Dabar apsvarstykite kvadratinę lygtį
kur yra nežinomas dydis, yra lygties parametrai (koeficientai).
Į kritines parametro reikšmes pirmiausia turėtų būti įtraukta vertė Esant nurodytai parametro vertei, (1) lygtis įgauna formą
todėl lygties tvarka sumažinama vienetu. (2) lygtis yra tiesinė lygtis ir jos sprendimo būdas buvo nagrinėtas anksčiau.
Kitoms kritinėms parametrų reikšmės nustatomos pagal lygties diskriminantą. Yra žinoma, kad , lygtis (1) neturi šaknų; nes ji turi vieną (1) lygties šaknį, turi dvi skirtingas šaknis ir
vienas). Raskite visas parametrų reikšmes, kurioms taikoma kvadratinė lygtis
a) turi dvi skirtingas šaknis;
b) neturi šaknų;
c) turi dvi lygias šaknis.
Sprendimas.Ši lygtis yra kvadratinė pagal sąlygą, todėl apsvarstykite šios lygties diskriminantą
Kai lygtis turi dvi skirtingas šaknis, nes
Kai lygtis neturi šaknų, nes Ši kvadratinė lygtis negali turėti dviejų lygių šaknų, nes už ir tai prieštarauja problemos sąlygai.
Atsakymas: kai lygtis turi dvi skirtingas šaknis.
Kai lygtis neturi šaknų.
2) Išspręskite lygtį. Išspręskite kiekvienos leistinos parametro vertės lygtį
Sprendimas. Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai
(šiuo atveju pradinė lygtis tampa tiesine lygtimi). Taigi, parametro reikšmė ir yra jo kritinės reikšmės. Akivaizdu, kad , šios lygties šaknis yra ir , jos šaknis yra
Jeigu tie. ir tada ši lygtis yra kvadratinė. Raskime jo diskriminatorių:
Visoms reikšmėms diskriminantas įgauna neneigiamas reikšmes ir išnyksta (šios parametro reikšmės taip pat yra jo kritinės reikšmės).
Todėl, jei tada ši lygtis turi vieną šaknį
Šiuo atveju parametro reikšmė atitinka šaknį
o reikšmė atitinka šaknį
Jei tada lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Raskime šias šaknis.
Atsakymas. Jei tada jei tada jei tada
jei tada , .
3) Išspręskite lygtį. Kokiomis parametro reikšmėmis a ar lygtis turi unikalų sprendimą?
Sprendimas.Ši lygtis yra lygiavertė sistemai
Kvadratinės lygties buvimas ir sprendimo unikalumo sąlyga natūraliai paskatins ieškoti diskriminanto šaknų. Tačiau sąlyga x ≠ -3 turėtų patraukti dėmesį. Ir „subtilus dalykas“ yra tas, kad sistemos kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis! Bet tik vienas iš jų turi būti lygus -3. Mes turime
D= a 2 - 4, taigi D = 0, jei a= ±2; x \u003d -3 - lygties x 2 šaknis - a x +1 = 0 at
a= -10/3, ir su šia reikšme a antroji kvadratinės lygties šaknis skiriasi
Atsakymas. a= ±2 arba a = -10/3.
4) Išspręskite lygtį. Kokiomis parametro reikšmėmis a lygtis
(a- 2)x 2 + (4 - 2a) X+3 = 0 turi unikalų sprendimą?
Sprendimas. Aišku, kad reikia pradėti nuo bylos a= 2. Bet at a = 2 Pradinė lygtis iš viso neturi sprendinių. Jeigu a ≠ 2, tada ši lygtis yra kvadratinė ir, atrodytų, norimos parametro reikšmės yra diskriminanto šaknys. Tačiau diskriminantas išnyksta, kai a = 2 arba a = 5. Kadangi mes tai nustatėme a=2 tada netinka
Atsakymas, a = 5.
9) Išspręskite lygtį. Kokiomis parametro reikšmėmis a lygtis Oi 2 - 4X + a+ 3 = 0 turi daugiau nei vieną šaknį?
