Erekcija į neigiamas laipsnis– vienas iš pagrindinių matematikos elementų, dažnai sutinkamas sprendžiant algebrinius uždavinius. Žemiau yra išsami instrukcija.
Kaip pakelti į neigiamą galią – teorija
Kai skaičių paimame į įprastą laipsnį, jo reikšmę padauginame kelis kartus. Pavyzdžiui, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Su neigiama trupmena yra atvirkščiai. Bendroji forma pagal formulę bus tokia: a -n = 1/a n . Taigi, norėdami padidinti skaičių iki neigiamo laipsnio, turite padalinti vienetą iš nurodyto skaičiaus, bet jau iki teigiamo laipsnio.
Kaip pakelti iki neigiamo laipsnio – įprastų skaičių pavyzdžiai
Turėdami omenyje aukščiau pateiktą taisyklę, išspręskime keletą pavyzdžių.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atsakymas: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atsakymas yra -4 -2 = 1/16.
Bet kodėl atsakymas pirmame ir antrame pavyzdžiuose yra tas pats? Faktas yra tas, kad kai neigiamas skaičius padidinamas iki lyginės laipsnio (2, 4, 6 ir tt), ženklas tampa teigiamas. Jei laipsnis būtų lygus, minusas išsaugomas:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Kaip padidinti iki neigiamo laipsnio - skaičiai nuo 0 iki 1
Prisiminkite, kad kai skaičius tarp 0 ir 1 padidinamas iki teigiamo laipsnio, reikšmė mažėja, kai galia didėja. Pavyzdžiui, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
3 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -2
Sprendimas: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atsakymas: 0,5 -2 = 4
Nagrinėjimas (veiksmų seka):
- Konvertuoti dešimtainį 0,5 į trupmeną 1/2. Taip lengviau.
Pakelkite 1/2 iki neigiamos galios. 1/(2) -2 . Padalinkite 1 iš 1/(2) 2, gausime 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
4 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -3
Sprendimas: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
5 pavyzdys: Apskaičiuokite -0,5 -3
Sprendimas: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atsakymas: -0,5 -3 = -8
Remdamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, padarysime keletą išvadų:
- Teigiamam skaičiui diapazone nuo 0 iki 1 (4 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, lyginis ar nelyginis laipsnis nėra svarbus, išraiškos reikšmė bus teigiama. Šiuo atveju kuo didesnis laipsnis, tuo didesnė vertė.
- Jei neigiamas skaičius nuo 0 iki 1 (5 pavyzdys), padidintas iki neigiamo laipsnio, lyginis ar nelyginis laipsnis nesvarbus, išraiškos reikšmė bus neigiama. Šiuo atveju kuo aukštesnis laipsnis, tuo mažesnė vertė.
Kaip pakelti į neigiamą laipsnį – laipsnį kaip trupmeninį skaičių
Šio tipo išraiškos yra tokios formos: a -m/n, kur a yra įprastas skaičius, m yra laipsnio skaitiklis, n yra laipsnio vardiklis.
Apsvarstykite pavyzdį:
Apskaičiuokite: 8 -1/3
Sprendimas (veiksmų seka):
- Prisiminkite taisyklę, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Gauname: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra nuo 8 iki trupmeninės laipsnio. Bendra trupmeninio laipsnio skaičiavimo forma yra tokia: a m/n = n √8 m .
- Taigi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Gauname aštuonių kubinę šaknį, kuri yra 2. Remiantis tuo, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Atsakymas: 8 -1/3 = 2
Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir nuo jo atsilieka tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, per kurį Achilas nubėga šį atstumą, vėžlys nušliaužia šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėgs šimtą žingsnių, vėžlys nuropos dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis neribotą laiką, Achilas niekada nepasivys vėžlio.
Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Gilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip laikė Zenono aporijomis. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tebesitęsia ir šiuo metu, mokslo bendruomenei dar nepavyko susidaryti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... nagrinėjant klausimą buvo įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai. ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia," Zenono Aporijos "]. Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, kas yra apgaulė.
