Diskriminantas yra dviprasmiškas terminas. Šiame straipsnyje daugiausia dėmesio bus skiriama daugianario diskriminantui, kuris leidžia nustatyti, ar tam tikras daugianomas turi realius sprendimus. Kvadratinio daugianario formulė randama mokykliniame algebros ir analizės kurse. Kaip rasti diskriminantą? Ko reikia lygčiai išspręsti?

Vadinamas kvadratinis daugianomas arba antrojo laipsnio lygtis i * w ^ 2 + j * w + k lygus 0, kur "i" ir "j" yra atitinkamai pirmasis ir antrasis koeficientai, "k" yra konstanta, kartais vadinama "pertrauka" ir "w" yra kintamasis. Jo šaknys bus visos kintamojo, kuriam esant jis virsta tapatybe, reikšmės. Tokią lygybę galima perrašyti kaip i, (w - w1) ir (w - w2) sandaugą, lygią 0. Šiuo atveju akivaizdu, kad jei koeficientas "i" neišnyksta, tada funkcija kairė pusė taps nuliu tik jei x įgis reikšmę w1 arba w2. Šios reikšmės yra polinomo nustatymo į nulį rezultatas.

Norint rasti kintamojo, kuriam esant kvadratinis daugianomas išnyksta, reikšmę, naudojama pagalbinė konstrukcija, pagrįsta jos koeficientais ir vadinama diskriminantu. Ši konstrukcija apskaičiuojama pagal formulę D lygi j * j - 4 * i * k. Kodėl jis naudojamas?

1. Ji sako, jei yra tinkamų rezultatų.
2. Ji padeda juos apskaičiuoti.

Kaip ši vertė parodo tikrų šaknų buvimą:

• Jei jis teigiamas, realiųjų skaičių srityje galite rasti dvi šaknis.
• Jei diskriminantas lygus nuliui, tai abu sprendiniai yra vienodi. Galima sakyti, kad yra tik vienas sprendimas, ir jis yra iš realiųjų skaičių srities.
• Jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai daugianomas neturi realių šaknų.

Medžiagos tvirtinimo skaičiavimo galimybės

Jei suma (7 * w^2; 3 * w; 1) lygi 0 D apskaičiuojame pagal formulę 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 gauname -19. Diskriminacinė reikšmė žemiau nulio rodo, kad realioje eilutėje rezultatų nėra.

Jei laikysime 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1, atitinkančius 0, tada D apskaičiuojamas kaip (-3) kvadratas atėmus skaičių sandaugą (4; 2; 1) ir yra lygus 9 - 8, tai yra 1. Teigiama reikšmė rodo du realiosios linijos rezultatus.

Jei imsime sumą (w^2; 2 * w; 1) ir prilygsime 0, D apskaičiuojamas kaip du kvadratai atėmus skaičių sandaugą (4; 1; 1). Ši išraiška supaprastės iki 4–4 ir pavirs į nulį. Pasirodo, rezultatai tokie patys. Jei atidžiai pažvelgsite į šią formulę, paaiškės, kad tai yra " pilna aikštė“. Tai reiškia, kad lygybę galima perrašyti į formą (w + 1) ^ 2 = 0. Tapo akivaizdu, kad šios problemos rezultatas yra „-1“. Esant situacijai, kai D lygus 0, kairiąją lygybės pusę visada galima sutraukti pagal formulę „sumos kvadratas“.

Diskriminanto naudojimas šaknims apskaičiuoti

Ši pagalbinė konstrukcija ne tik parodo realių sprendimų skaičių, bet ir padeda juos rasti. Bendroji formulė antrojo laipsnio lygtis apskaičiuojama taip:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kur d yra 1/2 laipsnio diskriminantas.

Tarkime, kad diskriminantas yra žemiau nulio, tada d yra įsivaizduojamas, o rezultatai yra įsivaizduojami.

D yra nulis, tada d lygus D laipsniui 1/2 taip pat yra nulis. Sprendimas: -j / (2 * i). Dar kartą įvertinę 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, rasime rezultatus, lygiaverčius -2 / (2 * 1) = -1.

Tarkime, D > 0, taigi d yra tikrasis skaičius, o atsakymas čia padalijamas į dvi dalis: w1 = (-j + d) / (2 * i) ir w2 = (-j - d) / (2 * i) . Abu rezultatai galios. Pažvelkime į 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Čia diskriminantas ir d yra vienodi. Taigi w1 yra (3 + 1) padalintas iš (2 * 2) arba 1, o w2 yra (3 - 1) padalintas iš 2 * 2 arba 1/2.

Kvadratinės išraiškos prilyginimo nuliui rezultatas apskaičiuojamas pagal algoritmą:

1. Galiojančių sprendimų skaičiaus nustatymas.
2. Skaičiavimas d = D^(1/2).
3. Rezultato radimas pagal formulę (-j +/- d) / (2 * i).
4. Gauto rezultato pakeitimas pradine lygybe čekiu.

