Daugiau paprastu būdu. Norėdami tai padaryti, išimkite z iš skliaustų. Gaunate: z(az + b) = 0. Veiksnius galima užrašyti: z=0 ir az + b = 0, nes abu gali baigtis nuliu. Žymėjime az + b = 0 antrąjį perkeliame į dešinę su kitu ženklu. Iš čia gauname z1 = 0 ir z2 = -b/a. Tai yra originalo šaknys.

Jeigu ten yra nepilna lygtis formos az² + c = 0, šiuo atveju jie randami tiesiog perkeliant laisvąjį terminą į dešinioji pusė lygtys. Taip pat pakeiskite jo ženklą. Gaunate įrašą az² \u003d -s. Išreikškite z² = -c/a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendinius – teigiamą ir neigiamą kvadratinės šaknies reikšmę.

pastaba

Jei lygtyje yra trupmeninių koeficientų, padauginkite visą lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad pašalintumėte trupmenas.

Mokėti spręsti kvadratines lygtis būtina ir moksleiviams, ir studentams, kartais tai gali padėti suaugusiajam kasdieniame gyvenime. Yra keletas specifinių sprendimo būdų.

Kvadratinių lygčių sprendimas

A*x^2+b*x+c=0 formos kvadratinė lygtis. Koeficientas x yra norimas kintamasis, a, b, c – skaitiniai koeficientai. Atminkite, kad „+“ ženklas gali pasikeisti į „-“.

Norėdami išspręsti šią lygtį, turite naudoti Vieta teoremą arba rasti diskriminantą. Labiausiai paplitęs būdas yra rasti diskriminantą, nes kai kurioms a, b, c reikšmėms negalima naudoti Vieta teoremos.

Norėdami rasti diskriminantą (D), turite parašyti formulę D=b^2 - 4*a*c. D reikšmė gali būti didesnė už, mažesnė už nulį arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis už nulį, tada bus dvi šaknys, jei D = 0, tada lieka tik viena šaknis, tiksliau galime pasakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Į formulę pakeiskite žinomus koeficientus a, b, c ir apskaičiuokite reikšmę.

Suradę diskriminantą, norėdami rasti x, naudokite formules: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a čia sqrt yra funkcija, paimanti nurodyto skaičiaus kvadratinę šaknį. Apskaičiavę šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurių lygtis laikoma išspręsta.

Jei D yra mažesnis už nulį, jis vis tiek turi šaknis. Mokykloje šis skyrius praktiškai nėra studijuojamas. Universiteto studentai turėtų žinoti, kad po šaknimi yra neigiamas skaičius. Atsikratome jo, atskirdami įsivaizduojamą dalį, tai yra -1 po šaknimi visada yra lygus įsivaizduojamam elementui "i", kuris padauginamas iš šaknies su tuo pačiu teigiamu skaičiumi. Pavyzdžiui, jei D=sqrt(-20), po transformacijos gaunamas D=sqrt(20)*i. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki to paties šaknų radinio, kaip aprašyta aukščiau.

Vietos teorema susideda iš x(1) ir x(2) reikšmių parinkimo. Naudojamos dvi identiškos lygtys: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Be to, labai svarbus dalykas yra ženklas prieš koeficientą b, atminkite, kad šis ženklas yra priešingas lygtyje esančiam ženklui. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad apskaičiuoti x(1) ir x(2) yra labai paprasta, tačiau sprendžiant susidursite su tuo, kad skaičius teks parinkti tiksliai.

Kvadratinių lygčių sprendimo elementai

Remiantis matematikos taisyklėmis, kai kurie gali būti koeficientai: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, jei pavyko konvertuoti naudojant matematines formules Panašiu būdušią kvadratinę lygtį, tada nedvejodami užsirašykite atsakymą. x(1) ir x(2) bus lygūs gretimiems skliaustuose esantiems koeficientams, bet su priešingu ženklu.

Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Galbūt jums trūksta kai kurių terminų, jei taip, tada visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš x^2 arba x nėra nieko, tada koeficientai a ir b yra lygūs 1.

Visiškos kvadratinės lygties transformacija į nepilną atrodo taip (atvejui \(b=0\)):

Tais atvejais, kai \(c=0\) arba kai abu koeficientai lygūs nuliui, viskas yra panašiai.

Atkreipkite dėmesį, kad \(a\) nėra lygus nuliui, jis negali būti lygus nuliui, nes šiuo atveju jis virsta:

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Visų pirma, jūs turite suprasti, kad nepilna kvadratinė lygtis vis dar yra, todėl ją galima išspręsti taip pat, kaip ir įprastą kvadratinę (per). Norėdami tai padaryti, tiesiog pridėkite trūkstamą lygties komponentą su nuliniu koeficientu.