Matematikos požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo vertės prie. Šis perėjimas reiškia, kad reikia taikyti vietoj konstantų. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiesiems matavimo vienetams taikyti arba dar nesukurtas, arba nepritaikytas Zenono aporijai. Įprastos logikos taikymas įveda mus į spąstus. Mes pagal mąstymo inerciją abipusiam koeficientui taikome pastovius laiko vienetus. Žvelgiant iš fizinės pusės, atrodo, kad laikas sulėtėja ir visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustoja, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.
Jei pasukame įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekvienas paskesnis jo kelio segmentas yra dešimt kartų trumpesnis nei ankstesnis. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, tai būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai aplenks vėžlį“.
Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių verčių. Zenono kalba tai atrodo taip:
Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nušliaužia šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Dėl kito laiko intervalo lygus pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys – šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.
Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Bet taip nėra pilnas sprendimas Problemos. Einšteino teiginys apie šviesos greičio neįveikiamumą labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime išstudijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.
Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skrendančią strėlę:
Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.
Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – užtenka patikslinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia pažymėti dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti automobilio judėjimo faktą, reikalingos dvi nuotraukos, darytos iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau jomis negalima nustatyti atstumo. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės) . Visų pirma noriu pabrėžti, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra du skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrinėjimo galimybes.
2018 m. liepos 4 d., trečiadienis
Labai gerai skirtumai tarp rinkinio ir kelių rinkinių yra aprašyti Vikipedijoje. Mes žiūrime.
Kaip matote, „rinkinys negali turėti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiški elementai, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdo logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kuriame žodžio „visiškai“ nėra proto. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.
Kadaise tiltą statę inžinieriai tilto bandymų metu buvo po tiltu valtyje. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.
Nesvarbu, kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš namuose“, o tiksliau „matematikos studijos“ abstrakčios sąvokos", yra viena virkštelė, kuri yra neatsiejamai susijusi su realybe. Ši virkštelė yra pinigai. Taikoma matematinė teorija rinkinius patiems matematikams.
Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, mokame atlyginimus. Štai pas mus ateina matematikas už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada iš kiekvienos krūvos paimame po vieną sąskaitą ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Matematiką paaiškiname, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.
Visų pirma pasiteisins deputatų logika: „tu gali tai taikyti kitiems, bet ne man!“ Be to, prasidės garantijos, kad ant to paties nominalo banknotų yra skirtingi banknotų numeriai, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi identiškais elementais. Na, o atlyginimą skaičiuojame monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės konvulsyviai prisiminti fiziką: ant skirtingų monetų yra skirtingą sumą nešvarumai, kristalų struktūra ir kiekvienos monetos atomų išdėstymas yra unikalūs...
Ir dabar man kyla įdomiausias klausimas: kur yra ta riba, už kurią multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo neprilygsta.
Paziurek cia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotas yra toks pat, vadinasi, turime multiset. Bet jei svarstysime tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys tuo pačiu metu yra ir rinkinys, ir daugialypės terpės rinkinys. Kaip teisingai? O štai matematikas-šamanas-šuleris iš rankovės išsitraukia kozirį tūzą ir pradeda mums pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.
Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai veikia su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „įsivaizduojamų kaip ne viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.
2018 m. kovo 18 d., sekmadienis
Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet jie tam yra šamanai, kad mokytų savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.
Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti elementariai.
Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad rastume skaitmenų sumą duotas numeris. Taigi, tarkime, kad turime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.
1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į skaičiaus grafinį simbolį. Tai nėra matematinė operacija.
2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas su atskirais skaičiais. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.
3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.
4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai matematika.
Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai matematikų naudojami šamanų „kirpimo ir siuvimo kursai“. Bet tai dar ne viskas.
Matematikos požiūriu visai nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje skaičių rašome. Taigi, į skirtingos sistemos skaičiuojant, to paties skaičiaus skaitmenų suma skirsis. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. Turėdamas didelį skaičių 12345, nenoriu suklaidinti galvos, apsvarstykite skaičių 26 iš straipsnio apie. Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nenagrinėsime kiekvieno žingsnio po mikroskopu, mes tai jau padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.