Kai kurie ypatingi atvejai

Atsižvelgiant į koeficientus, sprendimas gali būti šiek tiek supaprastintas. Akivaizdu, kad jei koeficientas prieš kintamąjį iki antrosios laipsnio yra lygus nuliui, tada gaunama tiesinė lygybė. Kai koeficientas prieš kintamąjį yra lygus nuliui iki pirmosios laipsnio, galimi du variantai:

1. daugianaris išsiplečia į kvadratų skirtumą su neigiamu laisvuoju nariu;
2. teigiamai konstantai realių sprendimų rasti nepavyksta.

Jei laisvasis narys yra nulis, tada šaknys bus (0; -j)

Tačiau yra ir kitų ypatingų atvejų, kurie supaprastina sprendimo paiešką.

Sumažinta antrojo laipsnio lygtis

Duotas vadinamas toks kvadratinis trinaris, kur koeficientas prieš pagrindinį terminą yra vienas. Šiai situacijai taikytina Vieta teorema, kuri sako, kad šaknų suma yra lygi kintamojo koeficientui iki pirmosios laipsnio, padaugintam iš -1, o sandauga atitinka konstantą "k".

Todėl w1 + w2 yra lygus -j, o w1 * w2 lygus k, jei pirmasis koeficientas yra vienas. Norėdami patikrinti tokio vaizdavimo teisingumą, galime išreikšti w2 = -j - w1 iš pirmosios formulės ir pakeisti ją antrąja lygybe w1 * (-j - w1) = k. Rezultatas yra pradinė lygybė w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Svarbu pažymėti kad i * w ^ 2 + j * w + k = 0 galima sumažinti padalijus iš "i". Rezultatas bus toks: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kur j1 lygus j/i, o k1 lygus k/i.

Pažiūrėkime į jau išspręstą 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 su rezultatais w1 = 1 ir w2 = 1/2. Ją reikia padalyti per pusę, ko pasekoje w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Patikrinkime, ar teoremos sąlygos yra teisingos rastiems rezultatams: 1 + 1/2 = 3/2 ir 1 * 1/2 = 1/2.

Net antrasis veiksnys

Jei kintamojo koeficientas iki pirmosios laipsnio (j) dalijasi iš 2, tada bus galima supaprastinti formulę ir ieškoti sprendimo per ketvirtadalį diskriminanto D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. pasirodo w = (-j +/- d/2) / i, kur d/2 = D/4 iki 1/2 laipsnio.

Jei i = 1, o koeficientas j lygus, tada sprendimas yra -1 ir pusės koeficiento sandauga kintamajame w, plius/atėmus šios pusės kvadrato šaknį, atėmus konstantą "k". Formulė: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Aukštesnės eilės diskriminatorius

Pirmiau aptartas antrojo laipsnio diskriminantas yra dažniausiai naudojamas ypatingas atvejis. Bendruoju atveju daugianario diskriminantas yra šio daugianario šaknų skirtumų padauginti kvadratai. Todėl diskriminantas nulis rodo, kad yra bent du keli sprendimai.

Apsvarstykite i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Tarkime, kad diskriminantas yra didesnis už nulį. Tai reiškia, kad realiųjų skaičių srityje yra trys šaknys. Esant nuliui, yra keli sprendimai. Jeigu D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Vaizdo įrašas

Mūsų vaizdo įrašas išsamiai papasakos apie diskriminanto skaičiavimą.

Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.

Dirbkime su kvadratines lygtis. Tai labai populiarios lygtys! Pačioje bendras vaizdas kvadratinė lygtis atrodo taip:

Pavyzdžiui:

Čia a =1; b = 3; c = -4

Čia a =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia a =-3; b = 6; c = -18

Na, supratai mintį...

Kaip išspręsti kvadratines lygtis? Jei turite kvadratinę lygtį šioje formoje, tada viskas paprasta. Mes prisimenam Magiškas žodis diskriminuojantis . Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsk per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti gudrybių iš diskriminanto! Tai paprasta ir be problemų naudoti. Taigi kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu yra tokia pati diskriminuojantis. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir apsvarstykite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, pirmajai lygčiai a =1; b = 3; c= -4. Čia rašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai viskas.

Kokie atvejai galimi naudojant šią formulę? Yra tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galite išgauti šaknį. Kitas klausimas, ar šaknis išgauta gerai, ar blogai. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada jūs turite vieną sprendimą. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, bet du vienodi. Tačiau tai turi įtakos nelygybėms, kur mes šią problemą išnagrinėsime išsamiau.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamas skaičius neįima kvadratinės šaknies. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Viskas labai paprasta. O kaip tu manai, negali suklysti? Na taip, kaip...
Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir c. Tiksliau, ne jų ženklais (kur čia susipainioti?), o neigiamų reikšmių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugomas išsamus formulės įrašas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryk tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c=-1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai tiesiog pasirodys teisinga. Ypač jei taikote praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų bus išspręstas lengvai ir be klaidų!

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėme. Arba išmoko, o tai irgi gerai. Ar galite teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip atsargiai pakeiskite juos į šaknies formulę ir atsargiai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįčia - atsargiai?