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis \(3x^2-27=0\)
Sprendimas :

		Turime nepilną kvadratinę lygtį su koeficientu \(b=0\). Tai yra, lygtį galime parašyti tokia forma:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Tiesą sakant, čia yra ta pati lygtis kaip ir pradžioje, bet dabar ją galima išspręsti kaip įprastą kvadratą. Pirmiausia užrašome koeficientus.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Apskaičiuokite diskriminantą naudodami formulę \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Raskite lygties šaknis naudodami formules \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Užsirašykite atsakymą

Atsakymas : \(x_(1)=3\); \(x_(2) = -3\)

Pavyzdys : Raskite lygties \(-x^2+x=0\) šaknis
Sprendimas :

		Vėlgi, nepilna kvadratinė lygtis, bet dabar koeficientas \(c\) yra lygus nuliui. Rašome lygtį kaip užbaigtą.

Bibliografinis aprašymas: Gasanovas A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai // Jaunasis mokslininkas. 2016. №6.1. S. 2019-02-17-20).



Mūsų projektas skirtas kvadratinių lygčių sprendimo būdams. Projekto tikslas: išmokti spręsti kvadratines lygtis tokiais būdais, kurie neįtraukti į mokyklos programą. Užduotis: suraskite visus įmanomus kvadratinių lygčių sprendimo būdus ir išmokite jomis naudotis patys bei supažindinkite klasės draugus su šiais metodais.

Kas yra „kvadratinės lygtys“?

Kvadratinė lygtis - formos lygtis kirvis2 + bx + c = 0, kur a, b, c- kai kurie skaičiai ( a ≠ 0), x- nežinomas.

Skaičiai a, b, c vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

• a vadinamas pirmuoju koeficientu;
• b vadinamas antruoju koeficientu;
• c - laisvas narys.

O kas pirmasis „išrado“ kvadratines lygtis?

Kai kurie algebriniai tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo būdai buvo žinomi jau prieš 4000 metų Senovės Babilone. Rastos senovės Babilono molio lentelės, datuojamos kažkur tarp 1800 ir 1600 m. pr. Kr., yra ankstyviausias kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tose pačiose tabletėse yra tam tikrų tipų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų suradimu, astronomijos raida ir pati matematika.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, nurodyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukštas lygis algebros raida Babilone, dantiraščio tekstuose nėra neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrųjų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Babilono matematikai maždaug IV amžiuje prieš Kristų. naudojo kvadratinio komplemento metodą, kad išspręstų lygtis su teigiamomis šaknimis. Maždaug 300 m.pr.Kr. Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinio sprendimo būdą. Pirmasis matematikas, radęs lygties su neigiamomis šaknimis sprendimus algebrinės formulės pavidalu, buvo Indijos mokslininkas. Brahmagupta(Indija, VII a. po Kr.).

Brahmagupta išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

ax2 + bx = c, a>0

Šioje lygtyje koeficientai gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip mokslininkas žmogus užtemimo šlovė populiariuose rinkiniuose, siūlant ir sprendžiant algebrines problemas. Užduotys dažnai būdavo aprengiamos poetine forma.

Algebriniame traktate Al-Khwarizmi pateikta tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius išvardija 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiui“, ty ax2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax2 = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiami skaičiai, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra terminai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khwarizmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulį. sprendimas tikriausiai todėl, kad konkrečiose praktinėse užduotyse tai nesvarbu. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, Al-Khwarizmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo aprašytos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonačis. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos užduočių buvo perkeltos į beveik visus XIV–XVII a. Europos vadovėlius. Bendroji kvadratinių lygčių, redukuotų į vieną kanoninę formą x2 + bx = c su visomis įmanomomis ženklų ir koeficientų kombinacijomis b, c, sprendimo taisyklė buvo suformuluota Europoje 1544 m. M. Stiefel.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas į bendras vaizdas Vietas turi, bet Vietas pripažino tik teigiamas šaknis. italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli tarp pirmųjų XVI a. atsižvelgti, be teigiamų, ir neigiamos šaknys. Tik XVII a. darbo dėka Girardas, Dekartas, Niutonas ir kitų mokslininkų, kvadratinių lygčių sprendimo būdas įgauna šiuolaikinę formą.

Apsvarstykite kelis kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

Standartiniai kvadratinių lygčių sprendimo būdai iš mokyklos mokymo programa:

1. Kairiosios lygties pusės faktorizavimas.
2. Viso kvadrato pasirinkimo metodas.
3. Kvadratinių lygčių sprendimas pagal formulę.
4. Grafinis sprendimas kvadratinė lygtis.
5. Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Išsamiau apsistokime ties redukuotų ir neredukuotų kvadratinių lygčių sprendimu, naudojant Vietos teoremą.