Kaip matote, skirtingose skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tarsi stačiakampio ploto radimas metrais ir centimetrais gautų visiškai skirtingus rezultatus.
Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas, patvirtinantis tai, kad . Klausimas matematikams: kaip matematikoje žymima tai, kas nėra skaičius? Ką matematikai neegzistuoja tik skaičiais? Šamanams tai galiu leisti, bet mokslininkams – ne. Realybė yra ne tik skaičiai.
Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais, juos palyginus, duoda skirtingus rezultatus, tai su matematika neturi nieko bendra.
Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinio veiksmo rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus reikšmės, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas šį veiksmą atlieka.
Oi! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta tyrinėti neapibrėžtą sielų šventumą pakilus į dangų! Nimbas viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?
Moteris... Aureolė viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriška.
Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,
Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:
Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiančio žmogaus (viena nuotrauka) (sudėtis iš kelių paveikslėlių: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnių žymėjimas). Ir nemanau, kad ta mergina kvaila, ne kas išmano fiziką. Ji tiesiog turi lankinį grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.
1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktainėje skaičių sistemoje. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, automatiškai suvokia skaičių ir raidę kaip vieną grafinį simbolį.
Tęsiant pokalbį apie skaičiaus laipsnį, logiška spręsti laipsnio vertės nustatymą. Šis procesas buvo pavadintas eksponencija. Šiame straipsnyje mes tiesiog išnagrinėsime, kaip atliekamas eksponentas, o paliesime visus galimus eksponentus - natūralius, sveikuosius, racionalius ir neracionalius. Ir pagal tradiciją mes išsamiai apsvarstysime skaičių didinimo įvairiais laipsniais pavyzdžių sprendimus.
Puslapio naršymas.
Ką reiškia "eksponentacija"?
Pradėkime nuo paaiškinimo, kas vadinama eksponencija. Čia yra atitinkamas apibrėžimas.
Apibrėžimas.
Eksponentiškumas yra rasti skaičiaus laipsnio reikšmę.
Taigi, rasti laipsnio a reikšmę su laipsniu r ir padidinti skaičių a iki r laipsnio yra tas pats. Pavyzdžiui, jei užduotis yra „apskaičiuoti laipsnio reikšmę (0,5) 5“, tada ją galima performuluoti taip: „Pakelkite skaičių 0,5 iki laipsnio 5“.
Dabar galite pereiti tiesiai prie taisyklių, pagal kurias atliekamas eksponentas.
Skaičiaus didinimas iki natūralios galios
Praktikoje lygybė pagrįsta dažniausiai taikoma formoje . Tai yra, kai keliant skaičių a iki trupmeninis laipsnis m/n pirmiausia išgaunama n-oji skaičiaus a šaknis, po kurios rezultatas pakeliamas iki sveikojo skaičiaus laipsnio m.
Apsvarstykite didinimo iki trupmeninės galios pavyzdžių sprendimus.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite laipsnio reikšmę.
Sprendimas.
Mes parodome du sprendimus.
Pirmas būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Apskaičiuojame laipsnio reikšmę po šaknies ženklu, po to ištraukiame kubo šaknį: 
.
Antras būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu ir remiantis šaknų savybėmis, lygybės yra teisingos 
. Dabar ištraukite šaknį 
Galiausiai padidiname iki sveikojo skaičiaus laipsnio 
.
Akivaizdu, kad gauti pakėlimo iki trupmeninės galios rezultatai sutampa.
Atsakymas:
Atkreipkite dėmesį, kad trupmeninis rodiklis gali būti parašytas kaip dešimtainis arba mišrus skaičius, šiais atvejais ji turėtų būti pakeista atitinkama paprastąja trupmena, po kurios turėtų būti atliktas eksponentas.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite (44,89) 2,5 .
Sprendimas.
Rodiklį įrašome formoje bendroji trupmena(jei reikia, žiūrėkite straipsnį): 
. Dabar atliekame kėlimą iki trupmeninės galios: 
Atsakymas:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Taip pat reikėtų pasakyti, kad skaičių didinimas iki racionalių laipsnių yra gana daug pastangų reikalaujantis procesas (ypač kai trupmeninio rodiklio skaitiklyje ir vardiklyje yra pakankamai dideli skaičiai), kuri dažniausiai atliekama naudojant kompiuterines technologijas.