Tačiau kvadratinės lygtys dažnai atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

tai nepilnos kvadratinės lygtys . Jas taip pat galima išspręsti naudojant diskriminantą. Jums tiesiog reikia teisingai išsiaiškinti, kas čia yra lygus a, b ir c.

Supratau? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; a c? Jo visai nėra! Na, taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to, formulėje pakeiskite nulį c, ir mums viskas susitvarkys. Panašiai ir su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime Su, a b !

Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokios diskriminacijos. Apsvarstykite pirmąją nepilną lygtį. Ką galima padaryti kairėje pusėje? Galite išimti X iš skliaustų! Išimkime.

Ir kas iš to? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui, jei ir tik kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netiki? Na, tada sugalvokite du ne nulius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Kažkas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x = 0, arba x = 4

Viskas. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei per diskriminantą.

Antroji lygtis taip pat gali būti lengvai išspręsta. Perkeliame 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka iš 9 ištraukti šaknį, ir viskas. Gaukite:

taip pat dvi šaknys . x = +3 ir x = -3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba išimant X iš skliaustų, arba tiesiog perkeliant skaičių į dešinę, po to ištraukiant šaknį.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš X, o tai kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko išimti iš skliaustų ...

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie atsiranda dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžiau...

Pirmas priėmimas. Netingėkite prieš išspręsdami kvadratinę lygtį, kad ji būtų standartinė. Ką tai reiškia?
Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x kvadratą gali jus labai nuliūdinti. Pamiršti lengva... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nesijaudink, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kuria užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, lengvai patikrinkite šaknis. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą terminą, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! nemokamas narys su savo ženklu . Jei nepavyko, vadinasi, jie jau kažkur susipainiojo. Ieškokite klaidos. Jei pavyko, šaknis reikia sulankstyti. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtų būti santykis b Su priešingas ženklas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš x, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Bus mažiau klaidų.

Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta ankstesniame skyriuje. Dirbdami su trupmenomis, klaidos dėl tam tikrų priežasčių kyla ...

Beje, žadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

Tai viskas! Spręsti yra smagu!

Taigi, pakartokime temą.

Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti Vietos teorema. Daryk!

Trupmenų lygtys. ODZ.

Mes ir toliau įvaldome lygtis. Mes jau žinome, kaip dirbti su tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis. Lieka paskutinis vaizdas trupmenines lygtis. Arba jie taip pat vadinami daug tvirtesniais - trupmenines racionaliąsias lygtis. Tai tas pats.

Trupmenų lygtys.

Kaip rodo pavadinimas, šiose lygtyse būtinai yra trupmenų. Bet ne tik trupmenos, bet ir trupmenos, kurios turi vardiklyje nežinomas. Bent jau viename. Pavyzdžiui:

Leiskite jums priminti, jei tik vardikliuose numeriai, tai tiesinės lygtys.

Kaip nuspręsti trupmenines lygtis? Visų pirma, atsikratykite trupmenų! Po to lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine. Ir tada mes žinome, ką daryti... Kai kuriais atvejais tai gali virsti tapatybe, pvz., 5=5 arba neteisinga išraiška, pavyzdžiui, 7=2. Tačiau taip nutinka retai. Žemiau paminėsiu.

Bet kaip atsikratyti trupmenų!? Labai paprasta. Taikant visas tas pačias identiškas transformacijas.

Turime padauginti visą lygtį iš tos pačios išraiškos. Kad visi vardikliai sumažėtų! Viskas iš karto taps lengviau. Paaiškinu pavyzdžiu. Tarkime, kad turime išspręsti lygtį:

Kaip jie buvo mokomi pradinėje mokykloje? Viską perkeliame į vieną pusę, sumažiname iki bendro vardiklio ir t.t. Pamiršk, koks blogas sapnas! Tai reikia padaryti, kai pridedate arba atimate trupmenines išraiškas. Arba dirbti su nelygybėmis. Ir lygtyse mes iš karto padauginame abi dalis iš išraiškos, kuri suteiks mums galimybę sumažinti visus vardiklius (ty iš esmės iš bendro vardiklio). Ir kas yra ši išraiška?

Kairėje pusėje, norėdami sumažinti vardiklį, turite padauginti iš x+2. O dešinėje reikia dauginti iš 2. Taigi lygtį reikia padauginti iš 2 (x+2). Mes dauginame:

Tai yra įprastas trupmenų dauginimas, bet aš parašysiu išsamiai:

Atkreipkite dėmesį, kad skliaustų dar neatidarau. (x + 2)! Taigi, visą tai rašau:

Kairėje pusėje jis visiškai sumažintas (x+2), o dešinėje 2. Pagal poreikį! Po sumažinimo gauname linijinis lygtis:

Kiekvienas gali išspręsti šią lygtį! x = 2.

Išspręskime kitą pavyzdį, šiek tiek sudėtingesnį:

Jei prisiminsime, kad 3 = 3/1, ir 2x = 2x/ 1 galima parašyti:

Ir vėl atsikratome to, kas mums nelabai patinka – nuo ​​trupmenų.