Prisiminkite, kad aukščiau nurodytoms kvadratinėms lygtims išspręsti pakanka rasti du tokius skaičius, kurių sandauga būtų lygi laisvajam nariui, o suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu.

Pavyzdys.x 2 -5x+6=0

Turite rasti skaičius, kurių sandauga yra 6, o suma yra 5. Šie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: x 1 =2, x 2 =3.

Bet jūs galite naudoti šį metodą lygtims, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus vienetui.

Pavyzdys.3x 2 +2x-5=0

Imame pirmąjį koeficientą ir padauginame iš laisvojo nario: x 2 +2x-15=0

Šios lygties šaknys bus skaičiai, kurių sandauga yra – 15, o suma – 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3. Norėdami rasti pradinės lygties šaknis, gautas šaknis padaliname iš pirmojo koeficiento.

Atsakymas: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lygčių sprendimas „perkėlimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Abi jo dalis padauginus iš a, gauname lygtį a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y 2 + by + ac = 0, kuri yra lygiavertė duotajai. Jo šaknis randame 1 ir 2, naudodami Vieta teoremą.

Galiausiai gauname x 1 = y 1 /a ir x 2 = y 2 /a.

Taikant šį metodą, koeficientas a dauginamas iš laisvojo termino, tarsi „perkeliamas“ į jį, todėl jis vadinamas „perkėlimo“ metodu. Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Perkelkime“ koeficientą 2 į laisvąjį terminą ir atlikę pakeitimą gausime lygtį y 2 - 11y + 30 = 0.

Pagal atvirkštinę Vietos teoremą

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atsakymas: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jei a + b + c \u003d 0 (t. y. lygties koeficientų suma lygi nuliui), tada x 1 \u003d 1.

2. Jei a - b + c \u003d 0 arba b \u003d a + c, tada x 1 \u003d - 1.

Pavyzdys.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Kadangi a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tada x 1 = 1, x 2 \u003d -208/345.

Atsakymas: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x 2 + 247x + 115 = 0

Nes a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), tada x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Yra ir kitų kvadratinės lygties koeficientų savybių. bet jų naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

1 pav. Nomograma

Tai senas ir šiuo metu užmirštas kvadratinių lygčių sprendimo būdas, patalpintas 83 rinkinio p.: Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.

XXII lentelė. Lygčių sprendimo nomograma z2 + pz + q = 0. Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, pagal jos koeficientus nustatyti lygties šaknis.

Kreivinė nomogramos skalė sudaryta pagal formules (1 pav.):

Darant prielaidą OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), iš 1 pav. trikampių panašumas SAN ir CDF gauname proporciją

iš kur po pakeitimų ir supaprastinimų seka lygtis z 2 + pz + q = 0, ir laiškas z reiškia bet kurio lenktos skalės taško etiketę.

Ryžiai. 2 Kvadratinės lygties sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygties z 2 – 9z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8,0 ir z 2 = 1,0

Atsakymas: 8,0; 1.0.

2) Išspręskite lygtį naudodami nomogramą

2z 2 – 9z + 2 = 0.

Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramoje pateikiamos šaknys z 1 = 4 ir z 2 = 0,5.

Atsakymas: 4; 0.5.

9. Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas.

Pavyzdys.X 2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose statomi stačiakampiai taip, kad kiekvieno iš jų kita kraštinė būtų 2,5, todėl kiekvienos vietos plotas yra 2,5x. Tada gauta figūra papildoma į naują kvadratą ABCD, kampuose užpildant keturis vienodus kvadratus, kurių kiekvieno kraštinė yra 2,5, o plotas - 6,25

Ryžiai. 3 Grafinis būdas lygties x 2 + 10x = 39 sprendinys

Kvadrato ABCD plotas S gali būti pavaizduotas kaip plotų suma: pradinis kvadratas x 2, keturi stačiakampiai (4∙2,5x = 10x) ir keturi pritvirtinti kvadratai (6,25∙4 = 25), t.y. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Pakeitus x 2 + 10x skaičiumi 39, gauname S \u003d 39 + 25 \u003d 64, o tai reiškia, kad kvadrato ABCD kraštinė, t.y. segmentas AB \u003d 8. Norimą pradinio kvadrato kraštinę x gauname

10. Lygčių sprendimas naudojant Bezout teoremą.

Bezouto teorema. Likusioji dalis padalijus daugianarį P(x) iš dvejetainio x - α yra lygi P(α) (tai yra P(x) reikšmė, kai x = α).