Baigdami šią pastraipą, mes apsistosime ties skaičiaus nuliu konstravimu iki trupmeninės laipsnio. Formos trupmeniniam nulio laipsniui suteikėme tokią reikšmę: nes turime 
, o nulis iki galios m/n neapibrėžtas. Taigi nuo nulio iki teigiamos trupmeninės galios nulis, pavyzdžiui, 
. Ir nulis trupmeninėje neigiamoje galioje neturi prasmės, pavyzdžiui, išraiškos ir 0 -4,3 neturi prasmės.
Pakėlimas į neracionalią galią
Kartais prireikia išsiaiškinti skaičiaus laipsnio reikšmę su neracionaliuoju rodikliu. Šiuo atveju praktiniais tikslais dažniausiai pakanka gauti laipsnio reikšmę iki tam tikro ženklo. Iš karto pastebime, kad praktiškai ši vertė apskaičiuojama naudojant elektroninės skaičiavimo technologiją, nes norint rankiniu būdu padidinti iki neracionalios galios, reikia atlikti daug sudėtingų skaičiavimų. Bet vis dėlto veiksmų esmę apibūdinsime bendrai.
Norint gauti apytikslę a rodiklio reikšmę su neracionaliuoju rodikliu, imamas tam tikras rodiklio dešimtainis aproksimacija ir apskaičiuojama eksponento reikšmė. Ši reikšmė yra apytikslė skaičiaus a laipsnio reikšmė su neracionaliuoju rodikliu. Kuo tikslesnis dešimtainis skaičiaus aproksimavimas iš pradžių, tuo tikslesnė bus laipsnio reikšmė.
Kaip pavyzdį apskaičiuokime apytikslę 2 laipsnio reikšmę 1,174367... . Paimkime tokią iracionalaus rodiklio dešimtainę aproksimaciją: . Dabar pakeliame 2 iki racionalios galios 1,17 (šio proceso esmę aprašėme ankstesnėje pastraipoje), gauname 2 1,17 ≈ 2,250116. Šiuo būdu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jei imsime tikslesnį neracionalaus laipsnio dešimtainį aproksimaciją, pavyzdžiui, , gausime tikslesnę pradinio laipsnio reikšmę: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikos Zh vadovėlis 5 ląstelėms. švietimo įstaigų.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 7 langeliams. švietimo įstaigų.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 langeliams. švietimo įstaigų.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 9 langeliams. švietimo įstaigų.
- Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
- Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).
Viena iš pagrindinių algebros ir visos matematikos savybių yra laipsnis. Žinoma, XXI amžiuje visus skaičiavimus galima atlikti naudojant internetinį skaičiuotuvą, tačiau geriau išmokti tai padaryti patiems smegenų vystymuisi.
Šiame straipsnyje apžvelgsime svarbiausius su šiuo apibrėžimu susijusius klausimus. Būtent, mes suprasime, kas tai apskritai yra ir kokios yra pagrindinės jo funkcijos, kokios savybės egzistuoja matematikoje.
Pažiūrėkime į pavyzdžius, kaip atrodo skaičiavimas, kokios yra pagrindinės formulės. Išanalizuosime pagrindinius dydžių tipus ir kuo jie skiriasi nuo kitų funkcijų.
Supraskime, kaip išspręsti šį kiekį įvairios užduotys. Pavyzdžiais parodysime, kaip pakelti iki nulio laipsnio, neracionalu, neigiama ir pan.
Internetinė eksponencijos skaičiuoklė
Koks yra skaičiaus laipsnis
Ką reiškia posakis „pakelti skaičių iki laipsnio“?
Skaičiaus a laipsnis n yra a dydžio veiksnių sandauga n kartų iš eilės.
Matematiškai tai atrodo taip:
a n = a * a * a * …a n .