Matome, kad norint sumažinti vardiklį su x, reikia trupmeną padauginti iš (x - 2). Ir vienetai mums nėra kliūtis. Na, padauginkime. Visi kairėje pusėje ir visi dešinioji pusė:

Vėl skliausteliuose (x - 2) Aš neatskleisiu. Aš dirbu su visu skliaustu, tarsi tai būtų vienas skaičius! Tai turi būti daroma visada, kitaip niekas nesumažės.

Su gilaus pasitenkinimo jausmu pjauname (x - 2) ir gauname lygtį be trupmenų, liniuote!

O dabar atidarome skliaustus:

Pateikiame panašius, perkeliame viską į kairę pusę ir gauname:

Klasikinė kvadratinė lygtis. Bet minusas į priekį nėra geras. Visada galite jo atsikratyti padauginę arba padalydami iš -1. Bet jei atidžiai pažvelgsite į pavyzdį, pastebėsite, kad geriausia šią lygtį padalyti iš -2! Vienu ypu minusas dings, o koeficientai gražės! Daliname iš -2. Kairėje pusėje - terminas po termino, o dešinėje - tiesiog padalinkite nulį iš -2, nulį ir gaukite:

Sprendžiame per diskriminantą ir tikriname pagal Vietos teoremą. Mes gauname x = 1 ir x = 3. Dvi šaknys.

Kaip matote, pirmuoju atveju lygtis po transformacijos tapo tiesinė, o čia kvadratinė. Būna, kad atsikračius trupmenų visi x sumažinami. Kažkas liko, pavyzdžiui, 5=5. Tai reiškia kad x gali būti bet kas. Kad ir kas tai būtų, jis vis tiek bus sumažintas. Ir gaukite gryną tiesą, 5 = 5. Bet, atsikračius trupmenų, tai gali pasirodyti visiškai netiesa, pavyzdžiui, 2=7. O tai reiškia, kad jokių sprendimų! Su bet kuriuo x jis pasirodo klaidingas.

Supratau pagrindinis būdas sprendimus trupmenines lygtis? Tai paprasta ir logiška. Mes keičiame pradinę išraišką, kad viskas, kas mums nepatinka, išnyktų. Arba trukdyti. Šiuo atveju tai trupmenos. Tą patį darysime su visais sudėtingų pavyzdžių su logaritmais, sinusais ir kitais baisumais. Mes visada mes viso šito atsikratysime.

Tačiau turime pakeisti pradinę išraišką mums reikalinga kryptimi pagal taisykles, taip ... Kurio kūrimas yra pasiruošimas matematikos egzaminui. Čia mes mokomės.

Dabar mes išmoksime apeiti vieną iš pagrindinės pasalos egzamino metu! Bet pirmiausia pažiūrėkime, pateksite į tai ar ne?

Paimkime paprastą pavyzdį:

Reikalas jau pažįstamas, abi dalis padauginame iš (x - 2), mes gauname:

Atminkite, su skliausteliuose (x - 2) dirba su vienu visa išraiška!

Čia aš jau neberašiau tos vardikliuose, neorus... Ir vardikliuose skliaustų netraukiau, išskyrus x - 2 nieko nėra, negalima piešti. Sutrumpiname:

Atidarome skliaustus, perkeliame viską į kairę, pateikiame panašius:

Išsprendžiame, patikriname, gauname dvi šaknis. x = 2 ir x = 3. Puikiai.

Tarkime, užduotyje nurodyta užrašyti šaknį arba jų sumą, jei šaknų yra daugiau nei viena. Ką rašysime?

Jei nuspręsite, kad atsakymas yra 5, jūs buvo užpulti. Ir užduotis jums nebus įskaityta. Jie dirbo veltui ... Teisingas atsakymas yra 3.

Kas nutiko?! Ir tu pabandyk patikrinti. Nežinomo reikšmes pakeiskite į originalus pavyzdys. O jei at x = 3 viskas nuostabiai auga kartu, gauname 9 = 9, tada su x = 2 padalinti iš nulio! Ko visiškai negalima padaryti. Reiškia x = 2 nėra sprendimas ir į jį neatsižvelgiama atsakant. Tai vadinamoji pašalinė arba papildoma šaknis. Tiesiog išmetame. Yra tik viena galutinė šaknis. x = 3.

Kaip tai?! Girdžiu pasipiktinusius šūksnius. Mus mokė, kad lygtį galima padauginti iš išraiškos! tai tapatybės transformacija!

Taip, identiškas. Esant nedidelei sąlygai - išraiška, iš kurios mes dauginame (daliname) - skiriasi nuo nulio. BET x - 2 adresu x = 2 lygus nuliui! Taigi viskas sąžininga.

O dabar ką aš galiu padaryti?! Nedauginti pagal išraišką? Ar tikrinate kiekvieną kartą? Ir vėl neaišku!

ramiai! Jokios panikos!