Sprendimas. At a= 0 lygtis turi vieną šaknį, kuri netenkina sąlygos. At a≠ 0 pradinė lygtis, būdama kvadratinė, turi dvi šaknis, jei jos diskriminantas yra 16 – 4 a 2 – 12a teigiamas. Iš čia gauname -4<a<1.
Tačiau gautame intervale (-4; 1) yra skaičius 0. Atsakymas. -4<a<0 или 0<a<1.
dešimt). Kokiomis parametro reikšmėmis a lygtis a(a+3)X 2 + (2a+6)X– 3a– 9 = 0 turi daugiau nei vieną šaknį?
Sprendimas. Standartinis žingsnis – pradėkite nuo bylų a= 0 ir a= -3. At a= 0 lygtis turi unikalų sprendimą. Įdomu, kad val a= -3 lygties sprendinys yra bet koks realusis skaičius. At a≠ -3 ir a≠ 0, padalijus abi šios lygties puses iš a + 3, gauname kvadratinę lygtį Oi 2 + 2X- 3 = 0, kurio diskriminantas yra 4 (1 + Z a) yra teigiamas > ⅓. Ankstesnių pavyzdžių patirtis rodo, kad iš intervalo
(-⅓ ;∞) reikia atmesti tašką a= 0, ir nepamirškite įtraukti a = -3.
Atsakymas. a= -3 arba - ⅓< а < 0, или а > 0.
11).Išspręskite lygtį :
Sprendimas. Pirma, atkreipkite dėmesį, kad ši lygtis yra lygiavertė lygčiai, kuri neturi sprendinių. Jeigu
Tipo lygtis f(x; a) = 0 vadinamas kintamoji lygtis X ir parametras a.
Išspręskite lygtį su parametru a Tai reiškia, kad kiekvienai vertei a rasti vertybes X tenkinančių šią lygtį.
1 pavyzdys Oi= 0
2 pavyzdys Oi = a
3 pavyzdys
x + 2 = ax
x - kirvis \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
Jei 1 - a= 0, t.y. a= 1, tada X 0 = -2 be šaknų
Jei 1 - a 0, t.y. a 1, tada X =
4 pavyzdys
(a 2 – 1) X = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)X = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)X = (1a – 3)(a – 1)
Jeigu a= 1, tada 0 X = 0
X- bet koks tikrasis skaičius
Jeigu a= -1, tada 0 X = -2
jokių šaknų
Jeigu a 1, a-1 tada X= (vienintelis sprendimas).
Tai reiškia, kad kiekvienai galiojančiai vertei a atitinka vieną reikšmę X.
Pavyzdžiui:
jeigu a= 5, tada X = = ;
jeigu a= 0, tada X= 3 ir tt
Didaktinė medžiaga
1. Oi = X + 3
2. 4 + Oi = 3X – 1
3. a = +
adresu a= 1 nėra šaknų.
adresu a= 3 be šaknų.
adresu a = 1 X bet koks tikrasis skaičius, išskyrus X = 1
adresu a = -1, a= 0 sprendinių nėra.
adresu a = 0, a= 2 sprendimų nėra.
adresu a = -3, a = 0, 5, a= -2 sprendimų nėra
adresu a = -Su, Su= 0 sprendinių nėra.
Kvadratinės lygtys su parametru
1 pavyzdys išspręsti lygtį
(a – 1)X 2 = 2(2a + 1)X + 4a + 3 = 0
At a = 1 6X + 7 = 0
Kada a 1 pasirinkite tas parametro reikšmes, kurioms D eina į nulį.
D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16
20a + 16 = 0
20a = -16
Jeigu a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Jeigu a> -4/5 ir a 1, tada D > 0,
X = 
Jeigu a= 4/5, tada D = 0,
2 pavyzdys Kokiomis parametro reikšmėmis lygtis
x 2 + 2( a + 1)X + 9a– 5 = 0 turi 2 skirtingas neigiamas šaknis?
D = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)
4(a – 1)(a – 6) > 0
pagal t. Vietą: X 1 + X 2 = -2(a + 1)
X 1 X 2 = 9a – 5
Pagal sąlygą X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0
| Galų gale | 4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0 |
a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9 |
 (Ryžiai. vienas) < a < 1, либо a > 6 |
3 pavyzdys Raskite vertybes a kuriai ši lygtis turi sprendimą.
x 2 - 2 ( a – 1)X + 2a + 1 = 0
D = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a
4a 2 – 16 0
4a(a – 4) 0
a( a – 4)) 0
a( a – 4) = 0
a = 0 arba a – 4 = 0
a = 4
(Ryžiai. 2)
Atsakymas: a 0 ir a 4
Didaktinė medžiaga
1. Kokia verte a lygtis Oi 2 – (a + 1) X + 2a– 1 = 0 turi vieną šaknį?
2. Kokia verte a lygtis ( a + 2) X 2 + 2(a + 2)X+ 2 = 0 turi vieną šaknį?
3. Kokioms a reikšmėms yra lygtis ( a 2 – 6a + 8) X 2 + (a 2 – 4) X + (10 – 3a – a 2) = 0 turi daugiau nei dvi šaknis?
4. Kokioms 2 lygties reikšmėms X 2 + X – a= 0 turi bent vieną bendrą šaknį su 2 lygtimi X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Kokioms a reikšmėms taikomos lygtys X 2 +Oi+ 1 = 0 ir X 2 + X + a= 0 turi bent vieną bendrą šaknį?
1. Kada a = - 1/7, a = 0, a = 1
2. Kada a = 0
3. Kada a = 2
4. Kada a = 10
5. Kada a = - 2
Eksponentinės lygtys su parametru
1 pavyzdys.Rasti visas vertes a, kuriai lygtis
9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) turi lygiai dvi šaknis.
Sprendimas. Abi (1) lygties puses padauginus iš 3 2/x, gauname lygiavertę lygtį
3 2 (x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)
Tegul 3 x+1/x = adresu, tada (2) lygtis įgauna formą adresu 2 – (a + 2)adresu + 2a= 0 arba
(adresu – 2)(adresu – a) = 0, iš kur adresu 1 =2, adresu 2 = a.
Jeigu adresu= 2, t.y. 3 x + 1/x = 2 tada X + 1/X= log 3 2 arba X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Ši lygtis neturi tikrų šaknų, nes ji D= log 2 3 2 – 4< 0.
Jeigu adresu = a, t.y. 3 x+1/x = a tada X + 1/X= 3 žurnalas a, arba X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
(3) lygtis turi lygiai dvi šaknis tada ir tik tada
D = log 2 3 2 – 4 > 0 arba |log 3 a| > 2.
Jei log 3 a > 2, tada a> 9, o jei log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.
Atsakymas: 0< a < 1/9, a > 9.
2 pavyzdys. Kokiomis lygties reikšmėmis 2 2x - ( a - 3) 2 x 3 a= 0 turi sprendimus?
Į duota lygtis turi sprendinius, būtina ir pakanka, kad lygtis t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 turi bent vieną teigiamą šaknį. Raskime šaknis naudodami Vietos teoremą: X 1 = -3, X 2 = a = >
a yra teigiamas skaičius.
Atsakymas: kada a > 0
Didaktinė medžiaga
1. Raskite visas a reikšmes, kurioms taikoma lygtis
25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 turi lygiai 2 sprendimus.
2. Kokioms a reikšmėms taikoma lygtis
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 turi vieną šaknį?
3. Kokioms parametro reikšmėms lygtis
4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a= 0 turi unikalų sprendimą?
Logaritminės lygtys su parametru
1 pavyzdys Raskite visas vertes a, kuriai lygtis
žurnalas 4x (1 + Oi) = 1/2 (1)
turi unikalų sprendimą.
Sprendimas. (1) lygtis yra lygiavertė lygčiai
1 + Oi = 2X adresu X > 0, X 1/4 (3)
X = adresu
au 2 - adresu + 1 = 0 (4)
(2) sąlyga iš (3) netenkinama.