Pavyzdžiui:
- 2 3 = 2 trečiame žingsnyje. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 žingsniu. du = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 žingsniu. keturi = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 5 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 \u003d 10 4 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Žemiau yra kvadratų ir kubelių nuo 1 iki 10 lentelė.
Laipsnių lentelė nuo 1 iki 10
Žemiau pateikiami natūraliųjų skaičių pakėlimo į teigiamus laipsnius – „nuo 1 iki 100“ – rezultatai.
| Ch-lo | 2 klasė | 3 klasė |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Laipsnio savybės
Kas būdinga tokiai matematinei funkcijai? Pažvelkime į pagrindines savybes.
Mokslininkai nustatė šiuos dalykus Visiems laipsniams būdingi ženklai:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Patikrinkime su pavyzdžiais:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kita vertus, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Panašiai: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kitu atveju 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. O jei skiriasi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Kaip matote, taisyklės veikia.
Bet kaip būti su pridėjimu ir atėmimu? Viskas paprasta. Pirmiausia atliekama eksponencija, o tik tada sudėjimas ir atėmimas.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Tačiau šiuo atveju pirmiausia turite apskaičiuoti priedą, nes skliausteliuose yra veiksmų: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Kaip gaminti skaičiavimai sudėtingesniais atvejais? Tvarka ta pati:
- jei yra skliaustų, reikia pradėti nuo jų;
- tada eksponencija;
- tada atlikti daugybos, dalybos operacijas;
- po sudėjimo, atimties.
Yra specifinių savybių, kurios būdingos ne visiems laipsniams:
- N-ojo laipsnio šaknis nuo skaičiaus a iki laipsnio m bus parašyta taip: a m / n .
- Keliant trupmeną į laipsnį: ši procedūra taikoma ir skaitikliui, ir jo vardikliui.
- Keliant skirtingų skaičių sandaugą į laipsnį, išraiška atitiks šių skaičių sandaugą su duotuoju laipsniu. Tai yra: (a * b) n = a n * b n .
- Didinant skaičių iki neigiamo laipsnio, 1 reikia padalyti iš skaičiaus tuo pačiu žingsniu, bet su „+“ ženklu.
- Jei trupmenos vardiklis yra neigiamo laipsnio, tai ši išraiška bus lygi skaitiklio ir vardiklio sandaugai teigiamoje laipsnėje.
- Bet koks skaičius, kurio laipsnis 0 = 1, ir žingsnis. 1 = sau.
Šios taisyklės yra svarbios atskirais atvejais, toliau jas panagrinėsime plačiau.
Laipsnis su neigiamu rodikliu
Ką daryti su neigiamu laipsniu, tai yra, kai rodiklis yra neigiamas?
Remiantis 4 ir 5 savybėmis(žr. aukščiau esantį punktą) paaiškėja:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Ir atvirkščiai:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
O jei tai trupmena?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Laipsnis su natūraliu rodikliu
Jis suprantamas kaip laipsnis, kurio rodikliai lygūs sveikiesiems skaičiams.
Ką reikia atsiminti:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ir t.t.
A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… ir tt
Be to, jei (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… tada rezultatas bus su „+“ ženklu. Jei neigiamas skaičius padidinamas iki nelyginio laipsnio, tada atvirkščiai.
Jiems būdingos ir bendrosios savybės bei visos aukščiau aprašytos specifinės savybės.
Trupmeninis laipsnis
Šį vaizdą galima parašyti kaip schemą: A m / n. Jis skaitomas taip: skaičiaus A n-ojo laipsnio šaknis iki laipsnio m.
Su trupmeniniu indikatoriumi galite padaryti bet ką: sumažinti, suskaidyti į dalis, pakelti iki kito laipsnio ir pan.
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
Tegu α yra neracionalusis skaičius, o А ˃ 0.
Norėdami suprasti laipsnio esmę naudojant tokį rodiklį, Pažvelkime į įvairius galimus atvejus:
- A \u003d 1. Rezultatas bus lygus 1. Kadangi yra aksioma - 1 yra lygus vienetui visomis laipsniais;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 yra racionalieji skaičiai;
- 0˂А˂1.
Šiuo atveju atvirkščiai: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 tomis pačiomis sąlygomis kaip ir antroje pastraipoje.