Šioje sudėtingoje situacijoje mus išgelbės trys stebuklingos raidės. Aš žinau, ką tu galvoji. Teisingai! tai ODZ . Galiojančių vertybių sritis.

Svarbu! Lyginio daugumo šaknyse funkcija ženklo nekeičia.

Pastaba! Bet kokia netiesinė mokyklinio algebros kurso nelygybė turi būti išspręsta naudojant intervalų metodą.

Siūlau jums išsamų nelygybių sprendimo intervalų metodu algoritmas, kuriuo vadovaudamiesi galite išvengti klaidų, kai sprendžiant netiesines nelygybes.

Sprendimas kvadratines lygtis su neigiamais diskriminatoriais

Kaip mes žinome,

i 2 = - 1.

Tačiau

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Taigi, yra bent dvi kvadratinės šaknies reikšmės - 1, būtent i ir - i . Bet gal yra ir kitų kompleksinių skaičių, kurių kvadratai yra – 1?

Norėdami išsiaiškinti šį klausimą, tarkime, kad kompleksinio skaičiaus kvadratas a + bi lygus - 1. Tada

(a + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Du kompleksiniai skaičiai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų tikrosios dalys ir įsivaizduojamų dalių koeficientai yra lygūs. Štai kodėl

{	ir 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Pagal antrąją sistemos (1) lygtį, bent vienas iš skaičių a ir b turėtų būti lygus nuliui. Jeigu b = 0, tada gaunama pirmoji lygtis a 2 = - 1. Skaičius a tikras, todėl a 2 > 0. Neneigiamas skaičius a 2 negali būti lygus neigiamas skaičius- 1. Todėl lygybė b = 0 šiuo atveju neįmanoma. Belieka tai pripažinti a = 0, bet tada iš pirmosios sistemos lygties gauname: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Todėl vieninteliai kompleksiniai skaičiai, kurių kvadratai yra -1, yra skaičiai i ir - i , Tai sąlyginai parašyta taip:

√-1 = ± i .

Panašiais samprotavimais mokiniai gali patikrinti, ar yra tiksliai du skaičiai, kurių kvadratai lygūs neigiamam skaičiui - a . Šie skaičiai yra √ ai ir -√ ai . Tradiciškai parašyta taip:

√- a = ± √ ai .

Pagal √ a čia turima omenyje aritmetinė, tai yra teigiama, šaknis. Pavyzdžiui, √4 = 2, √9 =.3; Štai kodėl

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Jei anksčiau, nagrinėdami kvadratines lygtis su neigiamais diskriminantais, sakydavome, kad tokios lygtys neturi šaknų, tai dabar to teigti nebegalima. Kvadratinės lygtys su neigiamais diskriminatoriais turi sudėtingas šaknis. Šios šaknys gaunamos pagal mums žinomas formules. Leiskite, pavyzdžiui, atsižvelgiant į lygtį x 2 + 2X + 5 = 0; tada

X 1,2 = -1 ± √1 -5 = -1 ± √-4 = -1 ± 2 i .

Taigi ši lygtis turi dvi šaknis: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Šios šaknys yra tarpusavyje susijungusios. Įdomu pastebėti, kad jų suma lygi – 2, o sandauga – 5, taigi Vietos teorema įvykdyta.

Kompleksinio skaičiaus samprata

Kompleksinis skaičius yra a + ib formos išraiška, kur a ir b yra bet kokie realieji skaičiai, i yra specialus skaičius, vadinamas įsivaizduojamuoju vienetu. Tokioms išraiškoms lygybės sąvokos ir sudėties bei daugybos operacijos pateikiamos taip:

1. Sakoma, kad du kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id yra lygūs tada ir tik tada
   a = b ir c = d .
2. Dviejų kompleksinių skaičių a + ib ir c + id suma yra kompleksinis skaičius
   a + c + i (b + d).
3. Dviejų kompleksinių skaičių a + ib ir c + id sandauga yra kompleksinis skaičius
   ac - bd + i (ad + bc).

Sudėtiniai skaičiai dažnai žymimi viena raide, pavyzdžiui, z = a + ib. Realusis skaičius a vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus z dalimi, realioji dalis žymima a = Re z . Realusis skaičius b vadinamas įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus z dalimi, menamoji dalis žymima b = Im z . Tokie pavadinimai pasirenkami atsižvelgiant į šias specialias kompleksinių skaičių savybes.

Atkreipkite dėmesį, kad aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais, kurių forma yra z = a + i · 0, atliekamos lygiai taip pat, kaip ir su realiaisiais skaičiais. tikrai,

Todėl a + i · 0 formos kompleksiniai skaičiai natūraliai tapatinami su realiaisiais skaičiais. Dėl šios priežasties tokio tipo kompleksiniai skaičiai vadinami tiesiog tikraisiais. Taigi realiųjų skaičių aibė yra kompleksinių skaičių aibėje. Kompleksinių skaičių aibė žymima . Mes nustatėme, kad būtent

Skirtingai nuo realių skaičių, 0 + ib formos skaičiai vadinami grynai įsivaizduojamais. Dažnai tiesiog parašykite bi , pavyzdžiui, 0 + i 3 = 3 i . Grynai įsivaizduojamas skaičius i1 = 1 i = i turi stebėtiną savybę:
Šiuo būdu,

№ 4 .1. Matematikoje skaičiaus funkcija yra funkcija, kurios sritys ir reikšmės yra skaičių aibių poaibiai – paprastai realiųjų skaičių rinkinys arba kompleksinių skaičių rinkinys.

