklu, o sandauga lygi laisvajam nariui q.

( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q

q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į kai kuriuos dažniausiai vartojamus pavadinimus. Panagrinėkime daugianarius, kuriuose yra tik viena raidė, pavyzdžiui, raidė x. Tada paprasčiausias yra daugianario, kuriame yra du terminai, ir viename iš jų yra raidė x iki pirmo laipsnio, o kitame iš viso nėra raidės x, pavyzdžiui, 3x - 5 arba 15 - 7x arba 8z + 7 (čia vietoj raidės x imama raidė z) ir tt Tokie daugianariai vadinami tiesiniai dvinariai .

3x² - 5x + 7 arba x² + 2x - 1
arba 5y² + 7y + 8 arba z² - 5z - 2 ir kt.

Tokie daugianariai vadinami kvadratiniai trinariai.

Tada galime sudaryti kubinį ketvertuką, pavyzdžiui:

x³ + 2x² - x + 1 arba 3x³ - 5x² - 2x - 3 ir tt,

ketvirtojo laipsnio daugianario, pavyzdžiui:

x 4 - 2x³ - 3x² + 4x - 5 ir kt.

Taip pat galima žymėti koeficientus ties x, x², x³ ir tt taip pat raidėmis, pavyzdžiui, raidėmis a, b, c ir tt Tada gauname:

1) bendra forma binominis tiesinis x ax + b,

2) bendroji kvadratinio trinalio forma (x atžvilgiu): ax² + bx + c,

3) bendroji kubinio trinalio forma (x atžvilgiu): ax³ + bx² + cx + d ir kt.

Šiose formulėse raides a, b, c, d... pakeitę skirtingais skaičiais, gauname visokius tiesinius dvinarius, kvadratinius trinarius ir pan. Pavyzdžiui, formulėje ax² + bx + c, kuri išreiškia bendrąją formą kvadratinio trinalio raidę a pakeičiame skaičiumi + 3, raidę b skaičiumi -2 ir raidę c skaičiumi -1, gauname kvadratinį trinarį 3x² - 2x - 1. Konkrečiu atveju, taip pat galima gauti dvinarį, vieną iš raidžių pakeičiant nuliu, pavyzdžiui, jei a = +1, b = 0 ir c \u003d -3, tada gauname kvadratinį dvinarį x² - 3.

Kai kuriuos kvadratinius trinalius galima išmokti gana greitai padalyti į tiesinius veiksnius. Tačiau mes apsiribojame tik tokiais kvadratiniais trinadžiais, kurie atitinka šias sąlygas:

1) koeficientas didžiausiu terminu (prie x²) yra +1,

2) galima rasti du sveikuosius skaičius (su ženklais arba du santykinius sveikuosius skaičius), kad jų suma būtų lygi x koeficientui iki pirmojo laipsnio, o sandauga būtų lygi terminui be x (kur nėra x raidės visi).

Pavyzdžiai. 1. x² + 5x + 6; mintyse lengva rasti du skaičius (su ženklais), kad jų suma būtų lygi +5 (koeficientas ties x) ir kad jų sandauga būtų +6 (terminas be x), - šie skaičiai yra: + 2 ir +3 [iš tikrųjų +2 + 3 = +5 ir (+2) ∙ (+3) = +6]. Naudodami šiuos du skaičius, +5x terminą pakeičiame dviem terminais, būtent: +2x + 3x (žinoma, +2x + 3x = +5x); tada mūsų techninis terminas bus dirbtinai paverstas keturkampiu x² + 2x + 3x + 6. Dabar pritaikykime jam grupavimo techniką, pirmus du terminus įdėdami į vieną grupę, o paskutinius du į kitą:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).

Pirmoje grupėje skliausteliuose skliaustelėme x, o antroje +3 gavome du dėmenis, kurie turėjo bendrą koeficientą (x + 2), kuris taip pat buvo skliausteliuose, o mūsų trinaris x² + 5x + 6 buvo išskaidytas į 2 tiesinius veiksnius: x + 2 ir x + 3.

2. x² - x - 12. Čia reikia rasti du skaičius (santykinius), kad jų suma būtų -1, o sandauga būtų -12. Tokie skaičiai yra: -4 ir +3.

Patikrinkite: -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12. Naudodamiesi šiais skaičiais, terminą -x pakeičiame dviem terminais: -x \u003d -4x + 3x, - gauname:

x² - x - 12 \u003d x² - 4x + 3x - 12 \u003d x (x - 4) + 3 (x - 4) \u003d (x - 4) (x + 3).

3. x² - 7x + 6; čia reikalingi skaičiai: -6 ir -1. [Patikrinti: -6 + (-1) = -7; (–6) (–1) = +6].

x² - 7x + 6 = x² - 6x - x + 6 = x (x - 6) - (x - 6) = (x - 6) (x - 1).