Leisti a 0, tada arba 2 – 2adresu+ 1 = 0 turi tikrąsias šaknis tada ir tik tada D = 4 – 4a 0, t.y. adresu a 1. Norėdami išspręsti nelygybę (3), sudarome funkcijų grafikus Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės eigos tyrimas. - M.: Švietimas, 1990 m
1. Užduotis.
Kokiomis parametro reikšmėmis a lygtis ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 turi tiksliai vieną šaknį?
1. Sprendimas.
At a= 1 lygtis turi 2 formą x= 0 ir akivaizdžiai turi vieną šaknį x= 0. Jei a 1, tada ši lygtis yra kvadratinė ir turi vieną šaknį toms parametro reikšmėms, kurioms diskriminantas kvadratinis trinaris nulis. Prilyginę diskriminantą nuliui, gauname parametro lygtį a
4a 2 - 8a= 0, iš kur a= 0 arba a = 2.
1. Atsakymas: lygtis turi vieną šaknį ties a O(0; 1; 2).
2. Užduotis.
Raskite visas parametrų reikšmes a, kurio lygtis turi dvi skirtingas šaknis x 2 +4kirvis+8a+3 = 0.
2. Sprendimas.
Lygtis x 2 +4kirvis+8a+3 = 0 turi dvi skirtingas šaknis tada ir tik tada D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Gauname (sumažinus bendrą koeficientą 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, iš kur
2. Atsakymas:
| a O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) IR (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Užduotis.
Yra žinoma, kad
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Nubraižykite funkciją f 1 (x) adresu a = 1.
b) Kokia verte a funkcijų grafikai f 1 (x) ir f 2 (x) turi vieną bendrą dalyką?
3. Sprendimas.
3.a. Transformuokime f 1 (x) tokiu būdu
Šios funkcijos grafikas a= 1 parodyta paveikslėlyje dešinėje.
3.b. Iš karto pastebime, kad funkcijos grafikai y =
kx+b ir y = kirvis 2 +bx+c
(a Nr. 0) susikerta viename taške tada ir tik tada, kai kvadratinė lygtis kx+b =
kirvis 2 +bx+c turi vieną šaknį. Rodinio naudojimas f 1 iš 3.a, sulyginame lygties diskriminantą a = 6x-x 2–6 iki nulio. Iš 36-24-4 lygties a= 0 gauname a= 3. Darydami tą patį su 2 lygtimi x-a = 6x-x 2-6 radinys a= 2. Nesunku patikrinti, ar šios parametrų reikšmės atitinka problemos sąlygas. Atsakymas: a= 2 arba a = 3.
4. Užduotis.
Raskite visas vertes a, pagal kurią nelygybės sprendinių aibė x 2 -2kirvis-3a i 0 yra segmentas .
4. Sprendimas.
Pirmoji parabolės viršūnės koordinatė f(x) =
x 2 -2kirvis-3a yra lygus x 0 =
a. Iš kvadratinės funkcijos savybių sąlyga f(x) i 0 segmente yra lygus trijų sistemų visumai
turi lygiai du sprendimus?
5. Sprendimas.
Perrašykime šią lygtį į formą x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Tai kvadratinė lygtis, ji turi lygiai du sprendinius, jei jos diskriminantas yra griežtai didesnis už nulį. Apskaičiuojant diskriminantą gauname, kad sąlyga turėti lygiai dvi šaknis yra nelygybės išsipildymas a 2 +a-6 > 0. Išspręsdami nelygybę, randame a < -3 или a> 2. Pirmoji iš nelygybių akivaizdžiai yra sprendimai in natūraliuosius skaičius neturi, o antrojo mažiausias natūralusis sprendinys yra skaičius 3.
5. Atsakymas: 3.
6. Užduotis (10 langelių)
Raskite visas vertes a, kuriai funkcijos grafikas arba, po akivaizdžių transformacijų, a-2 = |
2-a| . Paskutinė lygtis yra lygiavertė nelygybei a aš 2.
6. Atsakymas: a O)