Funkcijų grafikas

Funkcijų grafiko fragmentas

Funkcijos nustatymo būdai

[Redaguoti] Analitinis metodas

Paprastai funkcija apibrėžiama naudojant formulę, kuri apima kintamuosius, operacijas ir elementarios funkcijos. Galbūt atskira užduotis, ty skirtinga skirtingoms argumento vertėms.

[Redaguoti] Lentelinis būdas

Funkciją galima apibrėžti išvardijant visus galimus jos argumentus ir jų reikšmes. Po to, jei reikia, funkcija gali būti išplėsta argumentams, kurių nėra lentelėje, interpoliuojant arba ekstrapoliuojant. Pavyzdžiai yra programos vadovas, traukinių tvarkaraštis arba Būlio funkcijos verčių lentelė:

[Redaguoti] Grafinis būdas

Oscilograma grafiškai nustato kokios nors funkcijos reikšmę.

Funkciją galima nurodyti grafiškai, atvaizduojant jos grafiko taškų rinkinį plokštumoje. Tai gali būti apytikslis eskizas, kaip turėtų atrodyti funkcija, arba rodmenys, paimti iš instrumento, pvz., osciloskopo. Ši specifikacija gali nukentėti dėl tikslumo trūkumo, tačiau kai kuriais atvejais negalima taikyti kitų specifikacijos metodų. Be to, toks nustatymo būdas yra vienas reprezentatyviausių, lengvai suvokiamų ir kokybiškiausių euristinės funkcijos analizės.

[Redaguoti] Rekursyvus būdas

Funkcija gali būti apibrėžta rekursyviai, tai yra per save. Šiuo atveju kai kurios funkcijos reikšmės nustatomos per kitas reikšmes.

• faktorinis;
• Fibonačio skaičiai;
• Ackermano funkcija.

[Redaguoti] žodinis būdas

Funkciją galima apibūdinti natūralios kalbos žodžiais kokiu nors nedviprasmišku būdu, pavyzdžiui, aprašant jos įvesties ir išvesties reikšmes arba algoritmą, pagal kurį funkcija priskiria šių reikšmių atitikmenis. Kartu su grafiškai, kartais tai yra vienintelis būdas apibūdinti funkciją, nors natūralios kalbos nėra tokios deterministinės kaip formalios.

• funkcija, kuri grąžina skaitmenį pi žymėjime pagal jo skaičių;
• funkcija, kuri grąžina atomų skaičių visatoje tam tikru momentu;
• funkcija, kuri priima asmenį kaip argumentą ir grąžina žmonių, kurie gims pasaulyje po jo gimimo, skaičių

AT šiuolaikinė visuomenė gebėjimas dirbti su lygtimis, turinčiomis kvadratinį kintamąjį, gali būti naudingas daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojamas praktikoje mokslo ir technikos raidoje. Tai liudija jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų konstrukcija. Tokių skaičiavimų pagalba nustatomos įvairių kūnų judėjimo trajektorijos, įskaitant kosminiai objektai. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominiam prognozavimui, pastatų projektavimui ir statybai, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti stovyklaujant, sporto renginiuose, parduotuvėse perkant ir kitose labai įprastose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią kintamojo laipsnio reikšmę, kurią sudaro pateikta išraiška. Jei ji lygi 2, tai tokia lygtis vadinama kvadratine lygtimi.

Jei kalbėtume formulių kalba, tai šie posakiai, kad ir kaip jie atrodytų, visada gali būti perkeliami į formą, kai kairiąją išraiškos pusę sudaro trys terminai. Tarp jų: ​​ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, tai yra įprastas skaičius). Visa tai dešinėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai toks daugianomas neturi vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų apsvarstyti tokių problemų sprendimo pavyzdžius, kuriuose kintamųjų reikšmę nesunku rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje išraiškos pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį skliausteliuose. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Be to, tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba užduotis redukuojama iki kintamojo suradimo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė sako, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo pradžia. Čia matematinis žymėjimas įgauna tokią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitę reikiamas reikšmes, prilygindami dešinę pusę su 0 ir suradę galimus nežinomus dalykus, galite sužinoti laiką, praėjusį nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas sudėtingesniais atvejais. Apsvarstykite tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X2 – 33x + 200 = 0

Šis kvadratinis trinomas baigtas. Pirma, mes transformuojame išraišką ir išskaidome ją į veiksnius. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Pavyzdžiai su kvadratinių lygčių sprendimu 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x + 1), (x-3) ir (x + 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; - vienas; 3.