Čia antrosios grupės nariai -x + 6 turėjo būti rašomi skliaustuose, prieš juos su minuso ženklu.

4. x² + 8x - 48. Čia reikia rasti du skaičius, kad jų suma būtų +8, o sandauga -48. Kadangi sandauga turi turėti minuso ženklą, tai norimi skaičiai turi būti su skirtingais ženklais, kadangi mūsų skaičių suma turi + ženklą, tai teigiamo skaičiaus absoliuti reikšmė turi būti didesnė. atsiskleidžiantis aritmetinis skaičius 48 dviem faktoriais (ir tai galima padaryti įvairiai), gauname: : 48 = 4 ∙ 12. Tada mūsų skaičiai yra: +12 ir -4. Toliau viskas paprasta:

x² + 8x - 48 = x² + 12x - 4x - 48 = x (x + 12) - 4 (x + 12) = (x + 12) (x - 4).

5. x² + 7x - 12. Čia reikia rasti 2 skaičius, kad jų suma būtų +7, o sandauga = -12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Matyt, 3 ir 4 būtų tinkami skaičiai, bet juos reikia imti su skirtingais ženklais, kad jų sandauga būtų lygi -12, o tada jų suma jokiu būdu nebūtų gali būti +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Kitos faktorizacijos taip pat neduoda reikiamų skaičių; todėl darome išvadą, kad šių kvadratinių trinarių dar negalime padalyti į tiesinius veiksnius, nes mūsų metodas jam netaikomas (netenkina antrosios iš pradžioje nustatytų sąlygų).

Jis turi kvadratą, kurį sudaro trys terminai (). Taip išeina – kvadratinis trinaris.

Pavyzdžiai ne kvadratiniai trinaliai:

\(x^3-3x^2-5x+6\) – kubinis ketvirtinis
\(2x+1\) – tiesinis dvinaris

Kvadratinio trinalio šaknis:

Pavyzdys:
Trinaris \(x^2-2x+1\) turi šaknį \(1\), nes \(1^2-2 1+1=0\)
Trinaris \(x^2+2x-3\) turi šaknis \(1\) ir \(-3\), nes \(1^2+2-3=0\) ir \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Pavyzdžiui: jei reikia rasti kvadratinio trinalio \(x^2-2x+1\) šaknis, prilyginsime jį nuliui ir išsprendžiame lygtį \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4–4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Paruošta. Šaknis yra \(1\).

Kvadratinio trinalio išskaidymas į:

Kvadratinį trinalį \(ax^2+bx+c\) galima išplėsti kaip \(a(x-x_1)(x-x_2)\), jei lygtys \(ax^2+bx+c=0\) yra didesnis už nulį \ (x_1\) ir \(x_2\) yra tos pačios lygties šaknys).

Pavyzdžiui, apsvarstykite trinarį \(3x^2+13x-10\).
Kvadratinės lygties \(3x^2+13x-10=0\) diskriminantas lygus 289 (didesnis už nulį), o šaknys lygios \(-5\) ir \(\frac(2)(3) )\). Taigi \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Nesunku patikrinti šio teiginio teisingumą – jei mes , tada gauname pirminį trinarį.

Kvadratinis trinaris \(ax^2+bx+c\) gali būti pavaizduotas kaip \(a(x-x_1)^2\), jei lygties \(ax^2+bx+c=0\) diskriminantas yra lygus nuliui.

Pavyzdžiui, apsvarstykite trinarį \(x^2+6x+9\).
Kvadratinės lygties \(x^2+6x+9=0\) diskriminantas lygus \(0\), o vienintelė šaknis lygi \(-3\). Taigi, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (čia koeficientas \(a=1\), todėl prieš skliaustelį rašyti nereikia). Atkreipkite dėmesį, kad tą patį pakeitimą galima atlikti naudojant .

Kvadratinis trinaris \(ax^2+bx+c\) neskaičiuojamas, jei lygties \(ax^2+bx+c=0\) diskriminantas yra mažesnis už nulį.

Pavyzdžiui, trinalių \(x^2+x+4\) ir \(-5x^2+2x-1\) diskriminantas yra mažesnis už nulį. Todėl jų neįmanoma suskaidyti į veiksnius.

Pavyzdys . Koeficientas \(2x^2-11x+12\).
Sprendimas :
Raskite kvadratinės lygties šaknis \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Taigi \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Atsakymas : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Gautas atsakymas gali būti parašytas kitaip: \((2x-3)(x-4)\).

Pavyzdys . (Užduotis iš OGE) Kvadratinis trinaris koeficientas \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Surasti\).
Sprendimas:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Atsakymas : \(-1,6\)