Jei skaičius α yra daugianario P(x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Padalinkite P(x) iš (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1 = 0; x=1 arba x-3=0, x=3; Atsakymas: x1 =2, x2 =3.

Išvada: Gebėjimas greitai ir racionaliai išspręsti kvadratines lygtis yra tiesiog būtinas norint išspręsti sudėtingesnes lygtis, pavyzdžiui, trupmenines racionalias lygtis, lygtis aukštesni laipsniai, bikvadratinės lygtys ir vidurinės mokyklos trigonometrinės, eksponentinės ir logaritminės lygtys. Išstudijavę visus rastus kvadratinių lygčių sprendimo būdus, galime patarti klasės draugams, be standartinių metodų, spręsti perkėlimo metodu (6) ir lygtis spręsti pagal koeficientų savybę (7), nes jie lengviau suprantami. .

Literatūra:

1. Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.
2. Algebra 8 klasė: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo įstaigos Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. red. S. A. Telyakovsky 15-asis leidimas, pataisytas. - M.: Švietimas, 2015 m
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. Vadovas mokytojams. / Red. V.N. Jaunesnis. - M.: Švietimas, 1964 m.

Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Faktorizavimas kvadratinis trinaris. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktorizavimo pavyzdžiai.

Pagrindinės formulės

Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės lygties šaknys(1) nustatomi pagal formules:
; .
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio polinomas gali būti pavaizduotas kaip faktorių sandauga (faktorizuota):
.

Be to, manome, kad tai yra tikrieji skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinės lygties diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
; .
Tada kvadratinio trinalio faktorizacija turi tokią formą:
.
Jei diskriminantas nulis, , tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ;
ir yra tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis interpretavimas

Jei pastatyti funkcijų grafikas
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Kai , grafikas kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose.
Kai , grafikas paliečia x ašį viename taške.
Kai , grafikas nekerta x ašies.

Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.

Naudingos formulės, susijusios su kvadratine lygtimi

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir pritaikome (f.1) ir (f.3) formules:




,
kur
; .

Taigi, antrojo laipsnio daugianario formulę gavome tokia forma:
.
Iš to matyti, kad lygtis

atliktas
ir .
Tai yra ir yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

Sprendimas

.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.

Iš čia gauname kvadratinio trinalio skaidymą į veiksnius:

.

Funkcijos y = grafikas 2 x 2 + 7 x + 3 kerta x ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta x ašį (ašį) dviejuose taškuose:
ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.

Atsakymas

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį užrašome bendra forma:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugybines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinario faktorizacija turi tokią formą:
.

Funkcijos y = x grafikas 2–4 x + 4 paliečia x ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia x ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis koeficientas du kartus:
,
tada tokia šaknis vadinama kartotiniu. Tai yra, jie mano, kad yra dvi vienodos šaknys:
.

Atsakymas

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį užrašome bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas, . Todėl tikrų šaknų nėra.

Galite rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.

Tada


.

Funkcijos grafikas nekerta x ašies. Tikrų šaknų nėra.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės (ašies). Todėl tikrų šaknų nėra.

Atsakymas

Tikrų šaknų nėra. Sudėtingos šaknys:
;
;
.

Kvadratinės lygtys tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a , b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, pažymime, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. Jie turi tiksliai vieną šaknį;
3. Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių ir tiesinių lygčių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac .

Šią formulę reikia žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

1. Jeigu D< 0, корней нет;
2. Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
3. Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis galvoja. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Rašome pirmosios lygties koeficientus ir randame diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Taigi, diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame taip pat:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas lygus nuliui – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygčiai buvo parašyti koeficientai. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus – bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei „užpildysi ranką“, po kurio laiko nebereikės išrašyti visų koeficientų. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50-70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda, kai į formulę pakeičiami neigiami koeficientai. Čia vėlgi padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, nudažykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratykite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 – 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, įmanomas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai yra lygūs nuliui: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis yra ax 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknis: x \u003d 0.

Panagrinėkime kitus atvejus. Tegu b \u003d 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + c \u003d 0. Šiek tiek transformuokime ją:

Nes aritmetika Kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik (-c /a ) ≥ 0. Išvada:

1. Jei nepilna kvadratinė lygtis formos ax 2 + c = 0 tenkina nelygybę (−c / a ) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
2. Jei (-c / a )< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė - neišsamiose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c / a ) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 reikšmę ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar panagrinėkime ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka daugianarį koeficientuoti:

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, mes išanalizuosime kelias iš šių lygčių:

Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.