Kvadratinės šaknies ištraukimas

Kitas atvejis nepilna lygtis antroji eilė yra išraiška, išreikšta raidžių kalba taip, kad dešinioji dalis yra pagamintas iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis narys perkeliamas į dešinę pusę, o po to iš abiejų lygybės pusių ištraukiama kvadratinė šaknis. Reikia pažymėti, kad šiuo atveju dažniausiai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys yra lygybės, kuriose visiškai nėra termino c, kur kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė pasirodo esanti neigiama. Pastaruoju atveju iš viso nėra sprendimų, nes pirmiau minėtų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokio pobūdžio skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes tais tolimais laikais matematikos raidą daugiausia lėmė būtinybė kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius, sudarytus remiantis tokio pobūdžio problemomis.

Taigi, tarkime, yra stačiakampis žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų didesnis už plotį. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinoma, kad jos plotas yra 612 m 2.

Pradėdami verslą, iš pradžių sudarysime reikiamą lygtį. Atkarpos plotį pažymėkime x, tada jos ilgis bus (x + 16). Iš to, kas buvo parašyta, išplaukia, kad plotas nustatomas pagal išraišką x (x + 16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygą yra 612. Tai reiškia, kad x (x + 16) \u003d 612.

Išsamių kvadratinių lygčių sprendimas, o ši išraiška yra būtent tokia, negali būti atliktas tokiu pačiu būdu. Kodėl? Nors kairėje jo pusėje vis dar yra du faktoriai, tačiau jų sandauga visai nėra 0, todėl čia naudojami kiti metodai.

Diskriminuojantis

Pirmiausia atliksime reikiamas transformacijas, tada šios išraiškos išvaizda atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad gavome anksčiau nurodytą standartą atitinkančios formos išraišką, kur a = 1, b = 16, c = -612.

Tai gali būti kvadratinių lygčių sprendimo naudojant diskriminantą pavyzdys. Čia būtini skaičiavimai gaminamas pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Ši pagalbinė vertė ne tik leidžia rasti norimas reikšmes antros eilės lygtyje, bet ir nustato skaičių galimybės. D>0 atveju jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo dydis negali būti matuojamas neigiamomis reikšmėmis, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18+16=34, o perimetras 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti pavyzdžiai ir išsamus kelių iš jų sprendimas.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairę lygybės pusę, atliksime transformaciją, tai yra gausime lygties formą, kuri paprastai vadinama standartine, ir prilyginkime nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pridėję panašius, nustatome diskriminantą: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Taigi mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuojame juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar mes atskleisime kitokio pobūdžio mįsles.

Išsiaiškinkime, ar čia iš viso yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, daugianarį perkeliame į atitinkamą pažįstamą formą ir apskaičiuojame diskriminantą. Šiame pavyzdyje nebūtina spręsti kvadratinės lygties, nes problemos esmė visai ne tame. Šiuo atveju D \u003d 16 - 20 \u003d -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės išimama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Jis pavadintas žmogaus, gyvenusio XVI a. Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento ir ryšių dvaro dėka, padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknų suma lygi -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Naudojant Vieta teoremą, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga yra -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai atitinka išraišką.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos ir kvadratinių lygčių sąvokos yra glaudžiai susijusios. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kuriuos matematinius galvosūkius šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Tokia priklausomybė, nubrėžta grafiko pavidalu, vadinama parabole. Įvairūs jo tipai parodyti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio išeina jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti bet kokias lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti pagal ką tik pateiktą formulę x 0 = -b / 2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, priklausančią y ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrų modelių. Apsvarstykime juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tuo atveju, jei y 0 įgyja neigiamas reikšmes. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Ir atvirkščiai. Tai yra, jei nėra lengva gauti vaizdinį kvadratinės funkcijos vaizdą, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, braižyti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais buvo ne tik matematiniai skaičiavimai, bet ir geometrinių formų plotas. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė grandioziniams fizikos ir astronomijos atradimams, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius iki mūsų eros atsiradimo. Žinoma, jų skaičiavimai iš esmės skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jie taip pat nebuvo susipažinę su kitomis subtilybėmis, kurias žinojo bet kuris mūsų laikų studentas.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama ėmėsi kvadratinių lygčių sprendimo. Tai atsitiko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus eros atėjimą. Tiesa, antros eilės lygtys, jų sprendimo būdai, kuriuos jis pateikė, buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose naudojo tokie puikūs mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.

Kvadratinės lygties uždaviniai nagrinėjami tiek mokyklos programoje, tiek universitetuose. Jie suprantami kaip a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 formos lygtys, kur x- kintamasis, a,b,c – konstantos; a<>0 . Problema yra rasti lygties šaknis.

Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė

Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo su x ašimi taškai. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo su x ašimi taškų. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje šakomis į viršų arba apatinėje šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (ji turi dvi sudėtingas šaknis).

2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su ašimi Ox. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis atvejis praktikoje įdomesnis – yra du parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškai. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.