Pavyzdžiui, eksponentas yra skaičius π. Tai racionalu.
r 1 - šiuo atveju jis lygus 3;
r 2 - bus lygus 4.
Tada, jei A = 1, 1 π = 1.
A = 2, tada 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, tada (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.
Tokiems laipsniams būdingi visi aukščiau aprašyti matematiniai veiksmai ir specifinės savybės.
Išvada
Apibendrinkime – kam šios reikšmės, kokie tokių funkcijų pranašumai? Žinoma, pirmiausia jie supaprastina matematikų ir programuotojų gyvenimą sprendžiant pavyzdžius, nes leidžia sumažinti skaičiavimus, sumažinti algoritmus, sisteminti duomenis ir daug daugiau.
Kur dar šios žinios gali būti naudingos? Bet kurioje darbo specialybėje: medicina, farmakologija, odontologija, statyba, technologija, inžinerija, dizainas ir kt.
Pirmas lygis
Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019)
Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų reikia? Kodėl reikia skirti laiko jų studijavimui?
Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias kasdieniame gyvenime, perskaitykite šį straipsnį.
Ir, žinoma, žinodami diplomus priartėsite prie sėkmingo OGE arba vieningo valstybinio egzamino išlaikymo ir įstojimo į svajonių universitetą.
Eime... (Eime!)
Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote beprasmybę, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).
PIRMAS LYGIS
Eksponentinis koeficientas yra ta pati matematinė operacija kaip sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba.
Dabar aš viską paaiškinsiu žmonių kalba paprasti pavyzdžiai. Būk atsargus. Pavyzdžiai yra elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.
Pradėkime nuo papildymo.
Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek kolos? Teisingai – 16 butelių.
Dabar daugyba.
Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti kitaip: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat butelių kolos ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.
Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…
Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.
Ir dar vienas gražesnis:
O kokių dar gudrių skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.
Skaičiaus pakėlimas į laipsnį
Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos galios yra. Ir tokias problemas jie išsprendžia mintyse – greičiau, lengviau ir be klaidų.
Norėdami tai padaryti, jums tereikia prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.
Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratas skaičiai, o trečiasis kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.
1 pavyzdys realiame gyvenime
Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.
Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys yra metrai metrais. Baseinas yra jūsų kieme. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet ... baseinas be dugno! Būtina iškloti baseino dugną plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.
Tiesiog bakstelėję pirštu galite suskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei jūsų plytelės yra metras po metro, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur tu matei tokią plytelę? Plytelė greičiau bus cm po cm, o tada jus kankins „skaičiuoti pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().
Ar pastebėjote, kad tą patį skaičių padauginome iš savęs, norėdami nustatyti baseino dugno plotą? Ką tai reiškia? Kadangi tas pats skaičius padauginamas, galime naudoti eksponencijos techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų daug, tai pakelti iki laipsnio yra daug lengviau, o skaičiavimuose klaidų taip pat mažiau. Egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, trisdešimties iki antrojo laipsnio bus (). Arba galite pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.
2 realaus gyvenimo pavyzdys
Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norėdami suskaičiuoti jų skaičių, turite aštuonis padauginti iš aštuonių arba ... jei tai pastebėsite Šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tada galite kvadratą aštuoni. Gaukite ląstelių. () Taigi?
3 pavyzdys realiame gyvenime
Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Beje, tūriai ir skysčiai matuojami kubiniai metrai. Netikėtai, tiesa?) Nubraižykite baseiną: vieno metro dydžio ir metro gylio dugną ir pabandykite suskaičiuoti, kiek metras po metro iš viso pateks į jūsų baseiną kubelių.
Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys... Kiek išėjo? Ar nepasiklydo? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia jo ilgį, plotį ir aukštį padauginti vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, tiesa?
Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei tai daro per daug lengva. Sumažino viską iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius padauginamas iš savęs... O ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite naudoti laipsnį. Taigi, ką kažkada suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kube yra lygūs. Tai parašyta taip:
Lieka tik įsiminti laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.