1) Jei koeficientas a didesnis už nulį, tai parabolė nukreipta aukštyn, jei neigiama, parabolės šakos nukreiptos žemyn.

2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tada parabolės viršūnė yra kairėje pusplokštumoje, jei ji turi neigiamą reikšmę, tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas

Perkelkime konstantą iš kvadratinės lygties

lygybės ženklui gauname išraišką

Abi puses padauginkite iš 4a

Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b ^ 2 abiejose dalyse ir atlikite transformaciją

Iš čia randame

Kvadratinės lygties diskriminanto formulė ir šaknys

Diskriminantas yra radikalios išraiškos reikšmė.Jei ji teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuojamas pagal formulę Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančius šaknis), kuriuos lengva gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D = 0. Kai diskriminantas yra neigiamas, tikrų šaknų nėra. Tačiau norint ištirti kvadratinės lygties sprendinius kompleksinėje plokštumoje, o jų reikšmė apskaičiuojama pagal formulę

Vietos teorema

Panagrinėkime dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukonstruokime kvadratinę lygtį Pati Vieta teorema nesunkiai išplaukia iš žymėjimo: jei turime formos kvadratinę lygtį tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Aukščiau pateiktos formulės atrodys taip. Jei klasikinėje lygtyje konstanta a yra ne lygi nuliui, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vieta teoremą.

Kvadratinės lygties pagal veiksnius grafikas

Užduotis: išskaidyti kvadratinę lygtį į veiksnius. Norėdami tai atlikti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (surandame šaknis). Toliau rastąsias šaknis pakeisime kvadratinės lygties išplėtimo formule.Ši problema bus išspręsta.

Kvadratinės lygties užduotys

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x^2-26x+120=0 .

Sprendimas: Užrašykite koeficientus ir pakeiskite diskriminanto formulę

Šios reikšmės šaknis yra 14, ją lengva rasti skaičiuotuvu arba prisiminti dažnai naudojant, tačiau patogumo dėlei straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, kurie dažnai gali būti rasti tokiose užduotyse.
Rasta reikšmė pakeičiama šaknies formule

ir gauname

2 užduotis. išspręskite lygtį

2x2+x-3=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą


Naudodami gerai žinomas formules randame kvadratinės lygties šaknis

3 užduotis. išspręskite lygtį

9x2 -12x+4=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Nustatykite diskriminantą

Gavome atvejį, kai šaknys sutampa. Šaknų reikšmes randame pagal formulę

4 užduotis. išspręskite lygtį

x^2+x-6=0 .

Sprendimas: Tais atvejais, kai yra maži x koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis

Iš antrosios sąlygos gauname, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3;2), (3;-2) . Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra

5 užduotis. Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras 18 cm, o plotas 77 cm 2.

Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra lygi gretimų kraštinių sumai. Pažymime x – didesnę kraštinę, tada 18-x yra jos mažesnė pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x(18x)=77;
arba
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Raskite lygties diskriminantą

Apskaičiuojame lygties šaknis

Jeigu x=11, tada 18x=7, ir atvirkščiai (jei x=7, tai 21-x=9).

6 uždavinys. Padalinkite kvadratinę 10x 2 -11x+3=0 lygtį.

Sprendimas: Apskaičiuokite lygties šaknis, tam randame diskriminantą

Rastą reikšmę pakeičiame į šaknų formulę ir apskaičiuojame

Taikome kvadratinės lygties išplėtimo pagal šaknis formulę

Išplėsdami skliaustus, gauname tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms a , ar lygtis (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a=3, matome, kad ji neturi sprendimo. Be to, naudosime faktą, kad esant nuliniam diskriminantui, lygtis turi vieną daugybos 2 šaknį. Išrašykime diskriminantą

supaprastinkite ir prilyginkite nuliui

Gavome kvadratinę lygtį parametro a atžvilgiu, kurios sprendimą lengva gauti naudojant Vieta teoremą. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprastu surašymu nustatome, kad skaičiai 3.4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a=3, vienintelis teisingas bus - a=4. Taigi, jei a = 4, lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms a , lygtis a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykite vienaskaitos taškus, jie bus reikšmės a=0 ir a=-3. Kai a=0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9=0; x=3/2 ir bus viena šaknis. Jei a= -3 gauname tapatybę 0=0 .
Apskaičiuokite diskriminantą

ir suraskite a reikšmes, kurioms ji yra teigiama

Iš pirmosios sąlygos gauname a>3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis


Apibrėžkime intervalus, kuriuose funkcija įgauna teigiamas reikšmes. Pakeitę tašką a=0 gauname 3>0 . Taigi, už intervalo (-3; 1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite taško a=0 kurios turėtų būti neįtrauktos, nes pradinėje lygtyje yra viena šaknis.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius problemos sąlygą

Praktikoje bus daug panašių užduočių, stenkitės su užduotimis susidoroti patys ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išstudijuokite kvadratinių lygčių sprendimo formules, jų gana dažnai prireikia skaičiuojant įvairiuose uždaviniuose ir moksluose.