Na, o tam, kad pagaliau jus įtikintumėte, kad laipsnius sugalvojo palaidūnai ir gudruoliai, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne jums pridaryti problemų, štai dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.
4 pavyzdys realiame gyvenime
Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate po vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais – du kart du... antraisiais – kas atsitiko, dar dviem, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš savęs vieną kartą. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris greičiau skaičiuos, gaus šiuos milijonus... Ar verta prisiminti skaičių laipsnius, ką manote?
5 pavyzdys realiame gyvenime
Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate dar dviem. Tai puiku, tiesa? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtoji galia yra milijonas. Jums tereikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.
Dabar jūs žinote, kad padidinę skaičių iki galios, jūs žymiai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.
Terminai ir sąvokos ... kad nesusipainiotumėte
Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai yra skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas ...
Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprastesnis yra skaičius, kuris yra apačioje, apačioje.
Štai nuotrauka, kad įsitikintumėte.
Na ir į vidų bendras vaizdas apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze "" ir laipsniu "" skaitomas kaip "iki laipsnio" ir rašomas taip:
Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia
Tikriausiai jau atspėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai yra tie, kurie naudojami skaičiuojant surašant elementus: vienas, du, trys ... Kai skaičiuojame elementus, nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Mes taip pat nesakome „trečdalis“ ar „nulis taško penkios dešimtosios“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?
Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. O ką reiškia neigiami („minusiniai“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia skoloms žymėti: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.
Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad neturi pakankamai natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?
Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, jei apskritimo perimetrą padalinsite iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.
Santrauka:
Apibrėžkime laipsnio sąvoką, kurios rodiklis yra natūralusis skaičius (tai yra sveikasis skaičius ir teigiamas).
- Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau:
- Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs:
- Skaičius kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:
Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:
.
Laipsnio savybės
Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.
Pažiūrėkime, kas yra ir ?
Pagal apibrėžimą:
Kiek daugiklių iš viso yra?
Tai labai paprasta: prie veiksnių pridėjome veiksnius, o rezultatas yra veiksniai.
Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , kurį reikėjo įrodyti.
Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas:
Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi būti ta pati priežastis!
Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:
tik galių produktams!
Jokiu būdu neturėtumėte to rašyti.
2. tai yra - skaičiaus laipsnis
Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:
Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:
Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:
Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?
Bet tai netiesa, tikrai.
Laipsnis su neigiama baze
Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.
Bet kas turėtų būti pagrindas?
Laipsniais nuo natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai.
Pagalvokime, kokie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?
Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.
Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, paaiškėja.
Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Ar susitvarkei?
Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.
Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).
6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!
6 praktikos pavyzdžiai
Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai
Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:
Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų sukeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.
Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose.
Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
visasįvardijame natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su ženklu "") ir skaičių.
teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.
Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.
Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:
Kaip visada, klausiame savęs: kodėl taip yra?
Apsvarstykite tam tikrą galią su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:
Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.
Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:
Pakartokime taisyklę:
Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.
Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).
Viena vertus, jis turi būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius iki nulio laipsnio, jis turi būti lygus. Taigi kokia čia tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti jį iki nulinės galios.
Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima ir neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiamas laipsnis, darykime taip pat, kaip ir praeitą kartą: kokį nors normalų skaičių padauginame iš to paties neigiamo laipsnio:
Iš čia jau lengva išreikšti norimą:
Dabar išplečiame gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:
Taigi, suformuluokime taisyklę:
Skaičius neigiamam laipsniui yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes padalyti neįmanoma).
Apibendrinkime:
I. Išraiška neapibrėžiama atveju. Jei tada.
II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .
III. Skaičius, kuris nėra lygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Na, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:
Savarankiško sprendimo užduočių analizė:
Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko išspręsti, ir išmoksite, kaip lengvai su jais susidoroti egzamine!
Toliau plėskime skaičių ratą „tinkamų“ kaip eksponentą.
Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?
Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.
Norėdami suprasti, kas yra "dalinis laipsnis" Panagrinėkime trupmeną:
Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:
Dabar prisimink taisyklę "laipsnis į laipsnį":
Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?
Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.
Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.
Tai yra, th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija: .
Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima pratęsti: .
Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą nesunku gauti taikant energijos tiekimo taisyklę:
Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.
Nė vienas!
Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išskirti lyginio laipsnio šaknų!
O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.
O išraiška?
Bet čia iškyla problema.
Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, sumažintos trupmenos, pavyzdžiui, arba.
Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, ir tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.
Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet kai tik užrašome rodiklį kitaip, vėl susiduriame su bėdomis: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).
Kad išvengtumėte tokių paradoksų, apsvarstykite tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.
Taigi, jei:
- - natūralusis skaičius;
- yra sveikas skaičius;
Pavyzdžiai:
Laipsniai su racionaliuoju rodikliu yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:
5 praktikos pavyzdžiai
5 mokymo pavyzdžių analizė
Na, o dabar – sunkiausia. Dabar analizuosime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.
Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnių su racionaliuoju rodikliu, išskyrus
Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (ty neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.
Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;
...nulinė galia- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „paruošimas skaičius“, būtent skaičius;
...neigiamas sveikasis rodiklis- tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.
Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius.
Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
Sprendimų analizė:
1. Pradėkime nuo jau įprastos laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklės:
Dabar pažiūrėkite į rezultatą. Ar jis tau ką nors primena? Primename kvadratų skirtumo sutrumpinto dauginimo formulę:
Tokiu atveju,
Paaiškėjo, kad:
Atsakymas: .
2. Rodiklio trupmenas sudarome ta pačia forma: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Mes gauname, pavyzdžiui:
Atsakymas: 16
3. Nieko ypatingo, kreipkis įprastos savybės laipsniai:
PAŽEIDĖJANTIS LYGIS
Laipsnio apibrėžimas
Laipsnis yra formos išraiška: , kur:
- — laipsnio pagrindas;
- - eksponentas.
Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3,...)
Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:
Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)
Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:
erekcija iki nulinės galios:
Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.
Jei eksponentas yra sveikasis skaičius neigiamas numeris:
(nes padalyti neįmanoma).
Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.
Pavyzdžiai:
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu
- - natūralusis skaičius;
- yra sveikas skaičius;
Pavyzdžiai:
Laipsnio savybės
Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.
Pažiūrėkime: kas yra ir?
Pagal apibrėžimą:
Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gaunamas šis produktas:
Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, ty:
Q.E.D.
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : .
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tą patį pagrindą. Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:
Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių produktams!
Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.
Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:
Pertvarkykime taip:
Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus --oji galia:
Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:!
Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai netiesa, tikrai.
Galia su neigiama baze.
Iki šiol aptarėme tik tai, kas turėtų būti indeksas laipsnį. Bet kas turėtų būti pagrindas? Laipsniais nuo natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .
Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai. Pagalvokime, kokie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?
Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ?
Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.
Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.
Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galima suformuluoti tokius paprastos taisyklės:
- net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
- Nulis bet kokiai galiai yra lygus nuliui.
Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Ar susitvarkei? Štai atsakymai:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.
5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).
6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.
Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:
Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir suskirstome juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:
Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.
Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:
Sprendimai :
Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!
Mes gauname:
Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų pakeisti, būtų galima taikyti 3 taisyklę. Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar atrodo taip:
Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose. Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu! Jo negalima pakeisti pakeitus tik vieną mums nepriimtiną minusą!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
Taigi dabar paskutinė taisyklė:
Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:
Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: iš viso pasirodė daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu:
Pavyzdys:
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio paruošimas“, būtent skaičius; laipsnis su neigiamu sveikuoju skaičiumi - tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.
Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.
Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
| 1) | 2) | 3) |
Atsakymai:
- Prisiminkite kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
- Trupmenas sudarome į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
- Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:
SKYRIAUS SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ
Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:
Laipsnis su sveikuoju rodikliu
laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu
laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
rodiklis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.
Laipsnio savybės
Laipsnių ypatumai.
- Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
- Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
- Bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.
DABAR TURI ŽODĮ...
Kaip jums patinka straipsnis? Leiskite man žinoti toliau pateiktuose komentaruose, ar jums tai patiko, ar ne.
Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su galios savybėmis.
Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.
Rašyk komentaruose.
Ir sėkmės egzaminuose!
